डिग्री एन की जड़: बुनियादी परिभाषाएँ। साइबेरियाई उदार आत्मा के साथ

• अंकगणित मूल प्राकृतिक डिग्री n>=2 एक गैर-ऋणात्मक संख्या से और कुछ गैर-ऋणात्मक संख्या कहलाती है एक ऋणात्मक संख्या, जब घात n तक बढ़ाया जाता है, तो संख्या a प्राप्त होती है।

यह सिद्ध किया जा सकता है कि किसी भी गैर-नकारात्मक a और प्राकृतिक n के लिए, समीकरण x^n=a का एक एकल गैर-नकारात्मक मूल होगा। यह वह मूल है जिसे संख्या a की nवीं डिग्री का अंकगणितीय मूल कहा जाता है।

किसी संख्या की nवीं डिग्री का अंकगणितीय मूल दर्शाया जाता है इस अनुसार n√a. इस मामले में संख्या a को मूलांक अभिव्यक्ति कहा जाता है।

दूसरी डिग्री के अंकगणितीय मूल को वर्गमूल कहा जाता है, और तीसरी डिग्री के अंकगणितीय मूल को घनमूल कहा जाता है।

nवीं डिग्री के अंकगणितीय मूल के मूल गुण

• 1. (n√a)^n = ए.

उदाहरण के लिए, (5√2)^5 = 2.

यह गुण सीधे nवें अंकगणितीय मूल की परिभाषा से अनुसरण करता है।

यदि a शून्य से बड़ा या उसके बराबर है, b शून्य से बड़ा है और n, m कुछ हैं पूर्णांकोंजैसे कि n, 2 से बड़ा या उसके बराबर है और m, 2 से बड़ा या उसके बराबर है, तो निम्नलिखित गुण मान्य होंगे:

• 2. n√(a*b)= n√a*n√b.

उदाहरण के लिए, 4√27 * 4√3 = 4√(27*3) = 4√81 =4√(3^4) = 3.

• 3. n√(a/b) = (n√a)/(n√b).

उदाहरण के लिए, 3√(256/625) :3√(4/5) = 3√((256/625) : (4/5)) = (3√(64))/(3√(125)) = 4/5.

• 4. (n√a)^m = n√(a^m).

उदाहरण के लिए, 7√(5^21) = 7√((5^7)^3)) = (7√(5^7))^3 = 5^3 = 125.

• 5. m√(n√a) = (n*m) √a.

उदाहरण के लिए, 3√(4√4096) = 12√4096 = 12√(2^12) = 2.

ध्यान दें कि संपत्ति 2 में, संख्या b शून्य के बराबर हो सकती है, और संपत्ति 4 में, संख्या m कोई भी पूर्णांक हो सकती है, बशर्ते कि a>0।

दूसरी संपत्ति का प्रमाण

अंतिम सभी चार गुणों को समान तरीके से सिद्ध किया जा सकता है, इसलिए हम खुद को केवल दूसरे को साबित करने तक सीमित रखेंगे: n√(a*b)= n√a*n√b।

अंकगणितीय मूल की परिभाषा का उपयोग करके, हम साबित करते हैं कि n√(a*b)= n√a*n√b।

ऐसा करने के लिए, हम दो तथ्य सिद्ध करते हैं: n√a*n√b। शून्य से बड़ा या उसके बराबर, और वह (n√a*n√b.)^n = ab.

• 1. n√a*n√b शून्य से बड़ा या उसके बराबर है, क्योंकि a और b दोनों शून्य से बड़े या उसके बराबर हैं।
• 2. (n√a*n√b)^n = a*b, चूँकि (n√a*n√b)^n = (n√a)^n *(n√b)^n = a* b .

क्यू.ई.डी. तो संपत्ति सत्य है. अंकगणितीय जड़ों वाले व्यंजकों को सरल बनाते समय अक्सर इन गुणों का उपयोग करना होगा।

बधाई हो: आज हम जड़ों पर नज़र डालेंगे - 8वीं कक्षा में सबसे अधिक दिमाग चकरा देने वाले विषयों में से एक। :)

बहुत से लोग जड़ों के बारे में भ्रमित हो जाते हैं, इसलिए नहीं कि वे जटिल हैं (इसमें इतना जटिल क्या है - कुछ परिभाषाएँ और कुछ और गुण), बल्कि इसलिए कि अधिकांश स्कूली पाठ्यपुस्तकों में जड़ों को ऐसे जंगल के माध्यम से परिभाषित किया जाता है कि केवल पाठ्यपुस्तकों के लेखक ही इस लिखावट को वे स्वयं समझ सकते हैं। और तब भी केवल अच्छी व्हिस्की की एक बोतल के साथ। :)

