Dizanje potencije na potenciju s negativnim eksponentom. Kako podići broj na negativnu potenciju - primjeri s opisom u Excelu

Formule snage koristi se u procesu smanjivanja i pojednostavljivanja složenih izraza, u rješavanju jednadžbi i nejednadžbi.

Broj c je n-tu potenciju broja a kada:

Operacije sa stupnjevima.

1. Množenjem stupnjeva s istom bazom, njihovi se pokazatelji zbrajaju:

a ma n = a m + n.

2. U podjeli stupnjeva s istom bazom oduzimaju se njihovi pokazatelji:

3. Stupanj umnoška 2 ili više faktora jednak je umnošku stupnjeva ovih faktora:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Stupanj razlomka jednak je omjeru stupnjeva djelitelja i djelitelja:

(a/b) n = a n / b n.

5. Dizanjem potencije na potenciju eksponenti se množe:

(am) n = a m n .

Svaka gornja formula točna je u smjeru s lijeva na desno i obrnuto.

Na primjer. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacije s korijenima.

1. Korijen umnoška više faktora jednak je umnošku korijena ovih faktora:

2. Korijen omjera jednak je omjeru djelitelja i djelitelja korijena:

3. Kod podizanja korijena na potenciju dovoljno je podići korijenski broj na ovu potenciju:

4. Povećamo li stupanj korijena u n jednom i u isto vrijeme podići na n stepen je korijen broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

5. Ako smanjimo stupanj korijena u n korijen u isto vrijeme n stupanj od radikalnog broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

Stupanj s negativnim eksponentom. Stupanj broja s nepozitivnim (cijelim) eksponentom definiran je kao jedan podijeljen sa stupnjem istog broja s eksponentom jednakim apsolutnoj vrijednosti nepozitivnog eksponenta:

Formula a m:a n = a m - n može se koristiti ne samo za m> n, ali i kod m< n.

Na primjer. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Za formuliranje a m:a n = a m - n postao pošten na m=n, potrebna vam je prisutnost nultog stupnja.

Stupanj s nultim eksponentom. Potencija bilo kojeg broja različitog od nule s eksponentom nula jednaka je jedan.

Na primjer. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stupanj s razlomačkim eksponentom. Podići pravi broj a do stupnja m/n, morate izvaditi korijen n th stupanj m stepen ovog broja a.

Dizanje na negativnu potenciju jedan je od temeljnih elemenata matematike koji se često susreće pri rješavanju algebarskih problema. Ispod je detaljna uputa.

Kako podići na negativnu potenciju - teorija

Kad neki broj dižemo na uobičajenu potenciju, njegovu vrijednost množimo nekoliko puta. Na primjer, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. S negativnim razlomkom vrijedi suprotno. Opći oblik prema formuli bit će sljedeći: a -n = 1/a n . Dakle, da biste podigli broj na negativnu potenciju, trebate podijeliti jedan s danim brojem, ali već na pozitivnu potenciju.

Kako podići na negativnu potenciju - primjeri na običnim brojevima

Imajući na umu gornje pravilo, riješimo nekoliko primjera.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Odgovor: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Odgovor je -4 -2 = 1/16.

Ali zašto je odgovor u prvom i drugom primjeru isti? Činjenica je da kada se negativan broj podigne na parnu potenciju (2, 4, 6 itd.), predznak postaje pozitivan. Ako je stupanj paran, tada se minus čuva:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Kako povisiti na negativnu potenciju - brojeve od 0 do 1

Podsjetimo se da kada se broj između 0 i 1 podigne na pozitivnu potenciju, vrijednost se smanjuje kako se potencija povećava. Na primjer, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Primjer 3: Izračunajte 0,5 -2
Rješenje: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Odgovor: 0,5 -2 = 4

Raščlanjivanje (redoslijed radnji):

• Pretvorite decimalno 0,5 u razlomak 1/2. Lakše je.
  Podignite 1/2 na negativnu potenciju. 1/(2) -2 . Podijelimo 1 s 1/(2) 2, dobivamo 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Primjer 4: Izračunajte 0,5 -3
Rješenje: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Primjer 5: Izračunajte -0,5 -3
Rješenje: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Odgovor: -0,5 -3 = -8

Na temelju 4. i 5. primjera izvest ćemo nekoliko zaključaka:

• Za pozitivan broj između 0 i 1 (primjer 4) podignut na negativnu potenciju, bilo da je potencija parna ili neparna, vrijednost izraza bit će pozitivna. U ovom slučaju, što je veći stupanj, to je veća vrijednost.
• Za negativan broj između 0 i 1 (Primjer 5), podignut na negativnu potenciju, vrijednost izraza bit će negativna, bilo da je potencija parna ili neparna. U ovom slučaju, što je viši stupanj, to je niža vrijednost.

Kako podići na negativnu potenciju - potenciju kao razlomački broj

Izrazi ovog tipa imaju sljedeći oblik: a -m/n, gdje je a običan broj, m brojnik stupnja, n nazivnik stupnja.

Razmotrite primjer:
Izračunajte: 8 -1/3

Rješenje (redoslijed radnji):

• Zapamtite pravilo dizanja broja na negativnu potenciju. Dobivamo: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
• Imajte na umu da je nazivnik 8 na razlomak. Opći oblik izračuna frakcijskog stupnja je sljedeći: a m/n = n √8 m .
• Prema tome, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Dobivamo kubni korijen od osam, što je 2. Na temelju toga, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Odgovor: 8 -1/3 = 2

Očito, brojevi s potencijama se mogu zbrajati kao i druge količine , dodajući ih jednu po jednu sa svojim predznacima.

Dakle, zbroj a 3 i b 2 je a 3 + b 2 .
Zbroj a 3 - b n i h 5 -d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Izgledi iste potencije istih varijabli može se zbrajati ili oduzimati.

Dakle, zbroj 2a 2 i 3a 2 je 5a 2 .

