बेयस प्रमेय की एक सरल व्याख्या। कुल संभावना सूत्र

कुल संभाव्यता सूत्र प्राप्त करते समय, यह मान लिया गया था कि घटना लेकिन, जिसकी प्रायिकता निर्धारित की जानी थी, किसी एक घटना के साथ घटित हो सकती है एच 1 , एन 2 , ... , एच नहीं, जोड़ीवार असंगत घटनाओं का एक पूरा समूह बनाना। इन घटनाओं (परिकल्पनाओं) की संभावनाओं को पहले से ही जाना जाता था। आइए मान लें कि एक प्रयोग किया गया है, जिसके परिणामस्वरूप घटना लेकिनआ गया। यह अतिरिक्त जानकारी हमें परिकल्पनाओं की संभावनाओं का पुनर्मूल्यांकन करने की अनुमति देती है नमस्ते ,गणना करना पी (एच आई / ए)।

या, कुल संभाव्यता सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

इस सूत्र को बेयस सूत्र या परिकल्पना प्रमेय कहा जाता है। बेयस का सूत्र आपको प्रयोग के परिणाम ज्ञात होने के बाद परिकल्पना की संभावनाओं को "संशोधित" करने की अनुमति देता है, जिसके परिणामस्वरूप घटना सामने आई लेकिन.

संभावनाओं (Н मैं)परिकल्पना की प्राथमिक संभावनाएं हैं (उनकी गणना प्रयोग से पहले की गई थी)। संभावनाएं पी (एच आई / ए)परिकल्पनाओं की पश्च प्रायिकताएँ हैं (उनकी गणना प्रयोग के बाद की जाती है)। बेयस फॉर्मूला आपको पिछली संभावनाओं की उनकी पूर्व संभावनाओं और घटना की सशर्त संभावनाओं से गणना करने की अनुमति देता है लेकिन.

उदाहरण. यह ज्ञात है कि सभी पुरुषों में से 5% और सभी महिलाओं में से 0.25% कलर ब्लाइंड हैं। मेडिकल कार्ड की संख्या के आधार पर एक यादृच्छिक रूप से चयनित व्यक्ति वर्णान्धता से ग्रस्त है। क्या संभावना है कि वह एक आदमी है?

समाधान. आयोजन लेकिनव्यक्ति वर्णान्ध है। प्रयोग के लिए प्राथमिक घटनाओं का स्थान - एक व्यक्ति को मेडिकल कार्ड की संख्या से चुना जाता है - = ( एच 1 , एन 2 ) 2 घटनाओं के होते हैं:

एच 1 - एक आदमी का चयन किया जाता है,

एच 2 - एक महिला का चयन किया जाता है।

इन घटनाओं को परिकल्पना के रूप में चुना जा सकता है।

समस्या की स्थिति (यादृच्छिक विकल्प) के अनुसार, इन घटनाओं की संभावनाएं समान और बराबर होती हैं पी(एच 1 ) = 0.5; पी(एच 2 ) = 0.5.

इस मामले में, किसी व्यक्ति को वर्णांधता से पीड़ित होने की सशर्त संभावनाएं क्रमशः समान होती हैं:

बरतन 1 ) = 0.05 = 1/20; बरतन 2 ) = 0.0025 = 1/400.

चूंकि यह ज्ञात है कि चयनित व्यक्ति कलर ब्लाइंड है, अर्थात घटना घटी है, हम पहली परिकल्पना का पुनर्मूल्यांकन करने के लिए बेयस सूत्र का उपयोग करते हैं:

उदाहरण।तीन समान बक्से हैं। पहले डिब्बे में 20 सफेद गेंदें हैं, दूसरे डिब्बे में 10 सफेद और 10 काली गेंदें हैं और तीसरे डिब्बे में 20 काली गेंदें हैं। यादृच्छिक रूप से चुने गए बॉक्स से एक सफेद गेंद निकाली जाती है। इस संभावना की गणना करें कि गेंद पहले बॉक्स से निकाली गई है।

समाधान. द्वारा निरूपित करें लेकिनघटना - एक सफेद गेंद की उपस्थिति। बॉक्स के चुनाव के बारे में तीन धारणाएँ (परिकल्पनाएँ) बनाई जा सकती हैं: एच 1 ,एच 2 , एच 3 - क्रमशः पहले, दूसरे और तीसरे बॉक्स का चयन।

चूंकि किसी भी बॉक्स का चुनाव समान रूप से संभव है, इसलिए परिकल्पना की संभावनाएं समान हैं:

पी(एच 1 )=पी(एच 2 )=पी(एच 3 )= 1/3.

समस्या की स्थिति के अनुसार, पहले डिब्बे से एक सफेद गेंद निकलने की प्रायिकता

दूसरे डिब्बे से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता

तीसरे डिब्बे से सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता

हम बेयस सूत्र का उपयोग करके वांछित संभावना पाते हैं:

परीक्षणों की पुनरावृत्ति। बर्नौली सूत्र.

n परीक्षण हैं, जिनमें से प्रत्येक में घटना A घटित हो सकती है या नहीं हो सकती है, और प्रत्येक व्यक्तिगत परीक्षण में घटना A की संभावना स्थिर है, अर्थात। अनुभव से अनुभव में नहीं बदलता। हम पहले से ही जानते हैं कि एक प्रयोग में किसी घटना A की प्रायिकता कैसे ज्ञात की जाती है।

विशेष रुचि की घटना n प्रयोगों में घटना A की एक निश्चित संख्या (m बार) के घटित होने की संभावना है। यदि परीक्षण स्वतंत्र हैं तो ऐसी समस्याएं आसानी से हल हो जाती हैं।

डीईएफ़।कई परीक्षण कहलाते हैं घटना ए के संबंध में स्वतंत्र यदि उनमें से प्रत्येक में घटना A की प्रायिकता अन्य प्रयोगों के परिणामों पर निर्भर नहीं करती है।

इन n परीक्षणों में घटना A के ठीक m बार (n-m बार, घटना का न होना) होने की प्रायिकता P n (m) है। ईवेंट A विभिन्न क्रमों में m बार प्रकट होता है)।

- बर्नौली का सूत्र।

निम्नलिखित सूत्र स्पष्ट हैं:

पी एन (एम कम n परीक्षणों में k बार।

P n (m>k) = P n (k+1) + P n (k+2) +…+ P n (n) - घटना A के घटित होने की प्रायिकता अधिक n परीक्षणों में k बार।

आइए एक उदाहरण से शुरू करते हैं। आपके सामने कलश में समान रूप से संभावितहो सकता है (1) दो सफेद गेंदें, (2) एक सफेद और एक काली, (3) दो काली। आप गेंद को खींचते हैं और वह सफेद हो जाती है। अब आप कैसे रेट करते हैं? संभावनाये तीन विकल्प (परिकल्पनाएं)? जाहिर है, दो काली गेंदों के साथ परिकल्पना (3) की संभावना = 0. लेकिन दो शेष परिकल्पनाओं की संभावनाओं की गणना कैसे करें!? यह आपको बेयस सूत्र बनाने की अनुमति देता है, जो हमारे मामले में रूप है (सूत्र की संख्या परीक्षण की जा रही परिकल्पना की संख्या से मेल खाती है):

प्रारूप में नोट डाउनलोड करें या

एक्सएक यादृच्छिक चर (परिकल्पना) है जो निम्नलिखित मान लेता है: एक्स 1- दो गोरे एक्स 2- एक सफेद, एक काला; एक्स 3- दो काले वाले; परएक यादृच्छिक चर (घटना) है जो निम्नलिखित मान लेता है: 1- एक सफेद गेंद खींची जाती है और दो पर- एक काली गेंद खींची जाती है; पी (एक्स 1)गेंद के निकलने से पहले पहली परिकल्पना की प्रायिकता है ( संभवतःसंभावना या संभावना इससे पहलेअनुभव) = 1/3; पी (एक्स 2)- गेंद के निकलने से पहले दूसरी परिकल्पना की प्रायिकता = 1/3; पी (एक्स 3)- गेंद को बाहर निकालने से पहले तीसरी परिकल्पना की प्रायिकता = 1/3; पी (वाई 1|एक्स 1)- यदि पहली परिकल्पना सत्य है (गेंदें सफेद हैं) सफेद गेंद निकालने की सशर्त संभावना = 1; पी (वाई 1|एक्स 2) – सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता, यदि दूसरी परिकल्पना सत्य है (एक गेंद सफेद है, दूसरी काली है) = ½; पी (वाई 1|एक्स 3) – सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता, यदि तीसरी परिकल्पना सत्य है (दोनों काली) = 0; पी (वाई 1)- सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता = ½; पी (वाई 2)- एक काली गेंद निकालने की प्रायिकता = ½; और अंत में हम जो खोज रहे हैं - पी (एक्स 1|1 पर) – पहली परिकल्पना के सत्य होने की प्रायिकता (दोनों गेंदें सफेद हैं), बशर्ते कि हमने एक सफेद गेंद निकाली हो ( वापससंभावना या संभावना बाद मेंअनुभव); पी (एक्स 2|1 पर) – संभावना है कि दूसरी परिकल्पना सच है (एक गेंद सफेद है, दूसरी काली है), बशर्ते कि हमने एक सफेद गेंद निकाली हो।

संभावना है कि पहली परिकल्पना (दो सफेद गेंद) सच है, यह देखते हुए कि हमने एक सफेद गेंद खींची है:

संभावना है कि दूसरी परिकल्पना सच है (एक सफेद है, दूसरी काली है), बशर्ते कि हमने एक सफेद गेंद निकाली हो:

संभावना है कि तीसरी परिकल्पना (दो काली वाली) सच है, यह देखते हुए कि हमने एक सफेद गेंद खींची है:

बेयस फॉर्मूला क्या करता है? यह परिकल्पना की प्राथमिक संभावनाओं के आधार पर इसे संभव बनाता है - पी(एक्स 1), पी(एक्स 2), पी (एक्स 3)- और घटनाओं के घटित होने की संभावनाएँ - पी (वाई 1), पी (वाई 2)- परिकल्पनाओं की पिछली संभावनाओं की गणना करें, उदाहरण के लिए, पहली परिकल्पना की संभावना, बशर्ते कि एक सफेद गेंद खींची गई हो - पी (एक्स 1|1 पर).

आइए फॉर्मूला (1) पर वापस जाएं। पहली परिकल्पना की प्रारंभिक संभावना थी पी (एक्स 1) = 1/3. संभावना के साथ पी (वाई 1) = 1/2हम एक सफेद गेंद खींच सकते हैं, और संभावना के साथ पी (वाई 2) = 1/2- काला। हमने सफेद को बाहर निकाला। सफेद रंग आने की प्रायिकता, बशर्ते कि पहली परिकल्पना सत्य हो पी (वाई 1|एक्स 1) = 1.बेयस का सूत्र कहता है कि चूंकि सफेद रंग खींचा गया है, पहली परिकल्पना की संभावना बढ़कर 2/3 हो गई है, दूसरी परिकल्पना की संभावना अभी भी 1/3 है, और तीसरी परिकल्पना की संभावना शून्य हो गई है।

यह जांचना आसान है कि यदि हम एक काली गेंद खींचते हैं, तो पश्च प्रायिकता सममित रूप से बदल जाएगी: पी (एक्स 1|वाई 2) = 0, पी (एक्स 2 .)|वाई 2) = 1/3, पी (एक्स 3 .)|वाई 2) = 2/3।

यहाँ पियरे साइमन लाप्लास ने 1814 में प्रकाशित एक पेपर में बेयस फॉर्मूला के बारे में लिखा है:

यह संयोग विश्लेषण की शाखा का मूल सिद्धांत है जो घटनाओं से कारणों में परिवर्तन से संबंधित है।

बेयस के सूत्र को समझना इतना कठिन क्यों है !? मेरी राय में, क्योंकि हमारा सामान्य दृष्टिकोण कारणों से प्रभावों तक तर्क करना है। उदाहरण के लिए, यदि एक कलश में 36 गेंदें हैं, जिनमें से 6 काली हैं और शेष सफेद हैं। एक सफेद गेंद निकालने की प्रायिकता क्या है? बेयस का सूत्र आपको घटनाओं से कारणों (परिकल्पना) तक जाने की अनुमति देता है। यदि हमारे पास तीन परिकल्पनाएँ थीं, और एक घटना घटी, तो इस घटना (और वैकल्पिक नहीं) ने परिकल्पना की प्रारंभिक संभावनाओं को कैसे प्रभावित किया? ये संभावनाएं कैसे बदल गई हैं?

मेरा मानना ​​है कि बेयस का फॉर्मूला सिर्फ संभावनाओं के बारे में नहीं है। यह धारणा के प्रतिमान को बदल देता है। नियतात्मक प्रतिमान का उपयोग करते समय विचार की ट्रेन क्या है? यदि कोई घटना घटती है, तो उसका कारण क्या है? यदि कोई दुर्घटना, कोई आपात स्थिति, एक सैन्य संघर्ष होता। उनकी गलती कौन थी या क्या थी? एक बायेसियन पर्यवेक्षक कैसे सोचता है? वास्तविकता की संरचना क्या है जिसके कारण दिया गयाऐसी और ऐसी अभिव्यक्ति का मामला ... बायेसियन समझता है कि in अन्यथापरिणाम अलग हो सकता है...

