Hatvány felemelése negatív kitevőjű hatványra. Hogyan emelhetünk egy számot negatív hatványra - példák leírással Excelben

Hatványképletek komplex kifejezések redukálására és egyszerűsítésére, egyenletek és egyenlőtlenségek megoldására használják.

Szám c van n-egy szám hatványa a mikor:

Műveletek fokozatokkal.

1. A fokokat azonos alappal szorozva a mutatóik összeadódnak:

a ma n = a m + n.

2. Az azonos bázisú fokok felosztásánál mutatóikat levonjuk:

3. 2 vagy több tényező szorzatának mértéke egyenlő ezen tényezők fokszámainak szorzatával:

(abc…) n = a n b n c n …

4. A tört foka megegyezik az osztó és az osztó fokszámának arányával:

(a/b) n = a n / b n.

5. Ha egy hatványt hatványra emelünk, a kitevőket megszorozzuk:

(am) n = a m n .

Minden fenti képlet helyes a balról jobbra és fordítva.

Például. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Műveletek gyökerekkel.

1. Több tényező szorzatának gyökere egyenlő ezen tényezők gyökeinek szorzatával:

2. Az arány gyöke egyenlő az osztalék és a gyökosztó arányával:

3. Ha gyökér hatványra emel, elegendő a gyökér számot erre a hatványra emelni:

4. Ha növeljük a gyökér fokát be n egyszer és egyben emelni to n A hatvány gyökszám, akkor a gyök értéke nem változik:

5. Ha a gyökér fokát csökkentjük n root egyidejűleg n fokot a gyökszámtól, akkor a gyök értéke nem változik:

Fok negatív kitevővel. A nem pozitív (egész) kitevővel rendelkező szám fokszámát úgy határozzuk meg, hogy elosztjuk ugyanazon szám fokszámával, amelynek kitevője megegyezik a nem pozitív kitevő abszolút értékével:

Képlet a m:a n = a m - n nem csak arra használható m> n, hanem at m< n.

Például. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

A képlethez a m:a n = a m - n tisztességessé vált m=n, szükség van a nulla fok jelenlétére.

Fok nulla kitevővel. Bármely nullától eltérő, nulla kitevővel rendelkező szám hatványa egyenlő eggyel.

Például. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Egy fok törtkitevővel. Valós szám emelésére a bizonyos mértékig m/n, ki kell bontani a gyökeret n fokozata m ennek a számnak a hatványa a.

A negatív hatványra emelés a matematika egyik alapeleme, amellyel gyakran találkozunk algebrai feladatok megoldása során. Az alábbiakban egy részletes utasítás található.

Hogyan lehet negatív hatványra emelni - elmélet

Ha egy számot a szokásos hatványra veszünk, akkor az értékét többszörösére szorozzuk. Például 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Negatív tört esetén ennek az ellenkezője igaz. A képlet szerinti általános alak a következő lesz: a -n = 1/a n . Így egy szám negatív hatványra emeléséhez el kell osztani egyet a megadott számmal, de már pozitív hatványra.

Hogyan lehet negatív hatványra emelni - példák közönséges számokra

A fenti szabályt szem előtt tartva oldjunk meg néhány példát.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Válasz: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
A válasz -4 -2 = 1/16.

De miért ugyanaz a válasz az első és a második példában? A helyzet az, hogy ha egy negatív számot páros hatványra emelünk (2, 4, 6 stb.), az előjel pozitív lesz. Ha a fok páros lenne, akkor a mínusz megmarad:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Hogyan lehet negatív hatványra emelni - számok 0-tól 1-ig

Emlékezzünk vissza, hogy ha egy 0 és 1 közötti számot pozitív hatványra emelünk, az érték a hatvány növekedésével csökken. Tehát például 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

3. példa: Számíts ki 0,5 -2
Megoldás: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Válasz: 0,5 -2 = 4

Elemzés (műveletek sorrendje):

• A tizedes 0,5 átalakítása tört 1/2-re. Könnyebb.
  Emelje fel 1/2-ét negatív hatványra. 1/(2) -2. Elosztjuk 1-et 1/(2) 2-vel, így kapjuk 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

4. példa: Számíts ki 0,5 -3
Megoldás: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

5. példa: -0,5 -3 kiszámítása
Megoldás: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Válasz: -0,5 -3 = -8

A 4. és 5. példa alapján több következtetést is levonunk:

• Egy 0 és 1 közötti pozitív szám esetén (4. példa), amelyet negatív hatványra emelünk, függetlenül attól, hogy a hatvány páros vagy páratlan, a kifejezés értéke pozitív lesz. Ebben az esetben minél nagyobb a fokozat, annál nagyobb az érték.
• 0 és 1 közötti negatív szám esetén (5. példa), negatív hatványra emelve, függetlenül attól, hogy a hatvány páros vagy páratlan, a kifejezés értéke negatív lesz. Ebben az esetben minél magasabb a fokozat, annál alacsonyabb az érték.

Hogyan emeljünk negatív hatványra - a hatvány törtszámként

Az ilyen típusú kifejezések a következő alakúak: a -m/n, ahol a egy közönséges szám, m a fokszám számlálója, n a fokozat nevezője.

Vegyünk egy példát:
Számítsd ki: 8 -1/3

Megoldás (műveletek sorrendje):

• Ne feledje a szám negatív hatványra emelésének szabályát. A következőt kapjuk: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
• Ne feledje, hogy a nevező 8 és egy tört hatvány. A tört fokszámítás általános formája a következő: a m/n = n √8 m .
• Így 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Nyolc kockagyökét kapjuk, ami 2. Ez alapján 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Válasz: 8 -1/3 = 2

Nyilvánvaló, hogy a hatványokkal rendelkező számokat más mennyiségekhez hasonlóan össze lehet adni , egyenként hozzáadva őket a jeleikkel.

Tehát a 3 és b 2 összege a 3 + b 2 .
A 3 - b n és a h 5 -d 4 összege a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Esély ugyanazon változók azonos hatványaiösszeadható vagy kivonható.

Tehát 2a 2 és 3a 2 összege 5a 2 .

Az is nyilvánvaló, hogy ha két a négyzetet, vagy három a négyzetet vagy öt a négyzetet veszünk.

De fokok különféle változókés különféle fokozatok azonos változók, hozzá kell adni a jeleikhez való hozzáadásával.

Tehát egy 2 és egy 3 összege a 2 + a 3 összege.

Nyilvánvaló, hogy a négyzete és a kockája nem kétszerese a négyzetének, hanem kétszerese a kockának.

