प्लानिमेट्री के मूल सूत्र। ज्यामितीय आकृतियों का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्र संख्यात्मक मान हैं जो द्वि-आयामी अंतरिक्ष में उनके आकार को दर्शाते हैं। यह मान सिस्टम और गैर-सिस्टम इकाइयों में मापा जा सकता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, क्षेत्र की एक गैर-प्रणालीगत इकाई सौवां, एक हेक्टेयर है। यह स्थिति तब है जब मापी जा रही सतह भूमि का एक टुकड़ा है। क्षेत्रफल की प्रणाली इकाई लंबाई का वर्ग है। एसआई प्रणाली में, समतल सतह क्षेत्र की इकाई वर्ग मीटर है। जीएचएस में, क्षेत्रफल की इकाई को एक वर्ग सेंटीमीटर के रूप में व्यक्त किया जाता है।

ज्यामिति और क्षेत्रफल सूत्र अटूट रूप से जुड़े हुए हैं। यह संबंध इस तथ्य में निहित है कि समतल आकृतियों के क्षेत्रफलों की गणना सटीक रूप से उनके अनुप्रयोग पर आधारित होती है। कई आकृतियों के लिए, कई विकल्प निकाले जाते हैं जिनसे उनके वर्ग आयामों की गणना की जाती है। समस्या कथन के डेटा के आधार पर, हम सबसे सरल संभव समाधान निर्धारित कर सकते हैं। इससे गणना में सुविधा होगी और गणना त्रुटियों की संभावना न्यूनतम हो जाएगी। ऐसा करने के लिए, ज्यामिति में आकृतियों के मुख्य क्षेत्रों पर विचार करें।

किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र कई विकल्पों में प्रस्तुत किए गए हैं:

1) त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना आधार a और ऊँचाई h से की जाती है। आधार आकृति का वह भाग माना जाता है जिस पर ऊँचाई कम की जाती है। तो त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

2) यदि कर्ण को आधार माना जाए तो समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना उसी प्रकार की जाती है। यदि हम पैर को आधार मानें, तो समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल आधे पैरों के गुणनफल के बराबर होगा।

किसी भी त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के सूत्र यहीं समाप्त नहीं होते हैं। एक अन्य अभिव्यक्ति में पक्ष ए, बी और ए और बी के बीच कोण γ का साइनसॉइडल फ़ंक्शन शामिल है। साइन मान तालिकाओं में पाया जाता है। आप कैलकुलेटर का उपयोग करके भी इसका पता लगा सकते हैं। तो त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

इस समानता का उपयोग करके, आप यह भी सुनिश्चित कर सकते हैं कि एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल पैरों की लंबाई के माध्यम से निर्धारित किया जाता है। क्योंकि कोण γ एक समकोण है, इसलिए एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना साइन फ़ंक्शन द्वारा गुणा किए बिना की जाती है।

3) एक विशेष मामले पर विचार करें - एक नियमित त्रिभुज, जिसकी भुजा a स्थिति से ज्ञात होती है या हल करते समय इसकी लंबाई ज्ञात की जा सकती है। ज्यामिति समस्या में आकृति के बारे में अधिक कुछ ज्ञात नहीं है। तो फिर इस स्थिति में क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? इस मामले में, एक नियमित त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र लागू किया जाता है:

आयत

एक आयत का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें और उन भुजाओं के आयामों का उपयोग कैसे करें जिनमें एक उभयनिष्ठ शीर्ष है? गणना के लिए अभिव्यक्ति है:

यदि आपको किसी आयत के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए विकर्णों की लंबाई का उपयोग करने की आवश्यकता है, तो आपको उनके प्रतिच्छेद करने पर बनने वाले कोण की ज्या के एक फ़ंक्शन की आवश्यकता होगी। एक आयत के क्षेत्रफल का यह सूत्र है:

वर्ग

एक वर्ग का क्षेत्रफल भुजा की लंबाई की दूसरी शक्ति के रूप में निर्धारित किया जाता है:

