Korijen. Sveobuhvatni vodič (2019.)
Čestitamo: danas ćemo analizirati korijene - jednu od najzanimljivijih tema 8. razreda. :)
Mnogi se zbune oko korijena ne zato što su složeni (što je komplicirano - par definicija i još par svojstava), već zato što su u većini školskih udžbenika korijeni definirani kroz takve divljine da samo autori udžbenika mogu sami shvati ovo škrabanje. I to samo uz bocu dobrog viskija. :)
Stoga ću sada dati najtočniju i najkompetentniju definiciju korijena - jedinu koju stvarno trebate zapamtiti. I tek tada ću objasniti: zašto je sve to potrebno i kako to primijeniti u praksi.
Ali prvo zapamtite jedno važna točka, o čemu mnogi sastavljači udžbenika iz nekog razloga "zaboravljaju":
Korijeni mogu biti parnog stupnja (naš omiljeni $\sqrt(a)$, kao i bilo koji $\sqrt(a)$ i parni $\sqrt(a)$) i neparnog stupnja (bilo koji $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ itd.). I definicija korijena neparnog stupnja je nešto drugačija od parnog.
Ovdje u ovom jebenom "nešto drugačijem" krije se, vjerojatno, 95% svih pogrešaka i nesporazuma povezanih s korijenima. Dakle, raščistimo terminologiju jednom zauvijek:
Definicija. Čak i korijen n od broja $a$ je bilo koji nenegativan broj $b$ takav da je $((b)^(n))=a$. A korijen neparnog stupnja iz istog broja $a$ općenito je bilo koji broj $b$ za koji vrijedi ista jednakost: $((b)^(n))=a$.
U svakom slučaju, korijen se označava ovako:
\(a)\]
Broj $n$ u takvom se zapisu naziva korijenski eksponent, a broj $a$ radikalni izraz. Konkretno, za $n=2$ dobivamo naš "omiljeni" kvadratni korijen (usput, ovo je korijen parnog stupnja), a za $n=3$ dobivamo kubični korijen (neparni stupanj), koji se također često nalazi u problemima i jednadžbama.
Primjeri. Klasični primjeri kvadratni korijeni:
\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]
Usput, $\sqrt(0)=0$ i $\sqrt(1)=1$. Ovo je sasvim logično jer $((0)^(2))=0$ i $((1)^(2))=1$.
Kubični korijeni su također uobičajeni - nemojte ih se bojati:
\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]
Pa, par "egzotičnih primjera":
\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]
Ako ne razumijete koja je razlika između parnog i neparnog stupnja, ponovno pročitajte definiciju. Vrlo je važno!
U međuvremenu ćemo razmotriti jednu neugodnu osobinu korijena, zbog koje smo morali uvesti posebnu definiciju za parne i neparne eksponente.
Zašto nam uopće trebaju korijeni?
Nakon što pročitaju definiciju, mnogi studenti će se zapitati: “Što su matematičari popušili kad su ovo smislili?” I stvarno: zašto nam trebaju svi ti korijeni?
Kako bismo odgovorili na ovo pitanje, vratimo se na trenutak osnovne razrede. Zapamtite: u ta daleka vremena, kada je drveće bilo zelenije, a knedle ukusnije, naša glavna briga bila je ispravno pomnožiti brojeve. Pa nešto u duhu "pet po pet - dvadeset i pet", to je sve. Ali uostalom, brojeve možete množiti ne u parovima, već u trojkama, četvorkama i općenito cijelim skupovima:
\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]
Međutim, nije u tome poanta. Trik je drugačiji: matematičari su lijeni ljudi, pa su množenje deset petica morali zapisati ovako:
Pa su došli do diploma. Zašto ne biste broj faktora napisali kao superskript umjesto dugog niza? Kao ova:
Vrlo je povoljno! Svi izračuni smanjeni su nekoliko puta, a ne možete potrošiti hrpu pergamentnih listova bilježnica da zapišete nekih 5 183 . Takav unos nazvan je stupanj broja, u njemu je pronađena hrpa svojstava, ali sreća se pokazala kratkotrajnom.
Nakon grandiozne pijanke, koja je organizirana upravo oko “otkrića” stupnjeva, neki posebno nabusiti matematičar iznenada upita: “Što ako znamo stupanj broja, ali ne znamo sam broj?” Doista, ako znamo da određeni broj $b$, na primjer, daje 243 na 5. potenciju, kako onda možemo pogoditi čemu je jednak sam broj $b$?
