Raíz cuadrada. La guía completa (2019)

Felicitaciones: hoy veremos las raíces, uno de los temas más alucinantes del octavo grado. :)

Mucha gente se confunde con las raíces, no porque sean complejas (lo que tiene de complicado: un par de definiciones y un par de propiedades más), sino porque en la mayoría de los libros de texto escolares las raíces se definen a través de una jungla tal que solo los autores de los libros de texto ellos mismos pueden entender este escrito. Y aun así sólo con una botella de buen whisky. :)

Por lo tanto, ahora daré la definición más correcta y competente de raíz, la única que realmente debes recordar. Y luego explicaré: por qué es necesario todo esto y cómo aplicarlo en la práctica.

Pero primero recuerda uno. punto importante, que muchos compiladores de libros de texto, por alguna razón, “olvidan”:

Las raíces pueden ser de grado par (nuestro $\sqrt(a)$ favorito, así como todo tipo de $\sqrt(a)$ e incluso $\sqrt(a)$) y de grado impar (todo tipo de $\sqrt(a)$ (a)$, $\ sqrt(a)$, etc.). Y la definición de raíz de grado impar es algo diferente a la de raíz par.

Probablemente el 95% de todos los errores y malentendidos asociados con las raíces se esconden en este jodido "algo diferente". Así que aclaremos la terminología de una vez por todas:

Definición. Incluso raíz norte del número $a$ es cualquiera no negativo el número $b$ es tal que $((b)^(n))=a$. Y la raíz impar del mismo número $a$ es generalmente cualquier número $b$ para el cual se cumple la misma igualdad: $((b)^(n))=a$.

En cualquier caso, la raíz se denota así:

\(a)\]

El número $n$ en tal notación se llama exponente raíz y el número $a$ se llama expresión radical. En particular, para $n=2$ obtenemos nuestra raíz cuadrada "favorita" (por cierto, esta es una raíz de grado par), y para $n=3$ obtenemos una raíz cúbica (grado impar), que es También se encuentra a menudo en problemas y ecuaciones.

Ejemplos. Ejemplos clásicos raíces cuadradas:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(alinear)\]

Por cierto, $\sqrt(0)=0$ y $\sqrt(1)=1$. Esto es bastante lógico, ya que $((0)^(2))=0$ y $((1)^(2))=1$.

Las raíces cúbicas también son comunes; no hay que temerles:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(alinear)\]

Bueno, un par de “ejemplos exóticos”:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(alinear)\]

Si no comprende cuál es la diferencia entre un grado par e impar, vuelva a leer la definición. ¡Es muy importante!

Mientras tanto, consideraremos una característica desagradable de las raíces, por la cual tuvimos que introducir una definición separada para exponentes pares e impares.

¿Por qué se necesitan raíces?

Después de leer la definición, muchos estudiantes se preguntarán: "¿Qué fumaban los matemáticos cuando se les ocurrió esto?" Y realmente: ¿por qué se necesitan todas estas raíces?

Para responder a esta pregunta, volvamos por un momento a clases primarias. Recuerda: en aquellos tiempos lejanos, cuando los árboles eran más verdes y las albóndigas más sabrosas, nuestra principal preocupación era multiplicar los números correctamente. Bueno, algo así como “cinco por cinco – veinticinco”, eso es todo. Pero puedes multiplicar números no en pares, sino en tripletes, cuádruples y, en general, conjuntos completos:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Sin embargo, este no es el punto. El truco es diferente: los matemáticos son gente vaga, por eso les costó mucho escribir la multiplicación de diez por cinco así:

Por eso se les ocurrió los títulos. ¿Por qué no escribir el número de factores como un superíndice en lugar de una cadena larga? Algo como esto:

¡Es muy conveniente! Todos los cálculos se reducen significativamente y no es necesario desperdiciar un montón de hojas de pergamino y cuadernos para anotar unos 5.183. Este disco se llamó potencia de un número; en él se encontraron muchas propiedades, pero la felicidad resultó ser de corta duración.

Después de una grandiosa fiesta organizada precisamente para “descubrir” los grados, un matemático particularmente obstinado preguntó de repente: “¿Qué pasa si conocemos el grado de un número, pero el número en sí es desconocido?” Ahora bien, si sabemos que un cierto número $b$, digamos, elevado a la quinta potencia da 243, ¿cómo podemos adivinar a qué es igual el número $b$?

Este problema resultó ser mucho más global de lo que parece a primera vista. Porque resultó que para la mayoría de los poderes "ya preparados" no existen tales números "iniciales". Juzgue usted mismo:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(alinear)\]

¿Qué pasa si $((b)^(3))=50$? Resulta que necesitamos encontrar un número determinado que, multiplicado por sí mismo tres veces, nos dará 50. Pero, ¿cuál es este número? Es claramente mayor que 3, ya que 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Eso es este número se encuentra entre tres y cuatro, pero no entenderás a qué equivale.

Precisamente por eso a los matemáticos se les ocurrió la raíz $n$ésima. Precisamente por eso se introdujo el símbolo radical $\sqrt(*)$. Designar el propio número $b$, que en el grado indicado nos dará un valor previamente conocido

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

No discuto: a menudo estas raíces se calculan fácilmente; vimos varios ejemplos de este tipo anteriormente. Pero aún así, en la mayoría de los casos, si piensas en un número arbitrario y luego intentas extraer de él la raíz de un grado arbitrario, te espera un terrible fastidio.

¡Lo que está ahí! Incluso el $\sqrt(2)$ más simple y familiar no se puede representar en nuestra forma habitual: como un número entero o una fracción. Y si ingresas este número en una calculadora, verás esto:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Como puedes ver, después del punto decimal hay una secuencia interminable de números que no obedecen a ninguna lógica. Por supuesto, puedes redondear este número para compararlo rápidamente con otros números. Por ejemplo:

\[\sqrt(2)=1.4142...\aprox 1.4 \lt 1.5\]

O aquí hay otro ejemplo:

\[\sqrt(3)=1.73205...\aprox 1.7 \gt 1.5\]

Pero todos estos rodeos, en primer lugar, son bastante aproximados; y en segundo lugar, también debe poder trabajar con valores aproximados; de lo contrario, puede detectar un montón de errores no obvios (por cierto, la habilidad de comparar y redondear obligatorio marcado en el perfil Examen estatal unificado).

Por lo tanto, en matemáticas serias no se puede prescindir de las raíces: son los mismos representantes iguales del conjunto de todos los números reales $\mathbb(R)$, al igual que las fracciones y los números enteros que nos son familiares desde hace mucho tiempo.

La incapacidad de representar una raíz como una fracción de la forma $\frac(p)(q)$ significa que raíz dada no es un número racional. Estos números se denominan irracionales y no se pueden representar con precisión excepto con la ayuda de un radical u otras construcciones especialmente diseñadas para ello (logaritmos, potencias, límites, etc.). Pero hablaremos de eso en otro momento.

Consideremos algunos ejemplos en los que, después de todos los cálculos, los números irracionales seguirán estando en la respuesta.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\aprox -1.2599... \\ \end(align)\]

Naturalmente, según apariencia raíz es casi imposible adivinar qué números vendrán después del punto decimal. Sin embargo, puedes contar con una calculadora, pero incluso la calculadora de fechas más avanzada solo nos da los primeros dígitos de un número irracional. Por lo tanto, es mucho más correcto escribir las respuestas en la forma $\sqrt(5)$ y $\sqrt(-2)$.

Precisamente por eso se inventaron. Para registrar cómodamente las respuestas.

¿Por qué se necesitan dos definiciones?

El lector atento probablemente ya habrá notado que todas las raíces cuadradas dadas en los ejemplos están tomadas de números positivos. Bien en como último recurso desde cero. Pero las raíces cúbicas se pueden extraer fácilmente de absolutamente cualquier número, ya sea positivo o negativo.

¿Por qué está pasando esto? Eche un vistazo a la gráfica de la función $y=((x)^(2))$:

Cronograma función cuadrática da dos raíces: positiva y negativa

Intentemos calcular $\sqrt(4)$ usando este gráfico. Para hacer esto, se dibuja una línea horizontal $y=4$ en el gráfico (marcada en rojo), que se cruza con la parábola en dos puntos: $((x)_(1))=2$ y $((x )_(2)) =-2$. Esto es bastante lógico, ya que

Con el primer número todo está claro: es positivo, por lo que es la raíz:

Pero entonces ¿qué hacer con el segundo punto? ¿Cuatro tiene dos raíces a la vez? Después de todo, si elevamos al cuadrado el número −2, también obtenemos 4. ¿Por qué no escribir entonces $\sqrt(4)=-2$? ¿Y por qué los profesores miran esas publicaciones como si quisieran comerte? :)

Ese es el problema, si no aplicas ninguno condiciones adicionales, entonces el cuádruple tendrá dos raíces cuadradas: positiva y negativa. Y cualquier número positivo también tendrá dos de ellos. Pero los números negativos no tendrán ninguna raíz; esto se puede ver en el mismo gráfico, ya que la parábola nunca cae por debajo del eje. y, es decir. No acepta valores negativos.

Un problema similar ocurre para todas las raíces con exponente par:

1. Estrictamente hablando, cada número positivo tendrá dos raíces con exponente par $n$;
2. De los números negativos, la raíz par $n$ no se extrae en absoluto.

Es por eso que en la definición de raíz de grado par $n$ se estipula específicamente que la respuesta debe ser un número no negativo. Así es como nos deshacemos de la ambigüedad.

Pero para $n$ impares no existe tal problema. Para ver esto, veamos la gráfica de la función $y=((x)^(3))$:

Una parábola cúbica puede tomar cualquier valor, por lo que la raíz cúbica se puede sacar de cualquier número.

De este gráfico se pueden extraer dos conclusiones:

1. Las ramas de una parábola cúbica, a diferencia de una normal, van al infinito en ambas direcciones, tanto hacia arriba como hacia abajo. Por lo tanto, no importa a qué altura dibujemos una línea horizontal, esta línea seguramente se cruzará con nuestra gráfica. En consecuencia, la raíz cúbica siempre se puede extraer absolutamente de cualquier número;
2. Además, dicha intersección siempre será única, por lo que no es necesario pensar qué número se considera la raíz "correcta" y cuál ignorar. Es por eso que determinar las raíces para un grado impar es más sencillo que para un grado par (no hay requisito de no negatividad).

Es una pena que estos Cosas simples no se explican en la mayoría de los libros de texto. En cambio, nuestros cerebros comienzan a funcionar con todo tipo de raíces aritméticas y sus propiedades.

Sí, no discuto: también necesitas saber qué es una raíz aritmética. Y hablaré de esto en detalle en una lección separada. Hoy también hablaremos de ello, porque sin él todos los pensamientos sobre las raíces de la multiplicidad $n$-ésima estarían incompletos.

Pero primero debes comprender claramente la definición que di anteriormente. De lo contrario, debido a la abundancia de términos, se formará tal lío en tu cabeza que al final no entenderás nada de nada.

Todo lo que necesitas hacer es entender la diferencia entre indicadores pares e impares. Por eso, recopilemos una vez más todo lo que realmente necesitas saber sobre las raíces:

1. Una raíz de grado par existe sólo a partir de un número no negativo y en sí misma es siempre un número no negativo. Para números negativos, dicha raíz no está definida.
2. Pero la raíz de un grado impar existe a partir de cualquier número y puede ser en sí misma cualquier número: para números positivos es positiva y para números negativos, como sugiere el límite, es negativa.

¿Es difícil? No, no es difícil. ¿Está vacío? ¡Sí, es completamente obvio! Así que ahora practicaremos un poco con los cálculos.

Propiedades básicas y limitaciones.

Hay muchas raíces propiedades extrañas y restricciones: habrá una lección separada sobre esto. Por lo tanto, ahora consideraremos sólo el "truco" más importante, que se aplica sólo a raíces con un índice par. Escribamos esta propiedad como una fórmula:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\izquierda| x\derecha|\]

En otras palabras, si elevamos un número a una potencia par y luego extraemos la raíz de la misma potencia, no obtendremos el número original, sino su módulo. Este teorema simple, lo cual es fácil de probar (basta con considerar por separado los $x$ no negativos y luego considerar por separado los negativos). Los profesores hablan constantemente de ello, se incluye en todos los libros de texto escolares. Pero una vez que se llega a una decisión ecuaciones irracionales(es decir, ecuaciones que contienen un signo radical), los estudiantes olvidan unánimemente esta fórmula.

Para entender el problema en detalle, olvidemos todas las fórmulas por un minuto e intentemos calcular dos números directamente:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Esto es muy ejemplos simples. La mayoría de la gente resolverá el primer ejemplo, pero mucha gente se quedará estancada en el segundo. Para resolver cualquier problema de este tipo sin problemas, considere siempre el procedimiento:

1. Primero, el número se eleva a la cuarta potencia. Bueno, es algo fácil. Obtendrá un nuevo número que se puede encontrar incluso en la tabla de multiplicar;
2. Y ahora de este nuevo número es necesario extraer la raíz cuarta. Aquellos. no se produce ninguna "reducción" de raíces y poderes; estas son acciones secuenciales.

