Una explicación sencilla del teorema de Bayes. Fórmula de probabilidad total
Al derivar la fórmula de probabilidad total, se asumió que el evento A, cuya probabilidad había que determinar, podría sucederle a uno de los eventos norte 1 , norte 2 , ... , norte norte, formando un grupo completo de eventos incompatibles por pares. Además, las probabilidades de estos eventos (hipótesis) se conocían de antemano. Supongamos que se ha realizado un experimento, como resultado del cual el evento A Ha llegado. Esta información adicional nos permite reevaluar las probabilidades de las hipótesis. Ni yo, habiendo calculado P(H i /A).
o, usando la fórmula de probabilidad total, obtenemos
Esta fórmula se llama fórmula de Bayes o teorema de hipótesis. La fórmula de Bayes le permite "revisar" las probabilidades de las hipótesis después de que se conoce el resultado del experimento que resultó en el evento. A.
Probabilidades Р(Н i)− estas son las probabilidades a priori de las hipótesis (se calculan antes del experimento). las probabilidades P(H i /A)− estas son las probabilidades posteriores de las hipótesis (se calculan después del experimento). La fórmula de Bayes permite calcular probabilidades posteriores a partir de sus probabilidades anteriores y de las probabilidades condicionales de un evento. A.
Ejemplo. Se sabe que el 5% de todos los hombres y el 0,25% de todas las mujeres son daltónicos. Una persona seleccionada al azar según su número de tarjeta médica sufre daltonismo. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre?
Solución. Evento A– una persona sufre de daltonismo. Espacio de eventos elementales para el experimento: se selecciona una persona por número de tarjeta médica - Ω = ( norte 1 , norte 2 ) consta de 2 eventos:
norte 1 - se selecciona un hombre,
norte 2 – se selecciona una mujer.
Estos eventos pueden seleccionarse como hipótesis.
Según las condiciones del problema (elección aleatoria), las probabilidades de estos eventos son iguales e iguales. P(norte) 1 ) = 0.5; P(norte) 2 ) = 0.5.
En este caso, las probabilidades condicionales de que una persona padezca daltonismo son iguales, respectivamente:
CORRIÓ 1 ) = 0.05 = 1/20; CORRIÓ 2 ) = 0.0025 = 1/400.
Como se sabe que la persona seleccionada es daltónica, es decir, que el evento ocurrió, utilizamos la fórmula de Bayes para reevaluar la primera hipótesis:
Ejemplo. Hay tres cajas de aspecto idéntico. La primera caja contiene 20 bolas blancas, la segunda caja contiene 10 bolas blancas y 10 negras y la tercera caja contiene 20 bolas negras. Se saca una bola blanca de una casilla elegida al azar. Calcula la probabilidad de que la bola salga de la primera casilla.
Solución. Denotemos por A evento: la aparición de una bola blanca. Se pueden hacer tres suposiciones (hipótesis) sobre la elección de la caja: norte 1 ,norte 2 , norte 3 – selección de la primera, segunda y tercera casilla, respectivamente.
Dado que la elección de cualquiera de las casillas es igualmente posible, las probabilidades de las hipótesis son las mismas:
P(norte) 1 )=P(N 2 )=P(N 3 )= 1/3.
Según el problema, la probabilidad de sacar una bola blanca de la primera casilla es
Probabilidad de sacar una bola blanca de la segunda casilla. 
Probabilidad de sacar una bola blanca de la tercera casilla
Encontramos la probabilidad deseada usando la fórmula de Bayes:
Repetición de pruebas. La fórmula de Bernoulli..
Se llevan a cabo N ensayos, en cada uno de los cuales el evento A puede ocurrir o no, y la probabilidad del evento A en cada ensayo individual es constante, es decir no cambia de una experiencia a otra. Ya sabemos cómo encontrar la probabilidad del evento A en un experimento.
De particular interés es la probabilidad de que ocurra un cierto número de veces (m veces) del evento A en n experimentos. Estos problemas pueden resolverse fácilmente si las pruebas son independientes.
Def. Se llaman varias pruebas. independiente con respecto al evento A , si la probabilidad del evento A en cada uno de ellos no depende de los resultados de otros experimentos.
La probabilidad P n (m) de que ocurra el evento A exactamente m veces (no ocurrencia n-m veces, evento) en estos n ensayos. El evento A aparece en secuencias muy diferentes m veces).
- Fórmula de Bernoulli.
Las siguientes fórmulas son obvias:
Р n (m
P n (m>k) = P n (k+1) + P n (k+2) +…+ P n (n) - probabilidad de ocurrencia del evento A más k veces en n ensayos.
Comencemos con un ejemplo. En la urna frente a ti, igualmente probable puede haber (1) dos bolas blancas, (2) una blanca y una negra, (3) dos negras. Arrastras la pelota y resulta ser blanca. ¿Cómo lo calificarías ahora? probabilidad estas tres opciones (hipótesis)? Obviamente, la probabilidad de la hipótesis (3) con dos bolas negras = 0. ¿Pero cómo calcular las probabilidades de las dos hipótesis restantes? Esto se puede hacer mediante la fórmula de Bayes, que en nuestro caso tiene la forma (el número de la fórmula corresponde al número de la hipótesis que se está probando):
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X– una variable aleatoria (hipótesis) que toma los siguientes valores: x1- dos blancos, x2– uno blanco, uno negro; x3– dos negros; en– variable aleatoria (evento) que toma valores: a la 1– se saca una bola blanca y a las 2– se saca una bola negra; P(x1)– probabilidad de la primera hipótesis antes de sacar la bola ( a priori probabilidad o probabilidad antes experiencia) = 1/3; P(x2)– probabilidad de la segunda hipótesis antes de sacar la pelota = 1/3; P(x3)– probabilidad de la tercera hipótesis antes de sacar la pelota = 1/3; P(y 1|x1)– probabilidad condicional de sacar una bola blanca, si la primera hipótesis es cierta (las bolas son blancas) = 1; P(y 1|x2) – probabilidad de sacar una bola blanca si la segunda hipótesis es cierta (una bola es blanca, la segunda es negra) = ½; P(y 1|x3) – probabilidad de sacar una bola blanca si la tercera hipótesis es cierta (ambas negras) = 0; P(y 1)– probabilidad de sacar una bola blanca = ½; R(y 2)– probabilidad de sacar una bola negra = ½; y finalmente, lo que estamos buscando - P(x1|y 1) – la probabilidad de que la primera hipótesis sea cierta (ambas bolas son blancas), dado que sacamos una bola blanca ( posteriormente probabilidad o probabilidad después experiencia); P(x2|y 1) – la probabilidad de que la segunda hipótesis sea cierta (una bola es blanca, la segunda es negra), siempre que extraigamos una bola blanca.
La probabilidad de que la primera hipótesis (dos blancas) sea cierta, dado que sacamos una bola blanca:
La probabilidad de que la segunda hipótesis sea cierta (una es blanca y la otra negra), siempre que extraigamos una bola blanca:
La probabilidad de que la tercera hipótesis sea cierta (dos negras), dado que sacamos una bola blanca:
¿Qué hace la fórmula de Bayes? Hace posible, basándose en probabilidades a priori de hipótesis: P(x1), P(x2), P(x3)– y las probabilidades de que ocurran eventos – P(y 1), R(y 2)– calcular las probabilidades posteriores de las hipótesis, por ejemplo, la probabilidad de la primera hipótesis, siempre que se extraiga una bola blanca – P(x1|y 1).
