एक ऋणात्मक घातांक के साथ एक घात को घात में उठाना। एक संख्या को एक नकारात्मक शक्ति तक कैसे बढ़ाया जाए - एक्सेल में विवरण के साथ उदाहरण

शक्ति सूत्रसमीकरणों और असमानताओं को हल करने में, जटिल अभिव्यक्तियों को कम करने और सरल बनाने की प्रक्रिया में उपयोग किया जाता है।

संख्या सीहै एनसंख्या की -वीं शक्ति एकजब:

डिग्री के साथ संचालन।

1. एक ही आधार के साथ गुणा करने पर, उनके संकेतक जुड़ते हैं:

पूर्वाह्नएक एन = ए एम + एन।

2. एक ही आधार के साथ डिग्री के विभाजन में, उनके संकेतक घटाए जाते हैं:

3. 2 या अधिक कारकों के उत्पाद की डिग्री इन कारकों की डिग्री के उत्पाद के बराबर है:

(एबीसी…) एन = ए एन बी एन सी एन …

4. अंश की डिग्री भाज्य और भाजक की डिग्री के अनुपात के बराबर होती है:

(ए/बी) एन = ए एन / बी एन।

5. एक शक्ति को एक शक्ति तक बढ़ाते हुए, प्रतिपादकों को गुणा किया जाता है:

(एएम) एन = ए एम एन।

उपरोक्त प्रत्येक सूत्र बाएं से दाएं और इसके विपरीत दिशाओं में सही है।

उदाहरण के लिए. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

जड़ों के साथ संचालन।

1. कई कारकों के उत्पाद की जड़ इन कारकों की जड़ों के उत्पाद के बराबर होती है:

2. अनुपात की जड़, लाभांश और जड़ों के विभाजक के अनुपात के बराबर होती है:

3. किसी जड़ को किसी शक्ति तक बढ़ाते समय, जड़ संख्या को इस शक्ति तक बढ़ाने के लिए पर्याप्त है:

4. यदि हम जड़ की डिग्री में वृद्धि करते हैं एनएक बार और एक ही समय में बढ़ाएँ एनवें घात एक मूल संख्या है, तो मूल का मान नहीं बदलेगा:

5. यदि हम जड़ की डिग्री को घटा दें एनएक ही समय में जड़ एनमूल संख्या से वें डिग्री, तो रूट का मान नहीं बदलेगा:

एक नकारात्मक प्रतिपादक के साथ डिग्री।एक गैर-सकारात्मक (पूर्णांक) प्रतिपादक के साथ एक संख्या की डिग्री को गैर-सकारात्मक प्रतिपादक के निरपेक्ष मान के बराबर एक प्रतिपादक के साथ समान संख्या की डिग्री से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है:

सूत्र पूर्वाह्न: ए एन = ए एम - एनके लिए ही नहीं इस्तेमाल किया जा सकता है एम> एन, लेकिन यह भी एम< एन.

उदाहरण के लिए. एक4:ए 7 = ए 4 - 7 = ए -3.

सूत्र को पूर्वाह्न: ए एन = ए एम - एनपर निष्पक्ष हो गया एम = एन, आपको शून्य डिग्री की उपस्थिति की आवश्यकता है।

शून्य प्रतिपादक के साथ डिग्री।शून्य घातांक वाली किसी भी गैर-शून्य संख्या की शक्ति एक के बराबर होती है।

उदाहरण के लिए. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

आंशिक एक्सपोनेंट के साथ डिग्री।वास्तविक संख्या बढ़ाने के लिए एकएक स्तर तक एम/एन, आपको जड़ निकालने की जरूरत है एनवीं डिग्री एमइस संख्या की वें शक्ति एक.

एक नकारात्मक शक्ति की ओर बढ़ना गणित के मूल तत्वों में से एक है, जो अक्सर बीजगणितीय समस्याओं को हल करने में सामने आता है। नीचे एक विस्तृत निर्देश है।

एक नकारात्मक शक्ति को कैसे बढ़ाया जाए - सिद्धांत

जब हम किसी संख्या को सामान्य घात में लेते हैं, तो हम उसके मान को कई गुना बढ़ा देते हैं। उदाहरण के लिए, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27। एक नकारात्मक अंश के साथ, विपरीत सत्य है। सूत्र के अनुसार सामान्य रूप इस प्रकार होगा: a -n = 1/a n । इस प्रकार, एक संख्या को एक नकारात्मक शक्ति तक बढ़ाने के लिए, आपको एक को दी गई संख्या से विभाजित करने की आवश्यकता है, लेकिन पहले से ही एक सकारात्मक शक्ति के लिए।

किसी ऋणात्मक घात तक कैसे बढ़ाएँ - साधारण संख्याओं पर उदाहरण

उपरोक्त नियम को ध्यान में रखते हुए, आइए कुछ उदाहरण हल करें।

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
उत्तर: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
उत्तर -4 -2 = 1/16 है।

लेकिन पहले और दूसरे उदाहरण में उत्तर समान क्यों है? तथ्य यह है कि जब एक ऋणात्मक संख्या को सम घात (2, 4, 6, आदि) तक बढ़ाया जाता है, तो चिन्ह धनात्मक हो जाता है। यदि डिग्री समान थी, तो माइनस संरक्षित है:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

एक नकारात्मक शक्ति कैसे बढ़ाएं - 0 से 1 तक की संख्या

याद रखें कि जब 0 और 1 के बीच की संख्या को सकारात्मक शक्ति तक बढ़ाया जाता है, तो शक्ति बढ़ने पर मान घट जाता है। तो उदाहरण के लिए, 0.5 2 = 0.25। 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

उदाहरण 3: 0.5 -2 की गणना करें
हल: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4।
उत्तर: 0.5 -2 = 4

पार्सिंग (क्रियाओं का क्रम):

• दशमलव 0.5 को भिन्नात्मक 1/2 में बदलें। ये तो और आसान है।
  1/2 को एक नकारात्मक शक्ति तक बढ़ाएँ। 1/(2) -2 . 1 को 1/(2) 2 से विभाजित करने पर हमें 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4 प्राप्त होता है

उदाहरण 4: 0.5 -3 की गणना करें
हल: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

उदाहरण 5: -0.5 -3 की गणना करें
हल: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
उत्तर: -0.5 -3 = -8

चौथे और पांचवें उदाहरण के आधार पर, हम कई निष्कर्ष निकालेंगे:

• 0 और 1 (उदाहरण 4) के बीच एक सकारात्मक संख्या के लिए एक नकारात्मक शक्ति तक बढ़ा, चाहे शक्ति सम हो या विषम, अभिव्यक्ति का मान धनात्मक होगा। इस मामले में, डिग्री जितनी अधिक होगी, मूल्य उतना ही अधिक होगा।
• 0 और 1 (उदाहरण 5) के बीच एक ऋणात्मक संख्या के लिए, एक ऋणात्मक शक्ति तक उठाया गया, चाहे शक्ति सम हो या विषम, अभिव्यक्ति का मान ऋणात्मक होगा। इस मामले में, डिग्री जितनी अधिक होगी, मूल्य उतना ही कम होगा।

एक नकारात्मक शक्ति को कैसे बढ़ाया जाए - एक भिन्नात्मक संख्या के रूप में शक्ति

इस प्रकार की अभिव्यक्तियों के निम्नलिखित रूप हैं: a -m/n, जहाँ a एक साधारण संख्या है, m डिग्री का अंश है, n डिग्री का हर है।

एक उदाहरण पर विचार करें:
गणना करें: 8 -1/3

समाधान (क्रियाओं का क्रम):

• किसी संख्या को ऋणात्मक शक्ति तक बढ़ाने का नियम याद रखें। हमें मिलता है: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 ।
• ध्यान दें कि भाजक भिन्नात्मक शक्ति के लिए 8 है। भिन्नात्मक डिग्री की गणना करने का सामान्य रूप इस प्रकार है: a m/n = n √8 m ।
• इस प्रकार, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). हमें आठ का घनमूल मिलता है, जो 2 है। इसके आधार पर, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2।
• उत्तर: 8 -1/3 = 2

जाहिर है, शक्तियों वाली संख्याएं अन्य मात्राओं की तरह जोड़ी जा सकती हैं , उन्हें एक-एक करके उनके चिन्हों के साथ जोड़कर.