आइए प्रतीकों को सूत्रों (1) और (2) में थोड़ा अलग तरीके से रखें:

हम जो देखते हैं उसके बारे में फिर से बात करते हैं। एक समान प्रारंभिक (प्राथमिकता) संभावना के साथ, तीन परिकल्पनाओं में से एक सत्य हो सकती है। समान संभावना के साथ, हम एक सफेद या काली गेंद खींच सकते हैं। हमने सफेद को बाहर निकाला। इस नई अतिरिक्त जानकारी के आलोक में, परिकल्पनाओं के हमारे मूल्यांकन को संशोधित किया जाना चाहिए। बेयस का सूत्र आपको इसे संख्यात्मक रूप से करने की अनुमति देता है। पहली परिकल्पना (सूत्र 7) की प्राथमिक संभावना थी पी (एक्स 1), एक सफेद गेंद खींची जाती है, पहली परिकल्पना की पश्च प्रायिकता बन जाती है पी (एक्स 1|1 पर)।ये संभावनाएं एक कारक से भिन्न होती हैं।

आयोजन 1सबूत कहा जाता है कि कमोबेश एक परिकल्पना की पुष्टि या खंडन करता है एक्स 1. इस अनुपात को कभी-कभी साक्ष्य की शक्ति के रूप में जाना जाता है। साक्ष्य जितना अधिक शक्तिशाली होगा (गुणांक जितना अधिक एकता से भिन्न होगा), अवलोकन का तथ्य उतना ही अधिक होगा 1पूर्व प्रायिकता को बदलता है, पश्च प्रायिकता पूर्व से भिन्न होती है। यदि सबूत कमजोर है (गुणांक ~ 1), तो पश्चवर्ती लगभग पूर्व के बराबर है।

प्रमाणपत्र 1में = 2 समय ने परिकल्पना की पूर्व संभावना को बदल दिया एक्स 1(सूत्र 4)। साथ ही, सबूत 1परिकल्पना की संभावना को नहीं बदला एक्स 2, इसकी शक्ति के बाद से = 1 (सूत्र 5)।

सामान्य तौर पर, बेयस सूत्र का निम्न रूप होता है:

एक्सएक यादृच्छिक चर (परस्पर अनन्य परिकल्पनाओं का एक समूह) है जो मान लेता है: एक्स 1, एक्स 2, … , एक्सएन. परएक यादृच्छिक चर (पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाओं का एक सेट) है जो निम्नलिखित मान लेता है: 1, दो पर, … , परएन. बेयस का सूत्र आपको एक परिकल्पना की पश्च प्रायिकता का पता लगाने की अनुमति देता है एक्समैंजब कोई घटना होती है वाई जी. अंश परिकल्पना की प्राथमिक संभावना का उत्पाद है एक्समैं – पी(एक्समैं) किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता वाई जीयदि परिकल्पना सत्य है एक्समैं – आर(वाई जी|xमैं). हर में - अंश के समान उत्पादों का योग, लेकिन सभी परिकल्पनाओं के लिए। यदि हम हर की गणना करते हैं, तो हमें घटना के घटित होने की कुल प्रायिकता प्राप्त होती है परजे(यदि कोई परिकल्पना सत्य है) - आर(वाई जी) (सूत्र 1-3 के अनुसार)।

एक बार फिर सबूत के बारे में। आयोजन वाई जीअतिरिक्त जानकारी प्रदान करता है जो आपको परिकल्पना की पूर्व संभावना को संशोधित करने की अनुमति देता है एक्समैं. साक्ष्य की शक्ति - - अंश में घटना के घटित होने की प्रायिकता होती है वाई जीयदि परिकल्पना सत्य है एक्समैं. हर घटना होने की कुल संभावना है परजे(या किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता परजेसभी अनुमानों पर औसत)। परजेपरिकल्पना के लिए ऊपर एक्समैंसभी परिकल्पनाओं के औसत से अधिक, तब साक्ष्य परिकल्पना के हाथों में खेलता है एक्समैं, इसकी पश्च संभावना में वृद्धि आर(वाई जी|xमैं). यदि किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता परजेपरिकल्पना के लिए नीचे एक्समैंसभी परिकल्पनाओं के लिए औसत से अधिक, तो साक्ष्य पश्च संभावना को कम करता है आर(वाई जी|xमैं) के लियेपरिकल्पना एक्समैं. यदि किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता परजेपरिकल्पना के लिए एक्समैंसभी परिकल्पनाओं के लिए औसत के समान है, तो सबूत पश्च संभावना को नहीं बदलते हैं आर(वाई जी|xमैं) के लियेपरिकल्पना एक्समैं.

यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं जो मुझे आशा है कि बेयस सूत्र के बारे में आपकी समझ को मजबूत करेंगे।

समस्या 2। दो निशानेबाज स्वतंत्र रूप से एक ही लक्ष्य पर गोली चलाते हैं, प्रत्येक ने एक गोली चलाई। पहले निशानेबाज के लिए लक्ष्य को भेदने की संभावना 0.8 है, दूसरे के लिए - 0.4। गोली मारने के बाद निशाने पर एक छेद मिला। इस छेद के पहले शूटर के होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। .

कार्य 3. निगरानी की जा रही वस्तु दो राज्यों में से एक में हो सकती है: एच 1 = (कार्यशील) और एच 2 = (काम नहीं कर रहा)। इन राज्यों की एक प्राथमिक संभावनाएं Р(Н 1) = 0.7, Р(Н 2) = 0.3। सूचना के दो स्रोत हैं जो किसी वस्तु की स्थिति के बारे में परस्पर विरोधी जानकारी प्रदान करते हैं; पहला स्रोत रिपोर्ट करता है कि वस्तु कार्य नहीं कर रही है, दूसरा - कि वह कार्य कर रही है। यह ज्ञात है कि पहला स्रोत 0.9 की संभावना के साथ सही जानकारी देता है, और 0.1 की संभावना के साथ - गलत। दूसरा स्रोत कम विश्वसनीय है: यह 0.7 की संभावना के साथ सही जानकारी देता है, और 0.3 की संभावना के साथ - गलत। परिकल्पनाओं की पश्च प्रायिकता ज्ञात कीजिए। .

कार्य 1-3 ई.एस. वेंटजेल, एल.ए. ओवचारोव द्वारा पाठ्यपुस्तक से लिए गए हैं। संभाव्यता सिद्धांत और इसके इंजीनियरिंग अनुप्रयोग, खंड 2.6 परिकल्पना प्रमेय (बेयस सूत्र)।

समस्या 4 पुस्तक खंड 4.3 बेयस प्रमेय से ली गई है।

सूचना प्रौद्योगिकी, कंप्यूटर विज्ञान और प्रबंधन

बेयस सूत्र की प्रयोज्यता पर

डीओआई 10.12737/16076

ए. आई. डोलगोव**

1संयुक्त स्टॉक कंपनी "नियंत्रण, नेविगेशन और संचार प्रणालियों की रेडियो निगरानी के लिए डिजाइन ब्यूरो", रोस्तोव-ऑन-डॉन, रूसी संघ

बेयस की प्रयोज्यता पर" सूत्र*** A. I. Dolgov1**

1 "नियंत्रण, नेविगेशन और संचार प्रणालियों की निगरानी पर डिजाइन ब्यूरो" जेएससी, रोस्तोव-ऑन-डॉन, रूसी संघ

इस अध्ययन का विषय बेयस सूत्र है। इस कार्य का उद्देश्य सूत्र के दायरे का विश्लेषण और विस्तार करना है। प्राथमिक कार्य इस समस्या के लिए समर्पित प्रकाशनों का अध्ययन करना है, जिससे बेयस फॉर्मूला के आवेदन की कमियों की पहचान करना संभव हो गया, जिससे गलत परिणाम सामने आए। अगला कार्य बेयस सूत्र के संशोधनों का निर्माण करना है जो विभिन्न एकल साक्ष्यों को ध्यान में रखते हैं और सही परिणाम प्राप्त करते हैं। और, अंत में, विशिष्ट प्रारंभिक डेटा के उदाहरण पर, बेयस सूत्र का उपयोग करके प्राप्त गलत परिणामों और प्रस्तावित संशोधनों का उपयोग करके गणना किए गए सही परिणामों की तुलना की जाती है। अध्ययन में दो विधियों का प्रयोग किया गया। सबसे पहले, बेयस सूत्र और उसके संशोधनों को लिखने के लिए प्रयुक्त ज्ञात अभिव्यक्तियों के निर्माण के सिद्धांतों का विश्लेषण किया गया था। दूसरे, परिणामों का तुलनात्मक मूल्यांकन (मात्रात्मक सहित) किया गया। प्रस्तावित संशोधन व्यावहारिक समस्याओं को हल करने सहित सिद्धांत और व्यवहार में बेयस फॉर्मूला का व्यापक अनुप्रयोग प्रदान करते हैं।

मुख्य शब्द: सशर्त संभावनाएं, असंगत परिकल्पनाएं, संगत और असंगत साक्ष्य, सामान्यीकरण।

बेयस" सूत्र शोध का विषय है। कार्य का उद्देश्य सूत्र आवेदन का विश्लेषण करना और इसकी प्रयोज्यता के दायरे को व्यापक बनाना है। पहली प्राथमिकता वाली समस्या में बेयस की पहचान शामिल है" सूत्र के नुकसान प्रासंगिक प्रकाशनों के अध्ययन के आधार पर गलत की ओर ले जाते हैं परिणाम। अगला कार्य सही परिणाम प्राप्त करने के लिए विभिन्न एकल संकेतों का लेखा-जोखा प्रदान करने के लिए बेयस "सूत्र संशोधनों का निर्माण करना है। और अंत में, बेयस" सूत्र के आवेदन के साथ प्राप्त गलत परिणामों की तुलना के उपयोग के साथ गणना किए गए सही परिणामों से की जाती है। विशिष्ट प्रारंभिक डेटा के उदाहरण द्वारा प्रस्तावित सूत्र संशोधन। अध्ययन में दो विधियों का प्रयोग किया जाता है। सबसे पहले, बायेसियन सूत्र और उसके संशोधनों को रिकॉर्ड करने के लिए उपयोग किए जाने वाले ज्ञात अभिव्यक्तियों के निर्माण के सिद्धांतों का विश्लेषण किया जाता है। दूसरे, परिणामों का तुलनात्मक मूल्यांकन (मात्रात्मक एक सहित) किया जाता है। प्रस्तावित संशोधन व्यावहारिक समस्याओं के समाधान सहित सिद्धांत और व्यवहार दोनों में बेयस सूत्र का व्यापक अनुप्रयोग प्रदान करते हैं।

कीवर्ड: सशर्त संभावनाएं, असंगत परिकल्पनाएं, संगत और असंगत संकेत, सामान्यीकरण।

परिचय। बेयस फॉर्मूला का उपयोग सिद्धांत और व्यवहार में तेजी से किया जा रहा है, जिसमें कंप्यूटर प्रौद्योगिकी की मदद से लागू समस्याओं को हल करना शामिल है। पारस्परिक रूप से स्वतंत्र कम्प्यूटेशनल प्रक्रियाओं का उपयोग मल्टीप्रोसेसर कंप्यूटिंग सिस्टम पर समस्याओं को हल करते समय इस सूत्र को लागू करने के लिए विशेष रूप से प्रभावी बनाता है, क्योंकि इस मामले में समानांतर कार्यान्वयन सामान्य योजना के स्तर पर किया जाता है, और अगले एल्गोरिदम या समस्याओं के वर्ग को जोड़ते समय , समानांतरकरण कार्य को फिर से करने की कोई आवश्यकता नहीं है।

इस अध्ययन का विषय विभिन्न एकल साक्ष्यों के तहत असंगत परिकल्पनाओं की पश्च सशर्त संभावनाओं के तुलनात्मक आकलन के लिए बेयस फॉर्मूला की प्रयोज्यता है। जैसा कि विश्लेषण से पता चलता है, ऐसे मामलों में, संबंधित असंगत संयुक्त घटनाओं की सामान्यीकृत संभावनाएं

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आईएस ईओ और आईएस एक्स एक्स<и H

"यह काम एक पहल अनुसंधान परियोजना के हिस्से के रूप में किया गया था।

** ईमेल: [ईमेल संरक्षित]

"" अनुसंधान स्वतंत्र अनुसंधान एवं विकास के ढांचे के भीतर किया जाता है।

घटनाओं के विभिन्न पूर्ण समूहों के लिए। साथ ही, तुलनात्मक परिणाम वास्तविक सांख्यिकीय आंकड़ों के लिए अपर्याप्त साबित होते हैं। यह निम्नलिखित कारकों के कारण है:

गलत सामान्यीकरण का उपयोग किया जाता है;

माना साक्ष्य के चौराहों की उपस्थिति या अनुपस्थिति को ध्यान में नहीं रखा जाता है।

पहचानी गई कमियों को खत्म करने के लिए, बेयस फॉर्मूला की प्रयोज्यता के मामलों की पहचान की जाती है। यदि निर्दिष्ट सूत्र लागू नहीं होता है, तो इसके संशोधन के निर्माण की समस्या हल हो जाती है, जो यह सुनिश्चित करती है कि सही परिणाम प्राप्त करने के साथ विभिन्न एकल साक्ष्यों को ध्यान में रखा जाए। विशिष्ट प्रारंभिक डेटा के उदाहरण पर, परिणामों का तुलनात्मक मूल्यांकन किया गया था:

गलत - बेयस सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किया गया;

सही - प्रस्तावित संशोधन का उपयोग करके गणना की गई।

प्रारंभिक पद। निम्नलिखित कथन संभाव्यता अनुपात को संरक्षित करने के सिद्धांत पर आधारित हैं: "घटनाओं की संभावनाओं का सही प्रसंस्करण केवल तभी संभव है जब एक सामान्य सामान्यीकृत विभाजक का उपयोग करके सामान्यीकृत किया जाता है जो सामान्यीकृत संभावनाओं के अनुपात की समानता को संबंधित सामान्यीकृत के अनुपात की समानता सुनिश्चित करता है। संभावनाएं ”। यह सिद्धांत संभाव्यता सिद्धांत के व्यक्तिपरक आधार का प्रतिनिधित्व करता है, लेकिन आधुनिक शैक्षिक और वैज्ञानिक और तकनीकी साहित्य में ठीक से परिलक्षित नहीं होता है।

यदि इस सिद्धांत का उल्लंघन किया जाता है, तो विचाराधीन घटनाओं की संभावना की डिग्री के बारे में जानकारी विकृत हो जाती है। विकृत सूचना और किए गए निर्णयों के आधार पर प्राप्त परिणाम वास्तविक सांख्यिकीय आंकड़ों के लिए अपर्याप्त साबित होते हैं।

इस लेख में निम्नलिखित अवधारणाओं का उपयोग किया जाएगा:

एक प्राथमिक घटना एक ऐसी घटना है जो तत्वों में विभाज्य नहीं है;

संयुक्त घटना - प्राथमिक घटनाओं के एक या दूसरे संयोजन का प्रतिनिधित्व करने वाली घटना;

संगत घटनाएँ - ऐसी घटनाएँ जो कुछ मामलों में उनकी संभावनाओं के तुलनात्मक मूल्यांकन के असंगत हो सकती हैं, और अन्य मामलों में संयुक्त;

असंगत घटनाएँ वे घटनाएँ हैं जो सभी मामलों में असंगत हैं।

प्रायिकता गुणन प्रमेय के अनुसार, प्राथमिक घटनाओं U ^ और . के गुणनफल की प्रायिकता P (U ^ E)

E की गणना संभावनाओं के उत्पाद के रूप में की जाती है P(Uk E) = P(E)P(U^E) । इस संबंध में, बेयस सूत्र अक्सर होता है

(Ик\Е) = - - - के रूप में लिखा गया है, जो एक पश्चवर्ती सशर्त संभावनाओं की परिभाषा का वर्णन करता है

P(U^E) परिकल्पना Uk (k = 1,...n) संयुक्त असंगत घटनाओं I से E की प्राथमिक संभावनाओं P(U^E) के सामान्यीकरण पर आधारित है। इनमें से प्रत्येक घटना एक का प्रतिनिधित्व करती है उत्पाद जिसके कारक मानी गई परिकल्पनाओं में से एक हैं और एक जवाबदेह साक्ष्य हैं। साथ ही, सब कुछ माना जाता है

uIKE ईवेंट (k = 1,...n) uIKE असंगत संयुक्त ईवेंट का एक पूरा समूह बनाते हैं, जिसके कारण

जिसके साथ उनकी संभावनाओं P(Ik E) को कुल संभाव्यता सूत्र को ध्यान में रखते हुए सामान्यीकृत किया जाना चाहिए, जिसके अनुसार

झुंड पी (ई) = 2 पी (यूके) पी (ई \ यूके)। इसलिए, बेयस सूत्र अक्सर सबसे अधिक इस्तेमाल किए जाने वाले रूप में लिखा जाता है:

पी (यूइक) पी (ईआईके)

पी(यूके \ ई) \u003d -। (एक)

^ बेयस सूत्र का धनायन।

th लागू समस्याओं को हल करने के उद्देश्य से बेयस सूत्र के निर्माण की विशेषताओं का विश्लेषण, साथ ही उदाहरण

"और इसका व्यावहारिक अनुप्रयोग हमें संभावना की डिग्री के संदर्भ में संयुक्त घटनाओं के एक पूरे समूह की पसंद के बारे में एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है (जिनमें से प्रत्येक दो प्राथमिक घटनाओं का उत्पाद है - एक परिकल्पना और लिए गए साक्ष्य में से एक) खाते में)। इस तरह की पसंद निर्णय निर्माता द्वारा विषयगत रूप से स्थिति की विशिष्ट स्थितियों में निहित उद्देश्य प्रारंभिक डेटा के आधार पर की जाती है: मूल्यांकन की गई परिकल्पनाओं के प्रकार और संख्या और विशेष रूप से ध्यान में रखे गए साक्ष्य।

एकल असंगत साक्ष्य के साथ परिकल्पना की अतुलनीय संभावनाएं। बेयस फॉर्मूला परंपरागत रूप से पिछली सशर्त संभावनाओं को निर्धारित करने के मामले में उपयोग किया जाता है जो संभावना की डिग्री के संदर्भ में तुलनीय नहीं हैं।

परिकल्पना की संभावना एच ^ एकल असंगत साक्ष्य के साथ, जिनमें से प्रत्येक "प्रकट" हो सकता है

केवल इनमें से किसी भी परिकल्पना के संयोजन में। इस मामले में, पूर्ण समूह और एचकेई चुने जाते हैं, संयुक्त

उत्पादों के रूप में स्नान की घटनाएँ, जिसके कारक c के प्रमाण में से एक हैं। (1=1,...,एम) और एक

n परिकल्पनाओं पर विचार किया जा रहा है।

बेयस सूत्र का उपयोग प्रत्येक ऐसे पूर्ण समूह की संयुक्त घटनाओं की संभावनाओं के तुलनात्मक मूल्यांकन के लिए किया जाता है, जो अन्य पूर्ण समूहों से न केवल साक्ष्य ई में भिन्न होता है, बल्कि सामान्य मामले में परिकल्पना के प्रकार एच ^ में भी भिन्न होता है। और (या) उनकी संख्या n (देखें, उदाहरण के लिए, )

RNky = P(Hk) P(eH)

% P(Hk) P(Er\Hk) k = 1

n = 2 . के लिए एक विशेष स्थिति में

RNk\E,~ P(Hk) P(EN)

% P(Hk) P(E,\H k) k = 1

और प्राप्त परिणाम सही हैं, संभाव्यता अनुपात के संरक्षण के सिद्धांत के पालन के कारण:

P(H1E,) _ P(H 1)P(E,\H1) / P(H2) P(E,\H2) = P(H 1) P(E,\H1)

पी (एच 2 =% पीडब्लू1!)

संभावना की डिग्री (के साथ) के संदर्भ में संयुक्त घटनाओं के एक पूरे समूह की पसंद की व्यक्तिपरकता

कुछ चर प्राथमिक घटनाएँ) आपको घटनाओं के एक पूरे समूह का चयन करने की अनुमति देता है और Hk E s

प्रारंभिक घटना E () को अस्वीकार करके और बेयस सूत्र (1 = 1,..., एम) को निम्नानुसार लिखें:

पी (एचके \ ई) -= - आरएनएश ±।

% पी (एच) पी (ई, एचके)

ऐसा सूत्र भी लागू होता है और यदि गणना की जाए तो सही परिणाम प्राप्त करना संभव हो जाता है

सामान्यीकृत संभावनाओं की तुलना विभिन्न परिकल्पनाओं के तहत की जाती है, लेकिन विभिन्न के तहत नहीं

अधिकारियों। ^

एकल असंगत साक्ष्य के तहत परिकल्पनाओं की तुलनीय संभावनाएं। जाने-माने पब्लिका द्वारा निर्णय लेना-^

विभिन्न एकल साक्ष्यों के लिए परिकल्पनाओं की पश्चवर्ती सशर्त संभावनाओं के तुलनात्मक मूल्यांकन के लिए उपयोग किया जाता है।

अधिकारियों। साथ ही, निम्नलिखित तथ्य पर ध्यान नहीं दिया जाता है। इन मामलों में, घटनाओं के विभिन्न पूर्ण समूहों से संबंधित असंगत (असंगत) संयुक्त घटनाओं की सामान्यीकृत ^ संभावनाओं की तुलना की जाती है। हालांकि, इस मामले में, बेयस फॉर्मूला लागू नहीं होता है, क्योंकि संयुक्त घटनाएं जो एक पूर्ण समूह में शामिल नहीं हैं, की तुलना की जाती है, जिनमें से संभावनाओं का सामान्यीकरण विभिन्न एन सामान्यीकृत विभाजकों का उपयोग करके किया जाता है। असंगत (असंगत) संयुक्त घटनाओं की सामान्यीकृत संभावनाओं की तुलना केवल तभी की जा सकती है जब वे घटनाओं के एक ही पूर्ण समूह से संबंधित हों और ¡3 द्वारा सामान्यीकृत सभी सामान्यीकृत घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर एक सामान्य भाजक का उपयोग किया जाता है।

सामान्य तौर पर, निम्नलिखित को असंगत साक्ष्य माना जा सकता है:

दो सबूत (उदाहरण के लिए, सबूत और इसका खंडन); ^

तीन सबूत (उदाहरण के लिए, एक खेल की स्थिति में, जीत, हार और ड्रा); ^

चार प्रशंसापत्र (विशेषकर खेल में, जीत, हार, ड्राइंग और फिर से खेलना), आदि ^

दो असंगत घटनाओं के लिए परिकल्पना एच ^ की पश्च सशर्त संभावनाओं को निर्धारित करने के लिए बेयस फॉर्मूला ^ लागू करने के एक काफी सरल उदाहरण (में दिए गए उदाहरण के अनुरूप) पर विचार करें।

साक्ष्य के रूप में एल]- और इसका खंडन एल]

पी (एच, के) - ^। ^ पी (ए ^ के", (2)

] ई पी (एचके> पी(ए)\vk> के - 1

■ _ P(HkA ]) P(Hk> P(A ]\nk>

पी (एच, \ ए,) ---- के-]-। (3)

वी के\ए]> पी(ए > एन

] ई पी (एचके) पी (ए] \ एचके) के -1

मामलों (2) और (3) में, कॉम की संभावना की डिग्री के संदर्भ में विषयगत रूप से चयनित पूर्ण समूह-

बिन्ड घटनाएँ क्रमशः समुच्चय और H से A और H से A तक होती हैं। यह स्थिति तब होती है जब सूत्र

के-1 के ] के-1 के ]

बेयस लागू नहीं है, क्योंकि संभावनाओं के अनुपात को संरक्षित करने के सिद्धांत का उल्लंघन किया जाता है - सामान्यीकृत संभावनाओं के अनुपात की समानता उनके संबंधित सामान्यीकृत संभावनाओं के अनुपात में नहीं देखी जाती है:

P(H to A]] P(Hk) P(A]\Hk) / P(Hk) P(A]\Hk) P(Hk) P(A] Hk)

P(Hk E P(Hk) P(A]\Hk)/ E P(Hk) P(A]\Hk) P(Hk) P(A] Hk)

k - 1 / k - 1 प्रायिकता अनुपात के संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार, घटना की संभावनाओं का सही प्रसंस्करण तभी संभव है जब एक सामान्य सामान्यीकरण भाजक का उपयोग करके सभी की तुलना सामान्यीकृत अभिव्यक्तियों के योग के बराबर किया जाए। इसीलिए

ई पी(एचके)पी(ए]\एचके) + ई पी(एचके)पी(ए]\एचके) - ई पी(एचके)[पी(ए]\एचके) + पी(एचके) पी(ए]\एचके )] - ईपी (एचके) - 1. से -1 से -1 से -1 से -1

इस प्रकार, इस तथ्य का पता चलता है कि बेयस सूत्र की किस्में हैं जो . से भिन्न हैं

सामान्यीकृत भाजक की कमी के लिए जाना जाता है:

A,) - P(H) P(A]\Hk), P(Hk A,) - P(H) P(A, Hk)। (चार)

जे से मैं > से

इस मामले में, सामान्यीकृत संभावनाओं के अनुपात और संबंधित सामान्यीकृत संभावनाओं के अनुपात की समानता देखी जाती है:

एम ^ ए ^ पी (एचके) पी (ए] \ एचके)

ए,) पी(एच के) पी(ए, एचके)

असंगत संयुक्त घटनाओं के गैर-पारंपरिक रूप से रिकॉर्ड किए गए पूर्ण समूहों की व्यक्तिपरक पसंद के आधार पर, बेयस फॉर्मूला के संशोधनों की संख्या में वृद्धि करना संभव है जिसमें सबूत शामिल हैं, साथ ही साथ उनके इनकारों की एक या दूसरी संख्या भी शामिल है। उदाहरण के लिए, संयुक्त ईवेंट का सबसे संपूर्ण समूह

u और Hk /"./ ^ u और Hk E\ (सामान्यीकरण भाजक की अनुपस्थिति को ध्यान में रखते हुए) संशोधन सूत्र से मेल खाता है; =1 A"=1; \u003d 1 बायेसियन

पी(एचके\~) - पी(एचके) ПЁ^^^

जहां सबूत के रूप में एक प्राथमिक घटना ई \ ई II II / "/ संकेतित सेट के तत्वों में से एक है

ओ सबूतों के खंडन के अभाव में, जब ई\ \u003d // ई और /"/,

^ पी(एच\ई) पी(एचके) पी(ई,\एचके)