Volvamos una vez más a la fórmula (1). La probabilidad inicial de la primera hipótesis fue P(x 1) = 1/3. con probabilidad P(y 1) = 1/2 podríamos sacar una bola blanca, y con probabilidad P(y 2) = 1/2- negro. Sacamos el blanco. Probabilidad de sacar blanco, siempre que la primera hipótesis sea cierta. P(y 1|x1) = 1. La fórmula de Bayes dice que desde que se sacó el blanco, la probabilidad de la primera hipótesis ha aumentado a 2/3, la probabilidad de la segunda hipótesis sigue siendo 1/3 y la probabilidad de la tercera hipótesis se ha vuelto cero.
Es fácil comprobar que si sacáramos una bola negra, las probabilidades posteriores cambiarían simétricamente: P(x1|y 2) = 0, P(x 2|y 2) = 1/3, P(x 3|y2) = 2/3.
Esto es lo que Pierre Simon Laplace escribió sobre la fórmula de Bayes en un trabajo publicado en 1814:
Éste es el principio básico de esa rama del análisis de contingencias que se ocupa de las transiciones de eventos a causas.
¿Por qué la fórmula de Bayes es tan difícil de entender? En mi opinión, porque nuestro enfoque habitual es el razonamiento de causas a efectos. Por ejemplo, si hay 36 bolas en una urna, 6 de las cuales son negras y el resto blancas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola blanca? La fórmula de Bayes permite pasar de los acontecimientos a las razones (hipótesis). Si tuviéramos tres hipótesis y ocurriera un evento, ¿cómo afectó ese evento (y no la alternativa) las probabilidades iniciales de las hipótesis? ¿Cómo han cambiado estas probabilidades?
Creo que la fórmula de Bayes no se trata sólo de probabilidades. Cambia el paradigma de la percepción. ¿Cuál es el proceso de pensamiento cuando se utiliza el paradigma determinista? Si ocurrió un evento, ¿cuál fue su causa? Si hubo un accidente, emergencia, conflicto militar. ¿Quién o cuál fue su culpa? ¿Qué piensa un observador bayesiano? ¿Cuál es la estructura de la realidad que llevó a dado caso a tal o cual manifestación... El bayesiano entiende que en de lo contrario En este caso el resultado podría haber sido diferente...
Coloquemos los símbolos en las fórmulas (1) y (2) de manera un poco diferente:
Hablemos de nuevo de lo que vemos. Con igual probabilidad inicial (a priori), una de las tres hipótesis podría ser cierta. Con igual probabilidad podríamos sacar una bola blanca o negra. Sacamos el blanco. A la luz de esta nueva información adicional, nuestra evaluación de las hipótesis debería ser reconsiderada. La fórmula de Bayes nos permite hacer esto numéricamente. La probabilidad previa de la primera hipótesis (fórmula 7) fue P(x1), se extrajo una bola blanca, la probabilidad posterior de la primera hipótesis pasó a ser P(x1|a la 1). Estas probabilidades difieren por un factor.
Evento a la 1 Se llama evidencia que más o menos confirma o refuta una hipótesis. x1. A este coeficiente a veces se le llama poder de la evidencia. Cuanto más poderosa es la evidencia (cuanto más difiere el coeficiente de la unidad), mayor es el hecho de la observación. a la 1 Cuanto más cambia la probabilidad anterior, más difiere la probabilidad posterior de la anterior. Si la evidencia es débil (coeficiente ~1), la probabilidad posterior es casi igual a la anterior.
Certificado a la 1 V = 2 Los tiempos cambiaron la probabilidad previa de la hipótesis. x1(fórmula 4). Al mismo tiempo, la evidencia a la 1 no cambió la probabilidad de la hipótesis x2, ya que su poder = 1 (fórmula 5).
En general, la fórmula de Bayes tiene la siguiente forma:
X– una variable aleatoria (un conjunto de hipótesis mutuamente excluyentes) que toma los siguientes valores: x1, x2, … , Xnorte. en– una variable aleatoria (un conjunto de eventos mutuamente excluyentes) que toma los siguientes valores: a la 1, a las 2, … , ennorte. La fórmula de Bayes permite encontrar la probabilidad posterior de una hipótesis. Xi ante la ocurrencia de un evento y j. El numerador es el producto de la probabilidad previa de la hipótesis. Xi – P(xi) sobre la probabilidad de que ocurra un evento y j, si la hipótesis es cierta Xi – R(y j|xi). El denominador es la suma de los productos del mismo que en el numerador, pero para todas las hipótesis. Si calculamos el denominador, obtenemos la probabilidad total de que ocurra el evento. enj(si alguna de las hipótesis es cierta) – R(y j) (como en las fórmulas 1 a 3).
Una vez más sobre el testimonio. Evento y j proporciona información adicional, que le permite revisar la probabilidad previa de la hipótesis Xi. Poder de la evidencia – 
– contiene en el numerador la probabilidad de que ocurra el evento y j, si la hipótesis es cierta Xi. El denominador es la probabilidad total de que ocurra el evento. enj(o la probabilidad de que ocurra un evento enj promediado sobre todas las hipótesis). enj arriba para hipótesis Xi, que el promedio de todas las hipótesis, entonces la evidencia favorece a la hipótesis Xi, aumentando su probabilidad posterior R(y j|xi).
Si la probabilidad de que ocurra un evento enj a continuación para hipótesis Xi que el promedio de todas las hipótesis, entonces la evidencia reduce la probabilidad posterior R(y j|xi) Para hipótesis Xi.
Si la probabilidad de que ocurra un evento enj para una hipótesis Xi es el mismo que el promedio para todas las hipótesis, entonces la evidencia no cambia la probabilidad posterior R(y j|xi) Para hipótesis Xi.
Aquí hay algunos ejemplos que espero que refuercen su comprensión de la fórmula de Bayes.
Problema 2. Dos tiradores disparan independientemente al mismo objetivo, cada uno dispara un tiro. La probabilidad de dar en el blanco para el primer tirador es 0,8, para el segundo, 0,4. Después del disparo, se descubrió un agujero en el objetivo. Calcula la probabilidad de que este hoyo pertenezca al primer tirador. .
Tarea 3. El objeto monitoreado puede estar en uno de dos estados: H 1 = (funcionando) y H 2 = (no funcionando). Las probabilidades previas de estos estados son P(H 1) = 0,7, P(H 2) = 0,3. Hay dos fuentes de información que proporcionan información contradictoria sobre el estado del objeto; la primera fuente informa que el objeto no funciona, la segunda, que está funcionando. Se sabe que la primera fuente proporciona información correcta con una probabilidad de 0,9 y con una probabilidad de 0,1, información incorrecta. La segunda fuente es menos confiable: proporciona información correcta con una probabilidad de 0,7 e información incorrecta con una probabilidad de 0,3. Encuentre las probabilidades posteriores de las hipótesis. .
Los problemas 1 a 3 están tomados del libro de texto de E.S. Ventzel, L.A. Ovcharov. Teoría de la probabilidad y sus aplicaciones en ingeniería, sección 2.6 Teorema de hipótesis (fórmula de Bayes).
Problema 4 extraído del libro, sección 4.3 Teorema de Bayes.