A 3 b n és 3a 5 b 6 összege a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Kivonás A jogosítványokat ugyanúgy hajtjuk végre, mint az összeadást, azzal a különbséggel, hogy a részfej jeleit ennek megfelelően módosítani kell.

Vagy:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 óra 2 b 6 - 4 óra 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a-h) 6-2(a-h) 6 = 3(a-h) 6

Hatványszorzás

A hatványokkal rendelkező számok a többi mennyiséghez hasonlóan szorozhatók úgy, hogy egymás után írjuk őket, a közéjük szorzójellel vagy anélkül.

Tehát a 3-at b 2-vel megszorozva a 3 b 2 vagy aaabb lesz.

Vagy:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Az utolsó példában szereplő eredmény ugyanazon változók hozzáadásával rendezhető.
A kifejezés a következő formában lesz: a 5 b 5 y 3 .

Több szám (változó) hatványokkal való összehasonlításával láthatjuk, hogy ha bármelyik kettőt megszorozzuk, akkor az eredmény egy olyan szám (változó), amelynek hatványa egyenlő összeg kifejezések fokozatai.

Tehát a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Itt 5 a szorzás eredményének hatványa, egyenlő 2 + 3-mal, a tagok hatványainak összegével.

Tehát a n .a m = a m+n .

Egy n esetén a-t annyiszor veszik tényezőnek, ahányszor n hatványa;

És egy m , annyiszor veszik tényezőnek, ahányszor m fok egyenlő;

Ezért, Az azonos bázisú hatványok a kitevők összeadásával szorozhatók.

Tehát a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . És x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Vagy:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Szorozza meg (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Válasz: x 4 - y 4.
Szorozd meg (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ez a szabály azokra a számokra is igaz, amelyek kitevői: negatív.

1. Tehát a -2 .a -3 = a -5 . Ezt így írhatjuk fel: (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ha a + b-t megszorozzuk a - b-vel, az eredmény a 2 - b 2 lesz:

Két szám összegének vagy különbségének szorzata megegyezik a számok négyzeteinek összegével vagy különbségével.

Ha két szám összege és különbsége emelt értékre négyzet, az eredmény egyenlő lesz ezeknek a számoknak az összegével vagy különbségével negyedik fokozat.

Tehát (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

A hatáskörök megosztása

A hatványokkal rendelkező számokat más számokhoz hasonlóan osztóból kivonva, vagy tört alakba helyezve oszthatjuk.

Tehát a 3 b 2 osztva b 2-vel egy 3 .

Vagy:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Ha 5-öt osztunk 3-mal, ez így néz ki: $\frac(a^5)(a^3)$. De ez egyenlő 2-vel. Egy számsorozatban
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bármely szám osztható egy másikkal, és a kitevő egyenlő lesz különbség osztható számok mutatói.

Ha a hatványokat azonos bázissal osztjuk fel, kitevőjüket levonjuk..

Tehát y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Azaz $\frac(yyy)(yy) = y$.

És a n+1:a = a n+1-1 = a n . Azaz $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Vagy:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

A szabály a -val rendelkező számokra is érvényes negatív fokértékek.
A -5 -3 -mal való osztásának eredménye -2 .
Továbbá $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 vagy $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Nagyon jól el kell sajátítani a hatványok szorzását és felosztását, mivel az ilyen műveleteket nagyon széles körben használják az algebrában.

Példák a hatványos számokat tartalmazó törtek példáinak megoldására

1. Csökkentse a kitevőket a $\frac(5a^4)(3a^2)$-ban. Válasz: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Csökkentse a kitevőket a $\frac(6x^6)(3x^5)$-ban. Válasz: $\frac(2x)(1)$ vagy 2x.

3. Csökkentse az a 2 / a 3 és a -3 / a -4 kitevőket, és hozza létre a közös nevezőt.
a 2 .a -4 egy -2 első számláló.
a 3 .a -3 egy 0 = 1, a második számláló.
a 3 .a -4 egy -1 , a közös számláló.
Egyszerűsítés után: a -2 /a -1 és 1/a -1 .

4. Csökkentse a 2a 4 /5a 3 és 2 /a 4 kitevőket, és hozza létre a közös nevezőt.
Válasz: 2a 3 / 5a 7 és 5a 5 / 5a 7 vagy 2a 3 / 5a 2 és 5/5a 2.

5. Szorozzuk meg (a 3 + b)/b 4-et (a - b)/3-mal.

6. Szorozza meg (a 5 + 1)/x 2-t (b 2 - 1)/(x + a) értékkel.

7. Szorozzuk meg b 4 /a -2-t h -3 /x-el és a n /y -3-mal.

8. Ossz el egy 4 /y 3-at egy 3 /y 2-vel. Válasz: a/y.

9. Oszd meg (h 3 - 1)/d 4 -vel (d n + 1)/h.

Első szint

Fokozat és tulajdonságai. Átfogó útmutató (2019)

Miért van szükség diplomára? Hol van szükséged rájuk? Miért kell időt tölteni a tanulmányozásukkal?

Olvassa el ezt a cikket, hogy mindent megtudjon a diplomákról, mire valók, hogyan használhatja tudását a mindennapi életben.

És természetesen a diplomák ismerete közelebb visz az OGE vagy az egységes államvizsga sikeres letételéhez és álmai egyetemére való belépéshez.

Gyerünk... (Menjünk!)

Fontos jegyzet! Ha képletek helyett halandzsát lát, törölje a gyorsítótárat. Ehhez nyomja le a CTRL+F5 (Windows rendszeren) vagy a Cmd+R (Mac rendszeren) billentyűkombinációt.

ELSŐ SZINT

A hatványozás ugyanaz a matematikai művelet, mint az összeadás, kivonás, szorzás vagy osztás.

Most mindent emberi nyelven fogok elmagyarázni, nagyon egyszerű példákon keresztül. Légy óvatos. A példák alapvetőek, de fontos dolgokat magyaráznak meg.

Kezdjük a kiegészítéssel.

Itt nincs mit magyarázni. Már mindent tudsz: nyolcan vagyunk. Mindegyikben van két üveg kóla. Mennyi kóla? Így van - 16 üveg.

Most szorzás.

Ugyanez a példa a kólával másképp is felírható: . A matematikusok ravasz és lusta emberek. Először észrevesznek néhány mintát, majd kitalálják a módját, hogy gyorsabban „megszámolják”. A mi esetünkben azt vették észre, hogy a nyolc embernek ugyanannyi üveg kólája van, és kitalálták a szorzásnak nevezett technikát. Egyetértek, könnyebbnek és gyorsabbnak tartják, mint.