Pokazalo se da je ovaj problem mnogo globalniji nego što se na prvi pogled čini. Jer pokazalo se da za većinu “konfekcijskih” diploma ne postoje te “početne” brojke. Prosudite sami:
\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Strelica desno b=4\cdot 4\cdot 4\Strelica desno b=4. \\ \end(align)\]
Što ako $((b)^(3))=50$? Ispada da trebate pronaći određeni broj, koji će nam, pomnožen sam sa sobom tri puta, dati 50. Ali koji je to broj? Jasno je da je veći od 3 jer je 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. tj. ovaj broj leži negdje između tri i četiri, ali čemu je jednak - FIG shvatit ćete.
Upravo su zato matematičari došli do $n$-tih korijena. Zato je uvedena radikalna ikona $\sqrt(*)$. Za označavanje istog broja $b$, koji će nam, na zadanu potenciju, dati prethodno poznatu vrijednost
\[\sqrt[n](a)=b\desna strelica ((b)^(n))=a\]
Ne raspravljam: često se ti korijeni lako razmatraju - vidjeli smo nekoliko takvih primjera gore. No ipak, u većini slučajeva, ako zamislite proizvoljan broj, a zatim pokušate iz njega izvući korijen proizvoljnog stupnja, čeka vas okrutna nevolja.
Što je tamo! Čak ni najjednostavniji i najpoznatiji $\sqrt(2)$ ne može se prikazati u našem uobičajenom obliku - kao cijeli broj ili razlomak. A ako ovaj broj unesete u kalkulator, vidjet ćete ovo:
\[\sqrt(2)=1,414213562...\]
Kao što vidite, iza decimalne točke nalazi se beskonačan niz brojeva koji se ne pokoravaju nikakvoj logici. Možete, naravno, zaokružiti ovaj broj za brzu usporedbu s drugim brojevima. Na primjer:
\[\sqrt(2)=1,4142...\približno 1,4 \lt 1,5\]
Ili evo još jednog primjera:
\[\sqrt(3)=1,73205...\približno 1,7 \gt 1,5\]
Ali sva ta zaokruživanja su, prvo, prilično gruba; i drugo, također morate znati raditi s približnim vrijednostima, inače možete uhvatiti hrpu neočitih pogrešaka (usput, vještina uspoređivanja i zaokruživanja u bez greške provjereno na profilnom ispitu).
Stoga se u ozbiljnoj matematici ne može bez korijena - oni su isti ravnopravni predstavnici skupa svih realnih brojeva $\mathbb(R)$, poput razlomaka i cijelih brojeva koje odavno poznajemo.
Nemogućnost predstavljanja korijena kao razlomka oblika $\frac(p)(q)$ znači da dati korijen nije racionalan broj. Takvi se brojevi nazivaju iracionalnim i ne mogu se točno prikazati osim uz pomoć radikala ili drugih za to posebno dizajniranih konstrukcija (logaritmi, stupnjevi, limiti itd.). Ali o tome drugom prilikom.
Razmotrite nekoliko primjera u kojima će nakon svih izračuna u odgovoru i dalje ostati iracionalni brojevi.
\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\približno 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\približno -1,2599... \\ \end(align)\]
Naravno, po izgled korijenu gotovo je nemoguće pogoditi koji će brojevi doći iza decimalne točke. Međutim, moguće je izračunati na kalkulatoru, ali čak i najnapredniji kalkulator datuma daje nam samo prvih nekoliko znamenki iracionalnog broja. Stoga je mnogo ispravnije odgovore pisati kao $\sqrt(5)$ i $\sqrt(-2)$.
Za to su i izmišljeni. Da biste lakše zapisivali odgovore.
Zašto su potrebne dvije definicije?
Pažljivi čitatelj vjerojatno je već primijetio da su svi kvadratni korijeni navedeni u primjerima uzeti iz pozitivnih brojeva. Pa unutra zadnje utočište od nule. Ali kockasti korijeni mirno se izvlače iz apsolutno bilo kojeg broja - čak i pozitivnog, čak i negativnog.
