Négyzetgyök. Átfogó útmutató (2019)
Gratulálunk: ma a gyökereket elemezzük - a 8. osztály egyik legelgondolkodtatóbb témáját. :)
Sokan nem azért keverednek össze a gyökérrel, mert bonyolultak (ami bonyolult - néhány definíció és még néhány tulajdonság), hanem azért, mert a legtöbb iskolai tankönyvben a gyökerek olyan vadon keresztül vannak meghatározva, hogy csak maguk a tankönyvek szerzői tudják értsd meg ezt a firkálást. És akkor is csak egy üveg jó whiskyvel. :)
Ezért most megadom a gyökér leghelyesebb és legkompetensebb meghatározását - az egyetlent, amelyet valóban emlékeznie kell. És csak ezután fogom elmagyarázni: miért van szükség erre, és hogyan kell alkalmazni a gyakorlatban.
De először emlékezz egyet fontos pont, amelyről sok tankönyv-összeállító valamiért „elfelejti”:
A gyökök lehetnek páros fokozatúak (kedvenc $\sqrt(a)$, valamint bármilyen $\sqrt(a)$ és páros $\sqrt(a)$) és páratlan fokos (bármely $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ stb.). A páratlan fok gyökének meghatározása pedig némileg eltér a párostól.
Valószínűleg itt van elrejtve a „kicsit más” a gyökerekkel kapcsolatos hibák és félreértések 95%-a. Tehát egyszer s mindenkorra tisztázzuk a terminológiát:
Meghatározás. Még root n a $a$ számból bármely nem negatív olyan $b$ szám, hogy $((b)^(n))=a$. És ugyanabból az $a$ számból származó páratlan fok gyöke általában bármely $b$ szám, amelyre ugyanaz az egyenlőség érvényes: $((b)^(n))=a$.
Mindenesetre a gyökér jelölése a következő:
\(a)\]
Az ilyen jelölésben szereplő $n$ számot gyökérkitevőnek, az $a$ számot pedig gyökkifejezésnek nevezzük. Konkrétan $n=2$ esetén megkapjuk a „kedvenc” négyzetgyökünket (ez egyébként egy páros fok gyöke), $n=3$ esetén pedig egy köbgyököt (páratlan fok), ami problémákban és egyenletekben is gyakran megtalálható.
Példák. Klasszikus példák négyzetgyök:
\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(igazítás)\]
Egyébként $\sqrt(0)=0$ és $\sqrt(1)=1$. Ez teljesen logikus, mivel $((0)^(2))=0$ és $((1)^(2))=1$.
A köbös gyökerek is gyakoriak - ne félj tőlük:
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(igazítás)\]
Nos, néhány "egzotikus példa":
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(igazítás)\]
Ha nem érti, mi a különbség a páros és a páratlan fok között, olvassa el újra a definíciót. Ez nagyon fontos!
Addig is megvizsgáljuk a gyökök egy kellemetlen tulajdonságát, ami miatt külön definíciót kellett bevezetnünk a páros és a páratlan kitevőkre.
Miért van szükségünk egyáltalán gyökerekre?
A definíció elolvasása után sok diák megkérdezi: „Mit szívtak a matematikusok, amikor ezt kitalálták?” És tényleg: miért van szükségünk ezekre a gyökerekre?
A kérdés megválaszolásához térjünk vissza egy pillanatra elemi osztályok. Ne feledjük: azokban a távoli időkben, amikor zöldebbek voltak a fák és finomabbak a gombócok, a fő gondunk az volt, hogy helyesen szorozzuk be a számokat. Nos, valami az "öt az öt - huszonöt" szellemében, ennyi. De végül is a számokat nem párban, hanem hármasban, négyesben és általában egész halmazban szorozhatja:
\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]
Azonban nem ez a lényeg. A trükk más: a matematikusok lusta emberek, így tíz ötös szorzását így kellett leírniuk:
Így jöttek a diplomák. Miért nem írja fel a faktorok számát felső indexként a hosszú karakterlánc helyett? Mint ez:
Nagyon kényelmes! Minden számítás többszörösére csökken, és nem költhet egy csomó pergamen füzetet arra, hogy leírjon néhány 5 183 . Az ilyen bejegyzést egy szám fokának nevezték, egy csomó tulajdonságot találtak benne, de a boldogság rövid életűnek bizonyult.
Egy grandiózus pia után, amelyet éppen a fokozatok „felfedezése” kapcsán szerveztek, néhány különösen megkövült matematikus hirtelen megkérdezte: „Mi van akkor, ha ismerjük egy szám fokszámát, de magát a számot nem?” Valóban, ha tudjuk, hogy például egy bizonyos $b$ szám 243-at ad az 5. hatványnak, akkor hogyan lehet kitalálni, hogy maga a $b$ mekkora számmal egyenlő?