Tehát a gyorsabb, egyszerűbb és hibamentes számoláshoz csak emlékeznie kell szorzótábla. Persze lehet mindent lassabban, keményebben és hibákkal is! De…

Itt a szorzótábla. Ismétlés.

És egy másik, szebb:

És milyen más trükkös számolási trükköket találtak ki a lusta matematikusok? Helyesen - szám hatványra emelése.

Szám hatványra emelése

Ha egy számot ötször kell megszoroznia önmagával, akkor a matematikusok azt mondják, hogy ezt a számot az ötödik hatványra kell emelni. Például, . A matematikusok emlékeznek rá, hogy a kettő az ötödik hatvány. És gondolatban oldják meg az ilyen problémákat - gyorsabban, könnyebben és hiba nélkül.

Ehhez csak az kell ne feledjük, mi van színnel kiemelve a számok hatványainak táblázatában. Hidd el, sokkal könnyebb lesz az életed.

Egyébként miért hívják a másodfokút négyzet számok, és a harmadik kocka? Mit jelent? Nagyon jó kérdés. Most lesz négyzetek és kockák is.

1. példa a valós életből

Kezdjük egy négyzettel vagy egy szám második hatványával.

Képzelj el egy négyzet alakú medencét, amelynek mérete méterről méterre van. A medence a hátsó udvarban van. Meleg van és nagyon szeretnék úszni. De ... egy medence fenék nélkül! A medence alját csempével kell lefedni. Hány csempe kell? Ennek meghatározásához ismernie kell a medence aljának területét.

Egyszerűen az ujjával bökve megszámolhatja, hogy a medence alja méterről méterre kockákból áll. Ha a csempe méterről méterre, akkor darabokra lesz szüksége. Könnyű... De hol láttál ilyen csempét? A csempe inkább cm-ről cm-re lesz, és akkor az „ujjal számolva” fog gyötörni. Akkor szorozni kell. Tehát a medencefenék egyik oldalára csempét (darabokat), a másikra pedig szintén csempét fogunk felhelyezni. Ha megszorozzuk, akkor csempéket kapunk ().

Észrevette, hogy ugyanazt a számot megszoroztuk önmagával, hogy meghatározzuk a medence aljának területét? Mit jelent? Mivel ugyanazt a számot megszorozzuk, használhatjuk a hatványozási technikát. (Természetesen, ha csak két szám van, akkor is meg kell szorozni, vagy hatványra emelni. De ha sok van belőlük, akkor a hatványra emelés sokkal egyszerűbb és a számítások során is kevesebb a hiba. A vizsga szempontjából ez nagyon fontos).
Szóval, harminc a második fok lesz (). Vagy mondhatod, hogy harminc négyzet lesz. Más szóval, egy szám második hatványa mindig négyzetként ábrázolható. És fordítva, ha négyzetet látsz, az MINDIG valamely szám második hatványa. A négyzet egy szám második hatványának képe.

2. valós példa

Íme egy feladat, számold meg, hány mező van a sakktáblán a szám négyzetével... A cellák egyik oldalán és a másikon is. A számuk megszámlálásához meg kell szorozni a nyolcat nyolccal, vagy ... ha észreveszi, hogy a sakktábla egy olyan négyzet, amelynek oldala van, akkor nyolcat is írhat. Szerezzen sejteket. () Így?

3. példa a valós életből

Most a kocka vagy egy szám harmadik hatványa. Ugyanaz a medence. De most meg kell találnia, mennyi vizet kell önteni ebbe a medencébe. Ki kell számolni a hangerőt. (A térfogatokat és a folyadékokat egyébként köbméterben mérik. Nem várt, ugye?) Rajzolj egy medencét: egy méter nagyságú és egy méter mély fenéket, és próbáld meg kiszámolni, hogy hány méter-szer méter méretű kocka kerül a medence.

Csak mutasson az ujjával és számoljon! Egy, kettő, három, négy… huszonkettő, huszonhárom… Mennyi lett? Nem tévedt el? Nehéz az ujjával számolni? Szóval ez! Vegyünk egy példát a matematikusoktól. Lusták, ezért észrevették, hogy a medence térfogatának kiszámításához meg kell szorozni a hosszát, szélességét és magasságát egymással. Esetünkben a medence térfogata egyenlő lesz a kockákkal ... Könnyebb, nem?

Képzeld el, milyen lusták és ravaszak a matematikusok, ha ezt túlságosan megkönnyítik. Mindent egy műveletre redukált. Észrevették, hogy a hosszúság, a szélesség és a magasság egyenlő, és ugyanaz a szám megszorozódik önmagával... És ez mit jelent? Ez azt jelenti, hogy használhatja a diplomát. Tehát, amit egyszer ujjal megszámoltál, azt egy művelettel megcsinálják: egy kockában három egyenlő. Így van írva:

Csak marad jegyezze meg a foktáblázatot. Kivéve persze, ha olyan lusta és ravasz, mint a matematikusok. Ha szeret keményen dolgozni és hibázni, folyamatosan számolhat az ujjával.

Nos, hogy végre meggyőzhessünk arról, hogy a diplomákat naplopók és ravasz emberek találták ki életproblémáik megoldására, nem pedig azért, hogy problémákat okozzanak neked, álljon itt még pár példa az életből.

4. példa az életből

Egymillió rubeled van. Minden év elején minden millió után újabb milliót keresel. Vagyis minden év elején minden milliója megduplázódik. Mennyi pénzed lesz évek múlva? Ha most ülsz és "ujjal számolsz", akkor nagyon szorgalmas ember vagy és .. hülye. De nagy valószínűséggel pár másodpercen belül választ adsz, mert okos vagy! Tehát az első évben - kétszer kettő... a második évben - mi történt, még kettővel, a harmadik évben... Állj! Észrevette, hogy a szám egyszer megszorozódik önmagával. Tehát kettő az ötödik hatványhoz egy millió! Most képzeld el, hogy versenyed van, és aki gyorsabban számol, az megkapja ezeket a milliókat... Érdemes emlékezni a számok fokaira, mit gondolsz?