Također je očito da ako uzmemo dva kvadrata a, ili tri kvadrata a, ili pet kvadrata a.

Ali stupnjevi razne varijable i razne diplome identične varijable, moraju se dodati tako da se dodaju njihovim predznacima.

Dakle, zbroj 2 i 3 je zbroj 2 + a 3 .

Očito je da kvadrat od a i kocka od a nisu dva puta veći od kvadrata od a, već dva puta veći od kuba od a.

Zbroj a 3 b n i 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Oduzimanje potencije se izvode na isti način kao i zbrajanje, osim što se predznaci subtrahenda moraju sukladno tome promijeniti.

Ili:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Umnožavanje snage

Brojevi s potencijama se mogu množiti kao i druge veličine tako da se pišu jedan za drugim, sa ili bez znaka množenja između njih.

Dakle, rezultat množenja a 3 sa b 2 je a 3 b 2 ili aaabb.

Ili:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultat u posljednjem primjeru može se poredati dodavanjem istih varijabli.
Izraz će imati oblik: a 5 b 5 y 3 .

Uspoređujući nekoliko brojeva (varijabli) s potencijama, možemo vidjeti da ako se bilo koja dva od njih pomnože, tada je rezultat broj (varijabla) s potencijom jednakom iznos stupnjevi pojmova.

Dakle, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Ovdje je 5 potencija rezultata množenja, jednaka 2 + 3, zbroj potencija članova.

Dakle, a n .a m = a m+n .

Za a n, a se uzima kao faktor onoliko puta kolika je potencija od n;

A a m , se uzima kao faktor onoliko puta koliko je stupanj m jednak;

Zato, potencije s istim bazama mogu se pomnožiti zbrajanjem eksponenata.

Dakle, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . I x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Ili:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Pomnožite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odgovor: x 4 - y 4.
Pomnoži (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ovo pravilo vrijedi i za brojeve čiji su eksponenti - negativan.

1. Dakle, a -2 .a -3 = a -5 . Ovo se može napisati kao (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ako se a + b pomnože s a - b, rezultat će biti a 2 - b 2: tj

Rezultat množenja zbroja ili razlike dvaju brojeva jednak je zbroju ili razlici njihovih kvadrata.

Ako su zbroj i razlika dvaju brojeva podignuti na kvadrat, rezultat će biti jednak zbroju ili razlici ovih brojeva u Četvrta stupanj.

Dakle, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Podjela vlasti

Brojeve s potencijama možemo dijeliti kao i ostale brojeve oduzimanjem od djelitelja ili stavljanjem u oblik razlomka.

Dakle, a 3 b 2 podijeljeno s b 2 je a 3 .

Ili:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Pisanje 5 podijeljeno s 3 izgleda kao $\frac(a^5)(a^3)$. Ali ovo je jednako 2 . U nizu brojeva
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bilo koji broj se može podijeliti s drugim, a eksponent će biti jednak razlika pokazatelji djeljivih brojeva.

Pri dijeljenju potencija s istom bazom oduzimaju se njihovi eksponenti..

Dakle, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Odnosno, $\frac(yyy)(yy) = y$.

I a n+1:a = a n+1-1 = a n. Odnosno, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Ili:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Pravilo vrijedi i za brojeve s negativan vrijednosti stupnjeva.
Rezultat dijeljenja -5 s -3 je -2.
Također, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ili $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Potrebno je vrlo dobro savladati množenje i dijeljenje potencija, jer se takve operacije vrlo široko koriste u algebri.

Primjeri rješavanja primjera s razlomcima koji sadrže brojeve s potencijama

1. Smanjite eksponente u $\frac(5a^4)(3a^2)$ Odgovor: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Smanjite eksponente u $\frac(6x^6)(3x^5)$. Odgovor: $\frac(2x)(1)$ ili 2x.

3. Eksponente a 2 / a 3 i a -3 / a -4 svesti na zajednički nazivnik.
a 2 .a -4 je a -2 prvi brojnik.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, drugi brojnik.
a 3 .a -4 je a -1 , zajednički brojnik.
Nakon pojednostavljenja: a -2 /a -1 i 1/a -1 .

4. Eksponente 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 reducirajte i dovedite na zajednički nazivnik.
Odgovor: 2a 3 / 5a 7 i 5a 5 / 5a 7 ili 2a 3 / 5a 2 i 5/5a 2.

5. Pomnožite (a 3 + b)/b 4 s (a - b)/3.

6. Pomnožite (a 5 + 1)/x 2 s (b 2 - 1)/(x + a).

7. Pomnožite b 4 /a -2 s h -3 /x i a n /y -3 .

8. Podijelite a 4 /y 3 s a 3 /y 2 . Odgovor: a/y.

9. Podijelite (h 3 - 1)/d 4 s (d n + 1)/h.

Prva razina

Stupanj i njegova svojstva. Sveobuhvatni vodič (2019.)

Zašto su potrebne diplome? Gdje ih trebaš? Zašto trebate trošiti vrijeme na njihovo proučavanje?

Kako biste saznali sve o diplomama, čemu one služe, kako svoje znanje koristiti u svakodnevnom životu, pročitajte ovaj članak.

I, naravno, poznavanje diploma približit će vas uspješnom polaganju OGE ili Jedinstvenog državnog ispita i upisu na sveučilište iz snova.

Idemo... (Idemo!)

Važna nota! Ako umjesto formula vidite besmislice, izbrišite predmemoriju. Da biste to učinili, pritisnite CTRL+F5 (na Windowsima) ili Cmd+R (na Macu).

PRVI RAZINA

Potenciranje je ista matematička operacija kao zbrajanje, oduzimanje, množenje ili dijeljenje.

Sada ću sve objasniti ljudskim jezikom koristeći vrlo jednostavne primjere. Budi oprezan. Primjeri su elementarni, ali objašnjavaju važne stvari.

Počnimo s dodavanjem.