Veamos la primera expresión: $\sqrt(((3)^(4)))$. Obviamente, primero necesitas calcular la expresión bajo la raíz:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Luego extraemos la raíz cuarta del número 81:

Ahora hagamos lo mismo con la segunda expresión. Primero, elevamos el número −3 a la cuarta potencia, lo que requiere multiplicarlo por sí mismo 4 veces:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ izquierda(-3 \derecha)=81\]

Obtuvimos un número positivo, ya que el número total de desventajas en el producto es 4, y todas se cancelarán entre sí (después de todo, un menos por un menos da un más). Luego volvemos a extraer la raíz:

En principio, esta línea no podría haberse escrito, ya que es obvio que la respuesta sería la misma. Aquellos. una raíz par de la misma potencia par "quema" los inconvenientes y, en este sentido, el resultado es indistinguible de un módulo normal:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \derecha|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \derecha|=3. \\ \end(alinear)\]

Estos cálculos concuerdan con la definición de raíz de grado par: el resultado siempre es no negativo y, bajo el signo radical, tampoco siempre lo es. un numero negativo. De lo contrario, la raíz no está definida.

Nota sobre el procedimiento

1. La notación $\sqrt(((a)^(2)))$ significa que primero elevamos al cuadrado el número $a$ y luego sacamos la raíz cuadrada del valor resultante. Por lo tanto, podemos estar seguros de que siempre hay un número no negativo bajo el signo raíz, ya que $((a)^(2))\ge 0$ en cualquier caso;
2. Pero la notación $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, por el contrario, significa que primero tomamos la raíz de un cierto número $a$ y solo luego elevamos el resultado al cuadrado. Por lo tanto, el número $a$ en ningún caso puede ser negativo; esto es requisito obligatorio, incluido en la definición.

Por lo tanto, en ningún caso se deben reducir irreflexivamente raíces y grados, supuestamente "simplificando" la expresión original. Porque si la raíz tiene un número negativo y su exponente es par, tenemos muchos problemas.

Sin embargo, todos estos problemas son relevantes sólo para indicadores pares.

Quitar el signo menos debajo del signo raíz

Naturalmente, las raíces con exponentes impares también tienen su propia característica, que en principio no existe con las pares. A saber:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

En resumen, puede eliminar el signo menos debajo del signo de raíces de grados impares. Esto es muy propiedad útil, que te permite "tirar" todos los negativos:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(alinear)\]

Esta sencilla propiedad simplifica enormemente muchos cálculos. Ahora no se preocupe: ¿qué pasa si debajo de la raíz se oculta una expresión negativa, pero el grado en la raíz resulta ser par? Basta con "tirar" todos los inconvenientes fuera de las raíces, después de lo cual pueden multiplicarse entre sí, dividirse y, en general, hacer muchas cosas sospechosas que, en el caso de las raíces "clásicas", seguramente nos llevarán a un error.

Y aquí entra en escena otra definición, la misma con la que en la mayoría de las escuelas se inicia el estudio de las expresiones irracionales. Y sin el cual nuestro razonamiento estaría incompleto. ¡Encontrarse!

raíz aritmética

Supongamos por un momento que bajo el signo raíz sólo puede haber números positivos o, en casos extremos, cero. Olvidémonos de los indicadores pares/impares, olvidémonos de todas las definiciones dadas anteriormente; trabajaremos solo con números no negativos. ¿Entonces que?

Y luego obtendremos una raíz aritmética: se superpone parcialmente con nuestras definiciones "estándar", pero aún difiere de ellas.

Definición. Una raíz aritmética del $n$ésimo grado de un número no negativo $a$ es un número no negativo $b$ tal que $((b)^(n))=a$.

Como podemos ver, ya no nos interesa la paridad. En cambio, apareció una nueva restricción: la expresión radical ahora siempre es no negativa, y la raíz misma tampoco es negativa.

Para comprender mejor en qué se diferencia la raíz aritmética de la habitual, eche un vistazo a las gráficas de la parábola cuadrada y cúbica con las que ya estamos familiarizados:

Área de búsqueda de raíces aritméticas: números no negativos

Como puede ver, de ahora en adelante solo nos interesan aquellos fragmentos de gráficos que se encuentran en el primer cuarto de coordenadas, donde las coordenadas $x$ e $y$ son positivas (o al menos cero). Ya no es necesario mirar el indicador para comprender si tenemos derecho a poner un número negativo debajo de la raíz o no. Porque, en principio, los números negativos ya no se consideran.

