भिन्नात्मक संख्याओं को एक स्तंभ से कैसे विभाजित करें। दशमलव अंश से विभाजन - ज्ञान हाइपरमार्केट

स्कूल में, इन क्रियाओं का अध्ययन सरल से जटिल तक किया जाता है। इसलिए, सरल उदाहरणों का उपयोग करके उपरोक्त कार्यों को करने के लिए निश्चित रूप से एल्गोरिथम में महारत हासिल करना आवश्यक है। ताकि बाद में दशमलव अंशों को एक कॉलम में विभाजित करने में कोई कठिनाई न हो। आखिरकार, यह ऐसे कार्यों का सबसे कठिन संस्करण है।

इस विषय के लिए निरंतर अध्ययन की आवश्यकता है। ज्ञान में अंतराल यहाँ अस्वीकार्य हैं। यह सिद्धांत प्रत्येक छात्र को पहली कक्षा में पहले से ही सीखना चाहिए। इसलिए, यदि आप कई पाठों को एक पंक्ति में छोड़ देते हैं, तो आपको स्वयं सामग्री में महारत हासिल करनी होगी। नहीं तो आगे चलकर सिर्फ गणित ही नहीं बल्कि इससे जुड़े अन्य विषयों में भी दिक्कतें आएंगी।

गणित के सफल अध्ययन के लिए दूसरी शर्त यह है कि जोड़, घटाव और गुणा में महारत हासिल करने के बाद ही किसी कॉलम में विभाजन के उदाहरणों पर आगे बढ़ना है।

यदि बच्चे ने गुणा तालिका नहीं सीखी है तो उसके लिए विभाजित करना कठिन होगा। वैसे, इसे पायथागॉरियन टेबल से सीखना बेहतर है। कुछ भी अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं है, और इस मामले में गुणा करना आसान है।

किसी कॉलम में प्राकृतिक संख्याओं का गुणा कैसे किया जाता है?

यदि किसी कॉलम में भाग और गुणा के उदाहरणों को हल करने में कठिनाई होती है, तो समस्या को गुणा से हल करना आवश्यक है। क्योंकि विभाजन गुणन का विलोम है:

1. दो संख्याओं का गुणा करने से पहले, आपको उन्हें ध्यान से देखने की आवश्यकता है। अधिक अंकों वाला (लंबा) चुनें, इसे पहले लिखें। इसके नीचे दूसरा रखें। इसके अलावा, संबंधित श्रेणी की संख्या उसी श्रेणी के अंतर्गत होनी चाहिए। अर्थात्, पहली संख्या का सबसे दाहिना अंक दूसरी संख्या के सबसे दाएँ अंक के ऊपर होना चाहिए।
2. नीचे की संख्या के सबसे दाहिने अंक को शीर्ष संख्या के प्रत्येक अंक से गुणा करें, दाईं ओर से शुरू करें। उत्तर को रेखा के नीचे इस प्रकार लिखिए कि उसका अंतिम अंक उस अंक के नीचे हो जिससे उसे गुणा किया गया था।
3. नीचे की संख्या के दूसरे अंक के साथ भी यही दोहराएं। लेकिन गुणन के परिणाम को एक अंक बाईं ओर स्थानांतरित किया जाना चाहिए। इस मामले में, इसका अंतिम अंक उसी के नीचे होगा जिससे इसे गुणा किया गया था।

इस गुणन को एक कॉलम में तब तक जारी रखें जब तक कि दूसरे गुणक की संख्या समाप्त न हो जाए। अब उन्हें फोल्ड करने की जरूरत है। यह वांछित उत्तर होगा।

दशमलव अंशों के एक स्तंभ में गुणा करने के लिए एल्गोरिथम

सबसे पहले, यह माना जाता है कि दशमलव अंश नहीं दिए गए हैं, लेकिन प्राकृतिक हैं। यही है, उनमें से अल्पविराम हटा दें और फिर पिछले मामले में बताए अनुसार आगे बढ़ें।

अंतर तब शुरू होता है जब उत्तर लिखा जाता है। इस बिंदु पर, उन सभी संख्याओं को गिनना आवश्यक है जो दोनों अंशों में दशमलव बिंदुओं के बाद हैं। उनमें से कितने आपको उत्तर के अंत से गिनने और वहां अल्पविराम लगाने की आवश्यकता है।

इस एल्गोरिथ्म को एक उदाहरण के साथ चित्रित करना सुविधाजनक है: 0.25 x 0.33:

विभाजित करना सीखना कैसे शुरू करें?

किसी कॉलम में विभाजन के उदाहरणों को हल करने से पहले, विभाजन के उदाहरण में दी गई संख्याओं के नामों को याद रखना चाहिए। उनमें से पहला (जो विभाजित करता है) विभाज्य है। दूसरा (इसके द्वारा विभाजित) एक भाजक है। उत्तर निजी है।

उसके बाद, एक साधारण रोजमर्रा के उदाहरण का उपयोग करते हुए, हम इस गणितीय ऑपरेशन का सार समझाएंगे। उदाहरण के लिए, यदि आप 10 मिठाइयाँ लेते हैं, तो उन्हें माँ और पिताजी के बीच समान रूप से बाँटना आसान होता है। लेकिन क्या होगा अगर आपको उन्हें अपने माता-पिता और भाई को बांटने की ज़रूरत है?

उसके बाद, आप विभाजन के नियमों से परिचित हो सकते हैं और उन्हें विशिष्ट उदाहरणों के साथ मास्टर कर सकते हैं। पहले सरल, और फिर अधिक से अधिक जटिल वाले।

संख्याओं को एक स्तंभ में विभाजित करने के लिए एल्गोरिथम

सबसे पहले, हम उन प्राकृतिक संख्याओं के लिए प्रक्रिया प्रस्तुत करते हैं जो एक अंक वाली संख्या से विभाज्य हैं। वे बहु-अंकीय विभाजक या दशमलव अंशों के लिए भी आधार होंगे। तभी यह माना जाता है कि इसमें छोटे बदलाव किए जा सकते हैं, लेकिन उस पर और बाद में:

• किसी कॉलम में विभाजन करने से पहले, आपको यह पता लगाना होगा कि भाज्य और भाजक कहाँ हैं।
• लाभांश लिखिए। इसके दाईं ओर डिवाइडर है।
• अंतिम कोने के पास बाईं ओर और नीचे एक कोने को ड्रा करें।
• अपूर्ण भाज्य का निर्धारण करें, अर्थात वह संख्या जो विभाजन के लिए न्यूनतम होगी। आमतौर पर इसमें एक अंक, अधिकतम दो होते हैं।
• वह अंक चुनें जो उत्तर में पहले लिखा जाएगा। यह वह संख्या होनी चाहिए जितनी बार भाजक भाज्य में फिट बैठता है।
• इस संख्या को भाजक से गुणा करने का परिणाम लिखिए।
• इसे अपूर्ण भाजक के अंतर्गत लिखिए। घटाव करें।
• जो भाग पहले ही विभाजित हो चुका है उसके बाद के पहले अंक को शेषफल पर ले जाएँ।
• उत्तर के लिए फिर से संख्या चुनें।
• गुणा और घटाव दोहराएं। यदि शेष शून्य है और लाभांश समाप्त हो गया है, तो उदाहरण हो गया है। अन्यथा, चरणों को दोहराएं: संख्या को ध्वस्त करें, संख्या उठाएं, गुणा करें, घटाएं।

भाजक में एक से अधिक अंक होने पर दीर्घ विभाजन को कैसे हल करें?

