A planimetria alapképletei. Hogyan lehet megtalálni a geometriai alakzatok területét

A geometriai alakzatok területei számértékek, amelyek a méretüket jellemzik kétdimenziós térben. Ez az érték rendszer- és nem rendszeregységekben mérhető. Tehát például egy rendszeren kívüli területegység száz, hektár. Ez az eset áll fenn, ha a mért felület egy földdarab. A rendszer területegysége a hosszúság négyzete. Az SI rendszerben szokás úgy tekinteni, hogy a sík felület területegysége négyzetméter. A CGS-ben a területegységet négyzetcentiméterben fejezik ki.

A geometria és a területképletek elválaszthatatlanul összefüggenek. Ez az összefüggés abban rejlik, hogy a síkfigurák területének kiszámítása pontosan az alkalmazásukon alapul. Számos ábra esetében több lehetőség is származtatott, amelyek alapján kiszámítják a négyzetméretüket. A problémafelvetés adatai alapján meg tudjuk határozni a legegyszerűbb megoldási módot. Ez megkönnyíti a számítást és minimálisra csökkenti a számítási hibák valószínűségét. Ehhez vegye figyelembe az ábrák fő területét a geometriában.

A háromszög területének meghatározására szolgáló képletek többféleképpen is bemutathatók:

1) A háromszög területét az a alapból és a h magasságból kell kiszámítani. Az alap az ábra azon oldala, amelyen a magasság le van engedve. Ekkor a háromszög területe:

2) A derékszögű háromszög területét pontosan ugyanúgy számítjuk ki, ha a hipotenúzust tekintjük alapnak. Ha azonban a lábat vesszük alapul, akkor a derékszögű háromszög területe egyenlő lesz a felezett lábak szorzatával.

A háromszög területének kiszámítására szolgáló képletek nem érnek véget. Egy másik kifejezés tartalmazza az a,b oldalakat és az a és b közötti γ szög szinuszfüggvényét. A szinusz értéke a táblázatokban található. Számológép segítségével is megkereshető. Ekkor a háromszög területe:

Ennek az egyenlőségnek megfelelően arról is meggyőződhet, hogy a derékszögű háromszög területét a lábak hossza határozza meg. Mert a γ szög derékszög, tehát a derékszögű háromszög területét a szinuszfüggvénnyel való szorzás nélkül számítjuk ki.

3) Tekintsünk egy speciális esetet - egy szabályos háromszöget, amelyben az a oldal feltétel alapján ismert, vagy a hossza a megoldás során megtalálható. A geometriai feladatban szereplő ábráról többet nem tudunk. Akkor hogyan lehet megtalálni a területet ilyen feltételek mellett? Ebben az esetben a szabályos háromszög területének képletét alkalmazzák:

Téglalap

Hogyan lehet megtalálni a téglalap területét és használni a közös csúcsú oldalak méreteit? A számítás kifejezése a következő:

Ha az átlók hosszát szeretné használni egy téglalap területének kiszámításához, akkor szükség van a metszésükkor kialakuló szög szinuszfüggvényére. A téglalap területének képlete:

Négyzet

A négyzet területe az oldalhossz második hatványa:

A bizonyítás abból a definícióból következik, hogy a téglalapot négyzetnek nevezzük. A négyzetet alkotó minden oldal mérete azonos. Ezért egy ilyen téglalap területének kiszámítása az egyik szorzásra csökken, azaz az oldal második hatványára. És a négyzet területének kiszámításának képlete a kívánt formát veszi fel.

A négyzet területe más módon is megtalálható, például ha átlót használ:

Hogyan lehet kiszámítani egy olyan alak területét, amelyet egy sík kör által határolt része alkot? A terület kiszámításához a következő képleteket kell használni:

Paralelogramma

A paralelogramma esetében a képlet tartalmazza az oldal lineáris méreteit, a magasságot és a matematikai műveletet - szorzást. Ha a magasság ismeretlen, akkor hogyan lehet megtalálni a paralelogramma területét? Van egy másik módszer is a számításra. Egy bizonyos értékre van szükség, amelyet a szomszédos oldalak által alkotott szög trigonometrikus függvénye, valamint azok hossza veszi fel.