5. példa a valós életből

Van egy milliód. Minden év elején minden millió után kettővel többet keresel. Nagyszerű ugye? Minden millió megháromszorozódik. Mennyi pénzed lesz egy év alatt? Számoljunk. Az első év - szorozd meg egy másikkal, majd az eredményt egy másikkal... Már unalmas, mert már mindent megértett: a hármat megszorozzák önmagával. Tehát a negyedik hatvány egy millió. Csak emlékezni kell arra, hogy a három-negyedik hatvány a vagy.

Most már tudja, hogy ha egy számot hatványra emel, sokkal könnyebbé teszi az életét. Nézzük tovább, mit lehet kezdeni a diplomákkal, és mit kell tudni róluk.

Kifejezések és fogalmak... hogy ne tévedjünk össze

Tehát először is határozzuk meg a fogalmakat. Mit gondolsz, mi a kitevő? Nagyon egyszerű – ez az a szám, amely a szám hatványának „tetején” van. Nem tudományos, de világos és könnyen megjegyezhető...

Nos, ugyanakkor mi ilyen alapfokú végzettség? Még egyszerűbb az a szám, amely alul, az alján van.

Itt van egy kép, hogy biztos legyen benne.

Nos, általánosságban, az általánosítás és a jobb emlékezés érdekében... A "" bázissal és a "" jelzővel ellátott fokozatot a "fokozatig" olvassuk és írjuk. a következő módon:

Természetes kitevővel rendelkező szám hatványa

Valószínűleg már sejtette: mert a kitevő természetes szám. Igen, de mi van természetes szám? Alapvető! A természetes számok azok, amelyeket a számlálás során használnak az elemek felsorolásakor: egy, kettő, három ... Amikor tételeket számolunk, nem mondjuk azt, hogy „mínusz öt”, „mínusz hat”, „mínusz hét”. Nem mondjuk azt sem, hogy „egyharmad” vagy „nulla pont öt tized”. Ezek nem természetes számok. Szerinted mik ezek a számok?

Az olyan számok, mint a "mínusz öt", "mínusz hat", "mínusz hét" utalnak egész számok.Általában az egész számok magukban foglalják az összes természetes számot, a természetes számokkal ellentétes számokat (vagyis mínuszjellel felvetve) és egy számot. A nullát könnyű megérteni – ilyenkor nincs semmi. És mit jelentenek a negatív ("mínusz") számok? De elsősorban az adósságok jelölésére találták ki: ha rubelben van egyenlege a telefonján, ez azt jelenti, hogy rubel tartozik az operátornak.

Minden tört racionális szám. Hogyan jöttek létre, mit gondolsz? Nagyon egyszerű. Több ezer évvel ezelőtt őseink felfedezték, hogy nincs elegendő természetes számuk a hosszúság, súly, terület stb. mérésére. És kitalálták racionális számok… Érdekes, nem?

Vannak irracionális számok is. Mik ezek a számok? Röviden, egy végtelen tizedes tört. Például, ha elosztja egy kör kerületét az átmérőjével, akkor irracionális számot kap.

Összegzés:

Határozzuk meg a fok fogalmát, melynek kitevője egy természetes szám (azaz egész és pozitív).

1. Az első hatvány bármely szám egyenlő önmagával:
2. Egy szám négyzetre emelése annyit tesz, mint önmagával szorozni:
3. Ha egy számot kockára szeretnénk vágni, akkor azt háromszor meg kell szorozni önmagával:

Meghatározás. Ha egy számot természetes hatványra emelünk, akkor a számot önmagával megszorozzuk:
.

Fokozat tulajdonságai

Honnan származtak ezek az ingatlanok? most megmutatom.

Lássuk, mi az és ?

Definíció szerint:

Hány szorzó van összesen?

Nagyon egyszerű: faktorokat adtunk a faktorokhoz, és az eredmény faktorok.

De definíció szerint ez egy kitevős szám foka, azaz: , amelyet bizonyítani kellett.

Példa: A kifejezés egyszerűsítése.

Megoldás:

Példa: Egyszerűsítse a kifejezést.

Megoldás: Fontos megjegyezni, hogy szabályunkban szükségszerűen ugyanaz az oka!
Ezért a fokokat kombináljuk az alappal, de különálló tényező marad:

csak erőtermékekre!

Semmi esetre sem szabad ilyet írni.

2. vagyis -egy szám hatványa

Csakúgy, mint az előző tulajdonságnál, térjünk át a fokozat meghatározására:

Kiderül, hogy a kifejezést egyszer megszorozzuk önmagával, vagyis a definíció szerint ez a szám hatványa:

Valójában ezt nevezhetjük "az indikátor zárójelbe állításának". De ezt soha nem teheti meg összesen:

Idézzük fel a rövidített szorzás képleteit: hányszor akartuk leírni?

De ez nem igaz, tényleg.

Fokozat negatív bázissal

Eddig csak arról beszéltünk, hogy mi legyen a kitevő.

De mi legyen az alap?

fokban természetes mutató az alap lehet bármilyen szám. Valójában bármilyen számot megszorozhatunk egymással, legyen az pozitív, negatív vagy páros.

Gondoljuk át, milyen jeleknek ("" vagy "") lesz a pozitív és negatív számok fokozata?

Például a szám pozitív vagy negatív lesz? DE? ? Az elsővel minden világos: akárhány pozitív számot szorzunk meg egymással, az eredmény pozitív lesz.

De a negatívak egy kicsit érdekesebbek. Végül is emlékszünk egy egyszerű szabályra a 6. osztályból: "a mínusz szor a mínusz pluszt ad." Vagyis, ill. De ha megszorozzuk, akkor kiderül.

Határozza meg saját maga, hogy milyen jelei lesznek a következő kifejezéseknek:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Sikerült?

Íme a válaszok: Remélem, az első négy példában minden világos? Egyszerűen nézzük az alapot és a kitevőt, és alkalmazzuk a megfelelő szabályt.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Az 5. példában minden nem olyan ijesztő, mint amilyennek látszik: nem számít, hogy mi az alap - a fok egyenletes, ami azt jelenti, hogy az eredmény mindig pozitív lesz.

Nos, kivéve, ha az alap nulla. Az alap nem ugyanaz, ugye? Nyilván nem, hiszen (mert).

A 6. példa) már nem ilyen egyszerű!

6 gyakorlati példa

A megoldás elemzése 6 példa

Ha nem figyelünk a nyolcadik fokra, mit látunk itt? Nézzük a 7. osztály programját. Szóval emlékszel? Ez a rövidített szorzási képlet, mégpedig a négyzetek különbsége! Kapunk:

Gondosan megnézzük a nevezőt. Nagyon úgy néz ki, mint a számláló egyik tényezője, de mi a baj? A kifejezések hibás sorrendje. Ha felcserélték őket, akkor a szabály érvényes lehet.