एल्गोरिथ्म स्वयं पूरी तरह से मेल खाता है जो ऊपर वर्णित किया गया था। अंतर अपूर्ण लाभांश में अंकों की संख्या होगी। अब उनमें से कम से कम दो होने चाहिए, लेकिन यदि वे भाजक से कम निकले, तो पहले तीन अंकों के साथ काम करना चाहिए।

इस विभाजन में एक और सूक्ष्मता है। तथ्य यह है कि शेषफल और उसमें दी गई आकृति कभी-कभी भाजक द्वारा विभाज्य नहीं होती है। फिर यह माना जाता है कि क्रम में एक और आकृति का गुणन करना चाहिए। लेकिन साथ ही, उत्तर शून्य होना चाहिए। यदि तीन अंकों की संख्याओं को एक स्तंभ में विभाजित किया जाता है, तो दो से अधिक अंकों को हटाने की आवश्यकता हो सकती है। फिर नियम पेश किया जाता है: उत्तर में शून्य नीचे लिए गए अंकों की संख्या से एक कम होना चाहिए।

आप उदाहरण - 12082: 863 का उपयोग करके इस तरह के विभाजन पर विचार कर सकते हैं।

• इसमें अपूर्ण विभाज्य संख्या 1208 है। संख्या 863 इसमें केवल एक बार रखी गई है। इसलिए इसके जवाब में 1 लगाना है और 1208 के नीचे 863 लिखना है।
• घटाने के बाद शेषफल 345 है।
• उसके लिए आपको नंबर 2 को ध्वस्त करने की जरूरत है।
• संख्या 3452 में, 863 चार बार फिट बैठता है।
• उत्तर में चार लिखे जाने चाहिए। इसके अलावा, जब 4 से गुणा किया जाता है, तो यह संख्या प्राप्त होती है।
• घटाने के बाद शेषफल शून्य होता है। यानी विभाजन पूरा हो गया है।

उदाहरण में उत्तर 14 है।

क्या होगा यदि लाभांश शून्य में समाप्त हो जाए?

या कुछ शून्य? इस मामले में, शून्य शेष प्राप्त होता है, और लाभांश में अभी भी शून्य होते हैं। निराशा मत करो, सब कुछ जितना आसान लगता है उससे कहीं ज्यादा आसान है। अविभाजित रहने वाले सभी शून्यों को उत्तर देने के लिए पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए, आपको 400 को 5 से विभाजित करने की आवश्यकता है। अधूरा भाज्य 40 है। इसमें 8 बार पाँच रखा गया है। इसका मतलब है कि उत्तर 8 लिखा जाना चाहिए। घटाते समय कोई शेष नहीं रहता है। अर्थात विभाजन समाप्त हो जाता है, लेकिन लाभांश में शून्य रहता है। इसे उत्तर में जोड़ना होगा। इस प्रकार, 400 को 5 से भाग देने पर 80 प्राप्त होता है।

क्या होगा यदि आपको दशमलव को विभाजित करने की आवश्यकता है?

दोबारा, यह संख्या एक प्राकृतिक संख्या की तरह दिखती है, यदि अल्पविराम के लिए आंशिक भाग से पूर्णांक भाग को अलग नहीं किया जाता है। इससे पता चलता है कि एक कॉलम में दशमलव अंशों का विभाजन ऊपर वर्णित के समान है।

अंतर केवल अल्पविराम होगा। यह माना जाता है कि जैसे ही आंशिक भाग से पहला अंक नीचे ले जाया जाता है, इसका तुरंत उत्तर दिया जाना चाहिए। दूसरे तरीके से, इसे इस तरह कहा जा सकता है: पूर्णांक भाग का विभाजन समाप्त हो गया है - अल्पविराम लगाएं और समाधान को आगे जारी रखें।

दशमलव अंशों वाले कॉलम में विभाजित करने के उदाहरणों को हल करते समय, आपको यह याद रखना होगा कि दशमलव बिंदु के बाद किसी भी संख्या में शून्य को भाग में निर्दिष्ट किया जा सकता है। कभी-कभी संख्याओं को अंत तक पूरा करने के लिए यह आवश्यक होता है।

दो दशमलव का विभाजन

यह जटिल लग सकता है। लेकिन शुरुआत में ही। आखिरकार, एक प्राकृतिक संख्या द्वारा अंशों के एक स्तंभ में विभाजन कैसे किया जाता है, यह पहले से ही स्पष्ट है। इसलिए, हमें इस उदाहरण को पहले से ही परिचित रूप में कम करने की आवश्यकता है।

इसे आसान बनाएं। आपको दोनों अंशों को 10, 100, 1,000, या 10,000, या यदि कार्य की आवश्यकता हो तो एक लाख से गुणा करना होगा। भाजक के दशमलव भाग में कितने शून्य हैं, इसके आधार पर गुणक को चुना जाना चाहिए। यही है, परिणामस्वरूप, यह पता चला है कि आपको अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना होगा।

और यह सबसे खराब स्थिति में होगा। आखिरकार, यह पता चल सकता है कि इस ऑपरेशन से लाभांश पूर्णांक बन जाता है। फिर अंशों के एक स्तंभ में विभाजन के साथ उदाहरण का समाधान सरलतम विकल्प में घटाया जाएगा: प्राकृतिक संख्याओं के साथ संचालन।

एक उदाहरण के रूप में: 28.4 को 3.2 से विभाजित किया गया:

• सबसे पहले, उन्हें 10 से गुणा किया जाना चाहिए, क्योंकि दूसरी संख्या में दशमलव बिंदु के बाद केवल एक अंक होता है। गुणा करने पर 284 और 32 मिलेंगे।
• उनका बंटवारा होना तय है। और एक बार में पूरी संख्या 284 बटा 32 हो जाती है।
• उत्तर के लिए पहली सुमेलित संख्या 8 है। इसे गुणा करने पर 256 प्राप्त होता है। शेषफल 28 आता है।
• पूर्णांक भाग का विभाजन समाप्त हो गया है, और उत्तर में एक अल्पविराम लगाया जाना चाहिए।
• 0 शेष रहने के लिए ध्वस्त करें।
• फिर से 8 लीजिए।
• शेषफल: 24. इसमें एक और 0 जोड़ दें।
• अब आपको 7 लेने की जरूरत है।
• गुणन का परिणाम 224 है, शेष 16 है।
• एक और 0 तोड़ो। 5 लो और ठीक 160 पाओ। शेष 0 है।

डिवीजन पूरा हुआ। 28.4:3.2 उदाहरण का परिणाम 8.875 है।

क्या होगा यदि विभाजक 10, 100, 0.1, या 0.01 है?

