Zašto ne možete podijeliti s nulom? Školski tečaj matematike: zašto je nemoguće podijeliti s nulom u školi.

„Ne možeš dijeliti s nulom!“ – većina učenika ovo pravilo uči napamet, bez pitanja. Sva djeca znaju što je "ne" i što će se dogoditi ako kao odgovor na to upitate: "zašto? Ali zapravo je vrlo zanimljivo i važno znati zašto je to nemoguće.

Stvar je u tome što su četiri aritmetičke operacije - zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje - zapravo nejednake. Matematičari priznaju samo dva od njih kao punopravne - zbrajanje i množenje. Ove operacije i njihova svojstva uključena su u samu definiciju pojma broja. Sve druge radnje izgrađene su na ovaj ili onaj način od ovo dvoje.

Razmotrit ćemo, na primjer, oduzimanje. Što znači 5 - 3? Učenik će na ovo odgovoriti jednostavno: trebate uzeti pet predmeta, oduzeti (ukloniti) tri od njih i vidjeti koliko ih je ostalo. Ali matematičari na ovaj problem gledaju na potpuno drugačiji način. Nema oduzimanja, samo zbrajanja. Stoga pisanje 5 - 3 znači broj koji će, kada se zbroji s brojem 3, dati broj 5. To jest, 5 - 3 je samo skraćeni zapis jednadžbe: x 3 \u003d 5. Nema oduzimanja u ova jednadžba. Postoji samo zadatak - pronaći odgovarajući broj.

Isto je i s množenjem i dijeljenjem. Zapis 8: 4 može se shvatiti kao rezultat podjele osam predmeta na četiri jednake hrpe. Ali u stvarnosti, ovo je samo skraćeni oblik jednadžbe 4 * x = 8.

Tu postaje jasno zašto je nemoguće (ili bolje rečeno nemoguće) dijeliti s nulom. Zapis 5: 0 je skraćenica za 0 * x = 5. To jest, ovaj zadatak je pronaći broj koji će, kada se pomnoži s 0, dati 5. ali znamo da kada se pomnoži s 0, uvijek ispadne 0 ... ovo je inherentno svojstvo nule, strogo govoreći, dio njene definicije.

Jednostavno ne postoji takav broj koji će, kada se pomnoži s 0, dati nešto drugo osim nule. Odnosno, naš problem nema rješenja. (Da, događa se, nema svaki problem rješenje.) Dakle, pisanje 5:0 ne odgovara nijednom određenom broju i jednostavno ne znači ništa, pa stoga nema smisla. Besmislenost ovog unosa ukratko je izražena time da se ne može dijeliti s nulom.

Najpažljiviji čitatelji na ovom će se mjestu sigurno zapitati: je li moguće podijeliti nulu s nulom? Doista, jednadžba 0 * x = 0 je uspješno riješena. Na primjer, možete uzeti x = 0, a onda dobivamo 0 * 0 = 0. Dakle, 0: 0=0? Ali nemojmo žuriti. Pokušajmo uzeti x = 1. dobivamo 0 * 1 = 0. zar ne? Znači 0:0 = 1? Ali na ovaj način možete uzeti bilo koji broj i dobiti 0: 0 = 5, 0: 0 = 317, itd.

Ali ako je bilo koji broj prikladan, onda nemamo razloga odlučiti se za bilo koji od njih. Odnosno, ne možemo reći kojem broju odgovara unos 0: 0. A ako je tako, onda smo prisiljeni priznati da ovaj unos također nema smisla. Ispada da se ni nula ne može podijeliti s nulom. (Postoje slučajevi u matematičkoj analizi kada se zbog dodatnih uvjeta problema može dati prednost jednom od mogućih rješenja jednadžbe 0 * x = 0; u takvim slučajevima matematičari govore o "Otkrivanju nesigurnosti", ali takvi se slučajevi ne pojavljuju u aritmetici. To je takva značajka da postoje operacije dijeljenja, odnosno operacija množenja i broj koji je s njom povezan imaju nulu.

Pa, najpedantniji, čitajući do ove točke, mogu se zapitati: zašto ne možete podijeliti s nulom, ali možete oduzeti nulu? U neku ruku, tu počinje prava matematika. Na njega se može odgovoriti samo upoznavanjem s formalnim matematičkim definicijama numeričkih skupova i operacija nad njima. Nije tako teško, ali se iz nekog razloga ne proučava u školi. Ali na predavanjima iz matematike na fakultetu, prije svega će vas naučiti upravo to.