Zašto se ovo događa? Pogledajte graf funkcije $y=((x)^(2))$:
Raspored kvadratna funkcija daje dva korijena: pozitivan i negativan Pokušajmo izračunati $\sqrt(4)$ koristeći ovaj grafikon. Da biste to učinili, na grafikonu se nacrta vodoravna linija $y=4$ (označena crvenom bojom) koja siječe parabolu u dvije točke: $((x)_(1))=2$ i $((x) _(2)) =-2$. To je sasvim logično, jer
Sve je jasno s prvim brojem - pozitivan je, dakle korijen:
Ali što onda učiniti s drugom točkom? Ima li 4 dva korijena odjednom? Uostalom, ako kvadriramo broj −2, također ćemo dobiti 4. Zašto onda ne napisati $\sqrt(4)=-2$? A zašto profesori gledaju takve zapise kao da vas žele pojesti? :)
To je nevolja, da ako ne nametnete nijednu dodatni uvjeti, tada će četiri imati dva kvadratna korijena - pozitivan i negativan. I bilo koji pozitivan broj također će ih imati dva. Ali negativni brojevi uopće neće imati korijene - to se može vidjeti iz istog grafikona, budući da parabola nikada ne pada ispod osi g, tj. ne uzima negativne vrijednosti.
Sličan problem javlja se za sve korijene s parnim eksponentom:
- Strogo govoreći, svaki pozitivan broj će imati dva korijena s parnim eksponentom $n$;
- Iz negativnih brojeva uopće se ne izvlači korijen s parnim $n$.
Zato definicija parnog korijena $n$ posebno propisuje da odgovor mora biti nenegativan broj. Tako se rješavamo dvosmislenosti.
Ali za neparnih $n$ nema tog problema. Da bismo to vidjeli, pogledajmo graf funkcije $y=((x)^(3))$:
Kubična parabola poprima bilo koju vrijednost, tako da se kubni korijen može uzeti iz bilo kojeg broja Iz ovog grafikona mogu se izvući dva zaključka:
- Grane kubične parabole, za razliku od uobičajene, idu u beskonačnost u oba smjera - i gore i dolje. Stoga, na kojoj god visini nacrtali vodoravnu crtu, ta će se linija sigurno presijecati s našim grafikonom. Dakle, kubni korijen uvijek se može uzeti, apsolutno iz bilo kojeg broja;
- Osim toga, takvo će sjecište uvijek biti jedinstveno, tako da ne morate razmišljati o tome koji broj smatrati "ispravnim" korijenom, a koji bodovati. Zato je definicija korijena za neparni stupanj jednostavnija nego za parni (ne postoji zahtjev za nenegativnošću).
Šteta što ovi jednostavne stvari nije objašnjeno u većini udžbenika. Umjesto toga, naši se mozgovi počinju lebdjeti sa svim vrstama aritmetičkih korijena i njihovih svojstava.
Da, ne raspravljam: što je aritmetički korijen - također morate znati. I o tome ću detaljno govoriti u zasebnoj lekciji. Danas ćemo također govoriti o njemu, jer bez njega bi sva razmišljanja o korijenima $n$-te višestrukosti bila nepotpuna.
Ali prvo morate jasno razumjeti definiciju koju sam dao gore. U suprotnom, zbog obilja pojmova, u vašoj će glavi početi takva zbrka da na kraju nećete razumjeti baš ništa.
I sve što trebate razumjeti je razlika između parnih i neparnih brojeva. Stoga ćemo još jednom prikupiti sve što stvarno trebate znati o korijenima:
- Parni korijen postoji samo iz nenegativnog broja i sam je uvijek nenegativan broj. Za negativne brojeve takav je korijen nedefiniran.
- Ali korijen neparnog stupnja postoji iz bilo kojeg broja i sam po sebi može biti bilo koji broj: za pozitivne brojeve on je pozitivan, a za negativne brojeve, kao što se naslućuje na vrhu, on je negativan.
Je li teško? Ne, nije teško. To je jasno? Da, očito je! Stoga ćemo sada malo vježbati s izračunima.
Osnovna svojstva i ograničenja
Korijena ima puno čudna svojstva i ograničenja - ovo će biti zasebna lekcija. Stoga ćemo sada razmotriti samo najvažniji "čip", koji se odnosi samo na korijene s parnim eksponentom. Ovo svojstvo zapisujemo u obliku formule:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\lijevo| x\desno|\]
Drugim riječima, ako broj podignemo na parnu potenciju, a zatim iz toga izvučemo korijen istog stupnja, nećemo dobiti izvorni broj, već njegov modul. Ovaj jednostavan teorem, što se lako dokazuje (dovoljno je posebno razmotriti nenegativne $x$, a zatim posebno razmotriti negativne). Učitelji stalno pričaju o tome, to je navedeno u svakom školskom udžbeniku. Ali kad jednom dođe do odluke iracionalne jednadžbe(tj. jednadžbe koje sadrže predznak radikala), učenici zajedno zaborave ovu formulu.