Nema se tu što objašnjavati. Sve već znate: nas je osam. Svaki ima dvije boce kole. Koliko kole? Tako je - 16 boca.

Sada množenje.

Isti primjer s colom može se napisati i na drugačiji način: . Matematičari su lukavi i lijeni ljudi. Prvo uoče neke obrasce, a onda se dosjete kako ih brže “prebrojati”. U našem slučaju, primijetili su da svaki od osam ljudi ima isti broj boca kole i smislili su tehniku ​​koja se zove množenje. Slažem se, smatra se lakšim i bržim od.

Dakle, da biste brojali brže, lakše i bez grešaka, samo trebate zapamtiti tablica množenja. Naravno, sve se može sporije, teže i s greškama! Ali…

Evo tablice množenja. Ponoviti.

I još jedna, ljepša:

A kojih su se još lukavih trikova s ​​računanjem dosjetili lijeni matematičari? Ispravno - dizanje broja na potenciju.

Dizanje broja na potenciju

Ako trebate pomnožiti broj sam sa sobom pet puta, onda matematičari kažu da taj broj trebate podići na petu potenciju. Na primjer, . Matematičari se sjećaju da je dva na petu potenciju. I takve probleme rješavaju u mislima - brže, lakše i bez greške.

Da biste to učinili, trebate samo zapamtite što je označeno bojom u tablici potencija brojeva. Vjerujte, to će vam znatno olakšati život.

Usput, zašto se zove drugi stupanj kvadrat brojevi, a treći kocka? Što to znači? Vrlo dobro pitanje. Sada ćete imati i kvadrate i kocke.

Primjer iz stvarnog života #1

Počnimo s kvadratom ili drugom potencijom broja.

Zamislite kvadratni bazen dimenzija metar po metar. Bazen je u vašem dvorištu. Vruće je i stvarno želim plivati. Ali ... bazen bez dna! Potrebno je obložiti dno bazena pločama. Koliko pločica trebate? Da biste to odredili, morate znati površinu dna bazena.

Jednostavno možete izbrojati bodenjem prsta da se dno bazena sastoji od kockica metar po metar. Ako su vaše pločice metar po metar, trebat će vam komadi. Lako je... Ali gdje si vidio takvu pločicu? Pločica će prije biti cm po cm, a onda će vas mučiti "brojenje s prstom". Zatim morate množiti. Dakle, na jednu stranu dna bazena postavit ćemo pločice (komade), a na drugu također pločice. Množenjem s, dobivate pločice ().

Jeste li primijetili da smo isti broj pomnožili samim sobom kako bismo odredili površinu dna bazena? Što to znači? Budući da se isti broj množi, možemo koristiti tehniku ​​potenciranja. (Naravno, kada imate samo dva broja, još uvijek ih trebate pomnožiti ili dići na potenciju. Ali ako ih imate puno, onda je dizanje na potenciju puno lakše, a također ima i manje grešaka u izračunima .Za ispit je to vrlo važno).
Dakle, trideset do drugog stupnja bit će (). Ili možete reći da će trideset na kvadrat biti. Drugim riječima, druga potencija broja uvijek se može prikazati kao kvadrat. I obrnuto, ako vidite kvadrat, to je UVIJEK druga potencija nekog broja. Kvadrat je slika druge potencije broja.

Primjer iz stvarnog života #2

Evo zadatak za vas, izbrojte koliko je polja na šahovskoj ploči koristeći polje broja ... S jedne strane ćelija i s druge također. Da biste prebrojali njihov broj, morate pomnožiti osam s osam, ili ... ako primijetite da je šahovska ploča kvadrat sa stranicom, onda možete kvadratirati osam. Nabavite ćelije. () Pa?

Primjer iz stvarnog života #3

Sada kocka ili treća potencija broja. Isti bazen. Ali sada morate saznati koliko će se vode morati uliti u ovaj bazen. Morate izračunati volumen. (Usput, volumeni i tekućine mjere se u kubičnim metrima. Neočekivano, zar ne?) Nacrtajte bazen: dno veličine jedan metar i dubine jedan metar i pokušajte izračunati koliko će kockica dimenzija metar sa metar ući u vaš bazen.

Samo uperi prst i broji! Jedan, dva, tri, četiri... dvadeset i dva, dvadeset i tri... Koliko je ispalo? Niste se izgubili? Je li teško brojati prstom? Tako da! Uzmite primjer od matematičara. Oni su lijeni pa su primijetili da za izračunavanje volumena bazena treba pomnožiti njegovu dužinu, širinu i visinu jedno s drugim. U našem slučaju, volumen bazena bit će jednak kockama ... Lakše, zar ne?

Sada zamislite koliko su matematičari lijeni i lukavi ako to čine previše lakim. Sve svedeno na jednu akciju. Primijetili su da su dužina, širina i visina jednake i da se isti broj množi sam sa sobom... A što to znači? To znači da možete koristiti diplomu. Dakle, ono što ste jednom prstom izbrojali, oni učine jednom radnjom: tri u kocki je jednako. Napisano je ovako:

Ostaci samo zapamtite tablicu stupnjeva. Osim, naravno, ako niste lijeni i lukavi poput matematičara. Ako volite naporno raditi i griješiti, možete nastaviti brojati prstom.

Pa da vas konačno uvjerimo da su diplome izmislili klošari i lukavci da rješavaju svoje životne probleme, a ne da vama stvaraju probleme, evo još par primjera iz života.

Primjer iz stvarnog života #4

Imate milijun rubalja. Na početku svake godine za svaki milijun zaradite još jedan milijun. Odnosno, svaki se vaš milijun na početku svake godine udvostruči. Koliko ćete novca imati za godine? Ako sada sjedite i “brojite s prstom”, onda ste jako radišna osoba i .. glupa. Ali najvjerojatnije ćete dati odgovor za nekoliko sekundi, jer ste pametni! Dakle, prve godine - dva puta dva ... druge godine - što se dogodilo, još dvije, treće godine ... Stop! Primijetili ste da se broj jednom množi sam sa sobom. Dakle, dva na petu potenciju je milijun! Sada zamislite da imate konkurenciju i onaj tko brže računa dobit će te milijune... Isplati li se pamtiti stupnjeve brojeva, što mislite?