ई पी (एचके) पी (ई \ एचके) के - 1

इस प्रकार, बेयस फॉर्मूला का संशोधन, परिकल्पना की सशर्त संभावनाओं को निर्धारित करने का इरादा है जो एकल असंगत साक्ष्य की संभावना की डिग्री के संदर्भ में तुलनीय हैं, इस प्रकार है। अंश में संयुक्त असंगत घटनाओं में से एक की सामान्यीकृत संभावना होती है जो एक पूर्ण समूह बनाती है, जिसे प्राथमिक संभावनाओं के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जाता है, और हर में सभी का योग होता है

सामान्यीकृत संभावनाएं। इसी समय, संभावनाओं के अनुपात को संरक्षित करने का सिद्धांत मनाया जाता है - और प्राप्त परिणाम सही होता है।

एकल संगत साक्ष्य के तहत परिकल्पना की संभावनाएं। बायेसियन फ़ार्मुलों को पारंपरिक रूप से परिकल्पना एचके (के = 1,..., एन) की पश्च सशर्त संभावनाओं को निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जाता है, जो कि कई संगत संगत सबूतों में से एक के लिए संभावना की डिग्री के संदर्भ में है EL (1 = 1,... ,एम)। विशेष रूप से (देखें

उदाहरण के लिए, और ), दो संगत साक्ष्य Е1 और Е2 में से प्रत्येक के लिए पश्चवर्ती सशर्त संभावनाओं Р(Н 1Е^) और Р(Н 1 Е2) का निर्धारण करते समय, प्रपत्र के सूत्रों का उपयोग किया जाता है:

P(H 1) PE\H1) P(Hj) P(E2Hj) P(HJ E1) = --1-और P(HJE 2) =--1-। (5)

I P(Hk) PE\Hk) I P(Hk) P(E2 Hk)

k = 1 k = 1 ध्यान दें कि यह एक और मामला है जहां बेयस फॉर्मूला लागू नहीं होता है। इसके अलावा, इस मामले में, दो कमियों को समाप्त किया जाना चाहिए:

विचाराधीन घटनाओं के विभिन्न पूर्ण समूहों से संबंधित होने के कारण, संयुक्त घटनाओं की संभावनाओं का सचित्र सामान्यीकरण गलत है;

संयुक्त घटनाओं HkEx और HkE2 के प्रतीकात्मक रिकॉर्ड इस तथ्य को नहीं दर्शाते हैं कि माना गया सबूत E x और E 2 संगत हैं।

अंतिम दोष को समाप्त करने के लिए, संयुक्त घटनाओं के अधिक विस्तृत रिकॉर्ड का उपयोग किया जा सकता है, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि कुछ मामलों में संगत साक्ष्य E1 और E2 असंगत हो सकते हैं, और अन्य में संयुक्त:

HkE1 = HkE1 E2 और HkE2 = HkE 1E2+HkE1 E2, जहां E1 और E 2 E1 और E 2 के विपरीत प्रमाण हैं।

यह स्पष्ट है कि ऐसे मामलों में घटनाओं के गुणनफल Hk E1E2 को दो बार ध्यान में रखा जाता है। इसके अलावा, इसे फिर से अलग से ध्यान में रखा जा सकता है, लेकिन ऐसा नहीं होता है। तथ्य यह है कि विचाराधीन स्थिति में, मूल्यांकन की गई स्थिति तीन संभावित असंगत संयुक्त घटनाओं से प्रभावित होती है: HkE1E2, HkE 1E2 और

एचके ई1ई2. साथ ही, निर्णय लेने वाले के लिए, केवल संभावना की डिग्री का आकलन करना रुचिकर है

दो असंगत संयुक्त घटनाएँ: HkE1 E2 और HkE 1E2, जो केवल g . पर विचार करने के अनुरूप है

एकल साक्ष्य। सी

इस प्रकार, पोस्टीरियर सशर्त मूल्यों को निर्धारित करने के लिए बेयस फॉर्मूला के संशोधन का निर्माण करते समय,

एकल संगत साक्ष्य वाली परिकल्पनाओं की प्रायिकता निम्नलिखित पर आधारित होनी चाहिए। स्वीकार करने वाला व्यक्ति ^

निर्णय, हम वास्तव में किस प्राथमिक घटना में रुचि रखते हैं, जो एक या किसी अन्य साक्ष्य द्वारा दर्शाया गया है

वास्तव में मानी जाने वाली संख्या विशिष्ट परिस्थितियों में हुई। यदि K . ​​में एक और प्राथमिक घटना घटती है

एकल प्रमाण पत्र के रूप में, n के तुलनात्मक मूल्यांकन के परिणामों के कारण, निर्णय पर पुनर्विचार की आवश्यकता है

वास्तविक सामान्य को प्रभावित करने वाली अन्य स्थितियों के अपरिहार्य विचार के साथ परिकल्पनाओं की एक पश्चवर्ती सशर्त संभावनाएं

स्थापना। 3

आइए हम निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें: HkE- एक (और केवल एक) असंगत संयुक्त सह- ^ . के लिए

जा रहा है, जो इस तथ्य में शामिल है कि एम> 1 में से प्राथमिक घटनाओं ई (i = 1,..., एम) को एक साथ परिकल्पना के साथ माना जाता है "

Hk, एक प्रारंभिक घटना Ex हुई और कोई अन्य प्राथमिक घटना नहीं हुई। से"

सरलतम मामले में, दो एकल असंगत साक्ष्यों पर विचार किया जाता है। अगर पुष्टि हुई है

उनमें से एक अपेक्षित है, सामान्य रूप में साक्ष्य की सशर्त संभावना सूत्र l . द्वारा व्यक्त की जाती है

P(Hk E-) = P(Ei\Hk) -P(EjE^Hk) = P(Ei\Hk) -P(M^Hk)P(M^Hk) , i = 1, -2 (6) जी

सूत्र की वैधता को स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है (चित्र 1)।

चावल। 1. सशर्त स्वतंत्र साक्ष्य के साथ / = 1,...,2 के लिए P(Hk E-) की गणना की ज्यामितीय व्याख्या

P(K1K2\Hk) = p(E\Hk)P(E2\Hk),

इसलिए, ध्यान में रखते हुए (6)

P(Hk E-) = PE Hk) - P(E1 Hk) P(E21Hk), = 1,.,2। (7)

इसी तरह, तीन में से एक (/ = 1,...,3) असंगत घटनाओं HkE^ की संभावना P(HkE-) सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है

उदाहरण के लिए, मैं = 1 के लिए:

p(HkEl) = P(Ei\Hk)-[ S P(Ei\Hk)P(Ej\Hk) ] + P(EiE2E3Hk)

p(HkE-) = P(E7|Hk)- P(E]E^Hk)- P(E7EjHk) + P(E]E2E3\Hk)

इस सूत्र की वैधता की पुष्टि अंजीर में प्रस्तुत ज्यामितीय व्याख्या से होती है।

चावल। 2. / = 1,...,3 . के लिए P(Hk E-) की गणना की ज्यामितीय व्याख्या

गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके, किसी भी संख्या के साक्ष्य के लिए संभावना P(Hk E-) के लिए सामान्य सूत्र को सिद्ध किया जा सकता है e, 0=1,...,m):

P(HkE-) = P(E, Hk) - m PE\Hk) P(E]\Hk) + 1 P(E\Hk) P(E]\Hk) P(E^Hk) + ■■■ + (-1)

] = 1(] * 0 ],1 * 1

प्रायिकता गुणन प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम सशर्त संभाव्यता (НкЕ~-) को दो रूपों में लिखते हैं:

^ जिससे यह अनुसरण करता है

P(Hk E -) = P(Hk) P(E-|Hk) = P(E-) P(Hk)

ई-) = पी (एचकेई-) "" पी (ई-)

कुल संभाव्यता सूत्र P(Ei) = S P(H£) P(Ei Hk) का उपयोग करके यह पता चलता है कि

ई-) \u003d पी (एचकेईटी)

2 पी(एचकेई-) के \u003d 1

प्राप्त सूत्र में (8) के दाहिने भाग के रूप में (НкЕ-) के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम परिकल्पना H^ (k = 1,) की पश्चवर्ती सशर्त संभावनाओं को निर्धारित करने के लिए सूत्र का अंतिम रूप प्राप्त करते हैं। ..., n) असंगत एकल साक्ष्य माने जाने वाले कई में से एक के लिए: (E^\Hk)

P(Hk)[P(E,\Hk) - 2 P(E,\Hk) P(Ep k) +...+ (-1)m-1 P(P P(Erk)] P(H, E ~) =-] = 1(] * ----(9)

के 1 पी टी टी टी

2 P(Hk) 2 [P(E,\Hk) - 2 P(EgHk) P(E^Hk) + ...+ (-1)m-1 P(P P (Ep k)]

k=1 , = 1 ) = 1() *,) ! = 1

तुलनात्मक अनुमान। काफी सरल, लेकिन दृष्टांत उदाहरणों पर विचार किया जाता है, जो दो एकल साक्ष्यों के साथ दो परिकल्पनाओं में से एक की गणना की गई एक पश्चवर्ती सशर्त संभावनाओं के विश्लेषण तक सीमित है। 1. असंगत एकल साक्ष्य के तहत परिकल्पना की संभावनाएं। आइए प्रारंभिक डेटा के साथ दो साक्ष्य एल = एल और एल = एल के उदाहरण का उपयोग करके बेयस सूत्रों (2) और (3) का उपयोग करके प्राप्त परिणामों की तुलना करें:

P(H1 = 0.7; P(H2) = 0.3; P(L| H^ = 0.1; P(L\n 1) = 0.9; P(L\H2) = 0.6 P(A\H2) = 0.4 में परिकल्पना H1, पारंपरिक सूत्रों (2) और (3) के साथ उदाहरणों पर विचार करने से निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होते हैं:

पी(एन.) पी(ए\No 0 07

पी (एन, एल) \u003d - 11 \u003d - \u003d 0.28,

2 पी(एच) पी(ए\एचके)के = 1

आर (एन एल आर (ए \ एन 1) 0 63

पी (एन, एल) \u003d - 11 \u003d - \u003d 0.84,

2 पी(एच) पी(ए\एचके) के = 1

गठन विभाजन पी (एच 1 एल) \u003d पी (एच ^ पी (एल \ एचपी \u003d 0.07; पी (एच ^ ए) \u003d पी (एच 1) पी (एन | एच ^ \u003d 0.63। प्रस्तावित में से 1 के संबंध में सूत्र:

आर<Н)Р(АНА-Р(А|Н1) _ 0,07

और प्रस्तावित फ़ार्मुलों (4) के साथ जिनमें सामान्यीकरण भाजक नहीं हैं: "और

इस प्रकार, प्रस्तावित सूत्रों को लागू करने के मामले में, सामान्यीकृत संभावनाओं का अनुपात सामान्यीकृत संभावनाओं के अनुपात के बराबर होता है: K

आरएम एफ पी (एच 1) पी (ए \ एच 1) ए 11 |

समान अनुपात वाले ज्ञात फ़ार्मुलों का उपयोग करते समय -;-=-= 0.11 सामान्यीकृत verons

पी (एच 1) पी (ए \ एच 1) «§

अंशों में दर्शाए गए अनुपात, परिणामी सामान्यीकृत प्रायिकताओं का अनुपात: 2

पी (एच 1) पी (ए \ एच 1) पी (ए \ एच 1) 0.63

पी (एच 1 एल) \u003d 0.28 पी (एच 1 एल) \u003d 0.84

यही है, संभाव्यता अनुपात के संरक्षण के सिद्धांत का पालन नहीं किया जाता है, और गलत परिणाम प्राप्त होते हैं। इस मामले में, £

ज्ञात फ़ार्मुलों को लागू करने के मामले में, सही परिणामों (10) से अनुमानों की पश्चवर्ती सशर्त और सशर्त संभावनाओं के अनुपात (11) के सापेक्ष विचलन का मूल्य बहुत महत्वपूर्ण हो जाता है, क्योंकि यह है

°, 33 - °, पी एक्स 100 \u003d 242%.. मैं

2. संगत एकल साक्ष्य के तहत परिकल्पना की संभावनाएं। आइए हम निम्नलिखित प्रारंभिक डेटा का उपयोग करके बेयस फ़ार्मुलों (5) और निर्मित सही संशोधन (9) का उपयोग करके प्राप्त परिणामों की तुलना करें:

P(H1 = 0.7; P(H2) = 0.3; P(E1H1) = 0.4; P(E2H1) = 0.8; P(E1\H2) = 0.7; P(E^ H2) = 0.2.113

पारंपरिक सूत्रों का उपयोग करने के मामले में परिकल्पना एच 2 के साथ विचाराधीन उदाहरणों में (5):

पी (एच 2) पी (ई 1 एच 2) क्यू, 21

P(H 2 E1) =-2-!-2- = - = Q,429,

p(Hk) p(El Hk) k = 1

पी (एच 2) पी (ई 2 एच 2) क्यू, क्यू 6

पी(एच 2 ई 2) \u003d -2-- \u003d - \u003d 0.097।

आई पी (एचके) पी (ई 2 एचके) के = 1

प्रस्तावित सूत्र (9) को लागू करने के मामले में, (7), P(H .) को ध्यान में रखते हुए