Ne možete dijeliti s nulom! - većina školaraca ovo pravilo uči napamet, bez pitanja. Sva djeca znaju što je "ne" i što će se dogoditi ako kao odgovor na to upitate: "Zašto?" Ali zapravo je vrlo zanimljivo i važno znati zašto je to nemoguće.
Stvar je u tome što su četiri aritmetičke operacije - zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje - zapravo nejednake. Matematičari priznaju samo dva od njih kao punopravne - zbrajanje i množenje. Ove operacije i njihova svojstva uključena su u samu definiciju pojma broja. Sve druge radnje izgrađene su na ovaj ili onaj način od ovo dvoje.

Razmotrimo, na primjer, oduzimanje. Što znači 5 - 3? Učenik će na ovo odgovoriti jednostavno: trebate uzeti pet predmeta, oduzeti (ukloniti) tri od njih i vidjeti koliko ih je ostalo. Ali matematičari na ovaj problem gledaju na potpuno drugačiji način. Nema oduzimanja, samo zbrajanja. Dakle, pisanje 5 - 3 znači broj koji će, kada se zbroji s brojem 3, dati broj 5. To jest, 5 - 3 je samo skraćeni zapis jednadžbe: x + 3 = 5. Nema oduzimanja u ova jednadžba. Postoji samo zadatak - pronaći odgovarajući broj.

Isto je i s množenjem i dijeljenjem. Zapis 8: 4 može se shvatiti kao rezultat podjele osam predmeta na četiri jednake hrpe. Ali u stvarnosti, ovo je samo skraćeni oblik jednadžbe 4 x = 8.

Tu postaje jasno zašto je nemoguće (ili bolje rečeno nemoguće) dijeliti s nulom. Zapis 5: 0 je skraćenica za 0 x = 5. To jest, ovaj zadatak je pronaći broj koji će, kada se pomnoži s 0, dati 5. Ali znamo da kada se pomnoži s 0, uvijek dobijete 0. Ovo je inherentno svojstvo nule, strogo govoreći, dio njegove definicije.

Jednostavno ne postoji takav broj koji će, kada se pomnoži s 0, dati nešto drugo osim nule. Odnosno, naš problem nema rješenja. (Da, to se događa, nema svaki problem rješenje.) Dakle, pisanje 5:0 ne odgovara nijednom određenom broju i jednostavno ne znači ništa i stoga nema smisla. Besmislenost ovog unosa ukratko je izražena time da se ne može dijeliti s nulom.

Najpažljiviji čitatelji na ovom će se mjestu sigurno zapitati: je li moguće podijeliti nulu s nulom? Doista, jednadžba 0 · x = 0 je uspješno riješena. Na primjer, možemo uzeti x = 0, i tada dobivamo 0 · 0 = 0. Dakle, 0: 0=0? Ali nemojmo žuriti. Pokušajmo uzeti x = 1. Dobit ćemo 0 1 = 0. Je li tako? Znači 0:0 = 1? Ali na ovaj način možete uzeti bilo koji broj i dobiti 0: 0 = 5, 0: 0 = 317, itd.
Ali ako je bilo koji broj prikladan, onda nemamo razloga odlučiti se za bilo koji od njih. Odnosno, ne možemo reći kojem broju odgovara unos 0: 0. A ako je tako, onda smo prisiljeni priznati da ovaj unos također nema smisla. Ispada da se ni nula ne može podijeliti s nulom. (U kalkulaciji postoje slučajevi kada se zbog dodatnih uvjeta problema može dati prednost jednom od mogućih rješenja jednadžbe 0 x = 0; u takvim slučajevima matematičari govore o "otkrivanju nesigurnosti", ali takvi slučajevi ne pojavljuju se u aritmetici.)
Ovo je značajka operacije dijeljenja. Da budemo precizniji, operacija množenja i s njom povezan broj imaju nulu.

Pa, najpedantniji, čitajući do ove točke, mogu se zapitati: zašto ne možete podijeliti s nulom, ali možete oduzeti nulu? U neku ruku, tu počinje prava matematika. Na njega se može odgovoriti samo upoznavanjem s formalnim matematičkim definicijama numeričkih skupova i operacija nad njima. Nije tako teško, ali se iz nekog razloga ne proučava u školi. Ali na predavanjima iz matematike na sveučilištu, to će vas prvenstveno učiti.