Primjer iz stvarnog života #5

Imaš milijun. Na početku svake godine zaradite dva više za svaki milijun. super je zar ne? Svaki milijun se utrostručuje. Koliko ćete novca imati za godinu dana? Ajmo računati. Prva godina - pomnoži s, pa rezultat s još jednim ... Već je dosadno, jer si već sve shvatio: tri se množi sa samim sobom puta. Dakle, četvrta potencija je milijun. Samo trebate zapamtiti da je tri na četvrtu potenciju ili.

Sada znate da ćete dizanjem broja na potenciju znatno olakšati svoj život. Pogledajmo dalje što možete učiniti s diplomama i što trebate znati o njima.

Pojmovi i pojmovi ... da ne bude zabune

Dakle, prvo definirajmo pojmove. Što misliš, što je eksponent? Vrlo je jednostavno - ovo je broj koji je "na vrhu" snage broja. Nije znanstveno, ali jasno i lako za pamćenje ...

Pa, u isto vrijeme, što takva baza stupnja? Još jednostavniji je broj koji je na dnu, u bazi.

Evo slike da budete sigurni.

Pa, općenito, radi generalizacije i boljeg pamćenja ... Stupanj s bazom "" i indikatorom "" čita se kao "na stupanj" i piše se na sljedeći način:

Potencija broja s prirodnim eksponentom

Vjerojatno ste već pogodili: jer je eksponent prirodan broj. Da, ali što je prirodni broj? Osnovno! Prirodni brojevi su oni koji se koriste pri brojanju prilikom nabrajanja predmeta: jedan, dva, tri... Kada brojimo predmete, ne kažemo: „minus pet“, „minus šest“, „minus sedam“. Ne kažemo ni "jedna trećina" ili "nula zarez pet desetinki". Ovo nisu prirodni brojevi. Što mislite koji su ovi brojevi?

Brojevi poput "minus pet", "minus šest", "minus sedam" odnose se na cijeli brojevi. Općenito, cijeli brojevi uključuju sve prirodne brojeve, brojeve suprotne prirodnim brojevima (tj. uzete s predznakom minus) i brojeve. Nulu je lako razumjeti - ovo je kada nema ničega. A što znače negativni ("minus") brojevi? Ali oni su izmišljeni prvenstveno za označavanje dugova: ako imate stanje na svom telefonu u rubljama, to znači da operateru dugujete rublje.

Svi razlomci su racionalni brojevi. Kako su nastali, što mislite? Jako jednostavno. Prije nekoliko tisuća godina naši su preci otkrili da nemaju dovoljno prirodnih brojeva za mjerenje duljine, težine, površine itd. I smislili su racionalni brojevi… Zanimljivo, zar ne?

Postoje i iracionalni brojevi. Koje su ovo brojke? Ukratko, beskonačni decimalni razlomak. Na primjer, ako opseg kruga podijelite s njegovim promjerom, tada ćete dobiti iracionalan broj.

Sažetak:

Definirajmo pojam stupnja, čiji je eksponent prirodni broj (to jest, cijeli i pozitivan).

1. Bilo koji broj na prvu potenciju jednak je sebi:
2. Kvadrirati broj znači pomnožiti ga samim sobom:
3. Kockati broj znači pomnožiti ga samim sobom tri puta:

Definicija. Povećati broj na prirodni stepen znači pomnožiti broj samim sobom puta:
.

Svojstva stupnja

Odakle ta svojstva? Sad ću ti pokazati.

Da vidimo što je i ?

Po definiciji:

Koliko je ukupno množitelja?

Vrlo je jednostavno: dodali smo faktore faktorima, a rezultat su faktori.

Ali po definiciji, ovo je stupanj broja s eksponentom, to jest: , koji je trebalo dokazati.

Primjer: Pojednostavite izraz.

Riješenje:

Primjer: Pojednostavite izraz.

Riješenje: Važno je napomenuti da u našem pravilu nužno mora biti isti razlog!
Stoga kombiniramo stupnjeve s bazom, ali ostajemo zasebni faktor:

samo za proizvode moći!

Ni pod kojim okolnostima to ne biste smjeli napisati.

2. odnosno -tu potenciju broja

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stupnja:

Ispostavilo se da se izraz množi sam sa sobom jednom, odnosno, prema definiciji, ovo je ti stepen broja:

Zapravo, to se može nazvati "stavljanje indikatora u zagrade". Ali ovo nikada ne možete učiniti u potpunosti:

Prisjetimo se formule za skraćeno množenje: koliko smo puta htjeli napisati?

Ali to zapravo nije istina.

Stupanj s negativnom bazom

Do ove točke samo smo raspravljali o tome što bi eksponent trebao biti.

Ali što bi trebala biti osnova?

U stupnjevima od prirodni pokazatelj osnova može biti bilo koji broj. Doista, možemo pomnožiti bilo koji broj jedan s drugim, bez obzira jesu li pozitivni, negativni ili parni.

Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, hoće li broj biti pozitivan ili negativan? ALI? ? S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva međusobno pomnožimo, rezultat će biti pozitivan.

Ali one negativne su malo zanimljivije. Uostalom, sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: “minus puta minus daje plus.” Odnosno, ili. Ali ako pomnožimo s, ispada.

Sami odredite koji će predznak imati sljedeći izrazi:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Jeste li uspjeli?

Evo odgovora: U prva četiri primjera, nadam se, sve je jasno? Jednostavno pogledamo bazu i eksponent i primijenimo odgovarajuće pravilo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U primjeru 5), sve također nije tako strašno kao što se čini: nije važno čemu je baza jednaka - stupanj je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan.

