एक घात को एक नकारात्मक घातांक वाली घात तक बढ़ाना। किसी संख्या को ऋणात्मक घात तक कैसे बढ़ाएं - एक्सेल में विवरण के साथ उदाहरण

डिग्री सूत्रसमीकरणों और असमानताओं को हल करने में, जटिल अभिव्यक्तियों को कम करने और सरल बनाने की प्रक्रिया में उपयोग किया जाता है।

संख्या सीहै एन-किसी संख्या की घात एकब:

डिग्री के साथ संचालन.

1. अंशों को एक ही आधार से गुणा करने पर उनके संकेतक जोड़े जाते हैं:

पूर्वाह्न·ए एन = ए एम + एन .

2. अंशों को समान आधार से विभाजित करने पर उनके घातांक घटा दिए जाते हैं:

3. 2 या अधिक कारकों के उत्पाद की डिग्री इन कारकों की डिग्री के उत्पाद के बराबर है:

(एबीसी…) एन = ए एन · बी एन · सी एन …

4. भिन्न की डिग्री लाभांश और भाजक की डिग्री के अनुपात के बराबर होती है:

(ए/बी) एन = ए एन /बी एन।

5. एक घात को एक घात तक बढ़ाने पर, घातांक को गुणा किया जाता है:

(ए एम) एन = ए एम एन।

उपरोक्त प्रत्येक सूत्र बाएँ से दाएँ और इसके विपरीत दिशाओं में सत्य है।

उदाहरण के लिए. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

जड़ों के साथ संचालन.

1. कई कारकों के उत्पाद का मूल इन कारकों की जड़ों के उत्पाद के बराबर है:

2. किसी अनुपात का मूल लाभांश और मूल के भाजक के अनुपात के बराबर होता है:

3. किसी जड़ को किसी घात तक बढ़ाते समय, मूलांक को इस घात तक बढ़ाने के लिए पर्याप्त है:

4. यदि आप जड़ की डिग्री बढ़ाते हैं एनएक बार और एक ही समय में निर्माण करें एनवां घात एक मूल संख्या है, तो मूल का मान नहीं बदलेगा:

5. यदि आप जड़ की डिग्री को कम करते हैं एनउसी समय जड़ निकालें एन-किसी मूलांक की घात, तो मूल का मान नहीं बदलेगा:

नकारात्मक घातांक वाली डिग्री.एक गैर-धनात्मक (पूर्णांक) घातांक वाली एक निश्चित संख्या की घात को गैर-धनात्मक घातांक के निरपेक्ष मान के बराबर घातांक वाली उसी संख्या की घात से विभाजित करने के रूप में परिभाषित किया जाता है:

FORMULA पूर्वाह्न:ए एन =ए एम - एनन केवल के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है एम> एन, लेकिन साथ भी एम< एन.

उदाहरण के लिए. ए4:ए 7 = ए 4 - 7 = ए -3.

सूत्रीकरण के लिए पूर्वाह्न:ए एन =ए एम - एनकब निष्पक्ष हो गया म=एनशून्य डिग्री की उपस्थिति आवश्यक है.

शून्य सूचकांक वाली डिग्री.शून्य घातांक वाली किसी भी संख्या की घात शून्य के बराबर नहीं होती है।

उदाहरण के लिए. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री.वास्तविक संख्या बढ़ाने के लिए एडिग्री तक एम/एन, आपको जड़ निकालने की जरूरत है एनकी डिग्री एम-इस संख्या की घात ए.

नकारात्मक घात को बढ़ाना गणित के मूल तत्वों में से एक है और अक्सर बीजगणितीय समस्याओं को हल करने में इसका सामना किया जाता है। नीचे विस्तृत निर्देश दिए गए हैं.

नकारात्मक शक्ति को कैसे बढ़ाएं - सिद्धांत

जब हम किसी संख्या को साधारण घात तक बढ़ाते हैं, तो हम उसके मान को कई गुना बढ़ा देते हैं। उदाहरण के लिए, 3 3 = 3×3×3 = 27. ऋणात्मक भिन्न के साथ विपरीत सत्य है। सूत्र का सामान्य रूप इस प्रकार होगा: a -n = 1/a n. इस प्रकार, किसी संख्या को ऋणात्मक घात तक बढ़ाने के लिए, आपको एक को दी गई संख्या से विभाजित करना होगा, लेकिन एक सकारात्मक घात तक।

ऋणात्मक घात को कैसे बढ़ाया जाए - सामान्य संख्याओं पर उदाहरण

उपरोक्त नियम को ध्यान में रखते हुए आइए कुछ उदाहरण हल करें।

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
उत्तर: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
उत्तर -4 -2 = 1/16.

लेकिन पहले और दूसरे उदाहरण में उत्तर समान क्यों हैं? तथ्य यह है कि जब किसी ऋणात्मक संख्या को सम घात (2, 4, 6, आदि) तक बढ़ा दिया जाता है, तो चिह्न सकारात्मक हो जाता है। यदि डिग्री सम होती तो माइनस रहता:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

संख्याओं को 0 से 1 तक नकारात्मक घात तक कैसे बढ़ाएं

याद रखें कि जब 0 और 1 के बीच की संख्या को सकारात्मक घात तक बढ़ाया जाता है, तो घात बढ़ने पर मान घट जाता है। तो उदाहरण के लिए, 0.5 2 = 0.25। 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

उदाहरण 3: 0.5 -2 की गणना करें
समाधान: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
उत्तर: 0.5 -2 = 4

विश्लेषण (क्रियाओं का क्रम):

• दशमलव भिन्न 0.5 को भिन्नात्मक भिन्न 1/2 में बदलें। यह उस तरह से आसान है.
  1/2 को नकारात्मक घात तक बढ़ाएँ। 1/(2)-2 . 1 को 1/(2) 2 से विभाजित करने पर हमें 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4 प्राप्त होता है

उदाहरण 4: 0.5 -3 की गणना करें
समाधान: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

उदाहरण 5: -0.5 -3 की गणना करें
समाधान: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
उत्तर: -0.5 -3 = -8

चौथे और पांचवें उदाहरण के आधार पर, हम कई निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

• 0 से 1 (उदाहरण 4) की सीमा में एक सकारात्मक संख्या के लिए, जिसे नकारात्मक घात तक बढ़ाया गया है, चाहे घात सम हो या विषम, महत्वपूर्ण नहीं है, अभिव्यक्ति का मान सकारात्मक होगा। इसके अलावा, जितनी अधिक डिग्री, उतना अधिक मूल्य।
• 0 से 1 (उदाहरण 5) की सीमा में एक ऋणात्मक संख्या के लिए, जिसे ऋणात्मक घात तक बढ़ा दिया गया है, चाहे घात सम हो या विषम, महत्वपूर्ण नहीं है, अभिव्यक्ति का मान ऋणात्मक होगा। इस मामले में, डिग्री जितनी अधिक होगी, मूल्य उतना ही कम होगा।

एक ऋणात्मक घात को कैसे बढ़ाया जाए - एक भिन्नात्मक संख्या के रूप में एक घात

इस प्रकार के भावों के निम्नलिखित रूप होते हैं: a -m/n, जहां a एक नियमित संख्या है, m डिग्री का अंश है, n डिग्री का हर है।

आइए एक उदाहरण देखें:
गणना करें: 8 -1/3

समाधान (क्रियाओं का क्रम):

• आइए किसी संख्या को ऋणात्मक घात तक बढ़ाने का नियम याद रखें। हमें मिलता है: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• ध्यान दें कि भिन्नात्मक घात में हर की संख्या 8 है। भिन्नात्मक शक्ति की गणना का सामान्य रूप इस प्रकार है: a m/n = n √8 m।
• इस प्रकार, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). हमें आठ का घनमूल मिलता है, जो 2 के बराबर है। यहां से, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• उत्तर: 8 -1/3 = 2

यह स्पष्ट है कि घात वाली संख्याओं को अन्य मात्राओं की तरह जोड़ा जा सकता है , उन्हें उनके संकेतों के साथ एक के बाद एक जोड़कर.

तो, a 3 और b 2 का योग a 3 + b 2 है।
a 3 - b n और h 5 -d 4 का योग a 3 - b n + h 5 - d 4 है।

कठिनाइयाँ समान चरों की समान शक्तियाँजोड़ा या घटाया जा सकता है.

तो, 2a 2 और 3a 2 का योग 5a 2 के बराबर है।

यह भी स्पष्ट है कि यदि आप दो वर्ग ए, या तीन वर्ग ए, या पांच वर्ग ए लेते हैं।

लेकिन डिग्री विभिन्न चरऔर विभिन्न डिग्री समान चर, उन्हें उनके चिन्हों के साथ जोड़कर बनाया जाना चाहिए।

तो, a 2 और a 3 का योग a 2 + a 3 का योग है।

यह स्पष्ट है कि a का वर्ग और a का घन, a के वर्ग के दोगुने के बराबर नहीं है, बल्कि a के घन के दोगुने के बराबर है।

a 3 b n और 3a 5 b 6 का योग a 3 b n + 3a 5 b 6 है।

घटावशक्तियों को जोड़ के समान ही क्रियान्वित किया जाता है, सिवाय इसके कि उपप्रकारों के चिह्नों को तदनुसार बदला जाना चाहिए।

या:
2ए 4 - (-6ए 4) = 8ए 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(ए - एच) 6 - 2(ए - एच) 6 = 3(ए - एच) 6

शक्तियाँ बढ़ाना

घात वाली संख्याओं को, अन्य मात्राओं की तरह, एक के बाद एक लिखकर, उनके बीच गुणन चिह्न के साथ या उसके बिना, गुणा किया जा सकता है।

इस प्रकार, a 3 को b 2 से गुणा करने का परिणाम a 3 b 2 या aaabb है।

या:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
ए 2 बी 3 वाई 2 ⋅ ए 3 बी 2 वाई = ए 2 बी 3 वाई 2 ए 3 बी 2 वाई

अंतिम उदाहरण में परिणाम को समान चर जोड़कर क्रमबद्ध किया जा सकता है।
अभिव्यक्ति इस प्रकार होगी: a 5 b 5 y 3.

कई संख्याओं (चर) की शक्तियों के साथ तुलना करके, हम देख सकते हैं कि यदि उनमें से किन्हीं दो को गुणा किया जाता है, तो परिणाम एक संख्या (चर) होता है जिसकी शक्ति बराबर होती है मात्राशर्तों की डिग्री.

तो, ए 2 .ए 3 = ए.ए.ए.ए = एएए = ए 5।

यहाँ 5 गुणन के परिणाम की घात है, 2 + 3 के बराबर, पदों की घातों का योग।

तो, a n .a m = a m+n।

n के लिए, a को n की घात से कई गुना अधिक गुणनखंड के रूप में लिया जाता है;

और जितनी बार डिग्री m बराबर होती है उतनी बार a m को गुणनखंड के रूप में लिया जाता है;

इसीलिए, समान आधार वाली घातों को घातों के घातांकों को जोड़कर गुणा किया जा सकता है।

तो, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8। और x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

या:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
बी 2 वाई 3 ⋅ बी 4 वाई = बी 6 वाई 4
(बी + एच - वाई) एन ⋅ (बी + एच - वाई) = (बी + एच - वाई) एन+1

(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) को गुणा करें।
उत्तर: x 4 - y 4.
(x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1) को गुणा करें।

यह नियम उन संख्याओं के लिए भी सत्य है जिनके घातांक हैं नकारात्मक.

1. तो, a -2 .a -3 = a -5 . इसे (1/aa).(1/aaa) = 1/aaa के रूप में लिखा जा सकता है।

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. ए -एन .ए एम = ए एम-एन।

यदि a + b को a - b से गुणा किया जाए तो परिणाम a 2 - b 2 होगा: अर्थात

दो संख्याओं के योग या अंतर को गुणा करने का परिणाम उनके वर्गों के योग या अंतर के बराबर होता है।

यदि आप दो संख्याओं के योग और अंतर को गुणा करते हैं वर्ग, परिणाम इन संख्याओं के योग या अंतर के बराबर होगा चौथीडिग्री.

तो, (ए - वाई).(ए + वाई) = ए 2 - वाई 2.
(ए 2 - वाई 2)⋅(ए 2 + वाई 2) = ए 4 - वाई 4।
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

डिग्रियों का विभाजन

घातांक वाली संख्याओं को अन्य संख्याओं की तरह, लाभांश से घटाकर या भिन्न रूप में रखकर विभाजित किया जा सकता है।

इस प्रकार, a 3 b 2 को b 2 से विभाजित करने पर a 3 के बराबर होता है।

या:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5 को 3 से विभाजित करके लिखना $\frac(a^5)(a^3)$ जैसा दिखता है। लेकिन यह 2 के बराबर है। संख्याओं की एक श्रृंखला में
ए +4, ए +3, ए +2, ए +1, ए 0, ए -1, ए -2, ए -3, ए -4।
किसी भी संख्या को दूसरे से विभाजित किया जा सकता है, और घातांक बराबर होगा अंतरविभाज्य संख्याओं के सूचक.

समान आधार से अंशों को विभाजित करने पर उनके घातांक घटा दिए जाते हैं।.

तो, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. अर्थात, $\frac(yyy)(yy) = y$.

और a n+1:a = a n+1-1 = a n। अर्थात्, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

या:
y 2m: y m = y m
8ए एन+एम: 4ए एम = 2ए एन
12(बी + वाई) एन: 3(बी + वाई) 3 = 4(बी +वाई) एन-3

यह नियम संख्याओं के लिए भी सत्य है नकारात्मकडिग्रियों का मान.
-5 को -3 से विभाजित करने पर परिणाम -2 आता है।
इसके अलावा, $\frac(1)(aaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aAA).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aAAa) = \frac (1)(एए)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 या $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

घातों के गुणन और विभाजन में अच्छी तरह से महारत हासिल करना आवश्यक है, क्योंकि बीजगणित में ऐसे संक्रियाओं का बहुत व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

घातों वाली संख्याओं वाले भिन्नों को हल करने के उदाहरण

1. घातांक को $\frac(5a^4)(3a^2)$ से कम करें उत्तर: $\frac(5a^2)(3)$.

2. घातांक को $\frac(6x^6)(3x^5)$ से कम करें। उत्तर: $\frac(2x)(1)$ या 2x.

3. घातांक a 2 /a 3 और a -3 /a -4 को कम करें और एक उभयनिष्ठ हर पर लाएँ।
a 2 .a -4, a -2 पहला अंश है।
a 3 .a -3 एक 0 = 1 है, दूसरा अंश।
a 3 .a -4 एक -1 है, जो सामान्य अंश है।
सरलीकरण के बाद: a -2 /a -1 और 1/a -1 .

4. घातांक 2a 4 /5a 3 और 2 /a 4 को कम करें और एक उभयनिष्ठ हर पर लाएँ।
उत्तर: 2ए 3 /5ए 7 और 5ए 5 /5ए 7 या 2ए 3 /5ए 2 और 5/5ए 2।

5. (a 3 + b)/b 4 को (a - b)/3 से गुणा करें।

6. (a 5 + 1)/x 2 को (b 2 - 1)/(x + a) से गुणा करें।

7. b 4 /a -2 को h -3 /x और a n /y -3 से गुणा करें।

8. a 4 /y 3 को a 3 /y 2 से विभाजित करें। उत्तर: ए/वाई.

9. (h 3 - 1)/d 4 को (d n + 1)/h से विभाजित करें।

प्रथम स्तर

डिग्री और उसके गुण. व्यापक गाइड (2019)

डिग्री की आवश्यकता क्यों है? आपको उनकी आवश्यकता कहां होगी? आपको उनका अध्ययन करने के लिए समय क्यों निकालना चाहिए?

डिग्रियों के बारे में सब कुछ जानने के लिए, उनकी क्या आवश्यकता है, और रोजमर्रा की जिंदगी में अपने ज्ञान का उपयोग कैसे करें, इस लेख को पढ़ें।

और, निःसंदेह, डिग्रियों का ज्ञान आपको एकीकृत राज्य परीक्षा या एकीकृत राज्य परीक्षा को सफलतापूर्वक उत्तीर्ण करने और अपने सपनों के विश्वविद्यालय में प्रवेश के करीब लाएगा।

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प्रथम स्तर

घातांक जोड़, घटाव, गुणा या भाग की तरह ही एक गणितीय संक्रिया है।

अब मैं बहुत ही सरल उदाहरणों का उपयोग करके मानवीय भाषा में सब कुछ समझाऊंगा। ध्यान से। उदाहरण प्राथमिक हैं, लेकिन महत्वपूर्ण बातें समझाते हैं।

आइए जोड़ से शुरू करें।

यहां समझाने के लिए कुछ भी नहीं है. आप पहले से ही सब कुछ जानते हैं: हम आठ हैं। हर किसी के पास कोला की दो बोतलें हैं। वहां कितना कोला है? यह सही है - 16 बोतलें।

अब गुणा.

कोला के साथ एक ही उदाहरण को अलग तरीके से लिखा जा सकता है:। गणितज्ञ चालाक और आलसी लोग होते हैं। वे पहले कुछ पैटर्न नोटिस करते हैं, और फिर उन्हें तेजी से "गिनने" का तरीका ढूंढते हैं। हमारे मामले में, उन्होंने देखा कि आठ लोगों में से प्रत्येक के पास समान संख्या में कोला की बोतलें थीं और वे गुणन नामक एक तकनीक लेकर आए। सहमत हूँ, इसे इससे भी आसान और तेज़ माना जाता है।

इसलिए, तेज़, आसान और त्रुटियों के बिना गिनती करने के लिए, आपको बस याद रखने की ज़रूरत है पहाड़ा. बेशक, आप हर काम धीमी गति से, अधिक कठिन और गलतियों के साथ कर सकते हैं! लेकिन…

यहाँ गुणन सारणी है. दोहराना।

और एक और, अधिक सुंदर:

आलसी गणितज्ञों ने गिनती की और कौन-सी चतुर चालें ईजाद की हैं? सही - किसी संख्या को घात तक बढ़ाना.

किसी संख्या को घात तक बढ़ाना

यदि आपको किसी संख्या को उसी से पाँच गुना गुणा करने की आवश्यकता है, तो गणितज्ञों का कहना है कि आपको उस संख्या को पाँचवीं घात तक बढ़ाने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, । गणितज्ञों को याद है कि दो से पाँचवीं घात है... और वे ऐसी समस्याओं को अपने दिमाग में हल करते हैं - तेज़, आसान और बिना गलतियों के।

आपको बस इतना करना है याद रखें कि संख्याओं की शक्तियों की तालिका में रंग में क्या हाइलाइट किया गया है. मेरा विश्वास करें, इससे आपका जीवन बहुत आसान हो जाएगा।

वैसे, इसे दूसरी डिग्री क्यों कहा जाता है? वर्गसंख्याएँ, और तीसरा - घनक्षेत्र? इसका मतलब क्या है? बहुत अच्छा प्रश्न. अब आपके पास वर्ग और घन दोनों होंगे।

वास्तविक जीवन का उदाहरण #1

आइए वर्ग या संख्या की दूसरी घात से प्रारंभ करें।

एक मीटर गुणा एक मीटर मापने वाले एक वर्गाकार पूल की कल्पना करें। पूल आपके दचा में है। गर्मी है और मैं सचमुच तैरना चाहता हूँ। लेकिन... पूल में कोई पेंदी नहीं है! आपको पूल के निचले हिस्से को टाइल्स से ढंकना होगा। आपको कितनी टाइल्स की आवश्यकता है? इसे निर्धारित करने के लिए, आपको पूल के निचले क्षेत्र को जानना होगा।

आप बस अपनी उंगली दिखाकर गणना कर सकते हैं कि पूल के तल में मीटर दर मीटर घन हैं। यदि आपके पास एक मीटर गुणा एक मीटर की टाइलें हैं, तो आपको टुकड़ों की आवश्यकता होगी। यह आसान है... लेकिन आपने ऐसी टाइलें कहाँ देखी हैं? टाइल संभवतः सेमी दर सेमी होगी। और फिर आपको "अपनी उंगली से गिनकर" यातना दी जाएगी। फिर आपको गुणा करना होगा. तो, पूल के तल के एक तरफ हम टाइलें (टुकड़े) फिट करेंगे और दूसरी तरफ भी, टाइलें। से गुणा करें और आपको टाइलें () मिलेंगी।

क्या आपने देखा कि पूल के तल का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए हमने उसी संख्या को उसी से गुणा किया है? इसका मतलब क्या है? चूँकि हम एक ही संख्या को गुणा कर रहे हैं, हम "घातांक" तकनीक का उपयोग कर सकते हैं। (बेशक, जब आपके पास केवल दो संख्याएँ हों, तब भी आपको उन्हें गुणा करने या उन्हें एक घात तक बढ़ाने की आवश्यकता होती है। लेकिन यदि आपके पास उनमें से बहुत सारे हैं, तो उन्हें एक घात तक बढ़ाना बहुत आसान है और गणना में त्रुटियाँ भी कम होती हैं। . एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए, यह बहुत महत्वपूर्ण है)।
तो, तीस से दूसरी घात () होगी। या हम कह सकते हैं कि तीस वर्ग होगा. दूसरे शब्दों में, किसी संख्या की दूसरी घात को हमेशा एक वर्ग के रूप में दर्शाया जा सकता है। और इसके विपरीत, यदि आप एक वर्ग देखते हैं, तो यह हमेशा किसी संख्या की दूसरी शक्ति है। वर्ग किसी संख्या की दूसरी घात का प्रतिबिम्ब है।

वास्तविक जीवन का उदाहरण #2

यहां आपके लिए एक कार्य है: संख्या के वर्ग का उपयोग करके गिनें कि शतरंज की बिसात पर कितने वर्ग हैं... कोशिकाओं के एक तरफ और दूसरी तरफ भी। उनकी संख्या की गणना करने के लिए, आपको आठ को आठ से गुणा करना होगा या... यदि आप देखते हैं कि शतरंज की बिसात एक भुजा वाला एक वर्ग है, तो आप आठ का वर्ग कर सकते हैं। आपको कोशिकाएं मिलेंगी. () इसलिए?

वास्तविक जीवन का उदाहरण #3

अब किसी संख्या का घन या तीसरी शक्ति। वही तालाब. लेकिन अब आपको यह पता लगाना होगा कि इस कुंड में कितना पानी डालना होगा। आपको वॉल्यूम की गणना करने की आवश्यकता है. (वैसे, आयतन और तरल पदार्थ घन मीटर में मापे जाते हैं। अप्रत्याशित, सही?) एक पूल बनाएं: तल का आकार एक मीटर और गहराई एक मीटर है, और गिनने का प्रयास करें कि एक मीटर को एक मीटर से मापने पर कितने घन होंगे अपने पूल में फिट हो जाओ.

बस अपनी उंगली उठायें और गिनें! एक, दो, तीन, चार... बाईस, तेईस... आपको कितने मिले? खोया नहीं? क्या अपनी उंगली से गिनना मुश्किल है? ताकि! गणितज्ञों से एक उदाहरण लीजिए। वे आलसी हैं, इसलिए उन्होंने देखा कि पूल की मात्रा की गणना करने के लिए, आपको इसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई को एक दूसरे से गुणा करना होगा। हमारे मामले में, पूल का आयतन घनों के बराबर होगा... आसान है, है ना?

अब कल्पना कीजिए कि अगर गणितज्ञों ने इसे भी सरल बना दिया तो वे कितने आलसी और चालाक गणितज्ञ होंगे। हमने हर चीज़ को एक कार्रवाई तक सीमित कर दिया। उन्होंने देखा कि लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई बराबर हैं और वही संख्या अपने आप गुणा हो जाती है... इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि आप डिग्री का लाभ उठा सकते हैं। तो, जो आपने एक बार अपनी उंगली से गिना था, वे एक ही क्रिया में करते हैं: तीन घन बराबर हैं। इसे इस प्रकार लिखा गया है: .

बस इतना ही बाकी है डिग्रियों की तालिका याद रखें. बशर्ते, आप गणितज्ञों की तरह आलसी और चालाक न हों। यदि आपको कड़ी मेहनत करना और गलतियाँ करना पसंद है, तो आप अपनी उंगली से गिनना जारी रख सकते हैं।

खैर, अंततः आपको यह समझाने के लिए कि डिग्रियों का आविष्कार नौकरी छोड़ने वालों और चालाक लोगों ने अपने जीवन की समस्याओं को हल करने के लिए किया था, न कि आपके लिए समस्याएं पैदा करने के लिए, यहां जीवन से कुछ और उदाहरण दिए गए हैं।

वास्तविक जीवन का उदाहरण #4

आपके पास दस लाख रूबल हैं। प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में, आपके द्वारा कमाए गए प्रत्येक मिलियन के बदले में आप एक और मिलियन कमाते हैं। अर्थात्, प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में आपके पास प्रत्येक मिलियन दोगुना हो जाता है। वर्षों में आपके पास कितना पैसा होगा? यदि आप अभी बैठे हैं और "अपनी उंगली से गिन रहे हैं", तो आप बहुत मेहनती व्यक्ति हैं और... बेवकूफ हैं। लेकिन सबसे अधिक संभावना है कि आप कुछ सेकंड में उत्तर दे देंगे, क्योंकि आप स्मार्ट हैं! तो, पहले वर्ष में - दो को दो से गुणा किया गया... दूसरे वर्ष में - क्या हुआ, दो और से, तीसरे वर्ष में... रुकें! आपने देखा कि संख्या अपने आप से गुणा हो जाती है। तो दो से पाँचवीं घात एक मिलियन है! अब कल्पना करें कि आपके पास एक प्रतियोगिता है और जो सबसे तेज़ गिनती कर सकता है उसे ये लाखों मिलेंगे... यह संख्याओं की शक्तियों को याद रखने लायक है, क्या आपको नहीं लगता?

वास्तविक जीवन का उदाहरण #5

आपके पास दस लाख हैं. प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में, प्रत्येक दस लाख की कमाई पर आप दो और कमाते हैं। बढ़िया है ना? प्रत्येक मिलियन तीन गुना है। एक साल में आपके पास कितना पैसा होगा? आइये गिनते हैं। पहला वर्ष - गुणा करें, फिर परिणाम दूसरे से... यह पहले से ही उबाऊ है, क्योंकि आप पहले ही सब कुछ समझ चुके हैं: तीन को अपने आप से गुणा किया जाता है। तो चौथी शक्ति के लिए यह एक मिलियन के बराबर है। आपको बस यह याद रखना है कि तीन से चौथी शक्ति या है।

अब आप जानते हैं कि किसी संख्या को घात तक बढ़ाकर आप अपना जीवन बहुत आसान बना लेंगे। आइए आगे देखें कि आप डिग्रियों के साथ क्या कर सकते हैं और आपको उनके बारे में क्या जानने की आवश्यकता है।

नियम और अवधारणाएँ...ताकि भ्रमित न हों

तो, पहले, आइए अवधारणाओं को परिभाषित करें। आप क्या सोचते हैं, प्रतिपादक क्या है? यह बहुत सरल है - यह वह संख्या है जो संख्या की शक्ति के "शीर्ष पर" है। वैज्ञानिक नहीं, लेकिन स्पष्ट और याद रखने में आसान...

खैर, साथ ही, क्या ऐसा डिग्री आधार? और भी सरल - यह वह संख्या है जो नीचे, आधार पर स्थित है।

यहाँ अच्छे उपाय के लिए एक चित्र है।

खैर, सामान्य शब्दों में, सामान्यीकरण करने और बेहतर ढंग से याद रखने के लिए... आधार "" और एक घातांक "" वाली डिग्री को "डिग्री तक" के रूप में पढ़ा और लिखा जाता है इस अनुसार:

प्राकृतिक घातांक के साथ किसी संख्या की शक्ति

आप शायद पहले ही अनुमान लगा चुके हैं: क्योंकि घातांक एक प्राकृतिक संख्या है। हाँ, लेकिन यह क्या है? प्राकृतिक संख्या? प्राथमिक! प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग वस्तुओं को सूचीबद्ध करते समय गिनती में किया जाता है: एक, दो, तीन... जब हम वस्तुओं को गिनते हैं, तो हम यह नहीं कहते हैं: "माइनस फाइव," "माइनस छह," "माइनस सात।" हम यह भी नहीं कहते: "एक तिहाई", या "शून्य दशमलव पाँच"। ये प्राकृतिक संख्याएँ नहीं हैं. आपके अनुसार ये कौन सी संख्याएँ हैं?

"माइनस फाइव", "माइनस सिक्स", "माइनस सात" जैसी संख्याएँ संदर्भित हैं पूर्ण संख्याएं।सामान्य तौर पर, पूर्णांकों में सभी प्राकृतिक संख्याएँ, प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ (अर्थात् ऋण चिह्न के साथ ली गई) और संख्याएँ शामिल होती हैं। शून्य को समझना आसान है - यह तब होता है जब कुछ भी नहीं होता है। ऋणात्मक ("ऋण") संख्याओं का क्या अर्थ है? लेकिन उनका आविष्कार मुख्य रूप से ऋणों को इंगित करने के लिए किया गया था: यदि आपके फोन पर रूबल में शेष राशि है, तो इसका मतलब है कि आप पर ऑपरेटर रूबल का बकाया है।

सभी भिन्न परिमेय संख्याएँ हैं। वे कैसे उत्पन्न हुए, क्या आप सोचते हैं? बहुत सरल। कई हजार साल पहले, हमारे पूर्वजों को पता चला कि उनके पास लंबाई, वजन, क्षेत्रफल आदि मापने के लिए प्राकृतिक संख्याओं का अभाव है। और वे लेकर आये भिन्नात्मक संख्याएं... दिलचस्प है, है ना?

अपरिमेय संख्याएँ भी हैं। ये संख्याएँ क्या हैं? संक्षेप में, यह एक अनंत दशमलव अंश है। उदाहरण के लिए, यदि आप किसी वृत्त की परिधि को उसके व्यास से विभाजित करते हैं, तो आपको एक अपरिमेय संख्या प्राप्त होती है।

सारांश:

आइए हम एक डिग्री की अवधारणा को परिभाषित करें जिसका घातांक एक प्राकृतिक संख्या है (यानी, पूर्णांक और सकारात्मक)।

1. पहली घात की कोई भी संख्या स्वयं के बराबर होती है:
2. किसी संख्या का वर्ग करने का अर्थ है उसे स्वयं से गुणा करना:
3. किसी संख्या को घन करने का अर्थ है उसे अपने आप से तीन बार गुणा करना:

परिभाषा।किसी संख्या को प्राकृतिक घात तक बढ़ाने का अर्थ है उस संख्या को उसी संख्या से गुणा करना:
.

डिग्री के गुण

ये संपत्तियां कहां से आईं? मैं तुम्हें अभी दिखाता हूँ.

आइए देखें: यह क्या है और ?

ए-प्राथमिकता:

कुल कितने गुणक हैं?

यह बहुत सरल है: हमने कारकों में गुणक जोड़े, और परिणाम गुणक है।

लेकिन परिभाषा के अनुसार, यह एक घातांक वाली संख्या की शक्ति है, जो है:, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

उदाहरण: अभिव्यक्ति को सरल बनाएं.

समाधान:

उदाहरण:अभिव्यक्ति को सरल कीजिये.

समाधान:हमारे नियम में यह ध्यान रखना जरूरी है अनिवार्य रूप सेवही कारण होंगे!
इसलिए, हम शक्तियों को आधार के साथ जोड़ते हैं, लेकिन यह एक अलग कारक बना रहता है:

केवल शक्तियों के उत्पाद के लिए!

आप किसी भी हालत में ऐसा नहीं लिख सकते.

2. बस इतना ही किसी संख्या की वां घात

पिछली संपत्ति की तरह, आइए डिग्री की परिभाषा की ओर मुड़ें:

इससे पता चलता है कि व्यंजक को स्वयं से कई गुना गुणा किया जाता है, अर्थात परिभाषा के अनुसार, यह संख्या की वीं घात है:

संक्षेप में, इसे "संकेतक को कोष्ठक से बाहर निकालना" कहा जा सकता है। लेकिन आप इसे समग्र रूप से कभी नहीं कर सकते:

आइए संक्षिप्त गुणन सूत्र याद रखें: हम कितनी बार लिखना चाहते थे?

लेकिन आख़िरकार यह सच नहीं है।

नकारात्मक आधार वाली शक्ति

इस बिंदु तक, हमने केवल इस बात पर चर्चा की है कि प्रतिपादक क्या होना चाहिए।

लेकिन आधार क्या होना चाहिए?

की शक्तियों में प्राकृतिक सूचकआधार हो सकता है कोई संख्या. दरअसल, हम किसी भी संख्या को एक-दूसरे से गुणा कर सकते हैं, चाहे वे सकारात्मक, नकारात्मक या सम हों।

आइए विचार करें कि किन चिन्हों ("" या "") में धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं की शक्तियाँ होंगी?

उदाहरण के लिए, संख्या धनात्मक है या ऋणात्मक? ए? ? पहले वाले से, सब कुछ स्पष्ट है: चाहे हम कितनी भी सकारात्मक संख्याओं को एक-दूसरे से गुणा करें, परिणाम सकारात्मक ही होगा।

लेकिन नकारात्मक बातें थोड़ी अधिक दिलचस्प हैं। हमें छठी कक्षा का सरल नियम याद है: "माइनस के लिए माइनस एक प्लस देता है।" वह है, या. लेकिन अगर हम इसे गुणा करें, तो यह काम करता है।

स्वयं निर्धारित करें कि निम्नलिखित भावों में कौन सा चिन्ह होगा:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

क्या आप संभाल पाओगे?

यहाँ उत्तर हैं: पहले चार उदाहरणों में, मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है? हम बस आधार और घातांक को देखते हैं और उचित नियम लागू करते हैं।

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

उदाहरण 5 में) सब कुछ उतना डरावना नहीं है जितना लगता है: आखिरकार, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार किसके बराबर है - डिग्री सम है, जिसका अर्थ है कि परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा।

खैर, सिवाय इसके कि जब आधार शून्य हो। आधार तो एक समान नहीं है? जाहिर तौर पर नहीं, चूँकि (क्योंकि)।

उदाहरण 6) अब इतना सरल नहीं रहा!

अभ्यास के लिए 6 उदाहरण

समाधान का विश्लेषण 6 उदाहरण

यदि हम आठवीं शक्ति की उपेक्षा करें तो हम यहाँ क्या देखते हैं? आइए सातवीं कक्षा के कार्यक्रम को याद करें। तो, क्या आपको याद है? यह संक्षिप्त गुणन का सूत्र है, अर्थात वर्गों का अंतर! हम पाते हैं:

आइए हर को ध्यान से देखें। यह काफी हद तक अंश कारकों में से एक जैसा दिखता है, लेकिन गलत क्या है? शर्तों का क्रम ग़लत है. यदि उन्हें उलट दिया जाता, तो नियम लागू हो सकता था।

लेकिन ऐसा कैसे करें? यह पता चला है कि यह बहुत आसान है: हर की सम डिग्री यहां हमारी मदद करती है।

जादुई ढंग से शर्तें बदल गईं। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति पर एक समान डिग्री तक लागू होती है: हम कोष्ठक में संकेतों को आसानी से बदल सकते हैं।

लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: सभी संकेत एक ही समय में बदलते हैं!

आइए उदाहरण पर वापस जाएं:

और फिर सूत्र:

साबुतहम प्राकृतिक संख्याएँ, उनके विपरीत (अर्थात " " चिह्न के साथ ली गई) और संख्या कहते हैं।

सकारात्मक पूर्णांक, और यह प्राकृतिक से अलग नहीं है, तो सब कुछ बिल्कुल पिछले अनुभाग जैसा दिखता है।

अब नजर डालते हैं नए मामलों पर. आइए इसके बराबर एक संकेतक से शुरू करें।

शून्य घात की कोई भी संख्या एक के बराबर होती है:

हमेशा की तरह, आइए हम खुद से पूछें: ऐसा क्यों है?

आइए आधार के साथ कुछ डिग्री पर विचार करें। उदाहरण के लिए, लें और इससे गुणा करें:

तो, हमने संख्या को गुणा किया, और हमें वही चीज़ मिली जो वह थी -। आपको किस संख्या से गुणा करना चाहिए ताकि कुछ भी न बदले? यह सही है, चालू. मतलब।

हम एक मनमानी संख्या के साथ भी ऐसा ही कर सकते हैं:

आइए नियम दोहराएं:

शून्य घात की कोई भी संख्या एक के बराबर होती है।

लेकिन कई नियमों के अपवाद भी हैं. और यहाँ यह भी है - यह एक संख्या है (आधार के रूप में)।

एक ओर, यह किसी भी डिग्री के बराबर होना चाहिए - चाहे आप शून्य को स्वयं से कितना भी गुणा कर लें, फिर भी आपको शून्य ही मिलेगा, यह स्पष्ट है। लेकिन दूसरी ओर, शून्य घात की किसी भी संख्या की तरह, यह बराबर होना चाहिए। तो यह कितना सच है? गणितज्ञों ने इसमें शामिल न होने का निर्णय लिया और शून्य से शून्य घात बढ़ाने से इनकार कर दिया। अर्थात्, अब हम न केवल शून्य से विभाजित कर सकते हैं, बल्कि इसे शून्य घात तक बढ़ा भी सकते हैं।

पर चलते हैं। पूर्णांकों में प्राकृतिक संख्याओं और संख्याओं के अलावा ऋणात्मक संख्याएँ भी शामिल होती हैं। यह समझने के लिए कि ऋणात्मक घात क्या है, आइए पिछली बार की तरह करें: किसी सामान्य संख्या को उसी संख्या से ऋणात्मक घात से गुणा करें:

यहां से यह व्यक्त करना आसान है कि आप क्या खोज रहे हैं:

आइए अब परिणामी नियम को मनमाने ढंग से विस्तारित करें:

तो, आइए एक नियम बनाएं:

ऋणात्मक घात वाली संख्या उसी संख्या की धनात्मक घात वाली संख्या का व्युत्क्रम होती है। लेकिन साथ ही आधार शून्य नहीं हो सकता:(क्योंकि आप विभाजित नहीं कर सकते)।

आइए संक्षेप में बताएं:

I. मामले में अभिव्यक्ति परिभाषित नहीं है। तो अगर।

द्वितीय. शून्य घात की कोई भी संख्या एक के बराबर होती है:।

तृतीय. एक संख्या जो किसी ऋणात्मक घात के शून्य के बराबर नहीं है, उसी संख्या की एक धनात्मक घात के व्युत्क्रम है:।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

खैर, हमेशा की तरह, स्वतंत्र समाधानों के उदाहरण:

स्वतंत्र समाधान के लिए समस्याओं का विश्लेषण:

मुझे पता है, मुझे पता है, संख्याएँ डरावनी हैं, लेकिन एकीकृत राज्य परीक्षा में आपको किसी भी चीज़ के लिए तैयार रहना होगा! यदि आप इन्हें हल नहीं कर सके तो इन उदाहरणों को हल करें या उनके समाधानों का विश्लेषण करें और आप परीक्षा में आसानी से उनका सामना करना सीख जाएंगे!

आइए एक प्रतिपादक के रूप में "उपयुक्त" संख्याओं की सीमा का विस्तार करना जारी रखें।

अब आइये विचार करें भिन्नात्मक संख्याएं।कौन सी संख्याएँ परिमेय कहलाती हैं?

उत्तर: वह सब कुछ जिसे भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां और पूर्णांक हैं, और।

यह समझने के लिए कि यह क्या है "आंशिक डिग्री", भिन्न पर विचार करें:

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को एक घात तक बढ़ाएं:

आइए अब इसके बारे में नियम याद रखें "डिग्री से डिग्री":

प्राप्त करने के लिए किस संख्या को घात तक बढ़ाया जाना चाहिए?

यह सूत्रीकरण वें डिग्री की जड़ की परिभाषा है।

मैं आपको याद दिला दूं: किसी संख्या की वें घात का मूल () वह संख्या है, जिसे एक घात तक बढ़ाने पर, बराबर होता है।

अर्थात्, वें शक्ति का मूल एक शक्ति को ऊपर उठाने का व्युत्क्रम संक्रिया है:।

यह पता चला है कि। जाहिर है, इस विशेष मामले का विस्तार किया जा सकता है:।

अब हम अंश जोड़ते हैं: यह क्या है? पावर-टू-पावर नियम का उपयोग करके उत्तर प्राप्त करना आसान है:

लेकिन क्या आधार कोई संख्या हो सकता है? आख़िरकार, सभी संख्याओं से मूल नहीं निकाला जा सकता।

कोई नहीं!

आइए नियम को याद रखें: किसी भी संख्या को सम घात तक बढ़ाने पर वह एक धनात्मक संख्या होती है। अर्थात् ऋणात्मक संख्याओं से सम मूल निकालना असंभव है!

इसका मतलब यह है कि ऐसी संख्याओं को सम हर के साथ भिन्नात्मक घात तक नहीं बढ़ाया जा सकता है, यानी अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है।

अभिव्यक्ति के बारे में क्या?

लेकिन यहां एक समस्या खड़ी हो जाती है.

संख्या को अन्य, कम करने योग्य भिन्नों के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, या।

और यह पता चला कि यह अस्तित्व में है, लेकिन अस्तित्व में नहीं है, लेकिन ये एक ही संख्या के दो अलग-अलग रिकॉर्ड हैं।

या दूसरा उदाहरण: एक बार, फिर आप इसे लिख सकते हैं। लेकिन अगर हम संकेतक को अलग तरीके से लिखते हैं, तो हम फिर से परेशानी में पड़ जाएंगे: (यानी, हमें पूरी तरह से अलग परिणाम मिला!)।

ऐसे विरोधाभासों से बचने के लिए हम विचार करते हैं भिन्नात्मक घातांक के साथ केवल सकारात्मक आधार घातांक.

तो यदि:

• - प्राकृतिक संख्या;
• - पूर्णांक;

उदाहरण:

उदाहरण के लिए, जड़ों के साथ अभिव्यक्ति को बदलने के लिए तर्कसंगत घातांक बहुत उपयोगी होते हैं:

अभ्यास के लिए 5 उदाहरण

प्रशिक्षण के लिए 5 उदाहरणों का विश्लेषण

खैर, अब सबसे कठिन हिस्सा आता है। अब हम इसका पता लगाएंगे अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री.

अपवाद के साथ, यहां डिग्री के सभी नियम और गुण तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ डिग्री के समान ही हैं

आख़िरकार, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें भिन्न के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, जहाँ और पूर्णांक हैं (अर्थात, परिमेय संख्याओं को छोड़कर सभी अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ हैं)।

प्राकृतिक, पूर्णांक और तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हर बार हमने एक निश्चित "छवि", "सादृश्य" या अधिक परिचित शब्दों में विवरण बनाया।

उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक घातांक वाली डिग्री एक संख्या है जिसे अपने आप से कई बार गुणा किया जाता है;

...शून्यवीं घात तक की संख्या- यह, जैसा कि था, एक संख्या है जिसे एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है, अर्थात, उन्होंने अभी तक इसे गुणा करना शुरू नहीं किया है, जिसका अर्थ है कि संख्या स्वयं अभी तक प्रकट भी नहीं हुई है - इसलिए परिणाम केवल एक निश्चित "रिक्त संख्या" है , अर्थात् एक संख्या;

...ऋणात्मक पूर्णांक डिग्री- ऐसा लगता है जैसे कोई "उल्टी प्रक्रिया" घटित हुई हो, अर्थात संख्या को स्वयं से गुणा नहीं किया गया, बल्कि विभाजित किया गया।

वैसे, विज्ञान में अक्सर एक जटिल घातांक वाली डिग्री का उपयोग किया जाता है, अर्थात, घातांक एक वास्तविक संख्या भी नहीं है।

लेकिन स्कूल में हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं, आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।

जहां हमें यकीन है कि आप जाएंगे! (यदि आप ऐसे उदाहरणों को हल करना सीख जाते हैं :))

उदाहरण के लिए:

अपने लिए तय करें:

समाधान का विश्लेषण:

1. आइए एक शक्ति को एक शक्ति तक बढ़ाने के सामान्य नियम से शुरू करें:

अब सूचक को देखें. क्या वह तुम्हें कुछ याद नहीं दिलाता? आइए हम वर्गों के अंतर के संक्षिप्त गुणन के सूत्र को याद करें:

इस मामले में,

यह पता चला है कि:

उत्तर: .

2. हम घातांकों में भिन्नों को एक ही रूप में घटाते हैं: या तो दोनों दशमलव या दोनों साधारण। उदाहरण के लिए, हमें मिलता है:

उत्तर: 16

3. कुछ खास नहीं, हम डिग्रियों के सामान्य गुणों का उपयोग करते हैं:

अग्रवर्ती स्तर

डिग्री का निर्धारण

एक डिग्री इस रूप की अभिव्यक्ति है: , जहां:

• — डिग्री का आधार;
• - प्रतिपादक.

प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री (एन = 1, 2, 3,...)

किसी संख्या को प्राकृतिक घात n तक बढ़ाने का अर्थ है उस संख्या को उसी संख्या से गुणा करना:

पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री (0, ±1, ±2,...)

यदि प्रतिपादक है सकारात्मक पूर्णांकसंख्या:

निर्माण शून्य डिग्री तक:

अभिव्यक्ति अनिश्चित है, क्योंकि एक ओर, किसी भी डिग्री तक यह है, और दूसरी ओर, वें डिग्री तक कोई भी संख्या यह है।

यदि प्रतिपादक है ऋणात्मक पूर्णांकसंख्या:

(क्योंकि आप विभाजित नहीं कर सकते)।

एक बार फिर शून्य के बारे में: मामले में अभिव्यक्ति परिभाषित नहीं है। तो अगर।

उदाहरण:

तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ शक्ति

• - प्राकृतिक संख्या;
• - पूर्णांक;

उदाहरण:

डिग्री के गुण

समस्याओं को हल करना आसान बनाने के लिए, आइए समझने की कोशिश करें: ये गुण कहाँ से आए? आइए उन्हें साबित करें.

आइए देखें: क्या है और?

ए-प्राथमिकता:

तो, इस अभिव्यक्ति के दाईं ओर हमें निम्नलिखित उत्पाद मिलता है:

लेकिन परिभाषा के अनुसार यह एक घातांक वाली संख्या की घात है, अर्थात:

क्यू.ई.डी.

उदाहरण : अभिव्यक्ति को सरल बनाएं.

समाधान : .

उदाहरण : अभिव्यक्ति को सरल बनाएं.

समाधान : हमारे नियम में यह ध्यान रखना जरूरी है अनिवार्य रूप सेवही कारण होंगे. इसलिए, हम शक्तियों को आधार के साथ जोड़ते हैं, लेकिन यह एक अलग कारक बना रहता है:

एक और महत्वपूर्ण नोट: यह नियम - केवल शक्तियों के उत्पाद के लिए!

आप किसी भी हालत में ऐसा नहीं लिख सकते.

पिछली संपत्ति की तरह, आइए डिग्री की परिभाषा की ओर मुड़ें:

आइए इस कार्य को इस प्रकार पुनः व्यवस्थित करें:

इससे पता चलता है कि व्यंजक को स्वयं से कई गुना गुणा किया जाता है, अर्थात परिभाषा के अनुसार, यह संख्या की वीं घात है:

संक्षेप में, इसे "संकेतक को कोष्ठक से बाहर निकालना" कहा जा सकता है। लेकिन आप इसे समग्र रूप से कभी नहीं कर सकते: !

आइए संक्षिप्त गुणन सूत्र याद रखें: हम कितनी बार लिखना चाहते थे? लेकिन आख़िरकार यह सच नहीं है।

नकारात्मक आधार वाली शक्ति.

इस बिंदु तक हमने केवल इस पर चर्चा की है कि यह कैसा होना चाहिए अनुक्रमणिकाडिग्री. लेकिन आधार क्या होना चाहिए? की शक्तियों में प्राकृतिक सूचक आधार हो सकता है कोई संख्या .

दरअसल, हम किसी भी संख्या को एक-दूसरे से गुणा कर सकते हैं, चाहे वे सकारात्मक, नकारात्मक या सम हों। आइए विचार करें कि किन चिन्हों ("" या "") में धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं की शक्तियाँ होंगी?

उदाहरण के लिए, संख्या धनात्मक है या ऋणात्मक? ए? ?

पहले वाले से, सब कुछ स्पष्ट है: चाहे हम कितनी भी सकारात्मक संख्याओं को एक-दूसरे से गुणा करें, परिणाम सकारात्मक ही होगा।

लेकिन नकारात्मक बातें थोड़ी अधिक दिलचस्प हैं। हमें छठी कक्षा का सरल नियम याद है: "माइनस के लिए माइनस एक प्लस देता है।" वह है, या. लेकिन यदि हम () से गुणा करें तो हमें - मिलता है।

और इसी तरह अनंत काल तक: प्रत्येक बाद के गुणन के साथ चिह्न बदल जाएगा। निम्नलिखित सरल नियम बनाये जा सकते हैं:

1. यहां तक ​​कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
2. ऋणात्मक संख्या को बढ़ा दिया गया विषमडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
3. किसी भी डिग्री तक एक धनात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या होती है।
4. किसी भी शक्ति का शून्य शून्य के बराबर होता है।

स्वयं निर्धारित करें कि निम्नलिखित भावों में कौन सा चिन्ह होगा:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

क्या आप संभाल पाओगे? यहाँ उत्तर हैं:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

पहले चार उदाहरणों में, मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है? हम बस आधार और घातांक को देखते हैं और उचित नियम लागू करते हैं।

उदाहरण 5 में) सब कुछ उतना डरावना नहीं है जितना लगता है: आखिरकार, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार किसके बराबर है - डिग्री सम है, जिसका अर्थ है कि परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा। खैर, सिवाय इसके कि जब आधार शून्य हो। आधार तो एक समान नहीं है? जाहिर तौर पर नहीं, चूँकि (क्योंकि)।

उदाहरण 6) अब इतना सरल नहीं है। यहां आपको यह पता लगाना होगा कि कौन सा कम है: या? अगर हम उसे याद रखें तो यह स्पष्ट हो जाता है कि, यानी आधार शून्य से भी कम है। अर्थात्, हम नियम 2 लागू करते हैं: परिणाम नकारात्मक होगा।

और फिर से हम डिग्री की परिभाषा का उपयोग करते हैं:

सब कुछ हमेशा की तरह है - हम डिग्री की परिभाषा लिखते हैं और उन्हें एक दूसरे से विभाजित करते हैं, उन्हें जोड़े में विभाजित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

इससे पहले कि हम आखिरी नियम देखें, आइए कुछ उदाहरण हल करें।

भावों की गणना करें:

समाधान :

यदि हम आठवीं शक्ति की उपेक्षा करें तो हम यहाँ क्या देखते हैं? आइए सातवीं कक्षा के कार्यक्रम को याद करें। तो, क्या आपको याद है? यह संक्षिप्त गुणन का सूत्र है, अर्थात वर्गों का अंतर!

हम पाते हैं:

आइए हर को ध्यान से देखें। यह काफी हद तक अंश कारकों में से एक जैसा दिखता है, लेकिन गलत क्या है? शर्तों का क्रम ग़लत है. यदि उन्हें उलट दिया जाए, तो नियम 3 लागू हो सकता है। लेकिन कैसे? यह पता चला है कि यह बहुत आसान है: हर की सम डिग्री यहां हमारी मदद करती है।

यदि आप इसे गुणा करें, तो कुछ भी नहीं बदलेगा, है ना? लेकिन अब यह इस तरह हो गया है:

जादुई ढंग से शर्तें बदल गईं। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति पर एक समान डिग्री तक लागू होती है: हम कोष्ठक में संकेतों को आसानी से बदल सकते हैं। लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: सभी संकेत एक ही समय में बदलते हैं!आप केवल उस एक नुकसान को बदलकर इसे प्रतिस्थापित नहीं कर सकते जो हमें पसंद नहीं है!

आइए उदाहरण पर वापस जाएं:

और फिर सूत्र:

तो अब आखिरी नियम:

हम इसे कैसे साबित करेंगे? बेशक, हमेशा की तरह: आइए डिग्री की अवधारणा पर विस्तार करें और इसे सरल बनाएं:

खैर, अब कोष्ठक खोलें। कुल कितने अक्षर हैं? गुणक द्वारा गुणा - यह आपको क्या याद दिलाता है? यह एक ऑपरेशन की परिभाषा से अधिक कुछ नहीं है गुणा:वहां सिर्फ मल्टीप्लायर थे. अर्थात्, परिभाषा के अनुसार, यह एक घातांक वाली संख्या की घात है:

उदाहरण:

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री

औसत स्तर के लिए डिग्री के बारे में जानकारी के अलावा, हम एक अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री का विश्लेषण करेंगे। यहां डिग्री के सभी नियम और गुण बिल्कुल उसी तरह हैं जैसे कि एक तर्कसंगत घातांक वाली डिग्री के लिए, अपवाद के साथ - आखिरकार, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्याएं वे संख्याएं हैं जिन्हें एक अंश के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, जहां और पूर्णांक हैं (अर्थात्) , परिमेय संख्याओं को छोड़कर सभी अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ हैं)।

प्राकृतिक, पूर्णांक और तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हर बार हमने एक निश्चित "छवि", "सादृश्य" या अधिक परिचित शब्दों में विवरण बनाया। उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक घातांक वाली डिग्री एक संख्या है जिसे अपने आप से कई बार गुणा किया जाता है; शून्य घात की एक संख्या, मानो, एक संख्या है जिसे स्वयं से एक बार गुणा किया जाता है, अर्थात, उन्होंने अभी तक इसे गुणा करना शुरू नहीं किया है, जिसका अर्थ है कि संख्या स्वयं अभी तक प्रकट भी नहीं हुई है - इसलिए परिणाम केवल एक निश्चित है "रिक्त संख्या", अर्थात् एक संख्या; पूर्णांक ऋणात्मक घातांक वाली एक डिग्री - ऐसा लगता है जैसे कोई "विपरीत प्रक्रिया" घटित हुई हो, अर्थात, संख्या को स्वयं से गुणा नहीं किया गया था, बल्कि विभाजित किया गया था।

एक अपरिमेय घातांक वाली डिग्री की कल्पना करना अत्यंत कठिन है (जैसे कि 4-आयामी स्थान की कल्पना करना कठिन है)। बल्कि यह एक विशुद्ध गणितीय वस्तु है जिसे गणितज्ञों ने डिग्री की अवधारणा को संख्याओं के संपूर्ण स्थान तक विस्तारित करने के लिए बनाया है।

वैसे, विज्ञान में अक्सर एक जटिल घातांक वाली डिग्री का उपयोग किया जाता है, अर्थात, घातांक एक वास्तविक संख्या भी नहीं है। लेकिन स्कूल में हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं, आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।

यदि हम एक अपरिमेय प्रतिपादक देखते हैं तो हम क्या करते हैं? हम इससे छुटकारा पाने की पूरी कोशिश कर रहे हैं! :)

उदाहरण के लिए:

अपने लिए तय करें:

1)

2)

3)

उत्तर:

1. आइए वर्गों के अंतर के फार्मूले को याद करें। उत्तर: ।
2. हम भिन्नों को एक ही रूप में घटाते हैं: या तो दोनों दशमलव या दोनों साधारण। उदाहरण के लिए, हमें मिलता है: .
3. कुछ खास नहीं, हम डिग्रियों के सामान्य गुणों का उपयोग करते हैं:

अनुभाग और बुनियादी सूत्रों का सारांश

डिग्रीफॉर्म की अभिव्यक्ति कहा जाता है: , जहां:

पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री

एक डिग्री जिसका घातांक एक प्राकृतिक संख्या है (यानी, पूर्णांक और सकारात्मक)।

तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ शक्ति

डिग्री, जिसका घातांक ऋणात्मक और भिन्नात्मक संख्याएँ हैं।

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री

एक डिग्री जिसका घातांक एक अनंत दशमलव अंश या मूल है।

डिग्री के गुण

डिग्री की विशेषताएं.

• ऋणात्मक संख्या को बढ़ा दिया गया यहां तक ​​कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
• ऋणात्मक संख्या को बढ़ा दिया गया विषमडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
• किसी भी डिग्री तक एक धनात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या होती है।
• शून्य किसी भी शक्ति के बराबर है.
• शून्य घात की कोई भी संख्या बराबर होती है।

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आपको लेख कैसा लगा? आपको यह पसंद आया या नहीं नीचे कमेंट में लिखें।

डिग्री गुणों का उपयोग करके अपने अनुभव के बारे में हमें बताएं।

शायद आपके पास प्रश्न हों. या सुझाव.

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और आपकी परीक्षाओं के लिए शुभकामनाएँ!

शक्ति का उपयोग किसी संख्या को स्वयं से गुणा करने की प्रक्रिया को सरल बनाने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, आप लिखने के बजाय लिख सकते हैं 4 5 (\प्रदर्शन शैली 4^(5))(इस परिवर्तन का स्पष्टीकरण इस लेख के पहले खंड में दिया गया है)। डिग्रियाँ लंबी या जटिल अभिव्यक्तियाँ या समीकरण लिखना आसान बनाती हैं; घातों को जोड़ना और घटाना भी आसान है, जिसके परिणामस्वरूप एक सरलीकृत अभिव्यक्ति या समीकरण बनता है (उदाहरण के लिए, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

टिप्पणी:यदि आपको एक घातीय समीकरण को हल करने की आवश्यकता है (ऐसे समीकरण में अज्ञात घातांक में है), तो पढ़ें।

कदम

डिग्री के साथ सरल समस्याओं का समाधान

घातांक के आधार को घातांक के बराबर कई बार गुणा करें।यदि आपको बिजली की समस्या को हाथ से हल करने की आवश्यकता है, तो शक्ति को गुणन ऑपरेशन के रूप में फिर से लिखें, जहां शक्ति का आधार स्वयं से गुणा हो जाता है। उदाहरण के लिए, एक डिग्री दी गई 3 4 (\प्रदर्शन शैली 3^(4)). इस स्थिति में, घात 3 का आधार स्वयं से 4 गुना गुणा किया जाना चाहिए: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). यहां अन्य उदाहरण हैं:

सबसे पहले, पहली दो संख्याओं को गुणा करें।उदाहरण के लिए, 4 5 (\प्रदर्शन शैली 4^(5)) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). चिंता न करें - गणना प्रक्रिया उतनी जटिल नहीं है जितनी पहली नज़र में लगती है। पहले पहले दो चार को गुणा करें और फिर उन्हें परिणाम से बदलें। इस कदर:

• 4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 * 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. परिणाम (हमारे उदाहरण में 16) को अगली संख्या से गुणा करें।प्रत्येक आगामी परिणाम आनुपातिक रूप से बढ़ेगा। हमारे उदाहरण में, 16 को 4 से गुणा करें। इस तरह:

   • 4 5 = 16 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 * 4 = 64 (\प्रदर्शन शैली 16*4=64)
   • 4 5 = 64 * 4 * 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 * 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 * 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 * 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • जब तक आपको अपना अंतिम उत्तर न मिल जाए, पहले दो संख्याओं के परिणाम को अगली संख्या से गुणा करना जारी रखें। ऐसा करने के लिए, पहले दो संख्याओं को गुणा करें, और फिर परिणामी परिणाम को अनुक्रम में अगली संख्या से गुणा करें। यह विधि किसी भी डिग्री के लिए मान्य है. हमारे उदाहरण में आपको यह मिलना चाहिए: 4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. निम्नलिखित समस्याओं का समाधान करें.कैलकुलेटर का उपयोग करके अपना उत्तर जांचें।

   • 8 2 (\प्रदर्शनशैली 8^(2))
   • 3 4 (\प्रदर्शन शैली 3^(4))
   • 10 7 (\प्रदर्शनशैली 10^(7))

3. अपने कैलकुलेटर पर, "एक्सप" या "लेबल वाली कुंजी देखें x n (\displaystyle x^(n))", या "^"।इस कुंजी का उपयोग करके आप किसी संख्या को घात तक बढ़ा देंगे। किसी बड़े संकेतक के साथ मैन्युअल रूप से डिग्री की गणना करना लगभग असंभव है (उदाहरण के लिए, डिग्री 9 15 (\प्रदर्शन शैली 9^(15))), लेकिन कैलकुलेटर इस कार्य को आसानी से संभाल सकता है। विंडोज़ 7 में, मानक कैलकुलेटर को इंजीनियरिंग मोड में स्विच किया जा सकता है; ऐसा करने के लिए, "देखें" -> "इंजीनियरिंग" पर क्लिक करें। सामान्य मोड पर स्विच करने के लिए, "देखें" -> "सामान्य" पर क्लिक करें।

   • खोज इंजन (Google या Yandex) का उपयोग करके प्राप्त उत्तर की जाँच करें. अपने कंप्यूटर कीबोर्ड पर "^" कुंजी का उपयोग करके, अभिव्यक्ति को खोज इंजन में दर्ज करें, जो तुरंत सही उत्तर प्रदर्शित करेगा (और संभवतः आपके अध्ययन के लिए समान अभिव्यक्ति का सुझाव देगा)।

   घातों का जोड़, घटाव, गुणन

   1. आप डिग्रियों को तभी जोड़ और घटा सकते हैं जब उनका आधार समान हो।यदि आपको समान आधारों और घातांकों के साथ घात जोड़ने की आवश्यकता है, तो आप जोड़ ऑपरेशन को गुणन ऑपरेशन से बदल सकते हैं। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति दी गई है 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). याद रखें कि डिग्री 4 5 (\प्रदर्शन शैली 4^(5))रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); इस प्रकार, 4 5 + 4 5 = 1 * 4 5 + 1 * 4 5 = 2 * 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(जहाँ 1 +1 =2)। अर्थात्, समान डिग्रियों की संख्या गिनें, और फिर उस डिग्रियों और इस संख्या को गुणा करें। हमारे उदाहरण में, 4 को पाँचवीं घात तक बढ़ाएँ, और फिर परिणामी परिणाम को 2 से गुणा करें। याद रखें कि जोड़ ऑपरेशन को गुणन ऑपरेशन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, 3 + 3 = 2 * 3 (\displaystyle 3+3=2*3). यहां अन्य उदाहरण हैं:

      • 3 2 + 3 2 = 2 * 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 * 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. समान आधार से घातों को गुणा करने पर उनके घातांक जोड़ दिए जाते हैं (आधार नहीं बदलता)।उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति दी गई है x 2 * x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). इस मामले में, आपको आधार को अपरिवर्तित छोड़कर केवल संकेतक जोड़ने की आवश्यकता है। इस प्रकार, x 2 * x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). यहां इस नियम की एक दृश्य व्याख्या दी गई है:

      किसी घात को घात तक बढ़ाने पर, घातांक को गुणा किया जाता है।उदाहरण के लिए, एक डिग्री दी जाती है. चूँकि घातांकों को गुणा किया जाता है (x 2) 5 = x 2 * 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). इस नियम का उद्देश्य यह है कि आप शक्तियों से गुणा करें (x 2) (\displaystyle (x^(2)))अपने आप पर पांच बार. इस कदर:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 * x 2 * x 2 * x 2 * x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • चूँकि आधार एक ही है, घातांक बस जोड़ देते हैं: (x 2) 5 = x 2 * x 2 * x 2 * x 2 * x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. ऋणात्मक घातांक वाली घात को अंश (रिवर्स घात) में परिवर्तित किया जाना चाहिए।इससे कोई फर्क नहीं पड़ता यदि आप नहीं जानते कि पारस्परिक डिग्री क्या है। यदि आपको नकारात्मक घातांक वाली डिग्री दी जाती है, उदाहरणार्थ 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), इस घात को भिन्न के हर में लिखें (अंश में 1 लगाएं), और घातांक को धनात्मक बनाएं। हमारे उदाहरण में: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). यहां अन्य उदाहरण हैं:

      जब डिग्री को एक ही आधार से विभाजित किया जाता है, तो उनके घातांक घटा दिए जाते हैं (आधार नहीं बदलता है)।विभाजन संक्रिया गुणन संक्रिया के विपरीत है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति दी गई है 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). हर में घातांक को अंश में घातांक से घटाएं (आधार न बदलें)। इस प्रकार, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • हर में घात को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). याद रखें कि भिन्न एक नकारात्मक घातांक वाली एक संख्या (घात, अभिव्यक्ति) है।

   4. नीचे कुछ अभिव्यक्तियाँ दी गई हैं जो आपको घातांक के साथ समस्याओं को हल करना सीखने में मदद करेंगी।दिए गए भाव इस अनुभाग में प्रस्तुत सामग्री को कवर करते हैं। उत्तर देखने के लिए, बस बराबर चिह्न के बाद रिक्त स्थान का चयन करें।

   भिन्नात्मक घातांक के साथ समस्याओं का समाधान

   भिन्नात्मक घातांक वाली एक शक्ति (उदाहरण के लिए,) को रूट ऑपरेशन में परिवर्तित किया जाता है।हमारे उदाहरण में: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). यहां इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि भिन्नात्मक घातांक के हर में कौन सी संख्या है। उदाहरण के लिए, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- "x" का चौथा मूल है, अर्थात x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. यदि घातांक एक अनुचित भिन्न है, तो समस्या के समाधान को सरल बनाने के लिए घातांक को दो घातों में विघटित किया जा सकता है। इसमें कुछ भी जटिल नहीं है - बस शक्तियों को बढ़ाने के नियम को याद रखें। उदाहरण के लिए, एक डिग्री दी जाती है. ऐसी घात को मूल में परिवर्तित करें जिसकी घात भिन्नात्मक घातांक के हर के बराबर हो, और फिर इस मूल को भिन्नात्मक घातांक के अंश के बराबर घात तक बढ़ाएँ। ऐसा करने के लिए, उसे याद रखें 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) * 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). हमारे उदाहरण में:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 * x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. कुछ कैलकुलेटर में घातांक की गणना करने के लिए एक बटन होता है (आपको पहले आधार दर्ज करना होगा, फिर बटन दबाना होगा, और फिर घातांक दर्ज करना होगा)। इसे ^ या x^y के रूप में दर्शाया जाता है।
   3. याद रखें कि पहली घात वाली कोई भी संख्या स्वयं के बराबर होती है, उदाहरण के लिए, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.)इसके अलावा, किसी भी संख्या को एक से गुणा या विभाजित करने पर वह स्वयं के बराबर होती है, उदाहरण के लिए 5 * 1 = 5 (\प्रदर्शन शैली 5*1=5)और 5/1 = 5 (\प्रदर्शन शैली 5/1=5).
   4. जान लें कि शक्ति 0 0 मौजूद नहीं है (ऐसी शक्ति का कोई समाधान नहीं है)। यदि आप ऐसी डिग्री को कैलकुलेटर या कंप्यूटर पर हल करने का प्रयास करते हैं, तो आपको एक त्रुटि प्राप्त होगी। लेकिन याद रखें कि शून्य घात की कोई भी संख्या 1 होती है, उदाहरण के लिए, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. उच्च गणित में, जो काल्पनिक संख्याओं से संचालित होता है: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), कहाँ i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); ई लगभग 2.7 के बराबर एक स्थिरांक है; a एक मनमाना स्थिरांक है. इस समानता का प्रमाण उच्च गणित की किसी भी पाठ्यपुस्तक में पाया जा सकता है।

   चेतावनियाँ

   • जैसे-जैसे घातांक बढ़ता है, इसका मान बहुत बढ़ जाता है। इसलिए यदि उत्तर आपको गलत लगता है, तो यह वास्तव में सही हो सकता है। आप किसी भी घातांकीय फ़ंक्शन, जैसे कि 2 x, को प्लॉट करके इसका परीक्षण कर सकते हैं।