वर्गमूल। व्यापक गाइड (2019)

बधाई हो: आज हम जड़ों का विश्लेषण करेंगे - 8 वीं कक्षा के सबसे दिमाग उड़ाने वाले विषयों में से एक। :)

बहुत से लोग जड़ों के बारे में भ्रमित हो जाते हैं, इसलिए नहीं कि वे जटिल हैं (जो जटिल है - कुछ परिभाषाएँ और कुछ और गुण), बल्कि इसलिए कि अधिकांश स्कूल की पाठ्यपुस्तकों में जड़ों को ऐसे विलड्स के माध्यम से परिभाषित किया जाता है, जो केवल पाठ्यपुस्तकों के लेखक ही कर सकते हैं। इस स्क्रिबलिंग को समझें। और फिर भी केवल अच्छी व्हिस्की की बोतल के साथ। :)

इसलिए, अब मैं जड़ की सबसे सही और सबसे सक्षम परिभाषा दूंगा - केवल वही जिसे आपको वास्तव में याद रखने की आवश्यकता है। और उसके बाद ही मैं समझाऊंगा: यह सब क्यों आवश्यक है और इसे व्यवहार में कैसे लागू किया जाए।

लेकिन पहले एक को याद कर लो महत्वपूर्ण बिंदु, जिसके बारे में पाठ्यपुस्तकों के कई संकलनकर्ता किसी कारण से "भूल जाते हैं":

जड़ें सम कोटि की हो सकती हैं (हमारे पसंदीदा $\sqrt(a)$, साथ ही कोई भी $\sqrt(a)$ और यहां तक ​​कि $\sqrt(a)$) और विषम डिग्री (कोई भी $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(क)$ आदि). और विषम कोटि के मूल की परिभाषा सम से कुछ भिन्न है।

यहाँ इस कमबख्त में "कुछ अलग" छिपा है, शायद, जड़ों से जुड़ी सभी त्रुटियों और गलतफहमियों का 95%। तो आइए एक बार और सभी के लिए शब्दावली स्पष्ट करें:

परिभाषा। जड़ भी एनसंख्या $a$ से कोई भी है गैर नकारात्मकएक संख्या $b$ जैसे कि $((b)^(n))=a$। और एक ही संख्या से एक विषम डिग्री की जड़ आम तौर पर कोई भी संख्या $b$ होती है जिसके लिए समान समानता होती है: $((b)^(n))=a$।

किसी भी मामले में, जड़ को इस तरह निरूपित किया जाता है:

\(ए)\]

इस तरह के अंकन में $n$ को रूट एक्सपोनेंट कहा जाता है, और संख्या $a$ को रेडिकल एक्सप्रेशन कहा जाता है। विशेष रूप से, $n=2$ के लिए हमें अपना "पसंदीदा" वर्गमूल मिलता है (वैसे, यह एक समान डिग्री का रूट है), और $n=3$ के लिए हमें एक क्यूबिक रूट (एक विषम डिग्री) मिलता है। जो अक्सर समस्याओं और समीकरणों में भी पाया जाता है।

उदाहरण। क्लासिक उदाहरण वर्गमूल:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(संरेखित करें)\]

वैसे, $\sqrt(0)=0$ और $\sqrt(1)=1$। $((0)^(2))=0$ और $((1)^(2))=1$ के बाद से यह काफी तार्किक है।

घनमूल भी आम हैं - उनसे डरो मत:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(संरेखित करें)\]

खैर, कुछ "विदेशी उदाहरण":

\[\शुरू (संरेखित करें) और \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(संरेखित करें)\]

यदि आप सम और विषम डिग्री के बीच के अंतर को नहीं समझते हैं, तो परिभाषा को फिर से पढ़ें। बहुत जरुरी है!

इस बीच, हम जड़ों की एक अप्रिय विशेषता पर विचार करेंगे, जिसके कारण हमें सम और विषम घातांकों के लिए एक अलग परिभाषा प्रस्तुत करने की आवश्यकता थी।

हमें जड़ों की आवश्यकता क्यों है?

परिभाषा पढ़ने के बाद, कई छात्र पूछेंगे: "गणितज्ञों ने इसका आविष्कार करते समय क्या धूम्रपान किया था?" और वास्तव में: हमें इन सभी जड़ों की आवश्यकता क्यों है?

