किसी संख्या से रूट कैसे लें। इस विषय पर शोध कार्य: "बिना कैलकुलेटर के बड़ी संख्या में वर्गमूल निकालना"

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बड़ी संख्या से जड़ निकालना। प्रिय मित्रों!इस लेख में, हम आपको दिखाएंगे कि कैलकुलेटर के बिना बड़ी संख्या की जड़ कैसे ली जाए। यह न केवल कुछ प्रकार की यूएसई समस्याओं (आंदोलन के लिए ऐसी समस्याएं हैं) को हल करने के लिए आवश्यक है, बल्कि सामान्य गणितीय विकास के लिए इस विश्लेषणात्मक तकनीक को जानना भी वांछनीय है।

ऐसा लगता है कि सब कुछ सरल है: कारक बनाना और निकालना। कोई समस्या नहीं है। उदाहरण के लिए, संख्या 291600, विस्तारित होने पर, उत्पाद देगी:

हम गणना करते हैं:

एक है लेकिन! विधि अच्छी है यदि भाजक 2, 3, 4 इत्यादि आसानी से निर्धारित हो जाते हैं। लेकिन क्या होगा यदि जिस संख्या से हम मूल निकालते हैं वह अभाज्य संख्याओं का गुणनफल हो? उदाहरण के लिए, 152881 17, 17, 23, 23 संख्याओं का गुणनफल है। इन भाजक को तुरंत खोजने का प्रयास करें।

जिस पद्धति पर हम विचार कर रहे हैं उसका सार- यह शुद्ध विश्लेषण है। संचित कौशल के साथ जड़ जल्दी मिल जाती है। यदि कौशल पर काम नहीं किया जाता है, लेकिन दृष्टिकोण को आसानी से समझा जाता है, तो यह थोड़ा धीमा है, लेकिन फिर भी निर्धारित है।

आइए 190969 की जड़ लें।

सबसे पहले, आइए निर्धारित करें कि हमारा परिणाम किन संख्याओं (सौ के गुणज) के बीच है।

जाहिर है, किसी दी गई संख्या के मूल का परिणाम 400 से 500 के बीच होता है,इसलिये

400 2 =160000 और 500 2 =250000

सचमुच:

बीच में, 160,000 या 250,000 के करीब?

संख्या 190969 कहीं बीच में है, लेकिन फिर भी 160000 के करीब है। हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि हमारे मूल का परिणाम 450 से कम होगा। आइए देखें:

दरअसल, 190,969 . के बाद से यह 450 से कम है< 202 500.

अब 440 नंबर की जांच करते हैं:

तो हमारा परिणाम 440 से कम है, क्योंकि 190 969 < 193 600.

संख्या 430 की जाँच करना:

हमने स्थापित किया है कि इस जड़ का परिणाम 430 से 440 के बीच होता है।

1 या 9 में समाप्त होने वाली संख्याओं का गुणनफल 1 से समाप्त होने वाली संख्या देता है। उदाहरण के लिए, 21 गुना 21, 441 के बराबर है।

2 या 8 से समाप्त होने वाली संख्याओं का गुणनफल 4 से समाप्त होने वाली संख्या देता है। उदाहरण के लिए, 18 गुना 18 बराबर 324 है।

5 से समाप्त होने वाली संख्याओं का गुणनफल 5 से समाप्त होने वाली संख्या देता है। उदाहरण के लिए, 25 गुना 25 बराबर 625 है।

4 या 6 से समाप्त होने वाली संख्याओं का गुणनफल 6 से समाप्त होने वाली संख्या देता है। उदाहरण के लिए, 26 गुणा 26 बराबर 676 है।

3 या 7 से समाप्त होने वाली संख्याओं का गुणनफल 9 से समाप्त होने वाली संख्या देता है। उदाहरण के लिए, 17 गुना 17 बराबर 289 है।

चूँकि संख्या 190969 संख्या 9 के साथ समाप्त होती है, तो यह गुणनफल या तो 433 या 437 है।

*वर्ग होने पर केवल वे ही अंत में 9 दे सकते हैं।

हम जाँच:

तो मूल का परिणाम 437 होगा।

यही है, हमने सही उत्तर को "महसूस" किया।

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक कॉलम में अधिकतम 5 क्रियाओं को करने की आवश्यकता है। शायद आप तुरंत मुद्दे पर पहुंच जाएंगे, या आप केवल तीन क्रियाएं करेंगे। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि आप संख्या का प्रारंभिक अनुमान कितनी सटीकता से लगाते हैं।