गुणा के साथ, यहाँ लंबे विभाजन की आवश्यकता नहीं है। अंकों की एक निश्चित संख्या के लिए अल्पविराम को सही दिशा में ले जाना पर्याप्त है। इसके अलावा, इस सिद्धांत के अनुसार, आप पूर्णांक और दशमलव अंश दोनों के उदाहरणों को हल कर सकते हैं।

इसलिए, यदि आपको 10, 100 या 1000 से विभाजित करने की आवश्यकता है, तो अल्पविराम को बाईं ओर ले जाया जाता है जितने अंकों में भाजक में शून्य होते हैं। यानी जब कोई संख्या 100 से विभाज्य हो, तो अल्पविराम को दो अंकों से बाईं ओर जाना चाहिए। यदि लाभांश एक प्राकृतिक संख्या है, तो यह माना जाता है कि इसके अंत में अल्पविराम है।

यह क्रिया उसी परिणाम का उत्पादन करती है जैसे कि संख्या को 0.1, 0.01, या 0.001 से गुणा किया जाना था। इन उदाहरणों में, अल्पविराम को भिन्नात्मक भाग की लंबाई के बराबर अंकों की संख्या से बाईं ओर ले जाया जाता है।

जब 0.1 (आदि.) से भाग दिया जाता है या 10 (आदि) से गुणा किया जाता है, तो अल्पविराम को एक अंक (या दो, तीन, शून्य की संख्या या भिन्नात्मक भाग की लंबाई के आधार पर) से दाईं ओर जाना चाहिए।

यह ध्यान देने योग्य है कि लाभांश में दिए गए अंकों की संख्या पर्याप्त नहीं हो सकती है। फिर लापता शून्य को बाईं ओर (पूर्णांक भाग में) या दाईं ओर (दशमलव बिंदु के बाद) सौंपा जा सकता है।

आवधिक अंशों का विभाजन

इस मामले में, आप एक कॉलम में विभाजित होने पर सटीक उत्तर प्राप्त नहीं कर पाएंगे। यदि एक अवधि के साथ एक अंश का सामना करना पड़ता है तो एक उदाहरण कैसे हल करें? यहां साधारण अंशों की ओर बढ़ना आवश्यक है। और फिर पहले अध्ययन किए गए नियमों के अनुसार उनका विभाजन करें।

उदाहरण के लिए, आपको 0, (3) को 0.6 से विभाजित करने की आवश्यकता है। पहला अंश आवधिक है। इसे 3/9 के अंश में बदल दिया जाता है, जो घटाने के बाद 1/3 देगा। दूसरा अंश अंतिम दशमलव है। साधारण को लिखना और भी आसान है: 6/10, जो 3/5 के बराबर है। साधारण भिन्नों को विभाजित करने का नियम विभाजन को गुणन से और भाजक को किसी संख्या के व्युत्क्रम से बदलने के लिए निर्धारित करता है। यही है, उदाहरण 1/3 को 5/3 से गुणा करने के लिए नीचे आता है। उत्तर 5/9 है।

यदि उदाहरण के अलग-अलग भिन्न हैं...

फिर कई संभावित समाधान हैं। सबसे पहले, आप साधारण भिन्न को दशमलव में बदलने का प्रयास कर सकते हैं। फिर उपरोक्त एल्गोरिथम के अनुसार पहले से ही दो दशमलवों को विभाजित करें।

दूसरे, प्रत्येक अंतिम दशमलव अंश को एक सामान्य अंश के रूप में लिखा जा सकता है। यह हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है। अधिकतर, ऐसे अंश बहुत बड़े होते हैं। हाँ, और उत्तर बोझिल हैं। इसलिए, पहला दृष्टिकोण अधिक बेहतर माना जाता है।

§ 107. दशमलव अंशों का जोड़।

दशमलव को जोड़ने का कार्य उसी प्रकार किया जाता है जिस प्रकार पूर्ण संख्याओं को जोड़ने पर किया जाता है। आइए इसे उदाहरणों के साथ देखें।

1) 0.132 + 2.354। आइए एक के नीचे एक शर्तों पर हस्ताक्षर करें।

यहां, 4 हजारवें के साथ 2 हजारवें के जोड़ से, 6 हजारवां प्राप्त हुआ;
5 सौवें के साथ 3 सौवें के योग से, यह 8 सौवां निकला;
1 दसवें को 3 दसवें -4 दसवें के साथ जोड़ने से
2 पूर्णांकों के साथ 0 पूर्णांक जोड़ने से - 2 पूर्णांक।

2) 5,065 + 7,83.

दूसरे कार्यकाल में कोई हजारवाँ हिस्सा नहीं है, इसलिए यह महत्वपूर्ण है कि एक दूसरे के तहत शर्तों पर हस्ताक्षर करते समय गलतियाँ न करें।

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

यहाँ, हज़ारवाँ जोड़ने पर, हमें 21 हज़ारवाँ भाग मिलता है; हमने 1 को हज़ारवें के नीचे लिखा, और 2 को सौवें में जोड़ा, इसलिए सौवें स्थान पर हमें निम्नलिखित शब्द मिले: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; संक्षेप में, वे 19 सौवें देते हैं, हमने 9 पर सौवें के नीचे हस्ताक्षर किए, और 1 को दसवें के रूप में गिना गया, आदि।

इस प्रकार, दशमलव अंशों को जोड़ते समय, निम्नलिखित क्रम का पालन किया जाना चाहिए: अंशों को एक दूसरे के नीचे हस्ताक्षरित किया जाता है ताकि सभी शब्दों में समान अंक एक दूसरे के नीचे हों और सभी अल्पविराम एक ही ऊर्ध्वाधर स्तंभ में हों; कुछ शब्दों के दशमलव स्थानों के दाईं ओर, वे कम से कम मानसिक रूप से, शून्य की इतनी संख्या का गुणन करते हैं कि दशमलव बिंदु के बाद के सभी पदों में अंकों की संख्या समान होती है। फिर, जोड़ अंकों द्वारा किया जाता है, दाईं ओर से शुरू होता है, और परिणामी राशि में एक अल्पविराम को उसी ऊर्ध्वाधर स्तंभ में रखा जाता है जैसा कि इन शर्तों में है।

§ 108. दशमलव अंशों का घटाव।

दशमलव को घटाना उसी तरह से किया जाता है जैसे पूर्ण संख्याओं को घटाया जाता है। आइए इसे उदाहरणों के साथ दिखाते हैं।

1) 9.87 - 7.32। चलिए घटाव के नीचे हस्ताक्षर करते हैं ताकि एक ही अंक की इकाइयां एक दूसरे के नीचे हों:

2) 16.29 - 4.75। पहले उदाहरण की तरह, माइन्यूएंड के तहत सबट्रेंड पर हस्ताक्षर करें:

दशमांश घटाने के लिए, 6 में से एक पूर्ण इकाई लेनी होती है और उसे दशमांश में विभाजित करना होता है।

3) 14.0213-5.350712। माइनुएंड के तहत सबट्रेंड पर हस्ताक्षर करते हैं:

घटाव निम्नानुसार किया गया था: चूंकि हम 0 से 2 मिलियन घटा नहीं सकते हैं, हमें बाईं ओर के निकटतम अंक का उल्लेख करना चाहिए, अर्थात सौ-हजारवां, लेकिन सौ-हजारवें स्थान पर भी शून्य है, इसलिए हम 1 लेते हैं 3 दस-हजारवें से दस-हजारवां और हम इसे सौ-हजारवां में विभाजित करते हैं, हमें 10 सौ-हजारवां मिलता है, जिसमें से 9 सौ-हजारवां हिस्सा सौ-हजारवां की श्रेणी में छोड़ दिया जाता है, और 1 लाख-हजारवां हिस्सा लाखों में कुचल दिया जाता है, हमें 10 मिलियन मिलते हैं। इस प्रकार, अंतिम तीन अंकों में, हमें मिला: लाखवां 10, सौ-हज़ारवां 9, दस-हज़ारवां 2। अधिक स्पष्टता और सुविधा के लिए (भूलने के लिए नहीं), इन संख्याओं को घटाए गए भिन्नात्मक अंकों के ऊपर लिखा जाता है। अब हम घटाना शुरू कर सकते हैं। हम 10 मिलियन में से 2 मिलियन घटाते हैं, हमें 8 मिलियन मिलता है; 9 सौ-हज़ारवें भाग में से 1 सौ-हजार घटाएँ, हमें 8 सौ-हज़ारवाँ भाग आदि मिलते हैं।

इस प्रकार, दशमलव अंशों को घटाते समय, निम्न क्रम देखा जाता है: घटाए गए को कम के तहत हस्ताक्षरित किया जाता है ताकि समान अंक एक के नीचे एक हों और सभी अल्पविराम एक ही ऊर्ध्वाधर स्तंभ में हों; दाईं ओर, वे कम से कम मानसिक रूप से, कम या घटाए गए इतने सारे शून्यों को विशेषता देते हैं ताकि उनके पास अंकों की समान संख्या हो, फिर अंकों से घटाएं, दाईं ओर से शुरू करें, और परिणामी अंतर में अल्पविराम लगाएं एक ही ऊर्ध्वाधर स्तंभ जिसमें यह कम और घटा हुआ है।

§ 109. दशमलव अंशों का गुणन।

दशमलव भिन्नों को गुणा करने के कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

इन संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करने के लिए, हम इस प्रकार तर्क कर सकते हैं: यदि गुणनखंड को 10 गुना बढ़ा दिया जाए, तो दोनों गुणनखंड पूर्णांक होंगे और फिर हम उन्हें पूर्णांकों को गुणा करने के नियमों के अनुसार गुणा कर सकते हैं। लेकिन हम जानते हैं कि जब किसी एक कारक को कई गुना बढ़ा दिया जाता है, तो उत्पाद उसी मात्रा से बढ़ जाता है। इसका मतलब यह है कि जो संख्या पूर्णांक कारकों, यानी 28 को 23 से गुणा करने से आती है, वह वास्तविक उत्पाद से 10 गुना अधिक है, और सही उत्पाद प्राप्त करने के लिए, आपको प्राप्त उत्पाद को 10 गुना कम करना होगा। इसलिए, यहां आपको एक बार 10 से गुणा और 10 से एक बार विभाजन करना है, लेकिन 10 से गुणा और भाग करना अल्पविराम को एक चिह्न से दाएं और बाएं ले जाकर किया जाता है। इसलिए, आपको यह करने की आवश्यकता है: गुणक में, अल्पविराम को एक चिन्ह से दाईं ओर ले जाएँ, इसमें से यह 23 के बराबर होगा, फिर आपको परिणामी पूर्णांकों को गुणा करने की आवश्यकता है:

यह उत्पाद असली से 10 गुना बड़ा है। इसलिए, इसे 10 गुना कम किया जाना चाहिए, जिसके लिए हम अल्पविराम को एक वर्ण बाईं ओर ले जाते हैं। इस प्रकार, हम प्राप्त करते हैं

28 2,3 = 64,4.

सत्यापन उद्देश्यों के लिए, आप एक भाजक के साथ एक दशमलव अंश लिख सकते हैं और साधारण अंशों को गुणा करने के नियम के अनुसार एक क्रिया कर सकते हैं, अर्थात

2) 12,27 0,021.

इस उदाहरण और पिछले वाले के बीच का अंतर यह है कि यहां दोनों कारकों को दशमलव अंशों द्वारा दर्शाया गया है। लेकिन यहां, गुणन की प्रक्रिया में, हम अल्पविरामों पर ध्यान नहीं देंगे, यानी हम अस्थायी रूप से गुणक को 100 गुना और गुणक को 1,000 गुना बढ़ा देंगे, जिससे उत्पाद 100,000 गुना बढ़ जाएगा। इस प्रकार, 1227 को 21 से गुणा करने पर, हम पाते हैं:

1 227 21 = 25 767.

यह ध्यान में रखते हुए कि परिणामी उत्पाद वास्तविक से 100,000 गुना अधिक है, हमें अब इसमें अल्पविराम लगाकर इसे 100,000 गुना कम करना चाहिए, तब हमें यह मिलता है:

32,27 0,021 = 0,25767.

की जाँच करें:

इस प्रकार, दो दशमलव अंशों को गुणा करने के लिए, अल्पविरामों पर ध्यान दिए बिना, उन्हें पूर्णांकों के रूप में गुणा करना और उत्पाद में अल्पविराम के साथ दाईं ओर अलग करने के लिए कई दशमलव स्थानों के रूप में गुणक और में थे। कारक एक साथ।

पिछले उदाहरण में, परिणाम पाँच दशमलव स्थानों वाला गुणनफल है। यदि ऐसी अधिक सटीकता की आवश्यकता नहीं है, तो दशमलव अंश का पूर्णांकन किया जाता है। गोल करते समय, आपको उसी नियम का उपयोग करना चाहिए जो पूर्णांकों के लिए इंगित किया गया था।

§ 110. तालिकाओं का उपयोग करके गुणन।

दशमलव का गुणन कभी-कभी तालिकाओं का उपयोग करके किया जा सकता है। इस उद्देश्य के लिए, उदाहरण के लिए, आप दो अंकों की संख्याओं के गुणन सारणी का उपयोग कर सकते हैं, जिसका विवरण पहले दिया गया था।

1) 53 को 1.5 से गुणा करें।

हम 53 को 15 से गुणा करेंगे। तालिका में, यह उत्पाद 795 के बराबर है। हमने 53 का गुणनफल 15 पाया, लेकिन हमारा दूसरा कारक 10 गुना कम था, जिसका अर्थ है कि उत्पाद को 10 गुना कम करना होगा, अर्थात।

53 1,5 = 79,5.

2) 5.3 को 4.7 से गुणा करें।

सबसे पहले, तालिका में 53 बटा 47 का गुणनफल ज्ञात करते हैं, यह 2491 होगा। लेकिन चूँकि हमने गुण्य और गुणक को कुल 100 गुना बढ़ा दिया है, तो परिणामी गुणनफल जितना होना चाहिए उससे 100 गुना बड़ा है; इसलिए हमें इस उत्पाद को 100 के कारक से कम करना होगा:

5,3 4,7 = 24,91.

3) 0.53 को 7.4 से गुणा करें।

पहले हम सारणी में 53 बटा 74 का गुणनफल पाते हैं; यह 3,922 होगा।लेकिन चूंकि हमने गुणक को 100 गुना और गुणक को 10 गुना बढ़ा दिया है, इसलिए गुणनफल 1,000 गुना बढ़ गया है; इसलिए हमें अब इसे 1,000 के कारक से कम करना होगा:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. दशमलव का विभाजन।

हम दशमलव भाग को इस क्रम में देखेंगे:

1. एक पूर्णांक द्वारा दशमलव अंश का विभाजन,

1. एक पूर्णांक द्वारा दशमलव अंश का विभाजन।

1) 2.46 को 2 से विभाजित करें।

हम 2 पहले पूर्णांक, फिर दसवें और अंत में सौवें से विभाजित होते हैं।

2) 32.46 को 3 से विभाजित करें।

32,46: 3 = 10,82.