Da bismo detaljno razumjeli problem, zaboravimo na trenutak sve formule i pokušajmo brojati dva broja unaprijed:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\lijevo(-3 \desno))^(4)))=?\]
Ovo je vrlo jednostavni primjeri. Prvi primjer će većina ljudi riješiti, ali na drugom se mnogi drže. Da biste bez problema riješili takvo sranje, uvijek razmotrite postupak:
- Prvo se broj diže na četvrtu potenciju. Pa, nekako je lako. Dobit će se novi broj, koji se čak može naći u tablici množenja;
- A sada iz ovog novog broja potrebno je izvući korijen četvrtog stupnja. Oni. nema "redukcije" korijena i stupnjeva - to su sekvencijalne radnje.
Pozabavimo se prvim izrazom: $\sqrt(((3)^(4)))$. Očito, prvo morate izračunati izraz ispod korijena:
\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Zatim izdvajamo četvrti korijen broja 81:
Sada učinimo isto s drugim izrazom. Prvo dižemo broj −3 na četvrtu potenciju, za što ga trebamo pomnožiti samim sobom 4 puta:
\[((\lijevo(-3 \desno))^(4))=\lijevo(-3 \desno)\cdot \lijevo(-3 \desno)\cdot \lijevo(-3 \desno)\cdot \ lijevo(-3 \desno)=81\]
Dobili smo pozitivan broj, jer je ukupan broj minusa u proizvodu 4 komada i svi će se poništiti (uostalom, minus za minus daje plus). Zatim ponovno izvucite korijen:
U principu, ovaj redak ne bi mogao biti napisan, jer nije pametno da će odgovor biti isti. Oni. parni korijen iste parne snage "spaljuje" minuse i u tom smislu rezultat se ne razlikuje od uobičajenog modula:
\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\lijevo| 3\desno|=3; \\ & \sqrt(((\lijevo(-3 \desno))^(4)))=\lijevo| -3 \desno|=3. \\ \end(align)\]
Ovi izračuni dobro se slažu s definicijom korijena parnog stupnja: rezultat je uvijek nenegativan, a pod predznakom radikala također uvijek postoji ne negativan broj. Inače, korijen nije definiran.
Napomena o redoslijedu operacija
- Oznaka $\sqrt(((a)^(2)))$ znači da prvo kvadriramo broj $a$, a zatim vadimo kvadratni korijen dobivene vrijednosti. Prema tome, možemo biti sigurni da se nenegativan broj uvijek nalazi ispod znaka korijena, jer $((a)^(2))\ge 0$ ionako;
- Ali oznaka $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, naprotiv, znači da iz određenog broja $a$ prvo izvučemo korijen, a tek onda kvadriramo rezultat. Dakle, broj $a$ ni u kom slučaju ne može biti negativan - to je obvezni zahtjev uključeni u definiciju.
Dakle, ni u kojem slučaju ne treba nepromišljeno smanjivati korijene i stupnjeve, čime se navodno "pojednostavljuje" izvorni izraz. Jer ako je ispod korijena negativan broj, a njegov eksponent je paran, dobit ćemo puno problema.
Međutim, svi ovi problemi relevantni su samo za parne pokazatelje.
Uklanjanje znaka minus ispod znaka korijena
Naravno, i korijeni s neparnim eksponentima imaju svoje svojstvo, koje u principu ne postoji za parne. Naime:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Ukratko, možete izvaditi minus ispod znaka korijena neparnog stupnja. Ovo je vrlo korisno svojstvo, što vam omogućuje da "izbacite" sve minuse:
\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \lijevo(-\sqrt(32) \desno)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]
Ovo jednostavno svojstvo uvelike pojednostavljuje mnoge izračune. Sada se ne morate brinuti: što ako je negativan izraz ušao ispod korijena, a stupanj u korijenu se pokazao jednakim? Dovoljno je sve minuse “izbaciti” izvan korijena, nakon čega se oni mogu međusobno množiti, dijeliti i općenito raditi mnoge sumnjive stvari, koje nas u slučaju “klasičnih” korijena garantirano vode do greške. .