इसलिए, अब मैं जड़ की सबसे सही और सबसे सक्षम परिभाषा दूंगा - केवल वही जिसे आपको वास्तव में याद रखना चाहिए। और फिर मैं समझाऊंगा: यह सब क्यों आवश्यक है और इसे व्यवहार में कैसे लागू किया जाए।

लेकिन पहले एक बात याद रखें महत्वपूर्ण बिंदु, जिसके बारे में कई पाठ्यपुस्तक संकलनकर्ता किसी कारणवश "भूल जाते हैं":

जड़ें सम डिग्री की हो सकती हैं (हमारा पसंदीदा $\sqrt(a)$, साथ ही सभी प्रकार के $\sqrt(a)$ और यहां तक ​​कि $\sqrt(a)$) और विषम डिग्री (सभी प्रकार के $\sqrt (ए)$, $\ sqrt(ए)$, आदि)। और विषम घात के मूल की परिभाषा सम घात से कुछ भिन्न होती है।

संभवतः जड़ों से जुड़ी सभी त्रुटियों और गलतफहमियों में से 95% इस "कुछ अलग" में छिपी हुई हैं। तो आइए शब्दावली को हमेशा के लिए स्पष्ट कर लें:

परिभाषा। यहां तक ​​कि जड़ भी एनसंख्या $a$ से कोई भी है गैर नकारात्मकसंख्या $b$ ऐसी है कि $((b)^(n))=a$. और एक ही संख्या $a$ का विषम मूल आम तौर पर कोई भी संख्या $b$ होता है जिसके लिए समान समानता होती है: $((b)^(n))=a$।

किसी भी स्थिति में, मूल को इस प्रकार दर्शाया गया है:

\(ए)\]

ऐसे अंकन में संख्या $n$ को मूल घातांक कहा जाता है, और संख्या $a$ को मूल अभिव्यक्ति कहा जाता है। विशेष रूप से, $n=2$ के लिए हमें अपना "पसंदीदा" वर्गमूल मिलता है (वैसे, यह सम डिग्री का मूल है), और $n=3$ के लिए हमें एक घनमूल (विषम डिग्री) मिलता है, जो है अक्सर समस्याओं और समीकरणों में भी पाया जाता है।

उदाहरण। क्लासिक उदाहरण वर्गमूल:

\[\begin(संरेखित) और \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(संरेखित करें)\]

वैसे, $\sqrt(0)=0$, और $\sqrt(1)=1$. यह काफी तार्किक है, क्योंकि $((0)^(2))=0$ और $((1)^(2))=1$।

घनमूल भी आम हैं - इनसे डरने की जरूरत नहीं:

\[\begin(संरेखित करें) और \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(संरेखित करें)\]

खैर, कुछ "विदेशी उदाहरण":

\[\begin(संरेखित करें) और \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(संरेखित करें)\]

यदि आप यह नहीं समझ पा रहे हैं कि सम और विषम डिग्री के बीच क्या अंतर है, तो परिभाषा को दोबारा पढ़ें। बहुत जरुरी है!

इस बीच, हम जड़ों की एक अप्रिय विशेषता पर विचार करेंगे, जिसके कारण हमें सम और विषम घातांकों के लिए एक अलग परिभाषा पेश करने की आवश्यकता पड़ी।

आखिर जड़ों की आवश्यकता क्यों है?

परिभाषा पढ़ने के बाद, कई छात्र पूछेंगे: "जब गणितज्ञ इसे लेकर आए तो वे क्या धूम्रपान कर रहे थे?" और वास्तव में: इन सभी जड़ों की आखिर आवश्यकता क्यों है?

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए एक पल के लिए पीछे चलें प्राथमिक कक्षाएँ. याद रखें: उन दूर के समय में, जब पेड़ हरे थे और पकौड़े स्वादिष्ट थे, हमारी मुख्य चिंता संख्याओं को सही ढंग से गुणा करना था। खैर, "पाँच बटा पाँच - पच्चीस" जैसा कुछ, बस इतना ही। लेकिन आप संख्याओं को जोड़ियों में नहीं, बल्कि त्रिक, चौगुनी और आम तौर पर पूरे सेट में गुणा कर सकते हैं:

\[\begin(संरेखित) और 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(संरेखित)\]

हालाँकि, बात ये नहीं है. तरकीब अलग है: गणितज्ञ आलसी लोग होते हैं, इसलिए उन्हें दस पाँच का गुणन इस तरह लिखने में कठिनाई होती थी:

इसीलिए वे डिग्रियाँ लेकर आये। लंबी स्ट्रिंग के बजाय कारकों की संख्या को सुपरस्क्रिप्ट के रूप में क्यों नहीं लिखा जाता? कुछ इस तरह:

यह बहुत सुविधाजनक है! सभी गणनाएँ काफी हद तक कम हो गई हैं, और आपको लगभग 5,183 लिखने के लिए चर्मपत्र और नोटबुक की ढेर सारी शीट बर्बाद नहीं करनी पड़ेगी। इस रिकॉर्ड को संख्या की शक्ति कहा जाता था; इसमें बहुत सारी संपत्तियां पाई गईं, लेकिन खुशी अल्पकालिक साबित हुई।

एक भव्य शराब पार्टी के बाद, जो केवल डिग्री की "खोज" के लिए आयोजित की गई थी, कुछ विशेष रूप से जिद्दी गणितज्ञ ने अचानक पूछा: "क्या होगा यदि हम किसी संख्या की डिग्री जानते हैं, लेकिन संख्या स्वयं अज्ञात है?" अब, वास्तव में, यदि हम जानते हैं कि एक निश्चित संख्या $b$, मान लीजिए, 5वीं घात 243 देती है, तो हम कैसे अनुमान लगा सकते हैं कि संख्या $b$ स्वयं किसके बराबर है?

यह समस्या पहली नज़र में लगने से कहीं अधिक वैश्विक निकली। क्योंकि यह पता चला कि अधिकांश "तैयार" शक्तियों के लिए ऐसी कोई "प्रारंभिक" संख्याएँ नहीं हैं। अपने लिए जज करें:

\[\begin(संरेखित) और ((बी)^(3))=27\राइटएरो b=3\cdot 3\cdot 3\राइटएरो b=3; \\ & ((b)^(3))=64\राइटएरो b=4\cdot 4\cdot 4\राइटएरो b=4. \\ \end(संरेखित करें)\]

क्या होगा यदि $((b)^(3))=50$? यह पता चला है कि हमें एक निश्चित संख्या खोजने की ज़रूरत है, जिसे तीन बार गुणा करने पर, हमें 50 मिलेगा। लेकिन यह संख्या क्या है? यह स्पष्ट रूप से 3 से बड़ा है, क्योंकि 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. अर्थात यह संख्या तीन और चार के बीच में है, लेकिन आप यह नहीं समझ पाएंगे कि यह किसके बराबर है।

यही कारण है कि गणितज्ञ $n$वें मूल लेकर आए। यही कारण है कि रेडिकल प्रतीक $\sqrt(*)$ पेश किया गया था। बहुत ही संख्या $b$ को निर्दिष्ट करने के लिए, जो संकेतित डिग्री तक हमें पहले से ज्ञात मूल्य देगा

\[\sqrt[n](a)=b\राइटएरो ((b)^(n))=a\]

मैं बहस नहीं करता: अक्सर इन जड़ों की गणना आसानी से की जाती है - हमने ऊपर ऐसे कई उदाहरण देखे हैं। लेकिन फिर भी, ज्यादातर मामलों में, यदि आप एक मनमानी संख्या के बारे में सोचते हैं और फिर उसमें से एक मनमानी डिग्री का मूल निकालने का प्रयास करते हैं, तो आप एक भयानक परेशानी में पड़ जाएंगे।

वहाँ क्या है! यहां तक ​​कि सबसे सरल और सबसे परिचित $\sqrt(2)$ को हमारे सामान्य रूप में - पूर्णांक या भिन्न के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है। और यदि आप इस नंबर को कैलकुलेटर में दर्ज करते हैं, तो आपको यह दिखाई देगा:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, दशमलव बिंदु के बाद संख्याओं का एक अंतहीन क्रम होता है जो किसी भी तर्क का पालन नहीं करता है। निःसंदेह, आप अन्य संख्याओं के साथ शीघ्रता से तुलना करने के लिए इस संख्या को पूर्णांकित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए:

\[\sqrt(2)=1.4142...\लगभग 1.4 \lt 1.5\]

या यहाँ एक और उदाहरण है:

\[\sqrt(3)=1.73205...\लगभग 1.7 \gt 1.5\]

लेकिन ये सभी गोलियाँ, सबसे पहले, काफी कठिन हैं; और दूसरी बात, आपको अनुमानित मूल्यों के साथ काम करने में सक्षम होने की भी आवश्यकता है, अन्यथा आप स्पष्ट त्रुटियों का एक समूह पकड़ सकते हैं (वैसे, तुलना करने और गोल करने का कौशल अनिवार्यप्रोफ़ाइल पर जाँच की गई (एकीकृत राज्य परीक्षा)।

इसलिए, गंभीर गणित में आप मूलों के बिना नहीं रह सकते - वे सभी वास्तविक संख्याओं $\mathbb(R)$ के समुच्चय के समान प्रतिनिधि हैं, बिल्कुल भिन्नों और पूर्णांकों की तरह जो लंबे समय से हमारे परिचित हैं।

किसी मूल को $\frac(p)(q)$ के रूप के एक अंश के रूप में प्रस्तुत करने में असमर्थता का अर्थ यह है जड़ दियाएक परिमेय संख्या नहीं है. ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है, और उन्हें मूलांक या विशेष रूप से इसके लिए डिज़ाइन की गई अन्य संरचनाओं (लघुगणक, घात, सीमाएँ, आदि) की सहायता के अलावा सटीक रूप से प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है। लेकिन उस पर फिर कभी।

आइए कई उदाहरणों पर विचार करें, जहां सभी गणनाओं के बाद भी उत्तर में अपरिमेय संख्याएँ बनी रहेंगी।

\[\begin(संरेखित) और \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\लगभग 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\लगभग -1.2599... \\ \end(संरेखित)\]

स्वाभाविक रूप से, के अनुसार उपस्थितिरूट में यह अनुमान लगाना लगभग असंभव है कि दशमलव बिंदु के बाद कौन सी संख्याएँ आएंगी। हालाँकि, आप एक कैलकुलेटर पर भरोसा कर सकते हैं, लेकिन सबसे उन्नत दिनांक कैलकुलेटर भी हमें केवल एक अपरिमेय संख्या के पहले कुछ अंक ही देता है। इसलिए, उत्तरों को $\sqrt(5)$ और $\sqrt(-2)$ के रूप में लिखना अधिक सही है।

यही कारण है कि उनका आविष्कार किया गया था। उत्तरों को आसानी से रिकॉर्ड करने के लिए।

दो परिभाषाओं की आवश्यकता क्यों है?

चौकस पाठक ने शायद पहले ही नोटिस कर लिया है कि उदाहरणों में दिए गए सभी वर्गमूल सकारात्मक संख्याओं से लिए गए हैं। तब में एक अंतिम उपाय के रूप मेंशुरूुआत से। लेकिन घनमूल किसी भी संख्या से शांतिपूर्वक निकाला जा सकता है - चाहे वह सकारात्मक हो या नकारात्मक।

ऐसा क्यों हो रहा है? फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक नज़र डालें $y=((x)^(2))$:

अनुसूची द्विघात फंक्शनदो जड़ें देता है: सकारात्मक और नकारात्मक

आइए इस ग्राफ़ का उपयोग करके $\sqrt(4)$ की गणना करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, ग्राफ़ (लाल रंग में चिह्नित) पर एक क्षैतिज रेखा $y=4$ खींची जाती है, जो परवलय के साथ दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है: $((x)_(1))=2$ और $((x )_(2)) =-2$. चूँकि, यह काफी तर्कसंगत है

पहले अंक से सब कुछ स्पष्ट है - यह सकारात्मक है, इसलिए यह मूल है:

लेकिन फिर दूसरे बिंदु का क्या करें? जैसे चार की एक साथ दो जड़ें होती हैं? आख़िरकार, यदि हम संख्या −2 का वर्ग करें, तो हमें 4 भी मिलता है। फिर $\sqrt(4)=-2$ क्यों नहीं लिखते? और शिक्षक ऐसी पोस्टों को ऐसे क्यों देखते हैं जैसे वे आपको खा जाना चाहते हैं? :)

यदि आप कोई भी लागू नहीं करते हैं तो यही परेशानी है अतिरिक्त शर्तों, तो चतुर्भुज के दो वर्गमूल होंगे - धनात्मक और ऋणात्मक। और किसी भी धनात्मक संख्या में भी दो होंगे। लेकिन ऋणात्मक संख्याओं का कोई मूल नहीं होगा - इसे उसी ग्राफ से देखा जा सकता है, क्योंकि परवलय कभी भी अक्ष से नीचे नहीं गिरता है य, अर्थात। नकारात्मक मूल्यों को स्वीकार नहीं करता.

सम घातांक वाले सभी मूलों के लिए एक समान समस्या उत्पन्न होती है:

1. कड़ाई से बोलते हुए, प्रत्येक धनात्मक संख्या में सम घातांक $n$ के साथ दो मूल होंगे;
2. ऋणात्मक संख्याओं से, सम $n$ वाला मूल बिल्कुल भी नहीं निकाला जाता है।

इसीलिए सम घात $n$ के मूल की परिभाषा में यह विशेष रूप से निर्धारित किया गया है कि उत्तर एक गैर-ऋणात्मक संख्या होनी चाहिए। इस तरह हम अस्पष्टता से छुटकारा पाते हैं।

लेकिन विषम $n$ के लिए ऐसी कोई समस्या नहीं है। इसे देखने के लिए, आइए फ़ंक्शन $y=((x)^(3))$ के ग्राफ़ को देखें:

एक घन परवलय कोई भी मान ले सकता है, इसलिए घनमूल किसी भी संख्या से लिया जा सकता है

इस ग्राफ से दो निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं:

1. एक घन परवलय की शाखाएँ, एक नियमित परवलय के विपरीत, दोनों दिशाओं में अनंत तक जाती हैं - ऊपर और नीचे दोनों। इसलिए, चाहे हम कितनी भी ऊंचाई पर क्षैतिज रेखा खींचें, यह रेखा निश्चित रूप से हमारे ग्राफ़ के साथ प्रतिच्छेद करेगी। नतीजतन, घनमूल हमेशा किसी भी संख्या से निकाला जा सकता है;
2. इसके अलावा, ऐसा प्रतिच्छेदन हमेशा अद्वितीय होगा, इसलिए आपको यह सोचने की ज़रूरत नहीं है कि किस संख्या को "सही" मूल माना जाए और किसे अनदेखा किया जाए। यही कारण है कि विषम डिग्री के लिए मूल निर्धारित करना सम डिग्री की तुलना में आसान है (गैर-नकारात्मकता के लिए कोई आवश्यकता नहीं है)।

अफ़सोस की बात है कि ये सरल चीज़ेंअधिकांश पाठ्यपुस्तकों में इसकी व्याख्या नहीं की गई है। इसके बजाय, हमारा मस्तिष्क सभी प्रकार की अंकगणितीय जड़ों और उनके गुणों से भरा होने लगता है।

हाँ, मैं बहस नहीं करता: आपको यह भी जानना होगा कि अंकगणितीय मूल क्या है। और मैं इस बारे में एक अलग पाठ में विस्तार से बात करूंगा। आज हम इसके बारे में भी बात करेंगे, क्योंकि इसके बिना $n$-th बहुलता की जड़ों के बारे में सभी विचार अधूरे होंगे।

लेकिन सबसे पहले आपको ऊपर दी गई परिभाषा को स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है। अन्यथा शब्दों की अधिकता के कारण आपके दिमाग में ऐसी गड़बड़ी शुरू हो जाएगी कि अंत में आपको कुछ भी समझ नहीं आएगा।

आपको बस सम और विषम संकेतकों के बीच अंतर को समझने की जरूरत है। इसलिए, आइए एक बार फिर से वह सब कुछ एकत्र करें जो आपको जड़ों के बारे में जानने के लिए आवश्यक है:

1. एक सम डिग्री का मूल केवल एक गैर-ऋणात्मक संख्या से मौजूद होता है और स्वयं हमेशा एक गैर-ऋणात्मक संख्या होती है। ऋणात्मक संख्याओं के लिए ऐसा मूल अपरिभाषित है।
2. लेकिन एक विषम डिग्री की जड़ किसी भी संख्या से मौजूद होती है और स्वयं कोई भी संख्या हो सकती है: सकारात्मक संख्याओं के लिए यह सकारात्मक है, और नकारात्मक संख्याओं के लिए, जैसा कि कैप संकेत देता है, यह नकारात्मक है।

क्या यह मुश्किल है? नहीं, यह मुश्किल नहीं है. यह स्पष्ट है? हाँ, यह बिल्कुल स्पष्ट है! तो अब हम गणनाओं का थोड़ा अभ्यास करेंगे।

बुनियादी गुण और सीमाएँ

बहुत सारी जड़ें हैं अजीब गुणऔर प्रतिबंध - इसके बारे में एक अलग पाठ होगा। इसलिए, अब हम केवल सबसे महत्वपूर्ण "ट्रिक" पर विचार करेंगे, जो केवल एक समान सूचकांक वाली जड़ों पर लागू होती है। आइए इस गुण को एक सूत्र के रूप में लिखें:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\दाएं|\]

दूसरे शब्दों में, यदि हम किसी संख्या को सम घात तक बढ़ाते हैं और फिर उसी घात का मूल निकालते हैं, तो हमें मूल संख्या नहीं, बल्कि उसका मापांक प्राप्त होगा। यह सरल प्रमेय, जिसे साबित करना आसान है (यह गैर-नकारात्मक $x$ पर अलग से विचार करने के लिए पर्याप्त है, और फिर नकारात्मक पर अलग से विचार करने के लिए पर्याप्त है)। शिक्षक लगातार इसके बारे में बात करते हैं, यह हर स्कूल की पाठ्यपुस्तक में दिया गया है। लेकिन एक बार निर्णय की बात आती है तर्कहीन समीकरण(अर्थात मूलांक चिह्न वाले समीकरण), छात्र सर्वसम्मति से इस सूत्र को भूल जाते हैं।

मुद्दे को विस्तार से समझने के लिए, आइए एक मिनट के लिए सभी सूत्रों को भूल जाएं और सीधे दो संख्याओं की गणना करने का प्रयास करें:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

ये बहुत सरल उदाहरण. ज़्यादातर लोग पहला उदाहरण तो सुलझा लेंगे, लेकिन कई लोग दूसरे पर अटक जाते हैं। ऐसी किसी भी समस्या को बिना किसी समस्या के हल करने के लिए हमेशा इस प्रक्रिया पर विचार करें:

1. सबसे पहले, संख्या को चौथी घात तक बढ़ाया जाता है। ख़ैर, यह काफ़ी आसान है। आपको एक नया नंबर मिलेगा जो गुणन सारणी में भी पाया जा सकता है;
2. और अब इस नए नंबर से चौथा रूट निकालना जरूरी है. वे। जड़ों और शक्तियों की कोई "कमी" नहीं होती - ये क्रमिक क्रियाएं हैं।

आइए पहली अभिव्यक्ति देखें: $\sqrt(((3)^(4)))$। जाहिर है, आपको सबसे पहले रूट के तहत अभिव्यक्ति की गणना करने की आवश्यकता है:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

फिर हम संख्या 81 का चौथा मूल निकालते हैं:

अब दूसरी अभिव्यक्ति के साथ भी ऐसा ही करते हैं। सबसे पहले, हम संख्या −3 को चौथी घात तक बढ़ाते हैं, जिसके लिए इसे 4 बार गुणा करने की आवश्यकता होती है:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ बाएँ(-3 \दाएँ)=81\]

हमें एक सकारात्मक संख्या मिली, क्योंकि उत्पाद में माइनस की कुल संख्या 4 है, और वे सभी एक-दूसरे को रद्द कर देंगे (आखिरकार, माइनस के लिए माइनस एक प्लस देता है)। फिर हम दोबारा जड़ निकालते हैं:

सिद्धांत रूप में, यह पंक्ति लिखी नहीं जा सकती थी, क्योंकि यह कोई संदेह नहीं है कि उत्तर वही होगा। वे। समान शक्ति की एक समान जड़ माइनस को "जला" देती है, और इस अर्थ में परिणाम एक नियमित मॉड्यूल से अप्रभेद्य है:

\[\begin(संरेखित) और \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \दाएं|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \दाएं|=3. \\ \end(संरेखित करें)\]

ये गणनाएँ सम डिग्री के मूल की परिभाषा के साथ अच्छी तरह मेल खाती हैं: परिणाम हमेशा गैर-नकारात्मक होता है, और मूल चिह्न में हमेशा एक गैर-नकारात्मक संख्या भी होती है। अन्यथा, मूल अपरिभाषित है.

प्रक्रिया पर टिप्पणी

1. नोटेशन $\sqrt(((a)^(2)))$ का अर्थ है कि हम पहले संख्या $a$ का वर्ग करते हैं और फिर परिणामी मान का वर्गमूल लेते हैं। इसलिए, हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि मूल चिह्न के नीचे हमेशा एक गैर-नकारात्मक संख्या होती है, क्योंकि किसी भी स्थिति में $((a)^(2))\ge 0$;
2. लेकिन संकेतन $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, इसके विपरीत, इसका मतलब है कि हम पहले एक निश्चित संख्या $a$ का मूल लेते हैं और उसके बाद ही परिणाम का वर्ग करते हैं। इसलिए, संख्या $a$ किसी भी स्थिति में ऋणात्मक नहीं हो सकती - यह है अनिवार्य आवश्यकता, परिभाषा में शामिल है।

इस प्रकार, किसी भी मामले में किसी को बिना सोचे-समझे जड़ों और डिग्री को कम नहीं करना चाहिए, जिससे मूल अभिव्यक्ति कथित तौर पर "सरल" हो जाए। क्योंकि यदि मूल में एक ऋणात्मक संख्या है और उसका घातांक सम है, तो हमें समस्याओं का एक समूह मिलता है।

हालाँकि, ये सभी समस्याएँ केवल सम संकेतकों के लिए ही प्रासंगिक हैं।

मूल चिह्न के नीचे से ऋण चिह्न हटाना

स्वाभाविक रूप से, विषम घातांक वाली जड़ों की भी अपनी विशेषता होती है, जो सिद्धांततः सम घातांक वाली जड़ों में मौजूद नहीं होती है। अर्थात्:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

संक्षेप में, आप विषम डिग्री की जड़ों के चिह्न के नीचे से ऋण हटा सकते हैं। ये बहुत उपयोगी संपत्ति, जो आपको सभी नकारात्मकताओं को "बाहर फेंकने" की अनुमति देता है:

\[\begin(संरेखित करें) और \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(संरेखित करें)\]

यह सरल गुण कई गणनाओं को बहुत सरल बना देता है। अब आपको चिंता करने की आवश्यकता नहीं है: क्या होगा यदि मूल के नीचे एक नकारात्मक अभिव्यक्ति छिपी हुई थी, लेकिन मूल की डिग्री सम हो गई? यह जड़ों के बाहर सभी माइनस को "बाहर फेंकने" के लिए पर्याप्त है, जिसके बाद उन्हें एक-दूसरे से गुणा किया जा सकता है, विभाजित किया जा सकता है, और आम तौर पर कई संदिग्ध चीजें की जा सकती हैं, जो "शास्त्रीय" जड़ों के मामले में हमें ले जाने की गारंटी है एक गलती।

और यहां एक और परिभाषा सामने आती है - वही जिसके साथ अधिकांश स्कूलों में तर्कहीन अभिव्यक्तियों का अध्ययन शुरू होता है। और जिसके बिना हमारा तर्क अधूरा होगा. मिलो!

अंकगणित मूल

आइए एक क्षण के लिए मान लें कि मूल चिन्ह के नीचे केवल धनात्मक संख्याएँ या, चरम मामलों में, शून्य हो सकती हैं। आइए सम/विषम संकेतकों के बारे में भूल जाएं, आइए ऊपर दी गई सभी परिभाषाओं के बारे में भूल जाएं - हम केवल गैर-नकारात्मक संख्याओं के साथ काम करेंगे। तो क्या?

और फिर हमें एक अंकगणितीय मूल मिलेगा - यह आंशिक रूप से हमारी "मानक" परिभाषाओं के साथ ओवरलैप होता है, लेकिन फिर भी उनसे भिन्न होता है।

परिभाषा। एक गैर-नकारात्मक संख्या $a$ की $n$वीं डिग्री का अंकगणितीय मूल एक गैर-नकारात्मक संख्या $b$ है जैसे कि $((b)^(n))=a$।

जैसा कि हम देख सकते हैं, हमें अब समानता में कोई दिलचस्पी नहीं है। इसके बजाय, एक नया प्रतिबंध सामने आया: कट्टरपंथी अभिव्यक्ति अब हमेशा गैर-नकारात्मक है, और जड़ स्वयं भी गैर-नकारात्मक है।

यह बेहतर ढंग से समझने के लिए कि अंकगणितीय मूल सामान्य से किस प्रकार भिन्न है, वर्ग और घन परवलय के ग्राफ़ पर एक नज़र डालें जिनसे हम पहले से ही परिचित हैं:

अंकगणित मूल खोज क्षेत्र - गैर-नकारात्मक संख्याएँ

जैसा कि आप देख सकते हैं, अब से हम केवल ग्राफ़ के उन टुकड़ों में रुचि रखते हैं जो पहले समन्वय तिमाही में स्थित हैं - जहां निर्देशांक $x$ और $y$ सकारात्मक हैं (या कम से कम शून्य)। अब आपको यह समझने के लिए संकेतक को देखने की आवश्यकता नहीं है कि हमें मूल के नीचे ऋणात्मक संख्या डालने का अधिकार है या नहीं। क्योंकि नकारात्मक संख्याओं को अब सिद्धांत रूप में नहीं माना जाता है।

आप पूछ सकते हैं: "अच्छा, हमें ऐसी निष्प्रभावी परिभाषा की आवश्यकता क्यों है?" या: "हम ऊपर दी गई मानक परिभाषा के साथ काम क्यों नहीं कर सकते?"

खैर, मैं सिर्फ एक गुण बताऊंगा जिसके कारण नई परिभाषा उपयुक्त हो जाती है। उदाहरण के लिए, घातांक का नियम:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

कृपया ध्यान दें: हम मूल अभिव्यक्ति को किसी भी घात तक बढ़ा सकते हैं और साथ ही मूल घातांक को उसी घात से गुणा कर सकते हैं - और परिणाम वही संख्या होगी! यहाँ उदाहरण हैं:

\[\begin(संरेखित करें) और \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(संरेखित)\]

तो इसमें बड़ी बात क्या है? हम ऐसा पहले क्यों नहीं कर सके? उसकी वजह यहाँ है। आइए एक सरल अभिव्यक्ति पर विचार करें: $\sqrt(-2)$ - यह संख्या हमारी शास्त्रीय समझ में काफी सामान्य है, लेकिन अंकगणितीय मूल के दृष्टिकोण से बिल्कुल अस्वीकार्य है। आइए इसे परिवर्तित करने का प्रयास करें:

$\begin(संरेखित करें) और \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(संरेखित)$

जैसा कि आप देख सकते हैं, पहले मामले में हमने रेडिकल के नीचे से माइनस हटा दिया है (हमारे पास है)। हर अधिकार, क्योंकि सूचक विषम है), और दूसरे में हमने उपरोक्त सूत्र का उपयोग किया। वे। गणितीय दृष्टिकोण से, सब कुछ नियमों के अनुसार किया जाता है।

डब्ल्यूटीएफ?! एक ही संख्या धनात्मक और ऋणात्मक दोनों कैसे हो सकती है? बिलकुल नहीं। यह सिर्फ इतना है कि घातांक का सूत्र, जो सकारात्मक संख्याओं और शून्य के लिए बहुत अच्छा काम करता है, नकारात्मक संख्याओं के मामले में पूर्ण विधर्म उत्पन्न करना शुरू कर देता है।

ऐसी अस्पष्टता से छुटकारा पाने के लिए अंकगणितीय जड़ों का आविष्कार किया गया था। एक अलग से उन्हें समर्पित है महान सबक, जहां हम उनकी सभी संपत्तियों पर विस्तार से विचार करते हैं। इसलिए अब हम उन पर ध्यान नहीं देंगे - पाठ पहले ही बहुत लंबा हो गया है।

बीजगणितीय मूल: उन लोगों के लिए जो अधिक जानना चाहते हैं

मैंने बहुत देर तक सोचा कि इस विषय को एक अलग अनुच्छेद में रखूँ या नहीं। अंत में मैंने इसे यहीं छोड़ने का निर्णय लिया। यह सामग्री उन लोगों के लिए है जो जड़ों को और भी बेहतर ढंग से समझना चाहते हैं - अब औसत "स्कूल" स्तर पर नहीं, बल्कि ओलंपियाड स्तर के करीब।

तो: किसी संख्या के $n$वें मूल की "शास्त्रीय" परिभाषा और सम और विषम घातांक में संबंधित विभाजन के अलावा, एक अधिक "वयस्क" परिभाषा है जो समता और अन्य सूक्ष्मताओं पर बिल्कुल भी निर्भर नहीं करती है। इसे बीजगणितीय मूल कहते हैं।

परिभाषा। किसी भी $a$ का बीजगणितीय $n$वां मूल सभी संख्याओं $b$ का समुच्चय है, जैसे कि $((b)^(n))=a$। ऐसी जड़ों के लिए कोई स्थापित पदनाम नहीं है, इसलिए हम केवल शीर्ष पर एक डैश लगा देंगे:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

से मौलिक अंतर मानक परिभाषापाठ की शुरुआत में दिया गया है कि बीजगणितीय मूल एक विशिष्ट संख्या नहीं है, बल्कि एक सेट है। और चूँकि हम वास्तविक संख्याओं के साथ काम करते हैं, यह सेट केवल तीन प्रकारों में आता है:

1. खाली सेट। तब होता है जब आपको किसी ऋणात्मक संख्या से सम अंश का बीजीय मूल ज्ञात करने की आवश्यकता होती है;
2. एक एकल तत्व से युक्त एक सेट। विषम शक्तियों की सभी जड़ें, साथ ही शून्य की सम शक्तियों की जड़ें, इस श्रेणी में आती हैं;
3. अंत में, सेट में दो नंबर शामिल हो सकते हैं - वही $((x)_(1))$ और $((x)_(2))=-((x)_(1))$ जो हमने देखा था ग्राफ़ द्विघात फ़ंक्शन। तदनुसार, ऐसी व्यवस्था तभी संभव है जब किसी धनात्मक संख्या से सम अंश का मूल निकाला जाए।

अंतिम मामला अधिक विस्तृत विचार का पात्र है। आइए अंतर को समझने के लिए कुछ उदाहरण गिनें।

उदाहरण। भावों का मूल्यांकन करें:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

समाधान। पहली अभिव्यक्ति सरल है:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

यह दो संख्याएँ हैं जो सेट का हिस्सा हैं। क्योंकि उनमें से प्रत्येक का वर्ग करने पर एक चार मिलता है।

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

यहां हम केवल एक संख्या से युक्त एक सेट देखते हैं। यह काफी तार्किक है, क्योंकि मूल घातांक विषम है।

अंत में, अंतिम अभिव्यक्ति:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

हमें एक खाली सेट मिला. क्योंकि ऐसी एक भी वास्तविक संख्या नहीं है, जिसे चौथी (अर्थात्, सम!) घात तक बढ़ाने पर, हमें ऋणात्मक संख्या −16 प्राप्त हो।

अंतिम नोट. कृपया ध्यान दें: यह कोई संयोग नहीं है कि मैंने हर जगह नोट किया कि हम वास्तविक संख्याओं के साथ काम करते हैं। क्योंकि और भी बहुत कुछ है जटिल आंकड़े— वहां $\sqrt(-16)$ और कई अन्य अजीब चीजों की गणना करना काफी संभव है।

हालाँकि, आधुनिक में स्कूल पाठ्यक्रमगणित में, जटिल संख्याओं का लगभग कभी भी सामना नहीं किया जाता है। उन्हें अधिकांश पाठ्यपुस्तकों से हटा दिया गया है क्योंकि हमारे अधिकारी इस विषय को "समझने में बहुत कठिन" मानते हैं।