परिभाषा से यह प्रमाण मिलता है कि एक वर्ग एक आयत है। एक वर्ग बनाने वाली सभी भुजाओं के आयाम समान होते हैं। इसलिए, ऐसे आयत के क्षेत्रफल की गणना एक को दूसरे से गुणा करने तक होती है, यानी भुजा की दूसरी घात तक। और एक वर्ग के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र वांछित रूप ले लेगा।

एक वर्ग का क्षेत्रफल दूसरे तरीके से पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, यदि आप विकर्ण का उपयोग करते हैं:

एक वृत्त से घिरे हुए समतल के एक भाग से बनी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें? क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र हैं:

चतुर्भुज

एक समांतर चतुर्भुज के लिए, सूत्र में पक्ष, ऊंचाई और गणितीय संक्रिया - गुणन के रैखिक आयाम शामिल होते हैं। यदि ऊंचाई अज्ञात है, तो समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? गणना करने का एक और तरीका है. एक निश्चित मान की आवश्यकता होगी, जो आसन्न भुजाओं द्वारा निर्मित कोण के त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन, साथ ही उनकी लंबाई द्वारा लिया जाएगा।

समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र हैं:

विषमकोण

समचतुर्भुज नामक चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल विकर्णों के साथ सरल गणित का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। प्रमाण इस तथ्य पर आधारित है कि d1 और d2 में विकर्ण खंड समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं। ज्या की तालिका दर्शाती है कि समकोण के लिए यह फलन इकाई के बराबर है। इसलिए, एक समचतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना निम्नानुसार की जाती है:

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल दूसरे तरीके से भी ज्ञात किया जा सकता है। यह सिद्ध करना भी कठिन नहीं है, यह देखते हुए कि इसकी भुजाएँ लंबाई में समान हैं। फिर उनके गुणनफल को एक समांतर चतुर्भुज के समान व्यंजक में प्रतिस्थापित करें। आख़िरकार, इस विशेष आकृति का एक विशेष मामला एक समचतुर्भुज है। यहाँ γ समचतुर्भुज का आंतरिक कोण है। एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल इस प्रकार निर्धारित किया जाता है:

चतुर्भुज

यदि समस्या उनकी लंबाई इंगित करती है, तो आधारों (ए और बी) के माध्यम से एक ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र कैसे पता करें? यहां, ऊंचाई लंबाई एच के ज्ञात मूल्य के बिना, ऐसे ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना करना संभव नहीं होगा। क्योंकि इस मान में गणना के लिए अभिव्यक्ति शामिल है:

आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के वर्गाकार आयाम की गणना भी इसी प्रकार की जा सकती है। यह ध्यान में रखा जाता है कि एक आयताकार ट्रेपेज़ॉइड में ऊंचाई और पक्ष की अवधारणाएं संयुक्त होती हैं। इसलिए, एक आयताकार ट्रेपेज़ॉइड के लिए, आपको ऊंचाई के बजाय किनारे की लंबाई निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है।

सिलेंडर और समानांतर चतुर्भुज

आइए विचार करें कि पूरे सिलेंडर की सतह की गणना करने के लिए क्या आवश्यक है। इस आकृति का क्षेत्रफल वृत्तों की एक जोड़ी है जिसे आधार और एक पार्श्व सतह कहा जाता है। वृत्त बनाने वाले वृत्तों की त्रिज्या लंबाई r के बराबर होती है। एक सिलेंडर के क्षेत्रफल के लिए निम्नलिखित गणना होती है:

एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें जिसमें तीन जोड़े फलक हों? इसका माप विशिष्ट जोड़ी से मेल खाता है। विपरीत चेहरों के पैरामीटर समान हैं। सबसे पहले, S(1), S(2), S(3) - असमान फलकों के वर्ग आयाम ज्ञात करें। तब समांतर चतुर्भुज का पृष्ठीय क्षेत्रफल है:

अँगूठी

एक उभयनिष्ठ केंद्र वाले दो वृत्त एक वलय बनाते हैं। वे रिंग के क्षेत्र को भी सीमित करते हैं। इस मामले में, दोनों गणना सूत्र प्रत्येक वृत्त के आयामों को ध्यान में रखते हैं। उनमें से पहले में, वलय के क्षेत्रफल की गणना करते हुए, बड़ा R और छोटा r त्रिज्या शामिल है। अधिक बार उन्हें बाहरी और आंतरिक कहा जाता है। दूसरी अभिव्यक्ति में, रिंग क्षेत्र की गणना बड़े डी और छोटे डी व्यास के माध्यम से की जाती है। इस प्रकार, ज्ञात त्रिज्या के आधार पर वलय के क्षेत्रफल की गणना निम्नानुसार की जाती है:

व्यास की लंबाई का उपयोग करके रिंग का क्षेत्रफल निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है:

बहुभुज

उस बहुभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें जिसका आकार नियमित नहीं है? ऐसी आकृतियों के क्षेत्रफल का कोई सामान्य सूत्र नहीं है। लेकिन अगर इसे एक समन्वय विमान पर चित्रित किया गया है, उदाहरण के लिए यह चेकर पेपर हो सकता है, तो इस मामले में सतह क्षेत्र कैसे ढूंढें? यहां वे एक ऐसी विधि का उपयोग करते हैं जिसके लिए आंकड़े को लगभग मापने की आवश्यकता नहीं होती है। वे ऐसा करते हैं: यदि उन्हें ऐसे बिंदु मिलते हैं जो सेल के कोने में आते हैं या जिनके पूरे निर्देशांक हैं, तो केवल उन्हें ध्यान में रखा जाता है। फिर यह पता लगाने के लिए कि क्षेत्र क्या है, पीक द्वारा सिद्ध सूत्र का उपयोग करें। टूटी हुई रेखा के अंदर स्थित बिंदुओं की संख्या को उस पर पड़े आधे बिंदुओं के साथ जोड़ना और एक को घटाना आवश्यक है, अर्थात इसकी गणना इस प्रकार की जाती है:

जहां बी, जी - क्रमशः पूरी टूटी हुई रेखा के अंदर और उस पर स्थित बिंदुओं की संख्या।

समतल आकृतियों के क्षेत्रफल के सभी सूत्र

एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल

1. भुजाओं और कोणों का उपयोग करके एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र

ए - निचला आधार

बी - ऊपरी आधार

सी - बराबर भुजाएँ

α - निचले आधार पर कोण

पक्षों के माध्यम से एक समद्विबाहु समलंब के क्षेत्र के लिए सूत्र, (एस):

भुजाओं और कोणों का उपयोग करके एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र, (एस):

2. अंकित वृत्त की त्रिज्या के संदर्भ में एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र

आर - अंकित वृत्त की त्रिज्या

डी - खुदा हुआ वृत्त का व्यास

O - अंकित वृत्त का केंद्र

एच - ट्रेपेज़ॉइड ऊंचाई

α, β - समलम्बाकार कोण

अंकित वृत्त की त्रिज्या के संदर्भ में एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र, (एस):

FAIR, एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज में अंकित वृत्त के लिए:

3. विकर्णों और उनके बीच के कोण के माध्यम से एक समद्विबाहु समलंब के क्षेत्रफल का सूत्र

डी- समलम्ब चतुर्भुज का विकर्ण

α,β- विकर्णों के बीच के कोण

विकर्णों और उनके बीच के कोण के माध्यम से एक समद्विबाहु समलंब के क्षेत्रफल का सूत्र, (एस):

4. आधार पर मध्य रेखा, पार्श्व पक्ष और कोण के माध्यम से एक समद्विबाहु समलंब के क्षेत्र के लिए सूत्र

सी- पक्ष

मी - ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा

α, β - आधार पर कोण

मध्य रेखा, पार्श्व पक्ष और आधार कोण का उपयोग करके एक समद्विबाहु समलंब के क्षेत्र के लिए सूत्र,

(एस):

5. आधारों और ऊंचाई का उपयोग करके एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र

