प्लानिमेट्री के मूल सूत्र। ज्यामितीय आकृतियों का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्र संख्यात्मक मान हैं जो द्वि-आयामी अंतरिक्ष में उनके आकार की विशेषता रखते हैं। इस मान को सिस्टम और गैर-सिस्टम इकाइयों में मापा जा सकता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, क्षेत्र की एक ऑफ-सिस्टम इकाई सौ, एक हेक्टेयर है। यह मामला है अगर मापा सतह भूमि का एक टुकड़ा है। क्षेत्रफल की प्रणाली इकाई लंबाई का वर्ग है। एसआई प्रणाली में, यह माना जाता है कि एक सपाट सतह के क्षेत्रफल की इकाई एक वर्ग मीटर है। सीजीएस में, क्षेत्रफल की इकाई वर्ग सेंटीमीटर में व्यक्त की जाती है।

ज्यामिति और क्षेत्र सूत्र अटूट रूप से जुड़े हुए हैं। यह संबंध इस तथ्य में निहित है कि फ्लैट आंकड़ों के क्षेत्रों की गणना उनके आवेदन पर आधारित है। कई आंकड़ों के लिए, कई विकल्प निकाले जाते हैं, जिनके अनुसार उनके वर्ग आकार की गणना की जाती है। समस्या कथन के डेटा के आधार पर, हम इसे हल करने का सबसे सरल तरीका निर्धारित कर सकते हैं। यह गणना की सुविधा देता है और गणना त्रुटियों की संभावना को कम से कम करता है। ऐसा करने के लिए, ज्यामिति में आंकड़ों के मुख्य क्षेत्र पर विचार करें।

किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र कई प्रकार से प्रस्तुत किए जाते हैं:

1) त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना आधार a और ऊँचाई h से की जाती है। आधार उस आकृति का पक्ष है जिस पर ऊँचाई कम की जाती है। तब त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

2) एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना ठीक उसी तरह की जाती है जैसे कर्ण को आधार माना जाता है। यदि, हालांकि, पैर को आधार के रूप में लिया जाता है, तो समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल आधे पैरों के उत्पाद के बराबर होगा।

किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने के सूत्र यहीं समाप्त नहीं होते। एक अन्य व्यंजक में ए, बी और ए और बी के बीच कोण के साइनसोइडल फ़ंक्शन शामिल हैं। साइन का मान तालिकाओं में पाया जाता है। यह कैलकुलेटर का उपयोग करके भी पाया जा सकता है। तब त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

इस समानता के अनुसार, आप यह भी सुनिश्चित कर सकते हैं कि एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल पैरों की लंबाई से निर्धारित होता है। इसलिये कोण γ एक समकोण है, इसलिए एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना ज्या फलन से गुणा किए बिना की जाती है।

3) एक विशेष मामले पर विचार करें - एक नियमित त्रिभुज, जिसमें पक्ष को स्थिति से जाना जाता है या इसकी लंबाई को हल करते समय पाया जा सकता है। ज्यामिति समस्या में आकृति के बारे में अधिक कुछ ज्ञात नहीं है। फिर इस स्थिति में क्षेत्र का पता कैसे लगाएं? इस मामले में, एक नियमित त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र लागू होता है:

आयत

एक आयत का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें और उन भुजाओं के आयामों का उपयोग कैसे करें जिनमें एक सामान्य शीर्ष है? गणना के लिए अभिव्यक्ति है:

यदि आप एक आयत के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए विकर्णों की लंबाई का उपयोग करना चाहते हैं, तो आपको कोण के साइन फ़ंक्शन की आवश्यकता होती है, जब वे प्रतिच्छेद करते हैं। एक आयत के क्षेत्रफल का सूत्र है:

वर्ग

एक वर्ग के क्षेत्रफल को भुजा की लंबाई की दूसरी शक्ति के रूप में परिभाषित किया गया है:

इस परिभाषा से प्रमाण इस प्रकार मिलता है कि एक आयत को वर्ग कहा जाता है। वर्ग बनाने वाली सभी भुजाओं की विमाएँ समान होती हैं। इसलिए, इस तरह के एक आयत के क्षेत्र की गणना एक दूसरे से गुणा करने के लिए कम हो जाती है, यानी, पक्ष की दूसरी शक्ति तक। और एक वर्ग के क्षेत्रफल की गणना का सूत्र वांछित रूप लेगा।

एक वर्ग का क्षेत्रफल दूसरे तरीके से पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, यदि आप एक विकर्ण का उपयोग करते हैं:

एक वृत्त से बंधे हुए समतल के एक भाग से बनने वाली आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें? क्षेत्र की गणना करने के लिए, सूत्र हैं:

चतुर्भुज

एक समांतर चतुर्भुज के लिए, सूत्र में भुजा, ऊँचाई और गणितीय संक्रिया - गुणन के रैखिक आयाम होते हैं। यदि ऊंचाई अज्ञात है, तो समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? गणना करने का एक और तरीका है। एक निश्चित मान की आवश्यकता होती है, जो आसन्न पक्षों द्वारा गठित कोण के त्रिकोणमितीय कार्य के साथ-साथ उनकी लंबाई द्वारा भी लिया जाएगा।

समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र हैं:

विषमकोण

समचतुर्भुज नामक चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल विकर्णों के साथ सरल गणितीय संक्रियाओं का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। प्रमाण इस तथ्य पर निर्भर करता है कि d1 और d2 पर विकर्ण खंड समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। ज्या की तालिका दर्शाती है कि समकोण के लिए यह फलन एक के बराबर होता है। इसलिए, एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है:

एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल दूसरे तरीके से भी पाया जा सकता है। इसे सिद्ध करना भी कठिन नहीं है, क्योंकि इसकी भुजाओं की लंबाई समान है। फिर उनके उत्पाद को समांतर चतुर्भुज के समान व्यंजक में प्रतिस्थापित करें। आखिरकार, इस विशेष आकृति का एक विशेष मामला एक समचतुर्भुज है। यहाँ γ समचतुर्भुज का आंतरिक कोण है। एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है:

ट्रापेज़

आधारों (ए और बी) के माध्यम से एक ट्रैपेज़ॉयड का क्षेत्र कैसे खोजें, यदि उनकी लंबाई समस्या में इंगित की जाती है? यहां, ऊंचाई लंबाई एच के ज्ञात मूल्य के बिना, ऐसे समलम्बाकार के क्षेत्र की गणना करना संभव नहीं होगा। इसलिये इस मान में गणना के लिए व्यंजक है:

एक आयताकार ट्रेपोजॉइड के वर्ग आकार की गणना भी इसी तरह से की जा सकती है। इसी समय, यह ध्यान में रखा जाता है कि एक आयताकार ट्रेपोजॉइड में, ऊंचाई और पक्ष की अवधारणाएं संयुक्त होती हैं। इसलिए, एक आयताकार ट्रेपोजॉइड के लिए, आपको ऊंचाई के बजाय पक्ष की लंबाई निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है।

सिलेंडर और समानांतर चतुर्भुज

विचार करें कि पूरे सिलेंडर की सतह की गणना करने के लिए क्या आवश्यक है। इस आकृति का क्षेत्रफल वृत्तों का एक जोड़ा है, जिन्हें आधार कहा जाता है, और एक पार्श्व सतह है। वृत्त बनाने वाले वृत्तों की त्रिज्या लंबाई r के बराबर होती है। एक बेलन के क्षेत्रफल के लिए, निम्नलिखित गणना की जाती है:

एक समानांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें जिसमें तीन जोड़े फलक हों? इसकी माप एक विशेष जोड़ी के अनुरूप होती है। विपरीत चेहरों के पैरामीटर समान होते हैं। पहले S(1), S(2), S(3) - असमान फलकों के वर्गाकार आयाम ज्ञात कीजिए। फिर समानांतर चतुर्भुज का सतह क्षेत्र:

अँगूठी

एक उभयनिष्ठ केंद्र वाले दो वृत्त एक वलय बनाते हैं। वे रिंग के क्षेत्र को भी सीमित करते हैं। इस मामले में, दोनों गणना सूत्र प्रत्येक सर्कल के आयामों को ध्यान में रखते हैं। रिंग के क्षेत्रफल की गणना करने वाले पहले वाले में बड़ा R और छोटा r त्रिज्या होता है। अधिक बार उन्हें बाहरी और आंतरिक कहा जाता है। दूसरी अभिव्यक्ति में, बड़े डी और छोटे डी व्यास का उपयोग करके रिंग क्षेत्र की गणना की जाती है। इस प्रकार, ज्ञात त्रिज्या के अनुसार वलय के क्षेत्रफल की गणना निम्नानुसार की जाती है:

व्यास की लंबाई का उपयोग करके रिंग का क्षेत्र निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है:

बहुभुज

उस बहुभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें जिसकी आकृति सही नहीं है? ऐसी आकृतियों के क्षेत्रफल का कोई सामान्य सूत्र नहीं है। लेकिन अगर इसे एक समन्वय विमान पर चित्रित किया गया है, उदाहरण के लिए, यह चेकर पेपर हो सकता है, तो इस मामले में सतह क्षेत्र कैसे खोजें? यहां वे एक ऐसी विधि का उपयोग करते हैं जिसमें लगभग आकृति को मापने की आवश्यकता नहीं होती है। वे ऐसा करते हैं: यदि उन्हें ऐसे बिंदु मिलते हैं जो सेल के कोने में आते हैं या पूर्णांक निर्देशांक होते हैं, तो केवल उन्हें ही ध्यान में रखा जाता है। फिर यह पता लगाने के लिए कि क्षेत्रफल क्या है, पिक द्वारा सिद्ध सूत्र का उपयोग करें। पॉलीलाइन के अंदर स्थित बिंदुओं की संख्या को उस पर पड़े आधे बिंदुओं के साथ जोड़ना आवश्यक है, और एक घटाना है, अर्थात इसकी गणना इस तरह से की जाती है:

जहां सी, डी - क्रमशः पूरे पॉलीलाइन के अंदर और अंदर स्थित बिंदुओं की संख्या।

समतल आकृतियों के क्षेत्रफल के सभी सूत्र

एक समद्विबाहु समलम्ब का क्षेत्रफल

1. भुजाओं और कोणों के संदर्भ में समद्विबाहु समलंब के क्षेत्रफल का सूत्र

ए - निचला आधार

बी - शीर्ष आधार

सी - बराबर पक्ष

α - निचले आधार पर कोण

पक्षों के संदर्भ में एक समद्विबाहु समलम्ब के क्षेत्रफल का सूत्र, (S):

पक्षों और कोणों के संदर्भ में एक समद्विबाहु समलम्ब के क्षेत्रफल का सूत्र, (S):

2. खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या के पदों में समद्विबाहु समलंब के क्षेत्रफल का सूत्र

R- खुदा हुआ वृत्त की त्रिज्या

D- खुदा हुआ वृत्त का व्यास

ओ - खुदा हुआ वृत्त केंद्र

H- समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई

α, β - समलम्बाकार कोण

एक समद्विबाहु समलम्ब के क्षेत्रफल के लिए सूत्र, उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या के संदर्भ में, (S):

FAIR, एक समद्विबाहु समलम्बाकार में एक उत्कीर्ण वृत्त के लिए:

3. विकर्णों और उनके बीच के कोण के संदर्भ में एक समद्विबाहु समलंब के क्षेत्रफल का सूत्र

एक समलम्ब चतुर्भुज का d-विकर्ण

α,β- विकर्णों के बीच के कोण

विकर्णों और उनके बीच के कोण के संदर्भ में एक समद्विबाहु समलंब के क्षेत्रफल का सूत्र, (S):

4. आधार पर मध्य रेखा, पार्श्व पक्ष और कोण के माध्यम से एक समद्विबाहु समलम्बाकार क्षेत्र के लिए सूत्र

सी-साइड

एम- ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा

α, β - आधार पर कोण

आधार पर मध्य रेखा, पार्श्व पक्ष और कोण के संदर्भ में एक समद्विबाहु समलम्ब के क्षेत्रफल का सूत्र,

