Osnovne formule planimetrije. Kako pronaći područje geometrijskih oblika
Područja geometrijskih figura su numeričke vrijednosti koje karakteriziraju njihovu veličinu u dvodimenzionalnom prostoru. Ova se vrijednost može mjeriti u sistemskim i izvansistemskim jedinicama. Tako je, primjerice, izvansustavna jedinica površine sto, hektar. To je slučaj ako je izmjerena površina komad zemlje. Sistemska jedinica za površinu je kvadrat duljine. U SI sustavu uobičajeno je smatrati da je jedinica površine ravne površine kvadratni metar. U CGS-u je jedinica za površinu izražena u kvadratnim centimetrima.
Geometrija i formule površine neraskidivo su povezane. Ta veza leži u činjenici da se izračunavanje površina ravnih figura temelji upravo na njihovoj primjeni. Za mnoge figure izvedeno je nekoliko opcija prema kojima se izračunavaju njihove kvadratne veličine. Na temelju podataka iz tvrdnje problema možemo odrediti kako ga najjednostavnije riješiti. To olakšava izračun i smanjuje vjerojatnost pogrešaka u izračunu na minimum. Da biste to učinili, razmotrite glavno područje figura u geometriji.
Formule za pronalaženje površine bilo kojeg trokuta prikazane su na nekoliko načina:
1) Površina trokuta izračunava se iz osnovice a i visine h. Baza je strana figure na kojoj se visina spušta. Tada je površina trokuta:
2) Površina pravokutnog trokuta izračunava se na potpuno isti način ako se hipotenuza smatra bazom. Ako se, međutim, noga uzme kao baza, tada će površina pravokutnog trokuta biti jednaka umnošku prepolovljenih nogu.
Formule za izračunavanje površine bilo kojeg trokuta tu ne završavaju. Drugi izraz sadrži stranice a,b i sinusoidnu funkciju kuta γ između a i b. Vrijednost sinusa nalazi se u tablicama. Također se može pronaći pomoću kalkulatora. Tada je površina trokuta:
Prema ovoj jednakosti, također se možete uvjeriti da je površina pravokutnog trokuta određena kroz duljine kateta. Jer kut γ je pravi kut, pa se površina pravokutnog trokuta izračunava bez množenja s funkcijom sinus.
3) Razmotrimo poseban slučaj - pravilan trokut, kojem je stranica a poznata po uvjetu ili se njezina duljina može pronaći prilikom rješavanja. Ništa se više ne zna o liku u geometrijskom problemu. Kako onda pronaći područje pod ovim uvjetom? U ovom slučaju primjenjuje se formula za područje pravilnog trokuta:
Pravokutnik
Kako pronaći površinu pravokutnika i koristiti dimenzije stranica koje imaju zajednički vrh? Izraz za izračun je:
Ako želite upotrijebiti duljine dijagonala za izračunavanje površine pravokutnika, tada vam je potrebna sinusna funkcija kuta formiranog kada se sijeku. Formula za površinu pravokutnika je:
Kvadrat
Površina kvadrata definirana je kao druga potencija duljine stranice:
Dokaz slijedi iz definicije da se pravokutnik naziva kvadratom. Sve stranice koje tvore kvadrat imaju iste dimenzije. Stoga se izračun površine takvog pravokutnika svodi na množenje jednog s drugim, odnosno na drugu snagu strane. A formula za izračunavanje površine kvadrata poprimit će željeni oblik.
Površina kvadrata može se pronaći na drugi način, na primjer, ako koristite dijagonalu:
Kako izračunati površinu figure koju čini dio ravnine omeđen krugom? Za izračun površine, formule su:
Paralelogram
Za paralelogram formula sadrži linearne dimenzije stranice, visinu i matematičku operaciju - množenje. Ako je visina nepoznata, kako onda pronaći područje paralelograma? Postoji još jedan način izračuna. Potrebna je određena vrijednost koju će uzeti trigonometrijska funkcija kuta koji čine susjedne stranice, kao i njihova duljina.
