Elevar una potencia a una potencia con exponente negativo. Cómo elevar un número a una potencia negativa: ejemplos con descripciones en Excel

Fórmulas de grado utilizado en el proceso de reducción y simplificación de expresiones complejas, en la resolución de ecuaciones y desigualdades.

Número C es norte-ésima potencia de un número a Cuando:

Operaciones con grados.

1. Al multiplicar los grados con la misma base, se suman sus indicadores:

soy·un = un m + n .

2. Al dividir grados con la misma base se restan sus exponentes:

3. El grado del producto de 2 o más factores es igual al producto de los grados de estos factores:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. El grado de una fracción es igual a la razón entre los grados del dividendo y el divisor:

(a/b) norte = an /b norte .

5. Elevando una potencia a una potencia, se multiplican los exponentes:

(un metro) norte = un metro norte .

Cada fórmula anterior es verdadera en las direcciones de izquierda a derecha y viceversa.

Por ejemplo. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operaciones con raíces.

1. La raíz del producto de varios factores es igual al producto de las raíces de estos factores:

2. La raíz de una razón es igual a la razón entre el dividendo y el divisor de las raíces:

3. Al elevar una raíz a una potencia, basta con elevar el número radical a esta potencia:

4. Si aumentas el grado de la raíz en norte una vez y al mismo tiempo construir en norte La potencia es un número radical, entonces el valor de la raíz no cambiará:

5. Si reduce el grado de la raíz en norte extraer la raíz al mismo tiempo norte-ésima potencia de un número radical, entonces el valor de la raíz no cambiará:

Un grado con exponente negativo. La potencia de un determinado número con un exponente no positivo (entero) se define como uno dividido por la potencia del mismo número con un exponente igual al valor absoluto del exponente no positivo:

Fórmula soy:a n = a m - n se puede utilizar no sólo para metro> norte, pero también con metro< norte.

Por ejemplo. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

a formular soy:a n = a m - n se volvió justo cuando m=n, se requiere la presencia de cero grados.

Un título con índice cero. La potencia de cualquier número distinto de cero con exponente cero es igual a uno.

Por ejemplo. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grado con exponente fraccionario. Para elevar un número real A al grado Minnesota, necesitas extraer la raíz norte grado de metro-ésima potencia de este número A.

Elevar a una potencia negativa es uno de los elementos básicos de las matemáticas y se encuentra a menudo en la resolución de problemas algebraicos. A continuación se encuentran instrucciones detalladas.

Cómo elevar a una potencia negativa - teoría

Cuando elevamos un número a una potencia ordinaria, multiplicamos su valor varias veces. Por ejemplo, 3 3 = 3×3×3 = 27. Con una fracción negativa ocurre lo contrario. La forma general de la fórmula será la siguiente: a -n = 1/a n. Por lo tanto, para elevar un número a una potencia negativa, es necesario dividir uno por el número dado, pero a una potencia positiva.

Cómo elevar a una potencia negativa: ejemplos de números ordinarios

Teniendo en cuenta la regla anterior, resolvamos algunos ejemplos.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Respuesta: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Respuesta -4 -2 = 1/16.

Pero, ¿por qué las respuestas del primer y segundo ejemplo son iguales? El caso es que cuando un número negativo se eleva a una potencia par (2, 4, 6, etc.), el signo se vuelve positivo. Si el grado fuera par, entonces quedaría el menos:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Cómo elevar números del 0 al 1 a una potencia negativa

Recuerde que cuando un número entre 0 y 1 se eleva a una potencia positiva, el valor disminuye a medida que aumenta la potencia. Entonces, por ejemplo, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Ejemplo 3: Calcular 0,5 -2
Solución: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Respuesta: 0,5 -2 = 4

Análisis (secuencia de acciones):

• Convierte la fracción decimal 0,5 a la fracción fraccionaria 1/2. Es más fácil así.
  Eleve 1/2 a una potencia negativa. 1/(2) -2 . Dividimos 1 entre 1/(2) 2, obtenemos 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Ejemplo 4: Calcular 0,5 -3
Solución: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Ejemplo 5: Calcular -0,5 -3
Solución: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Respuesta: -0,5 -3 = -8

Basándonos en los ejemplos cuarto y quinto, podemos sacar varias conclusiones:

• Para un número positivo en el rango de 0 a 1 (ejemplo 4), elevado a una potencia negativa, no importa si la potencia es par o impar, el valor de la expresión será positivo. Además, cuanto mayor sea el grado, mayor será el valor.
• Para un número negativo en el rango de 0 a 1 (ejemplo 5), elevado a una potencia negativa, no importa si la potencia es par o impar, el valor de la expresión será negativo. En este caso, cuanto mayor sea el grado, menor será el valor.

Cómo elevar a una potencia negativa: una potencia en forma de número fraccionario

Las expresiones de este tipo tienen la siguiente forma: a -m/n, donde a es un número regular, m es el numerador del grado, n es el denominador del grado.

Veamos un ejemplo:
Calcular: 8 -1/3

Solución (secuencia de acciones):

• Recordemos la regla para elevar un número a una potencia negativa. Obtenemos: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Observa que el denominador tiene el número 8 en potencia fraccionaria. La forma general de calcular una potencia fraccionaria es la siguiente: a m/n = n √8 m.
• Por tanto, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Obtenemos la raíz cúbica de ocho, que es igual a 2. De aquí, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Respuesta: 8 -1/3 = 2

Es obvio que los números con potencias se pueden sumar como otras cantidades. , sumándolos uno tras otro con sus signos.

Entonces, la suma de a 3 y b 2 es a 3 + b 2.
La suma de a 3 - b n y h 5 - d 4 es a 3 - b n + h 5 - d 4.

Impares potencias iguales de variables idénticas se pueden sumar o restar.

Entonces, la suma de 2a 2 y 3a 2 es igual a 5a 2.

También es obvio que si tomas dos cuadrados a, o tres cuadrados a, o cinco cuadrados a.