Dijeljenje s 0 postavlja mnoga pitanja kod onih koji su matematiku studirali i s njom imali dodira tek u fazi školskog obrazovanja. U trenutku kada dijete počne proučavati operacije množenja i dijeljenja u cjelini, stvar se približava i dijeljenju s nulom. U ovom trenutku učiteljica najčešće kaže da je nemoguće dijeliti s nulom i ... to je to.

Objašnjenja su u ovoj fazi gotova. Nemoguće je, a iako pukneš

Pred studentom se postavlja dilema - vjerovati učiteljima na riječ i jednostavno napisati da nema odgovora u primjeru u kojem se pojavljuje takva operacija ili pokušati razumjeti ovo pitanje. No, većina roditelja koji su davno završili školu i sva znanja koja su im tijekom školovanja nabijena (osim onih koja su im barem nekako koristila u životu) sigurno su bacili u smeće mozga, također ne može pomoći u ovoj stvari. . A izlaz je relativno jednostavan. Dobro je ako učitelj pristupi pitanju zašto je nemoguće podijeliti s nulom s kreativne strane. Da biste to učinili, bit će dovoljno izvršiti uobičajene operacije uz vizualnu demonstraciju procesa. O čemu pričamo?

Demonstracija različitih operacija dijeljenja uz pomoć radnji razumljivih svakoj osobi

Možete uzeti nekoliko jabuka, recimo šest komada, i objasniti da je 6 broj koji treba podijeliti, odnosno prema proučenim matematičkim terminima to je djeljivo.

Učitelj stoji kraj ploče, a na stolu ispred njega je 6 jabuka. Zatim pozove dvoje ljudi iz razreda i podijeli im te jabuke na jednake dijelove. Odnosno, dvije osobe u ovom slučaju predstavljaju djelitelj - broj na koji treba podijeliti dividendu. Učitelj daje svakom učeniku tri jabuke. Odnosno, proces podjele događa se točno kada je učitelj predao jabuke učenicima u ruke. A tri jabuke u rukama svakog djeteta su kvocijent dijeljenja.

Dijeljenje nule brojem - demonstracija nastanka procesa

Pitanje zašto je nemoguće podijeliti s nulom proizlazi iz obrnute situacije - zašto je moguće podijeliti nulu s brojem? Sada smo pametni i znamo da se svaki broj može podijeliti s drugim, a podijelit će se cijeli ili će se pojaviti razlomak, ili čak negativni predznak, korijen ili Pi - sve je moguće. Ali evo misterija s nulom i to je to.

Što se događa kada nulu podijelite s brojem?

Kako bismo objasnili da ne možete dijeliti s nulom, prvo shvatimo što se događa kada se 0 podijeli s određenim brojem. Isti učitelj stoji kraj ploče i nema ništa na stolu. Pred njim je praznina, nula. Kada mu učenici priđu i ispruže ruke kako bi primili svoje osobno, učitelj to ništa ne podijeli s njim, jednostavnim dodirom njihovih dlanova. Odnosno, imao je jedno veliko ništa, a ovo ništa je dao dvojici učenika. Dakle, postaje jasno da se odvija dijeljenje nule s bilo kojim brojem, jer je došlo do procesa prijenosa. S jedinom razlikom što s nultim rezultatom.

Slučaj treći

Već treba izvesti sličnu, treću situaciju kako bi se pokazalo zašto je nemoguće dijeliti s nulom. Učitelj u rukama ili na stolu ispred sebe ponovno ima istih šest jabuka kao u prvoj situaciji. Ali dijelimo s nulom, jer mu nitko ne dolazi po jabuke.

Odnosno, ona dva studenta koja su se pojavila ranije u prvoj situaciji predstavljala su broj 2. Za predstavljanje broja 0 ispada da se nitko ne bi trebao pojaviti. Kao što se sjećamo, upravo je prijenos jabuka iz ruku učitelja u ruke učenika proces podjele. Ali sada nema učenika, i proces podjele se ne događa nikome. Zato je nemoguće podijeliti s nulom. Za djecu na školskoj razini ovo je elementarno objašnjenje.

Jednostavno i lako za objasniti. A onda neka to učine i nastavnici zavoda

Već nakon ulaska u visokoškolsku ustanovu i proučavanja koncepta granice, na primjer, uklanja se pitanje zašto je nemoguće podijeliti s nulom, jer se ispostavlja da se to može učiniti. Dijeljenjem nečega s nulom, rezultat je beskonačnost, neizvjesnost.

Beskonačna dimenzija takvog rezultata još nije u potpunosti utvrđena, a osoba koja nema posebno matematičko obrazovanje ne može razumjeti zašto je to potrebno, koji su ciljevi bili pri rješavanju ove operacije i što ona općenito daje. Ali za učenike školske dobi gornje objašnjenje sasvim je dovoljno da zadovolji njihovu želju da shvate zašto je još uvijek nemoguće dijeliti s nulom - ne samo izgovorite i stavite djecu ispred činjenice, već im dajte zanimljivo i zabavno objašnjenje.

Zašto ne možete dijeliti s nulom? "Ne možete dijeliti s nulom!" - većina školaraca ovo pravilo uči napamet, bez pitanja. Sva djeca znaju što je "ne" i što će se dogoditi ako kao odgovor na to upitate: "Zašto?" Ali zapravo je vrlo zanimljivo i važno znati zašto je to nemoguće. Stvar je u tome što su četiri aritmetičke operacije - zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje - zapravo nejednake. Matematičari priznaju samo dva od njih kao punopravne - zbrajanje i množenje. Ove operacije i njihova svojstva uključena su u samu definiciju pojma broja. Sve druge radnje izgrađene su na ovaj ili onaj način od ovo dvoje. Razmotrimo, na primjer, oduzimanje. Što znači 5 - 3? Učenik će na ovo odgovoriti jednostavno: trebate uzeti pet predmeta, oduzeti (ukloniti) tri od njih i vidjeti koliko ih je ostalo. Ali matematičari na ovaj problem gledaju na potpuno drugačiji način. Nema oduzimanja, samo zbrajanja. Dakle, pisanje 5 - 3 znači broj koji će, kada se zbroji s brojem 3, dati broj 5. To jest, 5 - 3 je samo skraćeni zapis jednadžbe: x + 3 = 5. Nema oduzimanja u ova jednadžba. Postoji samo zadatak - pronaći odgovarajući broj.Isto je i s množenjem i dijeljenjem. Zapis 8: 4 može se shvatiti kao rezultat podjele osam predmeta na četiri jednake hrpe. Ali u stvarnosti, ovo je samo skraćeni oblik jednadžbe 4 x = 8.Tu postaje jasno zašto je nemoguće (ili bolje rečeno nemoguće) dijeliti s nulom. Zapis 5: 0 je skraćenica za 0 x = 5. To jest, ovaj zadatak je pronaći broj koji će, kada se pomnoži s 0, dati 5. Ali znamo da kada se pomnoži s 0, uvijek dobijete 0. Ovo je inherentno svojstvo nule, strogo govoreći, dio njegove definicije.Jednostavno ne postoji takav broj koji će, kada se pomnoži s 0, dati nešto drugo osim nule. Odnosno, naš problem nema rješenja. (Da, to se događa, nema svaki problem rješenje.) Dakle, pisanje 5:0 ne odgovara nijednom određenom broju i jednostavno ne znači ništa i stoga nema smisla. Besmislenost ovog unosa ukratko je izražena time da se ne može dijeliti s nulom.Najpažljiviji čitatelji na ovom će se mjestu sigurno zapitati: je li moguće podijeliti nulu s nulom? Doista, jednadžba 0 · x = 0 je uspješno riješena. Na primjer, možemo uzeti x = 0, i tada dobivamo 0 · 0 = 0. Dakle, 0: 0=0? Ali nemojmo žuriti. Pokušajmo uzeti x = 1. Dobit ćemo 0 1 = 0. Je li tako? Znači 0:0 = 1? Ali na ovaj način možete uzeti bilo koji broj i dobiti 0: 0 = 5, 0: 0 = 317, itd.Ali ako je bilo koji broj prikladan, onda nemamo razloga odlučiti se za bilo koji od njih. Odnosno, ne možemo reći kojem broju odgovara unos 0: 0. A ako je tako, onda smo prisiljeni priznati da ovaj unos također nema smisla. Ispada da se ni nula ne može podijeliti s nulom. (U kalkulaciji postoje slučajevi kada se zbog dodatnih uvjeta problema može dati prednost jednom od mogućih rješenja jednadžbe 0 x = 0; u takvim slučajevima matematičari govore o "otkrivanju nesigurnosti", ali takvi slučajevi ne pojavljuju se u aritmetici.) Ovo je značajka operacije dijeljenja. Da budemo precizniji, operacija množenja i s njom povezan broj imaju nulu. Pa, najpedantniji, čitajući do ove točke, mogu se zapitati: zašto ne možete podijeliti s nulom, ali možete oduzeti nulu? U neku ruku, tu počinje prava matematika. Na njega se može odgovoriti samo upoznavanjem s formalnim matematičkim definicijama numeričkih skupova i operacija nad njima. Nije tako teško, ali se iz nekog razloga ne proučava u školi. Ali na predavanjima iz matematike na sveučilištu, to će vas prvenstveno učiti.