I tu na scenu stupa još jedna definicija - upravo ona s kojom većina škola započinje proučavanje iracionalnih izraza. I bez kojih bi naše razmišljanje bilo nepotpuno. Upoznajte!
aritmetički korijen
Pretpostavimo na trenutak da samo pozitivni brojevi ili, u ekstremnim slučajevima, nula mogu biti ispod znaka korijena. Ocjenjujmo parne/neparne pokazatelje, ocjenjujmo sve gore navedene definicije - radit ćemo samo s nenegativnim brojevima. Što onda?
I onda dobijemo aritmetički korijen - on se djelomično presijeca s našim "standardnim" definicijama, ali se ipak razlikuje od njih.
Definicija. Aritmetički korijen $n$-tog stupnja nenegativnog broja $a$ je nenegativan broj $b$ takav da je $((b)^(n))=a$.
Kao što vidite, više nas ne zanima paritet. Umjesto toga pojavilo se novo ograničenje: radikalni izraz je sada uvijek nenegativan, a sam korijen je također nenegativan.
Da biste bolje razumjeli kako se aritmetički korijen razlikuje od uobičajenog, pogledajte grafikone kvadratne i kubične parabole koji su nam već poznati:
Područje pretraživanja korijena - nenegativni brojevi Kao što vidite, od sada nas zanimaju samo oni dijelovi grafikona koji se nalaze u prvoj koordinatnoj četvrtini - gdje su koordinate $x$ i $y$ pozitivne (ili barem nula). Više ne morate gledati indikator da biste shvatili imamo li pravo na korijen negativnog broja ili ne. Budući da se negativni brojevi više u načelu ne razmatraju.
Možete pitati: "Pa, zašto nam treba tako kastrirana definicija?" Ili: "Zašto se ne možemo snaći s gore navedenom standardnom definicijom?"
Pa, dat ću samo jedno svojstvo, zbog kojeg nova definicija postaje prikladna. Na primjer, pravilo stepenovanja:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Imajte na umu: radikalni izraz možemo podići na bilo koju potenciju i istovremeno pomnožiti korijenski eksponent istom potencijom - i rezultat će biti isti broj! Evo nekoliko primjera:
\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]
Pa, što je loše u tome? Zašto to nismo mogli prije? Evo zašto. Razmotrimo jednostavan izraz: $\sqrt(-2)$ je broj koji je sasvim normalan u našem klasičnom smislu, ali apsolutno neprihvatljiv sa stajališta aritmetičkog korijena. Pokušajmo to pretvoriti:
$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\lijevo(-2 \desno))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$
Kao što vidite, u prvom slučaju uklonili smo minus ispod radikala (imamo puno pravo, jer indikator je neparan), au drugom smo koristili gornju formulu. Oni. s gledišta matematike, sve se radi po pravilima.
WTF?! Kako isti broj može biti i pozitivan i negativan? Nema šanse. Samo što formula za potenciranje, koja odlično funkcionira za pozitivne brojeve i nulu, počinje davati potpunu herezu u slučaju negativnih brojeva.
Ovdje su, kako bi se riješili takve dvosmislenosti, smislili aritmetičke korijene. Posvećeni su zasebnoj velika lekcija, gdje detaljno razmatramo sva njihova svojstva. Stoga se sada nećemo zadržavati na njima - lekcija se ionako pokazala predugom.
Algebarski korijen: za one koji žele znati više
Dugo sam razmišljao: napraviti ovu temu u zasebnom paragrafu ili ne. Na kraju sam odlučio otići odavde. Ovaj je materijal namijenjen onima koji žele još bolje razumjeti korijene - ne više na prosječnoj "školskoj" razini, već na razini bliskoj olimpijadi.
Dakle: osim "klasične" definicije korijena $n$-tog stupnja iz broja i pripadajuće podjele na parne i neparne pokazatelje, postoji "odraslija" definicija, koja ne ovisi o parnosti i druge suptilnosti uopće. To se zove algebarski korijen.
Definicija. Algebarski $n$-ti korijen bilo kojeg $a$ je skup svih brojeva $b$ takvih da je $((b)^(n))=a$. Ne postoji dobro utvrđena oznaka za takve korijene, pa samo stavite crticu na vrh:
\[\overline(\sqrt[n](a))=\lijevo\( b\lijevo| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \desno. \desno\) \]
Temeljna razlika od standardna definicija, dan na početku lekcije, je da algebarski korijen nije određeni broj, već skup. A budući da radimo sa stvarnim brojevima, ovaj skup ima samo tri vrste:
- Prazan set. Javlja se kada je potrebno pronaći algebarski korijen parnog stupnja iz negativnog broja;
- Skup koji se sastoji od jednog elementa. Svi korijeni neparnih potencija, kao i korijeni parnih potencija od nule, spadaju u ovu kategoriju;
- Konačno, skup može uključivati dva broja - iste $((x)_(1))$ i $((x)_(2))=-((x)_(1))$ koje smo vidjeli na grafikon kvadratne funkcije. Prema tome, takvo je poravnanje moguće samo kada se iz pozitivnog broja izvlači korijen parnog stupnja.