Formule za površinu paralelograma su:
Romb
Kako pronaći područje četverokuta koji se zove romb? Područje romba određuje se jednostavnim matematičkim operacijama s dijagonalama. Dokaz se oslanja na činjenicu da se dijagonalni segmenti na d1 i d2 sijeku pod pravim kutom. Tablica sinusa pokazuje da je za pravi kut ova funkcija jednaka jedinici. Stoga se površina romba izračunava na sljedeći način:
Područje romba može se pronaći i na drugi način. To također nije teško dokazati, s obzirom da su mu stranice iste duljine. Zatim zamijenite njihov umnožak sličnim izrazom za paralelogram. Uostalom, poseban slučaj ove figure je romb. Ovdje je γ unutarnji kut romba. Površina romba određena je na sljedeći način:
Trapez
Kako pronaći površinu trapeza kroz baze (a i b), ako su njihove duljine navedene u problemu? Ovdje, bez poznate vrijednosti duljine visine h, neće biti moguće izračunati površinu takvog trapeza. Jer ova vrijednost sadrži izraz za izračun:
Veličina kvadrata pravokutnog trapeza također se može izračunati na isti način. Istodobno se uzima u obzir da se u pravokutnom trapezu kombiniraju koncepti visine i strane. Stoga, za pravokutni trapez, trebate odrediti duljinu stranice umjesto visine.
Cilindar i paralelopiped
Razmotrite što je potrebno za izračunavanje površine cijelog cilindra. Područje ove figure je par krugova, koji se nazivaju baze, i bočna površina. Kružnice koje tvore kružnice imaju radijus dužine jednak r. Za površinu cilindra provodi se sljedeći izračun:
Kako pronaći područje paralelopipeda koji se sastoji od tri para lica? Njegove mjere su u skladu s određenim parom. Lica koja su suprotna imaju iste parametre. Najprije pronađite S(1), S(2), S(3) - dimenzije kvadrata nejednakih stranica. Zatim površina paralelopipeda:
Prsten
Dvije kružnice sa zajedničkim središtem čine prsten. Oni također ograničavaju područje prstena. U ovom slučaju obje formule za izračun uzimaju u obzir dimenzije svakog kruga. Prvi, koji izračunava površinu prstena, sadrži veći R i manji r radijus. Češće se nazivaju vanjski i unutarnji. U drugom izrazu, površina prstena se izračunava koristeći veći D i manji d promjer. Dakle, površina prstena prema poznatim polumjerima izračunava se na sljedeći način:
Područje prstena, koristeći duljine promjera, određuje se na sljedeći način:
Poligon
Kako pronaći površinu poligona čiji oblik nije ispravan? Ne postoji opća formula za područje takvih figura. Ali ako je prikazano na koordinatnoj ravnini, na primjer, to može biti karirani papir, kako onda pronaći površinu u ovom slučaju? Ovdje koriste metodu koja ne zahtijeva približno mjerenje figure. Oni čine ovo: ako pronađu točke koje padaju u kut ćelije ili imaju cjelobrojne koordinate, tada se samo one uzimaju u obzir. Da biste saznali koje je područje, upotrijebite formulu koju je dokazao Pick. Potrebno je zbrojiti broj točaka koje se nalaze unutar polilinije s polovicom točaka koje leže na njoj, a oduzeti jednu, tj. izračunava se na ovaj način:
gdje C, D - broj točaka smještenih unutar i na cijeloj poliliniji, respektivno.
Sve formule za površinu ravnih figura
Površina jednakokračnog trapeza
1. Formula za područje jednakokračnog trapeza u smislu stranica i kuta
a - donja baza
b - gornja baza
c - jednake strane
α - kut na donjoj bazi
Formula za površinu jednakokračnog trapeza u smislu stranica, (S):
Formula za površinu jednakokračnog trapeza u smislu stranica i kuta, (S):
2. Formula za površinu jednakokračnog trapeza u smislu polumjera upisane kružnice
R- polumjer upisane kružnice
D- promjer upisane kružnice
O - središte upisane kružnice
H- visina trapeza
α, β - kutovi trapeza
Formula za površinu jednakokračnog trapeza u smislu polumjera upisane kružnice, (S):
FAIR, za upisanu kružnicu u jednakokračan trapez:
3. Formula za područje jednakokračnog trapeza u smislu dijagonala i kuta između njih
d-dijagonala trapeza
α,β- kutovi između dijagonala
Formula za površinu jednakokračnog trapeza u smislu dijagonala i kuta između njih, (S):
4. Formula za područje jednakokračnog trapeza kroz srednju liniju, bočnu stranu i kut na bazi
c- strana
m- srednja linija trapeza
α, β - kutovi na bazi
Formula za površinu jednakokračnog trapeza u smislu srednje linije, bočne strane i kuta na bazi,
(S): 
5. Formula za područje jednakokračnog trapeza u smislu baza i visine
a - donja baza
b - gornja baza
h - visina trapeza
Formula za površinu jednakokračnog trapeza u smislu baza i visine, (S):
Površina trokuta s jednom stranom i dva kuta, formula.