पी (एच 2) 0.168

ई.) ----- 0.291,

जेड पी (एचके) जेड "

पी (एच 2) 0.018

ई0) ----- 0.031।

जेड पी (एचके) जेड के - 1 आई - 1

प्रस्तावित सही सूत्रों का उपयोग करते समय, समान हर के कारण, अनुपात P(H2) -

अंशों में दर्शाई गई सामान्यीकृत प्रायिकताएँ अनुपात के बराबर होती हैं

पी (एच 2)

सामान्यीकृत संभावनाएं:

अर्थात् प्रायिकता अनुपातों के संरक्षण के सिद्धांत का पालन किया जाता है।

हालांकि, अंशों में इंगित सामान्यीकृत संभावनाओं के अनुपात के साथ ज्ञात सूत्रों को लागू करने के मामले में

पी (एच 2) पी (ई1 \ एच 2) _ 0.21 _3 5 पी (एच 2) पी (ई 2 एच 2) 0.06,

सामान्यीकृत संभावनाओं का अनुपात:

पी (एच 2 \u003d 0.429 \u003d 4.423। (13)

पी (एच 2 \e2) 0.097

अर्थात्, संभाव्यता अनुपात के संरक्षण के सिद्धांत का पहले की तरह सम्मान नहीं किया जाता है। इस मामले में, ज्ञात सूत्रों को लागू करने के मामले में, अनुपात के सापेक्ष विचलन का मूल्य (13) सही परिणामों से अनुमानों की एक पश्चवर्ती सशर्त संभावनाओं (12) से भी बहुत महत्वपूर्ण हो जाता है:

9.387 4.423 x 100 = 52.9%।

निष्कर्ष। व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए प्रस्तावित बेयस सूत्र और इसके संशोधनों को लागू करने वाले विशिष्ट सूत्र संबंधों के निर्माण का विश्लेषण, हमें निम्नलिखित बताने की अनुमति देता है। तुलनीय 2 संभावित संयुक्त घटनाओं का पूरा समूह निर्णय निर्माता द्वारा विषयगत रूप से चुना जा सकता है। यह विकल्प एक विशिष्ट स्थिति (विशिष्ट प्रकार और प्राथमिक घटनाओं की संख्या - अनुमानित परिकल्पना और साक्ष्य) के उद्देश्यपूर्ण प्रारंभिक डेटा विशेषता पर आधारित है। व्यावहारिक रुचि की संभावना की डिग्री के संदर्भ में पूर्ण समूह के अन्य विकल्पों की व्यक्तिपरक पसंद है।

संयुक्त घटनाएं - इस प्रकार, बेयस फॉर्मूला के संशोधनों के गैर-पारंपरिक रूपों का निर्माण करते समय फॉर्मूला अनुपात की एक महत्वपूर्ण विविधता प्रदान की जाती है। यह, बदले में, सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन के गणितीय समर्थन में सुधार के साथ-साथ लागू समस्याओं को हल करने के लिए नए सूत्र संबंधों के दायरे का विस्तार करने का आधार हो सकता है।

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बेयस कौन है? और इसका प्रबंधन से क्या लेना-देना है? - इसके बाद काफी उचित प्रश्न हो सकता है। अभी के लिए, इसके लिए मेरा शब्द लें: यह बहुत महत्वपूर्ण है! .. और दिलचस्प (कम से कम मेरे लिए)।

अधिकांश प्रबंधक किस प्रतिमान में काम करते हैं: यदि मैं कुछ देखता हूं, तो मैं इससे क्या निष्कर्ष निकाल सकता हूं? बेयस क्या सिखाता है: मेरे लिए यह कुछ देखने के लिए वास्तव में क्या होना चाहिए? इस तरह से सभी विज्ञान विकसित होते हैं, और वह इस बारे में लिखते हैं (मैं स्मृति से उद्धृत करता हूं): एक व्यक्ति जिसके सिर में सिद्धांत नहीं है, वह विभिन्न घटनाओं (टिप्पणियों) के प्रभाव में एक विचार से दूसरे विचार से दूर भाग जाएगा। व्यर्थ नहीं वे कहते हैं: एक अच्छे सिद्धांत से ज्यादा व्यावहारिक कुछ नहीं है।

अभ्यास से एक उदाहरण। मेरा अधीनस्थ गलती करता है, और मेरे सहयोगी (दूसरे विभाग के प्रमुख) का कहना है कि लापरवाह कर्मचारी पर प्रबंधकीय प्रभाव डालना आवश्यक होगा (दूसरे शब्दों में, दंडित / डांट)। और मुझे पता है कि यह कर्मचारी प्रति माह एक ही प्रकार के 4-5 हजार ऑपरेशन करता है, और इस दौरान वह 10 से अधिक गलतियाँ नहीं करता है। प्रतिमान में अंतर महसूस करें? मेरे सहयोगी अवलोकन पर प्रतिक्रिया करते हैं, और मुझे एक प्राथमिक ज्ञान है कि एक कर्मचारी एक निश्चित संख्या में गलतियाँ करता है, ताकि एक और इस ज्ञान को प्रभावित न करे ... अब, अगर महीने के अंत में यह पता चलता है कि वहाँ हैं, उदाहरण के लिए, 15 ऐसी त्रुटियां! .. यह पहले से ही मानकों का पालन न करने के कारणों की जांच करने का एक कारण बन जाएगा।

बायेसियन दृष्टिकोण के महत्व से सहमत हैं? साजिश हुई? ऐसी आशा है"। और अब मरहम में एक मक्खी। दुर्भाग्य से, बायेसियन विचारों को पहली बार में शायद ही कभी दिया जाता है। मैं स्पष्ट रूप से बदकिस्मत था, क्योंकि मैं लोकप्रिय साहित्य के माध्यम से इन विचारों से परिचित हुआ, जिसे पढ़ने के बाद कई प्रश्न बने रहे। एक नोट लिखने की योजना बनाते समय, मैंने वह सब कुछ एकत्र किया जो मैंने पहले बेयस के अनुसार रेखांकित किया था, और यह भी अध्ययन किया कि वे इंटरनेट पर क्या लिखते हैं। मैं आपके लिए इस विषय पर अपना सर्वश्रेष्ठ अनुमान प्रस्तुत करता हूं। बायेसियन प्रायिकता का परिचय.

बेयस प्रमेय की व्युत्पत्ति

निम्नलिखित प्रयोग पर विचार करें: हम खंड पर पड़ी किसी भी संख्या को नाम देते हैं और यह तय करते हैं कि यह संख्या कब है, उदाहरण के लिए, 0.1 और 0.4 के बीच (चित्र 1 ए)। इस घटना की संभावना खंड की लंबाई और खंड की कुल लंबाई के अनुपात के बराबर है, बशर्ते कि खंड पर संख्याओं की घटना हो सुसज्जित करने योग्य. गणितीय रूप से, इसे लिखा जा सकता है पी(0,1 <= एक्स <= 0,4) = 0,3, или кратко आर(एक्स) = 0.3, जहां आर- संभावना, एक्ससीमा में एक यादृच्छिक चर है, एक्सरेंज में एक यादृच्छिक चर है। यानी खंड से टकराने की संभावना 30% है।

चावल। 1. संभावनाओं की चित्रमय व्याख्या

अब वर्ग x (चित्र 1b) पर विचार करें। मान लीजिए कि हमें संख्याओं के युग्मों को नाम देना है ( एक्स, आप), जिनमें से प्रत्येक शून्य से बड़ा और एक से कम है। संभावना है कि एक्स(पहला नंबर) खंड के भीतर होगा (नीला क्षेत्र 1), नीले क्षेत्र के क्षेत्रफल के अनुपात के बराबर पूरे वर्ग के क्षेत्र, यानी (0.4 - 0.1) ) * (1 - 0) / (1 * 1) = 0, 3, यानी वही 30%। संभावना है कि आपखंड के अंदर है (हरा क्षेत्र 2) हरित क्षेत्र के क्षेत्रफल के पूरे वर्ग के क्षेत्रफल के अनुपात के बराबर है पी(0,5 <= y <= 0,7) = 0,2, или кратко आर(यू) = 0,2.

एक ही समय में मूल्यों के बारे में क्या सीखा जा सकता है एक्सतथा आप. उदाहरण के लिए, क्या प्रायिकता है कि दोनों एक्सतथा आपसंबंधित दिए गए खंडों में हैं? ऐसा करने के लिए, आपको पूरे वर्ग के क्षेत्र में डोमेन 3 (हरी और नीली धारियों के चौराहे) के क्षेत्र के अनुपात की गणना करने की आवश्यकता है: पी(एक्स, यू) = (0,4 – 0,1) * (0,7 – 0,5) / (1 * 1) = 0,06.

अब मान लीजिए हम जानना चाहते हैं कि इसकी क्या प्रायिकता है? आपअंतराल में है अगर एक्सपहले से ही दायरे में है। यानी, वास्तव में, हमारे पास एक फ़िल्टर होता है और जब हम जोड़ियों को कॉल करते हैं ( एक्स, आप), तो हम तुरंत उन युग्मों को त्याग देते हैं जो खोजने की शर्त को पूरा नहीं करते हैं एक्सदिए गए अंतराल में, और फिर फ़िल्टर किए गए युग्मों में से हम उन युग्मों को गिनते हैं जिनके लिए आपहमारी स्थिति को संतुष्ट करता है और प्रायिकता को युग्मों की संख्या के अनुपात के रूप में मानता है जिसके लिए आपफ़िल्टर किए गए जोड़े की कुल संख्या के लिए उपरोक्त खंड में निहित है (अर्थात, जिसके लिए एक्सखंड में है)। इस प्रायिकता को हम इस प्रकार लिख सकते हैं पी(यू|एक्स पर एक्ससीमा में मारा।" जाहिर है, यह संभावना क्षेत्र 3 के क्षेत्रफल के नीले क्षेत्र के क्षेत्रफल के अनुपात के बराबर है। क्षेत्र 3 का क्षेत्रफल (0.4 - 0.1) * (0.7 - 0.5) = 0.06 है, और नीले क्षेत्र का क्षेत्रफल 1 ( 0.4 - 0.1) * (1 - 0) = 0.3, तो उनका अनुपात 0.06 / 0.3 = 0.2 है। दूसरे शब्दों में, खोजने की संभावना आपखंड पर, बशर्ते कि एक्सखंड के अंतर्गत आता है पी(यू|एक्स) = 0,2.

पिछले पैराग्राफ में, हमने वास्तव में पहचान तैयार की: पी(यू|एक्स) = पी(एक्स, यू) /पी( एक्स) इसमें लिखा है: "मारने की संभावना परसीमा में, बशर्ते कि एक्सरेंज में हिट एक साथ हिट की संभावना के अनुपात के बराबर है एक्ससीमा में और परसीमा में, मारने की संभावना के लिए एक्सदायरे में।"

सादृश्य से, संभावना पर विचार करें पी(एक्स|यू) हम जोड़ों को कहते हैं एक्स, आप) और उन्हें फ़िल्टर करें जिनके लिए आप 0.5 और 0.7 के बीच स्थित है, तो संभावना है कि एक्सखंड में है बशर्ते कि आपखंड के अंतर्गत आता है क्षेत्र 3 के क्षेत्रफल के अनुपात के बराबर है हरित क्षेत्र 2 के क्षेत्र के लिए: पी(एक्स|यू) = पी(एक्स, यू) / पी(यू).

ध्यान दें कि संभावनाएं पी(एक्स, यू) तथा पी(वाई, एक्स) बराबर हैं, और दोनों ज़ोन 3 के क्षेत्रफल के पूरे वर्ग के क्षेत्रफल के अनुपात के बराबर हैं, लेकिन प्रायिकताएँ पी(यू|एक्स) तथा पी(एक्स|यू) बराबर नहीं; जबकि संभावना पी(यू|एक्स) क्षेत्र 3 के क्षेत्रफल के क्षेत्रफल 1 के अनुपात के बराबर है, और पी(एक्स|यू) – डोमेन 3 से डोमेन 2. यह भी ध्यान दें कि पी(एक्स, यू) को अक्सर के रूप में दर्शाया जाता है पी(एक्स&यू).

तो हमारे पास दो परिभाषाएँ हैं: पी(यू|एक्स) = पी(एक्स, यू) /पी( एक्स) तथा पी(एक्स|यू) = पी(एक्स, यू) / पी(यू)

आइए इन समानताओं को इस प्रकार फिर से लिखें: पी(एक्स, यू) = पी(यू|एक्स)*पी( एक्स) तथा पी(एक्स, यू) = पी(एक्स|यू) * पी(यू)

चूँकि बाईं भुजाएँ समान हैं, इसलिए दाईं भुजाएँ भी हैं: पी(यू|एक्स)*पी( एक्स) = पी(एक्स|यू) * पी(यू)

या हम अंतिम समानता को फिर से लिख सकते हैं:

यह बेयस प्रमेय है!