Ez a probléma sokkal globálisabbnak bizonyult, mint amilyennek első pillantásra tűnhet. Mert kiderült, hogy a „kész” diplomák többségénél nincsenek ilyen „kezdeti” számok. Ítéld meg magad:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Jobbra b=4\cdot 4\cdot 4\Jobbra b=4. \\ \end(igazítás)\]
Mi van, ha $((b)^(3))=50 $? Kiderült, hogy meg kell találni egy bizonyos számot, amelyet háromszor megszorozva 50-et kapunk. De mi ez a szám? Egyértelműen nagyobb, mint 3, mert 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. I.e. ez a szám valahol három és négy között van, de mi egyenlő - ÁBRA, azt meg fogja érteni.
Pontosan ez az oka annak, hogy a matematikusok $n$-edik gyököket találtak ki. Ezért vezették be a radikális $\sqrt(*)$ ikont. Ugyanazon szám jelölésére $b$, amely a megadott hatványon egy korábban ismert értéket ad
\[\sqrt[n](a)=b\Jobbra ((b)^(n))=a\]
Nem vitatom: ezeket a gyökereket gyakran könnyen megfontolják – több ilyen példát láttunk fent. De ennek ellenére a legtöbb esetben, ha egy tetszőleges számra gondolsz, majd megpróbálod kiszedni belőle egy tetszőleges fokozat gyökét, akkor kegyetlen balhé lesz.
Mi van ott! Még a legegyszerűbb és legismertebb $\sqrt(2)$ sem ábrázolható a megszokott formában - egész számként vagy törtként. És ha ezt a számot beüti egy számológépbe, ezt fogja látni:
\[\sqrt(2)=1,414213562...\]
Mint látható, a tizedesvessző után végtelen számsor következik, amely nem engedelmeskedik semmilyen logikának. Természetesen ezt a számot kerekítheti, hogy gyorsan összehasonlíthassa más számokkal. Például:
\[\sqrt(2)=1,4142...\kb. 1,4 \lt 1,5\]
Vagy itt van egy másik példa:
\[\sqrt(3)=1,73205...\kb. 1,7 \gt 1,5\]
De mindezek a kerekítések először is meglehetősen durvaak; másodszor pedig hozzávetőleges értékekkel is tudni kell dolgozni, különben egy csomó nem nyilvánvaló hibát elkaphat (egyébként az összehasonlítás és a kerekítés készsége hibátlanul a profilvizsgán ellenőrizve).
Ezért a komoly matematikában nem nélkülözhetjük a gyököket - ezek ugyanazok a valós számok $\mathbb(R)$ halmazának egyenlő képviselői, mint a törtek és egészek, amelyeket régóta ismerünk.
A gyökér $\frac(p)(q)$ törtrészeként való ábrázolásának lehetetlensége azt jelenti, hogy adott gyökér nem racionális szám. Az ilyen számokat irracionálisnak nevezzük, és nem lehet pontosan ábrázolni, csak egy gyök, vagy más, kifejezetten erre a célra kialakított konstrukció (logaritmus, fok, határérték stb.) segítségével. De erről majd máskor.
Vegyünk néhány példát, ahol az összes számítás után az irracionális számok továbbra is megmaradnak a válaszban.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\kb. 2236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\approx -1,2599... \\ \end(align)\]
Természetesen által kinézet a gyökér szinte lehetetlen kitalálni, hogy milyen számok jönnek a tizedesvessző után. Számológéppel azonban lehet számolni, de a legfejlettebb dátumkalkulátor is csak az irracionális szám első néhány számjegyét adja meg. Ezért sokkal helyesebb a válaszokat $\sqrt(5)$ és $\sqrt(-2)$ formában írni.
Erre találták ki. Hogy könnyebb legyen leírni a válaszokat.
Miért van szükség két definícióra?
A figyelmes olvasó valószínűleg már észrevette, hogy a példákban szereplő összes négyzetgyök pozitív számokból származik. Hát be végső megoldás nulláról. De a kockagyökereket nyugodtan kivonják abszolút bármilyen számból - még pozitívakból is, még negatívakból is.