De hogyan kell ezt csinálni? Kiderül, hogy ez nagyon egyszerű: itt a nevező páros foka segít.

A kifejezések varázslatosan helyet változtattak. Ez a "jelenség" minden kifejezésre egyenletes mértékben vonatkozik: a zárójelben lévő jeleket szabadon változtathatjuk.

De fontos emlékezni: minden jel egyszerre változik!

Térjünk vissza a példához:

És ismét a képlet:

egész megnevezzük a természetes számokat, ellentéteiket (vagyis a "" jellel felvetve) és a számot.

pozitív egész szám, és nem különbözik a természetestől, akkor minden pontosan úgy néz ki, mint az előző részben.

Most nézzük az új eseteket. Kezdjük egy mutatóval egyenlő.

A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel:

Mint mindig, most is feltesszük magunknak a kérdést: miért van ez így?

Nézzünk némi erőt egy alappal. Vegyük például, és szorozzuk meg a következővel:

Tehát megszoroztuk a számot, és ugyanazt kaptuk, mint volt -. Milyen számmal kell megszorozni, hogy semmi ne változzon? Így van, tovább. Eszközök.

Ugyanezt tetszőleges számmal is megtehetjük:

Ismételjük meg a szabályt:

A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel.

De sok szabály alól van kivétel. És itt is ott van - ez egy szám (mint alap).

Egyrészt minden fokkal egyenlőnek kell lennie - hiába szorozod meg a nullát önmagával, akkor is nullát kapsz, ez egyértelmű. De másrészt, mint minden nulla fokos számnak, egyenlőnek kell lennie. Tehát mi az igazság ebben? A matematikusok úgy döntöttek, hogy nem keverednek bele, és nem voltak hajlandók nullát nullára emelni. Vagyis most már nem csak oszthatjuk nullával, hanem emelhetjük is nulla hatványra.

Menjünk tovább. Az egész számok a természetes számok és számok mellett negatív számokat is tartalmaznak. Hogy megértsük, mi a negatív fok, tegyük ugyanazt, mint legutóbb: valamilyen normál számot megszorozunk ugyanannak a negatív fokozatban:

Innen már könnyű kifejezni a kívántat:

Most kiterjesztjük a kapott szabályt tetszőleges mértékben:

Tehát fogalmazzuk meg a szabályt:

Egy szám negatív hatványhoz azonos szám pozitív hatványának fordítottja. De ugyanakkor az alap nem lehet null:(mert nem lehet osztani).

Összefoglaljuk:

I. A kifejezés nincs megadva az esetben. Ha akkor.

II. A nulla hatványhoz tartozó bármely szám egyenlő eggyel: .

III. Az a szám, amely nem egyenlő nullával egy negatív hatványhoz, ugyanennek a számnak a pozitív hatványának inverze: .

Feladatok az önálló megoldáshoz:

Nos, mint általában, példák egy független megoldásra:

Feladatok elemzése önálló megoldáshoz:

Tudom, tudom, ijesztőek a számok, de a vizsgán mindenre készen kell állni! Oldja meg ezeket a példákat, vagy elemezze a megoldásukat, ha nem tudta megoldani, és a vizsgán megtanulja, hogyan kezelheti ezeket könnyedén!

Bővítsük tovább a kitevőnek „megfelelő” számok körét.

Most fontolja meg racionális számok. Milyen számokat nevezünk racionálisnak?

Válasz: mindaz, ami törtként ábrázolható, ahol és az egész számok, ráadásul.

Hogy megértsük, mi az "töredékfok" Tekintsünk egy töredéket:

Emeljük az egyenlet mindkét oldalát hatványra:

Most emlékezzen a szabályra "fokról fokra":

Milyen számot kell hatványra emelni, hogy megkapjuk?

Ez a megfogalmazás a th fok gyökerének meghatározása.

Hadd emlékeztesselek: egy szám () hatványának gyöke egy olyan szám, amely hatványra emelve egyenlő.

Vagyis a th fok gyöke a hatványozás fordított művelete: .

Kiderült, hogy. Nyilvánvalóan ez a speciális eset kiterjeszthető: .

Most add hozzá a számlálót: mi az? A választ könnyen megtalálhatja a teljesítmény-hatalom szabályával:

De lehet az alap bármilyen szám? Végül is a gyökér nem kinyerhető minden számból.

Egyik sem!

Ne feledje a szabályt: minden páros hatványra emelt szám pozitív szám. Vagyis a negatív számokból nem lehet páros fokú gyököket kinyerni!

Ez pedig azt jelenti, hogy az ilyen számokat nem lehet páros nevezővel tört hatványra emelni, vagyis a kifejezésnek nincs értelme.

Mi a helyzet a kifejezéssel?

De itt egy probléma adódik.

A szám más, redukált törtként is ábrázolható, például, ill.

És kiderül, hogy létezik, de nem létezik, és ez csak két, azonos számú rekord.

Vagy egy másik példa: egyszer, akkor leírhatod. De amint máshogy írjuk a mutatót, ismét bajba kerülünk: (vagyis teljesen más eredményt kaptunk!).

Az ilyen paradoxonok elkerülése érdekében fontolja meg csak pozitív alapkitevő tört kitevővel.

Tehát, ha:

• - természetes szám;
• egy egész szám;

Példák:

A racionális kitevővel rendelkező hatványok nagyon hasznosak gyökökkel rendelkező kifejezések átalakításához, például:

5 gyakorlati példa

5 példa elemzése a képzéshez

Nos, most - a legnehezebb. Most elemezzük fok irracionális kitevővel.

A fokok összes szabálya és tulajdonságai itt pontosan ugyanazok, mint a racionális kitevővel rendelkező fokoknál, kivéve

Valójában definíció szerint az irracionális számok olyan számok, amelyeket nem lehet törtként ábrázolni, ahol és egész számok (vagyis az irracionális számok mind valós számok, kivéve a racionális számokat).

Amikor természetes, egész és racionális mutatókkal tanulmányoztuk a fokozatokat, minden alkalommal kitaláltunk egy bizonyos „képet”, „analógiát” vagy ismertebb kifejezésekkel.

Például a természetes kitevő egy önmagával többszörös szorzat;

...nulla teljesítmény- ez mintegy önmagával egyszer megszorzott szám, vagyis még nem kezdték el szorozni, ami azt jelenti, hogy maga a szám még meg sem jelent - ezért az eredmény csak egy bizonyos „üres szám” , nevezetesen a szám;

...negatív egész kitevő- mintha egy bizonyos „fordított folyamat” ment volna végbe, vagyis a számot nem önmagával szorozták, hanem osztották.