a, b, c - stranice trokuta
α, β, γ - suprotni kutovi
Površina trokuta kroz stranicu i dva kuta (S):
Formula za površinu pravilnog poligona
a - strana poligona
n - broj strana
Površina pravilnog poligona, (S):
(Heronova) formula za površinu trokuta u smislu poluperimetra (S):
Površina jednakostraničnog trokuta je:
Formule za izračunavanje površine jednakostraničnog trokuta.
a - stranica trokuta
h - visina
Kako izračunati površinu jednakokračnog trokuta?
b - baza trokuta
a - jednake strane
h - visina
3. Formula za površinu trapeza u smislu četiri strane
a - donja baza
b - gornja baza
c, d - strane
Polumjer opisane kružnice trapeza na stranicama i dijagonalama
a - stranice trapeza
c - donja baza
b - gornja baza
d - dijagonala
h - visina
Formula za polumjer opisane kružnice trapeza, (R)
nađi polumjer opisane kružnice jednakokračnog trokuta duž stranica
Znajući stranice jednakokračnog trokuta, možete koristiti formulu za pronalaženje polumjera opisane kružnice oko tog trokuta.
a, b - stranice trokuta
Polumjer opisane kružnice jednakokračnog trokuta (R):
Polumjer šesterokuta upisane kružnice
a - stranica šesterokuta
Polumjer šesterokuta upisane kružnice (r):
Polumjer upisane kružnice u romb
r - polumjer upisane kružnice
a - strana romba
D, d - dijagonale
h - visina dijamanta
Polumjer upisane kružnice jednakokračnom trapezu
c - donja baza
b - gornja baza
a - strane
h - visina
Polumjer upisane kružnice u pravokutni trokut
a, b - noge trokuta
c - hipotenuza
Polumjer upisane kružnice u jednakokračni trokut
a, b - stranice trokuta
Dokažite da je površina upisanog četverokuta
\/(p - a)(p - b) (p - c) (p - d),
gdje je p poluopseg, a a, b, c i d stranice četverokuta.
Dokažite da je površina četverokuta upisanog u krug jednaka
1/2 (ab + cb) sin α, gdje su a, b, c i d stranice četverokuta, a α kut između stranica a i b.
S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Pročitajte više na FB.ru:
Područje proizvoljnog četverokuta (slika 1.13) može se izraziti u smislu njegovih stranica a, b, c i zbroja para suprotnih kutova:
gdje je p poluopseg četverokuta.
Površina četverokuta upisanog u krug () (Sl. 1.14, a) izračunava se pomoću Brahmaguptine formule
i opisano (Sl. 1.14, b) () - prema formuli
Ako je četverokut upisan i opisan u isto vrijeme (sl. 1.14, c), tada formula postaje vrlo jednostavna:
Vrhunska formula
Za procjenu površine poligona na kariranom papiru dovoljno je izračunati koliko ćelija ovaj poligon pokriva (uzimamo površinu ćelije kao jedinicu). Točnije, ako je S površina poligona, to je broj ćelija koje se u cijelosti nalaze unutar poligona, te je broj ćelija koje imaju barem jednu zajedničku točku s unutrašnjosti poligona.
U nastavku ćemo razmotriti samo takve poligone, čiji svi vrhovi leže u čvorovima kariranog papira - u onima gdje se sijeku linije mreže. Ispada da za takve poligone možete odrediti sljedeću formulu:
gdje je površina, r je broj čvorova koji leže strogo unutar poligona.
Ova formula je nazvana "Peak formula" po matematičaru koji ju je otkrio 1899.
Što je područje?
Površina - karakteristika zatvorenog geometrijskog lika (kruga, kvadrata, trokuta itd.), koja pokazuje njegovu veličinu. Površina se mjeri u kvadratnim centimetrima, metrima itd. Označava se slovom S(kvadrat).
Kako pronaći površinu trokuta?
S= a h
gdje a- duljina baze h je visina trokuta povučena na osnovicu.