Pero grados varias variables Y varios grados variables idénticas, deben componerse sumándolos con sus signos.

Entonces, la suma de a 2 y a 3 es la suma de a 2 + a 3.

Es obvio que el cuadrado de a, y el cubo de a, no son iguales al doble del cuadrado de a, sino al doble del cubo de a.

La suma de a 3 b n y 3a 5 b 6 es a 3 b n + 3a 5 b 6.

Sustracción Las potencias se llevan a cabo de la misma manera que la suma, excepto que los signos de los sustraendos deben cambiarse en consecuencia.

O:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6 - 4h 2b 6 = -h 2b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

multiplicando poderes

Los números con potencias se pueden multiplicar, como otras cantidades, escribiéndolos uno tras otro, con o sin signo de multiplicación entre ellos.

Por lo tanto, el resultado de multiplicar a 3 por b 2 es a 3 b 2 o aaabb.

O:
x -3 ⋅ un metro = un metro x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 segundo 3 y 2 ⋅ a 3 segundo 2 y = a 2 segundo 3 y 2 a 3 segundo 2 y

El resultado del último ejemplo se puede ordenar agregando variables idénticas.
La expresión tomará la forma: a 5 b 5 y 3.

Al comparar varios números (variables) con potencias, podemos ver que si se multiplican dos de ellos, entonces el resultado es un número (variable) con una potencia igual a cantidad grados de términos.

Entonces, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Aquí 5 es la potencia del resultado de la multiplicación, igual a 2 + 3, la suma de las potencias de los términos.

Entonces, a n .a m = a m+n .

Para an , a se toma como factor tantas veces como la potencia de n;

Y una m se toma como factor tantas veces como sea igual el grado m;

Es por eso, potencias con las mismas bases se pueden multiplicar sumando los exponentes de las potencias.

Entonces, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Y x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

O:
4a norte ⋅ 2a norte = 8a 2n
segundo 2 y 3 ⋅ segundo 4 y = segundo 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiplica (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Respuesta: x 4 - y 4.
Multiplica (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Esta regla también es válida para números cuyos exponentes son negativo.

1. Entonces, a -2 .a -3 = a -5 . Esto se puede escribir como (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -nm .

3. a -n .a m = a m-n .

Si a + b se multiplican por a - b, el resultado será a 2 - b 2: es decir

El resultado de multiplicar la suma o diferencia de dos números es igual a la suma o diferencia de sus cuadrados.

Si multiplicas la suma y la diferencia de dos números elevados a cuadrado, el resultado será igual a la suma o diferencia de estos números en cuatro grados.

Entonces, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

división de grados

Los números con potencias se pueden dividir como otros números, restándolos del dividendo o colocándolos en forma de fracción.

Por lo tanto, a 3 b 2 dividido por b 2 es igual a a 3.

O:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Escribir un 5 dividido por un 3 se ve como $\frac(a^5)(a^3)$. Pero esto es igual a 2 . En una serie de números
un +4 , un +3 , un +2 , un +1 , un 0 , un -1 , un -2 , un -3 , un -4 .
cualquier número se puede dividir entre otro y el exponente será igual a diferencia indicadores de números divisibles.

Al dividir grados con la misma base se restan sus exponentes..

Entonces, y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. Es decir, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Y un n+1:a = un n+1-1 = un n . Es decir, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

O:
y 2 m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

La regla también es válida para números con negativo valores de grados.
El resultado de dividir -5 entre -3 es -2.
Además, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 o $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Es necesario dominar muy bien la multiplicación y división de potencias, ya que este tipo de operaciones se utilizan mucho en álgebra.

Ejemplos de resolución de ejemplos con fracciones que contienen números con potencias.

1. Reducir los exponentes en $\frac(5a^4)(3a^2)$ Respuesta: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Disminuye los exponentes en $\frac(6x^6)(3x^5)$. Respuesta: $\frac(2x)(1)$ o 2x.

3. Reducir los exponentes a 2 /a 3 y a -3 /a -4 y llevarlos a un denominador común.
a 2 .a -4 es a -2 el primer numerador.
a 3 .a -3 es a 0 = 1, el segundo numerador.
a 3 .a -4 es a -1 , el numerador común.
Después de la simplificación: a -2 /a -1 y 1/a -1 .

4. Reducir los exponentes 2a 4 /5a 3 y 2 /a 4 y llevarlos a un denominador común.
Respuesta: 2a 3 /5a 7 y 5a 5 /5a 7 o 2a 3 /5a 2 y 5/5a 2.

5. Multiplica (a 3 + b)/b 4 por (a - b)/3.

6. Multiplica (a 5 + 1)/x 2 por (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multiplica b 4 /a -2 por h -3 /x y a n /y -3 .

8. Divide un 4 /y 3 por un 3 /y 2. Respuesta: a/a.

9. Divida (h 3 - 1)/d 4 por (d n + 1)/h.

Primer nivel

Grado y sus propiedades. La guía completa (2019)

¿Por qué se necesitan títulos? ¿Dónde los necesitarás? ¿Por qué deberías tomarte el tiempo para estudiarlos?

Para aprender todo sobre los títulos, para qué sirven y cómo utilizar sus conocimientos en la vida cotidiana, lea este artículo.

Y, por supuesto, el conocimiento de las carreras te acercará a aprobar con éxito el Examen Estatal Unificado o Examen Estatal Unificado y a ingresar a la universidad de tus sueños.

¡Vamos vamos!)

¡Nota IMPORTANTE! Si ve galimatías en lugar de fórmulas, borre su caché. Para hacer esto, presione CTRL+F5 (en Windows) o Cmd+R (en Mac).

PRIMER NIVEL

La exponenciación es una operación matemática como la suma, la resta, la multiplicación o la división.

Ahora explicaré todo en lenguaje humano usando ejemplos muy simples. Ten cuidado. Los ejemplos son elementales, pero explican cosas importantes.

Comencemos con la suma.

No hay nada que explicar aquí. Ya lo sabes todo: somos ocho. Todos tienen dos botellas de cola. ¿Cuánta cola hay? Así es, 16 botellas.

Ahora multiplicación.

El mismo ejemplo con cola se puede escribir de otra manera: . Los matemáticos son personas astutas y perezosas. Primero notan algunos patrones y luego descubren una manera de “contarlos” más rápido. En nuestro caso, notaron que cada una de las ocho personas tenía la misma cantidad de botellas de cola y idearon una técnica llamada multiplicación. De acuerdo, se considera más fácil y rápido que.

Entonces, para contar más rápido, más fácil y sin errores, solo necesitas recordar tabla de multiplicación. ¡Por supuesto que puedes hacer todo más lento, más difícil y con errores! Pero…

Aquí está la tabla de multiplicar. Repetir.

Y otra más bonita:

¿Qué otros ingeniosos trucos de conteo se les han ocurrido a los matemáticos perezosos? Bien - elevar un número a una potencia.

Elevar un número a una potencia.

Si necesitas multiplicar un número por sí mismo cinco veces, los matemáticos dicen que debes elevar ese número a la quinta potencia. Por ejemplo, . Los matemáticos recuerdan que dos elevado a la quinta potencia es... Y resuelven esos problemas mentalmente: más rápido, más fácilmente y sin errores.

Todo lo que necesitas hacer es recuerda lo que está resaltado en color en la tabla de potencias de números. Créame, esto le hará la vida mucho más fácil.

Por cierto, ¿por qué se llama segundo grado? cuadrado números, y el tercero - cubo? ¿Qué significa? Muy buena pregunta. Ahora tendrás cuadrados y cubos.

Ejemplo de la vida real n.° 1

Empecemos por el cuadrado o la segunda potencia del número.

Imaginemos una piscina cuadrada de un metro por un metro. La piscina está en tu casa de campo. Hace calor y tengo muchas ganas de nadar. Pero... ¡la piscina no tiene fondo! Es necesario cubrir el fondo de la piscina con baldosas. ¿Cuántas fichas necesitas? Para determinar esto, es necesario conocer el área del fondo de la piscina.

Simplemente puedes calcular señalando con el dedo que el fondo de la piscina está formado por cubos de metro a metro. Si tienes baldosas de un metro por un metro, necesitarás piezas. Es fácil... ¿Pero dónde has visto esos azulejos? Lo más probable es que el mosaico sea cm por cm y luego te torturarán “contando con el dedo”. Entonces hay que multiplicar. Así, por un lado del fondo de la piscina encajaremos baldosas (trozos) y por el otro también baldosas. Multiplica por y obtendrás mosaicos ().

¿Te diste cuenta que para determinar el área del fondo de la piscina multiplicamos el mismo número por sí mismo? ¿Qué significa? Como estamos multiplicando el mismo número, podemos utilizar la técnica de la “exponenciación”. (Por supuesto, cuando solo tienes dos números, aún necesitas multiplicarlos o elevarlos a una potencia. Pero si tienes muchos, elevarlos a una potencia es mucho más fácil y también hay menos errores en los cálculos. ... Para el Examen Estatal Unificado esto es muy importante).
Entonces, treinta elevado a la segunda potencia será (). O podemos decir que será treinta al cuadrado. En otras palabras, la segunda potencia de un número siempre se puede representar como un cuadrado. Y viceversa, si ves un cuadrado, SIEMPRE es la segunda potencia de algún número. Un cuadrado es una imagen de la segunda potencia de un número.

Ejemplo de la vida real #2

Aquí tienes una tarea: cuenta cuántas casillas hay en el tablero de ajedrez usando el cuadrado del número... De un lado de las celdas y del otro también. Para calcular su número, necesitas multiplicar ocho por ocho o... si notas que un tablero de ajedrez es un cuadrado con un lado, entonces puedes elevar el ocho al cuadrado. Obtendrás células. () ¿Entonces?

Ejemplo de la vida real #3

Ahora el cubo o la tercera potencia de un número. La misma piscina. Pero ahora necesitas saber cuánta agua habrá que verter en esta piscina. Necesitas calcular el volumen. (Los volúmenes y los líquidos, por cierto, se miden en metros cúbicos. Inesperado, ¿verdad?) Dibuja una piscina: el fondo tiene un metro de tamaño y un metro de profundidad, y trata de contar cuántos cubos que miden un metro por un metro encajar en su piscina.

¡Solo señala con el dedo y cuenta! Uno, dos, tres, cuatro... veintidós, veintitrés... ¿Cuántos obtuviste? ¿No perdido? ¿Es difícil contar con el dedo? ¡De modo que! Tomemos un ejemplo de los matemáticos. Son perezosos, por eso se dieron cuenta de que para calcular el volumen de la piscina es necesario multiplicar su largo, ancho y alto entre sí. En nuestro caso, el volumen de la piscina será igual a cubos... Más fácil, ¿no?

Ahora imagina lo perezosos y astutos que serían los matemáticos si también simplificaran esto. Reducimos todo a una sola acción. Se dieron cuenta de que el largo, el ancho y el alto son iguales y que el mismo número se multiplica por sí mismo... ¿Qué significa esto? Esto significa que puedes aprovechar el título. Entonces, lo que antes contabas con el dedo, ellos lo hacen en una sola acción: tres al cubo es igual. Está escrito así: .

Todo lo que queda es recuerda la tabla de grados. A menos, por supuesto, que seas tan vago y astuto como los matemáticos. Si te gusta trabajar duro y cometer errores, puedes seguir contando con el dedo.

Bueno, para convencerte finalmente de que los títulos fueron inventados por personas astutas y que dejaron de fumar para resolver los problemas de su vida y no para crearte problemas, aquí tienes un par de ejemplos más de la vida.

Ejemplo de la vida real #4

Tienes un millón de rublos. Al principio de cada año, por cada millón que ganas, ganas otro millón. Es decir, cada millón que tienes se duplica al inicio de cada año. ¿Cuánto dinero tendrás en años? Si ahora estás sentado y "cuentas con el dedo", entonces eres una persona muy trabajadora y... estúpida. Pero lo más probable es que des una respuesta en un par de segundos, ¡porque eres inteligente! Entonces, en el primer año - dos multiplicado por dos... en el segundo año - qué pasó, por dos más, en el tercer año... ¡Para! Notaste que el número se multiplica por sí mismo. ¡Así que dos elevado a la quinta potencia es un millón! Ahora imagina que tienes una competencia y el que sepa contar más rápido se llevará estos millones… Vale la pena recordar los poderes de los números, ¿no crees?

Ejemplo de la vida real #5

Tienes un millón. Al principio de cada año, por cada millón que ganas, ganas dos más. Genial ¿no? Cada millón se triplica. ¿Cuánto dinero tendrás en un año? Contemos. El primer año: multiplica por, luego el resultado por otro... Ya es aburrido, porque ya entendiste todo: tres se multiplica por sí mismo. Entonces elevado a la cuarta potencia es igual a un millón. Sólo hay que recordar que tres elevado a la cuarta potencia es o.

Ahora ya sabes que elevando un número a una potencia te harás la vida mucho más fácil. Echemos un vistazo más a fondo a lo que puede hacer con los títulos y lo que necesita saber sobre ellos.

Términos y conceptos... para no confundirse

Entonces, primero, definamos los conceptos. Qué opinas, que es un exponente? Es muy simple: es el número que está "en la parte superior" de la potencia del número. No es científico, pero es claro y fácil de recordar...

Bueno, al mismo tiempo, ¿qué tal base de grado? Aún más simple: este es el número que se encuentra debajo, en la base.

Aquí hay un dibujo por si acaso.

Bueno, en términos generales, para generalizar y recordar mejor... Un grado con base “ ” y exponente “ ” se lee “al grado” y se escribe de la siguiente manera:

Potencia de un número con exponente natural.

Probablemente ya lo habrás adivinado: porque el exponente es un número natural. si pero que es número natural? ¡Elemental! Los números naturales son aquellos números que se utilizan al contar cuando se enumeran objetos: uno, dos, tres... Cuando contamos objetos, no decimos: "menos cinco", "menos seis", "menos siete". Tampoco decimos: “un tercio”, ni “cero coma cinco”. Estos no son números naturales. ¿Qué números crees que son estos?

Números como “menos cinco”, “menos seis”, “menos siete” se refieren a números enteros. En general, los números enteros incluyen todos los números naturales, los números opuestos a los números naturales (es decir, tomados con un signo menos) y los números. El cero es fácil de entender: es cuando no hay nada. ¿Qué significan los números negativos (“menos”)? Pero se inventaron principalmente para indicar deudas: si tiene un saldo en su teléfono en rublos, significa que le debe rublos al operador.

Todas las fracciones son números racionales. ¿Cómo surgieron, crees? Muy simple. Hace varios miles de años, nuestros antepasados ​​descubrieron que carecían de números naturales para medir la longitud, el peso, el área, etc. Y se les ocurrió numeros racionales... Interesante, ¿no?

También hay números irracionales. ¿Cuáles son estos números? En resumen, es una fracción decimal infinita. Por ejemplo, si divides la circunferencia de un círculo por su diámetro, obtienes un número irracional.

Resumen:

Definamos el concepto de grado cuyo exponente es un número natural (es decir, entero y positivo).

1. Cualquier número elevado a la primera potencia es igual a sí mismo:
2. Cuadrar un número significa multiplicarlo por sí mismo:
3. Cubetar un número al cubo significa multiplicarlo por sí mismo tres veces:

Definición. Elevar un número a una potencia natural significa multiplicar el número por sí mismo por:
.

Propiedades de los grados

¿De dónde vinieron estas propiedades? Te lo mostraré ahora.

Veamos: ¿qué es? Y ?

Priorato A:

¿Cuántos multiplicadores hay en total?

Es muy simple: sumamos multiplicadores a los factores y el resultado son multiplicadores.

Pero por definición, esta es una potencia de un número con exponente, es decir: , que es lo que había que demostrar.

Ejemplo: Simplifica la expresión.

Solución:

Ejemplo: Simplifica la expresión.

Solución: Es importante señalar que en nuestra regla Necesariamente¡Debe haber las mismas razones!
Por lo tanto, combinamos las potencias con la base, pero sigue siendo un factor separado:

¡sólo para el producto de potencias!

Bajo ninguna circunstancia puedes escribir eso.

2. eso es todo ésima potencia de un número

Al igual que con la propiedad anterior, pasemos a la definición de grado:

Resulta que la expresión se multiplica por sí misma, es decir, según la definición, esta es la enésima potencia del número:

En esencia, a esto se le puede llamar “sacar el indicador de paréntesis”. Pero nunca podrás hacer esto en total:

Recordemos las fórmulas de multiplicación abreviadas: ¿cuántas veces quisimos escribir?

Pero, después de todo, esto no es cierto.

Potencia con base negativa

Hasta este punto, sólo hemos discutido cuál debería ser el exponente.

Pero ¿cuál debería ser la base?

en poderes de indicador natural la base puede ser cualquier número. De hecho, podemos multiplicar cualquier número entre sí, ya sean positivos, negativos o pares.

Pensemos en qué signos ("" o "") tendrán potencias de números positivos y negativos.

Por ejemplo, ¿el número es positivo o negativo? ¿A? ? Con el primero todo está claro: por muchos números positivos que multipliquemos entre sí, el resultado será positivo.

Pero las negativas son un poco más interesantes. Recordamos la regla simple del sexto grado: "menos por menos da un más". Eso es, o. Pero si multiplicamos por, funciona.

Determina por ti mismo qué signo tendrán las siguientes expresiones:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

¿Lograste?

Aquí están las respuestas: En los primeros cuatro ejemplos, espero que todo quede claro. Simplemente miramos la base y el exponente y aplicamos la regla adecuada.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

En el ejemplo 5), tampoco todo es tan aterrador como parece: después de todo, no importa a qué base sea igual: el grado es par, lo que significa que el resultado siempre será positivo.

Bueno, excepto cuando la base es cero. La base no es igual ¿verdad? Obviamente no, desde (porque).

¡El ejemplo 6) ya no es tan simple!

6 ejemplos para practicar

Análisis de la solución 6 ejemplos.

Si ignoramos el octavo poder, ¿qué vemos aquí? Recordemos el programa de 7mo grado. Entonces, ¿te acuerdas? ¡Esta es la fórmula para la multiplicación abreviada, es decir, la diferencia de cuadrados! Obtenemos:

Miremos detenidamente el denominador. Se parece mucho a uno de los factores del numerador, pero ¿qué pasa? El orden de los términos es incorrecto. Si se invirtieran, la regla podría aplicarse.

¿Pero cómo hacer eso? Resulta que es muy fácil: el grado par del denominador nos ayuda aquí.

Mágicamente los términos cambiaron de lugar. Este “fenómeno” se aplica a cualquier expresión en grado uniforme: podemos cambiar fácilmente los signos entre paréntesis.

Pero es importante recordar: todos los signos cambian al mismo tiempo!

Volvamos al ejemplo:

Y nuevamente la fórmula:

Entero Llamamos a los números naturales, a sus opuestos (es decir, tomados con el signo " ") y al número.

entero positivo, y no es diferente de lo natural, entonces todo se ve exactamente como en la sección anterior.

Ahora veamos nuevos casos. Comencemos con un indicador igual a.

Cualquier número elevado a cero es igual a uno.:

Como siempre, preguntémonos: ¿por qué es así?

Consideremos algún grado con base. Tomemos, por ejemplo, y multipliquemos por:

Entonces, multiplicamos el número por y obtuvimos lo mismo que era: . ¿Por qué número debes multiplicar para que nada cambie? Así es, adelante. Medio.

Podemos hacer lo mismo con un número arbitrario:

Repitamos la regla:

Cualquier número elevado a cero es igual a uno.

Pero hay excepciones a muchas reglas. Y aquí también está allí: este es un número (como base).

Por un lado, debe ser igual en cualquier grado; no importa cuánto multiplique cero por sí mismo, igual obtendrá cero, esto está claro. Pero por otro lado, como cualquier número elevado a cero, debe ser igual. Entonces, ¿cuánto de esto es cierto? Los matemáticos decidieron no involucrarse y se negaron a elevar el cero a la potencia cero. Es decir, ahora no solo podemos dividir por cero, sino también elevarlo a la potencia cero.

Vamonos. Además de los números naturales y los números enteros, también se incluyen los números negativos. Para entender qué es una potencia negativa, hagamos como la última vez: multiplicar algún número normal por el mismo número a una potencia negativa:

Desde aquí es fácil expresar lo que buscas:

Ahora extendamos la regla resultante a un grado arbitrario:

Entonces, formulemos una regla:

Un número con potencia negativa es el recíproco del mismo número con potencia positiva. Pero al mismo tiempo La base no puede ser nula:(porque no se puede dividir por).

Resumamos:

I. La expresión no está definida en el caso. Si entonces.

II. Cualquier número elevado a cero es igual a uno: .

III. Un número distinto de cero elevado a una potencia negativa es el inverso del mismo número elevado a una potencia positiva: .

Tareas para solución independiente:

Bueno, como siempre, ejemplos de soluciones independientes:

Análisis de problemas para solución independiente:

Lo sé, lo sé, los números dan miedo, ¡pero en el Examen Estatal Unificado hay que estar preparado para cualquier cosa! Resuelve estos ejemplos o analiza sus soluciones si no pudiste resolverlos y aprenderás a afrontarlos fácilmente en el examen.

Sigamos ampliando el rango de números "adecuados" como exponente.

Ahora consideremos numeros racionales.¿Qué números se llaman racionales?

Respuesta: todo lo que se puede representar como una fracción, donde y son números enteros, y.

Para entender lo que es "grado fraccionario", considere la fracción:

Elevemos ambos lados de la ecuación a una potencia:

Ahora recordemos la regla sobre "grado a grado":

¿Qué número hay que elevar a una potencia para obtenerlo?

Esta formulación es la definición de la raíz del décimo grado.

Permítanme recordarles: la raíz de la enésima potencia de un número () es un número que, elevado a una potencia, es igual a.

Es decir, la raíz de la potencia ésima es la operación inversa de elevar a una potencia: .

Resulta que. Evidentemente, este caso especial puede ampliarse: .

Ahora sumamos el numerador: ¿qué es? La respuesta es fácil de obtener usando la regla de potencia a potencia:

¿Pero puede la base ser cualquier número? Después de todo, la raíz no se puede extraer de todos los números.

¡Ninguno!

Recordemos la regla: cualquier número elevado a una potencia par es un número positivo. Es decir, ¡es imposible extraer raíces pares de números negativos!

Esto significa que tales números no se pueden elevar a una potencia fraccionaria con un denominador par, es decir, la expresión no tiene sentido.

¿Qué pasa con la expresión?

Pero aquí surge un problema.

El número se puede representar en forma de otras fracciones reducibles, por ejemplo, o.

Y resulta que existe, pero no existe, pero son solo dos registros diferentes del mismo número.

U otro ejemplo: una vez, luego puedes escribirlo. Pero si anotamos el indicador de otra manera, nuevamente nos meteremos en problemas: (es decir, ¡obtuvimos un resultado completamente diferente!).

Para evitar tales paradojas, consideramos único exponente base positivo con exponente fraccionario.

Así que si:

• - número natural;
• - número entero;

Ejemplos:

Los exponentes racionales son muy útiles para transformar expresiones con raíces, por ejemplo:

5 ejemplos para practicar

Análisis de 5 ejemplos para la formación

Bueno, ahora viene la parte más difícil. Ahora lo resolveremos grado con exponente irracional.

Todas las reglas y propiedades de los grados aquí son exactamente las mismas que para un grado con exponente racional, con la excepción

Después de todo, por definición, los números irracionales son números que no se pueden representar como una fracción, donde y son números enteros (es decir, los números irracionales son todos números reales excepto los racionales).

Al estudiar grados con exponentes naturales, enteros y racionales, cada vez creamos una determinada “imagen”, “analogía” o descripción en términos más familiares.

Por ejemplo, un grado con exponente natural es un número multiplicado por sí mismo varias veces;

...número elevado a la potencia cero- este es, por así decirlo, un número multiplicado por sí mismo una vez, es decir, aún no han comenzado a multiplicarlo, lo que significa que el número en sí ni siquiera ha aparecido todavía - por lo tanto, el resultado es solo un cierto "número en blanco" , es decir, un número;

...grado entero negativo- es como si se hubiera producido un “proceso inverso”, es decir, el número no se multiplicaba por sí mismo, sino que se dividía.

Por cierto, en ciencias se suele utilizar un grado con exponente complejo, es decir, el exponente ni siquiera es un número real.

Pero en la escuela no pensamos en tales dificultades, tendrás la oportunidad de comprender estos nuevos conceptos en el instituto.

¡DONDE ESTAMOS SEGUROS QUE IRÁS! (si aprendes a resolver tales ejemplos :))

Por ejemplo:

Decide por ti mismo:

Análisis de soluciones:

1. Comencemos con la regla habitual para elevar una potencia a una potencia:

Ahora mira el indicador. ¿No te recuerda a nada? Recordemos la fórmula para la multiplicación abreviada de diferencia de cuadrados:

En este caso,

Resulta que:

Respuesta: .

2. Reducimos fracciones en exponentes a la misma forma: ambos decimales o ambos ordinarios. Obtenemos, por ejemplo:

Respuesta: 16

3. Nada especial, utilizamos las propiedades habituales de los grados:

NIVEL AVANZADO

Determinación del grado

Un título es una expresión de la forma: , donde:

• — base de grado;
• - exponente.

Titulación con indicador natural (n = 1, 2, 3,...)

Elevar un número a la potencia natural n significa multiplicar el número por sí mismo:

Grado con exponente entero (0, ±1, ±2,...)

Si el exponente es entero positivo número:

Construcción al grado cero:

La expresión es indefinida, porque, por un lado, en cualquier grado es esto, y por otro lado, cualquier número hasta el grado ésimo es esto.

Si el exponente es entero negativo número:

(porque no se puede dividir por).

Una vez más sobre los ceros: la expresión no está definida en el caso. Si entonces.

Ejemplos:

Potencia con exponente racional

• - número natural;
• - número entero;

Ejemplos:

Propiedades de los grados

Para que sea más fácil resolver los problemas, intentemos comprender: ¿de dónde vienen estas propiedades? Demostrémoslos.

Veamos: ¿qué es y?

Priorato A:

Entonces, en el lado derecho de esta expresión obtenemos el siguiente producto:

Pero por definición es una potencia de un número con exponente, es decir:

Q.E.D.

Ejemplo : Simplifica la expresión.

Solución : .

Ejemplo : Simplifica la expresión.

Solución : Es importante señalar que en nuestra regla Necesariamente debe haber las mismas razones. Por lo tanto, combinamos las potencias con la base, pero sigue siendo un factor separado:

Otra nota importante: esta regla - solo para producto de potencias!

Bajo ninguna circunstancia puedes escribir eso.

Al igual que con la propiedad anterior, pasemos a la definición de grado:

Reagrupemos este trabajo así:

Resulta que la expresión se multiplica por sí misma, es decir, según la definición, esta es la enésima potencia del número:

En esencia, a esto se le puede llamar “sacar el indicador de paréntesis”. Pero nunca podrás hacer esto en total: !

Recordemos las fórmulas de multiplicación abreviadas: ¿cuántas veces quisimos escribir? Pero, después de todo, esto no es cierto.

Potencia con base negativa.

Hasta este punto sólo hemos discutido cómo debería ser índice grados. Pero ¿cuál debería ser la base? en poderes de natural indicador la base puede ser cualquier número .

De hecho, podemos multiplicar cualquier número entre sí, ya sean positivos, negativos o pares. Pensemos en qué signos ("" o "") tendrán potencias de números positivos y negativos.

Por ejemplo, ¿el número es positivo o negativo? ¿A? ?

Con el primero todo está claro: por muchos números positivos que multipliquemos entre sí, el resultado será positivo.

Pero las negativas son un poco más interesantes. Recordamos la regla simple del sexto grado: "menos por menos da un más". Eso es, o. Pero si multiplicamos por (), obtenemos - .

Y así hasta el infinito: con cada multiplicación posterior el signo cambiará. Se pueden formular las siguientes reglas simples:

1. incluso grado, - número positivo.
2. Número negativo elevado a extraño grado, - número negativo.
3. Un número positivo en cualquier grado es un número positivo.
4. Cero elevado a cualquier potencia es igual a cero.

Determina por ti mismo qué signo tendrán las siguientes expresiones:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

¿Lograste? Aquí están las respuestas:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

En los primeros cuatro ejemplos, espero que todo quede claro. Simplemente miramos la base y el exponente y aplicamos la regla adecuada.

En el ejemplo 5), tampoco todo es tan aterrador como parece: después de todo, no importa a qué base sea igual: el grado es par, lo que significa que el resultado siempre será positivo. Bueno, excepto cuando la base es cero. La base no es igual ¿verdad? Obviamente no, desde (porque).

El ejemplo 6) ya no es tan sencillo. Aquí necesitas saber cuál es menos: ¿o? Si recordamos eso, queda claro que lo que significa que la base es menor que cero. Es decir, aplicamos la regla 2: el resultado será negativo.

Y nuevamente usamos la definición de grado:

Todo es como de costumbre: anotamos la definición de grados y los dividimos entre sí, los dividimos en pares y obtenemos:

Antes de ver la última regla, resolvamos algunos ejemplos.

Calcula las expresiones:

Soluciones :

Si ignoramos el octavo poder, ¿qué vemos aquí? Recordemos el programa de 7mo grado. Entonces, ¿te acuerdas? ¡Esta es la fórmula para la multiplicación abreviada, es decir, la diferencia de cuadrados!

Obtenemos:

Miremos detenidamente el denominador. Se parece mucho a uno de los factores del numerador, pero ¿qué pasa? El orden de los términos es incorrecto. Si se invirtieran, se podría aplicar la regla 3. Pero ¿cómo? Resulta que es muy fácil: el grado par del denominador nos ayuda aquí.

Si lo multiplicas por, nada cambia, ¿verdad? Pero ahora resulta así:

Mágicamente los términos cambiaron de lugar. Este “fenómeno” se aplica a cualquier expresión en grado uniforme: podemos cambiar fácilmente los signos entre paréntesis. Pero es importante recordar: ¡Todos los signos cambian al mismo tiempo!¡No puedes reemplazarlo cambiando solo una desventaja que no nos gusta!

Volvamos al ejemplo:

Y nuevamente la fórmula:

Ahora la última regla:

¿Cómo lo demostraremos? Eso sí, como siempre: ampliemos el concepto de titulación y lo simplifiquemos:

Bueno, ahora abramos los corchetes. ¿Cuántas letras hay en total? veces por multiplicadores: ¿a qué te recuerda esto? Esto no es más que una definición de una operación. multiplicación: Allí solo había multiplicadores. Es decir, esto, por definición, es una potencia de un número con exponente:

Ejemplo:

Grado con exponente irracional

Además de la información sobre grados para el nivel medio, analizaremos el grado con exponente irracional. Todas las reglas y propiedades de los grados aquí son exactamente las mismas que para un grado con un exponente racional, con la excepción: después de todo, por definición, los números irracionales son números que no se pueden representar como una fracción, donde y son números enteros (es decir , los números irracionales son todos números reales excepto los números racionales).

Al estudiar grados con exponentes naturales, enteros y racionales, cada vez creamos una determinada “imagen”, “analogía” o descripción en términos más familiares. Por ejemplo, un grado con exponente natural es un número multiplicado por sí mismo varias veces; un número elevado a cero es, por así decirlo, un número multiplicado por sí mismo una vez, es decir, aún no han comenzado a multiplicarlo, lo que significa que el número en sí ni siquiera ha aparecido todavía; por lo tanto, el resultado es solo un cierto “número en blanco”, es decir, un número; un grado con un exponente entero negativo: es como si hubiera ocurrido algún "proceso inverso", es decir, el número no se multiplicó por sí mismo, sino que se dividió.

Es extremadamente difícil imaginar un grado con un exponente irracional (al igual que es difícil imaginar un espacio de 4 dimensiones). Es más bien un objeto puramente matemático que los matemáticos crearon para extender el concepto de grado a todo el espacio de los números.

Por cierto, en ciencias se suele utilizar un grado con exponente complejo, es decir, el exponente ni siquiera es un número real. Pero en la escuela no pensamos en tales dificultades, tendrás la oportunidad de comprender estos nuevos conceptos en el instituto.

Entonces, ¿qué hacemos si vemos un exponente irracional? ¡Estamos haciendo todo lo posible para deshacernos de él! :)

Por ejemplo:

Decide por ti mismo:

1)

2)

3)

Respuestas:

1. Recordemos la fórmula de diferencia de cuadrados. Respuesta: .
2. Reducimos las fracciones a la misma forma: ambos decimales o ambos ordinarios. Obtenemos, por ejemplo: .
3. Nada especial, utilizamos las propiedades habituales de los grados:

RESUMEN DE LA SECCIÓN Y FÓRMULAS BÁSICAS

Grado se llama expresión de la forma: , donde:

Grado con exponente entero

un grado cuyo exponente es un número natural (es decir, entero y positivo).

Potencia con exponente racional

grado, cuyo exponente son números negativos y fraccionarios.

Grado con exponente irracional

un grado cuyo exponente es una fracción o raíz decimal infinita.

Propiedades de los grados

Características de los grados.

• Número negativo elevado a incluso grado, - número positivo.
• Número negativo elevado a extraño grado, - número negativo.
• Un número positivo en cualquier grado es un número positivo.
• Cero es igual a cualquier potencia.
• Cualquier número elevado a la potencia cero es igual.

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La potencia se utiliza para simplificar la operación de multiplicar un número por sí mismo. Por ejemplo, en lugar de escribir, puedes escribir 4 5 (\displaystyle 4^(5))(Se proporciona una explicación de esta transición en la primera sección de este artículo). Los títulos facilitan la escritura de expresiones o ecuaciones largas o complejas; Las potencias también son fáciles de sumar y restar, lo que da como resultado una expresión o ecuación simplificada (por ejemplo, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Nota: si necesitas resolver una ecuación exponencial (en dicha ecuación la incógnita está en el exponente), lee.

Pasos

Resolver problemas simples con títulos.

Multiplica la base del exponente por sí misma un número de veces igual al exponente. Si necesitas resolver un problema de potencia a mano, reescribe la potencia como una operación de multiplicación, donde la base de la potencia se multiplica por sí misma. Por ejemplo, dado un título 3 4 (\displaystyle 3^(4)). En este caso, la base de la potencia 3 debe multiplicarse por sí misma 4 veces: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Aquí hay otros ejemplos:

Primero, multiplica los dos primeros números. Por ejemplo, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). No se preocupe: el proceso de cálculo no es tan complicado como parece a primera vista. Primero multiplica los dos primeros cuatro y luego reemplázalos con el resultado. Como esto:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Multiplica el resultado (16 en nuestro ejemplo) por el siguiente número. Cada resultado posterior aumentará proporcionalmente. En nuestro ejemplo, multiplica 16 por 4. Así:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Continúe multiplicando el resultado de los dos primeros números por el siguiente número hasta obtener la respuesta final. Para hacer esto, multiplique los dos primeros números y luego multiplique el resultado por el siguiente número de la secuencia. Este método es válido para cualquier titulación. En nuestro ejemplo deberías obtener: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Resuelve los siguientes problemas. Comprueba tu respuesta usando una calculadora.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. En su calculadora, busque la clave denominada "exp" o " x norte (\displaystyle x^(n))" o "^". Usando esta tecla elevarás un número a una potencia. Es casi imposible calcular manualmente un título con un indicador grande (por ejemplo, el grado 9 15 (\displaystyle 9^(15))), pero la calculadora puede realizar fácilmente esta tarea. En Windows 7, la calculadora estándar se puede cambiar al modo de ingeniería; Para hacer esto, haga clic en "Ver" -> "Ingeniería". Para cambiar al modo normal, haga clic en "Ver" -> "Normal".

   • Verifique la respuesta recibida usando un motor de búsqueda (Google o Yandex). Usando la tecla "^" en el teclado de su computadora, ingrese la expresión en el motor de búsqueda, que mostrará instantáneamente la respuesta correcta (y posiblemente le sugerirá expresiones similares para que las estudie).

   Suma, resta, multiplicación de potencias.

   1. Puedes sumar y restar grados sólo si tienen las mismas bases. Si necesitas sumar potencias con las mismas bases y exponentes, puedes reemplazar la operación de suma con la operación de multiplicación. Por ejemplo, dada la expresión 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Recuerde que el grado 4 5 (\displaystyle 4^(5)) se puede representar en la forma 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); De este modo, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(donde 1 +1 =2). Es decir, cuente el número de grados similares y luego multiplique ese grado por este número. En nuestro ejemplo, eleva 4 a la quinta potencia y luego multiplica el resultado resultante por 2. Recuerda que la operación de suma se puede sustituir por la operación de multiplicación, por ejemplo, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Aquí hay otros ejemplos:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Al multiplicar potencias con la misma base se suman sus exponentes (la base no cambia). Por ejemplo, dada la expresión x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). En este caso, basta con añadir los indicadores, dejando la base sin cambios. De este modo, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Aquí hay una explicación visual de esta regla:

      Al elevar una potencia a una potencia, los exponentes se multiplican. Por ejemplo, se otorga un título. Como los exponentes se multiplican, entonces (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). El objetivo de esta regla es que multiplicas por potencias. (x 2) (\displaystyle (x^(2))) sobre sí mismo cinco veces. Como esto:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Como la base es la misma, los exponentes simplemente se suman: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Una potencia con exponente negativo debe convertirse a una fracción (potencia inversa). No importa si no sabes qué es un grado recíproco. Si le dan un título con un exponente negativo, p.e. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), escribe este grado en el denominador de la fracción (pon 1 en el numerador) y haz que el exponente sea positivo. En nuestro ejemplo: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Aquí hay otros ejemplos:

      Al dividir grados con la misma base se restan sus exponentes (la base no cambia). La operación de división es lo opuesto a la operación de multiplicación. Por ejemplo, dada la expresión 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Resta el exponente en el denominador del exponente en el numerador (no cambies la base). De este modo, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • La potencia en el denominador se puede escribir de la siguiente manera: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Recuerda que una fracción es un número (potencia, expresión) con exponente negativo.

   4. A continuación se muestran algunas expresiones que te ayudarán a aprender a resolver problemas con exponentes. Las expresiones dadas cubren el material presentado en esta sección. Para ver la respuesta, simplemente seleccione el espacio vacío después del signo igual.

   Resolver problemas con exponentes fraccionarios

   Una potencia con un exponente fraccionario (por ejemplo, ) se convierte en una operación de raíz. En nuestro ejemplo: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Aquí no importa qué número esté en el denominador del exponente fraccionario. Por ejemplo, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- es la raíz cuarta de “x”, es decir x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Si el exponente es una fracción impropia, entonces el exponente se puede descomponer en dos potencias para simplificar la solución del problema. No hay nada complicado en esto, basta con recordar la regla de multiplicar potencias. Por ejemplo, se otorga un título. Convierta dicha potencia en una raíz cuya potencia sea igual al denominador del exponente fraccionario y luego eleve esta raíz a una potencia igual al numerador del exponente fraccionario. Para ello recuerda que 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). En nuestro ejemplo:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Algunas calculadoras tienen un botón para calcular exponentes (primero debes ingresar la base, luego presionar el botón y luego ingresar el exponente). Se denota como ^ o x^y.
   3. Recuerde que cualquier número elevado a la primera potencia es igual a sí mismo, por ejemplo, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Además, cualquier número multiplicado o dividido por uno es igual a sí mismo, p.e. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) Y 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Sepa que la potencia 0 0 no existe (tal potencia no tiene solución). Si intenta resolver dicho grado en una calculadora o en una computadora, recibirá un error. Pero recuerda que cualquier número elevado a cero es 1, por ejemplo, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. En matemáticas superiores, que opera con números imaginarios: mi una yo x = c o s una x + yo s yo n una x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Dónde yo = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e es una constante aproximadamente igual a 2,7; a es una constante arbitraria. La prueba de esta igualdad se puede encontrar en cualquier libro de texto de matemáticas superiores.

   Advertencias

   • A medida que aumenta el exponente, su valor aumenta considerablemente. Entonces, si la respuesta le parece incorrecta, es posible que en realidad sea correcta. Puedes probar esto trazando cualquier función exponencial, como 2 x.