A paralelogramma területének képletei a következők:

Rombusz

Hogyan találjuk meg a rombusznak nevezett négyszög területét? A rombusz területét egyszerű matematikai műveletekkel határozzák meg átlókkal. A bizonyítás azon alapul, hogy a d1 és d2 átlós szakaszok derékszögben metszik egymást. A szinusztáblázat azt mutatja, hogy derékszög esetén ez a függvény eggyel egyenlő. Ezért a rombusz területét a következőképpen számítják ki:

A rombusz területe más módon is megtalálható. Ezt bizonyítani sem nehéz, tekintve, hogy oldalai azonos hosszúságúak. Ezután helyettesítse a szorzatukat egy hasonló kifejezéssel egy paralelogrammára. Hiszen ennek a konkrét alaknak egy speciális esete a rombusz. Itt γ a rombusz belső szöge. A rombusz területét a következőképpen határozzuk meg:

Trapéz

Hogyan lehet megtalálni a trapéz területét az alapokon (a és b), ha a hosszuk a feladatban van feltüntetve? Itt a h magassághossz ismert értéke nélkül nem lehet kiszámítani egy ilyen trapéz területét. Mert ez az érték tartalmazza a számításhoz szükséges kifejezést:

Ugyanígy számítható ki egy téglalap alakú trapéz négyzetmérete is. Ugyanakkor figyelembe veszik, hogy egy téglalap alakú trapézban a magasság és az oldal fogalma kombinálódik. Ezért téglalap alakú trapéz esetén a magasság helyett az oldal hosszát kell megadni.

Henger és paralelepipedon

Fontolja meg, mi szükséges a teljes henger felületének kiszámításához. Ennek az ábrának a területe egy körpár, amelyet alapoknak neveznek, és egy oldalfelület. A köröket alkotó körök sugara egyenlő r-rel. Egy henger területére a következő számítás történik:

Hogyan lehet megtalálni egy paralelepipedon területét, amely három pár arcból áll? Mérései összhangban vannak egy adott párral. Az egymással szemben lévő arcoknak ugyanazok a paraméterei. Először keresse meg az S(1), S(2), S(3) - egyenlőtlen lapok négyzetméreteit. Ezután a paralelepipedon felülete:

Gyűrű

Két közös középpontú kör gyűrűt alkot. A gyűrű területét is korlátozzák. Ebben az esetben mindkét számítási képlet figyelembe veszi az egyes körök méreteit. Az első, amely a gyűrű területét számítja ki, nagyobb R és kisebb r sugarakat tartalmaz. Gyakrabban külsőnek és belsőnek nevezik őket. A második kifejezésben a gyűrű területét a nagyobb D és a kisebb d átmérők segítségével számítjuk ki. Így a gyűrű területét az ismert sugarak szerint a következőképpen számítjuk ki:

A gyűrű területét az átmérők hosszának felhasználásával a következőképpen határozzuk meg:

Poligon

Hogyan lehet megtalálni egy olyan sokszög területét, amelynek alakja nem megfelelő? Az ilyen számok területére nincs általános képlet. De ha például koordinátasíkon van ábrázolva, akkor lehet kockás papír, akkor hogy lehet ebben az esetben megtalálni a felületet? Itt olyan módszert alkalmaznak, amely nem igényli az ábra hozzávetőleges mérését. Ezt teszik: ha olyan pontokat találnak, amelyek a cella sarkába esnek, vagy egész koordinátákkal rendelkeznek, akkor csak azokat veszik figyelembe. A Pick által bizonyított képlet segítségével megtudhatja, mi a terület. Össze kell adni a vonalláncon belül található pontok számát úgy, hogy a rajta fekvő pontok fele van, és ki kell vonni egyet, vagyis a következő módon számítjuk ki:

ahol C, D - a vonalon belül és a teljes vonalláncon elhelyezkedő pontok száma.

A síkidomok területének összes képlete

Egy egyenlő szárú trapéz területe

1. Egy egyenlő szárú trapéz területének képlete oldalak és szögek szerint

a - alsó alap

b - felső alap

c - egyenlő oldalak

α - szög az alsó alapnál

Az egyenlő szárú trapéz területének képlete az oldalak alapján, (S):

Az egyenlő szárú trapéz területének képlete oldalak és szögek szerint (S):

2. Az egyenlő szárú trapéz területének képlete a beírt kör sugara szerint

R- a beírt kör sugara

D- a beírt kör átmérője

O - beírt kör középpontja

H- a trapéz magassága

α, β - trapézszögek

Az egyenlő szárú trapéz területének képlete a beírt kör sugara szerint (S):

FAIR, egyenlő szárú trapézba írt körre:

3. Az egyenlő szárú trapéz területének képlete az átlók és a köztük lévő szög alapján

trapéz d-átlója

α,β- átlók közötti szögek

Az egyenlő szárú trapéz területének képlete az átlók és a köztük lévő szög tekintetében (S):

4. Egy egyenlő szárú trapéz területének képlete a középvonalon, az oldalsó oldalon és az alapnál lévő szögön át

c- oldal

m- a trapéz középvonala

α, β - szögek az alapnál

Az egyenlő szárú trapéz területének képlete a középvonal, az oldalsó oldal és az alapnál mért szög tekintetében,