हमने 3 दहाई को 3 से विभाजित किया, फिर हमने 2 इकाइयों को 3 से विभाजित करना शुरू किया; चूँकि भाज्य की इकाइयों की संख्या (2) भाजक (3) से कम है, हमें भागफल में 0 लगाना पड़ा; इसके अलावा, शेष के लिए हमने 4 दसवें हिस्से को ध्वस्त कर दिया और 24 दसवें हिस्से को 3 से विभाजित कर दिया; निजी तौर पर 8 दसवां भाग प्राप्त किया और अंत में 6 सौवां भाग विभाजित किया।

3) 1.2345 को 5 से विभाजित करें।

1,2345: 5 = 0,2469.

यहाँ, पहले स्थान पर भागफल में, शून्य पूर्णांक निकला, क्योंकि एक पूर्णांक 5 से विभाज्य नहीं है।

4) 13.58 को 4 से विभाजित करें।

इस उदाहरण की ख़ासियत यह है कि जब हमें निजी तौर पर 9 सौवां हिस्सा मिला, तो 2 सौवें के बराबर शेष मिला, हमने इस शेष को हजारवें में विभाजित किया, 20 हजारवां मिला और विभाजन को अंत तक लाया।

नियम।एक पूर्णांक द्वारा एक दशमलव अंश का विभाजन उसी तरह से किया जाता है जैसे पूर्णांक का विभाजन, और परिणामी अवशेषों को दशमलव अंशों में परिवर्तित किया जाता है, अधिक से अधिक छोटे; विभाजन तब तक जारी रहता है जब तक कि शेषफल शून्य न हो जाए।

2. दशमलव अंश का दशमलव अंश से विभाजन।

1) 2.46 को 0.2 से विभाजित करें।

हम पहले से ही जानते हैं कि दशमलव अंश को पूर्णांक से कैसे विभाजित किया जाता है। आइए विचार करें कि क्या विभाजन के इस नए मामले को भी पिछले वाले से कम किया जा सकता है? एक समय में, हमने भागफल की एक उल्लेखनीय संपत्ति पर विचार किया, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि यह समान संख्या में भाजक और भाजक को बढ़ाने या घटाने के दौरान अपरिवर्तित रहता है। यदि विभाजक पूर्णांक होता तो हम आसानी से हमें दी गई संख्याओं का विभाजन कर सकते थे। ऐसा करने के लिए, इसे 10 गुना बढ़ाना पर्याप्त है, और सही भागफल प्राप्त करने के लिए, लाभांश को समान संख्या में, यानी 10 गुना बढ़ाना आवश्यक है। तब इन संख्याओं के विभाजन को ऐसी संख्याओं के विभाजन से बदल दिया जाएगा:

और निजी तौर पर कोई संशोधन करने की आवश्यकता नहीं है।

आइए यह विभाजन करते हैं:

अतः 2.46: 0.2 = 12.3।

2) 1.25 को 1.6 से विभाजित करें।

हम भाजक (1.6) को 10 गुना बढ़ाते हैं; ताकि भागफल न बदले, हम भाज्य को 10 गुना बढ़ा देते हैं; 12 पूर्णांक 16 से विभाज्य नहीं हैं, इसलिए हम भागफल 0 में लिखते हैं और 125 दहाई को 16 से विभाजित करते हैं, हमें भागफल में 7 दसवां भाग मिलता है और शेषफल 13 होता है। हम 13 दहाई को सौवें में विभाजित करते हैं और 130 सौवें को 16 से विभाजित करते हैं, आदि। निम्नलिखित पर ध्यान दें:

a) जब भागफल में पूर्णांक प्राप्त नहीं होते हैं, तो उनके स्थान पर शून्य पूर्णांक लिख दिए जाते हैं;

ख) जब, भाज्य के अंक को शेषफल में ले जाने के बाद, एक संख्या प्राप्त होती है जो विभाजक द्वारा विभाज्य नहीं होती है, तो भागफल में शून्य लिखा जाता है;

ग) जब, लाभांश के अंतिम अंक को हटा दिए जाने के बाद, विभाजन समाप्त नहीं होता है, तो शेष को शून्य देकर, विभाजन जारी रहता है;

d) यदि लाभांश एक पूर्णांक है, तो इसे दशमलव अंश से विभाजित करते समय, इसे शून्य देकर इसकी वृद्धि की जाती है।

इस प्रकार, किसी संख्या को दशमलव अंश से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक में एक अल्पविराम को त्यागने की आवश्यकता होती है, और फिर भाजक में जितनी बार अल्पविराम गिराया जाता है, उतनी बार भाजक को बढ़ाते हैं, और फिर विभाजन के अनुसार विभाजन करते हैं। दशमलव अंश को पूर्णांक से विभाजित करने का नियम।

§ 112. अनुमानित भागफल।

पिछले पैराग्राफ में, हमने दशमलव अंशों के विभाजन पर विचार किया, और हमारे द्वारा हल किए गए सभी उदाहरणों में, विभाजन को अंत तक लाया गया, अर्थात, एक सटीक भागफल प्राप्त किया गया। हालाँकि, ज्यादातर मामलों में सटीक भागफल प्राप्त नहीं किया जा सकता है, चाहे हम विभाजन को कितनी भी दूर क्यों न बढ़ा दें। यहाँ ऐसा ही एक मामला है: 53 को 101 से विभाजित करें।

हम पहले ही भागफल में पाँच अंक प्राप्त कर चुके हैं, लेकिन विभाजन अभी तक समाप्त नहीं हुआ है और इस बात की कोई उम्मीद नहीं है कि यह कभी समाप्त होगा, क्योंकि जो संख्याएँ हमें पहले मिली हैं वे शेष में दिखाई देने लगती हैं। संख्याओं को भागफल में भी दोहराया जाएगा: जाहिर है, संख्या 7 के बाद संख्या 5 दिखाई देगी, फिर 2, और इसी तरह बिना अंत के। ऐसे मामलों में, विभाजन बाधित होता है और भागफल के पहले कुछ अंकों तक सीमित होता है। इसे प्राइवेट कहा जाता है अनुमानित।इस मामले में विभाजन कैसे करें, हम उदाहरणों के साथ दिखाएंगे।

25 को 3 से विभाजित करने की आवश्यकता है। यह स्पष्ट है कि पूर्णांक या दशमलव अंश के रूप में व्यक्त सटीक भागफल, इस तरह के विभाजन से प्राप्त नहीं किया जा सकता है। इसलिए, हम एक अनुमानित भागफल की तलाश करेंगे:

25: 3 = 8 और शेषफल 1

अनुमानित भागफल 8 है; यह निश्चित रूप से, सटीक भागफल से कम है, क्योंकि शेष 1 है। सटीक भागफल प्राप्त करने के लिए, आपको प्राप्त अनुमानित भागफल में जोड़ने की आवश्यकता है, अर्थात 8 तक, वह अंश जो शेषफल को विभाजित करने से प्राप्त होता है। , 1 के बराबर, 3 से; यह एक अंश 1/3 होगा। इसका मतलब है कि सटीक भागफल मिश्रित संख्या 8 1/3 के रूप में व्यक्त किया जाएगा। चूँकि 1/3 एक उचित भिन्न है, अर्थात एक भिन्न, एक से कम, फिर, इसे त्याग कर, हम मान लेते हैं गलती, कौन एक से कम. निजी 8 होगा नुकसान के साथ एक तक अनुमानित भागफल।यदि हम 8 के बजाय 9 लेते हैं, तो हम एक से कम त्रुटि की भी अनुमति देते हैं, क्योंकि हम एक पूरी इकाई नहीं, बल्कि 2/3 जोड़ेंगे। ऐसी निजी इच्छा अधिकता के साथ एक तक अनुमानित भागफल।

अब एक और उदाहरण लेते हैं। 27 को 8 से विभाजित करने की आवश्यकता है। चूँकि यहाँ हमें पूर्णांक के रूप में व्यक्त सटीक भागफल नहीं मिलेगा, हम एक अनुमानित भागफल की तलाश करेंगे:

27: 8 = 3 और शेषफल 3।

यहां त्रुटि 3/8 है, यह एक से कम है, जिसका अर्थ है कि अनुमानित भागफल (3) एक दोष के साथ एक तक पाया जाता है। हम विभाजन जारी रखते हैं: हम शेष 3 को दसवें में विभाजित करते हैं, हमें 30 दसवां हिस्सा मिलता है; आइए उन्हें 8 से भाग दें।

हम मौके पर निजी तौर पर दसवीं 3 और शेष बी दसवीं में मिले। यदि हम स्वयं को विशेष रूप से संख्या 3.3 तक सीमित रखते हैं, और शेष 6 को छोड़ देते हैं, तो हम दसवें से कम त्रुटि की अनुमति देंगे। क्यों? क्योंकि जब हम 6 दहाई को 8 से विभाजित करने के परिणाम को 3.3 में जोड़ते हैं तो सटीक भागफल प्राप्त होगा; इस विभाजन से 6/80 होगा, जो दसवें से कम है। (चेक करें!) इस प्रकार, यदि हम स्वयं को भागफल के दसवें हिस्से तक सीमित रखते हैं, तो हम कह सकते हैं कि हमें भागफल मिल गया है एक दसवें के लिए सटीक(नुकसान के साथ)।

एक और दशमलव स्थान खोजने के लिए विभाजन जारी रखें। ऐसा करने के लिए, हम 6 दहाई को सौवें में विभाजित करते हैं और 60 सौवां प्राप्त करते हैं; आइए उन्हें 8 से भाग दें।

निजी तौर पर तीसरे स्थान पर यह 7 और शेष में 4 सौवें स्थान पर निकला; यदि हम उन्हें छोड़ देते हैं, तो हम एक सौवें से कम की त्रुटि की अनुमति देते हैं, क्योंकि 4 सौवें भाग को 8 से विभाजित करने पर सौवें से कम होता है। ऐसे मामलों में भागफल पाया जाना कहा जाता है। एक सौवें तक सटीक(नुकसान के साथ)।

अब हम जिस उदाहरण पर विचार कर रहे हैं, उसमें आप सटीक भागफल प्राप्त कर सकते हैं, जिसे दशमलव अंश के रूप में व्यक्त किया जाता है। ऐसा करने के लिए, अंतिम शेषफल, 4 सौवें भाग को हजारवें भाग में विभाजित करना और 8 से विभाजित करना पर्याप्त है।

हालाँकि, अधिकांश मामलों में, एक सटीक भागफल प्राप्त करना असंभव है और किसी को अपने आप को इसके अनुमानित मूल्यों तक सीमित रखना पड़ता है। अब हम ऐसे उदाहरण पर विचार करेंगे:

40: 7 = 5,71428571...

संख्या के अंत में डॉट्स इंगित करते हैं कि विभाजन पूरा नहीं हुआ है, अर्थात समानता अनुमानित है। आमतौर पर अनुमानित समानता इस तरह लिखी जाती है:

40: 7 = 5,71428571.

हमने भागफल को आठ दशमलव स्थानों के साथ लिया। लेकिन अगर इतनी बड़ी सटीकता की आवश्यकता नहीं है, तो भागफल के पूरे हिस्से तक ही सीमित रह सकते हैं, यानी संख्या 5 (अधिक सटीक, 6); अधिक सटीकता के लिए, दसवें को ध्यान में रखा जा सकता है और भागफल को 5.7 के बराबर लिया जा सकता है; यदि किसी कारण से यह सटीकता अपर्याप्त है, तो हम सौवें पर रुक सकते हैं और 5.71 आदि ले सकते हैं। आइए अलग-अलग भागफल लिखें और उन्हें नाम दें।

पहला सन्निकट भागफल एक 6 तक।

दूसरा »» » एक दहाई 5.7 के लिए।

तीसरा »» » एक सौवां तक ​​5.71।

चौथा » » » 5.714 के एक हजारवें हिस्से तक।

इस प्रकार, कुछ तक अनुमानित भागफल खोजने के लिए, उदाहरण के लिए, तीसरा दशमलव स्थान (यानी, एक हज़ारवें तक), इस चिन्ह के मिलते ही विभाजन रोक दिया जाता है। इस मामले में, § 40 में निर्धारित नियम को याद रखना चाहिए।

§ 113. ब्याज के लिए सबसे सरल समस्याएँ।

दशमलव भिन्नों का अध्ययन करने के बाद, हम कुछ और प्रतिशत प्रश्नों को हल करेंगे।

ये समस्याएं उन समस्याओं के समान हैं जिन्हें हमने साधारण भिन्नों के विभाग में हल किया था; लेकिन अब हम सौवें को दशमलव अंशों के रूप में लिखेंगे, जो कि स्पष्ट रूप से नामित भाजक के बिना है।

सबसे पहले, आपको 100 के भाजक के साथ एक साधारण अंश से दशमलव अंश में आसानी से स्विच करने में सक्षम होना चाहिए। ऐसा करने के लिए, आपको अंश को भाजक से विभाजित करने की आवश्यकता है:

नीचे दी गई तालिका दर्शाती है कि कैसे % (प्रतिशत) चिह्न वाली संख्या को 100 के हर वाले दशमलव से बदल दिया जाता है:

आइए अब कुछ समस्याओं पर विचार करें।

1. दी गई संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना।

कार्य 1।एक गांव में केवल 1,600 लोग रहते हैं। स्कूल जाने वाले बच्चों की संख्या कुल जनसंख्या का 25% है। इस गाँव में कितने स्कूली बच्चे हैं?

इस समस्या में, आपको 1,600 का 25%, या 0.25, खोजने की आवश्यकता है। समस्या को गुणा करके हल किया जाता है:

1,600 0.25 = 400 (बच्चे)।

इसलिए, 1,600 का 25% 400 है।

इस कार्य की स्पष्ट समझ के लिए, यह याद रखना उपयोगी होगा कि प्रति सौ जनसंख्या पर 25 स्कूली बच्चे हैं। इसलिए, सभी स्कूली बच्चों की संख्या का पता लगाने के लिए, आप पहले यह पता लगा सकते हैं कि संख्या 1600 (16) में कितने सौ हैं, और फिर 25 को सैकड़ों की संख्या से गुणा करें (25 x 16 = 400)। इस तरह आप समाधान की वैधता की जांच कर सकते हैं।

कार्य 2।बचत बैंक जमाकर्ताओं को सालाना आय का 2% देते हैं। एक जमाकर्ता द्वारा प्रति वर्ष कितनी आय प्राप्त होगी जिसने जमा किया है: क) 200 रूबल? बी) 500 रूबल? ग) 750 रूबल? डी) 1000 रूबल?