क्या यह संभव है कि इस तरह के सरल (लगभग टॉटोलॉजिकल) परिवर्तन एक महान प्रमेय को जन्म दें !? निष्कर्ष पर जल्दी मत करो। आइए फिर से बात करते हैं कि हमें क्या मिला। कुछ प्रारंभिक (एक प्राथमिकता) संभावना थी आर(एक्स) कि यादृच्छिक चर एक्सखंड पर समान रूप से वितरित सीमा के भीतर आता है एक्स. कुछ घटना हुई है यू, जिसके परिणामस्वरूप हमें समान यादृच्छिक चर की पश्च प्रायिकता प्राप्त हुई है एक्स: आर(X|Y), और यह प्रायिकता . से भिन्न है आर(एक्स) गुणांक द्वारा। आयोजन यूसाक्ष्य कहा जाता है, कमोबेश पुष्टि या खंडन एक्स. इस गुणांक को कभी-कभी कहा जाता है सबूत की शक्ति. साक्ष्य जितना मजबूत होगा, अवलोकन Y का तथ्य उतना ही पूर्व संभावना को बदलता है, उतनी ही पश्च संभावना पूर्व से भिन्न होती है। यदि साक्ष्य कमजोर है, तो पश्चवर्ती लगभग पूर्व के बराबर है।

असतत यादृच्छिक चर के लिए बेयस सूत्र

पिछले खंड में, हमने अंतराल पर परिभाषित निरंतर यादृच्छिक चर x और y के लिए बेयस सूत्र प्राप्त किया था। असतत यादृच्छिक चर के साथ एक उदाहरण पर विचार करें, प्रत्येक में दो संभावित मान हैं। नियमित चिकित्सा जांच के दौरान यह पाया गया कि चालीस वर्ष की आयु में 1% महिलाएं स्तन कैंसर से पीड़ित हैं। कैंसर से पीड़ित 80% महिलाओं को सकारात्मक मैमोग्राफी परिणाम मिलते हैं। 9.6% स्वस्थ महिलाओं को भी सकारात्मक मैमोग्राफी परिणाम मिलते हैं। जांच के दौरान इस आयु वर्ग की एक महिला का मैमोग्राम पॉजिटिव निकला। क्या संभावना है कि उसे वास्तव में स्तन कैंसर है?

तर्क/गणना का पाठ्यक्रम इस प्रकार है। 1% कैंसर रोगियों में से मैमोग्राफी 80% सकारात्मक परिणाम देगा = 1% * 80% = 0.8%। 99% स्वस्थ महिलाओं में से मैमोग्राफी 9.6% सकारात्मक परिणाम देगी = 99% * 9.6% = 9.504%। कुल मिलाकर, सकारात्मक मैमोग्राम परिणामों के साथ 10.304% (9.504% + 0.8%) में से, केवल 0.8% बीमार हैं, और शेष 9.504% स्वस्थ हैं। इस प्रकार, सकारात्मक मैमोग्राम वाली महिला को कैंसर होने की संभावना 0.8% / 10.304% = 7.764% है। क्या आपने 80% या तो सोचा था?

हमारे उदाहरण में, बेयस सूत्र निम्नलिखित रूप लेता है:

आइए एक बार फिर से इस सूत्र के "भौतिक" अर्थ के बारे में बात करते हैं। एक्सएक यादृच्छिक चर (निदान) है, जो निम्नलिखित मान लेता है: एक्स 1- बीमार और एक्स 2- स्वस्थ; यू- यादृच्छिक चर (माप परिणाम - मैमोग्राफी), जो मान लेता है: वाई 1- एक सकारात्मक परिणाम और Y2- नकारात्मक परिणाम; पी (एक्स 1)- मैमोग्राफी से पहले बीमारी की संभावना (एक प्राथमिक संभावना), 1% के बराबर; आर(यू 1 |एक्स 1 ) - सकारात्मक परिणाम की संभावना यदि रोगी बीमार है (सशर्त संभावना, क्योंकि इसे कार्य की शर्तों में निर्दिष्ट किया जाना चाहिए), 80% के बराबर; आर(यू 1 |एक्स 2 ) – सकारात्मक परिणाम की संभावना यदि रोगी स्वस्थ है (सशर्त संभावना भी), 9.6% के बराबर; पी (एक्स 2)- संभावना है कि रोगी मैमोग्राफी (एक प्राथमिक संभावना) से पहले स्वस्थ है, 99% के बराबर; पी (एक्स 1|यू 1 ) – सकारात्मक मैमोग्राम परिणाम (पीछे की संभावना) को देखते हुए रोगी के बीमार होने की प्रायिकता।

यह देखा जा सकता है कि पश्च प्रायिकता (जो हम खोज रहे हैं) थोड़ी अधिक जटिल गुणांक के साथ पूर्व संभाव्यता (प्रारंभिक) के समानुपाती होती है . मैं फिर से जोर दूंगा। मेरी राय में, यह बायेसियन दृष्टिकोण का एक मूलभूत पहलू है। आयाम ( यू) ने शुरू में उपलब्ध (एक प्राथमिकता) में एक निश्चित मात्रा में जानकारी जोड़ी, जिसने वस्तु के बारे में हमारे ज्ञान को स्पष्ट किया।

उदाहरण

कवर की गई सामग्री को समेकित करने के लिए, कई समस्याओं को हल करने का प्रयास करें।

उदाहरण 1 3 कलश हैं; पहली 3 सफेद गेंदों में और 1 काली गेंदों में; दूसरे में - 2 सफेद गेंदें और 3 काली गेंदें; तीसरी में - 3 सफेद गेंदें। कोई बेतरतीब ढंग से कलशों में से एक के पास आता है और उसमें से 1 गेंद निकालता है। यह गेंद सफेद है। पश्च प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि गेंद पहले, दूसरे, तीसरे कलश से निकाली गई है।

समाधान। हमारे पास तीन परिकल्पनाएं हैं: एच 1 = (पहला कलश चयनित), एच 2 = (दूसरा कलश चयनित), एच 3 = (तीसरा कलश चयनित)। चूंकि कलश को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, परिकल्पना की प्राथमिक संभावनाएं हैं: (Н 1) = Р(Н 2) = Р(Н 3) = 1/3।

प्रयोग के परिणामस्वरूप, घटना A = प्रकट हुई (चयनित कलश से एक सफेद गेंद निकाली गई)। एच 1, एच 2, एच 3: पी (ए | एच 1) = 3/4, पी (ए | एच 2) = 2/5, पी (ए | एच 3) = 1 के तहत घटना ए की सशर्त संभावनाएं। उदाहरण के लिए, पहली समानता इस तरह पढ़ती है: "यदि पहला कलश चुना जाता है तो एक सफेद गेंद खींचने की संभावना 3/4 है (क्योंकि पहले कलश में 4 गेंदें हैं, और उनमें से 3 सफेद हैं)"।

बेयस सूत्र को लागू करने पर, हम परिकल्पनाओं की पश्च प्रायिकताएँ पाते हैं:

इस प्रकार, घटना ए की घटना के बारे में जानकारी के आलोक में, परिकल्पना की संभावनाएं बदल गईं: सबसे संभावित परिकल्पना एच 3 बन गई, सबसे कम संभावित - परिकल्पना एच 2।

उदाहरण 2दो निशानेबाज स्वतंत्र रूप से एक ही लक्ष्य पर गोली चलाते हैं, प्रत्येक ने एक गोली चलाई। पहले निशानेबाज के लिए लक्ष्य को भेदने की संभावना 0.8 है, दूसरे के लिए - 0.4। गोली मारने के बाद निशाने पर एक छेद मिला। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह छेद पहले शूटर का है (हम परिणाम को छोड़ देते हैं (दोनों छेद संयोग से) नगण्य रूप से असंभाव्य हैं)।

समाधान। प्रयोग से पहले, निम्नलिखित परिकल्पनाएं संभव हैं: एच 1 = (न तो पहला और न ही दूसरा तीर मारा जाएगा), एच 2 = (दोनों तीर हिट होंगे), एच 3 - (पहला शूटर हिट करेगा, और दूसरा नहीं होगा ), एच 4 = (पहला शूटर हिट नहीं होगा, और दूसरा हिट करेगा)। परिकल्पना की पूर्व संभावनाएं:

पी (एच 1) \u003d 0.2 * 0.6 \u003d 0.12; पी (एच 2) \u003d 0.8 * 0.4 \u003d 0.32; पी (एच 3) \u003d 0.8 * 0.6 \u003d 0.48; पी (एच 4) \u003d 0.2 * 0.4 \u003d 0.08।

इन परिकल्पनाओं के तहत मनाई गई घटना ए = (लक्ष्य में एक छेद है) की सशर्त संभावनाएं हैं: पी (ए | एच 1) = पी (ए | एच 2) = 0; पी (ए | एच 3) = पी (ए | एच 4) = 1

अनुभव के बाद, परिकल्पना एच 1 और एच 2 असंभव हो जाती है, और बेयस सूत्र के अनुसार परिकल्पना एच 3 और एच 4 की पश्च संभावनाएँ होंगी:

स्पैम के खिलाफ बेयस

बेयस के फार्मूले को स्पैम फिल्टर के विकास में व्यापक अनुप्रयोग मिला है। मान लें कि आप एक कंप्यूटर को यह निर्धारित करने के लिए प्रशिक्षित करना चाहते हैं कि कौन से ईमेल स्पैम हैं। हम बायेसियन अनुमानों का उपयोग करते हुए शब्दकोश और शब्द संयोजन से शुरू करेंगे। आइए पहले हम परिकल्पनाओं का एक स्थान बनाएँ। आइए किसी भी पत्र के संबंध में 2 परिकल्पनाएं करें: एच ए स्पैम है, एच बी स्पैम नहीं है, बल्कि एक सामान्य, आवश्यक पत्र है।

सबसे पहले, आइए अपने भविष्य के स्पैम-विरोधी सिस्टम को "प्रशिक्षित" करें। आइए हमारे पास मौजूद सभी अक्षरों को लें और उन्हें 10 अक्षरों के दो "ढेर" में विभाजित करें। हम एक में स्पैम पत्र डालते हैं और इसे H A हीप कहते हैं, दूसरे में हम आवश्यक पत्राचार करते हैं और इसे H B हीप कहते हैं। अब देखते हैं: स्पैम और आवश्यक ईमेल में कौन से शब्द और वाक्यांश पाए जाते हैं और किस आवृत्ति के साथ? इन शब्दों और वाक्यांशों को साक्ष्य कहा जाएगा और ई 1, ई 2 द्वारा निरूपित किया जाएगा ... यह पता चला है कि आमतौर पर इस्तेमाल किए जाने वाले शब्द (उदाहरण के लिए, शब्द "पसंद", "आपका") ढेर में एच ए और एच बी लगभग के साथ होते हैं एक ही आवृत्ति। इस प्रकार, एक पत्र में इन शब्दों की उपस्थिति हमें कुछ भी नहीं बताती है कि यह किस ढेर से संबंधित है (कमजोर सबूत)। आइए इन शब्दों को "स्पैम" की संभावना के आकलन का एक तटस्थ मान असाइन करें, कहें, 0.5।

वाक्यांश "संवादात्मक अंग्रेजी" को केवल 10 अक्षरों में, और अधिक बार स्पैम ईमेल में (उदाहरण के लिए, सभी 10 में से 7 स्पैम ईमेल में) सही (10 में से 3 में) की तुलना में प्रकट होने दें। आइए इस वाक्यांश को स्पैम के लिए 7/10 का उच्च स्कोर और सामान्य ईमेल के लिए निम्न स्कोर दें: 3/10। इसके विपरीत, यह पता चला कि "दोस्त" शब्द सामान्य अक्षरों (10 में से 6) में अधिक सामान्य था। और इसलिए हमें एक छोटा पत्र मिला: "दोस्त! आपकी बोली जाने वाली अंग्रेजी कैसी है?. आइए इसकी "स्पैमनेस" का मूल्यांकन करने का प्रयास करें। हम कुछ सरलीकृत बेयस फॉर्मूला और हमारे अनुमानित अनुमानों का उपयोग करके प्रत्येक ढेर से संबंधित सामान्य अनुमान पी (एच ए), पी (एच बी) रखेंगे:

पी (एच ए) = ए / (ए + बी), कहाँ पेए \u003d p a1 * p a2 * ... * पैन, B \u003d p b1 * p b2 * ... * p b n \u003d (1 - p a1) * (1 - p a2) * ... * ( 1 - पी ए)।

तालिका 1. सरलीकृत (और अपूर्ण) लेखन का बायेसियन मूल्यांकन

इस प्रकार, हमारे काल्पनिक पत्र को "स्पैम" की दिशा में एक जोर से संबंधित होने की संभावना का आकलन प्राप्त हुआ। क्या हम पत्र को ढेर में फेंकने का निर्णय ले सकते हैं? आइए निर्णय सीमा निर्धारित करें:

• हम मान लेंगे कि पत्र ढेर एच से संबंधित है अगर पी (एच i) टी।
• अक्षर ढेर से संबंधित नहीं है यदि P(H i) L.
• यदि एल ≤ पी (एच आई) ≤ टी, तो कोई निर्णय नहीं किया जा सकता है।

आप टी = 0.95 और एल = 0.05 ले सकते हैं। चूंकि विचाराधीन पत्र और 0.05 . के लिए< P(H A) < 0,95, и 0,05 < P(H В) < 0,95, то мы не сможем принять решение, куда отнести данное письмо: к спаму (H A) или к нужным письмам (H B). Можно ли улучшить оценку, используя больше информации?