148996 से अपना खुद का रूट निकालें

समस्या में ऐसा विभेदक प्राप्त होता है:

मोटर जहाज नदी के किनारे 336 किमी के गंतव्य तक जाता है और पार्किंग के बाद प्रस्थान बिंदु पर वापस आ जाता है। शांत जल में जहाज की गति ज्ञात कीजिए, यदि धारा की गति 5 किमी / घंटा है, तो पार्किंग 10 घंटे तक चलती है, और जहाज छोड़ने के 48 घंटे बाद प्रस्थान बिंदु पर वापस आ जाता है। अपना उत्तर किमी/घंटा में दें।

समाधान देखें

जड़ का परिणाम संख्या 300 और 400 के बीच है:

300 2 =90000 400 2 =160000

दरअसल, 90000<148996<160000.

आगे के तर्क का सार यह निर्धारित करना है कि इन संख्याओं के सापेक्ष संख्या 148996 कैसे स्थित (दूरी) है।

मतभेदों की गणना करें 148996 - 90000=58996 और 160000 - 148996=11004।

यह पता चला है कि 148996 160000 के करीब (बहुत करीब) है। इसलिए, रूट का परिणाम निश्चित रूप से 350 और यहां तक ​​कि 360 से भी अधिक होगा।

हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि हमारा परिणाम 370 से अधिक है। इसके अलावा, यह स्पष्ट है: चूंकि 148996 संख्या 6 के साथ समाप्त होता है, इसका मतलब है कि आपको 4 या 6 में समाप्त होने वाली संख्या का वर्ग करना होगा। अंत 6.

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सकिख।

पुनश्च: यदि आप सोशल नेटवर्क में साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।

जड़ एनएक प्राकृतिक संख्या की th शक्ति एकनंबर कहा जाता है एनजिसकी वें शक्ति के बराबर है एक. जड़ को इस प्रकार दर्शाया गया है: . प्रतीक को कहा जाता है मूल चिह्नया कट्टरपंथी का संकेत, संख्या एक - मूल संख्या, एन - मूल प्रतिपादक.

वह क्रिया जिसके द्वारा दी गई डिग्री का मूल ज्ञात किया जाता है, कहलाती है जड़ निष्कर्षण.

चूंकि, जड़ की अवधारणा की परिभाषा के अनुसार एनवें डिग्री

फिर जड़ निष्कर्षण- क्रिया, घातांक के विपरीत, जिसकी सहायता से दी गई डिग्री के अनुसार और दिए गए घातांक के अनुसार डिग्री का आधार पाया जाता है।

वर्गमूल

किसी संख्या का वर्गमूल एकवह संख्या है जिसका वर्ग है एक.

वह संक्रिया जिसके द्वारा वर्गमूल की गणना की जाती है, वर्गमूल लेना कहलाता है।

वर्गमूल निकालना- चुकता करने की विपरीत क्रिया (या किसी संख्या को दूसरी घात तक बढ़ाना)। किसी संख्या का वर्ग करते समय, आपको उसका वर्ग ज्ञात करना होता है। वर्गमूल निकालने पर संख्या का वर्ग ज्ञात होता है, उसमें से ही संख्या ज्ञात करना आवश्यक होता है।

इसलिए, की गई कार्रवाई की शुद्धता की जांच करने के लिए, आप पाए गए रूट को दूसरी डिग्री तक बढ़ा सकते हैं, और यदि डिग्री रूट नंबर के बराबर है, तो रूट सही पाया गया था।

एक उदाहरण के साथ वर्गमूल निकालने और उसके सत्यापन पर विचार करें। हम गणना करते हैं या (मूल्य 2 के साथ रूट एक्सपोनेंट आमतौर पर नहीं लिखा जाता है, क्योंकि 2 सबसे छोटा एक्सपोनेंट है और यह याद रखना चाहिए कि यदि रूट साइन के ऊपर कोई एक्सपोनेंट नहीं है, तो एक्सपोनेंट 2 निहित है), इसके लिए हमें चाहिए संख्या ज्ञात करने के लिए, जब दूसरी तक बढ़ाई जाए तो घात 49 होगी। जाहिर है, यह संख्या 7 है, क्योंकि

7 7 = 7 2 = 49.