सभी चार मामलों में, समस्या को हल करने के लिए, संकेतित राशियों में से 0.02 की गणना करना आवश्यक होगा, अर्थात इनमें से प्रत्येक संख्या को 0.02 से गुणा करना होगा। चलो यह करते हैं:

ए) 200 0.02 = 4 (रूबल),

बी) 500 0.02 = 10 (रूबल),

ग) 750 0.02 = 15 (रूबल),

घ) 1,000 0.02 = 20 (रूबल)।

इनमें से प्रत्येक मामले को निम्नलिखित विचारों द्वारा सत्यापित किया जा सकता है। बचत बैंक जमाकर्ताओं को आय का 2%, यानी बचत में लगाई गई राशि का 0.02 देते हैं। यदि राशि 100 रूबल थी, तो इसका 0.02 2 रूबल होगा। इसका मतलब है कि हर सौ जमाकर्ता को 2 रूबल लाता है। आय। इसलिए, विचार किए गए प्रत्येक मामले में, यह पता लगाने के लिए पर्याप्त है कि दी गई संख्या में कितने सैकड़ों हैं, और सैकड़ों की इस संख्या से 2 रूबल गुणा करें। उदाहरण में ए) सैकड़ों 2, इसलिए

2 2 \u003d 4 (रूबल)।

उदाहरण में d) सैकड़ों 10 होते हैं, जिसका अर्थ है

2 10 \u003d 20 (रूबल)।

2. किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करना।

कार्य 1।वसंत में, स्कूल ने 54 छात्रों को स्नातक किया, जो छात्रों की कुल संख्या का 6% है। पिछले शैक्षणिक वर्ष के दौरान स्कूल में कितने छात्र थे?

आइए पहले इस समस्या का अर्थ स्पष्ट करें। स्कूल ने 54 छात्रों को स्नातक किया, जो छात्रों की कुल संख्या का 6% है, या दूसरे शब्दों में, स्कूल में सभी छात्रों का 6 सौवां (0.06) है। इसका मतलब यह है कि हम संख्या (54) और अंश (0.06) द्वारा व्यक्त छात्रों के भाग को जानते हैं, और इस अंश से हमें पूरी संख्या का पता लगाना चाहिए। इस प्रकार, हमारे सामने इसके अंश (§ 90 पी। 6) द्वारा एक संख्या खोजने की एक सामान्य समस्या है। इस प्रकार की समस्याओं को विभाजन द्वारा हल किया जाता है:

इसका मतलब है कि स्कूल में 900 छात्र थे।

ऐसी समस्याओं को उलटा समस्या हल करके जांचना उपयोगी है, यानी समस्या को हल करने के बाद, आपको कम से कम अपने दिमाग में पहले प्रकार की समस्या को हल करना चाहिए (दी गई संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना): प्राप्त संख्या ( 900) दिया गया है और उसमें से हल की गई समस्या में इंगित प्रतिशत ज्ञात करें, अर्थात्:

900 0,06 = 54.

कार्य 2।परिवार महीने के दौरान भोजन पर 780 रूबल खर्च करता है, जो पिता की मासिक आय का 65% है। उसकी मासिक आय ज्ञात कीजिए।

इस कार्य का अर्थ पिछले वाले के समान ही है। यह मासिक कमाई का हिस्सा देता है, जिसे रूबल (780 रूबल) में व्यक्त किया जाता है, और इंगित करता है कि यह हिस्सा कुल कमाई का 65% या 0.65 है। और वांछित पूरी कमाई है:

780: 0,65 = 1 200.

इसलिए, वांछित कमाई 1200 रूबल है।

3. संख्याओं का प्रतिशत ज्ञात करना।

कार्य 1।स्कूल के पुस्तकालय में कुल छह हजार पुस्तकें हैं। इनमें गणित की 1,200 किताबें हैं। गणित की पुस्तकों का कितना प्रतिशत पुस्तकालय में कुल पुस्तकों की संख्या है?

हम पहले ही इस तरह की समस्या (§97) पर विचार कर चुके हैं और इस निष्कर्ष पर पहुंचे हैं कि दो संख्याओं के प्रतिशत की गणना करने के लिए, आपको इन संख्याओं का अनुपात ज्ञात करना होगा और इसे 100 से गुणा करना होगा।

हमारे कार्य में, हमें 1,200 और 6,000 संख्याओं का प्रतिशत ज्ञात करने की आवश्यकता है।

हम पहले उनका अनुपात ज्ञात करते हैं, और फिर इसे 100 से गुणा करते हैं:

इस प्रकार, 1,200 और 6,000 की संख्या का प्रतिशत 20 है। दूसरे शब्दों में, गणित की पुस्तकें सभी पुस्तकों की कुल संख्या का 20% हैं।

जाँचने के लिए, हम उलटी समस्या को हल करते हैं: 6,000 का 20% ज्ञात करें:

6 000 0,2 = 1 200.

कार्य 2।संयंत्र को 200 टन कोयला प्राप्त करना चाहिए। 80 टन पहले ही वितरित किया जा चुका है। संयंत्र को कितने प्रतिशत कोयला वितरित किया गया है?

यह समस्या पूछती है कि एक संख्या (80) दूसरी संख्या (200) का कितना प्रतिशत है। इन नंबरों का अनुपात 80/200 होगा। आइए इसे 100 से गुणा करें:

इसका मतलब है कि 40 फीसदी कोयले की डिलीवरी हो चुकी है।

मैं। एक दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने के लिए, आपको इस संख्या से अंश को विभाजित करने की आवश्यकता होती है, क्योंकि प्राकृतिक संख्या विभाजित होती है और पूरे भाग का विभाजन समाप्त होने पर एक निजी अल्पविराम में डाल दिया जाता है।

उदाहरण।

विभाजन निष्पादित करें: 1) 96,25: 5; 2) 4,78: 4; 3) 183,06: 45.

समाधान।

उदाहरण 1) 96,25: 5.

हम एक "कोने" से विभाजित करते हैं उसी तरह जैसे प्राकृतिक संख्याएं विभाजित होती हैं। हम संख्या नीचे ले जाने के बाद 2 (दशमांश की संख्या भाज्य 96 के रिकॉर्ड में दशमलव बिंदु के बाद पहला अंक है, 2 5), भागफल में अल्पविराम लगाएं और विभाजन जारी रखें।

उत्तर: 19,25.

उदाहरण 2) 4,78: 4.

हम विभाजित करते हैं क्योंकि हम प्राकृतिक संख्याओं को विभाजित करते हैं। निजी तौर पर, जैसे ही हम ध्वस्त करते हैं, अल्पविराम लगाएं 7 - भाज्य 4 में दशमलव बिंदु के बाद पहला अंक, 7 8. हम आगे विभाजन जारी रखते हैं। 38-36 घटाने पर हमें 2 मिलता है, लेकिन विभाजन खत्म नहीं हुआ है। हम कैसे हैं? हम जानते हैं कि दशमलव भिन्न के अंत में शून्य जोड़े जा सकते हैं - इससे भिन्न का मान नहीं बदलेगा। हम शून्य असाइन करते हैं और 20 को 4 से विभाजित करते हैं। हमें 5 मिलता है - विभाजन समाप्त हो गया है।

उत्तर: 1,195.