(S):

5. Az egyenlő szárú trapéz területének képlete az alapok és a magasság tekintetében

a - alsó alap

b - felső alap

h - a trapéz magassága

Az egyenlő szárú trapéz területének képlete alapban és magasságban (S):

Egy háromszög területe adott oldallal és két szöggel, képlet.

a, b, c - a háromszög oldalai

α, β, γ - ellentétes szögek

Egy háromszög oldala és két szöge (S):

A szabályos sokszög területének képlete

a - sokszög oldal

n - oldalak száma

Szabályos sokszög területe (S):

A háromszög területének (Heroni) képlete a fél kerületében (S):

Egy egyenlő oldalú háromszög területe:

Képletek egy egyenlő oldalú háromszög területének kiszámításához.

a háromszög a - oldala

h - magasság

Hogyan lehet kiszámítani egy egyenlő szárú háromszög területét?

b - a háromszög alapja

a - egyenlő oldalak

h - magasság

3. A trapéz területének képlete négy oldalra vonatkoztatva

a - alsó alap

b - felső alap

c, d - oldalak

A trapéz körülírt körének sugara az oldalakon és az átlókon

a - a trapéz oldalai

c - alsó alap

b - felső alap

d - átlós

h - magasság

A trapéz körülírt kör sugarának képlete (R)

keresse meg egy egyenlő szárú háromszög körülírt körének sugarát az oldalak mentén

Egy egyenlő szárú háromszög oldalainak ismeretében a képlet segítségével megkeresheti a háromszög körüli körülírt kör sugarát.

a, b - a háromszög oldalai

Egy egyenlő szárú háromszög körülírt körének sugara (R):

Beírt kör sugara hatszögben

a hatszög a - oldala

Egy hatszögbe írt kör sugara (r):

Beírt kör sugara rombuszban

r - a beírt kör sugara

a rombusz a - oldala

D, d - átlók

h - gyémánt magasság

Egyenlőszárú trapézba írt kör sugara

c - alsó alap

b - felső alap

a - oldalak

h - magasság

Beírt kör sugara derékszögű háromszögben

a, b - a háromszög lábai

c - hypotenus

Beírt kör sugara egyenlő szárú háromszögben

a, b - a háromszög oldalai

Bizonyítsuk be, hogy a beírt négyszög területe:

\/(p - a) (p - b) (p - c) (p - d),

ahol p a fél kerülete, a, b, c és d pedig a négyszög oldalai.

Bizonyítsuk be, hogy a körbe írt négyszög területe:

1/2 (ab + cb) sin α, ahol a, b, c és d a négyszög oldalai, α pedig az a és b oldalak közötti szög.

S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Bővebben az FB.ru oldalon:

Egy tetszőleges négyszög területe (1.13. ábra) kifejezhető a, b, c oldalaival és egy ellentétes szögpár összegével:

ahol p a négyszög fél kerülete.

A körbe írt négyszög területét () (1.14. ábra, a) a Brahmagupta képlet segítségével számítjuk ki

és leírták (1.14. ábra, b) () - a képlet szerint

Ha a négyszöget egyszerre írjuk be és írjuk le (1.14. ábra, c), akkor a képlet meglehetősen egyszerűvé válik:

Peak Formula

A kockás papíron lévő sokszög területének becsléséhez elegendő kiszámítani, hogy ez a sokszög hány cellát fed le (a cella területét egységnek vesszük). Pontosabban, ha S a sokszög területe, akkor azoknak a celláknak a száma, amelyek teljes egészében a poligonon belül helyezkednek el, és azoknak a celláknak a száma, amelyeknek legalább egy közös pontja van a sokszög belsejével.

Az alábbiakban csak olyan sokszögeket fogunk figyelembe venni, amelyek mindegyikének csúcsa a kockás papír csomópontjaiban található - azokban, ahol a rácsvonalak metszik egymást. Kiderült, hogy az ilyen sokszögekhez a következő képletet adhatja meg:

ahol a terület, r azon csomópontok száma, amelyek szigorúan a poligonon belül helyezkednek el.

Ezt a képletet „csúcsképletnek” nevezik az 1899-ben felfedező matematikus után.

Mi az a terület?

Terület - egy zárt geometriai alak jellemzője (kör, négyzet, háromszög stb.), amely megmutatja a méretét. A területet négyzetcentiméterben, méterben stb. Betűvel jelölve S(négyzet).

Hogyan lehet megtalálni a háromszög területét?

S= a h

ahol a- alaphossz h az alaphoz húzott háromszög magassága.

Ráadásul az alapnak nem kell alul lennie. Ez is megteszi.