TECNOLOGÍA DE LA INFORMACIÓN, INFORMÁTICA Y GESTIÓN
Sobre la aplicabilidad de la fórmula de Bayes
DOI 10.12737/16076
A. I. Dolgov **
1Sociedad Anónima "Oficina de Diseño para la Vigilancia Radiológica de Sistemas de Control, Navegación y Comunicaciones", Rostov del Don, Federación de Rusia
Sobre la aplicabilidad de la fórmula de Bayes*** A. I. Dolgov1**
1“Oficina de diseño sobre monitoreo de sistemas de control, navegación y comunicación” JSC, Rostov-on-Don, Federación de Rusia
El tema de este estudio es la fórmula de Bayes. El propósito de este trabajo es analizar y ampliar el ámbito de aplicación de la fórmula. La tarea principal es estudiar las publicaciones dedicadas a este problema, que permitieron identificar deficiencias en el uso de la fórmula de Bayes que conducen a resultados incorrectos. La siguiente tarea es construir modificaciones de la fórmula de Bayes que tengan en cuenta varias pruebas individuales y obtengan resultados correctos. Y finalmente, usando el ejemplo de datos fuente específicos, los resultados incorrectos obtenidos usando la fórmula de Bayes se comparan con los resultados correctos calculados usando las modificaciones propuestas. Se utilizaron dos métodos para realizar el estudio. En primer lugar, se llevó a cabo un análisis de los principios de construcción de expresiones conocidas utilizadas para escribir la fórmula de Bayes y sus modificaciones. En segundo lugar, se realizó una evaluación comparativa de los resultados (incluidos los cuantitativos). Las modificaciones propuestas garantizan una aplicación más amplia de la fórmula de Bayes en la teoría y la práctica, incluso en la resolución de problemas aplicados.
Palabras clave: probabilidades condicionales, hipótesis inconsistentes, evidencia compatible e incompatible, normalización.
La fórmula de Bayes es el tema de investigación. El objetivo del trabajo es analizar la aplicación de la fórmula y ampliar el alcance de su aplicabilidad. El problema de primera prioridad incluye la identificación de las desventajas de la fórmula de Bayes con base en el estudio de las publicaciones relevantes que conducen a errores. resultados. La siguiente tarea es construir las modificaciones de la fórmula de Bayes para proporcionar una contabilidad de varias indicaciones individuales para obtener resultados correctos. Y finalmente, los resultados incorrectos obtenidos con la aplicación de la fórmula de Bayes se comparan con los resultados correctos calculados con el uso de la modificaciones de fórmula propuestas mediante el ejemplo de los datos iniciales específicos. En los estudios se utilizan dos métodos. En primer lugar, se realiza el análisis de los principios de construcción de las expresiones conocidas utilizadas para registrar la fórmula bayesiana y sus modificaciones. En segundo lugar, se realiza una evaluación comparativa de los resultados (incluida la cuantitativa). Las modificaciones propuestas proporcionan una aplicación más amplia de la fórmula de Bayes tanto en la teoría como en la práctica, incluida la solución de los problemas aplicados.
Palabras clave: probabilidades condicionales, hipótesis inconsistentes, indicaciones compatibles e incompatibles, normalización.
Introducción. La fórmula de Bayes se utiliza cada vez más en la teoría y la práctica, incluso en la resolución de problemas aplicados utilizando tecnología informática. El uso de procedimientos computacionales mutuamente independientes permite utilizar esta fórmula de manera especialmente efectiva al resolver problemas en sistemas informáticos multiprocesador, ya que en este caso la implementación paralela se realiza a nivel del circuito general y al agregar el siguiente algoritmo o clase de problemas. no es necesario volver a trabajar en la paralelización.
El tema de este estudio es la aplicabilidad de la fórmula de Bayes para la evaluación comparativa de probabilidades condicionales posteriores de hipótesis inconsistentes bajo varias pruebas individuales. Como muestra el análisis, en tales casos las probabilidades normalizadas de eventos combinados incompatibles pertenecientes a
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"El trabajo se llevó a cabo como parte de un proyecto de investigación de iniciativa.
**Correo electrónico: [correo electrónico protegido]
""La investigación se realiza en el marco de la I+D independiente.
correspondientes a diferentes grupos completos de eventos. Al mismo tiempo, los resultados comparados resultan inadecuados para datos estadísticos reales. Esto se debe a los siguientes factores:
Se utiliza una normalización incorrecta;
No se tiene en cuenta la presencia o ausencia de intersecciones de las pruebas tomadas en cuenta.
Para eliminar las deficiencias identificadas, se identifican casos de aplicabilidad de la fórmula de Bayes. Si la fórmula especificada no es aplicable, se resuelve el problema de construir su modificación, asegurando que se tengan en cuenta varias pruebas individuales y se obtengan resultados correctos. Utilizando datos iniciales específicos como ejemplo, se realizó una evaluación comparativa de los resultados:
Incorrecto: obtenido mediante la fórmula de Bayes;
Correcto: calculado utilizando la modificación propuesta.
Disposiciones iniciales. Las afirmaciones que se indican a continuación se basarán en el principio de preservar los índices de probabilidad: “El procesamiento correcto de las probabilidades de eventos sólo es factible con la normalización utilizando un divisor normalizador común, que garantice que los índices de las probabilidades normalizadas sean iguales a los índices de las probabilidades normalizadas correspondientes. .” Este principio representa la base subjetiva de la teoría de la probabilidad, pero no se refleja adecuadamente en la literatura educativa y científico-técnica moderna.
Si se viola este principio, se distorsiona la información sobre el grado de posibilidad de los eventos considerados. Los resultados y las decisiones tomadas a partir de información distorsionada resultan inadecuadas con datos estadísticos reales.
Este artículo utilizará los siguientes conceptos:
Un evento elemental es un evento que no es divisible en elementos;
Evento combinado: un evento que representa una u otra combinación de eventos elementales;
Eventos compatibles son eventos que en algunos casos de evaluación comparativa de sus probabilidades pueden ser incompatibles y en otros casos compatibles;
Eventos incompatibles son eventos que son incompatibles en todos los casos.
Según el teorema de la multiplicación de probabilidades, la probabilidad P (I ^E) del producto de eventos elementales I ^ y
E se calcula como el producto de probabilidades P(Ik E) = P(E)P(I^E) . En este sentido, la fórmula de Bayes suele ser
se escribe en la forma P(Ik\E) =--- , que describe la definición de probabilidades condicionales posteriores
P(I^E) hipótesis Ik (k = 1,...n) basadas en la normalización de las probabilidades a priori P(I^E) de los eventos incompatibles combinados I a E tomados en cuenta. Cada uno de estos eventos representa una producto cuyos factores son una de las hipótesis consideradas y una evidencia considerada. Al mismo tiempo, consideramos todo.
posibles eventos IKE (k = 1,...n) forman un grupo completo IKE de eventos combinados incompatibles, debido a
con lo cual sus probabilidades P(Ik E) deben normalizarse teniendo en cuenta la fórmula de probabilidad total, según la cual
enjambre P(E) = 2 P(Ik)P(E\Ik). Por lo tanto, la fórmula de Bayes suele escribirse en la forma más utilizada:
R(Ik) R(EIk)
P(Ik\E) = -. (1)
^ catión de la fórmula de Bayes.
º Análisis de las características de la construcción de la fórmula de Bayes destinada a la resolución de problemas aplicados, así como ejemplos.