अतः, a 3 और b 2 का योग a 3 + b 2 है।
a 3 - b n और h 5 -d 4 का योग a 3 - b n + h 5 - d 4 है।

कठिनाइयाँ समान चर की समान शक्तियाँजोड़ा या घटाया जा सकता है।

इसलिए, 2a 2 और 3a 2 का योग 5a 2 है।

यह भी स्पष्ट है कि यदि हम दो वर्ग a, या तीन वर्ग a, या पाँच वर्ग a लें।

लेकिन डिग्रियां विभिन्न चरतथा विभिन्न डिग्री समान चर, उन्हें उनके चिन्हों में जोड़कर जोड़ा जाना चाहिए।

इसलिए, a 2 और a 3 का योग a 2 + a 3 का योग है।

यह स्पष्ट है कि a का वर्ग और a का घन न तो a के वर्ग का दुगुना है, बल्कि a का घन का दुगुना है।

a 3 b n और 3a 5 b 6 का योग a 3 b n + 3a 5 b 6 है।

घटावशक्तियों को जोड़ के रूप में उसी तरह से किया जाता है, सिवाय इसके कि घटाव के संकेतों को तदनुसार बदला जाना चाहिए।

या:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (ए - एच) 6 - 2 (ए - एच) 6 = 3 (ए - एच) 6

शक्ति गुणन

शक्तियों वाली संख्याओं को अन्य राशियों की तरह गुणा किया जा सकता है, उन्हें एक के बाद एक लिखकर, उनके बीच गुणन चिह्न के साथ या उसके बिना।

इसलिए, a 3 को b 2 से गुणा करने का परिणाम a 3 b 2 या aaabb है।

या:
एक्स -3 ⋅ एएम = एएम एक्स -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

पिछले उदाहरण में परिणाम समान चर जोड़कर आदेशित किया जा सकता है।
व्यंजक का रूप होगा: a 5 b 5 y 3 ।

अनेक संख्याओं (चरों) की घातों से तुलना करके, हम देख सकते हैं कि यदि उनमें से किन्हीं दो को गुणा किया जाए, तो परिणाम एक संख्या (चर) होती है जिसकी घात बराबर होती है जोड़शर्तों की डिग्री।

तो, a 2 .a 3 = आ.आआ = आआआआ = एक 5।

यहाँ 5 गुणा के परिणाम की शक्ति है, जो 2 + 3 के बराबर है, शब्दों की शक्तियों का योग।

इसलिए, a n.a m = a m+n ।

n के लिए, n की शक्ति जितनी बार होती है उतनी बार एक कारक के रूप में लिया जाता है;

और a m , को एक कारक के रूप में लिया जाता है जितनी बार डिग्री m बराबर होती है;

इसीलिए, समान आधारों वाली घातों को घातांकों को जोड़कर गुणा किया जा सकता है।

इसलिए, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 । और x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 ।

या:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
बी 2 वाई 3 ⋅ बी 4 वाई = बी 6 वाई 4
(बी + एच - वाई) एन ⋅ (बी + एच - वाई) = (बी + एच - वाई) एन + 1

गुणा करें (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y)।
उत्तर: एक्स 4 - वाई 4।
गुणा (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1)।

यह नियम उन संख्याओं के लिए भी सत्य है जिनकी घातांक हैं - नकारात्मक.

1. तो, ए -2 .ए -3 = ए -5। इसे (1/आ) के रूप में लिखा जा सकता है। (1/आआ) = 1/आआआ।

2. वाई-एन .वाई-एम = वाई-एन-एम।

3. ए -एन .ए एम = ए एम-एन।

यदि a + b को a - b से गुणा किया जाता है, तो परिणाम a 2 - b 2 होगा: अर्थात

दो संख्याओं के योग या अंतर को गुणा करने का परिणाम उनके वर्गों के योग या अंतर के बराबर होता है।

यदि दो संख्याओं का योग और अंतर बढ़ा दिया जाए वर्ग, परिणाम इन संख्याओं के योग या अंतर के बराबर होगा चौथीडिग्री।

इसलिए, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 ।
(ए 2 - वाई 2)⋅(ए 2 + वाई 2) = ए 4 - वाई 4।
(ए 4 - वाई 4)⋅(ए 4 + वाई 4) = ए 8 - वाई 8।

शक्तियों का विभाजन

घात वाली संख्याओं को भाजक से घटाकर या उन्हें भिन्न के रूप में रखकर अन्य संख्याओं की तरह विभाजित किया जा सकता है।

अतः a 3 b 2 को b 2 से विभाजित करने पर a 3 प्राप्त होता है।

या:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = बी + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5 को 3 से विभाजित करने पर लिखने पर $\frac(a^5)(a^3)$ जैसा दिखता है। लेकिन यह 2 के बराबर है। संख्याओं की एक श्रृंखला में
ए +4, ए +3, ए +2, ए +1, ए 0, ए -1, ए -2, ए -3, ए -4।
किसी भी संख्या को दूसरे से विभाजित किया जा सकता है, और एक्सपोनेंट के बराबर होगा अंतरविभाज्य संख्याओं के संकेतक।

समान आधार वाली शक्तियों को विभाजित करते समय, उनके घातांक घटा दिए जाते हैं।.

इसलिए, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1। यानी $\frac(yyy)(yy) = y$।

और a n+1:a = a n+1-1 = a n । यानी $\frac(aa^n)(a) = a^n$।

या:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4am = 2a n
12(बी + वाई) एन: 3(बी + वाई) 3 = 4(बी + वाई) एन-3

नियम संख्याओं के लिए भी मान्य है नकारात्मकडिग्री मान।
-5 को -3 से भाग देने पर परिणाम -2 आता है।
साथ ही, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaa) = \frac (1)(एए)$।

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 या $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

गुणा और शक्तियों के विभाजन को बहुत अच्छी तरह से महारत हासिल करना जरूरी है, क्योंकि इस तरह के संचालन बीजगणित में बहुत व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।

शक्तियों के साथ संख्याओं वाले अंशों के उदाहरणों को हल करने के उदाहरण

1. घातांक को $\frac(5a^4)(3a^2)$ में कम करें उत्तर: $\frac(5a^2)(3)$।

2. घातांकों को $\frac(6x^6)(3x^5)$ में कम करें। उत्तर: $\frac(2x)(1)$ या 2x।

3. घातांक a 2 / a 3 और a -3 / a -4 घटाएं और एक सामान्य भाजक पर लाएं।
a 2 .a -4 एक -2 पहला अंश है।
a 3 .a -3 एक 0 = 1, दूसरा अंश है।
a 3 .a -4 a -1 , सामान्य अंश है।
सरलीकरण के बाद: a -2 /a -1 और 1/a -1 ।

4. घातांकों 2a 4 /5a 3 और 2 /a 4 को घटाइए और एक उभयनिष्ठ हर पर लाइए।
उत्तर: 2ए 3/5ए 7 और 5ए 5/5ए 7 या 2ए 3/5ए 2 और 5/5ए 2।

5. (a 3 + b)/b 4 को (a - b)/3 से गुणा करें।

6. (a 5 + 1)/x 2 को (b 2 - 1)/(x + a) से गुणा करें।

7. b 4 /a -2 को h -3 /x और a n /y -3 से गुणा कीजिये।

8. a 4 /y 3 को a 3 /y 2 से विभाजित करें। उत्तर: ए / वाई।

9. (h 3 - 1)/d 4 को (d n + 1)/h से विभाजित करें।

प्रथम स्तर

डिग्री और उसके गुण व्यापक गाइड (2019)

डिग्रियों की आवश्यकता क्यों है? आपको उनकी आवश्यकता कहाँ है? आपको उनका अध्ययन करने में समय बिताने की आवश्यकता क्यों है?

डिग्रियों के बारे में सब कुछ जानने के लिए, वे किस लिए हैं, दैनिक जीवन में अपने ज्ञान का उपयोग कैसे करें, इस लेख को पढ़ें।

और, निश्चित रूप से, डिग्रियों को जानना आपको OGE या एकीकृत राज्य परीक्षा को सफलतापूर्वक उत्तीर्ण करने और अपने सपनों के विश्वविद्यालय में प्रवेश करने के करीब लाएगा।

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महत्वपूर्ण लेख! यदि फ़ार्मुलों के बजाय आपको अस्पष्टता दिखाई देती है, तो अपना कैश साफ़ करें। ऐसा करने के लिए, CTRL+F5 (Windows पर) या Cmd+R (Mac पर) दबाएँ।

प्रथम स्तर

घातांक जोड़, घटाव, गुणा या भाग के समान गणितीय क्रिया है।

अब मैं बहुत ही सरल उदाहरणों का प्रयोग करते हुए मानव भाषा में सब कुछ समझाऊंगा। ध्यान से। उदाहरण प्रारंभिक हैं, लेकिन महत्वपूर्ण बातों की व्याख्या करें।

चलिए जोड़ के साथ शुरू करते हैं।

यहाँ समझाने के लिए कुछ भी नहीं है। आप पहले से ही सब कुछ जानते हैं: हम आठ हैं। प्रत्येक के पास कोला की दो बोतलें हैं। कितना कोला? ये सही है - 16 बोतलें।

अब गुणा करें।

कोला के साथ एक ही उदाहरण को अलग तरह से लिखा जा सकता है: . गणितज्ञ चालाक और आलसी लोग होते हैं। वे पहले कुछ पैटर्न देखते हैं, और फिर उन्हें तेजी से "गिनने" का तरीका ढूंढते हैं। हमारे मामले में, उन्होंने देखा कि आठ लोगों में से प्रत्येक के पास कोला की बोतलों की संख्या समान थी और वे गुणन नामक एक तकनीक के साथ आए। सहमत हूँ, यह आसान और तेज़ माना जाता है।

तो, तेजी से, आसान और त्रुटियों के बिना गिनने के लिए, आपको बस याद रखने की जरूरत है पहाड़ा. बेशक, आप सब कुछ धीमा, कठिन और गलतियों के साथ कर सकते हैं! परंतु…

यहाँ गुणन सारणी है। दोहराना।

और दूसरा, सुंदर एक:

और आलसी गणितज्ञों ने और कौन सी मुश्किल गिनती की तरकीबें खोजीं? सही - एक संख्या को एक शक्ति तक बढ़ाना.

एक संख्या को एक शक्ति तक बढ़ाना

यदि आपको किसी संख्या को उसी से पाँच गुना गुणा करने की आवश्यकता है, तो गणितज्ञ कहते हैं कि आपको इस संख्या को पाँचवीं शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, । गणितज्ञों को याद है कि दो से पांचवीं शक्ति है। और वे ऐसी समस्याओं को अपने दिमाग में हल करते हैं - तेज, आसान और त्रुटियों के बिना।

ऐसा करने के लिए, आपको केवल आवश्यकता है याद रखें कि संख्याओं की शक्तियों की तालिका में रंग में क्या हाइलाइट किया गया है. मेरा विश्वास करो, यह आपके जीवन को बहुत आसान बना देगा।

वैसे, दूसरी डिग्री क्यों कहा जाता है वर्गसंख्या, और तीसरा घनक्षेत्र? इसका क्या मतलब है? एक बहुत अच्छा प्रश्न। अब आपके पास वर्ग और घन दोनों होंगे।

वास्तविक जीवन उदाहरण # 1

आइए एक वर्ग या किसी संख्या की दूसरी शक्ति से शुरू करें।

मीटर द्वारा मीटर मापने वाले एक वर्गाकार पूल की कल्पना करें। पूल आपके पिछवाड़े में है। यह गर्म है और मैं वास्तव में तैरना चाहता हूँ। लेकिन ... बिना तल वाला एक पूल! पूल के तल को टाइलों से ढंकना आवश्यक है। आपको कितनी टाइल चाहिए? इसे निर्धारित करने के लिए, आपको पूल के तल के क्षेत्र को जानना होगा।

आप बस अपनी उंगली को पोछ कर गिन सकते हैं कि पूल के तल में मीटर दर मीटर क्यूब्स होते हैं। यदि आपकी टाइलें मीटर दर मीटर हैं, तो आपको टुकड़ों की आवश्यकता होगी। यह आसान है... लेकिन आपने ऐसी टाइल कहां देखी? टाइल बल्कि सेमी से सेमी होगी और फिर आपको "अपनी उंगली से गिनने" से पीड़ा होगी। फिर आपको गुणा करना है। तो, पूल के तल के एक तरफ, हम टाइलें (टुकड़े) फिट करेंगे और दूसरी तरफ भी, टाइलें। से गुणा करने पर आपको टाइलें () मिलती हैं।

क्या आपने देखा कि पूल के तल का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए हमने उसी संख्या को उसी से गुणा किया है? इसका क्या मतलब है? चूँकि एक ही संख्या को गुणा किया जाता है, हम घातांक तकनीक का उपयोग कर सकते हैं। (बेशक, जब आपके पास केवल दो संख्याएं हों, तब भी आपको उन्हें गुणा करने या उन्हें एक शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है। लेकिन यदि आपके पास उनमें से बहुत हैं, तो एक शक्ति तक बढ़ाना बहुत आसान है और गणनाओं में कम त्रुटियां भी हैं। परीक्षा के लिए, यह बहुत महत्वपूर्ण है)।
तो, तीस से दूसरी डिग्री () होगी। या आप कह सकते हैं कि तीस वर्ग होगा। दूसरे शब्दों में, किसी संख्या की दूसरी शक्ति को हमेशा एक वर्ग के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। और इसके विपरीत, यदि आप एक वर्ग देखते हैं, तो यह हमेशा किसी संख्या की दूसरी शक्ति होती है। एक वर्ग किसी संख्या की दूसरी शक्ति की एक छवि है।

वास्तविक जीवन उदाहरण #2

यहां आपके लिए एक कार्य है, गिनें कि संख्या के वर्ग का उपयोग करके शतरंज की बिसात पर कितने वर्ग हैं ... कोशिकाओं के एक तरफ और दूसरी तरफ भी। उनकी संख्या गिनने के लिए, आपको आठ को आठ से गुणा करना होगा, या ... यदि आप देखते हैं कि शतरंज की बिसात एक भुजा वाला वर्ग है, तो आप आठ का वर्ग कर सकते हैं। सेल प्राप्त करें। () इसलिए?

वास्तविक जीवन उदाहरण #3

अब घन या किसी संख्या की तीसरी शक्ति। वही पूल। लेकिन अब आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि इस कुंड में कितना पानी डालना होगा। आपको वॉल्यूम की गणना करने की आवश्यकता है। (मात्रा और तरल पदार्थ, वैसे, घन मीटर में मापा जाता है। अप्रत्याशित, सही?) एक पूल बनाएं: नीचे एक मीटर आकार और एक मीटर गहरा और गणना करने का प्रयास करें कि मीटर द्वारा मीटर को मापने वाले कितने घन आपके में प्रवेश करेंगे। पोखर।

बस अपनी उंगली को इंगित करें और गिनें! एक, दो, तीन, चार... बाईस, तेईस... कितना निकला? खो तो नहीं गया? क्या अपनी उंगली से गिनना मुश्किल है? ताकि! गणितज्ञों से एक उदाहरण लें। वे आलसी हैं, इसलिए उन्होंने देखा कि पूल की मात्रा की गणना करने के लिए, आपको इसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई को एक दूसरे से गुणा करना होगा। हमारे मामले में, पूल का आयतन घन के बराबर होगा ... आसान है, है ना?

अब कल्पना कीजिए कि गणितज्ञ कितने आलसी और चालाक होंगे यदि वे इसे बहुत आसान बना दें। सब कुछ एक क्रिया में कम कर दिया। उन्होंने देखा कि लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई बराबर होती है और वही संख्या खुद से गुणा होती है ... और इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि आप डिग्री का उपयोग कर सकते हैं। तो, जो आपने एक बार उंगली से गिना था, वे एक क्रिया में करते हैं: एक घन में तीन बराबर होते हैं। इसे इस प्रकार लिखा गया है:

ही रह जाता है डिग्री की तालिका याद करें. जब तक, निश्चित रूप से, आप गणितज्ञों की तरह आलसी और चालाक नहीं हैं। यदि आप कड़ी मेहनत करना और गलतियाँ करना पसंद करते हैं, तो आप अपनी उंगली से गिनना जारी रख सकते हैं।

ठीक है, अंत में आपको यह समझाने के लिए कि डिग्रियों का आविष्कार आवारा और चालाक लोगों ने अपने जीवन की समस्याओं को हल करने के लिए किया था, न कि आपके लिए समस्याएं पैदा करने के लिए, यहां जीवन से कुछ और उदाहरण दिए गए हैं।

वास्तविक जीवन का उदाहरण # 4

आपके पास एक लाख रूबल हैं। प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में, आप प्रत्येक मिलियन के लिए एक और मिलियन कमाते हैं। यानी, प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में आपका प्रत्येक मिलियन दोगुना हो जाता है। वर्षों में आपके पास कितना पैसा होगा? यदि आप अब बैठे हैं और "अपनी उंगली से गिन रहे हैं", तो आप बहुत मेहनती व्यक्ति हैं और मूर्ख हैं। लेकिन सबसे अधिक संभावना है कि आप कुछ सेकंड में जवाब देंगे, क्योंकि आप स्मार्ट हैं! तो, पहले साल में - दो गुना दो ... दूसरे साल - क्या हुआ, दो और, तीसरे साल ... बंद करो! आपने देखा कि संख्या एक बार स्वयं से गुणा हो जाती है। तो दो से पांचवीं शक्ति एक लाख है! अब कल्पना कीजिए कि आपके पास एक प्रतियोगिता है और जो तेजी से गणना करता है उसे ये लाखों मिलेंगे ... क्या यह संख्याओं की डिग्री को याद रखने लायक है, आपको क्या लगता है?

वास्तविक जीवन उदाहरण #5

आपके पास एक मिलियन है। प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में, आप प्रत्येक मिलियन के लिए दो और कमाते हैं। यह बहुत अच्छा है? हर मिलियन तीन गुना है। एक साल में आपके पास कितना पैसा होगा? गिनती करते हैं। पहले साल - से गुणा करें, फिर परिणाम दूसरे से ... यह पहले से ही उबाऊ है, क्योंकि आप पहले से ही सब कुछ समझ चुके हैं: तीन को खुद से गुणा किया जाता है। तो चौथी शक्ति एक लाख है। आपको केवल यह याद रखने की आवश्यकता है कि तीन से चौथी शक्ति या है।

अब आप जानते हैं कि संख्या को घात में बढ़ाकर आप अपने जीवन को बहुत आसान बना सकते हैं। आइए एक और नज़र डालें कि आप डिग्री के साथ क्या कर सकते हैं और आपको उनके बारे में क्या जानने की आवश्यकता है।

शर्तें और अवधारणाएं ... ताकि भ्रमित न हों

तो, पहले, आइए अवधारणाओं को परिभाषित करें। तुम क्या सोचते हो, प्रतिपादक क्या है? यह बहुत सरल है - यह वह संख्या है जो संख्या की शक्ति के "शीर्ष पर" है। वैज्ञानिक नहीं, लेकिन स्पष्ट और याद रखने में आसान...

खैर, साथ ही क्या डिग्री का ऐसा आधार? वह संख्या और भी सरल है जो नीचे, आधार पर है।

आपके लिए सुनिश्चित करने के लिए यहां एक तस्वीर है।

ठीक है, सामान्य शब्दों में, सामान्यीकरण और बेहतर याद रखने के लिए ... आधार के साथ डिग्री "" और सूचक "" को "डिग्री तक" के रूप में पढ़ा जाता है और लिखा जाता है इस अनुसार:

एक प्राकृतिक प्रतिपादक के साथ एक संख्या की शक्ति

आप शायद पहले ही अनुमान लगा चुके हैं: क्योंकि प्रतिपादक एक प्राकृतिक संख्या है। हाँ, पर क्या है प्राकृतिक संख्या? प्राथमिक! प्राकृतिक संख्याएँ वे हैं जिनका उपयोग वस्तुओं को सूचीबद्ध करते समय गिनती में किया जाता है: एक, दो, तीन ... जब हम वस्तुओं की गिनती करते हैं, तो हम यह नहीं कहते हैं: "शून्य से पाँच", "शून्य से छह", "शून्य से सात"। हम "एक तिहाई" या "शून्य दशमलव पाँच दहाई" भी नहीं कहते हैं। ये प्राकृतिक संख्याएँ नहीं हैं। आपको क्या लगता है ये नंबर क्या हैं?

"माइनस फाइव", "माइनस सिक्स", "माइनस सेवन" जैसी संख्याएँ संदर्भित करती हैं पूर्ण संख्याएं।सामान्य तौर पर, पूर्णांक में सभी प्राकृतिक संख्याएँ, प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ (जो कि ऋण चिह्न के साथ ली जाती हैं), और एक संख्या शामिल होती है। शून्य को समझना आसान है - यह तब है जब कुछ भी नहीं है। और ऋणात्मक ("ऋण") संख्याओं का क्या अर्थ है? लेकिन उनका आविष्कार मुख्य रूप से ऋणों को निरूपित करने के लिए किया गया था: यदि आपके फोन पर रूबल में संतुलन है, तो इसका मतलब है कि आप ऑपरेटर रूबल का भुगतान करते हैं।

सभी भिन्न परिमेय संख्याएँ हैं। वे कैसे आए, क्या आपको लगता है? बहुत आसान। कई हजार साल पहले, हमारे पूर्वजों ने पता लगाया कि उनके पास लंबाई, वजन, क्षेत्रफल आदि को मापने के लिए पर्याप्त प्राकृतिक संख्याएं नहीं थीं। और वे साथ आए परिमेय संख्या… दिलचस्प है, है ना?

अपरिमेय संख्याएँ भी होती हैं। ये नंबर क्या हैं? संक्षेप में, एक अनंत दशमलव अंश। उदाहरण के लिए, यदि आप किसी वृत्त की परिधि को उसके व्यास से विभाजित करते हैं, तो आपको एक अपरिमेय संख्या प्राप्त होती है।

सारांश:

आइए डिग्री की अवधारणा को परिभाषित करें, जिसका घातांक एक प्राकृतिक संख्या है (अर्थात पूर्णांक और धनात्मक)।

1. पहली शक्ति के लिए कोई भी संख्या स्वयं के बराबर होती है:
2. किसी संख्या का वर्ग करने के लिए उसे उसी से गुणा करना है:
3. किसी संख्या का घन करने के लिए उसे उसी से तीन बार गुणा करना है:

परिभाषा।किसी संख्या को एक प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाने के लिए संख्या को उसी से गुणा करना है:
.

डिग्री गुण

ये संपत्तियां कहां से आईं? मैं अब आपको दिखाता हूँ।

आइए देखें क्या है तथा ?

परिभाषा से:

कुल कितने गुणक हैं?

यह बहुत सरल है: हमने कारकों में कारकों को जोड़ा, और परिणाम कारक हैं।

लेकिन परिभाषा के अनुसार, यह एक घातांक के साथ एक संख्या की डिग्री है, जो है: , जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता थी।

उदाहरण: व्यंजक को सरल कीजिए।

समाधान:

उदाहरण:अभिव्यक्ति को सरल कीजिए।

समाधान:गौरतलब है कि हमारे शासन में आवश्यक रूप सेएक ही कारण होना चाहिए!
इसलिए, हम डिग्री को आधार के साथ जोड़ते हैं, लेकिन एक अलग कारक बने रहते हैं:

केवल शक्तियों के उत्पादों के लिए!

किसी भी हालत में आपको ऐसा नहीं लिखना चाहिए।

2. अर्थात् संख्या की -वीं शक्ति

पिछली संपत्ति की तरह, आइए डिग्री की परिभाषा की ओर मुड़ें:

यह पता चला है कि अभिव्यक्ति एक बार अपने आप से गुणा हो जाती है, अर्थात, परिभाषा के अनुसार, यह संख्या की वें शक्ति है:

वास्तव में, इसे "संकेतक को ब्रैकेट करना" कहा जा सकता है। लेकिन आप इसे कुल मिलाकर कभी नहीं कर सकते:

आइए संक्षिप्त गुणन के सूत्रों को याद करें: हम कितनी बार लिखना चाहते हैं?

लेकिन यह सच नहीं है, सच में।

एक नकारात्मक आधार के साथ डिग्री

इस बिंदु तक, हमने केवल चर्चा की है कि प्रतिपादक क्या होना चाहिए।

लेकिन आधार क्या होना चाहिए?

से डिग्री में प्राकृतिक संकेतकआधार हो सकता है कोई संख्या. वास्तव में, हम किसी भी संख्या को एक दूसरे से गुणा कर सकते हैं, चाहे वे धनात्मक हों, ऋणात्मक हों या सम हों।

आइए विचार करें कि किन संकेतों ("" या "") में सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की डिग्री होगी?

उदाहरण के लिए, संख्या धनात्मक होगी या ऋणात्मक? लेकिन? ? पहले के साथ, सब कुछ स्पष्ट है: हम चाहे कितनी भी धनात्मक संख्याओं को आपस में गुणा करें, परिणाम सकारात्मक होगा।

लेकिन नकारात्मक वाले थोड़े अधिक दिलचस्प हैं। आखिरकार, हमें 6 वीं कक्षा का एक सरल नियम याद है: "एक माइनस बार माइनस एक प्लस देता है।" यानी या। लेकिन अगर हम गुणा करते हैं, तो यह निकलता है।

अपने लिए निर्धारित करें कि निम्नलिखित भावों का क्या संकेत होगा:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

क्या आप संभाल पाओगे?

यहाँ उत्तर हैं: पहले चार उदाहरणों में, मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है? हम केवल आधार और प्रतिपादक को देखते हैं, और उचित नियम लागू करते हैं।

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

उदाहरण 5 में), सब कुछ भी उतना डरावना नहीं है जितना लगता है: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार किसके बराबर है - डिग्री सम है, जिसका अर्थ है कि परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा।

ठीक है, सिवाय इसके कि जब आधार शून्य हो। आधार वही नहीं है, है ना? स्पष्ट रूप से नहीं, चूंकि (क्योंकि)।

उदाहरण 6) अब इतना आसान नहीं है!

6 अभ्यास उदाहरण

समाधान का विश्लेषण 6 उदाहरण

अगर हम आठवीं डिग्री पर ध्यान नहीं देते हैं तो हम यहां क्या देखते हैं? आइए 7वीं कक्षा के कार्यक्रम पर एक नज़र डालें। तो, याद है? यह संक्षिप्त गुणन सूत्र है, अर्थात् वर्गों का अंतर! हम पाते हैं:

हम भाजक को ध्यान से देखते हैं। यह बहुत हद तक अंश के कारकों में से एक जैसा दिखता है, लेकिन क्या गलत है? शर्तों का गलत क्रम। यदि उनकी अदला-बदली की जाती, तो नियम लागू हो सकता था।

लेकिन ऐसा कैसे करें? यह पता चला है कि यह बहुत आसान है: भाजक की सम डिग्री यहां हमारी मदद करती है।

शर्तों ने जादुई रूप से स्थान बदल दिए हैं। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति पर एक समान डिग्री तक लागू होती है: हम कोष्ठक में संकेतों को स्वतंत्र रूप से बदल सकते हैं।

लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: सभी संकेत एक ही समय में बदलते हैं!

आइए उदाहरण पर वापस जाएं:

और फिर सूत्र:

पूरेहम प्राकृतिक संख्याओं, उनके विपरीत (जो कि "" चिह्न के साथ लिया गया है) और संख्या का नाम देते हैं।

सकारात्मक पूर्णांक, और यह प्राकृतिक से अलग नहीं है, तो सब कुछ पिछले अनुभाग की तरह ही दिखता है।

अब नजर डालते हैं नए मामलों पर। के बराबर एक सूचक के साथ शुरू करते हैं।

शून्य घात की कोई भी संख्या एक के बराबर होती है:

हमेशा की तरह, हम खुद से पूछते हैं: ऐसा क्यों है?

आधार के साथ कुछ शक्ति पर विचार करें। उदाहरण के लिए लें और गुणा करें:

इसलिए, हमने संख्या को से गुणा किया, और जैसा था वैसा ही प्राप्त किया -। किस संख्या से गुणा किया जाना चाहिए ताकि कुछ भी न बदले? यह सही है, पर। माध्यम।

हम एक मनमाना संख्या के साथ भी ऐसा ही कर सकते हैं:

आइए नियम दोहराएं:

शून्य घात की कोई भी संख्या एक के बराबर होती है।

लेकिन कई नियमों के अपवाद भी हैं। और यहाँ यह भी है - यह एक संख्या है (आधार के रूप में)।

एक ओर, यह किसी भी डिग्री के बराबर होना चाहिए - इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप शून्य को कितना गुणा करते हैं, फिर भी आपको शून्य मिलता है, यह स्पष्ट है। लेकिन दूसरी ओर, किसी भी संख्या की तरह शून्य डिग्री के बराबर होना चाहिए। तो इसका सच क्या है? गणितज्ञों ने शामिल नहीं होने का फैसला किया और शून्य को शून्य शक्ति तक बढ़ाने से इनकार कर दिया। अर्थात अब हम न केवल शून्य से विभाजित कर सकते हैं, बल्कि इसे शून्य शक्ति तक बढ़ा सकते हैं।

आगे चलते हैं। प्राकृतिक संख्याओं और संख्याओं के अतिरिक्त, पूर्णांकों में ऋणात्मक संख्याएँ भी शामिल होती हैं। यह समझने के लिए कि ऋणात्मक डिग्री क्या है, पिछली बार की तरह ही करते हैं: हम किसी सामान्य संख्या को उसी से ऋणात्मक डिग्री में गुणा करते हैं:

यहाँ से वांछित व्यक्त करना पहले से ही आसान है:

अब हम परिणामी नियम को मनमानी डिग्री तक विस्तारित करते हैं:

तो चलिए नियम बनाते हैं:

एक नकारात्मक शक्ति के लिए एक संख्या एक सकारात्मक शक्ति के लिए एक ही संख्या का व्युत्क्रम है। लेकिन साथ ही आधार शून्य नहीं हो सकता:(क्योंकि इसे विभाजित करना असंभव है)।

आइए संक्षेप करते हैं:

I. अभिव्यक्ति मामले में परिभाषित नहीं है। तो अगर।

द्वितीय। शून्य घात की कोई भी संख्या एक के बराबर होती है: .

तृतीय। एक संख्या जो एक नकारात्मक शक्ति के लिए शून्य के बराबर नहीं है, एक सकारात्मक शक्ति के लिए उसी संख्या का व्युत्क्रम है:।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

खैर, हमेशा की तरह, एक स्वतंत्र समाधान के लिए उदाहरण:

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्यों का विश्लेषण:

मुझे पता है, मुझे पता है, नंबर डरावने हैं, लेकिन परीक्षा में आपको किसी भी चीज के लिए तैयार रहना होगा! इन उदाहरणों को हल करें या यदि आप इसे हल नहीं कर पाते हैं तो उनके समाधान का विश्लेषण करें और आप सीखेंगे कि परीक्षा में आसानी से इनका सामना कैसे करना है!

आइए एक्सपोनेंट के रूप में "उपयुक्त" संख्याओं के चक्र का विस्तार करना जारी रखें।

अब विचार करें परिमेय संख्या।किन संख्याओं को परिमेय कहा जाता है?

उत्तर: वह सब जो एक अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ और पूर्णांक हैं, इसके अलावा।

क्या है समझने के लिए "आंशिक डिग्री"आइए एक अंश पर विचार करें:

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को एक घात तक बढ़ाएँ:

अब नियम याद करो "डिग्री से डिग्री":

प्राप्त करने के लिए कौन सी संख्या को एक शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए?

यह सूत्रीकरण वें डिग्री की जड़ की परिभाषा है।

मैं आपको याद दिला दूं: संख्या की वें शक्ति की जड़ () एक संख्या है, जब एक शक्ति के लिए उठाया जाता है, तो बराबर होता है।

अर्थात्, वें डिग्री की जड़ घातांक की व्युत्क्रम संक्रिया है: .

परिणाम यह निकला। जाहिर है, इस विशेष मामले को बढ़ाया जा सकता है: .

अब अंश जोड़ें: यह क्या है? पावर-टू-पावर नियम के साथ उत्तर प्राप्त करना आसान है:

लेकिन क्या आधार कोई संख्या हो सकती है? आखिरकार, रूट को सभी नंबरों से नहीं निकाला जा सकता है।

कोई भी नहीं!

नियम याद रखें: किसी भी संख्या को सम घात तक बढ़ाने पर वह धनात्मक संख्या होती है। अर्थात, ऋणात्मक संख्याओं से सम कोटि के मूल निकालना असंभव है!

और इसका मतलब यह है कि ऐसी संख्याओं को एक समान भाजक के साथ भिन्नात्मक शक्ति तक नहीं बढ़ाया जा सकता है, अर्थात अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है।

अभिव्यक्ति के बारे में क्या?

लेकिन यहाँ एक समस्या उत्पन्न होती है।

संख्या को अन्य, कम अंशों के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, या।

और यह पता चला है कि यह मौजूद है, लेकिन मौजूद नहीं है, और ये एक ही संख्या के दो अलग-अलग रिकॉर्ड हैं।

या कोई अन्य उदाहरण: एक बार, तो आप इसे लिख सकते हैं। लेकिन जैसे ही हम संकेतक को अलग तरीके से लिखते हैं, हमें फिर से परेशानी होती है: (यानी, हमें पूरी तरह से अलग परिणाम मिला!)।

ऐसे विरोधाभासों से बचने के लिए विचार करें भिन्नात्मक घातांक के साथ केवल धनात्मक आधार घातांक.

तो अगर:

• - प्राकृतिक संख्या;
• एक पूर्णांक है;

उदाहरण:

एक परिमेय प्रतिपादक वाली शक्तियाँ मूल के साथ व्यंजकों को रूपांतरित करने के लिए बहुत उपयोगी होती हैं, उदाहरण के लिए:

5 अभ्यास उदाहरण

प्रशिक्षण के लिए 5 उदाहरणों का विश्लेषण

खैर, अब - सबसे कठिन। अब हम विश्लेषण करेंगे एक अपरिमेय प्रतिपादक के साथ डिग्री.

यहां डिग्रियों के सभी नियम और गुण ठीक वैसे ही हैं जैसे परिमेय प्रतिपादक के साथ डिग्रियों के लिए, इसके अपवाद के साथ

दरअसल, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्याएँ ऐसी संख्याएँ होती हैं जिन्हें एक अंश के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, जहाँ और पूर्णांक हैं (अर्थात, अपरिमेय संख्याएँ परिमेय संख्याओं को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं)।

एक प्राकृतिक, पूर्णांक और तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हर बार हमने एक निश्चित "छवि", "सादृश्य" या अधिक परिचित शब्दों में वर्णन किया।

उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक घातांक एक संख्या है जिसे कई बार स्वयं से गुणा किया जाता है;

...शून्य शक्ति- यह, जैसा कि यह था, एक संख्या को एक बार गुणा किया जाता है, अर्थात, यह अभी तक गुणा करना शुरू नहीं हुआ है, जिसका अर्थ है कि संख्या स्वयं अभी तक प्रकट नहीं हुई है - इसलिए परिणाम केवल एक निश्चित "संख्या रिक्त" है , अर्थात् संख्या;

...नकारात्मक पूर्णांक घातांक- ऐसा लगता है जैसे एक निश्चित "रिवर्स प्रोसेस" हुआ है, यानी संख्या को अपने आप से गुणा नहीं किया गया था, बल्कि विभाजित किया गया था।

वैसे, विज्ञान अक्सर एक जटिल प्रतिपादक के साथ एक डिग्री का उपयोग करता है, अर्थात, एक प्रतिपादक वास्तविक संख्या भी नहीं है।

लेकिन स्कूल में हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं, आपके पास संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर होगा।

हमें यकीन है कि तुम कहाँ जाओगे! (यदि आप ऐसे उदाहरणों को हल करना सीखते हैं :))

उदाहरण के लिए:

अपने लिए तय करें:

समाधानों का विश्लेषण:

1. आइए एक डिग्री को एक डिग्री तक बढ़ाने के लिए पहले से ही सामान्य नियम से शुरू करें:

अब स्कोर देखिए। क्या वह आपको कुछ याद दिलाता है? हम वर्गों के अंतर के संक्षिप्त गुणन के सूत्र को याद करते हैं:

इस मामले में,

परिणाम यह निकला:

उत्तर: .

2. हम घातांकों में भिन्नों को एक ही रूप में लाते हैं: या तो दोनों दशमलव या दोनों साधारण। हमें मिलता है, उदाहरण के लिए:

उत्तर: 16

3. कुछ खास नहीं, हम डिग्री के सामान्य गुणों को लागू करते हैं:

अग्रवर्ती स्तर

डिग्री की परिभाषा

डिग्री प्रपत्र की एक अभिव्यक्ति है: , जहां:

• — डिग्री का आधार;
• - प्रतिपादक।

प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री (n = 1, 2, 3,...)

किसी संख्या को प्राकृतिक शक्ति n तक बढ़ाने का अर्थ है संख्या को उसी से गुणा करना:

पूर्णांक घातांक वाली शक्ति (0, ±1, ±2,...)

यदि प्रतिपादक है सकारात्मक पूर्णांकसंख्या:

निर्माण शून्य शक्ति के लिए:

अभिव्यक्ति अनिश्चित है, क्योंकि, एक ओर, यह किसी भी डिग्री के लिए है, और दूसरी ओर, वें डिग्री के लिए कोई भी संख्या यह है।

यदि प्रतिपादक है पूर्णांक नकारात्मकसंख्या:

(क्योंकि इसे विभाजित करना असंभव है)।

नल के बारे में एक और बार: अभिव्यक्ति को मामले में परिभाषित नहीं किया गया है। तो अगर।

उदाहरण:

तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ डिग्री

• - प्राकृतिक संख्या;
• एक पूर्णांक है;

उदाहरण:

डिग्री गुण

समस्याओं को हल करना आसान बनाने के लिए, आइए समझने की कोशिश करें: ये गुण कहाँ से आए? आइए उन्हें साबित करें।

आइए देखें: क्या है और?

परिभाषा से:

तो, इस अभिव्यक्ति के दाईं ओर, निम्न गुणनफल प्राप्त होता है:

लेकिन परिभाषा के अनुसार, यह एक घातांक वाली संख्या की शक्ति है, जो है:

Q.E.D.

उदाहरण : व्यंजक को सरल कीजिए।

समाधान : .

उदाहरण : व्यंजक को सरल कीजिए।

समाधान : गौरतलब है कि हमारे शासन में आवश्यक रूप सेएक ही आधार होना चाहिए। इसलिए, हम डिग्री को आधार के साथ जोड़ते हैं, लेकिन एक अलग कारक बने रहते हैं:

एक और महत्वपूर्ण नोट: यह नियम - केवल शक्तियों के उत्पादों के लिए!

मुझे किसी भी हालत में ऐसा नहीं लिखना चाहिए।

पिछली संपत्ति की तरह, आइए डिग्री की परिभाषा की ओर मुड़ें:

आइए इसे इस तरह पुनर्व्यवस्थित करें:

यह पता चला है कि अभिव्यक्ति एक बार अपने आप से गुणा हो जाती है, अर्थात, परिभाषा के अनुसार, यह संख्या की -th शक्ति है:

वास्तव में, इसे "संकेतक को ब्रैकेट करना" कहा जा सकता है। लेकिन आप इसे कुल मिलाकर कभी नहीं कर सकते :!

आइए संक्षिप्त गुणन के सूत्रों को याद करें: हम कितनी बार लिखना चाहते हैं? लेकिन यह सच नहीं है, सच में।

नकारात्मक आधार वाली शक्ति।

इस बिंदु तक, हमने केवल चर्चा की है कि क्या होना चाहिए अनुक्रमणिकाडिग्री। लेकिन आधार क्या होना चाहिए? से डिग्री में प्राकृतिक सूचक आधार हो सकता है कोई संख्या .

वास्तव में, हम किसी भी संख्या को एक दूसरे से गुणा कर सकते हैं, चाहे वे धनात्मक हों, ऋणात्मक हों या सम हों। आइए विचार करें कि किन संकेतों ("" या "") में सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की डिग्री होगी?

उदाहरण के लिए, संख्या धनात्मक होगी या ऋणात्मक? लेकिन? ?

पहले के साथ, सब कुछ स्पष्ट है: हम चाहे कितनी भी धनात्मक संख्याओं को आपस में गुणा करें, परिणाम सकारात्मक होगा।

लेकिन नकारात्मक वाले थोड़े अधिक दिलचस्प हैं। आखिरकार, हमें 6 वीं कक्षा का एक सरल नियम याद है: "एक माइनस बार माइनस एक प्लस देता है।" यानी या। परन्तु यदि हम () से गुणा करें, तो हमें - प्राप्त होता है।

और इसी तरह अनंत तक: प्रत्येक बाद के गुणन के साथ, चिन्ह बदल जाएगा। आप ये सरल नियम बना सकते हैं:

1. यहाँ तक कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
2. ऋणात्मक संख्या तक बढ़ाई गई अजीबडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
3. किसी भी शक्ति के लिए एक सकारात्मक संख्या एक सकारात्मक संख्या है।
4. किसी भी घात का शून्य शून्य के बराबर होता है।

अपने लिए निर्धारित करें कि निम्नलिखित भावों का क्या संकेत होगा:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

क्या आप संभाल पाओगे? यहाँ उत्तर हैं:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

पहले चार उदाहरणों में, मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है? हम केवल आधार और प्रतिपादक को देखते हैं, और उचित नियम लागू करते हैं।

उदाहरण 5 में), सब कुछ भी उतना डरावना नहीं है जितना लगता है: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार किसके बराबर है - डिग्री सम है, जिसका अर्थ है कि परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा। ठीक है, सिवाय इसके कि जब आधार शून्य हो। आधार वही नहीं है, है ना? स्पष्ट रूप से नहीं, चूंकि (क्योंकि)।

उदाहरण 6) अब इतना आसान नहीं है। यहां आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि कौन कम है: या? यदि आप उसे याद रखें तो यह स्पष्ट हो जाता है कि, जिसका अर्थ है कि आधार शून्य से कम है। अर्थात्, हम नियम 2 लागू करते हैं: परिणाम नकारात्मक होगा।

और फिर से हम डिग्री की परिभाषा का उपयोग करते हैं:

सब कुछ हमेशा की तरह है - हम डिग्री की परिभाषा लिखते हैं और उन्हें एक दूसरे में विभाजित करते हैं, उन्हें जोड़े में विभाजित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

अंतिम नियम का विश्लेषण करने से पहले, आइए कुछ उदाहरणों को हल करें।

भावों के मूल्यों की गणना करें:

समाधान :

अगर हम आठवीं डिग्री पर ध्यान नहीं देते हैं तो हम यहां क्या देखते हैं? आइए 7वीं कक्षा के कार्यक्रम पर एक नज़र डालें। तो, याद है? यह संक्षिप्त गुणन सूत्र है, अर्थात् वर्गों का अंतर!