Posljednji slučaj zaslužuje detaljnije razmatranje. Nabrojimo nekoliko primjera da shvatimo razliku.
Primjer. Izračunaj izraze:
\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Riješenje. Prvi izraz je jednostavan:
\[\overline(\sqrt(4))=\lijevo\( 2;-2 \desno\)\]
To su dva broja koji su dio skupa. Jer svaki od njih na kvadrat daje četvorku.
\[\overline(\sqrt(-27))=\lijevo\( -3 \desno\)\]
Ovdje vidimo skup koji se sastoji od samo jednog broja. To je sasvim logično, jer je eksponent korijena neparan.
Na kraju, posljednji izraz:
\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Imamo prazan set. Jer ne postoji niti jedan realan broj koji će nam, kad ga se podigne na četvrtu (tj. parnu!) potenciju, dati negativan broj −16.
Završna napomena. Napomena: nisam slučajno posvuda primijetio da radimo s realnim brojevima. Jer ima još toga kompleksni brojevi- tamo je sasvim moguće izračunati $\sqrt(-16)$, i mnoge druge čudne stvari.
Međutim, u modernom školski tečaj U matematici se gotovo nikad ne nalaze kompleksni brojevi. Oni su izostavljeni iz većine udžbenika jer naši dužnosnici smatraju temu "preteškom za razumijevanje".
Organizacija razreda za rad.
Bok dečki. Sjedni.
Kuzbas,
Vas malo srce
Na karti Domovina velika,
Ti si zemlja rudara, obrtnika
Sa sibirskom velikodušnom dušom.
Alexander Sorokin posvetio je ovu divnu kratku pjesmu našoj domovini, Kuzbasu. Koji je grad glavni grad naše regije? Godine 2008. grad Kemerovo proslavio je 90. obljetnicu postojanja grada.
Teme poruka i postavljanje ciljeva.
Oblik naše lekcije bit će neobičan. Danas ćemo ići na virtualni obilazak grada Kemerova, konsolidirati sva znanja stečena na temu „Svojstva aritmetičkog kvadratnog korijena. Korijen iz umnoška i razlomka”, a također ćemo razraditi sposobnost primjene svojstava aritmetičkog kvadratnog korijena pri pronalaženju vrijednosti izraza.
Ažuriranje postojećeg znanja.
1. Utvrđivanje istine ili laži.
Prije nego što počnemo, utvrdimo istinitost ili netočnost izjava. Na stolovima su karte. Sad ću pročitati izjavu, pa ako je lažna dižete crveni karton, a ako je istinita onda bijeli karton.
Cijeli i razlomački brojevi sastaviti skup racionalnih brojeva (da)
Broj 5 je racionalan (da)
Skup realnih brojeva sastoji se od racionalnih i iracionalnih brojeva (da)
Kvadratni korijen broja a je broj čiji je kvadrat a (da)
Kada je a > 0, izraz kvadratni korijen od a nema smisla (ne)
Ako je a > 0, onda jednadžba x 2 =a ima jedan korijen (ne)
Ako a< 0, то уравнение х 2 = ali nema korijene (da)
Korijen umnoška nenegativnih faktora jednak je umnošku ovih faktora (nema)
Koja znanja smo primijenili u ovom zadatku?
Koristili smo svojstva aritmetičkog kvadratnog korijena, učvrstili pojam razlomaka, cijelih, racionalnih brojeva i slučajeve rješavanja kvadratne jednadžbe.
2. lanac.
Sada pogledajte slajd i pronađite značenje posljednje karike u lancu. Da biste to učinili, počnite izvršavati radnje s prve veze.
Koji si broj dobio na zadnjem linku?
Koji je ovo datum?
Bilo je to 9. svibnja 1918. godine kada je selo Shcheglovo pretvoreno u grad Shcheglovsk. A kada je preimenovan u grad Kemerovo?
Godine 1932., 27. ožujka, Shcheglovsk je preimenovan u grad Kemerovo. Koja svojstva kvadratnih korijena koristimo?