Miért történik ez? Vessen egy pillantást a $y=((x)^(2))$ függvény grafikonjára:
Menetrend másodfokú függvény két gyökeret ad: pozitív és negatív Próbáljuk meg kiszámítani a $\sqrt(4)$ értékét ezzel a grafikonnal. Ehhez a grafikonon egy $y=4$ vízszintes vonalat húzunk (pirossal jelölve), amely két pontban metszi a parabolát: $((x)_(1))=2$ és $((x) _(2)) =-2$. Ez teljesen logikus, hiszen
Minden világos az első számmal - ez pozitív, ezért ez a gyökér:
De akkor mi a teendő a második ponttal? A 4-nek két gyökere van egyszerre? Hiszen ha a −2 számot négyzetre emeljük, akkor 4-et is kapunk. Miért nem írunk akkor $\sqrt(4)=-2$? És miért néznek a tanárok az ilyen lemezeket úgy, mintha meg akarnának enni? :)
Ez az a baj, hogy ha nem szabsz ki semmit további feltételek, akkor a négynek két négyzetgyöke lesz – pozitív és negatív. És bármely pozitív számnak kettő is lesz belőle. De a negatív számoknak egyáltalán nem lesz gyökere - ez ugyanabból a grafikonból látható, mivel a parabola soha nem esik a tengely alá y, azaz nem vesz fel negatív értékeket.
Hasonló probléma jelentkezik minden páros kitevővel rendelkező gyökérnél:
- Szigorúan véve minden pozitív számnak két gyöke lesz páros kitevővel $n$;
- Negatív számokból a páros $n$ gyökér egyáltalán nem kerül kivonásra.
Éppen ezért a páros gyök $n$ definíciója kifejezetten előírja, hogy a válasznak egy nem negatív számnak kell lennie. Így megszabadulunk a kétértelműségtől.
De páratlan $n$ esetén nincs ilyen probléma. Ennek megtekintéséhez nézzük meg a $y=((x)^(3))$ függvény grafikonját:
A köbös parabola tetszőleges értéket vesz fel, így a kockagyök tetszőleges számból vehető Ebből a grafikonból két következtetés vonható le:
- A köbös parabola ágai a szokásostól eltérően mindkét irányban a végtelenbe mennek - felfelé és lefelé egyaránt. Ezért bármilyen magasságban húzunk egy vízszintes vonalat, ez a vonal mindenképpen metszi a grafikonunkat. Ezért a kockagyök mindig vehető, abszolút bármilyen számból;
- Ráadásul egy ilyen kereszteződés mindig egyedi lesz, így nem kell azon gondolkodnia, hogy melyik számot tekintse „helyes” gyökérnek, és melyiket pontozza. Éppen ezért a gyökök meghatározása a páratlan fokra egyszerűbb, mint a párosra (nincs nem negativitás követelménye).
Kár, hogy ezek egyszerű dolgok a legtöbb tankönyvben nincs kifejtve. Ehelyett az agyunk szárnyalni kezd mindenféle számtani gyökérrel és azok tulajdonságaival.
Igen, nem vitatom: mi az aritmetikai gyök - azt is tudni kell. És erről részletesen egy külön leckében fogok beszélni. Ma erről is lesz szó, mert enélkül a $n$-edik multiplicitás gyökereire vonatkozó minden reflexió hiányos lenne.
De először világosan meg kell értened a fentebb megadott definíciót. Ellenkező esetben a kifejezések bősége miatt olyan zűrzavar kezdődik a fejedben, hogy a végén már egyáltalán nem értesz semmit.
És csak annyit kell értened, hogy mi a különbség a páros és a páratlan számok között. Ezért ismét összegyűjtünk mindent, amit valóban tudnia kell a gyökerekről:
- Páros gyök csak nemnegatív számból létezik, és maga is mindig nemnegatív szám. Negatív számok esetén az ilyen gyök definiálatlan.
- De a páratlan fok gyöke bármely számból létezik, és maga is tetszőleges szám lehet: pozitív számok esetén pozitív, negatív számok esetén pedig, ahogy a sapka utal, negatív.
Ez bonyolult? Nem, nem nehéz. Ez egyértelmű? Igen, ez nyilvánvaló! Ezért most egy kicsit gyakoroljuk a számításokat.
Alapvető tulajdonságok és korlátozások
A gyökereknek sok van furcsa tulajdonságokés korlátozások – ez külön lecke lesz. Ezért most csak a legfontosabb "chipet" fogjuk figyelembe venni, amely csak az egyenletes kitevővel rendelkező gyökerekre vonatkozik. Ezt a tulajdonságot egy képlet formájában írjuk le:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\jobbra|\]
Vagyis ha egy számot páros hatványra emelünk, majd ebből kivonjuk az azonos fokú gyökét, akkor nem az eredeti számot, hanem annak modulusát kapjuk. Ez egyszerű tétel, ami könnyen igazolható (elegendő külön figyelembe venni a nem negatív $x$-okat, majd külön figyelembe venni a negatívakat). A tanárok folyamatosan beszélnek róla, minden iskolai tankönyvben szerepel. De ha egyszer eljön a döntés irracionális egyenletek(azaz a gyök jelét tartalmazó egyenletek), a tanulók együtt elfelejtik ezt a képletet.