वर्गमूल की गणना

यदि दी गई संख्या 100 या उससे कम है, तो गुणन सारणी का उपयोग करके इसका वर्गमूल निकाला जा सकता है। उदाहरण के लिए, 25 का वर्गमूल 5 है क्योंकि 5 x 5 = 25.

अब कैलकुलेटर का उपयोग किए बिना किसी भी संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने के तरीके पर विचार करें। उदाहरण के लिए, आइए 4489 नंबर लें और चरण दर चरण गणना करना शुरू करें।

1. आइए निर्धारित करें कि वांछित रूट में कौन से अंक शामिल होने चाहिए। 10 2 \u003d 10 10 \u003d 100, और 100 2 \u003d 100 100 \u003d 10000 के बाद से, यह स्पष्ट हो जाता है कि वांछित जड़ 10 से अधिक और 100 से कम होनी चाहिए, अर्थात। दसियों और एक से मिलकर।
2. जड़ के दसियों की संख्या ज्ञात कीजिए। दहाई से गुणा करने पर सैकड़ा बनता है, हमारी संख्या 44 होती है, इसलिए मूल में दहाई इतनी होनी चाहिए कि दहाई का वर्ग लगभग 44 सौ देता है। इसलिए, जड़ में 6 दहाई होनी चाहिए, क्योंकि 60 2 \u003d 3600, और 70 2 \u003d 4900 (यह बहुत अधिक है)। इस प्रकार, हमने पाया कि हमारी जड़ में 6 दहाई और कई हैं, क्योंकि यह 60 से 70 की सीमा में है।
3. गुणन तालिका मूल में इकाइयों की संख्या निर्धारित करने में मदद करेगी। संख्या 4489 को देखते हुए, हम देखते हैं कि इसमें अंतिम अंक 9 है। अब हम गुणन तालिका को देखते हैं और देखते हैं कि 9 इकाइयाँ केवल संख्याओं 3 और 7 का वर्ग करके ही प्राप्त की जा सकती हैं। अतः संख्या का मूल 63 होगा। या 67.
4. हम 63 और 67 प्राप्त संख्याओं को चुकता करके जाँचते हैं: 63 2 \u003d 3969, 67 2 \u003d 4489।

अधिमानतः इंजीनियरिंग - एक जिसमें एक रूट चिह्न वाला बटन होता है: "√"। आमतौर पर, रूट निकालने के लिए, यह संख्या को ही टाइप करने के लिए पर्याप्त है, और फिर बटन दबाएं: "√"।

अधिकांश आधुनिक मोबाइल फोन में रूट निष्कर्षण फ़ंक्शन के साथ "कैलकुलेटर" एप्लिकेशन होता है। टेलीफोन कैलकुलेटर का उपयोग करके किसी संख्या का मूल ज्ञात करने की प्रक्रिया उपरोक्त के समान है।
उदाहरण।
2 से खोजें।
हम कैलकुलेटर चालू करते हैं (यदि इसे बंद कर दिया गया है) और क्रमिक रूप से दो और रूट ("2", "√") की छवि के साथ बटन दबाएं। आमतौर पर "=" कुंजी दबाने की आवश्यकता नहीं होती है। नतीजतन, हमें 1.4142 जैसी संख्या मिलती है (वर्णों की संख्या और "गोलाकार" बिट गहराई और कैलकुलेटर सेटिंग्स पर निर्भर करता है)।
नोट: रूट खोजने का प्रयास करते समय, कैलकुलेटर आमतौर पर एक त्रुटि देता है।

यदि आपके पास कंप्यूटर है, तो किसी संख्या का मूल ज्ञात करना बहुत आसान है।
1. आप लगभग किसी भी कंप्यूटर पर उपलब्ध कैलकुलेटर एप्लिकेशन का उपयोग कर सकते हैं। Windows XP के लिए, इस प्रोग्राम को निम्नानुसार चलाया जा सकता है:
"प्रारंभ" - "सभी कार्यक्रम" - "सहायक उपकरण" - "कैलकुलेटर"।
दृश्य को "सामान्य" पर सेट करना बेहतर है। वैसे, एक वास्तविक कैलकुलेटर के विपरीत, रूट निकालने के लिए बटन को "sqrt" के रूप में चिह्नित किया जाता है, न कि "√" के रूप में।