Pa, osim kada je baza nula. Baza nije ista, zar ne? Očito ne, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan!

6 primjera iz prakse

Analiza rješenja 6 primjera

Ako ne obratimo pozornost na osmi stupanj, što vidimo ovdje? Pogledajmo program za 7. razred. Dakle, sjećaš se? Ovo je skraćena formula množenja, odnosno razlika kvadrata! Dobivamo:

Pažljivo gledamo nazivnik. Izgleda kao jedan od faktora brojnika, ali što nije u redu? Pogrešan redoslijed pojmova. Kad bi se zamijenili, moglo bi vrijediti pravilo.

Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo jednostavno: tu nam pomaže parni stupanj nazivnika.

Pojmovi su magično promijenili mjesta. Ovaj "fenomen" vrijedi za svaki izraz u jednakoj mjeri: možemo slobodno mijenjati znakove u zagradama.

Ali važno je zapamtiti: svi se znakovi mijenjaju u isto vrijeme!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

cijeli imenujemo prirodne brojeve, njihove suprotnosti (to jest, uzete sa znakom "") i broj.

pozitivan cijeli broj, i ne razlikuje se od prirodnog, tada sve izgleda točno kao u prethodnom odjeljku.

Sada pogledajmo nove slučajeve. Počnimo s pokazateljem jednakim.

Svaki broj na nultu potenciju jednak je jedan:

Kao i uvijek, pitamo se: zašto je to tako?

Razmotrite malo snage s bazom. Uzmite, na primjer, i pomnožite sa:

Dakle, pomnožili smo broj sa, i dobili isto kao što je bilo -. S kojim brojem treba pomnožiti da se ništa ne promijeni? Tako je, na. Sredstva.

Isto možemo učiniti s proizvoljnim brojem:

Ponovimo pravilo:

Svaki broj na nultu potenciju jednak je jedan.

Ali postoje iznimke od mnogih pravila. I ovdje je također tu - ovo je broj (kao baza).

S jedne strane, mora biti jednak bilo kojem stupnju - koliko god nulu množili sa samom sobom, svejedno ćete dobiti nulu, to je jasno. Ali s druge strane, kao i svaki broj na nulti stupanj, mora biti jednak. Dakle, što je istina o ovome? Matematičari su se odlučili ne miješati i odbili su podići nulu na nultu potenciju. Odnosno, sada ne samo da možemo dijeliti s nulom, već i podići na nultu potenciju.

Idemo dalje. Osim prirodnih brojeva i brojeva, cijeli brojevi uključuju i negativne brojeve. Da bismo razumjeli što je negativni stupanj, učinimo isto kao prošli put: pomnožimo neki normalan broj s istim u negativnom stupnju:

Odavde je već lako izraziti željeno:

Sada proširujemo dobiveno pravilo na proizvoljan stupanj:

Dakle, formulirajmo pravilo:

Broj na negativnu potenciju obrnut je od istog broja na pozitivnu potenciju. Ali u isto vrijeme baza ne može biti nula:(jer je nemoguće podijeliti).

Ukratko:

I. Izraz nije definiran u slučaju. Ako tada.

II. Bilo koji broj na nultu potenciju jednak je jedan: .

III. Broj koji nije jednak nuli na negativnu potenciju je obrnut od istog broja na pozitivnu potenciju: .

Zadaci za samostalno rješavanje:

Pa, kao i obično, primjeri za neovisno rješenje:

Analiza zadataka za samostalno rješavanje:

Znam, znam, brojke su strašne, ali na ispitu morate biti spremni na sve! Riješite ove primjere ili analizirajte njihovo rješenje ako ga niste mogli riješiti i naučit ćete kako se s njima lako nositi na ispitu!

Nastavimo širiti raspon brojeva "prikladnih" kao eksponent.

Sada razmislite racionalni brojevi. Koji se brojevi nazivaju racionalnim?

Odgovor: sve što se može predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi, štoviše.

Da shvatim što jest "frakcijski stupanj" Razmotrimo razlomak:

Podignimo obje strane jednadžbe na potenciju:

Sada zapamtite pravilo "stupanj u stupanj":

Koji se broj mora podići na potenciju da bi se dobio?

Ova formulacija je definicija korijena th stupnja.

Dopustite da vas podsjetim: korijen th potencije broja () je broj koji je, kada se podigne na potenciju, jednak.

To jest, korijen th stupnja je inverzna operacija stepenovanja: .

Ispostavilo se da. Očito, ovaj poseban slučaj može se proširiti: .

Sada dodajte brojnik: što je to? Odgovor je lako dobiti s pravilom snage na snagu:

Ali može li baza biti bilo koji broj? Uostalom, korijen se ne može izvući iz svih brojeva.

nijedan!

Zapamtite pravilo: svaki broj podignut na parnu potenciju je pozitivan broj. Odnosno, nemoguće je izvući korijene parnog stupnja iz negativnih brojeva!

A to znači da se takvi brojevi ne mogu podići na razlomak s parnim nazivnikom, odnosno izraz nema smisla.

Što je s izražavanjem?

Ali tu nastaje problem.

Broj se može prikazati kao drugi, reducirani razlomci, na primjer, ili.

I ispada da postoji, ali ne postoji, a to su samo dva različita zapisa istog broja.

Ili drugi primjer: jednom, onda to možete zapisati. Ali čim indikator napišemo na drugačiji način, opet imamo problema: (odnosno, dobili smo potpuno drugačiji rezultat!).

Da biste izbjegli takve paradokse, razmislite samo pozitivni osnovni eksponent s razlomačkim eksponentom.

Pa ako:

• - prirodni broj;
• je cijeli broj;

Primjeri:

Potencijali s racionalnim eksponentom vrlo su korisni za transformiranje izraza s korijenima, na primjer:

5 primjera iz prakse

Analiza 5 primjera za obuku

E, sad - najteže. Sada ćemo analizirati stupanj s iracionalnim eksponentom.

Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stupnjeve s racionalnim eksponentom, s izuzetkom

Doista, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (to jest, iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Proučavajući stupnjeve s prirodnim, cjelobrojnim i racionalnim pokazateljem, svaki put smo izmišljali određenu “sliku”, “analogiju” ili opis poznatijim terminima.

Na primjer, prirodni eksponent je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta;

...nulta snaga- ovo je, takoreći, broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još se nije počeo množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - stoga je rezultat samo određeni "prazan broj" , naime broj;

...negativni cijeli broj eksponent- kao da se dogodio određeni "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.

Inače, znanost često koristi stupanj sa složenim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj.

Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imat ćete priliku shvatiti ove nove koncepte na institutu.

GDJE SMO SIGURNI DA ĆETE OTIĆI! (ako naučiš rješavati takve primjere :))

Na primjer:

Odlučite sami:

Analiza rješenja:

1. Počnimo s već uobičajenim pravilom za podizanje stupnja na stupanj:

Sada pogledajte rezultat. Podsjeća li vas on na nešto? Podsjećamo na formulu za skraćeno množenje razlike kvadrata:

U ovom slučaju,

Ispostavilo se da:

Odgovor: .

2. Razlomke u eksponentima dovodimo u isti oblik: ili oba decimalna ili oba obična. Dobivamo, na primjer:

Odgovor: 16

3. Ništa posebno, primjenjujemo uobičajena svojstva stupnjeva:

NAPREDNA RAZINA

Definicija stupnja

Stupanj je izraz oblika: , gdje je:

• — baza diplome;
• - eksponent.

Stupanj s prirodnim eksponentom (n = 1, 2, 3,...)

Dizanje broja na prirodnu potenciju n znači množenje broja samim sobom puta:

Potencija s cjelobrojnim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Ako je eksponent pozitivan cijeli broj broj:

erekcija na nultu snagu:

Izraz je neodređen, jer je, s jedne strane, na bilo koji stupanj ovo, a s druge strane, bilo koji broj na ti stupanj je ovo.

Ako je eksponent cijeli broj negativan broj:

(jer je nemoguće podijeliti).

Još jednom o nulama: izraz nije definiran u slučaju. Ako tada.

Primjeri:

Stupanj s racionalnim eksponentom

• - prirodni broj;
• je cijeli broj;

Primjeri:

Svojstva stupnja

Da bismo lakše riješili probleme, pokušajmo razumjeti: odakle dolaze ta svojstva? Dokažimo im.

Pogledajmo: što je i?

Po definiciji:

Dakle, na desnoj strani ovog izraza dobiva se sljedeći produkt:

Ali po definiciji, ovo je potencija broja s eksponentom, to jest:

Q.E.D.

Primjer : Pojednostavite izraz.

Riješenje : .

Primjer : Pojednostavite izraz.

Riješenje : Važno je napomenuti da u našem pravilu nužno moraju imati istu osnovu. Stoga kombiniramo stupnjeve s bazom, ali ostajemo zasebni faktor:

Još jedna važna napomena: ovo pravilo - samo za proizvode moći!

Ni pod kojim uvjetima to ne bih smio napisati.

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stupnja:

Preuredimo to ovako:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom jednom, odnosno, prema definiciji, ovo je -ta snaga broja:

Zapravo, to se može nazvati "stavljanje indikatora u zagrade". Ali ovo nikada ne možete učiniti u potpunosti:!

Prisjetimo se formule za skraćeno množenje: koliko smo puta htjeli napisati? Ali to zapravo nije istina.

Snaga s negativnom bazom.

Do ove točke razgovarali smo samo o onome što bi trebalo biti indeks stupanj. Ali što bi trebala biti osnova? U stupnjevima od prirodni indikator osnova može biti bilo koji broj .

Doista, možemo pomnožiti bilo koji broj jedan s drugim, bez obzira jesu li pozitivni, negativni ili parni. Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati stupnjeve pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, hoće li broj biti pozitivan ili negativan? ALI? ?

S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva međusobno pomnožimo, rezultat će biti pozitivan.

Ali one negativne su malo zanimljivije. Uostalom, sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: “minus puta minus daje plus.” Odnosno, ili. Ali ako pomnožimo s (), dobit ćemo -.

I tako u nedogled: svakim sljedećim množenjem predznak će se mijenjati. Možete formulirati ova jednostavna pravila:

1. čak stupanj, - broj pozitivan.
2. Negativan broj podignut na neparan stupanj, - broj negativan.
3. Pozitivan broj na bilo koju potenciju je pozitivan broj.
4. Nula na bilo koju potenciju jednaka je nuli.

Sami odredite koji će predznak imati sljedeći izrazi:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Jeste li uspjeli? Evo odgovora:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Jednostavno pogledamo bazu i eksponent i primijenimo odgovarajuće pravilo.

U primjeru 5), sve također nije tako strašno kao što se čini: nije važno čemu je baza jednaka - stupanj je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan. Pa, osim kada je baza nula. Baza nije ista, zar ne? Očito ne, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan. Ovdje morate saznati što je manje: ili? Ako se toga sjetite, postaje jasno da, što znači da je baza manja od nule. Odnosno, primjenjujemo pravilo 2: rezultat će biti negativan.

I opet koristimo definiciju stupnja:

Sve je kao i obično - zapišemo definiciju stupnjeva i podijelimo ih jedne na druge, podijelimo ih u parove i dobijemo:

Prije analize posljednjeg pravila, riješimo nekoliko primjera.

Izračunajte vrijednosti izraza:

Rješenja :

Ako ne obratimo pozornost na osmi stupanj, što vidimo ovdje? Pogledajmo program za 7. razred. Dakle, sjećaš se? Ovo je skraćena formula množenja, odnosno razlika kvadrata!