हम पाते हैं:

हम भाजक को ध्यान से देखते हैं। यह बहुत हद तक अंश के कारकों में से एक जैसा दिखता है, लेकिन क्या गलत है? शर्तों का गलत क्रम। यदि वे उलटे होते, तो नियम 3 लागू किया जा सकता था। लेकिन यह कैसे करें? यह पता चला है कि यह बहुत आसान है: भाजक की सम डिग्री यहां हमारी मदद करती है।

यदि आप इसे गुणा करते हैं, तो कुछ भी नहीं बदलता है, है ना? लेकिन अब ऐसा दिखता है:

शर्तों ने जादुई रूप से स्थान बदल दिए हैं। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति पर एक समान डिग्री तक लागू होती है: हम कोष्ठक में संकेतों को स्वतंत्र रूप से बदल सकते हैं। लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: एक ही समय में सभी संकेत बदल जाते हैं!हमारे लिए केवल एक आपत्तिजनक माइनस बदलकर इसे बदला नहीं जा सकता है!

आइए उदाहरण पर वापस जाएं:

और फिर सूत्र:

तो अब आखिरी नियम:

हम इसे कैसे साबित करने जा रहे हैं? बेशक, हमेशा की तरह: आइए डिग्री की अवधारणा का विस्तार करें और सरल करें:

अच्छा, अब कोष्ठक खोलते हैं। कितने अक्षर होंगे? मल्टीप्लायरों द्वारा गुणन - यह कैसा दिखता है? यह एक ऑपरेशन की परिभाषा के अलावा और कुछ नहीं है गुणा: कुल गुणक निकला। अर्थात्, यह, परिभाषा के अनुसार, एक घातांक वाली संख्या की एक शक्ति है:

उदाहरण:

अपरिमेय प्रतिपादक के साथ डिग्री

औसत स्तर के लिए डिग्री के बारे में जानकारी के अलावा, हम एक अपरिमेय सूचक के साथ डिग्री का विश्लेषण करेंगे। यहां डिग्री के सभी नियम और गुण एक तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ एक डिग्री के समान हैं, अपवाद के साथ - आखिरकार, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्याएं ऐसी संख्याएं हैं जिन्हें एक अंश के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है और पूर्णांक हैं (अर्थात , परिमेय संख्या को छोड़कर सभी अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ हैं)।

एक प्राकृतिक, पूर्णांक और तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हर बार हमने एक निश्चित "छवि", "सादृश्य" या अधिक परिचित शब्दों में वर्णन किया। उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक घातांक एक संख्या है जिसे कई बार स्वयं से गुणा किया जाता है; शून्य डिग्री के लिए एक संख्या, जैसा कि यह था, एक संख्या को एक बार गुणा किया जाता है, अर्थात, यह अभी तक गुणा करना शुरू नहीं हुआ है, जिसका अर्थ है कि संख्या स्वयं अभी तक प्रकट नहीं हुई है - इसलिए, परिणाम केवल एक है निश्चित "एक संख्या की तैयारी", अर्थात् एक संख्या; एक पूर्णांक नकारात्मक संकेतक के साथ एक डिग्री - यह ऐसा है जैसे कि एक निश्चित "रिवर्स प्रक्रिया" हुई है, अर्थात संख्या को स्वयं से गुणा नहीं किया गया था, लेकिन विभाजित किया गया था।

एक अपरिमेय प्रतिपादक के साथ एक डिग्री की कल्पना करना बेहद मुश्किल है (जिस तरह 4-आयामी स्थान की कल्पना करना मुश्किल है)। बल्कि, यह विशुद्ध रूप से गणितीय वस्तु है जिसे गणितज्ञों ने एक डिग्री की अवधारणा को संख्याओं के संपूर्ण स्थान तक विस्तारित करने के लिए बनाया है।

वैसे, विज्ञान अक्सर एक जटिल प्रतिपादक के साथ एक डिग्री का उपयोग करता है, अर्थात, एक प्रतिपादक वास्तविक संख्या भी नहीं है। लेकिन स्कूल में हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं, आपके पास संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर होगा।

यदि हम एक अपरिमेय प्रतिपादक देखते हैं तो हम क्या करते हैं? हम इससे छुटकारा पाने की पूरी कोशिश कर रहे हैं! :)

उदाहरण के लिए:

अपने लिए तय करें:

1)

2)

3)

उत्तर:

1. वर्ग सूत्र के अंतर को याद रखें। उत्तर: ।
2. हम भिन्नों को एक ही रूप में लाते हैं: या तो दोनों दशमलव, या दोनों साधारण। हमें मिलता है, उदाहरण के लिए:।
3. कुछ खास नहीं, हम डिग्री के सामान्य गुणों को लागू करते हैं:

खंड सारांश और बुनियादी सूत्र

डिग्रीरूप की अभिव्यक्ति कहा जाता है: , जहां:

पूर्णांक एक्सपोनेंट के साथ डिग्री

डिग्री, जिसका घातांक एक प्राकृतिक संख्या (यानी पूर्णांक और सकारात्मक) है।

तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ डिग्री

डिग्री, जिसका सूचक ऋणात्मक और भिन्नात्मक संख्याएँ हैं।

अपरिमेय प्रतिपादक के साथ डिग्री

एक्सपोनेंट जिसका एक्सपोनेंट अनंत दशमलव अंश या रूट है।

डिग्री गुण

डिग्री की विशेषताएं।

• ऋणात्मक संख्या तक बढ़ाई गई यहाँ तक कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
• ऋणात्मक संख्या तक बढ़ाई गई अजीबडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
• किसी भी शक्ति के लिए एक सकारात्मक संख्या एक सकारात्मक संख्या है।
• शून्य किसी भी शक्ति के बराबर है।
• शून्य शक्ति के लिए कोई संख्या बराबर है।

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और आपकी परीक्षाओं के लिए शुभकामनाएँ!

किसी संख्या को उसी से गुणा करने की संक्रिया को लिखना आसान बनाने के लिए घातांक का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, लिखने के बजाय आप लिख सकते हैं 4 5 (\displaystyle 4^(5))(इस तरह के संक्रमण की व्याख्या इस लेख के पहले खंड में दी गई है)। शक्तियाँ लंबे या जटिल भावों या समीकरणों को लिखना आसान बनाती हैं; साथ ही, घातों को आसानी से जोड़ा और घटाया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप अभिव्यक्ति या समीकरण का सरलीकरण होता है (उदाहरण के लिए, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

टिप्पणी:यदि आपको एक घातीय समीकरण को हल करने की आवश्यकता है (ऐसे समीकरण में, घातांक में अज्ञात है), पढ़ें।

कदम

शक्तियों के साथ सरल समस्याओं का समाधान

घातांक के आधार को घातांक के बराबर कई बार उसी से गुणा करें।यदि आपको मैन्युअल रूप से घातांक के साथ किसी समस्या को हल करने की आवश्यकता है, तो घातांक को गुणन संक्रिया के रूप में फिर से लिखें, जहां घातांक का आधार स्वयं से गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए, डिग्री दी 3 4 (\displaystyle 3^(4)). इस स्थिति में, डिग्री 3 के आधार को स्वयं से 4 गुणा गुणा किया जाना चाहिए: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). यहाँ अन्य उदाहरण हैं:

सबसे पहले, पहले दो नंबरों को गुणा करें।उदाहरण के लिए, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). चिंता न करें - गणना प्रक्रिया उतनी जटिल नहीं है जितनी पहली नज़र में लगती है। पहले पहले दो चौगुने का गुणा करें, और फिर उन्हें परिणाम से बदल दें। ऐशे ही:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. परिणाम (हमारे उदाहरण में 16) को अगली संख्या से गुणा करें।प्रत्येक बाद के परिणाम आनुपातिक रूप से बढ़ेंगे। हमारे उदाहरण में, 16 को 4 से गुणा करें। इस प्रकार:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • अंतिम उत्तर प्राप्त होने तक पहली दो संख्याओं को अगली संख्या से गुणा करने के परिणाम को गुणा करते रहें। ऐसा करने के लिए, पहले दो नंबरों को गुणा करें, और फिर परिणाम को क्रम में अगली संख्या से गुणा करें। यह विधि किसी भी डिग्री के लिए मान्य है। हमारे उदाहरण में, आपको यह प्राप्त करना चाहिए: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. निम्नलिखित समस्याओं को हल कीजिए।कैलकुलेटर से अपने उत्तर की जाँच करें।

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. कैलकुलेटर पर, "एक्सप", या " एक्स एन (\displaystyle x^(n))", या "^"।इस कुंजी से आप संख्या को घात तक बढ़ा देंगे। बड़े एक्सपोनेंट के साथ डिग्री की मैन्युअल रूप से गणना करना व्यावहारिक रूप से असंभव है (उदाहरण के लिए, डिग्री 9 15 (\displaystyle 9^(15))), लेकिन कैलकुलेटर आसानी से इस कार्य का सामना कर सकता है। विंडोज 7 में, मानक कैलकुलेटर को इंजीनियरिंग मोड में स्विच किया जा सकता है; ऐसा करने के लिए, "देखें" -\u003e "इंजीनियरिंग" पर क्लिक करें। सामान्य मोड में जाने के लिए, "देखें" -\u003e "सामान्य" पर क्लिक करें।

   • खोज इंजन (Google या Yandex) का उपयोग करके प्राप्त उत्तर की जाँच करें. कंप्यूटर कीबोर्ड पर "^" कुंजी का उपयोग करते हुए, खोज इंजन में अभिव्यक्ति दर्ज करें, जो तुरंत सही उत्तर प्रदर्शित करेगा (और संभवतः अध्ययन के लिए समान भावों का सुझाव देगा)।

   शक्तियों का जोड़, घटाव, गुणन

   1. आप शक्तियों को तभी जोड़ और घटा सकते हैं जब उनका आधार समान हो।यदि आपको समान आधारों और घातांकों के साथ घात जोड़ने की आवश्यकता है, तो आप जोड़ संक्रिया को गुणन संक्रिया से बदल सकते हैं। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति दी 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). याद रखें कि डिग्री 4 5 (\displaystyle 4^(5))के रूप में दर्शाया जा सकता है 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); इस प्रकार, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(जहां 1 +1 = 2)। यही है, समान डिग्री की संख्या की गणना करें, और फिर ऐसी डिग्री और इस संख्या को गुणा करें। हमारे उदाहरण में, 4 को पाँचवीं शक्ति तक बढ़ाएँ, और फिर परिणाम को 2 से गुणा करें। याद रखें कि जोड़ ऑपरेशन को गुणन ऑपरेशन से बदला जा सकता है, उदाहरण के लिए, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). यहाँ अन्य उदाहरण हैं:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. समान आधार वाली शक्तियों को गुणा करते समय, उनके घातांक जोड़े जाते हैं (आधार नहीं बदलता है)।उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति दी x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). इस मामले में, आपको केवल आधार को अपरिवर्तित छोड़कर संकेतक जोड़ने की जरूरत है। इस तरह, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). यहाँ इस नियम की एक दृश्य व्याख्या है:

      एक शक्ति को एक शक्ति में ऊपर उठाने पर, प्रतिपादकों को गुणा किया जाता है।उदाहरण के लिए, एक डिग्री दी। चूँकि घातांकों को गुणा किया जाता है, तब (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). इस नियम का अर्थ यह है कि आप शक्ति को गुणा करें (x 2) (\displaystyle (x^(2)))खुद पर पांच बार। ऐशे ही:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • चूंकि आधार समान है, इसलिए प्रतिपादक बस जोड़ते हैं: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. ऋणात्मक घातांक वाले घातांक को भिन्न (व्युत्क्रम शक्ति में) में परिवर्तित किया जाना चाहिए।इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप नहीं जानते कि एक पारस्परिक क्या है। यदि आपको ऋणात्मक घातांक वाली डिग्री दी जाती है, उदाहरण के लिए, 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), इस घात को भिन्न के हर में लिखिए (अंश में 1 डालिए), और घातांक को धनात्मक बनाइए। हमारे उदाहरण में: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). यहाँ अन्य उदाहरण हैं:

      समान आधार वाली शक्तियों को विभाजित करते समय, उनके घातांक घटा दिए जाते हैं (आधार नहीं बदलता है)।विभाजन संक्रिया गुणन संक्रिया के विपरीत है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति दी 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). अंश में घातांक से हर में घातांक घटाएं (आधार न बदलें)। इस तरह, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • भाजक में डिग्री को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). याद रखें कि एक अंश एक नकारात्मक एक्सपोनेंट के साथ एक संख्या (शक्ति, अभिव्यक्ति) है।

   4. बिजली की समस्याओं को हल करने के तरीके सीखने में आपकी मदद करने के लिए नीचे कुछ भाव दिए गए हैं।उपरोक्त भाव इस खंड में प्रस्तुत सामग्री को कवर करते हैं। उत्तर देखने के लिए, बराबर चिह्न के बाद खाली स्थान को हाइलाइट करें।

   आंशिक घातांक के साथ समस्याओं को हल करना

   भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री (उदाहरण के लिए, ) को रूट एक्सट्रैक्शन ऑपरेशन में बदला जाता है।हमारे उदाहरण में: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि भिन्नात्मक घातांक के हर में कौन सी संख्या है। उदाहरण के लिए, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))"एक्स" की चौथी जड़ है x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. यदि प्रतिपादक एक अनुचित अंश है, तो समस्या के समाधान को सरल बनाने के लिए ऐसे प्रतिपादक को दो घातों में विघटित किया जा सकता है। इसमें कुछ भी जटिल नहीं है - बस गुणा करने वाली शक्तियों के नियम को याद रखें। उदाहरण के लिए, एक डिग्री दी। उस घातांक को मूल में बदलें जिसका घातांक भिन्नात्मक घातांक के हर के बराबर है, और फिर उस मूल को भिन्नात्मक घातांक के अंश के बराबर घातांक तक बढ़ाएँ। ऐसा करने के लिए, याद रखें 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). हमारे उदाहरण में:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. कुछ कैलकुलेटर में घातांक की गणना के लिए एक बटन होता है (पहले आपको आधार दर्ज करने की आवश्यकता होती है, फिर बटन दबाएं, और फिर घातांक दर्ज करें)। इसे ^ या x^y के रूप में दर्शाया गया है।
   3. याद रखें कि कोई भी संख्या पहली शक्ति के बराबर होती है, उदाहरण के लिए, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4।)इसके अलावा, किसी भी संख्या को एक से गुणा या विभाजित करना स्वयं के बराबर होता है, उदाहरण के लिए, 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5)तथा 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. पता है कि डिग्री 0 0 मौजूद नहीं है (ऐसी डिग्री का कोई समाधान नहीं है)। जब आप कैलकुलेटर या कंप्यूटर पर ऐसी डिग्री को हल करने का प्रयास करते हैं, तो आपको एक त्रुटि मिलेगी। लेकिन याद रखें कि कोई भी संख्या शून्य की घात 1 के बराबर होती है, उदाहरण के लिए, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. उच्च गणित में, जो काल्पनिक संख्याओं से संचालित होता है: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), कहाँ पे i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); ई लगभग 2.7 के बराबर एक स्थिरांक है; a एक मनमाना स्थिरांक है। इस समानता का प्रमाण उच्च गणित की किसी भी पाठ्यपुस्तक में पाया जा सकता है।

   चेतावनी

   • जैसे-जैसे घातांक बढ़ता है, इसका मान बहुत बढ़ता जाता है। इसलिए, यदि उत्तर आपको गलत लगता है, तो वास्तव में वह सत्य भी हो सकता है। आप किसी चरघातांकी फलन, जैसे कि 2 x को आलेखित करके इसकी जाँच कर सकते हैं।