A probléma részletes megértéséhez felejtsük el az összes képletet egy percre, és próbáljunk meg két számot előre számolni:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]
Ez nagyon egyszerű példák. Az első példát a legtöbb ember meg fogja oldani, de a másodiknál sokan ragaszkodnak. Minden ilyen szar problémamentes megoldásához mindig vegye figyelembe az eljárást:
- Először a számot a negyedik hatványra emeljük. Nos, ez valahogy könnyű. Új számot kapunk, amely még a szorzótáblában is megtalálható;
- És most ebből az új számból ki kell vonni a negyedik fokozat gyökerét. Azok. nincs gyökerek és fokozatok „redukciója” – ezek egymás után következő műveletek.
Foglalkozzunk az első kifejezéssel: $\sqrt(((3)^(4)))$. Nyilvánvalóan először ki kell számítania a gyökér alatti kifejezést:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Ezután kivonjuk a 81-es szám negyedik gyökerét:
Most tegyük ugyanezt a második kifejezéssel. Először a −3 számot a negyedik hatványra emeljük, amelyhez meg kell szoroznunk önmagával 4-szer:
\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ bal (-3 \jobb)=81\]
Pozitív számot kaptunk, mivel a termékben összesen 4 db mínusz van, és ezek mind kioltják egymást (elvégre a mínusz a mínuszhoz pluszt ad). Ezután ismét bontsa ki a gyökeret:
Ezt a sort elvileg nem lehetne megírni, mert nem hinném, hogy ugyanaz lesz a válasz. Azok. ugyanazon páros teljesítmény páros gyöke "égeti" a mínuszokat, és ebben az értelemben az eredmény megkülönböztethetetlen a szokásos modultól:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\jobbra|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \jobbra|=3. \\ \end(igazítás)\]
Ezek a számítások jól egyeznek a páros fok gyökének meghatározásával: az eredmény mindig nem negatív, és a gyök jele alatt sem mindig van negatív szám. Ellenkező esetben a gyökér nincs meghatározva.
Megjegyzés a műveletek sorrendjéhez
- A $\sqrt(((a)^(2)))$ jelölés azt jelenti, hogy először négyzetre tesszük az $a$ számot, majd vesszük a kapott érték négyzetgyökét. Ezért biztosak lehetünk abban, hogy a gyökérjel alatt mindig egy nem negatív szám ül, hiszen $((a)^(2))\ge 0$ amúgy is;
- De a $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ jelölés éppen ellenkezőleg azt jelenti, hogy egy bizonyos $a$ számból először kivonjuk a gyökért, és csak azután négyzetesre vesszük az eredményt. Ezért az $a$ szám semmi esetre sem lehet negatív – ez az kötelező követelmény szerepel a definícióban.
Így semmi esetre sem szabad meggondolatlanul redukálni a gyökereket és a fokozatokat, ezzel állítólag "leegyszerűsítve" az eredeti kifejezést. Mert ha a gyök alatt negatív szám van, és a kitevője páros, akkor sok problémát kapunk.
Mindezek a problémák azonban csak a páros mutatók esetében relevánsak.
Mínusz jel eltávolítása a gyökérjel alól
Természetesen a páratlan kitevővel rendelkező gyököknek is megvan a saját jellemzőjük, ami elvileg nem létezik a párosoknál. Ugyanis:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Röviden: a páratlan fok gyökereinek jele alól kivehetsz egy mínuszt. Ez nagyon hasznos ingatlan, amely lehetővé teszi az összes mínusz "kidobását":
\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(igazítás)\]
Ez az egyszerű tulajdonság nagyban leegyszerűsíti számos számítást. Most már nem kell aggódnia: mi van, ha egy negatív kifejezés a gyökér alá kerül, és a gyökér foka párosnak bizonyul? Elég "kidobni" az összes mínuszt a gyökereken kívül, ami után egymás szaporodhatnak, feloszthatók és általában sok gyanús dolgot csinálhatnak, ami a "klasszikus" gyökerek esetében garantáltan hibához vezet. .
És itt egy másik meghatározás lép színre – az, amellyel a legtöbb iskola elkezdi az irracionális kifejezések tanulmányozását. És ami nélkül érvelésünk hiányos lenne. Találkozik!
számtani gyök
Tegyük fel egy pillanatra, hogy a gyökjel alatt csak pozitív számok, vagy szélsőséges esetben nulla lehet. Pontozzuk a páros / páratlan mutatókat, pontozzuk az összes fent megadott definíciót - csak nem negatív számokkal dolgozunk. Akkor mit?