A tudomány egyébként sokszor összetett kitevős fokot használ, vagyis a kitevő nem is valós szám.

De az iskolában nem gondolunk ilyen nehézségekre, az intézetben lesz lehetősége megérteni ezeket az új fogalmakat.

HOVA BIZTOSÍTUNK, HOGY MENNI fog! (ha megtanulod az ilyen példák megoldását :))

Például:

Döntsd el magad:

Megoldások elemzése:

1. Kezdjük a fokozatba emelés már megszokott szabályával:

Most nézd meg a pontszámot. Emlékeztet valamire? Emlékezzünk a négyzetek különbségének rövidített szorzásának képletére:

Ebben az esetben,

Kiderült, hogy:

Válasz: .

2. A kitevőben lévő törteket azonos alakra hozzuk: vagy mindkettő tizedes, vagy mindkettő közönséges. Kapunk például:

Válasz: 16

3. Semmi különös, a fokozatok szokásos tulajdonságait alkalmazzuk:

HALADÓ SZINT

A fokozat meghatározása

A fokozat a következő alak kifejezése: , ahol:

• — végzettség alapja;
• - kitevő.

Fok természetes kitevővel (n = 1, 2, 3,...)

Egy szám n természetes hatványra emelése azt jelenti, hogy a számot önmagával megszorozzuk:

Hatvány egész kitevővel (0, ±1, ±2,...)

Ha a kitevő az pozitív egész szám szám:

erekció nulla teljesítményre:

A kifejezés határozatlan, mert egyrészt bármilyen fokig ez, másrészt tetszőleges fokú szám ez.

Ha a kitevő az egész szám negatív szám:

(mert nem lehet osztani).

Még egyszer a nullákról: a kifejezés nincs definiálva az esetben. Ha akkor.

Példák:

Fokozat racionális kitevővel

• - természetes szám;
• egy egész szám;

Példák:

Fokozat tulajdonságai

A problémák könnyebb megoldása érdekében próbáljuk megérteni: honnan származnak ezek a tulajdonságok? Bizonyítsuk be őket.

Lássuk: mi az és?

Definíció szerint:

Tehát ennek a kifejezésnek a jobb oldalán a következő terméket kapjuk:

De definíció szerint ez egy szám hatványa kitevővel, azaz:

Q.E.D.

Példa : A kifejezés egyszerűsítése.

Megoldás : .

Példa : A kifejezés egyszerűsítése.

Megoldás : Fontos megjegyezni, hogy szabályunkban szükségszerűen azonosnak kell lennie. Ezért a fokokat kombináljuk az alappal, de különálló tényező marad:

Egy másik fontos megjegyzés: ez a szabály - csak az erők termékeinél!

Semmi esetre sem szabad ilyet írnom.

Csakúgy, mint az előző tulajdonságnál, térjünk át a fokozat meghatározására:

Rendezzük át így:

Kiderül, hogy a kifejezést egyszer megszorozzuk önmagával, vagyis a definíció szerint ez a szám -edik hatványa:

Valójában ezt nevezhetjük "az indikátor zárójelbe állításának". De ezt soha nem teheti meg összesen:!

Idézzük fel a rövidített szorzás képleteit: hányszor akartuk leírni? De ez nem igaz, tényleg.

Hatalom negatív bázissal.

Eddig csak arról beszéltünk, hogy mi legyen index fokozat. De mi legyen az alap? fokban természetes indikátor az alap lehet bármilyen szám .

Valójában bármilyen számot megszorozhatunk egymással, legyen az pozitív, negatív vagy páros. Gondoljuk át, milyen jeleknek ("" vagy "") lesz a pozitív és negatív számok fokozata?

Például a szám pozitív vagy negatív lesz? DE? ?

Az elsővel minden világos: akárhány pozitív számot szorzunk meg egymással, az eredmény pozitív lesz.

De a negatívak egy kicsit érdekesebbek. Végül is emlékszünk egy egyszerű szabályra a 6. osztályból: "a mínusz szor a mínusz pluszt ad." Vagyis, ill. De ha (-vel) megszorozzuk, - kapjuk.

És így tovább a végtelenségig: minden további szorzással az előjel megváltozik. Megfogalmazhatja ezeket az egyszerű szabályokat:

1. még fokozat, - szám pozitív.
2. A negatív szám értékre emelve páratlan fokozat, - szám negatív.
3. Egy pozitív szám bármely hatványhoz pozitív szám.
4. Nulla bármely hatványhoz egyenlő nullával.

Határozza meg saját maga, hogy milyen jelei lesznek a következő kifejezéseknek:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Sikerült? Íme a válaszok:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Remélem, az első négy példában minden világos? Egyszerűen nézzük az alapot és a kitevőt, és alkalmazzuk a megfelelő szabályt.

Az 5. példában minden nem olyan ijesztő, mint amilyennek látszik: nem számít, hogy mi az alap - a fok egyenletes, ami azt jelenti, hogy az eredmény mindig pozitív lesz. Nos, kivéve, ha az alap nulla. Az alap nem ugyanaz, ugye? Nyilván nem, hiszen (mert).

A 6. példa) már nem ilyen egyszerű. Itt kell kideríteni, melyik a kevesebb: vagy? Ha erre emlékszel, világossá válik, ami azt jelenti, hogy az alap kisebb, mint nulla. Vagyis alkalmazzuk a 2. szabályt: az eredmény negatív lesz.

És ismét a fokozat definícióját használjuk:

Minden a szokásos módon történik - felírjuk a fokok meghatározását, és felosztjuk őket egymásra, párokra osztjuk, és megkapjuk:

Mielőtt az utolsó szabályt elemeznénk, oldjunk meg néhány példát.

Számítsa ki a kifejezések értékét:

Megoldások :

Ha nem figyelünk a nyolcadik fokra, mit látunk itt? Nézzük a 7. osztály programját. Szóval emlékszel? Ez a rövidített szorzási képlet, mégpedig a négyzetek különbsége!

Kapunk:

Gondosan megnézzük a nevezőt. Nagyon úgy néz ki, mint a számláló egyik tényezője, de mi a baj? A kifejezések hibás sorrendje. Ha megfordítanák, a 3. szabályt lehetne alkalmazni. De hogyan kell ezt megtenni? Kiderül, hogy ez nagyon egyszerű: itt a nevező páros foka segít.