“y su aplicación práctica nos permite sacar una conclusión importante sobre la elección de un grupo completo de eventos combinados comparados según el grado de posibilidad (cada uno de los cuales es el producto de dos eventos elementales, una de las hipótesis y la evidencia tomadas en cuenta). cuenta). Esta elección la hace subjetivamente quien toma las decisiones, basándose en datos de entrada objetivos inherentes a condiciones situacionales típicas: los tipos y el número de hipótesis que se evalúan y la evidencia que se tiene específicamente en cuenta.
Probabilidades no comparables de hipótesis dada una única evidencia inconsistente. La fórmula de Bayes se utiliza tradicionalmente en el caso de determinar probabilidades condicionales a posteriori que no son comparables en grado de posibilidad.
probabilidades de las hipótesis H^ dada una sola evidencia incompatible, cada una de las cuales puede “parecer
sólo en combinación con cualquiera de estas hipótesis." En este caso se seleccionan grupos completos y HkE, combinados
Eventos bañados en forma de productos, cuyos factores son una de las pruebas c. (1=1,...,t) y uno
de n hipótesis bajo consideración.
La fórmula de Bayes se utiliza para una evaluación comparativa de las probabilidades de eventos combinados de cada uno de esos grupos completos, que se diferencia de otros grupos completos no solo por la evidencia e tomada en cuenta, sino también en el caso general por los tipos de hipótesis H ^ y (o) su número n (ver, por ejemplo,)
RNkY = P(Hk) P(eH)
% Р(Нк) Р(Эг\Нк) к = 1
En el caso especial con n = 2
RNk\E,~ P(Hk) P(EN)
% Р(Нк) Р(Э,\Н к) к = 1
y los resultados obtenidos son correctos, debido al principio de conservación de razones de probabilidad:
P(H1E,) _ P(H 1)P(E,\H1) / P(H2) P(E,\H2) = P(H 1) P(E,\H1)
Р(Н 2= % РШ1!) РЭ,\Н0 % ^) РЭ,\Н) "Р(Н 2> 2>"
La subjetividad de elegir un grupo completo de eventos combinados en comparación con el grado de posibilidad (con
uno u otro modificado por eventos elementales) permite seleccionar un grupo completo de eventos y Hk E ■ con
negación del evento elemental E ■ () y escriba la fórmula de Bayes (1 = 1,...,t) de la siguiente manera:
P(Hk\E) -=-RNSh±.
%P(Hk)P(E,Hk)
Esta fórmula también es aplicable y permite obtener resultados correctos si se calcula para
Las probabilidades normalizadas se comparan bajo diferentes hipótesis bajo consideración, pero no bajo diferentes evidencias.
asuntos. ¡^
Probabilidades comparables de hipótesis bajo evidencia única inconsistente. A juzgar por las conocidas publicaciones.
se utiliza para la evaluación comparativa de probabilidades condicionales posteriores de hipótesis para varias pruebas individuales.
asuntos. Al mismo tiempo, no se presta atención al siguiente hecho. En estos casos, se comparan las probabilidades ^ normalizadas de eventos combinados incompatibles (incompatibles) que pertenecen a diferentes grupos completos de n eventos. Sin embargo, en este caso, la fórmula de Bayes no es aplicable, ya que se comparan eventos combinados que no están incluidos en un grupo completo, cuya normalización de probabilidades se realiza utilizando diferentes n divisores de normalización. Las probabilidades normalizadas de eventos combinados incompatibles (incompatibles) se pueden comparar solo si pertenecen al mismo grupo completo de eventos y están normalizadas ¡3 usando un divisor común igual a la suma de las probabilidades de todos los eventos normalizados incluidos en el § completo
En general, podrán considerarse pruebas incompatibles las siguientes:
Dos pruebas (por ejemplo, pruebas y su negación); ^
Tres pruebas (por ejemplo, en una situación de juego hay una victoria, una pérdida y un empate); ^
Cuatro certificados (en particular, en deportes, victoria, derrota, empate y repetición), etc. ^
Consideremos un ejemplo bastante simple (correspondiente al ejemplo dado en) del uso de la fórmula de Bayes ^ para determinar las probabilidades condicionales posteriores de la hipótesis H ^ para dos eventos incompatibles en
en forma de prueba L]- y su negación L]
PAG(H,k) - ^ . ^ P(A^k", (2)
] E R(Hk> R(A]\vk> k - 1
■ _ P(HkA ]) P(Hk> P(A ]\nc>
P(H,\A,) ----k-]-. (3)
V k\L]> P(A> n
] E R(Hk) R(A]\Hk) a -1
En los casos (2) y (3), grupos completos seleccionados subjetivamente se compararon según el grado de posibilidad de asociación.
Los eventos agrupados son respectivamente los conjuntos y H a A y H a A. Este es el caso cuando la fórmula
k-1 k ] k-1 k ]
Bayes no es aplicable, ya que se viola el principio de conservación de las razones de probabilidad: no se observa la igualdad de las razones de las probabilidades normalizadas con las razones de las probabilidades normalizadas correspondientes:
P(N a A]] P(Nk) P(A]\Nk) / P(Nk) P(A]\Nk) P(Nk) P(A] Nk)
P(Nk E P(Nk) P(A]\Nk)/ E P(Nk) P(A]\Nk) P(Nk) P(A] Nk)
k - 1 /k - 1 De acuerdo con el principio de preservar los índices de probabilidad, el procesamiento correcto de las probabilidades de eventos solo es posible cuando se normaliza utilizando un divisor normalizador común igual a la suma de todas las expresiones normalizadas comparadas. Es por eso
E R(Hk)R(A]\Hk) + E R(Hk)R(A]\Hk) - E R(Hk)[P(A]\Hk) + P(Hk) P(A]\Hk )] - EP(Hk) - 1. a -1 a -1 a -1 a -1
Así, se revela el hecho de que existen variedades de la fórmula de Bayes que difieren de
conocido por la ausencia de un divisor normalizador:
А,) - Р(Н) Р(А]\Нк), Р(Нк А,) - Р(Н) Р(А, Нк). (4)
J a I ■> a
En este caso, se observa la igualdad de los ratios de probabilidades normalizadas con los ratios de las probabilidades normalizadas correspondientes:
t^A^ P(Hk) P(A]\Hk)
A,) R(N k) R(A,Hk)
A partir de la elección subjetiva de grupos completos de eventos combinados incompatibles registrados de manera no convencional, es posible aumentar el número de modificaciones de la fórmula de Bayes, incluidas las pruebas, así como un cierto número de sus negaciones. Por ejemplo, el grupo más completo de eventos combinados.
y y Hk /"./ ^ y y Hk Yo\ corresponde (teniendo en cuenta la ausencia de un divisor normalizador) la modificación de la fórmula; =1 A"=1 ; =1 ley bayesiana
Р(Нк\~) - Р(Н к) ПЁ^^^
donde un evento elemental en forma de evidencia E\ e II II / "/ es uno de los elementos de la multiplicidad especificada
o En ausencia de denegación de pruebas, es decir, cuando Ё\ = // e y /"./,
^ P(H\E) P(Hk) P(E,\Hk)
E R(Hk) R(E\Hk) k - 1
Así, una modificación de la fórmula de Bayes, destinada a determinar probabilidades condicionales de hipótesis comparables en grado de posibilidad bajo una única evidencia incompatible, se ve como sigue. El numerador contiene la probabilidad normalizada de uno de los eventos incompatibles combinados que forman un grupo completo, expresada como producto de probabilidades a priori, y el denominador contiene la suma de todos
probabilidades normalizadas. En este caso, se observa el principio de mantener índices de probabilidad y el resultado obtenido es correcto.