Štoviše, baza ne mora biti na dnu. I to će poslužiti.
Ako je trokut tupi, tada visina pada na nastavak baze:
Ako je trokut pravokutan, tada su baza i visina njegove noge:
2. Još jedna formula, koja nije ništa manje korisna, ali koja se iz nekog razloga uvijek zaboravlja:
S= a b sinα
gdje a i b dvije stranice trokuta grijehα je sinus kuta između ovih stranica.
Glavni uvjet je da je kut uzet između dvije poznate strane.
3. Formula za površinu na tri strane (Heronova formula):
S=
gdje a, b i S su stranice trokuta, i R - poluperimetar. str = (a+b+c)/2.
4. Formula za površinu trokuta u smislu polumjera opisane kružnice:
S=
gdje a, b i S su stranice trokuta, i R- polumjer opisane kružnice.
5. Formula za površinu trokuta u smislu polumjera upisane kružnice:
S= p r
gdje R - poluopseg trokuta, i r- polumjer upisane kružnice.
Kako pronaći površinu pravokutnika?
1. Površina pravokutnika je prilično jednostavna:
S=a b
Bez trikova.
Kako pronaći površinu kvadrata?
1. Budući da je kvadrat pravokutnik sa svim stranicama jednakim, na njega se primjenjuje ista formula:
S=a a = a2
2. Također, površina kvadrata može se pronaći kroz njegovu dijagonalu:
S= d 2
Kako pronaći površinu paralelograma?
1. Površina paralelograma nalazi se formulom:
S=a h
To je zbog činjenice da ako od njega odrežete pravokutni trokut s desne strane i pričvrstite ga lijevo, dobit ćete pravokutnik:
2. Također, površina paralelograma može se pronaći kroz kut između dviju stranica:
S=a b sinα
Kako pronaći područje romba?
Romb je u biti paralelogram u kojem su sve strane jednake. Stoga se na njega primjenjuju iste formule površine.
1. Površina romba u smislu visine:
S=a h
Da biste riješili probleme u geometriji, morate znati formule - poput površine trokuta ili površine paralelograma - kao i jednostavne trikove, o kojima ćemo govoriti.
Prvo, naučimo formule za površine figura. Posebno smo ih prikupili u prigodnoj tablici. Ispiši, nauči i primijeni!
Naravno, nisu sve geometrijske formule u našoj tablici. Na primjer, za rješavanje zadataka iz geometrije i stereometrije u drugom dijelu profilnog ispita iz matematike koriste se i druge formule za površinu trokuta. Svakako ćemo vam reći o njima.
Ali što ako ne trebate pronaći područje trapeza ili trokuta, već područje neke složene figure? Postoje univerzalni načini! Pokazat ćemo ih na primjerima iz FIPI banke zadataka.
1. Kako pronaći područje nestandardne figure? Na primjer, proizvoljni četverokut? Jednostavna tehnika - podijelimo ovu figuru na one za koje svi znamo i pronađimo njenu površinu - kao zbroj površina ovih figura.
Podijelite ovaj četverokut vodoravnom crtom na dva trokuta sa zajedničkom bazom jednakom . Visine tih trokuta jednake su i . Tada je površina četverokuta jednaka zbroju površina dvaju trokuta: .
Odgovor: .
2. U nekim slučajevima, područje figure može se prikazati kao razlika bilo kojeg područja.
Nije tako lako izračunati čemu su jednake osnovica i visina u tom trokutu! Ali možemo reći da je njegova površina jednaka razlici površina kvadrata sa stranicom i triju pravokutnih trokuta. Vidite li ih na slici? Dobivamo: .
Odgovor: .
3. Ponekad je u zadatku potrebno pronaći područje ne cijelog lika, već njegovog dijela. Obično govorimo o površini sektora - dijela kruga. Nađite površinu sektora kruga polumjera , čija je duljina luka jednaka .
Na ovoj slici vidimo dio kruga. Površina cijelog kruga jednaka je , Budući da je . Ostaje saznati koji je dio kruga prikazan. Budući da je duljina cijelog kruga (od), a duljina luka ovog sektora jednaka, dakle, duljina luka je nekoliko puta manja od duljine cijelog kruga. Kut na kojem leži ovaj luk također je puta manji od punog kruga (tj. stupnjeva). To znači da će površina sektora biti nekoliko puta manja od površine cijelog kruga.