हाँ। आइए सबूत के प्रत्येक टुकड़े के लिए अलग-अलग तरीके से स्कोर की गणना करें, जैसे बेयस ने सुझाव दिया था। होने देना:

एफ ए स्पैम ईमेल की कुल संख्या है;

एफ एआई एक प्रमाण पत्र के साथ अक्षरों की संख्या है मैंस्पैम के ढेर में;

एफ बी आवश्यक अक्षरों की कुल संख्या है;

एफ द्वि एक प्रमाण पत्र के साथ अक्षरों की संख्या है मैंआवश्यक (प्रासंगिक) पत्रों के ढेर में।

तब: p ai = F ai /F a , p bi = F bi /F b । पी(एच ए) = ए/(ए+बी), पी(एच बी) = बी/(ए+बी), कहाँ पेА = p a1 *p a2 *…*p a , B = p b1 *p b2 *…*p b n

कृपया ध्यान दें कि साक्ष्य शब्द p ai और p bi के अंक वस्तुनिष्ठ हो गए हैं और मानव हस्तक्षेप के बिना गणना की जा सकती है।

तालिका 2. एक पत्र से उपलब्ध सुविधाओं के लिए अधिक सटीक (लेकिन अपूर्ण) बायेसियन अनुमान

हमें एक निश्चित परिणाम मिला - संभावना के एक बड़े अंतर के साथ, पत्र को आवश्यक अक्षरों के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है, क्योंकि पी (एच बी) = 0.997> टी = 0.95। परिणाम क्यों बदला? क्योंकि हमने अधिक जानकारी का उपयोग किया - हमने प्रत्येक ढेर में अक्षरों की संख्या को ध्यान में रखा और, वैसे, अनुमानों को निर्धारित किया p ​​ai तथा p bi अधिक सही ढंग से। सशर्त संभावनाओं की गणना करके वे उसी तरह निर्धारित किए गए थे जैसे बेयस ने स्वयं किया था। दूसरे शब्दों में, p a3 यह संभावना है कि ईमेल में "बडी" शब्द दिखाई देगा, यह देखते हुए कि ईमेल पहले से ही स्पैम हीप H A से संबंधित है। परिणाम आने में ज्यादा समय नहीं था - ऐसा लगता है कि हम अधिक निश्चितता के साथ निर्णय ले सकते हैं।

बेयस बनाम कॉर्पोरेट धोखाधड़ी

बायेसियन दृष्टिकोण का एक दिलचस्प अनुप्रयोग MAGNUS8 द्वारा वर्णित किया गया था।

मेरी वर्तमान परियोजना (एक विनिर्माण उद्यम में धोखाधड़ी का पता लगाने के लिए आईएस) धोखाधड़ी की संभावना की परिकल्पना के पक्ष में अप्रत्यक्ष रूप से कई तथ्यों की उपस्थिति/अनुपस्थिति में धोखाधड़ी (धोखाधड़ी) की संभावना निर्धारित करने के लिए बेयस फॉर्मूला का उपयोग करती है। एल्गोरिथ्म स्व-शिक्षण (प्रतिक्रिया के साथ) है, अर्थात। आर्थिक सुरक्षा सेवा द्वारा सत्यापन के दौरान धोखाधड़ी की वास्तविक पुष्टि या गैर-पुष्टि पर अपने गुणांक (सशर्त संभावनाओं) की पुनर्गणना करता है।

शायद यह कहने लायक है कि एल्गोरिदम को डिजाइन करते समय ऐसे तरीकों के लिए डेवलपर की काफी उच्च गणितीय संस्कृति की आवश्यकता होती है, क्योंकि कम्प्यूटेशनल फ़ार्मुलों की व्युत्पत्ति और/या कार्यान्वयन में थोड़ी सी भी त्रुटि पूरी पद्धति को अमान्य और बदनाम कर देगी। संभाव्य विधियां इसके लिए विशेष रूप से दोषी हैं, क्योंकि मानव सोच संभाव्य श्रेणियों के साथ काम करने के लिए अनुकूलित नहीं है और तदनुसार, मध्यवर्ती और अंतिम संभाव्य मापदंडों के "भौतिक अर्थ" की कोई "दृश्यता" और समझ नहीं है। ऐसी समझ केवल संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणाओं के लिए मौजूद है, और फिर आपको संभाव्यता सिद्धांत के नियमों के अनुसार जटिल चीजों को बहुत सावधानी से संयोजित करने और प्राप्त करने की आवश्यकता है - सामान्य ज्ञान अब समग्र वस्तुओं के लिए मदद नहीं करेगा। यह, विशेष रूप से, संभाव्यता के दर्शन पर आधुनिक पुस्तकों के पन्नों पर होने वाली काफी गंभीर कार्यप्रणाली के साथ-साथ इस विषय पर बड़ी संख्या में परिष्कार, विरोधाभास और जिज्ञासा की समस्याओं से जुड़ा है।

एक और बारीकियों का मुझे सामना करना पड़ा - दुर्भाग्य से, इस विषय पर व्यावहारिक रूप से उपयोगी लगभग सब कुछ अंग्रेजी में लिखा गया है। रूसी-भाषा के स्रोतों में, मूल रूप से केवल सबसे आदिम मामलों के प्रदर्शन उदाहरणों के साथ केवल एक प्रसिद्ध सिद्धांत है।

मैं अंतिम टिप्पणी से पूरी तरह सहमत हूं। उदाहरण के लिए, Google ने जब "बायेसियन प्रोबेबिलिटी" पुस्तक जैसी कोई चीज़ खोजने की कोशिश की, तो उसने कुछ भी समझदार नहीं दिया। सच है, उन्होंने कहा कि बायेसियन सांख्यिकी वाली एक पुस्तक पर चीन में प्रतिबंध लगा दिया गया था। (सांख्यिकी के प्रोफेसर एंड्रयू गेलमैन ने कोलंबिया विश्वविद्यालय के ब्लॉग पर बताया कि उनकी पुस्तक, डेटा एनालिसिस विद रिग्रेशन एंड मल्टीलेवल/हाइरार्किकल मॉडल्स को चीन में प्रकाशन से प्रतिबंधित कर दिया गया था। टेक्स्ट।") मुझे आश्चर्य है कि क्या इसी तरह के कारण बायेसियन पर पुस्तकों की अनुपस्थिति का कारण बना। रूस में संभावना?

मानव सूचना प्रसंस्करण की प्रक्रिया में रूढ़िवाद

संभावनाएं अनिश्चितता की डिग्री निर्धारित करती हैं। बेयस और हमारे अंतर्ज्ञान दोनों के अनुसार, प्रायिकता, केवल शून्य के बीच की एक संख्या है और जो उस डिग्री का प्रतिनिधित्व करती है जिस हद तक एक आदर्शवादी व्यक्ति का मानना ​​​​है कि कथन सत्य है। मनुष्य को कुछ हद तक आदर्श बनाने का कारण यह है कि दो परस्पर अनन्य घटनाओं के लिए उसकी संभावनाओं का योग उन घटनाओं में से किसी एक की संभावना के बराबर होना चाहिए। व्यसनशीलता की संपत्ति के ऐसे निहितार्थ हैं कि कुछ वास्तविक लोग उन सभी से मेल खा सकते हैं।

बेयस प्रमेय सभी संभाव्यवादियों, बायेसियन और अन्यथा द्वारा निर्विवाद, निर्विवाद और सहमत होने की संपत्ति का एक तुच्छ परिणाम है। इसे लिखने का एक तरीका निम्नलिखित है। यदि पी (एच ए | डी) बाद की संभावना है कि परिकल्पना ए दिए गए मूल्य डी के बाद देखी गई थी, पी (एच ए) दिए गए मूल्य डी को देखे जाने से पहले इसकी पूर्व संभावना है, पी (डी | एच ए) संभावना है कि ए दिया गया मान D देखा जाएगा, यदि H A सत्य है, और P(D) दिए गए मान D की बिना शर्त प्रायिकता है, तो

(1) पी (एच ए | डी) = पी (डी | एच ए) * पी (एच ए) / पी (डी)

पी (डी) को सामान्यीकरण स्थिरांक के रूप में सबसे अच्छा माना जाता है, जिसके कारण पश्च संभावनाओं को पारस्परिक रूप से अनन्य परिकल्पनाओं के संपूर्ण सेट में जोड़ दिया जाता है जिन पर विचार किया जा रहा है। यदि इसकी गणना करने की आवश्यकता है, तो यह इस प्रकार हो सकता है:

लेकिन अधिक बार P(D) को गिनने के बजाय हटा दिया जाता है। इसे खत्म करने का एक सुविधाजनक तरीका है बेयस के प्रमेय को प्रायिकता-विषम संबंध के रूप में बदलना।

एक अन्य परिकल्पना पर विचार करें, एच बी, एच ए के लिए परस्पर अनन्य, और उसी मात्रा के आधार पर इसके बारे में अपना विचार बदलें जिसने एच ए के बारे में आपके विचार को बदल दिया। बेयस प्रमेय कहता है कि

(2) पी (एच बी | डी) = पी (डी | एच बी) * पी (एच बी) / पी (डी)

अब हम समीकरण 1 को समीकरण 2 से भाग देते हैं; परिणाम इस प्रकार होगा:

जहां 1 एच बी के संदर्भ में एच ए के पक्ष में पीछे की बाधाएं हैं, Ω 0 पूर्व बाधाएं हैं, और एल संभावनाओं के अनुपात के रूप में सांख्यिकीविदों के लिए परिचित संख्या है। समीकरण 3, बेयस के प्रमेय का समीकरण 1 के समान प्रासंगिक संस्करण है, और विशेष रूप से परिकल्पना वाले प्रयोगों के लिए अक्सर अधिक उपयोगी होता है। बायेसियन समर्थकों का तर्क है कि बेयस प्रमेय नए डेटा के आलोक में राय को संशोधित करने के लिए औपचारिक रूप से इष्टतम नियम है।

हम लोगों के वास्तविक व्यवहार के साथ बेयस प्रमेय द्वारा परिभाषित आदर्श व्यवहार की तुलना करने में रुचि रखते हैं। इसका क्या अर्थ है, इसका कुछ अंदाजा आपको देने के लिए, आइए एक विषय के रूप में आपके साथ एक प्रयोग करें। इस बैग में 1000 पोकर चिप्स हैं। मेरे पास इनमें से दो बैग हैं, एक में 700 लाल और 300 नीले चिप्स हैं, और दूसरे में 300 लाल और 700 नीले रंग के हैं। मैंने यह निर्धारित करने के लिए एक सिक्का फ़्लिप किया कि किसका उपयोग करना है। इस प्रकार, यदि हमारी राय समान है, तो अधिक लाल चिप्स वाले बैग को खींचने की आपकी वर्तमान संभावना 0.5 है। अब, आप बेतरतीब ढंग से नमूना लेते हैं, प्रत्येक टोकन के बाद लौटते हैं। 12 चिप्स में आपको 8 रेड और 4 ब्लू मिलते हैं। अब, आप जो कुछ भी जानते हैं, उसके आधार पर, इसकी क्या प्रायिकता है कि एक बैग में अधिक लाल रंग आए? यह स्पष्ट है कि यह 0.5 से अधिक है। कृपया तब तक पढ़ना जारी न रखें जब तक आप अपनी रेटिंग दर्ज नहीं कर लेते।

यदि आप एक विशिष्ट विषय की तरह दिखते हैं, तो आपका स्कोर 0.7 और 0.8 के बीच आता है। हालांकि, अगर हमने संबंधित गणना की, तो उत्तर 0.97 होगा। वास्तव में, यह बहुत दुर्लभ है कि एक व्यक्ति जिसे पहले रूढ़िवाद का प्रभाव नहीं दिखाया गया है, वह इस तरह के उच्च अनुमान के साथ आता है, भले ही वह बेयस प्रमेय से परिचित हो।

यदि बैग में लाल चिप्स का अनुपात है आर, तो प्राप्त करने की संभावना आरलाल चिप्स और ( एन-आर) नीला इंच एनवापसी के साथ नमूने - पी आर (1-पी)एन-आर. इस प्रकार, एक विशिष्ट बैग और पोकर चिप प्रयोग में, यदि एचएइसका मतलब है कि लाल चिप्स का अनुपात है आर एतथा एचबीइसका मतलब है कि शेयर है आरबी, तो प्रायिकता अनुपात:

बेयस के सूत्र को लागू करते समय, केवल वास्तविक अवलोकन की संभावना को ध्यान में रखा जाना चाहिए, न कि अन्य अवलोकनों की संभावनाओं को जो उन्होंने किया हो सकता है लेकिन नहीं किया। बेयस प्रमेय के सभी सांख्यिकीय और गैर-सांख्यिकीय अनुप्रयोगों के लिए इस सिद्धांत के व्यापक निहितार्थ हैं; यह बायेसियन सोच का सबसे महत्वपूर्ण तकनीकी उपकरण है।

बायेसियन क्रांति

आपके मित्र और सहकर्मी "बेयस प्रमेय" या "बायेसियन नियम" या बायेसियन सोच नामक किसी चीज़ के बारे में बात कर रहे हैं। वे वास्तव में इसमें शामिल हैं, इसलिए आप ऑनलाइन जाते हैं और आपको बेयस प्रमेय के बारे में एक पृष्ठ मिलता है और... यह एक समीकरण है। और बस इतना ही... एक गणितीय अवधारणा मन में इतना उत्साह क्यों पैदा करती है? वैज्ञानिकों के बीच किस तरह की "बायेसियन क्रांति" हो रही है, और यह तर्क दिया जाता है कि प्रायोगिक दृष्टिकोण को भी इसका विशेष मामला बताया जा सकता है? बेयस के अनुयायी क्या रहस्य जानते हैं? वे किस प्रकार का प्रकाश देखते हैं?