Probabilidades de hipótesis dada una única evidencia consistente. Las fórmulas de Bayes se utilizan tradicionalmente para determinar probabilidades condicionales posteriores comparables de hipótesis Hk (k = 1,...,n) dada una de varias pruebas compatibles consideradas EL (1 = 1,...,m). En particular (ver
por ejemplo, y ), al determinar las probabilidades condicionales posteriores P(H 1E^) y P(H 1 E2) para cada una de las dos evidencias compatibles E1 y E2, se utilizan fórmulas de la forma:
P(H 1) PE\H1) P(Hj) P(E2Hj) P(H J E1) = --1- y P(H J E 2) =--1-. (5)
I P(Hk) PE\Hk) I P(Hk) P(E2 Hk)
k = 1 k = 1 Tenga en cuenta que este es otro caso en el que la fórmula de Bayes no es aplicable. Además, en este caso hay que eliminar dos deficiencias:
La normalización ilustrada de las probabilidades de eventos combinados es incorrecta, debido a que los eventos considerados pertenecen a diferentes grupos completos;
Los registros simbólicos de los eventos combinados HkEx y HkE2 no reflejan el hecho de que la evidencia tomada en cuenta Ex y E 2 sea compatible.
Para eliminar el último inconveniente, se puede utilizar un registro más detallado de eventos combinados, teniendo en cuenta que las pruebas compatibles E1 y E2 en algunos casos pueden ser incompatibles y en otros compatibles:
HkE1 = HkE1 E2 y HkE2 = HkE 1E2+HkE1 E2, donde E1 y E 2 son evidencia contraria a E1 y E 2.
Obviamente, en tales casos el producto de los eventos Hk E1E2 se tiene en cuenta dos veces. Además, se podría volver a tener en cuenta por separado, pero esto no ocurre. El hecho es que en la situación considerada, la situación evaluada está influenciada por tres probables eventos combinados incompatibles: HkE1E2, HkE 1E2 y
HkE1E2. Al mismo tiempo, quien toma las decisiones está interesado en evaluar el grado de posibilidad sólo
dos eventos combinados incompatibles: HkE1 E2 y HkE 1E2, lo que corresponde a considerar solo g
certificados únicos. ¡Ts
Por tanto, al construir una modificación de la fórmula de Bayes para determinar valores condicionales a posteriori,
Las probabilidades de hipótesis con evidencia única compatible deben basarse en lo siguiente. La persona que aceptó- ^
tomar una decisión, está interesado en qué tipo de evento elemental representado por tal o cual evidencia de
las cifras bajo consideración en realidad ocurrieron bajo condiciones específicas. Si ocurre otro evento elemental en K
En forma de certificado único, se requiere una revisión de la decisión basada en los resultados de una evaluación comparativa.
probabilidades condicionales posteriores de hipótesis con consideración indispensable de otras condiciones que afectan el total real
instalación 3
Introduzcamos la siguiente notación: HkE- para uno (y sólo uno) co-^ combinado incompatible
existencia, consistente en que de m > 1 eventos elementales Ei (i = 1,...,m) considerados, junto con la hipótesis “
Hk ocurrió un evento elemental Ex y no ocurrió ningún otro evento elemental. sí"
En el caso más simple, se consideran dos únicas pruebas incompatibles. Si se confirma
se espera uno de ellos, la probabilidad condicional de evidencia en forma general se expresa mediante la fórmula l
P(Hk E-) = P(Ei\Hk) -P(EjE^Hk) = P(Ei\Hk) -P(M^Hk)P(M^Hk) , i = 1, -2 (6) gramo
La validez de la fórmula se puede ver claramente (Fig. 1).
Arroz. 1. Interpretación geométrica del cálculo de P(Hk E-) para / = 1,...,2 Con evidencia condicionalmente independiente
P(K1K2\Hk) = p(E\Hk)P(E2\Hk),
por lo tanto, teniendo en cuenta (6)
P(Hk E-) = PE Nk) - P(E1 Nk) P(E21Hk) , = 1,.,2. (7)
De manera similar, la probabilidad P(HkE-) de uno de tres (/ = 1,...,3) eventos incompatibles HkE^ se expresa mediante la fórmula
Por ejemplo, cuando i = 1:
p(HkEl) = P(Ei\Hk)-[ S P(Ei\Hk)P(Ej\Hk) ] + P(EiE2E3Hk)
p(HkE-) = P(E7|Hk)- P(E]E^Hk)- P(E7EjHk) + P(E]E2E3\Hk)
La validez de esta fórmula está claramente confirmada por la interpretación geométrica presentada en
Arroz. 2. Interpretación geométrica del cálculo de P(Hk E-) para / = 1,...,3
Utilizando el método de inducción matemática, es posible demostrar la fórmula general de la probabilidad P(Hk E-) para cualquier cantidad de evidencia e, 0=1,...,t):
P(HkE-) = P(E,Hk)- t RE\Hk) P(E]\Hk) + 1 P(E\Hk) P(E]\Hk) P(E^Hk) +■■■ + (-1)
] = 1(] * 0 ],1 * 1
Usando el teorema de la multiplicación de probabilidades, escribimos la probabilidad condicional P(HkE~-) de dos formas:
^ de donde se deduce que
P(Hk E -) = P(H k) P(E-|Hk) = P(E-) P(Hk
E-)= P(HkE-) "" P(E-)
Usando la fórmula de probabilidad total P(Ei) = S P(H£) P(Ei Hk) resulta que
E-) = P(HkET)
2 P(HkE-) k = 1
Sustituyendo expresiones para P(HkE-) en la forma del lado derecho de (8) en la fórmula resultante, obtenemos la forma final de la fórmula para determinar las probabilidades condicionales posteriores de las hipótesis H^ (k = 1,... ,n) para una de varias pruebas individuales consideradas incompatibles: (E^\Hk)
P(Nk)[P(E,\Nk) - 2 P(E,\Nk) P(Er k) +...+ (-1)t-1 P(P P(Erk)] P(N, E ~) =-] = 1(] * ■----(9)
a 1 p t t t
2 P(N k) 2 [P(E,\N k) - 2 P(EgHk) P(E^Hk) + ...+ (-1)m-1 P(P P (Ep k)]
k=1 , = 1 ) = 1() *,) ■! =1
Evaluaciones comparativas. Se consideran ejemplos bastante simples pero ilustrativos, limitados al análisis de probabilidades condicionales posteriores calculadas de una de dos hipótesis dadas dos únicas pruebas. 1. Probabilidades de hipótesis dadas pruebas únicas inconsistentes. Comparemos los resultados obtenidos utilizando las fórmulas de Bayes (2) y (3), usando el ejemplo de dos pruebas L. = L y L. = L con los datos iniciales:
Р(Н1 = 0,7; Р(Н2) = 0,3; Р(Л| Н^ = 0,1; Р(Л\н 1) = 0,9; Р(Л\Н2) = 0,6 ; P(A\H2) = 0,4. En los ejemplos considerados con la hipótesis H1, las fórmulas tradicionales (2) y (3) conducen a los siguientes resultados:
R(N.) R(A\No 0 07
P(norte, L) =-- 11 = - = 0,28,
2 Р(Н к) Р(А\Нк) к = 1
R(N L R(A\N 1) 0 63
P(norte, L) =-- 11 = - = 0,84,
2 Р(Нк) Р(А\Нк) к = 1
formando divisiones P(H 1 A) = P(H^ P(L\Hp = 0.07; P(H^ A) = P(H1) P(l|H^ = 0.63. 1aciones de las fórmulas propuestas respecto a:
R<Н)Р(АНА-Р(А|Н1) _ 0,07
y con las fórmulas propuestas (4), que no tienen divisores normalizadores: “y
Así, en el caso de aplicar las fórmulas propuestas, el ratio de probabilidades normalizadas es igual al ratio de probabilidades normalizadas: K