यदि आप निर्दिष्ट तरीके से कैलकुलेटर तक नहीं पहुंचते हैं, तो आप मानक कैलकुलेटर "मैन्युअल रूप से" शुरू कर सकते हैं:
"प्रारंभ" - "भागो" - "कैल्क"।
2. किसी संख्या का मूल ज्ञात करने के लिए, आप अपने कंप्यूटर पर स्थापित कुछ प्रोग्रामों का भी उपयोग कर सकते हैं। इसके अलावा, कार्यक्रम का अपना अंतर्निहित कैलकुलेटर है।

उदाहरण के लिए, एमएस एक्सेल एप्लिकेशन के लिए, आप क्रियाओं का निम्नलिखित क्रम कर सकते हैं:
हम एमएस एक्सेल शुरू करते हैं।

हम किसी भी सेल में वह नंबर लिखते हैं जिससे आप रूट निकालना चाहते हैं।

सेल पॉइंटर को किसी भिन्न स्थान पर ले जाएँ

फ़ंक्शन चयन बटन दबाएं (fx)

"रूट" फ़ंक्शन का चयन करें

फ़ंक्शन तर्क के रूप में, एक संख्या के साथ एक सेल निर्दिष्ट करें

"ओके" या "एंटर" दबाएं
इस पद्धति का लाभ यह है कि अब यह किसी संख्या के साथ सेल में किसी भी मान को दर्ज करने के लिए पर्याप्त है, जैसा कि फ़ंक्शन के साथ तुरंत दिखाई देता है।
टिप्पणी।
किसी संख्या का मूल ज्ञात करने के और भी कई और आकर्षक तरीके हैं। उदाहरण के लिए, एक "कोने", एक स्लाइड नियम या ब्रैडिस टेबल का उपयोग करना। हालाँकि, इस लेख में इन विधियों पर उनकी जटिलता और व्यावहारिक बेकारता के कारण विचार नहीं किया गया है।

संबंधित वीडियो

स्रोत:

• किसी संख्या का मूल कैसे ज्ञात करें

कभी-कभी ऐसी स्थितियां होती हैं जब आपको किसी संख्या से वर्गमूल और उच्च डिग्री के मूल निकालने सहित कोई गणितीय गणना करनी होती है। "a" का "n" मूल वह संख्या है जिसकी nth घात "a" है।

अनुदेश

का मूल "n" खोजने के लिए, निम्न कार्य करें।

अपने कंप्यूटर "प्रारंभ" - "सभी कार्यक्रम" - "सहायक उपकरण" पर क्लिक करें। फिर "उपयोगिताएँ" उपधारा दर्ज करें और "कैलकुलेटर" चुनें। आप इसे मैन्युअल रूप से कर सकते हैं: "प्रारंभ" पर क्लिक करें, "रन" लाइन में "कैल्क" टाइप करें और "एंटर" दबाएं। खुलेगा। किसी भी संख्या का वर्गमूल निकालने के लिए, इसे कैलकुलेटर लाइन में दर्ज करें और "sqrt" लेबल वाला बटन दबाएं। कैलकुलेटर दर्ज की गई संख्या से वर्ग नामक दूसरी डिग्री की जड़ निकालेगा।

रूट निकालने के लिए, जिसकी डिग्री दूसरे से अधिक है, आपको एक अलग तरह के कैलकुलेटर का उपयोग करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, कैलकुलेटर के इंटरफ़ेस में "देखें" बटन पर क्लिक करें और मेनू से "इंजीनियरिंग" या "वैज्ञानिक" लाइन का चयन करें। इस तरह के कैलकुलेटर में nth डिग्री की जड़ की गणना करने के लिए आवश्यक कार्य होता है।

"इंजीनियरिंग" कैलकुलेटर पर थर्ड डिग्री () की जड़ निकालने के लिए, वांछित संख्या टाइप करें और "3√" बटन दबाएं। 3 से बड़ा रूट प्राप्त करने के लिए, वांछित संख्या टाइप करें, "y√x" आइकन के साथ बटन दबाएं और फिर संख्या दर्ज करें - एक्सपोनेंट। उसके बाद, बराबर चिह्न ("=" बटन) दबाएं और आपको वह रूट मिल जाएगा जिसकी आपको तलाश है।

यदि आपके कैलकुलेटर में "y√x" फ़ंक्शन नहीं है, तो निम्नलिखित।

क्यूब रूट निकालने के लिए, रेडिकल एक्सप्रेशन दर्ज करें, फिर शिलालेख "इनव" के बगल में स्थित बॉक्स को चेक करें। इस क्रिया से आप कैलकुलेटर बटन के कार्यों को उलट देंगे, यानी क्यूब के बटन पर क्लिक करके आप क्यूब रूट निकाल देंगे। उस बटन पर जो आप