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए एक क्षण के लिए पीछे चलते हैं प्राथमिक ग्रेड. याद रखें: उन दूर के समय में, जब पेड़ हरे थे और पकौड़ी स्वादिष्ट थे, हमारी मुख्य चिंता संख्याओं को सही ढंग से गुणा करना था। ठीक है, "पाँच बटा पाँच - पच्चीस" की भावना में कुछ, बस इतना ही। लेकिन आखिरकार, आप संख्याओं को जोड़े में नहीं, बल्कि तीन, चार और आम तौर पर पूरे सेट में गुणा कर सकते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(संरेखित करें)\]

हालाँकि, यह बात नहीं है। तरकीब अलग है: गणितज्ञ आलसी लोग होते हैं, इसलिए उन्हें दस फाइव का गुणा इस तरह लिखना पड़ा:

इसलिए वे डिग्री लेकर आए। लंबी स्ट्रिंग के बजाय कारकों की संख्या को सुपरस्क्रिप्ट के रूप में क्यों नहीं लिखते? इसे लाईक करें:

यह बहुत सुविधाजनक है! सभी गणना कई बार कम हो जाती हैं, और आप कुछ 5 183 लिखने के लिए नोटबुक की चर्मपत्र शीट्स का एक गुच्छा खर्च नहीं कर सकते हैं। इस तरह की प्रविष्टि को संख्या की डिग्री कहा जाता था, इसमें गुणों का एक समूह पाया गया था, लेकिन खुशी अल्पकालिक थी।

डिग्री की "खोज" के बारे में आयोजित एक भव्य शराब के बाद, कुछ विशेष रूप से पत्थरबाज़ गणितज्ञों ने अचानक पूछा: "क्या होगा यदि हम किसी संख्या की डिग्री जानते हैं, लेकिन हम स्वयं संख्या नहीं जानते हैं?" दरअसल, अगर हम जानते हैं कि एक निश्चित संख्या $b$, उदाहरण के लिए, 243 को 5 वीं शक्ति देता है, तो हम कैसे अनुमान लगा सकते हैं कि संख्या $b$ खुद किसके बराबर है?

यह समस्या पहली नज़र में लगने की तुलना में कहीं अधिक वैश्विक निकली। क्योंकि यह पता चला है कि अधिकांश "तैयार-निर्मित" डिग्रियों के लिए ऐसी "प्रारंभिक" संख्याएँ नहीं हैं। अपने लिए जज करें:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((बी)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((बी)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(संरेखित करें)\]

क्या होगा यदि $((बी)^(3))=50$? यह पता चला है कि आपको एक निश्चित संख्या खोजने की जरूरत है, जो तीन बार खुद से गुणा करने पर हमें 50 देगा। लेकिन यह संख्या क्या है? यह स्पष्ट रूप से 3 से बड़ा है क्योंकि 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. यानी यह संख्या तीन और चार के बीच कहीं है, लेकिन यह किसके बराबर है - FIG आप समझ जाएंगे।

यही कारण है कि गणितज्ञ $n$-th जड़ों के साथ आए। यही कारण है कि रेडिकल आइकन $\sqrt(*)$ पेश किया गया था। उसी संख्या को निरूपित करने के लिए $b$, जो, निर्दिष्ट शक्ति के लिए, हमें पहले से ज्ञात मान देगा

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

मैं बहस नहीं करता: अक्सर इन जड़ों पर आसानी से विचार किया जाता है - हमने ऐसे कई उदाहरण ऊपर देखे हैं। लेकिन फिर भी, ज्यादातर मामलों में, यदि आप एक मनमाना संख्या के बारे में सोचते हैं, और फिर उसमें से एक मनमाना डिग्री की जड़ निकालने की कोशिश करते हैं, तो आप एक क्रूर बमर के लिए हैं।

वहाँ क्या है! यहां तक ​​​​कि सबसे सरल और सबसे परिचित $\sqrt(2)$ को हमारे सामान्य रूप में - पूर्णांक या अंश के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। और अगर आप इस नंबर को कैलकुलेटर में चलाते हैं, तो आप इसे देखेंगे:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, दशमलव बिंदु के बाद संख्याओं का एक अंतहीन क्रम होता है जो किसी भी तर्क का पालन नहीं करता है। बेशक, आप अन्य नंबरों के साथ जल्दी से तुलना करने के लिए इस नंबर को गोल कर सकते हैं। उदाहरण के लिए:

\[\sqrt(2)=1.4142...\लगभग 1.4 \lt 1.5\]