Svatko ili gotovo svatko iz školskog kurikuluma zna što se ne može učiniti na nulu. Istina, to nam je predstavljeno kao aksiom, kažu, nemoguće je i točka. Ali zašto ne i što će se dogoditi ako pokušate? Nije svaki učitelj u školi u stanju odgovoriti na takvo pitanje.

Pa zašto ne podijeliti s nulom?

Poznato je da je dijeljenje, kao takvo, jedan od četiri osnovna aritmetička načina manipuliranja brojevima. Ostala tri su oduzimanje, zbrajanje, množenje. Međutim, znanstvenici samo dva od njih smatraju punopravnim, pa je stoga prioritet veći. Mi koji smo nakon škole išli studirati na sveučilišta, kao i institute, drugim riječima, na visoko obrazovanje, naučili smo da se u principu može dijeliti s nulom, samo je rezultat beskonačno. Ispada čudno da ako pomnožite s nulom, rezultat postaje ništa, odnosno sama nula, ali ako podijelite s njom, dobivate beskonačnost, što je ljudskom mozgu teško pojmiti, a označeno je posebnom ikonom u oblik osmice koja leži na boku.

Pa zašto ne? Dakle, bilo koji broj podijeljen s nulom može se napisati obrnutim redoslijedom. Drugim riječima, ako bi takvo dijeljenje teoretski rezultiralo određenim brojem, nazovimo ga A, onda da bismo radnju zapisali obrnutim redoslijedom, A mora biti takav da se nakon množenja s nulom dobije djelitelj. Ali uostalom, dobro je poznato da svaki broj pomnožen s nulom daje zbroj nula, jer se uzima nula puta, to jest ne jednom. Rezultat bilo kojeg izraza može se kombinirati u ovu formulu:

(Bilo koji broj) / 0 = beskonačno.

Zanimljivo je da se matematički pojam "beskonačnost" razlikuje od filozofske verzije. Ova vrijednost se može mjeriti čisto teoretski, dakle, nema granica, ali ima, takoreći, volumen.

pojedinačni slučaj

Vrlo poseban slučaj je dijeljenje nule s nulom, jer u ovom slučaju, teoretski, sve može biti rezultat radnje. No, onda postoji beskonačno mnogo odgovora na ovo pitanje, odnosno beskonačnost zvuči još istinitije u odgovoru.

Školarci nemaju apsolutno nikakvu potrebu objašnjavati sve te suptilnosti, osim toga, djetetov um ne percipira dobro i ne zamišlja složen pojam "beskonačnosti", stoga je puno lakše i još učinkovitije uspostaviti zabranu ove radnje. To je slično kao što se djeci prvo zabranjuje, a tek onda, kako odrastaju, objašnjava priroda svakog konkretnog "ne".

Znaš li?

• Žirafa se smatra najvišom životinjom na svijetu, njegova visina doseže 5,5 metara. Uglavnom zbog dugog vrata. Unatoč činjenici da je u […]
• Mnogi će se složiti da žene na položaju postaju posebno praznovjerne, podložnije su svakojakim uvjerenjima i […]
• Rijetko se može sresti osoba koja grm ruže ne bi smatrala lijepim. Ali, u isto vrijeme, to je opće poznato. Da su takve biljke prilično nježne […]
• Tko god pouzdano kaže da ne zna da muškarci gledaju porno filmove, lagat će na najbezobrazniji način. Naravno, izgledaju, samo [...]
• Vjerojatno ne postoji takva stranica ili auto-forum o automobilima na svjetskoj mreži koji ne bi postavio pitanje o […]
• Vrabac je prilično uobičajena ptica male veličine i šarene boje u svijetu. No njegova posebnost leži u činjenici da […]
• Smijeh i suze, odnosno plač, dvije su izravno suprotne emocije. Ono što se zna o njima je da su obje urođene i da nisu […]