उदाहरण 3) 183,06: 45.

18306 को 45 से विभाजित करें। जैसे ही हम संख्या घटाते हैं, भागफल में अल्पविराम लगाएं 0 - भाज्य 183 में दशमलव बिंदु के बाद पहला अंक, 0 6. उदाहरण 2 की तरह), हमें संख्या 36 को शून्य निर्दिष्ट करना था - संख्या 306 और 270 के बीच का अंतर।

उत्तर: 4,068.

निष्कर्ष: जब एक दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित किया जाता है निजी एक अल्पविराम लगाएं लाभांश के दसवें स्थान पर अंक को ध्वस्त करने के तुरंत बाद. कृपया ध्यान दें: सभी हाइलाइट किए गए लाल रंग में नंबर इन तीन उदाहरणों में श्रेणी के हैं लाभांश का दसवां हिस्सा।

द्वितीय. दशमलव को 10, 100, 1000 आदि से विभाजित करने के लिए, आपको अल्पविराम को बाईं ओर 1, 2, 3, आदि अंकों से स्थानांतरित करने की आवश्यकता है।

उदाहरण।

विभाजन करें: 1) 41,56: 10; 2) 123,45: 100; 3) 0,47: 100; 4) 8,5: 1000; 5) 631,2: 10000.

समाधान।

अल्पविराम को बाईं ओर ले जाना इस बात पर निर्भर करता है कि भाजक में एक के बाद कितने शून्य हैं। इसलिए, दशमलव अंश को विभाजित करते समय 10 हम विभाज्य में ले जाएंगे एक अंक से बाईं ओर अल्पविराम; द्वारा विभाजित करते समय 100 - अल्पविराम ले जाएँ दो अंकों से छोड़ा गया; द्वारा विभाजित करते समय 1000 दिए गए दशमलव अंश में स्थानांतरण अल्पविराम बाईं ओर तीन अंक।

37. दशमलव विभाजन

काम।आयत का क्षेत्रफल 2.88 dm2 है और इसकी चौड़ाई 0.8 dm है। आयत की लंबाई कितनी है?

हल। चूंकि 2.88 डीएम 2 \u003d 288 सेमी 2, और 0.8 डीएम \u003d 8 सेमी, आयत की लंबाई 288: 8, यानी 36 सेमी \u003d 3.6 डीएम है। हमें एक संख्या 3.6 मिली जैसे कि 3.6 0.8 = 2.88। यह 2.88 का भागफल 0.8 से विभाजित है।

डेसीमीटर को सेंटीमीटर में बदले बिना उत्तर 3.6 प्राप्त किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, भाजक 0.8 और भाज्य 2.88 को 10 से गुणा करें (अर्थात, उनमें अल्पविराम को एक अंक दाईं ओर ले जाएं) और 28.8 को 8 से विभाजित करें। फिर से हमें मिलता है:।

किसी संख्या को दशमलव से भाग देना, ज़रूरी:
1) भाज्य और भाजक में, अल्पविराम को उतने ही अंकों से दाईं ओर ले जाएँ जितने भाजक में दशमलव बिंदु के बाद हैं;
2) उसके बाद एक प्राकृतिक संख्या से विभाजन करें।

उदाहरण 1 12.096 को 2.24 से विभाजित करें। भाज्य और भाजक में अल्पविराम को 2 अंक दाईं ओर ले जाएँ। हमें 1209.6 और 224 नंबर मिलते हैं।

चूंकि, तब और।

उदाहरण 2 4.5 को 0.125 से विभाजित करें। यहाँ लाभांश और भाजक में अल्पविराम को 3 अंकों के दाईं ओर ले जाना आवश्यक है। चूंकि लाभांश में दशमलव बिंदु के बाद केवल एक अंक होता है, इसलिए हम इसमें दाईं ओर दो शून्य जोड़ देंगे। कॉमा को मूव करने के बाद हमें 4500 और 125 नंबर मिलते हैं।

चूंकि, तब और।

उदाहरण 1 और 2 से यह देखा जा सकता है कि किसी संख्या को अनुचित अंश से विभाजित करने पर, यह संख्या घट जाती है या नहीं बदलती है, और जब एक उचित दशमलव अंश से विभाजित किया जाता है, तो यह बढ़ जाती है: a.

2.467 को 0.01 से विभाजित करें। भाज्य और भाजक में अल्पविराम को 2 अंकों से दाहिनी ओर ले जाने पर भागफल 246.7:1 अर्थात् 246.7 होता है। इसलिए, और 2.467: 0.01 = 246.7। यहाँ से हमें नियम मिलता है:

दशमलव को 0.1 से विभाजित करने के लिए; 0.01; 0.001, आपको इसमें अल्पविराम को उतने ही अंकों से दाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है जितने भाजक में इकाई के सामने शून्य हैं (अर्थात इसे 10, 100, 1000 से गुणा करें)।

यदि पर्याप्त संख्याएँ नहीं हैं, तो आपको पहले भिन्न के अंत में कुछ शून्य जोड़ने होंगे।

उदाहरण के लिए, ।

1443. भागफल ज्ञात करो और गुणन द्वारा परीक्षण करो:

ए) 0.8: 0.5; बी) 3.51: 2.7; ग) 14.335: 0.61।

1444. भागफल ज्ञात करें और भाग द्वारा परीक्षण करें:

ए) 0.096: 0.12; 6) 0.126:0.9; ग) 42.105: 3.5।

1445. विभाजन करना:

1446. भाव लिखो:

ए) बी और 8.5 के अंतर से ए और 2.6 के योग को विभाजित करने का भागफल;
बी) भागफल x और 3.7 और भागफल 3.1 और y का योग।

1447. अभिव्यक्ति पढ़ें:

ए) एम: 12.8 - एन: 4.9; बी) (एक्स + 0.7): (वाई + 3.4); सी) (ए: बी) (8: सी)।

1448. एक आदमी के कदम की लंबाई 0.8 मीटर है, तो उसे 100 मीटर की दूरी तय करने के लिए कितने कदम चलने की जरूरत है?

1449. एलोशा ने ट्रेन से 2.6 घंटे में 162.5 किमी की दूरी तय की। ट्रेन कितनी तेज थी?

1450. 1 सेमी3 बर्फ का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए यदि 3.5 सेमी3 बर्फ का द्रव्यमान 3.08 ग्राम है।

1451. रस्सी को दो भागों में काटा गया। एक भाग की लंबाई 3.25 मीटर है, और दूसरे भाग की लंबाई पहले की तुलना में 1.3 गुना कम है। रस्सी की लंबाई कितनी थी?

1452. पहले पैकेज में 6.72 किलो आटा शामिल था, जो दूसरे पैकेज से 2.4 गुना ज्यादा है। दोनों थैलियों में कितने किलोग्राम आटा शामिल था?

1453. बोर्या ने टहलने की तुलना में पाठ तैयार करने में 3.5 गुना कम समय बिताया। यदि पैदल चलने में 2.8 घंटे लगते हैं तो बोरिया को चलने और अपना पाठ तैयार करने में कितना समय लगा?