És akkor megkapjuk az aritmetikai gyökeret - részben metszi a "szabványos" definícióinkat, de mégis eltér tőlük.
Meghatározás. Egy nemnegatív $a$ szám $n$-edik fokának számtani gyöke egy $b$ nemnegatív szám, így $((b)^(n))=a$.
Amint látja, minket már nem érdekel a paritás. Ehelyett egy új megszorítás jelent meg: a radikális kifejezés mostantól mindig nem negatív, és maga a gyök is nem negatív.
Hogy jobban megértsük, miben tér el a számtani gyök a megszokottól, vessünk egy pillantást a számunkra már ismert négyzet- és köbparabola grafikonokra:
Gyökér keresési terület - nem negatív számok Mint látható, ezentúl csak azok a grafikonok érdekelnek, amelyek az első koordinátanegyedben találhatók - ahol a $x$ és $y$ koordináták pozitívak (vagy legalább nullák). Többé nem kell a mutatót nézni, hogy megértsük, jogunk van-e negatív szám gyökerezésére vagy sem. Mert a negatív számokat elvileg már nem veszik figyelembe.
Felteheti a kérdést: „Nos, miért van szükségünk ilyen kasztrált meghatározásra?” Vagy: "Miért nem boldogulunk a fent megadott standard definícióval?"
Nos, csak egy tulajdonságot adok meg, ami miatt az új meghatározás megfelelővé válik. Például a hatványozási szabály:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Figyelem: a gyökkifejezést tetszőleges hatványra emelhetjük, ugyanakkor a gyökkitevőt megszorozhatjuk ugyanennyi hatványral – és az eredmény ugyanannyi lesz! Íme néhány példa:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]
Nos, mi a baj ezzel? Miért nem tudtuk megtenni korábban? Íme, miért. Tekintsünk egy egyszerű kifejezést: a $\sqrt(-2)$ egy olyan szám, amely a mi klasszikus értelemben teljesen normális, de az aritmetikai gyök szempontjából abszolút elfogadhatatlan. Próbáljuk meg konvertálni:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
Mint látható, az első esetben eltávolítottuk a mínuszt a radikális alól (van teljes joggal, mert a mutató páratlan), a másodiknál pedig a fenti képletet használtuk. Azok. a matematika szempontjából minden a szabályok szerint történik.
WTF?! Hogyan lehet ugyanaz a szám pozitív és negatív is? Semmiképpen. Csak hát a pozitív számokra és nullára remekül működő hatványozási képlet negatív számok esetén teljes eretnekséget kezd adni.
Itt, hogy megszabaduljanak az ilyen kétértelműségtől, számtani gyököket találtak ki. Különállónak vannak szentelve nagy tanulság, ahol részletesen megvizsgáljuk minden tulajdonságukat. Tehát most nem foglalkozunk velük – a lecke amúgy is túl hosszúnak bizonyult.
Algebrai gyök: azoknak, akik többet szeretnének tudni
Sokáig gondolkodtam: külön bekezdésbe tenni ezt a témát vagy sem. Végül úgy döntöttem, elmegyek innen. Ez az anyag azoknak szól, akik még jobban szeretnék megérteni a gyökereket - már nem az átlagos „iskolai”, hanem az olimpiához közeli szinten.
Tehát: a számból származó $n$-edik fok gyökének "klasszikus" definíciója és a páros és páratlan mutatókra való felosztása mellett létezik egy "felnőttebb" definíció, amely nem függ a paritástól, ill. egyáltalán egyéb finomságok. Ezt algebrai gyökérnek nevezzük.
Meghatározás. Bármely $a$ algebrai $n$-edik gyöke a $b$ összes szám halmaza úgy, hogy $((b)^(n))=a$. Az ilyen gyökerekre nincs jól bevált jelölés, ezért csak tegyünk egy kötőjelet a tetejére:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\(b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \jobbra. \jobbra\) \]
Az alapvető különbség a szabványos definíció, amit a lecke elején adunk meg, hogy az algebrai gyök nem egy konkrét szám, hanem egy halmaz. És mivel valós számokkal dolgozunk, ez a halmaz csak háromféle:
- Üres készlet. Akkor fordul elő, ha meg kell találni egy páros fokú algebrai gyökét egy negatív számból;
- Egyetlen elemből álló készlet. A páratlan hatványok minden gyökere, valamint a nullától származó páros hatványok gyökere ebbe a kategóriába tartozik;
- Végül a halmaz két számot tartalmazhat – ugyanazt a $((x)_(1))$ és $((x)_(2))=-((x)_(1))$, amelyet a diagram másodfokú függvény. Ennek megfelelően egy ilyen igazítás csak akkor lehetséges, ha egy pozitív számból egy páros fok gyökét vonjuk ki.