और क्या आपके पास है कैलकुलेटर पर निर्भरता? या क्या आपको लगता है कि कैलकुलेटर या वर्गों की तालिका का उपयोग करने के अलावा, गणना करना बहुत मुश्किल है, उदाहरण के लिए,।

ऐसा होता है कि स्कूली बच्चे एक कैलकुलेटर से बंधे होते हैं और यहां तक ​​\u200b\u200bकि पोषित बटन दबाकर 0.7 को 0.5 से गुणा करते हैं। वे कहते हैं, ठीक है, मैं अभी भी गणना करना जानता हूं, लेकिन अब मैं समय बचाऊंगा ... एक परीक्षा होगी ... फिर मैं परेशान हो जाऊंगा ...

तो तथ्य यह है कि परीक्षा में वैसे भी बहुत सारे "तनावपूर्ण क्षण" होंगे ... जैसा कि वे कहते हैं, पानी एक पत्थर को दूर कर देता है। तो परीक्षा में, छोटी चीजें, यदि उनमें से बहुत सारी हैं, तो आपको नीचे गिरा सकती हैं ...

आइए संभावित परेशानियों की संख्या को कम करें।

बड़ी संख्या का वर्गमूल लेना

अब हम केवल उस स्थिति के बारे में बात करेंगे जब वर्गमूल निकालने का परिणाम एक पूर्णांक हो।

मामला एक

तो, आइए हम हर तरह से (उदाहरण के लिए, विवेचक की गणना करते समय) 86436 के वर्गमूल की गणना करने की आवश्यकता है।

हम संख्या 86436 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करेंगे। हम 2 से भाग देते हैं, हमें 43218 मिलते हैं; फिर से हम 2 से विभाजित करते हैं, - हमें 21609 मिलता है। संख्या 2 और से विभाज्य नहीं है। लेकिन चूंकि अंकों का योग 3 से विभाज्य होता है, तो संख्या स्वयं 3 से विभाज्य होती है (सामान्यतया, यह देखा जा सकता है कि यह 9 से भी विभाज्य है)। . एक बार फिर हम 3 से विभाजित करते हैं, तो हमें 2401 मिलता है। 2401 3 से पूरी तरह से विभाज्य नहीं है। पाँच से विभाज्य नहीं (0 या 5 पर समाप्त नहीं होता)।

हमें 7 से विभाज्यता का संदेह है। वास्तव में, a ,

तो, पूर्ण आदेश!

केस 2

आइए गणना करने की आवश्यकता है। जैसा कि ऊपर वर्णित है उसी तरह कार्य करना असुविधाजनक है। कारक बनाने की कोशिश कर रहा है ...

संख्या 1849 2 से पूर्णतः विभाज्य नहीं है (यह सम नहीं है)...

यह 3 से पूर्णतः विभाज्य नहीं है (अंकों का योग 3 का गुणज नहीं है) ...

यह 5 से पूर्णतः विभाज्य नहीं है (अंतिम अंक 5 या 0 नहीं है)...

यह 7 से पूरी तरह से विभाज्य नहीं है, यह 11 से विभाज्य नहीं है, यह 13 से विभाज्य नहीं है ... खैर, इस तरह से सभी अभाज्य संख्याओं को देखने में हमें कितना समय लगेगा?

आइए थोड़ा अलग बहस करें।

हम समझते हैं कि

हमने खोज को छोटा कर दिया। अब हम संख्याओं को 41 से 49 तक क्रमबद्ध करते हैं। इसके अलावा, यह स्पष्ट है कि चूंकि संख्या का अंतिम अंक 9 है, तो यह विकल्प 43 या 47 पर रुकने लायक है - केवल ये संख्याएँ, जब चुकता, अंतिम अंक देंगी 9.

खैर, यहाँ पहले से ही, निश्चित रूप से, हम 43 पर रुकते हैं। वास्तव में,

पी.एस.हम 0.7 को 0.5 से कैसे गुणा करते हैं?

आपको शून्य और चिह्नों को नज़रअंदाज़ करते हुए 5 से 7 गुणा करना चाहिए, और फिर दाएँ से बाएँ, दो दशमलव स्थानों को अलग करना चाहिए। हमें 0.35 मिलता है।