Ha megszorozod, semmi sem változik, igaz? De most így néz ki:

A kifejezések varázslatosan helyet változtattak. Ez a "jelenség" minden kifejezésre egyenletes mértékben vonatkozik: a zárójelben lévő jeleket szabadon változtathatjuk. De fontos emlékezni: minden jel egyszerre változik! Nem pótolható azzal, hogy csak egy számunkra kifogásolható mínuszt változtatunk meg!

Térjünk vissza a példához:

És ismét a képlet:

Tehát most az utolsó szabály:

Hogyan fogjuk bizonyítani? Természetesen szokás szerint: bővítsük ki a diploma fogalmát és egyszerűsítsük:

Nos, most nyissuk ki a zárójeleket. Hány levél lesz? alkalommal szorzókkal – hogyan néz ki? Ez nem más, mint egy művelet meghatározása szorzás: összesen kiderült, hogy szorzók vannak. Vagyis ez definíció szerint egy szám hatványa kitevővel:

Példa:

Fok irracionális kitevővel

Az átlagos szint fokszámaira vonatkozó információk mellett a fokozatot egy irracionális mutatóval elemezzük. A fokok összes szabálya és tulajdonságai itt pontosan ugyanazok, mint a racionális kitevővel rendelkező fokoké, azzal a kivétellel - elvégre definíció szerint az irracionális számok olyan számok, amelyeket nem lehet törtként ábrázolni, ahol és egész számok (azaz , az irracionális számok mind valós számok, kivéve a racionális számokat).

Amikor természetes, egész és racionális mutatókkal tanulmányoztuk a fokozatokat, minden alkalommal kitaláltunk egy bizonyos „képet”, „analógiát” vagy ismertebb kifejezésekkel. Például a természetes kitevő egy önmagával többszörös szorzat; egy nullafokú szám mintegy önmagával egyszer szorzott szám, vagyis még nem kezdték el szorozni, ami azt jelenti, hogy maga a szám még meg sem jelent - ezért az eredmény csak egy bizonyos „szám előkészítése”, nevezetesen egy szám; egy fok egész szám negatív mutatóval - olyan, mintha egy bizonyos „fordított folyamat” történt volna, vagyis a számot nem szorozták meg önmagával, hanem osztották.

Rendkívül nehéz elképzelni egy fokot irracionális kitevővel (ahogyan nehéz elképzelni egy 4 dimenziós teret). Inkább egy tisztán matematikai objektumról van szó, amelyet a matematikusok azért hoztak létre, hogy a fok fogalmát a számok teljes terére kiterjesszék.

A tudomány egyébként sokszor összetett kitevős fokot használ, vagyis a kitevő nem is valós szám. De az iskolában nem gondolunk ilyen nehézségekre, az intézetben lesz lehetősége megérteni ezeket az új fogalmakat.

Mit tegyünk tehát, ha irracionális kitevőt látunk? Igyekszünk megszabadulni tőle! :)

Például:

Döntsd el magad:

1)

2)

3)

Válaszok:

1. Emlékezzen a négyzetek különbségére. Válasz: .
2. A törteket ugyanabba a formába hozzuk: vagy mindkét tizedesjegyet, vagy mindkét közönségeset. Kapjuk például: .
3. Semmi különös, a fokozatok szokásos tulajdonságait alkalmazzuk:

SZAKASZ ÖSSZEFOGLALÓ ÉS ALAPKÉPLET

Fokozat a következő alak kifejezésének nevezzük: , ahol:

Fok egész kitevővel

fok, amelynek kitevője természetes szám (azaz egész és pozitív).

Fokozat racionális kitevővel

fok, melynek mutatója a negatív és a törtszámok.

Fok irracionális kitevővel

kitevő, amelynek kitevője egy végtelen tizedes tört vagy gyök.

Fokozat tulajdonságai

A fokozatok jellemzői.

• A negatív szám értékre emelve még fokozat, - szám pozitív.
• A negatív szám értékre emelve páratlan fokozat, - szám negatív.
• Egy pozitív szám bármely hatványhoz pozitív szám.
• A nulla bármely hatványnak felel meg.
• A nulla hatvány bármely szám egyenlő.

MOST VAN EGY SZAVAD...

Hogy tetszik a cikk? Az alábbi megjegyzésekben tudassa velem, hogy tetszett-e vagy sem.

Mondja el nekünk az erőtulajdonságokkal kapcsolatos tapasztalatait.

Talán kérdései vannak. Vagy javaslatokat.

Írd meg kommentben.

És sok sikert a vizsgákhoz!

A kitevőt arra használjuk, hogy megkönnyítsük egy szám önmagával való szorzásának műveletét. Például írás helyett írhatsz 4 5 (\displaystyle 4^(5))(Az ilyen átmenet magyarázata a cikk első szakaszában található). A hatványok megkönnyítik a hosszú vagy összetett kifejezések vagy egyenletek írását; emellett a hatványok könnyen összeadhatók és kivonhatók, ami egy kifejezés vagy egyenlet egyszerűsítését eredményezi (pl. 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Jegyzet: ha exponenciális egyenletet kell megoldania (egy ilyen egyenletben az ismeretlen a kitevőben van), olvassa el.

Lépések

Egyszerű problémák megoldása hatáskörökkel

Szorozzuk meg a kitevő alapját önmagával a kitevővel megegyező számúszor. Ha a kitevőkkel kapcsolatos problémát kézzel kell megoldani, írjuk át a kitevőt szorzási műveletként, ahol a kitevő alapját megszorozzuk önmagával. Például a diploma alapján 3 4 (\displaystyle 3^(4)). Ebben az esetben a 3. fokú bázist meg kell szorozni önmagával 4-szer: 3 * 3 * 3 * 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Íme további példák:

Először szorozza meg az első két számot. Például, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Ne aggódjon – a számítási folyamat nem olyan bonyolult, mint amilyennek első pillantásra tűnik. Először szorozza meg az első két négyesét, majd cserélje ki őket az eredménnyel. Mint ez:

• 4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Szorozzuk meg az eredményt (példánkban 16) a következő számmal. Minden további eredmény arányosan növekszik. Példánkban szorozzuk meg 16-ot 4-gyel. Így:

   • 4 5 = 16 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4^(5) = 16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 * 4 * 4 (\displaystyle 4^(5) = 64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Az első két szám szorzatának eredményét szorozd meg a következő számmal, amíg meg nem kapod a végső választ. Ehhez szorozza meg az első két számot, majd az eredményt szorozza meg a sorozat következő számával. Ez a módszer minden fokozatra érvényes. Példánkban a következőket kell kapnia: 4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Oldja meg a következő problémákat. Ellenőrizze a választ egy számológéppel.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. A számológépen keresse meg az „exp” vagy „ x n (\displaystyle x^(n))", vagy "^". Ezzel a gombbal egy számot hatványra emelhet. Gyakorlatilag lehetetlen manuálisan kiszámítani a fokszámot nagy kitevővel (például fokszámmal 9 15 (\displaystyle 9^(15))), de a számológép könnyen megbirkózik ezzel a feladattal. Windows 7 rendszerben a standard számológép mérnöki módba kapcsolható; ehhez kattintson a "Nézet" -\u003e "Műszaki" gombra. A normál módba való váltáshoz kattintson a "Nézet" -\u003e "Normál" elemre.