Ha háromszög tompa, akkor a magasság az alap folytatásáig esik:

Ha háromszög négyszögletes, akkor az alap és a magasság a lábai:

2. Egy másik képlet, amely nem kevésbé hasznos, de valamiért mindig elfelejtik:

S= a b sinα

ahol aés b háromszög két oldala sinα az ezen oldalak közötti szög szinusza.

A fő feltétel az, hogy a szög két ismert oldal között legyen.

3. A három oldali terület képlete (Heron képlete):

S=

ahol a, bés Val vel a háromszög oldalai, és R - félperiméter. p = (a+b+c)/2.

4. A háromszög területének képlete a körülírt kör sugara szerint:

S=

ahol a, bés Val vel a háromszög oldalai, és R- a körülírt kör sugara.

5. A háromszög területének képlete a beírt kör sugara szerint:

S= p r

ahol R - háromszög félkerete, és r- a beírt kör sugara.

Hogyan lehet megtalálni a téglalap területét?

1. Egy téglalap területe meglehetősen egyszerű:

S=a b

Semmi trükk.

Hogyan lehet megtalálni egy négyzet területét?

1. Mivel a négyzet olyan téglalap, amelynek minden oldala egyenlő, ugyanaz a képlet vonatkozik rá:

S=a a = a2

2. A négyzet területe az átlóján keresztül is megtalálható:

S= d 2

Hogyan találjuk meg a paralelogramma területét?

1. A paralelogramma területét a következő képlet határozza meg:

S=a h

Ez annak a ténynek köszönhető, hogy ha jobb oldalon levágunk belőle egy derékszögű háromszöget, és balra rögzítjük, akkor egy téglalapot kapunk:

2. A paralelogramma területe a két oldal közötti szögből is megtalálható:

S=a b sinα

Hogyan lehet megtalálni a rombusz területét?

A rombusz lényegében egy paralelogramma, amelynek minden oldala egyenlő. Ezért ugyanazok a területképletek vonatkoznak rá.

1. Rombusz területe magasság szerint:

S=a h

A geometriai problémák megoldásához ismernie kell a képleteket - például a háromszög területét vagy a paralelogramma területét -, valamint egyszerű trükköket, amelyekről beszélni fogunk.

Először tanuljuk meg az ábrák területeinek képleteit. Külön gyűjtöttük őket egy kényelmes táblázatba. Nyomtass, tanulj és jelentkezz!

Természetesen nem minden geometriai képlet szerepel a táblázatunkban. Például a matematika profilvizsga második részében a geometriai és sztereometriai problémák megoldásához más képleteket is használnak a háromszög területére. Mindenképpen mesélni fogunk róluk.

De mi van, ha nem egy trapéz vagy háromszög területét kell megkeresnie, hanem valamilyen összetett alak területét? Vannak univerzális módszerek! Megmutatjuk őket a FIPI feladatbankból származó példákon keresztül.

1. Hogyan lehet megtalálni egy nem szabványos figura területét? Például egy tetszőleges négyszög? Egy egyszerű technika – bontsuk fel ezt az ábrát azokra, amelyekről mindannyian ismerünk, és keressük meg a területét – ezen figurák területeinek összegeként.

Osszuk ezt a négyszöget vízszintes vonallal két olyan háromszögre, amelyeknek közös alapja egyenlő. Ezeknek a háromszögeknek a magassága egyenlő és . Ekkor a négyszög területe egyenlő a két háromszög területének összegével: .

Válasz: .

2. Bizonyos esetekben az ábra területe bármely terület különbségeként ábrázolható.

Nem olyan egyszerű kiszámítani, hogy ebben a háromszögben mekkora alap és magasság! De azt mondhatjuk, hogy területe egyenlő egy oldalú négyzet és három derékszögű háromszög területeinek különbségével. Látod őket a képen? Kapunk: .

Válasz: .

3. Előfordul, hogy egy feladatban nem az egész ábra területét kell megkeresni, hanem annak egy részét. Általában egy szektor területéről beszélünk - egy kör részéről. Keresse meg egy olyan sugarú kör területét, amelynek ívhossza egyenlő.

Ezen a képen egy kör egy részét látjuk. Az egész kör területe egyenlő , mivel . Továbbra is ki kell deríteni, hogy a kör melyik része van ábrázolva. Mivel a teljes kör hossza (mióta), és ennek a szektornak az ívének hossza egyenlő, ezért az ív hossza többszörösen kisebb, mint a teljes kör hossza. Az a szög, amelyen ez az ív nyugszik, szintén többszörösen kisebb, mint egy teljes kör (azaz fok). Ez azt jelenti, hogy a szektor területe többszörösen kisebb lesz, mint a teljes kör területe.