Az utolsó eset részletesebb vizsgálatot érdemel. Nézzünk meg néhány példát, hogy megértsük a különbséget.
Példa. Kifejezések kiszámítása:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Megoldás. Az első kifejezés egyszerű:
\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]
Ez két szám, amely a halmaz részét képezi. Mert mindegyik négyzetes négyzetet ad.
\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]
Itt csak egy számból álló halmazt látunk. Ez teljesen logikus, mivel a gyökér kitevője páratlan.
Végül az utolsó kifejezés:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Van egy üres készletünk. Mert nincs egyetlen valós szám sem, amelyet a negyedik (vagyis páros!) Hatványra emelve negatív számot kapunk −16.
Végső megjegyzés. Figyelem: nem véletlenül jegyeztem meg mindenhol, hogy valós számokkal dolgozunk. Mert több is van komplex számok- ott teljesen ki lehet számolni $\sqrt(-16)$, és még sok más furcsaság.
Azonban a modern iskolai tanfolyam A matematikában szinte soha nem találunk komplex számokat. A legtöbb tankönyvből kimaradtak, mert tisztviselőink szerint a téma "túl nehezen érthető".
Az óra megszervezése a munkához.
Helló srácok. Ülj le.
Kuzbass,
te kis szív
A térképen Nagy a szülőföld,
A bányászok, iparosok földje vagy
Szibériai nagylelkű lélekkel.
Alexander Sorokin ezt a csodálatos rövid verset szülőföldünknek, Kuzbassnak ajánlotta. Melyik város régiónk fővárosa? 2008-ban Kemerovo városa városként ünnepelte fennállásának 90. évfordulóját.
Üzenettéma és célmeghatározás.
Tanóránk formája szokatlan lesz. Ma virtuális körútra megyünk Kemerovo városába, megszilárdítjuk a „A számtani négyzetgyök tulajdonságai” témában szerzett ismereteket. Négyzetgyök szorzatból és törtből”, valamint azt is kidolgozzuk, hogy egy aritmetikai négyzetgyök tulajdonságait alkalmazzuk a kifejezések értékének megtalálásakor.
A meglévő ismeretek frissítése.
1. Igazság vagy hamisság megállapítása.
Mielőtt elkezdenénk, állapítsuk meg az állítások igazságát vagy hamisságát. Az asztalokon kártyák vannak. Most elolvasom az állítást, és ha hamis, akkor piros lapot emel, ha igaz, akkor fehér lapot.
Egész és törtszámok alkotd meg a racionális számok halmazát (igen)
Az 5-ös szám racionális (igen)
A valós számok halmaza racionális és irracionális számokból áll (igen)
Az a szám négyzetgyöke az a szám, amelynek négyzete a (igen)
Ha a > 0, az a négyzetgyökének nincs értelme (nem)
Ha a > 0, akkor az x egyenlet 2 =a egy gyökér (nem)
Ha egy< 0, то уравнение х 2 = de nincs gyökere (igen)
A nem negatív tényezők szorzatának gyökere egyenlő ezen tényezők szorzatával (nincs)
Milyen ismereteket alkalmaztunk ebben a feladatban?
Felhasználtuk az aritmetikai négyzetgyök tulajdonságait, rögzítettük a tört, egész, racionális számok fogalmát és a másodfokú egyenlet megoldási eseteit.
2. lánc.
Most nézze meg a diát, és találja meg a lánc utolsó láncszemének jelentését. Ehhez kezdje el a műveletek végrehajtását az első hivatkozástól.
Milyen számot kaptál az utolsó linkben?
Mi ez a dátum?
1918 május 9-én történt, hogy Shcheglovo falut Scseglovszk városává alakították át. És mikor nevezték át Kemerovo városra?
1932-ben, március 27-én Scseglovszkot Kemerovo városává nevezték át. Milyen négyzetgyök tulajdonságait használjuk?
A szorzat négyzetgyökének, a foknak a tulajdonságait használtuk.
Az ismeretek rendszerezése.
1.Szám a tankönyvből
Nyissa ki a tankönyvét a 83. oldal 377. számához.
A 2. sort hajtjuk végre a táblánál.
Emlékezzünk és próbáljuk kivonni a négyzetek különbségének négyzetgyökét.
Mi a különbség a négyzetek között? (összegük és különbségük szorzata).
És milyen képletek hasznosak számunkra?
2. párban dolgozni.
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
|
| ||||
|
| ||||
Vegye be a tablettákat
kifejezésekkel. Írd alá őket a hátoldalon.
Cserélj egy szobatárssal.