gt f P(N 1) P(A\N 1) A11 |
Cuando se utilizan fórmulas conocidas con la misma proporción -;-=-= 0,11 veron normalizado
Р(Н 1) Р(А\Н 1) «§
probabilidades indicadas en los numeradores, la relación de las probabilidades normalizadas resultantes: 2
Р(Н 1) Р(А\Н 1) Р(А\Н 1) 0,63
P(N1L) = 0,28 P(N1L) = 0,84
Es decir, no se respeta el principio de preservar los ratios de probabilidad y se obtienen resultados incorrectos. Al mismo tiempo £
en el caso de utilizar fórmulas conocidas, el valor de la desviación relativa de la relación (11) de las probabilidades condicionales posteriores de las hipótesis de los resultados correctos (10) resulta muy significativo, ya que equivale a
°.33 - °.P x 100 = 242%.. I
2. Probabilidades de hipótesis dadas pruebas únicas compatibles. Comparemos los resultados obtenidos utilizando las fórmulas de Bayes (5) y la modificación correcta construida (9), utilizando los siguientes datos iniciales: ^
P(H1 = 0,7; P(H2) = 0,3; P(E1H1) = 0,4; P(E2H1) = 0,8; P(E1\H2) = 0,7; P(E^ H2) = 0,2.113
En los ejemplos considerados con la hipótesis H 2 en el caso de utilizar fórmulas tradicionales (5):
P(H 2) P(E1 H 2) Q, 21
P(H 2 E1) = -2-!-2- = - = Q,429,
Yo p(Hk) p(El Hk) k = 1
P(H 2) P(E 2 H 2) Q,Q6
P(H 2 E 2) = -2-- = - = 0,097.
Yo P(Hk) P(E 2 Hk) k = 1
En el caso de aplicar la fórmula propuesta (9) teniendo en cuenta (7) P(H
P(H2) 0,168
E.) ----- 0,291,
Z P(Hk) Z "
P(H2) 0,018
E0) ----- 0,031.
Z P(Hk) Z k - 1 i - 1
Cuando se utilizan las fórmulas correctas propuestas, debido a los mismos denominadores, la relación P(H2) -
Las probabilidades normalizadas indicadas en los numeradores son iguales a la razón
P(H2)
probabilidades normalizadas:
Es decir, se observa el principio de conservación de los ratios de probabilidad.
Sin embargo, en el caso de utilizar fórmulas conocidas con la relación de las probabilidades normalizadas indicadas en los numeradores
P(H 2) P(E1\H 2) _ 0.21 _3 5 P(H 2)P(E 2 H 2) 0.06,
relación de probabilidades normalizadas:
P(H2 = 0,429 = 4,423. (13)
P(H2\e2) 0,097
Es decir, no se observa el principio de mantener ratios de probabilidad, como antes. Además, en el caso de utilizar fórmulas conocidas, el valor de la desviación relativa de la relación (13) de las probabilidades condicionales posteriores de las hipótesis de los resultados correctos (12) también resulta muy significativo:
9,387 4,423 x 100 = 52,9%.
Conclusión. El análisis de la construcción de relaciones fórmula específicas que implementan la fórmula de Bayes y sus modificaciones propuestas para la resolución de problemas prácticos nos permite afirmar lo siguiente. Quien toma las decisiones puede seleccionar subjetivamente el grupo completo de eventos combinados comparables. Esta elección se basa en los datos iniciales objetivos tomados en cuenta, característicos de un entorno típico (tipos específicos y número de eventos elementales, hipótesis evaluadas y evidencia). De interés práctico es la elección subjetiva de otras opciones para todo el grupo comparadas en términos del grado de posibilidad.
idad de eventos combinados, asegurando así una variedad significativa de relaciones de fórmulas al construir variantes no tradicionales de modificaciones de la fórmula de Bayes. Esto, a su vez, puede ser la base para mejorar el soporte matemático de la implementación del software, así como para ampliar el alcance de aplicación de nuevas relaciones de fórmulas para la resolución de problemas aplicados.
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¿Quién es Bayes? ¿Y qué tiene que ver con la gestión? - puede seguir una pregunta completamente justa. Por ahora, créanme: ¡esto es muy importante!... e interesante (al menos para mí).
¿Cuál es el paradigma en el que operan la mayoría de los directivos? Si observo algo, ¿qué conclusiones puedo sacar de ello? ¿Qué enseña Bayes: qué debe haber realmente ahí para que yo pueda observar este algo? Así es como se desarrollan todas las ciencias, y él escribe sobre esto (cito de memoria): una persona que no tiene una teoría en la cabeza, bajo la influencia de varios eventos (observaciones), rehuirá de una idea a otra. No en vano dicen: no hay nada más práctico que una buena teoría.
Ejemplo de la práctica. Mi subordinado comete un error y mi colega (el jefe de otro departamento) dice que sería necesario ejercer influencia gerencial sobre el empleado negligente (en otras palabras, castigar/reñir). Y sé que este empleado realiza entre 4 y 5 mil operaciones del mismo tipo al mes y durante este tiempo no comete más de 10 errores. ¿Sientes la diferencia en el paradigma? Mi colega reacciona a la observación, y tengo conocimiento a priori de que el empleado comete un cierto número de errores, por lo que otro no afectó este conocimiento... Ahora, si al final del mes resulta que los hay, por ejemplo, ¡15 errores de este tipo!... Esto ya será un motivo para estudiar las razones del incumplimiento de las normas.
¿Está convencido de la importancia del enfoque bayesiano? ¿Intrigado? Eso espero". Y ahora la mosca en el ungüento. Desafortunadamente, las ideas bayesianas rara vez se dan de inmediato. Francamente tuve mala suerte, ya que conocí estas ideas a través de la literatura popular, después de leerla, quedaron muchas preguntas. Cuando planeé escribir una nota, recopilé todo lo que había tomado previamente en Bayes y también estudié lo que estaba escrito en Internet. Les presento mi mejor suposición sobre el tema. Introducción a la probabilidad bayesiana.
Derivación del teorema de Bayes
Considere el siguiente experimento: nombramos cualquier número que se encuentre en el segmento y registramos cuando este número está, por ejemplo, entre 0,1 y 0,4 (Fig. 1a). La probabilidad de este evento es igual a la relación entre la longitud del segmento y la longitud total del segmento, siempre que la aparición de números en el segmento igualmente probable. Matemáticamente esto se puede escribir pag(0,1 <= X <= 0,4) = 0,3, или кратко R(X) = 0,3, donde R- probabilidad, X– variable aleatoria en el rango, X– variable aleatoria en el rango . Es decir, la probabilidad de acertar en el segmento es del 30%.