   • Ellenőrizze a kapott választ egy keresőmotor segítségével (Google vagy Yandex). A számítógép billentyűzetének "^" gombjával írja be a kifejezést a keresőmotorba, amely azonnal megjeleníti a helyes választ (és esetleg hasonló kifejezéseket javasol tanulmányozáshoz).

   Hatványok összeadása, kivonása, szorzása

   1. Hatványokat csak akkor adhat hozzá és vonhat ki, ha ugyanaz az alapja. Ha azonos bázisokkal és kitevőkkel kell hatványokat hozzáadnia, akkor az összeadási műveletet helyettesítheti szorzási művelettel. Például adott a kifejezés 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Ne feledje, hogy a diploma 4 5 (\displaystyle 4^(5)) ként ábrázolható 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); és így, 4 5 + 4 5 = 1 * 4 5 + 1 * 4 5 = 2 * 4 5 (\megjelenítési stílus 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(ahol 1 +1 =2). Vagyis számolja meg a hasonló fokok számát, majd szorozza meg ezt a fokot ezzel a számmal. Példánkban emelje fel a 4-et az ötödik hatványra, majd az eredményt szorozza meg 2-vel. Ne feledje, hogy az összeadási művelet helyettesíthető szorzási művelettel, például 3 + 3 = 2 * 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Íme további példák:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Ha a hatványokat ugyanazzal a bázissal szorozzuk, akkor azok kitevői összeadódnak (az alap nem változik). Például adott a kifejezés x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). Ebben az esetben csak hozzá kell adnia a mutatókat, az alapot változatlanul hagyva. Ily módon x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Íme a szabály vizuális magyarázata:

      Ha egy hatványt hatványra emelünk, a kitevők megszorozódnak. Például adott egy diploma. Mivel a kitevők szorozva vannak, akkor (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Ennek a szabálynak az a jelentése, hogy megszorozod a hatalmat (x 2) (\displaystyle (x^(2)))ötször önmagára. Mint ez:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\megjelenítési stílus (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Mivel az alap ugyanaz, a kitevők egyszerűen összeadódnak: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 x 2 = x 10 (\megjelenítési stílus (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. A negatív kitevővel rendelkező kitevőt törtté kell konvertálni (inverz hatványra). Nem baj, ha nem tudod, mi a reciprok. Ha egy diplomát negatív kitevővel adunk meg, pl. 3–2 (\displaystyle 3^(-2)), írja be ezt a hatványt a tört nevezőjébe (a számlálóba tegyen 1-et), és tegye pozitívvá a kitevőt. Példánkban: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Íme további példák:

      Ha azonos bázisú hatványokat osztunk fel, kitevőjüket levonjuk (az alap nem változik). Az osztási művelet a szorzási művelet ellentéte. Például adott a kifejezés 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4)))(4^(2)))). Vonjuk ki a nevezőben lévő kitevőt a számlálóban lévő kitevőből (a bázist ne változtassuk meg). Ily módon 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4)))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • A nevezőben lévő fokozat a következőképpen írható fel: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4–2 (\displaystyle 4^(-2)). Ne feledje, hogy a tört egy szám (hatvány, kifejezés), negatív kitevővel.

   4. Az alábbiakban felsorolunk néhány kifejezést, amelyek segítenek megtanulni, hogyan kell megoldani az energiaellátási problémákat. A fenti kifejezések lefedik az ebben a részben bemutatott anyagot. A válasz megtekintéséhez jelölje ki az egyenlőségjel utáni üres helyet.

   Feladatok megoldása törtkitevőkkel

   A törtkitevővel rendelkező fok (például ) gyökérkivonási műveletté alakul. Példánkban: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). Nem mindegy, hogy milyen szám szerepel a tört kitevő nevezőjében. Például, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4))) az "x" negyedik gyöke x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Ha a kitevő helytelen tört, akkor egy ilyen kitevő két hatványra bontható a probléma megoldásának egyszerűsítése érdekében. Nincs ebben semmi bonyolult – csak emlékezzen a hatalomszorzás szabályára. Például adott egy diploma. Forgassa ezt a kitevőt gyökké, amelynek kitevője megegyezik a tört kitevő nevezőjével, majd emelje fel a gyökért a tört kitevő számlálójával egyenlő kitevőre. Ehhez ne feledje 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). Példánkban:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Egyes számológépeken van egy gomb a kitevők kiszámításához (először meg kell adnia a bázist, majd meg kell nyomni a gombot, majd be kell írnia a kitevőt). Jelölése ^ vagy x^y.
   3. Ne feledje, hogy bármely szám önmagával egyenlő az első hatványával, például 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Sőt, bármely szám eggyel szorozva vagy elosztva egyenlő önmagával, pl. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5)és 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Tudd, hogy a 0 0 fok nem létezik (egy ilyen fokozatnak nincs megoldása). Ha számológépen vagy számítógépen próbál megoldani egy ilyen fokozatot, hibaüzenetet kap. De ne feledje, hogy a nulla hatványához tartozó bármely szám egyenlő 1-gyel, például, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. A képzeletbeli számokkal operáló felsőbb matematikában: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), ahol i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e konstans körülbelül 2,7; a tetszőleges állandó. Ennek az egyenlőségnek a bizonyítéka bármely felsőbb matematika tankönyvben megtalálható.

   Figyelmeztetések

   • A kitevő növekedésével az értéke nagymértékben növekszik. Ezért, ha a válasz rossznak tűnik, valójában igaznak bizonyulhat. Ezt bármely exponenciális függvény, például 2 x ábrázolásával ellenőrizheti.