Rendezd el a pontokat az üres cellákban úgy, hogy minden sorban és oszlopban csak egy pont legyen.
Cserélj vissza a szomszédoddal. Most, ahol a lényeg megjelent, válasznak kell lennie a kifejezésekkel végzett műveletek végrehajtása során. A pont egy adott oszlop és sor metszéspontja, nézze meg, melyik kifejezés található az oszlopban, majd melyik műveletet kell végrehajtani, és melyik kifejezés található a sorban. És találd meg a kifejezés jelentését. Például…
Most cserélje ki a táblákat, és ellenőrizze a csúszdán, hogy a szomszédja mindent jól csinált-e.
Ha nincs hiba, akkor tegyen 5-öt, ha egy hiba van, akkor 4-et.
Ma két pontot kapsz a leckéért: ezért a munkáért és a tesztért. Általánosságban elmondható, hogy a leckéért általános érdemjegyet kap minden típusú munkára.
Melyek a négyzetgyök tulajdonságai?
Milyen épületképet kaptunk? (híd).
A Tom folyón átívelő régi közösségi híd az 1950-es évek elején épült, és leromlott állapotban volt. Ezért 2005 novemberében, amikor egy új híd építésének befejezéséről döntöttek, a régit bezárták és részben elbontották.
A híd fénypontja az egyedülálló világítás. Az új híd jobb parti csomópontja úgy van megvilágítva, mint a moszkvai Garden Ring. A háttérvilágítást egy számítógépes program automatikusan vezérli. Az Urálon túl sehol nincs ilyen világítás.
2. Munka az MG-ben. Váltóverseny.
Most meglátjuk, hogyan dolgozol csapatban.
6 csapatunk lesz, sorban. A példákkal ellátott kártyát az első személynek adom. Felírja a vezetéknevét, megoldja az első példát, beírja a választ geometriai alakzat, amely az egyenlőségjel után és a következő egyenlőség elején jön, és visszaadja a következőre.
A következő felírja a vezetéknevét, megoldja a kapott kifejezést stb. Az első csapat, aki tudja végeredmény, bónuszt kap, és hogy melyiket, azt a döntés után megtudod.
Mi az eredmény?
Melyek a négyzetgyök tulajdonságai?
D 
ellenőrizzük. Milyen képet kaptunk?
2003. szeptember 5-én Kemerovo történelmi központjában, a Krasznaja Gorkán megnyitották Ernst Neizvestny "Kuzbass bányászok emléke" című szoborkompozícióját.Ez egy 7,5 méter magas és öt tonna súlyú bronz szoborkompozíció. AlapjánBedin Vlagyimir Ivanovics- az oktatási komplexum marketingért és fejlesztéséért felelős rektorhelyettes (2004. december 20-tól dolgozik ebben a beosztásban), professzor, a kultúra tiszteletbeli munkatársa Orosz Föderáció, igazi tag Orosz Akadémia menedzsment az oktatásban és a kultúrában,„Ez a nagyméretű kompozíció nagyon pontosan visszaadja a bányászszakma és a régió szellemiségét. Ez a bányászok emléke, erejük és erejük, valamint munkakörülményeik előtti tisztelgés is egyben.”
A győztes csapat 5 pontot, a második 4 pontot kap.
4. szám a tankönyvből.
384-es szám.
Gyakoroljuk egy szám négyzetgyökének felvételét.
Mit kell tenni a gyökér kinyeréséhez?
Milyen szorzókra célszerű felbontani?
Milyen táblázat segítségével lehet megkeresni 441 négyzetgyökét?
Melyek a négyzetgyök tulajdonságai?
Milyen táblázatot használtunk a négyzetgyök értékének meghatározásához?
Fizminutka a szemnek.
Csukd be a szemed. Nyissa ki a szemét (5-ször). Körkörös szemmozgások. Ne forgassa a fejét (10-szer). Anélkül, hogy elfordítaná a fejét, nézzen szét, amennyire csak lehetséges, balra, jobbra. Nézz egyenesen előre. Pislogjon néhányszor. Csukd be a szemed és pihenj. Nézz a táblára, és fordítsd el a fejed jobbra és balra anélkül, hogy levennéd a szemed a tábláról. Kinézni az ablakon.
5. titkosítás.
A következő feladat, amit meg kell fejtened.
Az első példa eredménye egy szó elejét adja, ezután olyan feladatot kell megoldani, amely egy számmal kezdődik, amely az előző feladat eredménye, és így tovább. Ha sorba állítod az összes példát, akkor azt a szót kapod, amit meg kell tanulnunk.
|
| |
- számtani gyök természetes fok n>=2 egy nem negatív a számból valamilyen nem negatív számnak nevezzük, ha n hatványára emeljük, akkor az a számot kapjuk.