Quizás se pregunte: "Bueno, ¿por qué necesitamos una definición tan neutralizada?" O: "¿Por qué no podemos arreglárnoslas con la definición estándar dada anteriormente?"

Bueno, daré sólo una propiedad por la cual la nueva definición resulta apropiada. Por ejemplo, la regla de exponenciación:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Tenga en cuenta: podemos elevar la expresión radical a cualquier potencia y al mismo tiempo multiplicar el exponente raíz por la misma potencia, ¡y el resultado será el mismo número! Aquí hay ejemplos:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

¿Así que cuál es el problema? ¿Por qué no pudimos hacer esto antes? Este es el por qué. Consideremos una expresión simple: $\sqrt(-2)$ - este número es bastante normal en nuestro entendimiento clásico, pero absolutamente inaceptable desde el punto de vista de la raíz aritmética. Intentemos convertirlo:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Como puede ver, en el primer caso eliminamos el menos de debajo del radical (tenemos todo derecho, porque el indicador es impar), y en el segundo utilizamos la fórmula anterior. Aquellos. Desde un punto de vista matemático, todo se hace según las reglas.

¡¿Qué carajo?! ¿Cómo puede un mismo número ser positivo y negativo? De ninguna manera. Lo que pasa es que la fórmula de exponenciación, que funciona muy bien para los números positivos y el cero, empieza a producir una completa herejía en el caso de los números negativos.

Para deshacerse de tal ambigüedad se inventaron las raíces aritméticas. A ellos se les dedica uno aparte. gran lección, donde consideramos en detalle todas sus propiedades. Así que no nos detendremos en ellos ahora: la lección ya resultó ser demasiado larga.

Raíz algebraica: para los que quieren saber más

Durante mucho tiempo pensé si poner este tema en un párrafo aparte o no. Al final decidí dejarlo aquí. Este material está destinado a aquellos que quieren comprender aún mejor las raíces, ya no en el nivel "escolar" promedio, sino en uno cercano al nivel de la Olimpiada.

Entonces: además de la definición "clásica" de la $n$ésima raíz de un número y la división asociada en exponentes pares e impares, existe una definición más "adulta" que no depende en absoluto de la paridad y otras sutilezas. Esto se llama raíz algebraica.

Definición. La raíz algebraica $n$ésima de cualquier $a$ es el conjunto de todos los números $b$ tales que $((b)^(n))=a$. No existe una designación establecida para dichas raíces, por lo que simplemente pondremos un guión encima:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

diferencia fundamental de definición estándar Lo que se dio al comienzo de la lección es que una raíz algebraica no es un número específico, sino un conjunto. Y como trabajamos con números reales, este conjunto viene en sólo tres tipos:

1. Conjunto vacio. Ocurre cuando necesitas encontrar una raíz algebraica de un grado par a partir de un número negativo;
2. Conjunto formado por un solo elemento. Todas las raíces de potencias impares, así como las raíces de potencias pares de cero, entran en esta categoría;
3. Finalmente, el conjunto puede incluir dos números: los mismos $((x)_(1))$ y $((x)_(2))=-((x)_(1))$ que vimos en el graficar una función cuadrática. En consecuencia, tal disposición sólo es posible cuando se extrae la raíz de un grado par de un número positivo.

El último caso merece una consideración más detallada. Contemos un par de ejemplos para entender la diferencia.

Ejemplo. Evalúa las expresiones:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Solución. La primera expresión es simple:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Son dos números los que forman parte del conjunto. Porque cada uno de ellos al cuadrado da un cuatro.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Aquí vemos un conjunto formado por un solo número. Esto es bastante lógico, ya que el exponente raíz es impar.

Finalmente, la última expresión:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Recibimos un juego vacío. Porque no hay un solo número real que, elevado a la cuarta potencia (es decir, ¡par!), nos dé el número negativo −16.

Nota final. Tenga en cuenta: no es casualidad que haya notado en todas partes que trabajamos con números reales. porque hay mas números complejos— es muy posible calcular $\sqrt(-16)$ y muchas otras cosas extrañas allí.

Sin embargo, en la moderna curso escolar En matemáticas casi nunca se encuentran números complejos. Han sido eliminados de la mayoría de los libros de texto porque nuestros funcionarios consideran que el tema es “demasiado difícil de entender”.