ए - निचला आधार

बी - ऊपरी आधार

एच - ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई

आधारों और ऊंचाई का उपयोग करके एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र, (एस):

एक भुजा और दो कोणों के आधार पर त्रिभुज का क्षेत्रफल, सूत्र।

ए, बी, सी - त्रिभुज की भुजाएँ

α, β, γ - विपरीत कोण

एक भुजा और दो कोणों (S) से होकर जाने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल:

एक नियमित बहुभुज के क्षेत्रफल का सूत्र

ए - बहुभुज का किनारा

n - भुजाओं की संख्या

एक नियमित बहुभुज का क्षेत्रफल, (एस):

अर्धपरिधि (एस) के माध्यम से एक त्रिकोण के क्षेत्र के लिए सूत्र (बगुला):

एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र।

ए - त्रिभुज की भुजा

एच - ऊंचाई

समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें?

बी - त्रिकोण का आधार

ए - बराबर भुजाएँ

एच - ऊंचाई

3. चार भुजाओं का उपयोग करके समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र

ए - निचला आधार

बी - ऊपरी आधार

सी, डी - भुजाएँ

भुजाओं और विकर्णों के अनुदिश समलम्ब चतुर्भुज के परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या

ए - ट्रेपेज़ॉइड के पार्श्व पक्ष

सी - निचला आधार

बी - ऊपरी आधार

डी - विकर्ण

एच - ऊंचाई

ट्रेपेज़ॉइड परित्रिज्या सूत्र, (आर)

भुजाओं का उपयोग करके एक समद्विबाहु त्रिभुज की परित्रिज्या ज्ञात करें

एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाओं को जानकर, आप इस त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

ए, बी - त्रिभुज की भुजाएँ

समद्विबाहु त्रिभुज की परिधि (R):

एक षट्कोण में अंकित वृत्त की त्रिज्या

ए - षट्भुज का किनारा

षट्कोण में अंकित वृत्त की त्रिज्या, (r):

एक समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या

आर - अंकित वृत्त की त्रिज्या

ए - समचतुर्भुज का किनारा

डी, डी - विकर्ण

h - समचतुर्भुज की ऊँचाई

एक समबाहु समलम्ब चतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या

सी - निचला आधार

बी - ऊपरी आधार

ए - पक्ष

एच - ऊंचाई

एक समकोण त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या

ए, बी - त्रिकोण के पैर

सी - कर्ण

समद्विबाहु त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या

ए, बी - त्रिभुज की भुजाएँ

सिद्ध कीजिए कि एक उत्कीर्ण चतुर्भुज का क्षेत्रफल है

\/(आर - ए)(आर - बी) (आर - सी) (आर - डी),

जहाँ p अर्ध-परिधि है और a, b, c और d चतुर्भुज की भुजाएँ हैं।

सिद्ध कीजिए कि एक वृत्त में अंकित चतुर्भुज का क्षेत्रफल बराबर होता है

1/2 (एबी + सीबी) · पाप α, जहां ए, बी, सी और डी चतुर्भुज की भुजाएं हैं और α भुजाओं ए और बी के बीच का कोण है।

एस = √[ ए ˀ सी डी] पाप ½ (α + β). - FB.ru पर और पढ़ें:

एक मनमाना चतुर्भुज का क्षेत्रफल (चित्र 1.13) इसकी भुजाओं a, b, c और सम्मुख कोणों के युग्म के योग के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है:

जहाँ p चतुर्भुज का अर्ध-परिधि है।

एक वृत्त में अंकित चतुर्भुज का क्षेत्रफल () (चित्र 1.14, ए) की गणना ब्रह्मगुप्त के सूत्र का उपयोग करके की जाती है

और वर्णित (चित्र 1.14, बी) () - सूत्र के अनुसार

यदि चतुर्भुज को एक ही समय में अंकित और वर्णित किया जाता है (चित्र 1.14, सी), तो सूत्र बहुत सरल हो जाता है:

पिक का फार्मूला

चेकर्ड पेपर पर बहुभुज के क्षेत्रफल का अनुमान लगाने के लिए, यह गिनना पर्याप्त है कि यह बहुभुज कितनी कोशिकाओं को कवर करता है (हम एक कोशिका के क्षेत्रफल को एक के रूप में लेते हैं)। अधिक सटीक रूप से, यदि S बहुभुज का क्षेत्र है, तो यह उन कोशिकाओं की संख्या है जो पूरी तरह से बहुभुज के अंदर स्थित हैं, और उन कोशिकाओं की संख्या है जिनका बहुभुज के आंतरिक भाग के साथ कम से कम एक सामान्य बिंदु है।

नीचे हम केवल उन बहुभुजों पर विचार करेंगे जिनके सभी शीर्ष चेकर्ड पेपर के नोड्स में स्थित हैं - वे जहां ग्रिड रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं। यह पता चला है कि ऐसे बहुभुजों के लिए निम्नलिखित सूत्र निर्दिष्ट किया जा सकता है:

क्षेत्रफल कहां है, r उन नोड्स की संख्या है जो बहुभुज के ठीक अंदर स्थित हैं।

इस सूत्र को "पिक फॉर्मूला" कहा जाता है - गणितज्ञ के नाम पर जिन्होंने इसे 1899 में खोजा था।

क्षेत्रफल क्या है?

क्षेत्रफल एक बंद ज्यामितीय आकृति (वृत्त, वर्ग, त्रिभुज, आदि) की एक विशेषता है, जो इसके आकार को दर्शाता है। क्षेत्रफल वर्ग सेंटीमीटर, मीटर आदि में मापा जाता है। पत्र द्वारा निरूपित किया गया एस(वर्ग)।

त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

एस= ए एच

कहाँ ए- आधार लंबाई, एच- आधार तक खींचे गए त्रिभुज की ऊंचाई।

इसके अलावा, आधार का नीचे होना जरूरी नहीं है। वह भी चलेगा.

यदि एक त्रिभुज कुंठित, फिर ऊंचाई को आधार की निरंतरता तक कम कर दिया जाता है:

यदि एक त्रिभुज आयताकार, तो आधार और ऊंचाई इसके पैर हैं:

2. एक और सूत्र, जो कम उपयोगी नहीं है, लेकिन किसी कारण से हमेशा भुला दिया जाता है:

एस= ए बी पापα

कहाँ एऔर बी- त्रिभुज की दो भुजाएँ, पापαइन भुजाओं के बीच के कोण की ज्या है।

मुख्य शर्त यह है कि कोण दो ज्ञात भुजाओं के बीच लिया जाए।

3. तीन तरफ के क्षेत्रफल का सूत्र (हीरोन का सूत्र):

एस=

कहाँ ए, बीऔर साथत्रिभुज की भुजाएँ हैं, और आर -अर्द्ध परिधि पी = (ए+बी+सी)/2.

4. परिवृत्त की त्रिज्या के संदर्भ में त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र:

एस=

कहाँ ए, बीऔर साथत्रिभुज की भुजाएँ हैं, और आर -परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या.

5. अंकित वृत्त की त्रिज्या के संदर्भ में त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र:

एस= पी · आर

कहाँ आर -एक त्रिभुज का अर्धपरिमाप, और आर -अंकित वृत्त की त्रिज्या.

आयत का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

1. एक आयत का क्षेत्रफल काफी सरलता से ज्ञात किया जाता है:

एस=ए बी

कोई चाल नहीं.