Koristili smo svojstva kvadratnog korijena umnoška, stupnja.
Usustavljivanje znanja.
1.Broj iz udžbenika
Otvorite svoj udžbenik na stranici 83, broj 377.
Redak 2 izvodimo na ploči.
Prisjetimo se i pokušajmo izvući kvadratni korijen razlike kvadrata.
Koja je razlika kvadrata? (umnožak njihovog zbroja i razlike).
A koje su nam formule korisne?
2. rad u parovima.
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
|
| ||||
|
| ||||
Uzmite tablete
s izrazima. Potpišite ih na poleđini.
Zamjena sa cimerom.
Rasporedite točke u prazne ćelije tako da u svakom retku i svakom stupcu bude samo jedna točka.
Zamijenite natrag sa svojim susjedom. Sada, tamo gdje se pojavila točka, trebao bi biti odgovor kada se izvode operacije na izrazima. Točka je sjecište određenog stupca i retka, pogledajte koji je izraz u tom stupcu, zatim koju akciju treba izvršiti, a zatim koji je izraz u retku. I pronađite značenje izraza. Na primjer…
Sada razmijenite znakove i provjerite na slajdu je li vaš susjed sve napravio kako treba.
Ako nema greške, stavite 5, ako postoji jedna greška, 4.
Danas ćete dobiti dvije ocjene za lekciju: za ovaj rad i za test. Općenito, za lekciju ćete dobiti opću ocjenu za sve vrste rada.
Koja su svojstva kvadratnog korijena?
Kakvu smo sliku zgrade dobili? (most).
Stari komunalni most preko rijeke Tom izgrađen je početkom 50-ih godina prošlog stoljeća i bio je u raspadanju. Stoga je u studenom 2005. godine, kada je odlučeno da se dovrši gradnja novog mosta, stari zatvoren i djelomično demontiran.
Vrhunac mosta je njegova jedinstvena rasvjeta. Desnoobalni čvor novog mosta osvijetljen je poput Vrtnog prstena u Moskvi. Pozadinsko osvjetljenje automatski kontrolira računalni program. Takve rasvjete nema nigdje iza Urala.
2. Rad u MG. Štafetna utrka.
Sada ćemo vidjeti kako funkcionirate u timu.
Imat ćemo 6 timova, u redovima. Karticu s primjerima dajem prvoj osobi. Zapisuje svoje prezime, rješava prvi primjer, upisuje odgovor geometrijski lik, koja dolazi nakon znaka jednakosti i na početku sljedeće jednakosti, a vraća se sljedećoj.
Sljedeći zapisuje svoje prezime, rješava dobiveni izraz i tako dalje. Prva ekipa koja zna konačni rezultat, dobiva bonus, a koji, saznat ćete nakon što odlučite.
Kakav je rezultat?
Koja su svojstva kvadratnog korijena?
D 
provjerimo. Kakvu smo sliku dobili?
Dana 5. rujna 2003., na području povijesnog središta Kemerova, na Krasnaya Gorka, otvorena je skulpturalna kompozicija Ernsta Neizvestnog "Sjećanje na rudare Kuzbasa".Ovo je brončana skulpturalna kompozicija visoka 7,5 metara i teška pet tona. PremaBedin Vladimir Ivanovič- prorektor za marketing i razvoj obrazovnog kompleksa (na ovom mjestu radi od 20. prosinca 2004.), profesor, zaslužni djelatnik kulture Ruska Federacija, pravi član Ruska akademija menadžment u obrazovanju i kulturi,“Ova velika kompozicija vrlo precizno prenosi duh rudarske struke i kraja. To također odražava počast sjećanju na rudare, njihovu snagu i moć, te uvjete u kojima rade.”
Pobjednički tim dobiva ocjenu 5, drugoplasirani dobiva ocjenu 4.
4. broj iz udžbenika.
Broj 384.
Vježbajmo vađenje kvadratnog korijena broja.
Što treba učiniti da se izvadi korijen?
Na koje množitelje je zgodno rastaviti?
Koja se tablica može koristiti za iznalaženje kvadratnog korijena iz 441?
Koja su svojstva kvadratnog korijena?
Koju smo tablicu koristili da pronađemo vrijednost kvadratnog korijena?
Fizmututka za oči.
Zatvori oči. Otvorite oči (5 puta). Kružni pokreti očiju. Nemojte rotirati glavu (10 puta). Bez okretanja glave, gledajte u stranu što je više moguće ulijevo, udesno. Gledajte ravno naprijed. Trepnite nekoliko puta. Zatvori oči i odmori se. Gledajte u ploču i okrećite glavu desno i lijevo ne skidajući pogled s ploče. Pogledaj kroz prozor.