Dobivamo:

Pažljivo gledamo nazivnik. Izgleda kao jedan od faktora brojnika, ali što nije u redu? Pogrešan redoslijed pojmova. Da su obrnute, moglo bi se primijeniti pravilo 3. Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo jednostavno: tu nam pomaže parni stupanj nazivnika.

Ako to pomnožite s, ništa se ne mijenja, zar ne? Ali sada to izgleda ovako:

Pojmovi su magično promijenili mjesta. Ovaj "fenomen" vrijedi za svaki izraz u jednakoj mjeri: možemo slobodno mijenjati znakove u zagradama. Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme! To se ne može nadomjestiti promjenom samo jednog nama nepoželjnog minusa!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Sada zadnje pravilo:

Kako ćemo to dokazati? Naravno, kao i obično: proširimo pojam diplome i pojednostavnimo:

E, sad otvorimo zagrade. Koliko će slova biti? puta množiteljima - kako to izgleda? Ovo nije ništa drugo nego definicija operacije množenje: pokazalo se da ukupno ima množitelja. To jest, to je, po definiciji, potencija broja s eksponentom:

Primjer:

Stupanj s iracionalnim eksponentom

Uz podatke o stupnjevima za prosječnu razinu, analizirat ćemo stupanj s iracionalnim pokazateljem. Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stupanj s racionalnim eksponentom, s izuzetkom - nakon svega, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (tj. iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Proučavajući stupnjeve s prirodnim, cjelobrojnim i racionalnim pokazateljem, svaki put smo izmišljali određenu “sliku”, “analogiju” ili opis poznatijim terminima. Na primjer, prirodni eksponent je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta; broj na nulti stupanj je takoreći jedan broj pomnožen sam sa sobom, odnosno još se nije počeo množiti, što znači da se sam broj još nije ni pojavio - dakle, rezultat je samo određena “priprava broja”, naime broja; stupanj s cjelobrojnim negativnim pokazateljem - kao da se dogodio određeni "obrnuti proces", odnosno broj nije pomnožen sam sa sobom, već podijeljen.

Iznimno je teško zamisliti stupanj s iracionalnim eksponentom (kao što je teško zamisliti 4-dimenzionalni prostor). Umjesto toga, to je čisto matematički objekt koji su matematičari stvorili kako bi proširili koncept stupnja na cijeli prostor brojeva.

Inače, znanost često koristi stupanj sa složenim eksponentom, odnosno eksponent nije čak ni realan broj. Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama; imat ćete priliku shvatiti ove nove koncepte na institutu.

Dakle, što ćemo učiniti ako vidimo iracionalni eksponent? Dajemo sve od sebe da ga se riješimo! :)

Na primjer:

Odlučite sami:

1)

2)

3)

odgovori:

1. Zapamtite formulu razlike kvadrata. Odgovor: .
2. Razlomke dovodimo u isti oblik: ili oba decimala, ili oba obična. Dobivamo, na primjer: .
3. Ništa posebno, primjenjujemo uobičajena svojstva stupnjeva:

SAŽETAK ODJELJKA I OSNOVNA FORMULA

Stupanj naziva se izraz oblika: , gdje je:

Stupanj s cjelobrojnim eksponentom

stupanj, čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli i pozitivan).

Stupanj s racionalnim eksponentom

stupanj, čiji su pokazatelj negativni i razlomački brojevi.

Stupanj s iracionalnim eksponentom

eksponent čiji je eksponent beskonačni decimalni razlomak ili korijen.

Svojstva stupnja

Značajke stupnjeva.

• Negativan broj podignut na čak stupanj, - broj pozitivan.
• Negativan broj podignut na neparan stupanj, - broj negativan.
• Pozitivan broj na bilo koju potenciju je pozitivan broj.
• Nula je jednaka bilo kojoj potenciji.
• Svaki broj na nultu potenciju je jednak.

SADA IMATE RIJEČ...

Kako vam se sviđa članak? Javite mi u komentarima ispod je li vam se svidjelo ili ne.

Recite nam nešto o svom iskustvu sa svojstvima snage.

Možda imate pitanja. Ili prijedloge.

Pišite u komentarima.

I sretno na ispitima!

Eksponent se koristi za lakše pisanje operacije množenja broja samim sobom. Na primjer, umjesto pisanja, možete pisati 4 5 (\displaystyle 4^(5))(objašnjenje takvog prijelaza dano je u prvom odjeljku ovog članka). Potencijali olakšavaju pisanje dugih ili složenih izraza ili jednadžbi; također, potencije se lako dodaju i oduzimaju, što rezultira pojednostavljenjem izraza ili jednadžbe (na primjer, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Bilješka: ako trebate riješiti eksponencijalnu jednadžbu (u takvoj jednadžbi nepoznanica je u eksponentu), pročitajte.

Koraci

Rješavanje jednostavnih problema s potencijama

Pomnožite bazu eksponenta samu sobom broj puta jednak eksponentu. Ako trebate ručno riješiti problem s eksponentima, prepišite eksponent kao operaciju množenja, gdje se baza eksponenta množi sama sa sobom. Na primjer, s obzirom na diplomu 3 4 (\displaystyle 3^(4)). U ovom slučaju, baza stupnja 3 mora se pomnožiti sama sa sobom 4 puta: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Evo drugih primjera:

Prvo pomnožite prva dva broja. Na primjer, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Ne brinite - postupak izračuna nije tako kompliciran kao što se čini na prvi pogled. Prvo pomnožite prve dvije četvorke, a zatim ih zamijenite rezultatom. Kao ovo:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Pomnožite rezultat (16 u našem primjeru) sa sljedećim brojem. Svaki sljedeći rezultat proporcionalno će se povećavati. U našem primjeru pomnožite 16 s 4. Ovako:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Nastavite množiti rezultat množenja prva dva broja sa sljedećim brojem dok ne dobijete konačni odgovor. Da biste to učinili, pomnožite prva dva broja, a zatim rezultat pomnožite sa sljedećim brojem u nizu. Ova metoda vrijedi za bilo koju diplomu. U našem primjeru trebali biste dobiti: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Riješite sljedeće probleme. Provjerite svoj odgovor kalkulatorom.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Na kalkulatoru potražite ključ s oznakom "exp" ili " x n (\displaystyle x^(n))", ili "^". Ovom tipkom podižete broj na potenciju. Praktično je nemoguće ručno izračunati stupanj s velikim eksponentom (na primjer, stupanj 9 15 (\displaystyle 9^(15))), ali kalkulator se lako može nositi s ovim zadatkom. U sustavu Windows 7 standardni kalkulator može se prebaciti u inženjerski način rada; da biste to učinili, kliknite "Prikaz" -\u003e "Inženjering". Za prebacivanje u normalni način rada kliknite "Prikaz" -\u003e "Normalno".

   • Provjerite primljeni odgovor pomoću tražilice (Google ili Yandex). Pomoću tipke "^" na tipkovnici računala unesite izraz u tražilicu koja će odmah prikazati točan odgovor (i eventualno predložiti slične izraze za proučavanje).

   Zbrajanje, oduzimanje, množenje potencija

   1. Potencije možete zbrajati i oduzimati samo ako imaju istu bazu. Ako trebate zbrajati potencije s istim bazama i eksponentima, tada operaciju zbrajanja možete zamijeniti operacijom množenja. Na primjer, s obzirom na izraz 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Upamtite da stupanj 4 5 (\displaystyle 4^(5)) može se predstaviti kao 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); Tako, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(gdje je 1 +1 =2). Odnosno, izbrojite broj sličnih stupnjeva, a zatim pomnožite takav stupanj i ovaj broj. U našem primjeru, podignite 4 na petu potenciju, a zatim pomnožite rezultat s 2. Zapamtite da se operacija zbrajanja može zamijeniti operacijom množenja, na primjer, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Evo drugih primjera:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Pri množenju potencija s istom bazom njihovi se eksponenti zbrajaju (baza se ne mijenja). Na primjer, s obzirom na izraz x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). U ovom slučaju samo trebate dodati indikatore, ostavljajući bazu nepromijenjenom. Na ovaj način, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Evo vizualnog objašnjenja ovog pravila:

      Kod dizanja potencije na potenciju eksponenti se množe. Na primjer, s obzirom na diplomu. Budući da se eksponenti množe, dakle (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Značenje ovog pravila je da umnožavate moć (x 2) (\displaystyle (x^(2))) na sebi pet puta. Kao ovo:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Budući da je baza ista, eksponenti se jednostavno zbrajaju: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Eksponent s negativnim eksponentom treba pretvoriti u razlomak (na inverznu potenciju). Nije važno ako ne znate što je recipročnost. Ako ste dobili diplomu s negativnim eksponentom, npr. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), zapišite ovu potenciju u nazivnik razlomka (stavite 1 u brojnik), a eksponent neka bude pozitivan. U našem primjeru: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Evo drugih primjera:

      Pri dijeljenju potencija s istom bazom oduzimaju se njihovi eksponenti (baza se ne mijenja). Operacija dijeljenja je suprotna operaciji množenja. Na primjer, s obzirom na izraz 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Eksponent u nazivniku oduzmite od eksponenta u brojniku (ne mijenjajte bazu). Na ovaj način, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Stupanj u nazivniku može se napisati na sljedeći način: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Ne zaboravite da je razlomak broj (potencija, izraz) s negativnim eksponentom.

   4. Ispod su neki izrazi koji će vam pomoći da naučite kako riješiti probleme s napajanjem. Gore navedeni izrazi pokrivaju materijal predstavljen u ovom odjeljku. Da biste vidjeli odgovor, samo označite prazan prostor iza znaka jednakosti.

   Rješavanje zadataka s razlomačkim eksponentima

   Stupanj s frakcijskim eksponentom (na primjer, ) pretvara se u operaciju izvlačenja korijena. U našem primjeru: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). Nije važno koji je broj u nazivniku eksponenta razlomka. Na primjer, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4))) je četvrti korijen od "x" x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Ako je eksponent nepravi razlomak, tada se takav eksponent može rastaviti na dvije potencije kako bi se pojednostavilo rješenje problema. U tome nema ništa komplicirano - samo zapamtite pravilo za množenje potencije. Na primjer, s obzirom na diplomu. Pretvorite taj eksponent u korijen čiji je eksponent jednak nazivniku razlomljenog eksponenta, a zatim podignite taj korijen na eksponent jednak brojniku razlomljenog eksponenta. Da biste to učinili, zapamtite to 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). U našem primjeru:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Neki kalkulatori imaju gumb za izračunavanje eksponenata (prvo treba unijeti bazu, zatim pritisnuti gumb, a zatim unijeti eksponent). Označava se kao ^ ili x^y.
   3. Zapamtite da je svaki broj jednak sebi na prvu potenciju, na primjer, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.)Štoviše, svaki broj pomnožen ili podijeljen s jedan jednak je sam sebi, na primjer, 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) i 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Znajte da stupanj 0 0 ne postoji (takav stupanj nema rješenja). Kada pokušate riješiti takav stupanj na kalkulatoru ili na računalu, dobit ćete pogrešku. Ali zapamtite da je bilo koji broj na nulti potenciju jednak 1, na primjer, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. U višoj matematici, koja operira s imaginarnim brojevima: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), gdje i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e je konstanta približno jednaka 2,7; a je proizvoljna konstanta. Dokaz ove jednakosti može se naći u svakom udžbeniku više matematike.

   Upozorenja

   • Kako se eksponent povećava, njegova vrijednost uvelike raste. Stoga, ako vam se odgovor čini krivim, zapravo se može pokazati točnim. To možete provjeriti crtanjem bilo koje eksponencijalne funkcije, kao što je 2 x .