विज्ञान में बायेसियन क्रांति नहीं हुई क्योंकि अधिक से अधिक संज्ञानात्मक वैज्ञानिकों ने अचानक ध्यान देना शुरू कर दिया कि मानसिक घटनाओं में बायेसियन संरचना होती है; इसलिए नहीं कि हर क्षेत्र में वैज्ञानिकों ने बायेसियन पद्धति का उपयोग करना शुरू कर दिया है; लेकिन क्योंकि विज्ञान स्वयं बेयस प्रमेय का एक विशेष मामला है; प्रायोगिक साक्ष्य बायेसियन साक्ष्य है। बायेसियन क्रांतिकारियों का तर्क है कि जब आप एक प्रयोग करते हैं और आपको सबूत मिलते हैं कि आपके सिद्धांत का "समर्थन" या "खंडन" होता है, तो बायेसियन नियमों के अनुसार पुष्टि या खंडन होता है। उदाहरण के लिए, आपको न केवल यह ध्यान रखना चाहिए कि आपका सिद्धांत घटना की व्याख्या कर सकता है, बल्कि यह भी कि अन्य संभावित स्पष्टीकरण भी हैं जो इस घटना की भविष्यवाणी कर सकते हैं।

पहले, विज्ञान का सबसे लोकप्रिय दर्शन पुराना दर्शन था जो बायेसियन क्रांति से विस्थापित हो गया था। कार्ल पॉपर का यह विचार कि सिद्धांतों को पूरी तरह से गलत ठहराया जा सकता है, लेकिन कभी भी पूरी तरह से पुष्टि नहीं की जा सकती, बायेसियन नियमों का एक और विशेष मामला है; यदि p(X|A) 1 - यदि सिद्धांत सही भविष्यवाणियां करता है, तो ~X का अवलोकन बहुत दृढ़ता से A को गलत साबित करता है। दूसरी ओर, यदि p(X|A) 1 और हम X का निरीक्षण करते हैं, तो ऐसा नहीं होता है सिद्धांत का बहुत समर्थन करते हैं; कुछ अन्य शर्त बी संभव है, जैसे कि पी (एक्स | बी) ≈ 1, और जिसके तहत एक्स का अवलोकन ए के लिए सबूत नहीं है लेकिन बी के लिए सबूत है। एक्स को निश्चित रूप से ए की पुष्टि करने के लिए, हमें यह नहीं जानना होगा कि पी ( एक्स|ए) 1 और वह पी(एक्स|~ए) ≈ 0, जिसे हम नहीं जान सकते क्योंकि हम सभी संभावित वैकल्पिक स्पष्टीकरणों पर विचार नहीं कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, जब आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत ने न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के अत्यधिक सत्यापन योग्य सिद्धांत को पार कर लिया, तो इसने न्यूटन के सिद्धांत की सभी भविष्यवाणियों को आइंस्टीन का एक विशेष मामला बना दिया।

इसी तरह, पॉपर का दावा है कि एक विचार को मिथ्या होना चाहिए, संभावना के संरक्षण के बारे में बायेसियन नियम की अभिव्यक्ति के रूप में व्याख्या की जा सकती है; यदि परिणाम एक्स सिद्धांत के लिए सकारात्मक सबूत है, तो परिणाम ~ एक्स को कुछ हद तक सिद्धांत को गलत साबित करना चाहिए। यदि आप एक सिद्धांत को "समर्थन" के रूप में एक्स और ~ एक्स दोनों की व्याख्या करने की कोशिश कर रहे हैं, तो बायेसियन नियम कहते हैं कि यह असंभव है! एक सिद्धांत की संभावना को बढ़ाने के लिए, आपको इसे उन परीक्षणों के अधीन करना होगा जो संभावित रूप से इसकी संभावना को कम कर सकते हैं; यह केवल विज्ञान में चार्लटन का पता लगाने का नियम नहीं है, बल्कि बायेसियन प्रोबेबिलिटी प्रमेय का परिणाम है। दूसरी ओर, पॉपर का यह विचार कि केवल मिथ्याकरण की आवश्यकता है और पुष्टि की आवश्यकता नहीं है, गलत है। बेयस की प्रमेय से पता चलता है कि पुष्टि की तुलना में मिथ्याकरण बहुत मजबूत सबूत है, लेकिन मिथ्याकरण अभी भी प्रकृति में संभाव्य है; यह मौलिक रूप से भिन्न नियमों द्वारा शासित नहीं है और इसमें पुष्टि से भिन्न नहीं है, जैसा कि पॉपर का तर्क है।

इस प्रकार हम पाते हैं कि संज्ञानात्मक विज्ञान में कई घटनाएं, साथ ही वैज्ञानिकों द्वारा उपयोग की जाने वाली सांख्यिकीय विधियां, साथ ही वैज्ञानिक पद्धति, सभी बेयस प्रमेय के विशेष मामले हैं। बायेसियन क्रांति इसी के बारे में है।

बायेसियन षड्यंत्र में आपका स्वागत है!

बायेसियन प्रायिकता पर साहित्य

2. अर्थशास्त्र में नोबेल पुरस्कार विजेता कन्नमैन (एट अल।) एक अद्भुत पुस्तक में बेयस के विभिन्न अनुप्रयोगों का वर्णन करता है। अकेले इस बहुत बड़ी पुस्तक के अपने सारांश में, मैंने एक प्रेस्बिटेरियन मंत्री के नाम के 27 संदर्भ गिनाए। न्यूनतम सूत्र। (.. मुझे वास्तव में यह पसंद आया। सच है, यह जटिल है, बहुत सारे गणित (और इसके बिना कहाँ), लेकिन व्यक्तिगत अध्याय (उदाहरण के लिए, अध्याय 4. सूचना), विषय पर स्पष्ट रूप से। मैं सभी को सलाह देता हूं। भले ही गणित है आपके लिए मुश्किल है, लाइन के माध्यम से पढ़ना, गणित छोड़ना, और उपयोगी अनाज के लिए मछली पकड़ना ...

14. (अनुपूरक दिनांक 15 जनवरी, 2017), टोनी क्रिली की किताब का एक अध्याय। 50 विचार जिनके बारे में आपको जानना आवश्यक है। गणित।

भौतिक विज्ञानी रिचर्ड फेनमैन, नोबेल पुरस्कार विजेता, एक दार्शनिक के बारे में विशेष रूप से महान दंभ के साथ बोलते हुए, एक बार कहा था: "यह एक विज्ञान के रूप में दर्शन नहीं है जो मुझे बिल्कुल परेशान करता है, लेकिन इसके चारों ओर बनाई गई धूमधाम। अगर केवल दार्शनिक ही खुद पर हंस सकते हैं! अगर केवल वे कह सकते हैं: "मैं कहता हूं कि यह ऐसा है, लेकिन वॉन लीपज़िग ने सोचा कि यह अलग था, और वह इसके बारे में कुछ जानता भी है।" यदि केवल उन्हें यह स्पष्ट करना याद था कि यह केवल उनका था .

इवेंट फॉर्म पूरा समूह, यदि उनमें से कम से कम एक प्रयोग के परिणामस्वरूप अनिवार्य रूप से घटित होगा और जोड़ीवार असंगत हैं।

आइए मान लें कि घटना एकेवल एक साथ कई जोड़ीदार असंगत घटनाओं में से एक के साथ हो सकता है जो एक पूर्ण समूह बनाते हैं। चलो घटनाओं को बुलाओ मैं= 1, 2,…, एन) परिकल्पनाअतिरिक्त अनुभव (एक प्राथमिकता)। घटना A के घटित होने की प्रायिकता सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है पूर्ण संभावना :

उदाहरण 16तीन कलश हैं। पहले कलश में 5 सफेद और 3 काली गेंदें हैं, दूसरे कलश में 4 सफेद और 4 काली गेंदें हैं, और तीसरे कलश में 8 सफेद गेंदें हैं। कलशों में से एक को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है (इसका मतलब यह हो सकता है, उदाहरण के लिए, एक सहायक कलश से चयन किया जाता है जिसमें तीन गेंदों की संख्या 1, 2 और 3 होती है)। इस कलश से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह काला होगा?

समाधान।आयोजन ए- काली गेंद खींची जाती है। यदि यह ज्ञात हो कि गेंद किस कलश से निकाली गई है, तो प्रायिकता की शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार अपेक्षित प्रायिकता की गणना की जा सकती है। आइए हम उन मान्यताओं (परिकल्पनाओं) का परिचय दें जिनके संबंध में गेंद को निकालने के लिए कलश का चयन किया जाता है।

गेंद को या तो पहले कलश (परिकल्पना) से, या दूसरे (परिकल्पना) से, या तीसरे (परिकल्पना) से खींचा जा सकता है। चूँकि किसी भी कलश को चुनने के समान अवसर हैं, तो .

इसलिए यह इस प्रकार है कि

उदाहरण 17.बिजली के लैंप तीन कारखानों में बनते हैं। पहला संयंत्र बिजली के कुल लैंप का 30% उत्पादन करता है, दूसरा - 25%,
और बाकी के लिए तीसरा। पहले संयंत्र के उत्पादों में 1% दोषपूर्ण बिजली के लैंप हैं, दूसरे में - 1.5%, तीसरे में - 2%। स्टोर को तीनों कारखानों से उत्पाद प्राप्त होते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि स्टोर से खरीदा गया लैम्प खराब है?

समाधान।अनुमानों को दर्ज किया जाना चाहिए कि किस कारखाने में प्रकाश बल्ब का निर्माण किया गया था। इसे जानकर, हम इसके दोषपूर्ण होने की प्रायिकता ज्ञात कर सकते हैं। आइए घटनाओं के लिए संकेतन का परिचय दें: ए- ख़रीदा गया बिजली का लैम्प ख़राब निकला, - लैम्प का निर्माण पहली फ़ैक्टरी ने किया, - लैम्प का निर्माण दूसरी फ़ैक्टरी ने किया,
- लैम्प का निर्माण तीसरी फैक्ट्री द्वारा किया जाता है।

वांछित संभाव्यता कुल संभाव्यता सूत्र द्वारा पाई जाती है:

बेयस सूत्र। आज्ञा देना जोड़ीवार असंगत घटनाओं (परिकल्पनाओं) का एक पूरा समूह बनें। लेकिनएक यादृच्छिक घटना है। फिर,

अंतिम सूत्र जो आपको परीक्षण के परिणाम के बाद परिकल्पना की संभावनाओं को कम करने की अनुमति देता है, ज्ञात हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप घटना ए दिखाई देती है, उसे कहा जाता है बेयस फॉर्मूला .

उदाहरण 18.रोग के औसतन 50% रोगियों को एक विशेष अस्पताल में भर्ती कराया जाता है प्रति, 30% रोग के साथ ली, 20 % –
रोग के साथ एम. रोग के पूर्ण इलाज की संभावना करोगों के लिए 0.7 के बराबर है लीतथा एमये संभावनाएं क्रमशः 0.8 और 0.9 हैं। अस्पताल में भर्ती मरीज को स्वस्थ्य छुट्टी दे दी गई। इस रोगी के रोग होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए क.

समाधान।हम परिकल्पना का परिचय देते हैं: - रोगी एक बीमारी से पीड़ित है प्रति ली, रोगी रोग से पीड़ित एम.

फिर, समस्या की स्थिति से, हमारे पास . आइए एक घटना का परिचय दें लेकिनअस्पताल में भर्ती मरीज को स्वस्थ्य छुट्टी दे दी गई। शर्त के अनुसार

कुल संभाव्यता सूत्र के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:

बेयस सूत्र।

उदाहरण 19.मान लीजिए कलश में पाँच गेंदें हैं और सफेद गेंदों की संख्या के बारे में सभी धारणाएँ समान रूप से संभावित हैं। कलश से यादृच्छिक रूप से एक गेंद ली जाती है और वह सफेद हो जाती है। कलश की प्रारंभिक संरचना के बारे में सबसे अधिक संभावना क्या है?

समाधान।माना कि सफेद गेंदों के कलश में , यानी छह धारणाएँ बनाना संभव है। फिर, समस्या की स्थिति से, हमारे पास .

आइए एक घटना का परिचय दें लेकिनबेतरतीब ढंग से खींची गई सफेद गेंद। आइए गणना करें। तब से, बेयस सूत्र के अनुसार हमारे पास है:

इस प्रकार, परिकल्पना सबसे संभावित है, क्योंकि .

उदाहरण 20.कंप्यूटिंग डिवाइस के तीन स्वतंत्र रूप से काम करने वाले तत्वों में से दो विफल हो गए। यदि पहले, दूसरे और तीसरे तत्वों की विफलता की संभावनाएं क्रमशः 0.2 के बराबर हैं, तो पहले और दूसरे तत्व के विफल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए; 0.4 और 0.3।

समाधान।द्वारा निरूपित करें लेकिनघटना - दो तत्व विफल। निम्नलिखित परिकल्पनाएँ बनाई जा सकती हैं:

- पहला और दूसरा तत्व विफल रहा, और तीसरा तत्व सेवा योग्य है। चूंकि तत्व स्वतंत्र रूप से काम करते हैं, गुणन प्रमेय लागू होता है: