Fórmulas básicas de planimetría. Cómo encontrar el área de formas geométricas.

Las áreas de figuras geométricas son valores numéricos que caracterizan su tamaño en un espacio bidimensional. Este valor se puede medir en unidades del sistema y fuera del sistema. Entonces, por ejemplo, una unidad de área no sistémica es una centésima, una hectárea. Este es el caso si la superficie que se mide es un terreno. La unidad de área del sistema es el cuadrado de la longitud. En el sistema SI, la unidad de superficie plana es el metro cuadrado. En el SGA, la unidad de superficie se expresa como centímetro cuadrado.

Las fórmulas de geometría y área están indisolublemente ligadas. Esta conexión radica en que el cálculo de las áreas de figuras planas se basa precisamente en su aplicación. Para muchas figuras, se derivan varias opciones a partir de las cuales se calculan sus dimensiones cuadradas. Basándonos en los datos del planteamiento del problema, podemos determinar la solución más sencilla posible. Esto facilitará el cálculo y reducirá al mínimo la probabilidad de errores de cálculo. Para ello, considere las principales áreas de las figuras en geometría.

Las fórmulas para encontrar el área de cualquier triángulo se presentan en varias opciones:

1) El área de un triángulo se calcula a partir de la base a y la altura h. Se considera base el lado de la figura sobre el que se baja la altura. Entonces el área del triángulo es:

2) El área de un triángulo rectángulo se calcula de la misma forma si se considera la base la hipotenusa. Si tomamos el cateto como base, entonces el área del triángulo rectángulo será igual al producto de los catetos divididos por la mitad.

Las fórmulas para calcular el área de cualquier triángulo no terminan ahí. Otra expresión contiene los lados a,b y la función sinusoidal del ángulo γ entre a y b. El valor del seno se encuentra en las tablas. También puedes averiguarlo usando una calculadora. Entonces el área del triángulo es:

Usando esta igualdad, también puedes asegurarte de que el área de un triángulo rectángulo esté determinada por las longitudes de los catetos. Porque El ángulo γ es un ángulo recto, por lo que el área de un triángulo rectángulo se calcula sin multiplicar por la función seno.

3) Considere un caso especial: un triángulo regular, cuyo lado a se conoce por condición o su longitud se puede encontrar al resolver. No se sabe nada más sobre la figura del problema de geometría. Entonces, ¿cómo encontrar el área bajo esta condición? En este caso se aplica la fórmula del área de un triángulo regular:

Rectángulo

¿Cómo encontrar el área de un rectángulo y utilizar las dimensiones de los lados que tienen un vértice común? La expresión para el cálculo es:

Si necesitas usar las longitudes de las diagonales para calcular el área de un rectángulo, entonces necesitarás una función del seno del ángulo formado cuando se cruzan. Esta fórmula para el área de un rectángulo es:

Cuadrado

El área de un cuadrado se determina como la segunda potencia de la longitud del lado:

La prueba se desprende de la definición de que un cuadrado es un rectángulo. Todos los lados que forman un cuadrado tienen las mismas dimensiones. Por lo tanto, calcular el área de dicho rectángulo se reduce a multiplicar uno por el otro, es decir, a la segunda potencia del lado. Y la fórmula para calcular el área de un cuadrado tomará la forma deseada.

El área de un cuadrado se puede encontrar de otra forma, por ejemplo, si usas la diagonal:

¿Cómo calcular el área de una figura que está formada por una parte de un plano delimitada por un círculo? Para calcular el área las fórmulas son:

Paralelogramo

Para un paralelogramo, la fórmula contiene las dimensiones lineales del lado, la altura y la operación matemática: la multiplicación. Si se desconoce la altura, ¿cómo encontrar el área del paralelogramo? Hay otra forma de calcular. Se requerirá un valor determinado, que será tomado por la función trigonométrica del ángulo formado por los lados adyacentes, así como su longitud.

Las fórmulas para el área de un paralelogramo son:

Rombo

¿Cómo encontrar el área de un cuadrilátero llamado rombo? El área de un rombo se determina mediante matemáticas simples con diagonales. La prueba se basa en el hecho de que los segmentos diagonales en d1 y d2 se cortan en ángulos rectos. La tabla de senos muestra que para un ángulo recto esta función es igual a la unidad. Por tanto, el área de un rombo se calcula de la siguiente manera:

El área de un rombo también se puede encontrar de otra forma. Esto tampoco es difícil de demostrar, dado que sus lados tienen la misma longitud. Luego sustituye su producto en una expresión similar para un paralelogramo. Después de todo, un caso especial de esta figura en particular es el rombo. Aquí γ es el ángulo interior del rombo. El área de un rombo se determina de la siguiente manera:

trapezoide

¿Cómo encontrar el área de un trapezoide a través de las bases (ayb), si el problema indica sus longitudes? Aquí, sin un valor conocido de la altura longitud h, no será posible calcular el área de dicho trapezoide. Porque este valor contiene la expresión para el cálculo:

El tamaño del cuadrado de un trapezoide rectangular también se puede calcular de la misma forma. Se tiene en cuenta que en un trapecio rectangular se combinan los conceptos de altura y lado. Por lo tanto, para un trapezoide rectangular, debe especificar la longitud del lado en lugar de la altura.

Cilindro y paralelepípedo

Consideremos qué se necesita para calcular la superficie de todo el cilindro. El área de esta figura es un par de círculos llamados bases y una superficie lateral. Los círculos que forman círculos tienen longitudes de radio iguales a r. Para el área de un cilindro se realiza el siguiente cálculo:

¿Cómo encontrar el área de un paralelepípedo que consta de tres pares de caras? Sus medidas coinciden con el par específico. Las caras opuestas tienen los mismos parámetros. Primero, encuentre S(1), S(2), S(3): las dimensiones cuadradas de las caras desiguales. Entonces el área de superficie del paralelepípedo es:

Anillo

Dos círculos con un centro común forman un anillo. También limitan el área del ring. En este caso, ambas fórmulas de cálculo tienen en cuenta las dimensiones de cada círculo. El primero de ellos, que calcula el área del anillo, contiene los radios R mayor y R menor. Más a menudo se les llama externos e internos. En la segunda expresión, el área del anillo se calcula a través de los diámetros D mayor y d menor. Así, el área del anillo en función de los radios conocidos se calcula de la siguiente manera:

El área del anillo, utilizando las longitudes de los diámetros, se determina de la siguiente manera:

Polígono

¿Cómo encontrar el área de un polígono cuya forma no es regular? No existe una fórmula general para el área de tales figuras. Pero si está representado en un plano de coordenadas, por ejemplo, podría ser papel cuadriculado, ¿cómo encontrar el área de la superficie en este caso? Aquí utilizan un método que no requiere medir aproximadamente la figura. Hacen esto: si encuentran puntos que caen en la esquina de la celda o tienen coordenadas completas, solo se tienen en cuenta ellos. Para luego saber cuál es el área, utilice la fórmula probada por Peake. Es necesario sumar el número de puntos ubicados dentro de la línea discontinua con la mitad de los puntos que se encuentran sobre ella y restar uno, es decir, se calcula de esta manera:

donde B, G es el número de puntos ubicados dentro y en toda la línea discontinua, respectivamente.

Todas las fórmulas para el área de figuras planas.

Área de un trapezoide isósceles

1. Fórmula para el área de un trapezoide isósceles usando lados y ángulos

a - base inferior

b - base superior

c - lados iguales

α - ángulo en la base inferior

Fórmula para el área de un trapezoide isósceles a través de los lados, (S):

Fórmula para el área de un trapezoide isósceles usando lados y ángulos, (S):

2. Fórmula para el área de un trapezoide isósceles en términos del radio del círculo inscrito

R - radio del círculo inscrito

D - diámetro del círculo inscrito

O - centro del círculo inscrito

H - altura del trapezoide

α, β - ángulos trapezoidales

Fórmula para el área de un trapezoide isósceles en términos del radio del círculo inscrito, (S):

FAIR, para un círculo inscrito en un trapezoide isósceles:

3. Fórmula para el área de un trapezoide isósceles a través de las diagonales y el ángulo entre ellas

d- diagonal del trapezoide

α,β- ángulos entre diagonales

Fórmula para el área de un trapezoide isósceles a través de las diagonales y el ángulo entre ellas, (S):

4. Fórmula para el área de un trapezoide isósceles a través de la línea media, el lado lateral y el ángulo en la base

lado c

m - línea media del trapezoide

α, β - ángulos en la base

Fórmula para el área de un trapezoide isósceles usando la línea media, el lado lateral y el ángulo base,

(S):

5. Fórmula para el área de un trapezoide isósceles usando bases y altura

a - base inferior

b - base superior

h - altura del trapezoide

Fórmula para el área de un trapezoide isósceles usando bases y altura, (S):

Área de un triángulo en base a un lado y dos ángulos, fórmula.

a, b, c - lados del triángulo

α, β, γ - ángulos opuestos

Área de un triángulo que pasa por un lado y dos ángulos (S):

Fórmula para el área de un polígono regular

a - lado del polígono

n - número de lados

Área de un polígono regular, (S):

Fórmula (Heron) para el área de un triángulo que pasa por el semiperímetro (S):

El área de un triángulo equilátero es:

Fórmulas para calcular el área de un triángulo equilátero.

a - lado del triángulo

h – altura

¿Cómo calcular el área de un triángulo isósceles?

b - base del triángulo

a - lados iguales

h – altura

3. Fórmula para el área de un trapezoide usando cuatro lados

a - base inferior

b - base superior

c, d - lados

Radio del círculo circunscrito de un trapezoide a lo largo de los lados y diagonales.

a - lados laterales del trapezoide

c - base inferior

b - base superior

d - diagonal

h - altura

Fórmula del circunradio trapezoide, (R)

encontrar el circunradio de un triángulo isósceles usando los lados

Conociendo los lados de un triángulo isósceles, puedes usar la fórmula para encontrar el radio del círculo circunscrito alrededor de este triángulo.

a, b - lados del triángulo

Circunradio de un triángulo isósceles (R):

Radio del círculo inscrito en un hexágono.

a - lado del hexágono

Radio del círculo inscrito en un hexágono, (r):

Radio del círculo inscrito en un rombo.

r - radio del círculo inscrito

a - lado del rombo

D, d - diagonales

h - altura del rombo

Radio del círculo inscrito en un trapezoide equilátero

c - base inferior

b - base superior

a - lados

h - altura

Radio del círculo inscrito en un triángulo rectángulo.

a, b - catetos del triángulo

c - hipotenusa

Radio del círculo inscrito en un triángulo isósceles

a, b - lados del triángulo

Demuestre que el área de un cuadrilátero inscrito es

\/(р - а)(р - b) (р - с) (р - d),

donde p es el semiperímetro y a, b, cyd son los lados del cuadrilátero.

Demuestre que el área de un cuadrilátero inscrito en un círculo es igual a

1/2 (ab + cb) · sen α, donde a, b, cyd son los lados del cuadrilátero y α es el ángulo entre los lados a y b.

S = √[ a ƀ c d] sen ½ (α + β). - Leer más en FB.ru:

El área de un cuadrilátero arbitrario (figura 1.13) se puede expresar mediante sus lados a, b, cy la suma de un par de ángulos opuestos:

donde p es el semiperímetro del cuadrilátero.

El área de un cuadrilátero inscrito en un círculo () (figura 1.14, a) se calcula mediante la fórmula de Brahmagupta.

y descrito (Fig. 1.14, b) () - según la fórmula

Si el cuadrilátero se inscribe y se describe al mismo tiempo (figura 1.14, c), entonces la fórmula se vuelve muy simple:

fórmula de elección

Para estimar el área de un polígono en papel cuadriculado, basta con contar cuántas celdas cubre este polígono (tomamos el área de una celda como uno). Más precisamente, si S es el área del polígono, es el número de celdas que se encuentran completamente dentro del polígono y es el número de celdas que tienen al menos un punto común con el interior del polígono.

A continuación consideraremos sólo aquellos polígonos cuyos vértices se encuentran en los nodos del papel cuadriculado, aquellos donde se cruzan las líneas de la cuadrícula. Resulta que para tales polígonos se puede especificar la siguiente fórmula:

donde es el área, r es el número de nodos que se encuentran estrictamente dentro del polígono.

Esta fórmula se llama "fórmula Pick", en honor al matemático que la descubrió en 1899.

¿Qué es el área?

El área es una característica de una figura geométrica cerrada (círculo, cuadrado, triángulo, etc.), que muestra su tamaño. El área se mide en centímetros cuadrados, metros, etc. Denotado por la letra S(cuadrado).

¿Cómo encontrar el área de un triángulo?

S= a h

Dónde a– longitud de la base, h– la altura del triángulo dibujado hasta la base.

Además, la base no tiene por qué estar en la parte inferior. Eso también servirá.

si un triangulo obtuso, luego se baja la altura hasta la continuación de la base:

si un triangulo rectangular, entonces la base y la altura son sus catetos:

2. Otra fórmula, no menos útil, pero que por algún motivo siempre se olvida:

S= a b seno α

Dónde a Y b- dos lados del triángulo, pecadoα es el seno del ángulo entre estos lados.

La condición principal es que el ángulo se tome entre dos lados conocidos.

3. Fórmula para el área de tres lados (fórmula de Heron):

S=

Dónde a, b Y Con son los lados del triángulo, y R - semiperímetro pag = (a+b+c)/2.

4. Fórmula para el área de un triángulo en términos del radio del círculo circunscrito:

S=

Dónde a, b Y Con son los lados del triángulo, y R – radio del círculo circunscrito.

5. Fórmula para el área de un triángulo en términos del radio del círculo inscrito:

S= p·r

Dónde R - semiperímetro de un triángulo, y r – Radio del círculo inscrito.

¿Cómo encontrar el área de un rectángulo?

1. El área de un rectángulo se encuentra de forma muy sencilla:

S=a b

Sin trucos.

¿Cómo encontrar el área de un cuadrado?

1. Dado que un cuadrado es un rectángulo con todos los lados iguales, se le aplica la misma fórmula:

S=a · a = a 2

2. Además, el área de un cuadrado se puede encontrar a través de su diagonal:

S= d 2

¿Cómo encontrar el área de un paralelogramo?

1. El área de un paralelogramo se encuentra mediante la fórmula:

S=a h

Esto se debe al hecho de que si cortas un triángulo rectángulo a la derecha y lo colocas a la izquierda, obtendrás un rectángulo:

2. Además, el área de un paralelogramo se puede encontrar a través del ángulo entre dos lados:

S=a · b · sinα

¿Cómo encontrar el área de un rombo?

Un rombo es esencialmente un paralelogramo con todos los lados iguales. Por lo tanto, se le aplican las mismas fórmulas de área.

1. Área de un rombo a través de la altura:

S=a h

Para resolver problemas de geometría, es necesario conocer fórmulas, como el área de un triángulo o el área de un paralelogramo, así como técnicas sencillas que cubriremos.

Primero, aprendamos las fórmulas para las áreas de figuras. Los hemos recopilado especialmente en una cómoda mesa. ¡Imprime, aprende y postula!

Por supuesto, no todas las fórmulas de geometría están en nuestra tabla. Por ejemplo, para resolver problemas de geometría y estereometría en la segunda parte del perfil Examen Estatal Unificado de Matemáticas, se utilizan otras fórmulas para el área de un triángulo. Definitivamente te contaremos sobre ellos.

Pero, ¿qué pasa si no necesitas encontrar el área de un trapezoide o un triángulo, sino el área de alguna figura compleja? ¡Hay formas universales! Los mostraremos utilizando ejemplos del banco de tareas FIPI.

1. ¿Cómo encontrar el área de una figura no estándar? Por ejemplo, ¿un cuadrilátero arbitrario? Una técnica simple: dividamos esta figura en aquellas de las que sabemos todo y encontremos su área, como la suma de las áreas de estas figuras.

Divide este cuadrilátero con una línea horizontal en dos triángulos con una base común igual a . Las alturas de estos triángulos son iguales a y . Entonces el área del cuadrilátero es igual a la suma de las áreas de los dos triángulos: .

Respuesta: .

2. En algunos casos, el área de una figura se puede representar como la diferencia de algunas áreas.

¡No es tan fácil calcular a qué equivalen la base y la altura de este triángulo! Pero podemos decir que su área es igual a la diferencia entre las áreas de un cuadrado de lado y tres triángulos rectángulos. ¿Los ves en la foto? Obtenemos: .

Respuesta: .

3. A veces, en una tarea es necesario encontrar el área no de toda la figura, sino de parte de ella. Por lo general, estamos hablando del área de un sector, parte de un círculo. Encuentre el área de un sector de un círculo de radio cuya longitud de arco es igual a .

En esta imagen vemos parte de un círculo. El área de todo el círculo es igual a . Queda por descubrir qué parte del círculo está representada. Dado que la longitud de todo el círculo es igual (ya que ), y la longitud del arco de un sector dado es igual a , por lo tanto, la longitud del arco es varias veces menor que la longitud de todo el círculo. El ángulo en el que descansa este arco también es un factor menor que un círculo completo (es decir, grados). Esto significa que el área del sector será varias veces menor que el área de todo el círculo.