Arroz. 1. Interpretación gráfica de probabilidades
Ahora considere el cuadrado x (Fig. 1b). Digamos que tenemos que nombrar pares de números ( X, y), cada uno de los cuales es mayor que cero y menor que uno. La probabilidad de que X(primer número) estará dentro del segmento (área azul 1), igual a la razón del área del área azul al área de todo el cuadrado, es decir (0,4 – 0,1) * (1 – 0 ) / (1 * 1) = 0, 3, es decir, el mismo 30%. La probabilidad de que y ubicado dentro del segmento (área verde 2) es igual a la relación entre el área del área verde y el área de todo el cuadrado pag(0,5 <= y <= 0,7) = 0,2, или кратко R(Y) = 0,2.
¿Qué puedes aprender sobre valores al mismo tiempo? X Y y. Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que al mismo tiempo X Y y están en los segmentos dados correspondientes? Para hacer esto, debes calcular la relación entre el área del área 3 (la intersección de las franjas verde y azul) y el área de todo el cuadrado: pag(X, Y) = (0,4 – 0,1) * (0,7 – 0,5) / (1 * 1) = 0,06.
Ahora digamos que queremos saber cuál es la probabilidad de que y está en el intervalo si X ya está en el rango. Es decir, de hecho, tenemos un filtro y cuando llamamos pares ( X, y), luego descartamos inmediatamente aquellos pares que no satisfacen la condición para encontrar X en un intervalo dado, y luego de los pares filtrados contamos aquellos para los cuales y satisface nuestra condición y considera la probabilidad como la razón del número de pares para los cuales y se encuentra en el segmento anterior al número total de pares filtrados (es decir, para los cuales X se encuentra en el segmento). Podemos escribir esta probabilidad como pag(Y|X en X Golpea el rango." Obviamente, esta probabilidad es igual a la relación entre el área del área 3 y el área del área azul 1. El área del área 3 es (0,4 – 0,1) * (0,7 – 0,5) = 0,06, y el área del área azul 1 (0,4 – 0,1) * (1 – 0) = 0,3, entonces su relación es 0,06 / 0,3 = 0,2. En otras palabras, la probabilidad de encontrar y en el segmento siempre que X pertenece al segmento pag(Y|X) = 0,2.
En el párrafo anterior formulamos la identidad: pag(Y|X) = pag(X, Y) / pag( X). Dice: “probabilidad de acertar en en el rango, siempre que X acertar el rango, igual a la relación de la probabilidad de acierto simultáneo X en el rango y en al rango, a la probabilidad de acertar X dentro del rango."
Por analogía, considere la probabilidad. pag(X|Y). Llamamos parejas ( X, y) y filtrar aquellos para los cuales y está entre 0,5 y 0,7, entonces la probabilidad de que X está en el intervalo siempre que y pertenece al segmento es igual a la relación entre el área de la región 3 y el área de la región verde 2: pag(X|Y) = pag(X, Y) / pag(Y).
Tenga en cuenta que las probabilidades pag(X, Y) Y pag(Y, X) son iguales, y ambos son iguales a la relación entre el área de la zona 3 y el área de todo el cuadrado, pero las probabilidades pag(Y|X) Y pag(X|Y) no es igual; mientras que la probabilidad pag(Y|X) es igual a la relación entre el área de la región 3 y la región 1, y pag(X|Y) – región 3 a región 2. Tenga en cuenta también que pag(X, Y) a menudo se denota como pag(X&Y).
Entonces introdujimos dos definiciones: pag(Y|X) = pag(X, Y) / pag( X) Y pag(X|Y) = pag(X, Y) / pag(Y)
Reescribamos estas igualdades en la forma: pag(X, Y) = pag(Y|X) * pag( X) Y pag(X, Y) = pag(X|Y) * pag(Y)
Como los lados izquierdos son iguales, los lados derechos son iguales: pag(Y|X) * pag( X) = pag(X|Y) * pag(Y)
O podemos reescribir la última igualdad como:
¡Este es el teorema de Bayes!
¿¡Transformaciones tan simples (casi tautológicas) realmente dan lugar a un gran teorema!? No se apresure a sacar conclusiones. Hablemos de nuevo de lo que tenemos. Había una cierta probabilidad inicial (a priori) R(X), que la variable aleatoria X distribuido uniformemente en el segmento cae dentro del rango X. ocurrió un evento Y, como resultado de lo cual recibimos la probabilidad posterior de la misma variable aleatoria X: R(X|Y), y esta probabilidad difiere de R(X) por coeficiente. Evento Y llamada evidencia, más o menos confirmando o refutando X. Este coeficiente a veces se llama poder de la evidencia. Cuanto más fuerte es la evidencia, más cambia la probabilidad anterior el hecho de observar Y, más difiere la probabilidad posterior de la anterior. Si la evidencia es débil, la probabilidad posterior es casi igual a la anterior.
Fórmula de Bayes para variables aleatorias discretas
En la sección anterior, derivamos la fórmula de Bayes para variables aleatorias continuas xey definidas en el intervalo. Consideremos un ejemplo con variables aleatorias discretas, cada una de las cuales toma dos valores posibles. Durante exámenes médicos de rutina, se encontró que a la edad de cuarenta años, el 1% de las mujeres padece cáncer de mama. El 80% de las mujeres con cáncer obtienen resultados positivos en la mamografía. El 9,6% de las mujeres sanas también obtienen resultados positivos en la mamografía. Durante el examen, una mujer de este grupo de edad recibió un resultado positivo de la mamografía. ¿Cuál es la probabilidad de que ella realmente tenga cáncer de mama?
La línea de razonamiento/cálculo es la siguiente. Del 1% de pacientes con cáncer, la mamografía dará un 80% de resultados positivos = 1% * 80% = 0,8%. Del 99% de las mujeres sanas, la mamografía dará un 9,6% de resultados positivos = 99% * 9,6% = 9,504%. Del total de 10,304% (9,504% + 0,8%) con mamografía positiva, solo el 0,8% está enfermo y el 9,504% restante está sano. Así, la probabilidad de que una mujer con una mamografía positiva tenga cáncer es 0,8%/10,304% = 7,764%. ¿Pensaste que el 80% más o menos?
En nuestro ejemplo, la fórmula de Bayes toma la siguiente forma:
Hablemos una vez más del significado “físico” de esta fórmula. X– variable aleatoria (diagnóstico), tomando valores: X1- enfermo y x2- saludable; Y– variable aleatoria (resultado de la medición – mamografía), tomando valores: Y 1- resultado positivo y Y2- resultado negativo; pag(X 1)– probabilidad de enfermedad antes de la mamografía (probabilidad a priori) igual al 1%; R(Y 1 |X 1 ) – la probabilidad de un resultado positivo si el paciente está enfermo (probabilidad condicional, ya que debe especificarse en las condiciones de la tarea), igual al 80%; R(Y 1 |X 2 ) – la probabilidad de un resultado positivo si el paciente está sano (también probabilidad condicional) es del 9,6%; pag(X 2)– la probabilidad de que la paciente esté sana antes de la mamografía (probabilidad a priori) es del 99%; pag(X 1|Y 1 ) – la probabilidad de que la paciente esté enferma, dado un resultado positivo de la mamografía (probabilidad posterior).
Se puede observar que la probabilidad posterior (lo que buscamos) es proporcional a la probabilidad previa (inicial) con un coeficiente un poco más complejo 
. Permítanme enfatizar nuevamente. En mi opinión, este es un aspecto fundamental del enfoque bayesiano. Medición ( Y) añadió una cierta cantidad de información a la que estaba inicialmente disponible (a priori), lo que aclaró nuestro conocimiento sobre el objeto.