(एस):

5. आधारों और ऊंचाई के संदर्भ में समद्विबाहु समलंब के क्षेत्रफल का सूत्र

ए - निचला आधार

बी - शीर्ष आधार

एच - ट्रेपोजॉइड की ऊंचाई

आधार और ऊंचाई के संदर्भ में एक समद्विबाहु समलंब के क्षेत्रफल का सूत्र, (S):

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसमें एक भुजा और दो कोण दिए गए हों, सूत्र।

ए, बी, सी - त्रिभुज के किनारे

α, β, γ - विपरीत कोण

एक भुजा और दो कोणों (S) से गुजरने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल:

एक नियमित बहुभुज के क्षेत्रफल का सूत्र

ए - बहुभुज पक्ष

n - पक्षों की संख्या

एक नियमित बहुभुज का क्षेत्रफल, (S):

अर्ध-परिधि (एस) के संदर्भ में त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए (हेरोनियन) सूत्र:

एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

एक समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र।

a - त्रिभुज की भुजा

एच - ऊंचाई

समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें?

बी - त्रिभुज का आधार

ए - बराबर पक्ष

एच - ऊंचाई

3. चार भुजाओं के संदर्भ में समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र

ए - निचला आधार

बी - शीर्ष आधार

सी, डी - पक्ष

पक्षों और विकर्णों पर समलम्ब चतुर्भुज के परिचालित वृत्त की त्रिज्या

ए - ट्रेपोजॉइड के किनारे

सी - निचला आधार

बी - शीर्ष आधार

डी - विकर्ण

एच - ऊंचाई

एक समलम्ब चतुर्भुज के परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या का सूत्र, (R)

भुजाओं के अनुदिश एक समद्विबाहु त्रिभुज के परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए

एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाओं को जानकर, आप इस त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

ए, बी - त्रिभुज के किनारे

एक समद्विबाहु त्रिभुज (R) के परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या:

एक षट्भुज में एक उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या

ए - षट्भुज की ओर

एक षट्भुज में एक उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या, (r):

एक समचतुर्भुज में उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या

r - खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या

a - समचतुर्भुज की ओर

डी, डी - विकर्ण

एच - हीरे की ऊंचाई

एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज में एक उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या

सी - निचला आधार

बी - शीर्ष आधार

ए - पक्ष

एच - ऊंचाई

एक समकोण त्रिभुज में उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या

ए, बी - त्रिभुज के पैर

सी - कर्ण

एक समद्विबाहु त्रिभुज में एक उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या

ए, बी - त्रिभुज के किनारे

सिद्ध कीजिए कि उत्कीर्ण चतुर्भुज का क्षेत्रफल है

\/(पी - ए) (पी - बी) (पी - सी) (पी - डी),

जहाँ p अर्ध-परिधि है और a, b, c और d चतुर्भुज की भुजाएँ हैं।

सिद्ध कीजिए कि एक वृत्त में अंकित चतुर्भुज का क्षेत्रफल होता है

1/2 (ab + cb) sin α, जहाँ a, b, c और d चतुर्भुज की भुजाएँ हैं और α भुजाओं a और b के बीच का कोण है।

एस = √ [ए ƀ सी डी] पाप ½ (α + β)। - FB.ru पर और पढ़ें:

एक स्वेच्छ चतुर्भुज का क्षेत्रफल (चित्र 1.13) इसकी भुजाओं a, b, c और सम्मुख कोणों के एक युग्म के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

जहाँ p चतुर्भुज का अर्धपरिधि है।

एक वृत्त () में अंकित चतुर्भुज का क्षेत्रफल (चित्र 1.14, क) ब्रह्मगुप्त सूत्र का उपयोग करके गणना की जाती है

और वर्णित (चित्र। 1.14, बी) () - सूत्र के अनुसार

यदि चतुर्भुज को एक ही समय में अंकित और वर्णित किया जाए (चित्र 1.14, c), तो सूत्र काफी सरल हो जाता है:

पीक फॉर्मूला

चेकर पेपर पर बहुभुज के क्षेत्र का अनुमान लगाने के लिए, यह गणना करने के लिए पर्याप्त है कि यह बहुभुज कितनी कोशिकाओं को कवर करता है (हम एक इकाई के रूप में सेल के क्षेत्र को लेते हैं)। अधिक सटीक रूप से, यदि एस बहुभुज का क्षेत्र है, तो उन कोशिकाओं की संख्या है जो पूरी तरह से बहुभुज के अंदर स्थित हैं, और उन कोशिकाओं की संख्या है जिनमें बहुभुज के इंटीरियर के साथ कम से कम एक सामान्य बिंदु है।

हम नीचे केवल ऐसे बहुभुजों पर विचार करेंगे, जिनके सभी कोने चेकर पेपर के नोड्स पर स्थित हैं - उनमें जहां ग्रिड लाइनें प्रतिच्छेद करती हैं। यह पता चला है कि ऐसे बहुभुजों के लिए, आप निम्न सूत्र निर्दिष्ट कर सकते हैं:

क्षेत्र कहाँ है, r उन नोड्स की संख्या है जो बहुभुज के अंदर सख्ती से स्थित हैं।

1899 में इसे खोजने वाले गणितज्ञ के नाम पर इस सूत्र को "पीक फॉर्मूला" कहा जाता है।

एक क्षेत्र क्या है?

क्षेत्र - एक बंद ज्यामितीय आकृति (वृत्त, वर्ग, त्रिभुज, आदि) की एक विशेषता, जो इसके आकार को दर्शाती है। क्षेत्रफल को वर्ग सेंटीमीटर, मीटर आदि में मापा जाता है। पत्र द्वारा निरूपित एस(वर्ग)।

त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

एस = एक एच

कहाँ पे एक- आधार लंबाई एचआधार पर खींचे गए त्रिभुज की ऊंचाई है।

इसके अलावा, आधार को नीचे नहीं होना चाहिए। वह भी करेगा।

यदि त्रिभुज कुंठित, तो ऊंचाई आधार की निरंतरता तक गिरती है:

यदि त्रिभुज आयताकार, तो आधार और ऊँचाई उसके पैर हैं:

2. एक और सूत्र, जो कम उपयोगी नहीं है, लेकिन जिसे किसी कारण से हमेशा भुला दिया जाता है:

एस = ए बी पाप

कहाँ पे एकतथा बीएक त्रिभुज की दो भुजाएँ पापइन भुजाओं के बीच के कोण की ज्या है।

मुख्य शर्त यह है कि कोण दो ज्ञात पक्षों के बीच लिया जाता है।

3. तीन भुजाओं के क्षेत्रफल का सूत्र (बगुला का सूत्र):

एस =

कहाँ पे एक, बीतथा साथत्रिभुज की भुजाएँ हैं, तथा आर -अर्धपरिमापी। पी = (ए+बी+सी)/2.

4. एक त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या के पदों में:

एस =

कहाँ पे एक, बीतथा साथत्रिभुज की भुजाएँ हैं, तथा आर-परिचालित वृत्त की त्रिज्या।

5. उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या के पदों में त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र:

एस = पी आर

कहाँ पे आर -एक त्रिभुज का अर्धपरिमाप, तथा आर-उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या।

एक आयत का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

1. एक आयत का क्षेत्रफल काफी सरल होता है:

एस =एक बी

कोई तरकीब नहीं।

एक वर्ग का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

1. चूँकि एक वर्ग एक आयत है जिसकी सभी भुजाएँ समान हैं, इस पर भी यही सूत्र लागू होता है:

एस =एक ए = ए2

2. साथ ही, एक वर्ग का क्षेत्रफल उसके विकर्ण से ज्ञात किया जा सकता है:

एस = डी 2

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

1. समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:

एस =एक एच

यह इस तथ्य के कारण है कि यदि आप दाईं ओर से एक समकोण त्रिभुज को काटते हैं और इसे बाईं ओर जोड़ते हैं, तो आपको एक आयत मिलता है:

2. साथ ही, एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल दोनों भुजाओं के बीच के कोण से ज्ञात किया जा सकता है:

एस =एक बी sinα

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

एक समचतुर्भुज अनिवार्य रूप से एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें सभी भुजाएँ समान होती हैं। इसलिए, उसी क्षेत्र के सूत्र उस पर लागू होते हैं।

1. ऊंचाई के संदर्भ में समचतुर्भुज क्षेत्र:

एस =एक एच

ज्यामिति में समस्याओं को हल करने के लिए, आपको सूत्रों को जानना होगा - जैसे कि त्रिभुज का क्षेत्रफल या समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल - साथ ही सरल तरकीबें, जिनके बारे में हम बात करेंगे।

सबसे पहले, आइए आंकड़ों के क्षेत्रफलों के सूत्र सीखें। हमने उन्हें विशेष रूप से एक सुविधाजनक तालिका में एकत्र किया है। प्रिंट करें, सीखें और आवेदन करें!

बेशक, सभी ज्यामिति सूत्र हमारी तालिका में नहीं हैं। उदाहरण के लिए, गणित में प्रोफाइल परीक्षा के दूसरे भाग में ज्यामिति और स्टीरियोमेट्री में समस्याओं को हल करने के लिए, त्रिकोण के क्षेत्र के लिए अन्य सूत्रों का भी उपयोग किया जाता है। हम आपको उनके बारे में जरूर बताएंगे।

लेकिन क्या होगा यदि आपको एक समलम्बाकार या त्रिभुज का क्षेत्रफल नहीं, बल्कि किसी जटिल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की आवश्यकता है? सार्वभौमिक तरीके हैं! हम उन्हें FIPI टास्क बैंक के उदाहरणों का उपयोग करके दिखाएंगे।

1. गैर-मानक आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? उदाहरण के लिए, एक मनमाना चतुर्भुज? एक सरल तकनीक - आइए इस आंकड़े को उन लोगों में तोड़ दें जिनके बारे में हम सभी जानते हैं, और इसका क्षेत्रफल ज्ञात करें - इन आंकड़ों के क्षेत्रों के योग के रूप में।

इस चतुर्भुज को एक क्षैतिज रेखा से दो त्रिभुजों में विभाजित करें जिनका एक उभयनिष्ठ आधार है। इन त्रिभुजों की ऊँचाइयाँ और के बराबर हैं। तब चतुर्भुज का क्षेत्रफल दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है: .

उत्तर: ।

2. कुछ मामलों में, आकृति के क्षेत्र को किसी भी क्षेत्र के अंतर के रूप में दर्शाया जा सकता है।

यह गणना करना इतना आसान नहीं है कि इस त्रिभुज में आधार और ऊँचाई किसके बराबर है! लेकिन हम कह सकते हैं कि इसका क्षेत्रफल एक भुजा वाले वर्ग के क्षेत्रफल और तीन समकोण त्रिभुजों के बीच के अंतर के बराबर है। उन्हें तस्वीर में देखें? हम पाते हैं: ।

उत्तर: ।

3. कभी-कभी किसी कार्य में संपूर्ण आकृति का नहीं, बल्कि उसके भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक होता है। आमतौर पर हम एक क्षेत्र के क्षेत्र के बारे में बात कर रहे हैं - एक वृत्त का हिस्सा। त्रिज्या के एक वृत्त के एक क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करें, जिसकी चाप की लंबाई बराबर है।

इस चित्र में हम एक वृत्त का भाग देखते हैं। पूरे वृत्त का क्षेत्रफल , के बराबर है। यह पता लगाना बाकी है कि वृत्त के किस भाग को दर्शाया गया है। चूँकि पूरे वृत्त की लंबाई (से) है, और इस त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई समान है, इसलिए चाप की लंबाई पूरे वृत्त की लंबाई से कई गुना कम है। यह चाप जिस कोण पर टिका है वह भी एक पूर्ण वृत्त (अर्थात डिग्री) से कई गुना कम है। इसका मतलब है कि सेक्टर का क्षेत्रफल पूरे सर्कल के क्षेत्रफल से कई गुना कम होगा।