या यहाँ एक और उदाहरण है:

\[\sqrt(3)=1.73205...\लगभग 1.7 \gt 1.5\]

लेकिन ये सभी गोलाई, सबसे पहले, बल्कि खुरदरी हैं; और दूसरी बात, आपको अनुमानित मूल्यों के साथ काम करने में सक्षम होने की भी आवश्यकता है, अन्यथा आप गैर-स्पष्ट त्रुटियों का एक गुच्छा पकड़ सकते हैं (वैसे, तुलना करने और गोल करने का कौशल जरूरप्रोफ़ाइल परीक्षा में जाँच की गई)।

इसलिए, गंभीर गणित में, कोई भी जड़ों के बिना नहीं कर सकता - वे सभी वास्तविक संख्याओं के सेट के समान प्रतिनिधि हैं $\mathbb(R)$, जैसे अंश और पूर्णांक जिन्हें हम लंबे समय से जानते हैं।

मूल को $\frac(p)(q)$ के रूप में भिन्न के रूप में प्रस्तुत करने की असंभवता का अर्थ है कि जड़ दीपरिमेय संख्या नहीं है। इस तरह की संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है, और उन्हें एक कट्टरपंथी, या विशेष रूप से इसके लिए डिज़ाइन किए गए अन्य निर्माणों (लघुगणक, डिग्री, सीमा, आदि) की सहायता के अलावा सटीक रूप से प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है। लेकिन उस पर फिर कभी।

कुछ उदाहरणों पर विचार करें, जहां सभी गणनाओं के बाद भी अपरिमेय संख्याएं उत्तर में बनी रहेंगी।

\[\शुरू (संरेखित) और \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\लगभग 2,236... \\ & \sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\approx -1,2599... \\ \end(संरेखित करें)\]

स्वाभाविक रूप से, द्वारा उपस्थितिमूल का अनुमान लगाना लगभग असंभव है कि दशमलव बिंदु के बाद कौन सी संख्याएँ आएंगी। हालांकि, कैलकुलेटर पर गणना करना संभव है, लेकिन यहां तक ​​कि सबसे उन्नत तिथि कैलकुलेटर भी हमें एक अपरिमेय संख्या के पहले कुछ अंक ही देता है। इसलिए, उत्तरों को $\sqrt(5)$ और $\sqrt(-2)$ के रूप में लिखना अधिक सही है।

यही उनके लिए आविष्कार किया गया था। उत्तर लिखना आसान बनाने के लिए।

दो परिभाषाओं की आवश्यकता क्यों है?

चौकस पाठक शायद पहले ही देख चुके हैं कि उदाहरणों में दिए गए सभी वर्गमूल धनात्मक संख्याओं से लिए गए हैं। तब में अखिरी सहाराशून्य से। लेकिन घन जड़ों को पूरी तरह से किसी भी संख्या से निकाला जाता है - सकारात्मक भी, नकारात्मक भी।

ऐसा क्यों हो रहा है? फ़ंक्शन $y=((x)^(2))$ के ग्राफ़ पर एक नज़र डालें:

अनुसूची द्विघात फंक्शनदो जड़ें देता है: सकारात्मक और नकारात्मक

आइए इस ग्राफ का उपयोग करके $\sqrt(4)$ की गणना करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, एक क्षैतिज रेखा $y=4$ (लाल रंग में चिह्नित) ग्राफ पर खींची जाती है, जो पैराबोला को दो बिंदुओं पर काटती है: $((x)_(1))=2$ और $((x) _(2)) = -2$। यह काफी तार्किक है, चूंकि

पहली संख्या के साथ सब कुछ स्पष्ट है - यह धनात्मक है, इसलिए यह मूल है:

लेकिन फिर दूसरे बिंदु का क्या करें? क्या 4 की एक साथ दो जड़ें हैं? आखिरकार, यदि हम संख्या -2 का वर्ग करते हैं, तो हमें भी 4 प्राप्त होता है। फिर $\sqrt(4)=-2$ क्यों नहीं लिखते? और शिक्षक ऐसे अभिलेखों को क्यों देखते हैं जैसे कि वे आपको खाना चाहते हैं? :)

परेशानी यही है, कि अगर आप कोई थोपते नहीं हैं अतिरिक्त शर्तों, तो चार के दो वर्गमूल होंगे - धनात्मक और ऋणात्मक। और किसी भी धनात्मक संख्या में भी उनमें से दो होंगे। लेकिन ऋणात्मक संख्याओं की जड़ें बिल्कुल नहीं होंगी - यह उसी ग्राफ से देखा जा सकता है, क्योंकि परवलय कभी भी अक्ष के नीचे नहीं आता है वाई, अर्थात। नकारात्मक मान नहीं लेता है।

समान घातांक वाली सभी जड़ों के लिए समान समस्या होती है:

1. सख्ती से बोलते हुए, प्रत्येक सकारात्मक संख्या में दो जड़ें एक समान एक्सपोनेंट $n$ के साथ होंगी;
2. ऋणात्मक संख्याओं से, $n$ वाला मूल बिल्कुल भी नहीं निकाला जाता है।

यही कारण है कि एक सम मूल $n$ की परिभाषा विशेष रूप से निर्धारित करती है कि उत्तर एक गैर-ऋणात्मक संख्या होनी चाहिए। इस तरह हम अस्पष्टता से छुटकारा पा लेते हैं।

लेकिन विषम $n$ के लिए ऐसी कोई समस्या नहीं है। इसे देखने के लिए, आइए फ़ंक्शन $y=((x)^(3))$ के ग्राफ़ पर एक नज़र डालें:

घन परवलय किसी भी मान को ग्रहण करता है, इसलिए घनमूल को किसी भी संख्या से लिया जा सकता है

इस ग्राफ से दो निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं:

1. एक घन परवलय की शाखाएँ, सामान्य के विपरीत, दोनों दिशाओं में अनंत तक जाती हैं - ऊपर और नीचे दोनों। इसलिए, हम जिस भी ऊँचाई पर एक क्षैतिज रेखा खींचते हैं, यह रेखा निश्चित रूप से हमारे ग्राफ के साथ प्रतिच्छेद करेगी। इसलिए, घनमूल हमेशा किसी भी संख्या से लिया जा सकता है;
2. इसके अलावा, ऐसा चौराहा हमेशा अद्वितीय होगा, इसलिए आपको यह सोचने की ज़रूरत नहीं है कि किस नंबर को "सही" रूट पर विचार करना है, और कौन सा स्कोर करना है। यही कारण है कि एक विषम डिग्री के लिए जड़ों की परिभाषा एक सम की तुलना में सरल है (कोई गैर-नकारात्मक आवश्यकता नहीं है)।

यह अफ़सोस की बात है कि ये सरल चीज़ेंअधिकांश पाठ्य पुस्तकों में व्याख्या नहीं की गई है। इसके बजाय, हमारा दिमाग सभी प्रकार की अंकगणितीय जड़ों और उनके गुणों से ऊपर उठने लगता है।

हां, मैं बहस नहीं करता: अंकगणितीय जड़ क्या है - आपको भी जानने की जरूरत है। और मैं इसके बारे में एक अलग पाठ में विस्तार से बात करूंगा। आज हम इसके बारे में भी बात करेंगे, क्योंकि इसके बिना $n$-th बहुलता की जड़ों पर सभी विचार अधूरे होंगे।

लेकिन पहले आपको ऊपर दी गई परिभाषा को स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है। अन्यथा शब्दों की अधिकता के कारण आपके दिमाग में ऐसी गड़बड़ी शुरू हो जाएगी कि अंत में आप कुछ भी नहीं समझ पाएंगे।

और आपको केवल सम और विषम संख्याओं के बीच का अंतर समझने की आवश्यकता है। इसलिए, एक बार फिर हम सब कुछ एकत्र करेंगे जो आपको वास्तव में जड़ों के बारे में जानने की जरूरत है:

1. एक सम मूल केवल एक गैर-ऋणात्मक संख्या से ही अस्तित्व में आता है और स्वयं हमेशा एक गैर-ऋणात्मक संख्या होती है। ऋणात्मक संख्याओं के लिए, ऐसी जड़ अपरिभाषित होती है।
2. लेकिन एक विषम डिग्री की जड़ किसी भी संख्या से मौजूद होती है और स्वयं कोई भी संख्या हो सकती है: सकारात्मक संख्याओं के लिए यह सकारात्मक है, और ऋणात्मक संख्याओं के लिए, कैप संकेत के रूप में, यह नकारात्मक है।

क्या यह मुश्किल है? नहीं, यह मुश्किल नहीं है। यह स्पष्ट है? हाँ, यह स्पष्ट है! इसलिए, अब हम गणनाओं के साथ थोड़ा अभ्यास करेंगे।

बुनियादी गुण और सीमाएं

जड़ें बहुत हैं अजीब गुणऔर प्रतिबंध - यह एक अलग पाठ होगा। इसलिए, अब हम केवल सबसे महत्वपूर्ण "चिप" पर विचार करेंगे, जो केवल समान घातांक वाली जड़ों पर लागू होता है। हम इस गुण को सूत्र के रूप में लिखते हैं:

\[\sqrt((((x)^(2n)))=\बाएं| एक्स\दाएं|\]

दूसरे शब्दों में, यदि हम किसी संख्या को एक सम घात तक बढ़ाते हैं, और फिर उसमें से समान कोटि का मूल निकालते हैं, तो हमें मूल संख्या नहीं, बल्कि उसका मापांक प्राप्त होगा। यह सरल प्रमेय, जो आसानी से सिद्ध हो जाता है (यह गैर-नकारात्मक $x$ पर अलग से विचार करने के लिए पर्याप्त है, और फिर अलग से नकारात्मक पर विचार करें)। शिक्षक लगातार इसके बारे में बात करते हैं, यह हर स्कूल की पाठ्यपुस्तक में दिया जाता है। लेकिन एक बार यह एक निर्णय के लिए नीचे आता है तर्कहीन समीकरण(अर्थात् करणी के चिह्न वाले समीकरण) विद्यार्थी मिलकर इस सूत्र को भूल जाते हैं।

इस मुद्दे को विस्तार से समझने के लिए, आइए एक मिनट के लिए सभी सूत्रों को भूल जाएं और दो संख्याओं को आगे गिनने का प्रयास करें:

\[\sqrt((((3)^(4)))=?\चौथा \sqrt(((\बाएं(-3 \दाएं))^(4)))=?\]

ये बहुत सरल उदाहरण. पहला उदाहरण अधिकांश लोगों द्वारा हल किया जाएगा, लेकिन दूसरे पर, बहुत से लोग टिके रहते हैं। ऐसी किसी भी बकवास को बिना किसी समस्या के हल करने के लिए, हमेशा प्रक्रिया पर विचार करें:

1. सबसे पहले, संख्या को चौथी शक्ति तक बढ़ाया जाता है। खैर, यह आसान है। एक नई संख्या प्राप्त होगी, जिसे गुणन सारणी में भी पाया जा सकता है;
2. और अब इस नई संख्या से चौथी डिग्री का मूल निकालना आवश्यक है। वे। जड़ों और डिग्री की कोई "कमी" नहीं है - ये क्रमिक क्रियाएं हैं।

आइए पहली अभिव्यक्ति से निपटें: $\sqrt(((3)^(4)))$। जाहिर है, आपको पहले रूट के तहत अभिव्यक्ति की गणना करने की आवश्यकता है:

\[(((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

फिर हम संख्या 81 का चौथा मूल निकालते हैं:

अब दूसरी अभिव्यक्ति के साथ भी ऐसा ही करते हैं। सबसे पहले, हम संख्या -3 को चौथी शक्ति तक बढ़ाते हैं, जिसके लिए हमें इसे 4 बार गुणा करने की आवश्यकता होती है:

\[((\बाएं(-3 \दाएं))^(4))=\बाएं(-3 \दाएं)\cdot \बाएं(-3 \दाएं)\cdot \बाएं(-3 \दाएं)\cdot \ बायां (-3 \ दायां) = 81 \]

हमें एक सकारात्मक संख्या मिली, क्योंकि उत्पाद में कुल नुकसान की संख्या 4 टुकड़े हैं, और वे सभी एक दूसरे को रद्द कर देंगे (आखिरकार, एक ऋण से एक ऋण एक प्लस देता है)। अगला, जड़ को फिर से निकालें:

सिद्धांत रूप में, यह पंक्ति नहीं लिखी जा सकती थी, क्योंकि इसमें कोई दिमाग नहीं है कि उत्तर समान होगा। वे। एक ही सम शक्ति की एक समान जड़ "माइनस" को "जल" देती है, और इस अर्थ में परिणाम सामान्य मॉड्यूल से अप्रभेद्य है:

\[\शुरू(संरेखित करें) और \sqrt(((3)^(4)))=\बाएं| 3\दाएं|=3; \\ & \sqrt(((\बाएं(-3 \दाएं))^(4))=\बाएं| -3 \दाहिना|=3. \\ \end(संरेखित करें)\]

ये परिकलन सम कोटि के मूल की परिभाषा के साथ अच्छे समझौते में हैं: परिणाम हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है, और मूलांक के चिह्न के अंतर्गत भी, हमेशा कोई ऋणात्मक नहीं होता है। एक नकारात्मक संख्या. अन्यथा, रूट परिभाषित नहीं है।

संचालन के क्रम पर ध्यान दें

1. संकेतन $\sqrt(((a)^(2)))$ का अर्थ है कि हम पहले संख्या $a$ का वर्ग करते हैं, और फिर परिणामी मूल्य का वर्गमूल लेते हैं। इसलिए, हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि एक गैर-ऋणात्मक संख्या हमेशा मूल चिह्न के नीचे बैठती है, क्योंकि $((a)^(2))\ge 0$ वैसे भी;
2. लेकिन नोटेशन $((\बाएं(\sqrt(a) \right))^(2))$, इसके विपरीत, इसका मतलब है कि हम पहले एक निश्चित संख्या $a$ से रूट निकालते हैं और उसके बाद ही परिणाम को स्क्वायर करते हैं। इसलिए, संख्या $a$ किसी भी स्थिति में ऋणात्मक नहीं हो सकती - यह है अनिवार्य आवश्यकतापरिभाषा में शामिल।

इस प्रकार, किसी भी मामले में जड़ों और डिग्री को विचारपूर्वक कम नहीं करना चाहिए, जिससे मूल अभिव्यक्ति को "सरल" माना जाता है। क्योंकि यदि मूल के नीचे कोई ऋणात्मक संख्या हो और उसका घातांक सम हो, तो हमें बहुत समस्याएँ आएंगी।

हालाँकि, ये सभी समस्याएं केवल संकेतकों के लिए भी प्रासंगिक हैं।

मूल चिह्न के नीचे से ऋण चिह्न हटाना

स्वाभाविक रूप से, विषम घातांक वाली जड़ों की भी अपनी विशेषता होती है, जो सिद्धांत रूप में, यहां तक ​​\u200b\u200bकि मौजूद नहीं है। अर्थात्:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(ए)\]

संक्षेप में, आप एक विषम डिग्री की जड़ों के चिह्न के नीचे से ऋण निकाल सकते हैं। ये बहुत उपयोगी संपत्ति, जो आपको सभी कमियों को "फेंकने" की अनुमति देता है:

\[\शुरू (संरेखित) और \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \बाएं (-\sqrt(32) \दाएं)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \ अंत (संरेखित करें) \]

यह सरल संपत्ति कई गणनाओं को बहुत सरल करती है। अब आपको चिंता करने की ज़रूरत नहीं है: क्या होगा अगर एक नकारात्मक अभिव्यक्ति जड़ के नीचे हो जाती है, और जड़ की डिग्री भी निकल जाती है? यह जड़ों के बाहर के सभी नुकसानों को "फेंकने" के लिए पर्याप्त है, जिसके बाद उन्हें एक दूसरे से गुणा किया जा सकता है, विभाजित किया जा सकता है और आम तौर पर कई संदिग्ध चीजें की जा सकती हैं, जो "क्लासिक" जड़ों के मामले में हमें एक त्रुटि की ओर ले जाने की गारंटी है। .

और यहाँ एक और परिभाषा सामने आती है - वही जिसके साथ अधिकांश स्कूल तर्कहीन अभिव्यक्तियों का अध्ययन शुरू करते हैं। और जिसके बिना हमारी रीज़निंग अधूरी होगी। मिलना!

अंकगणितीय जड़

आइए एक पल के लिए मान लें कि केवल धनात्मक संख्याएं या चरम मामलों में, शून्य मूल चिह्न के अंतर्गत हो सकता है। आइए सम / विषम संकेतकों पर स्कोर करें, ऊपर दी गई सभी परिभाषाओं पर स्कोर करें - हम केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं के साथ काम करेंगे। तो क्या?

और फिर हमें अंकगणितीय जड़ मिलती है - यह आंशिक रूप से हमारी "मानक" परिभाषाओं के साथ प्रतिच्छेद करती है, लेकिन फिर भी उनसे भिन्न होती है।

परिभाषा। एक गैर-ऋणात्मक संख्या $a$ की $n$th डिग्री का एक अंकगणितीय मूल एक गैर-ऋणात्मक संख्या $b$ है जैसे कि $((b)^(n))=a$।

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमें अब समानता में कोई दिलचस्पी नहीं है। इसके बजाय, एक नया प्रतिबंध सामने आया: कट्टरपंथी अभिव्यक्ति अब हमेशा गैर-नकारात्मक है, और जड़ भी गैर-नकारात्मक है।

यह समझने के लिए कि अंकगणितीय जड़ सामान्य से कैसे भिन्न होती है, पहले से परिचित वर्ग और घन परवलय के रेखांकन पर एक नज़र डालें:

मूल खोज क्षेत्र - गैर-ऋणात्मक संख्याएँ

जैसा कि आप देख सकते हैं, अब से, हम केवल ग्राफ़ के उन टुकड़ों में रुचि रखते हैं जो पहले समन्वय तिमाही में स्थित हैं - जहां निर्देशांक $x$ और $y$ सकारात्मक हैं (या कम से कम शून्य)। आपको यह समझने के लिए संकेतक को देखने की आवश्यकता नहीं है कि क्या हमें ऋणात्मक संख्या को रूट करने का अधिकार है या नहीं। क्योंकि नकारात्मक संख्याओं को अब सिद्धांत रूप में नहीं माना जाता है।

आप पूछ सकते हैं: "ठीक है, हमें इस तरह की परिभाषा की आवश्यकता क्यों है?" या: "हम ऊपर दी गई मानक परिभाषा से क्यों नहीं चल सकते?"

खैर, मैं सिर्फ एक संपत्ति दूंगा, जिसके कारण नई परिभाषा उपयुक्त हो जाती है। उदाहरण के लिए, घातांक नियम:

\[\sqrt[n](ए)=\sqrt(((ए)^(के)))\]

कृपया ध्यान दें: हम मूल अभिव्यक्ति को किसी भी शक्ति तक बढ़ा सकते हैं और उसी समय रूट एक्सपोनेंट को उसी शक्ति से गुणा कर सकते हैं - और परिणाम एक ही संख्या होगी! यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और \sqrt(5)=\sqrt((((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^) (4)))=\sqrt(16) \\ \end(संरेखित करें)\]

अच्छा, इसमें गलत क्या है? हम इसे पहले क्यों नहीं कर सके? उसकी वजह यहाँ है। एक साधारण अभिव्यक्ति पर विचार करें: $\sqrt(-2)$ एक संख्या है जो हमारे शास्त्रीय अर्थों में काफी सामान्य है, लेकिन अंकगणितीय रूट के दृष्टिकोण से बिल्कुल अस्वीकार्य है। आइए इसे रूपांतरित करने का प्रयास करें:

$\शुरू (संरेखित) और \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\बाएं(-2 \दाएं))^(2))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(संरेखित करें)$

जैसा कि आप देख सकते हैं, पहले मामले में, हमने रेडिकल के नीचे से माइनस को हटा दिया (हमारे पास है पूर्ण अधिकार, क्योंकि सूचक विषम है), और दूसरे में, हमने उपरोक्त सूत्र का उपयोग किया। वे। गणित की दृष्टि से सब कुछ नियमों के अनुसार होता है।

डब्ल्यूटीएफ ?! एक ही संख्या धनात्मक और ऋणात्मक दोनों कैसे हो सकती है? बिलकुल नहीं। यह सिर्फ इतना है कि घातांक सूत्र, जो धनात्मक संख्याओं और शून्य के लिए बहुत अच्छा काम करता है, ऋणात्मक संख्याओं के मामले में पूर्ण विधर्म देना शुरू कर देता है।

यहाँ, इस तरह की अस्पष्टता से छुटकारा पाने के लिए, वे अंकगणितीय जड़ों के साथ आए। वे एक अलग के लिए समर्पित हैं बड़ा सबक, जहां हम उनके सभी गुणों पर विस्तार से विचार करते हैं। इसलिए अब हम उन पर ध्यान नहीं देंगे - वैसे भी पाठ बहुत लंबा हो गया।

बीजगणितीय जड़: उनके लिए जो अधिक जानना चाहते हैं

मैंने लंबे समय तक सोचा: इस विषय को एक अलग पैराग्राफ में बनाया जाए या नहीं। अंत में मैंने यहां से जाने का फैसला किया। यह सामग्री उन लोगों के लिए अभिप्रेत है जो जड़ों को और भी बेहतर समझना चाहते हैं - औसत "स्कूल" स्तर पर नहीं, बल्कि ओलंपियाड के करीब के स्तर पर।

तो: एक संख्या से $n$-th डिग्री की जड़ की "शास्त्रीय" परिभाषा और सम और विषम संकेतकों में संबद्ध विभाजन के अलावा, एक और "वयस्क" परिभाषा है, जो समता पर निर्भर नहीं करती है और अन्य सूक्ष्मताएं बिल्कुल। इसे बीजगणितीय मूल कहते हैं।

परिभाषा। एक बीजगणित $n$-th किसी भी $a$ की जड़ सभी संख्याओं का सेट है $b$ ऐसा है कि $((b)^(n))=a$। ऐसी जड़ों के लिए कोई अच्छी तरह से स्थापित पदनाम नहीं है, इसलिए बस शीर्ष पर डैश लगाएं:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

से मूलभूत अंतर है मानक परिभाषा, पाठ की शुरुआत में दिया गया, यह है कि बीजगणितीय जड़ एक विशिष्ट संख्या नहीं है, बल्कि एक सेट है। और चूँकि हम वास्तविक संख्याओं के साथ कार्य कर रहे हैं, यह समुच्चय केवल तीन प्रकार का है:

1. खाली सेट। तब होता है जब एक ऋणात्मक संख्या से सम डिग्री का बीजगणितीय मूल ज्ञात करना आवश्यक होता है;
2. एक एकल तत्व से मिलकर एक सेट। विषम शक्तियों की सभी जड़ें, साथ ही शून्य से भी शक्तियों की जड़ें इस श्रेणी में आती हैं;
3. अंत में, सेट में दो नंबर शामिल हो सकते हैं - वही $((x)_(1))$ और $((x)_(2))=-((x)_(1))$ जो हमने चार्ट द्विघात समारोह। तदनुसार, ऐसा संरेखण तभी संभव है जब किसी धनात्मक संख्या से सम अंश का मूल निकाला जाए।

अंतिम मामला अधिक विस्तृत विचार के योग्य है। आइए अंतर को समझने के लिए कुछ उदाहरण गिनें।

उदाहरण। गणना भाव:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

समाधान। पहली अभिव्यक्ति सरल है:

\[\overline(\sqrt(4))=\बाएं\( 2;-2 \दाएं\)\]

यह दो नंबर हैं जो सेट का हिस्सा हैं। क्योंकि उनमें से प्रत्येक का वर्ग एक चौका देता है।

\[\overline(\sqrt(-27))=\बाएं\( -3 \दाएं\)\]

यहां हम एक सेट देखते हैं जिसमें केवल एक संख्या होती है। यह काफी तार्किक है, क्योंकि जड़ का प्रतिपादक विषम है।

अंत में, अंतिम अभिव्यक्ति:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

हमें एक खाली सेट मिला। क्योंकि एक भी वास्तविक संख्या नहीं है, जिसे जब चौथे (अर्थात, सम!) घात तक बढ़ाया जाए, तो हमें एक ऋणात्मक संख्या -16 मिलेगी।

अंतिम नोट। कृपया ध्यान दें: यह संयोग से नहीं था कि मैंने हर जगह नोट किया कि हम वास्तविक संख्याओं के साथ काम कर रहे हैं। क्योंकि और भी है जटिल आंकड़े- वहां $\sqrt(-16)$, और कई अन्य अजीब चीजों की गणना करना काफी संभव है।

हालाँकि, आधुनिक में स्कूल का कोर्सगणित में, जटिल संख्याएँ लगभग कभी नहीं पाई जाती हैं। उन्हें अधिकांश पाठ्यपुस्तकों से हटा दिया गया है क्योंकि हमारे अधिकारी इस विषय को "समझना बहुत कठिन" मानते हैं।