Bebizonyítható, hogy bármely nemnegatív a és természetes n esetén az x^n=a egyenletnek egyetlen nemnegatív gyöke lesz. Ezt a gyöket nevezzük az a szám n-edik fokú számtani gyökének.
Az a szám n-edik fokának számtani gyökerét jelöljük a következő módon n√a. Az a számot ebben az esetben gyökérkifejezésnek nevezzük.
A másodfokú számtani gyökét négyzetgyöknek, a harmadik fok számtani gyökét pedig kockagyöknek nevezzük.
Az n-edik fokú számtani gyök alapvető tulajdonságai
- 1. (n√a)^n = a.
Például (5√2)^5 = 2.
Ez a tulajdonság közvetlenül következik az n-edik fok számtani gyökének definíciójából.
Ha a nagyobb, mint bármelyik vagy egyenlő nullával, b nagyobb nullánál és n, m néhány egész számokúgy, hogy n nagyobb vagy egyenlő, mint 2 és m nagyobb vagy egyenlő, mint 2, akkor a következő tulajdonságok teljesülnek:
- 2. n√(a*b)= n√a*n√b.
Például 4√27 * 4√3 = 4√(27*3) = 4√81 =4√(3^4) = 3.
- 3. n√(a/b) = (n√a)/(n√b).
Például 3√(256/625) :3√(4/5) = 3√((256/625) : (4/5)) = (3√(64))/(3√(125)) = 4/5.
- 4. (n√a)^m = n√(a^m).
Például 7√(5^21) = 7√((5^7)^3)) = (7√(5^7))^3 = 5^3 = 125.
- 5. m√(n√a) = (n*m) √a.
Például 3√(4√4096) = 12√4096 = 12√(2^12) = 2.
Figyeljük meg, hogy a 2. tulajdonságban a b szám lehet nulla, a 4. tulajdonságban pedig az m szám tetszőleges egész szám lehet, feltéve, hogy a>0.
A második tulajdonság igazolása
Mind az utolsó négy tulajdonságot hasonlóan bizonyítjuk, ezért csak a második bizonyítására szorítkozunk: n√(a*b)= n√a*n√b.
Az aritmetikai gyök definíciójával bebizonyítjuk, hogy n√(a*b)= n√a*n√b.
Ehhez két tényt bizonyítunk, amelyek n√a*n√b. Nagyobb vagy egyenlő nullánál, és hogy (n√a*n√b.)^n = ab.
- 1. n√a*n√b nagyobb vagy egyenlő nullával, mivel a és b is nagyobb vagy egyenlő nullával.
- 2. (n√a*n√b)^n = a*b, mivel (n√a*n√b)^n = (n√a)^n *(n√b)^n = a* b.
Q.E.D. Tehát az ingatlan igaz. Ezeket a tulajdonságokat nagyon gyakran kell használni az aritmetikai gyököket tartalmazó kifejezések egyszerűsítésekor.
Az Ön adatainak védelme fontos számunkra. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, olvassa el adatvédelmi szabályzatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.
Személyes adatok gyűjtése és felhasználása
A személyes adatok az azonosításra használható adatokra vonatkoznak bizonyos személy vagy kapcsolat vele.
Előfordulhat, hogy megkérik Önt, hogy adja meg Személyes adat bármikor, amikor kapcsolatba lép velünk.
Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.
Milyen személyes adatokat gyűjtünk:
- Amikor jelentkezik az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, címét Email stb.
Hogyan használjuk fel személyes adatait:
- Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és tájékoztassuk Önt azokról egyedi ajánlatok, promóciók és egyéb események és közelgő események.
- Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
- A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditálásra, adatelemzésre és különféle tanulmányok az általunk nyújtott szolgáltatások javítása és a szolgáltatásainkkal kapcsolatos ajánlások biztosítása érdekében.
- Ha részt vesz egy nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló ösztönzőben, felhasználhatjuk az Ön által megadott információkat az ilyen programok lebonyolítására.
Feltárás harmadik felek számára
Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.
Kivételek:
- Szükség esetén - a jogszabályoknak, bírósági eljárásnak megfelelően, in pereskedés, és/vagy nyilvános kérések vagy kérések alapján kormányzati szervek az Orosz Föderáció területén - adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy ez a nyilvánosságra hozatal szükséges vagy megfelelő a biztonság, a bűnüldözés vagy más nyilvánosság szempontjából. fontos alkalmak.
- Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk az érintett harmadik fél jogutódjának.
Személyes adatok védelme
Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, ellopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.
Személyes adatainak megőrzése vállalati szinten
Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági gyakorlatokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.