किसी वर्ग का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

1. चूँकि एक वर्ग एक आयत है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, इस पर भी वही सूत्र लागू होता है:

एस=ए · ए = ए 2

2. इसके अलावा, किसी वर्ग का क्षेत्रफल उसके विकर्ण के माध्यम से ज्ञात किया जा सकता है:

एस= डी 2

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

1. समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:

एस=ए एच

यह इस तथ्य के कारण है कि यदि आप इसमें से एक समकोण त्रिभुज को दाईं ओर से काटकर बाईं ओर रखते हैं, तो आपको एक आयत मिलेगा:

2. इसके अलावा, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल दो भुजाओं के बीच के कोण से ज्ञात किया जा सकता है:

एस=ए · बी · पापα

समचतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

एक समचतुर्भुज मूलतः एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। अत: इस पर समान क्षेत्र सूत्र लागू होते हैं।

1. ऊंचाई से एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल:

एस=ए एच

ज्यामिति की समस्याओं को हल करने के लिए, आपको सूत्रों को जानना होगा - जैसे कि त्रिभुज का क्षेत्रफल या समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल - साथ ही सरल तकनीकें जिन्हें हम कवर करेंगे।

सबसे पहले, आइए आकृतियों के क्षेत्रफलों के सूत्र सीखें। हमने उन्हें विशेष रूप से एक सुविधाजनक तालिका में एकत्र किया है। प्रिंट करें, सीखें और लागू करें!

बेशक, सभी ज्यामिति सूत्र हमारी तालिका में नहीं हैं। उदाहरण के लिए, गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा प्रोफ़ाइल के दूसरे भाग में ज्यामिति और स्टीरियोमेट्री में समस्याओं को हल करने के लिए, त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए अन्य सूत्रों का उपयोग किया जाता है। हम आपको उनके बारे में जरूर बताएंगे.

लेकिन क्या होगा यदि आपको किसी समलम्ब चतुर्भुज या त्रिभुज का क्षेत्रफल नहीं, बल्कि किसी जटिल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना हो? सार्वभौमिक तरीके हैं! हम उन्हें FIPI टास्क बैंक के उदाहरणों का उपयोग करके दिखाएंगे।

1. एक अमानक आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें? उदाहरण के लिए, एक मनमाना चतुर्भुज? एक सरल तकनीक - आइए इस आकृति को उन आकृतियों में विभाजित करें जिनके बारे में हम सब कुछ जानते हैं, और इसका क्षेत्रफल ज्ञात करें - इन आकृतियों के क्षेत्रफलों के योग के रूप में।

इस चतुर्भुज को एक क्षैतिज रेखा से दो त्रिभुजों में विभाजित करें जिनका उभयनिष्ठ आधार बराबर हो। इन त्रिभुजों की ऊंचाई और के बराबर है। तब चतुर्भुज का क्षेत्रफल दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है: .

उत्तर: ।

2. कुछ मामलों में, किसी आकृति के क्षेत्रफल को कुछ क्षेत्रों के अंतर के रूप में दर्शाया जा सकता है।

इस त्रिभुज का आधार और ऊंचाई किसके बराबर है इसकी गणना करना इतना आसान नहीं है! लेकिन हम कह सकते हैं कि इसका क्षेत्रफल एक भुजा वाले वर्ग और तीन समकोण त्रिभुजों के क्षेत्रफल के अंतर के बराबर है। क्या आप उन्हें चित्र में देखते हैं? हम पाते हैं: ।

उत्तर: ।

3. कभी-कभी किसी कार्य में आपको संपूर्ण आकृति का नहीं, बल्कि उसके एक भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करने की आवश्यकता होती है। आमतौर पर हम एक त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल के बारे में बात कर रहे हैं - एक वृत्त का भाग। त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी चाप की लंबाई बराबर है।

इस चित्र में हमें एक वृत्त का भाग दिखाई देता है। पूरे वृत्त का क्षेत्रफल बराबर है. यह पता लगाना बाकी है कि वृत्त के किस भाग को दर्शाया गया है। चूँकि पूरे वृत्त की लंबाई बराबर (से) है, और किसी दिए गए त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई बराबर है, इसलिए, चाप की लंबाई पूरे वृत्त की लंबाई से एक कारक कम है। जिस कोण पर यह चाप रहता है वह भी एक पूर्ण वृत्त (अर्थात् डिग्री) से कम का गुणनखंड होता है। इसका मतलब यह है कि सेक्टर का क्षेत्रफल पूरे सर्कल के क्षेत्रफल से कई गुना छोटा होगा।