5. šifriranje.
Sljedeći zadatak morat ćete dešifrirati.
Rezultat prvog primjera daje početak riječi, zatim treba riješiti zadatak koji počinje brojem koji je rezultat prethodnog zadatka i tako dalje. kad poredate sve primjere redom, dobit ćete riječ koju trebamo naučiti.
|
| |
- aritmetički korijen prirodni stupanj n>=2 od nenegativnog broja a naziva se neki nenegativan broj, kada se podigne na potenciju n, dobije se broj a.
Može se dokazati da će za bilo koje nenegativno a i prirodno n, jednadžba x^n=a imati jedan jedini nenegativan korijen. Upravo se taj korijen naziva aritmetičkim korijenom n-tog stupnja iz broja a.
Označen je aritmetički korijen n-tog stupnja broja a na sljedeći način n√a. Broj a se u ovom slučaju naziva korijenski izraz.
Aritmetički korijen drugog stupnja naziva se kvadratni korijen, a aritmetički korijen trećeg stupnja kubni korijen.
Osnovna svojstva aritmetičkog korijena n-tog stupnja
- 1. (n√a)^n = a.
Na primjer, (5√2)^5 = 2.
Ovo svojstvo izravno proizlazi iz definicije aritmetičkog korijena n-tog stupnja.
Ako je a veće od ili ili je jednako nuli, b je veće od nule, a n, m su neki cijeli brojevi tako da je n veće ili jednako 2 i m veće ili jednako 2, tada vrijede sljedeća svojstva:
- 2. n√(a*b)= n√a*n√b.
Na primjer, 4√27 * 4√3 = 4√(27*3) = 4√81 =4√(3^4) = 3.
- 3. n√(a/b) = (n√a)/(n√b).
Na primjer, 3√(256/625) :3√(4/5) = 3√((256/625) : (4/5)) = (3√(64))/(3√(125)) = 4/5.
- 4. (n√a)^m = n√(a^m).
Na primjer, 7√(5^21) = 7√((5^7)^3)) = (7√(5^7))^3 = 5^3 = 125.
- 5. m√(n√a) = (n*m) √a.
Na primjer, 3√(4√4096) = 12√4096 = 12√(2^12) = 2.
Uočimo da u svojstvu 2 broj b može biti jednak nuli, a u svojstvu 4 broj m može biti bilo koji cijeli broj, pod uvjetom da je a>0.
Dokaz drugog svojstva
Sva posljednja četiri svojstva dokazuju se na sličan način, pa se ograničavamo na dokazivanje samo drugog: n√(a*b)= n√a*n√b.
Koristeći se definicijom aritmetičkog korijena, dokazujemo da je n√(a*b)= n√a*n√b.
Da bismo to učinili, dokazujemo dvije činjenice da n√a*n√b. Veći ili jednak nuli i da je (n√a*n√b.)^n = ab.
- 1. n√a*n√b je veće ili jednako nuli, jer su i a i b veći ili jednaki nuli.
- 2. (n√a*n√b)^n = a*b budući da je (n√a*n√b)^n = (n√a)^n *(n√b)^n = a* b.
Q.E.D. Dakle, svojstvo je istinito. Ta će se svojstva vrlo često morati koristiti pri pojednostavljivanju izraza koji sadrže aritmetičke korijene.
Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.
Prikupljanje i korištenje osobnih podataka
Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određena osoba ili veze s njim.
Od vas se može tražiti da date svoje osobne informacije u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.
Slijedi nekoliko primjera vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i načina na koji takve podatke možemo koristiti.
Koje osobne podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.
Kako koristimo vaše osobne podatke:
- Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da Vas kontaktiramo i informiramo jedinstvene ponude, promocije i druga događanja te nadolazeća događanja.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke kako bismo vam poslali važne obavijesti i poruke.
- Također možemo koristiti osobne podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i kako bismo vam pružili preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje trećim stranama
Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim stranama.
Iznimke:
- Po potrebi - sukladno zakonu, sudskom postupku, u parnica, i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva od vladine agencije na području Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnost, provođenje zakona ili druge javne važne prilike.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo relevantnom nasljedniku treće strane.
Zaštita osobnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Održavanje vaše privatnosti na razini tvrtke
Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo praksu privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo praksu privatnosti.