Ejemplos
Para consolidar el material que has cubierto, intenta resolver varios problemas.
Ejemplo 1. Hay 3 urnas; en la primera hay 3 bolas blancas y 1 negra; en el segundo - 2 bolas blancas y 3 negras; en el tercero hay 3 bolas blancas. Alguien se acerca al azar a una de las urnas y saca 1 bola. Esta bola resultó ser blanca. Encuentre las probabilidades posteriores de que la bola se extraiga de la 1.ª, 2.ª y 3.ª urna.
Solución. Tenemos tres hipótesis: H 1 = (se selecciona la primera urna), H 2 = (se selecciona la segunda urna), H 3 = (se selecciona la tercera urna). Como la urna se elige al azar, las probabilidades a priori de las hipótesis son iguales: P(H 1) = P(H 2) = P(H 3) = 1/3.
Como resultado del experimento, apareció el evento A = (se extrajo una bola blanca de la urna seleccionada). Probabilidades condicionales del evento A bajo las hipótesis H 1, H 2, H 3: P(A|H 1) = 3/4, P(A|H 2) = 2/5, P(A|H 3) = 1. Por ejemplo, la primera igualdad dice así: “la probabilidad de sacar una bola blanca si se elige la primera urna es 3/4 (ya que hay 4 bolas en la primera urna y 3 de ellas son blancas)”.
Usando la fórmula de Bayes, encontramos las probabilidades posteriores de las hipótesis:
Así, a la luz de la información sobre la ocurrencia del evento A, las probabilidades de las hipótesis cambiaron: la hipótesis H 3 se convirtió en la más probable, la hipótesis H 2 se convirtió en la menos probable.
Ejemplo 2. Dos tiradores disparan de forma independiente al mismo objetivo, cada uno disparando un tiro. La probabilidad de dar en el blanco para el primer tirador es 0,8, para el segundo, 0,4. Después del disparo, se descubrió un agujero en el objetivo. Encuentre la probabilidad de que este hoyo pertenezca al primer tirador (el resultado (ambos hoyos coincidieron) se descarta como insignificantemente improbable).
Solución. Antes del experimento, son posibles las siguientes hipótesis: H 1 = (ni la primera ni la segunda flecha acertará), H 2 = (ambas flechas acertarán), H 3 - (el primer tirador acertará, pero el segundo no ), H 4 = (el primer tirador no acertará y el segundo acertará). Probabilidades previas de hipótesis:
P(H1) = 0,2*0,6 = 0,12; P(H2) = 0,8*0,4 = 0,32; P(H3) = 0,8 * 0,6 = 0,48; P(H4) = 0,2*0,4 = 0,08.
Las probabilidades condicionales del evento observado A = (hay un agujero en el objetivo) bajo estas hipótesis son iguales: P(A|H 1) = P(A|H 2) = 0; P(A|H 3) = P(A|H 4) = 1
Después del experimento, las hipótesis H 1 y H 2 se vuelven imposibles, y las probabilidades posteriores de las hipótesis H 3 y H 4 según la fórmula de Bayes serán:
Bayes contra el spam
La fórmula de Bayes ha encontrado una amplia aplicación en el desarrollo de filtros de spam. Supongamos que desea entrenar una computadora para determinar qué correos electrónicos son spam. Partiremos del diccionario y de frases utilizando estimaciones bayesianas. Primero creemos un espacio de hipótesis. Tengamos 2 hipótesis sobre cualquier carta: H A es spam, H B no es spam, sino una carta normal y necesaria.
Primero, "entrenemos" nuestro futuro sistema antispam. Tomemos todas las letras que tenemos y dividámoslas en dos “montones” de 10 letras cada uno. Pongamos los correos electrónicos no deseados en uno y llamémoslo montón H A, en el otro pondremos la correspondencia necesaria y lo llamaremos montón H B. Ahora veamos: ¿qué palabras y frases se encuentran en el spam y las letras necesarias y con qué frecuencia? Llamaremos a estas palabras y frases evidencia y las denotaremos E 1 , E 2 ... Resulta que las palabras de uso común (por ejemplo, las palabras "me gusta", "tu") en los montones H A y H B ocurren con aproximadamente el mismo misma frecuencia. Por lo tanto, la presencia de estas palabras en una carta no nos dice nada sobre a qué pila asignarla (evidencia débil). Asignemos a estas palabras una puntuación de probabilidad neutral de "spam", digamos 0,5.
Deje que la frase "inglés hablado" aparezca en solo 10 cartas, y con más frecuencia en las cartas de spam (por ejemplo, en 7 cartas de spam de un total de 10) que en las necesarias (en 3 de cada 10). Démosle a esta frase una calificación más alta para spam: 7/10, y una calificación más baja para correos electrónicos normales: 3/10. Por el contrario, resultó que la palabra “amigo” aparecía con mayor frecuencia en letras normales (6 de 10). Y luego recibimos una breve carta: "¡Mi amigo! ¿Cómo es tu inglés hablado?. Intentemos evaluar su “spamismo”. Daremos estimaciones generales P(H A), P(H B) de la pertenencia de una letra a cada montón usando una fórmula de Bayes algo simplificada y nuestras estimaciones aproximadas:
P(HA) = A/(A+B), Dónde A = p a1 *p a2 *…*p an , B = p b1 *p b2 *…*p b n = (1 – p a1)*(1 – p a2)*… *(1 – p an).
Tabla 1. Estimación de escritura de Bayes simplificada (e incompleta).
Por lo tanto, nuestra carta hipotética recibió una puntuación de probabilidad de pertenencia con énfasis en "spam". ¿Podemos decidir tirar la carta en una de las pilas? Establezcamos umbrales de decisión:
- Supondremos que la letra pertenece al montón H i si P(H i) ≥ T.
- Una letra no pertenece al montón si P(H i) ≤ L.
- Si L ≤ P(H i) ≤ T, entonces no se puede tomar ninguna decisión.
Puedes tomar T = 0,95 y L = 0,05. Dado que para la letra en cuestión y 0,05< P(H A) < 0,95, и 0,05 < P(H В) < 0,95, то мы не сможем принять решение, куда отнести данное письмо: к спаму (H A) или к нужным письмам (H B). Можно ли улучшить оценку, используя больше информации?
Sí. Calculemos la puntuación de cada pieza de evidencia de una manera diferente, tal como lo propuso realmente Bayes. Permitir:
F a es el número total de correos electrónicos no deseados;
F ai es el número de cartas con certificado. i en un montón de spam;
F b es el número total de letras necesarias;
F bi es el número de letras con certificado. i en un montón de cartas necesarias (relevantes).
Entonces: p ai = F ai /F a, p bi = F bi /F b. P(H A) = A/(A+B), P(H B) = B/(A+B), Dónde A = p a1 *p a2 *…*p an , B = p b1 *p b2 *…*p b n
Tenga en cuenta que las evaluaciones de las palabras de evidencia p ai y p bi se han vuelto objetivas y pueden calcularse sin intervención humana.
Tabla 2. Estimación de Bayes más precisa (pero incompleta) basada en las características disponibles de una carta
Obtuvimos un resultado muy claro: con una gran ventaja, la letra se puede clasificar como la letra deseada, ya que P(H B) = 0,997 > T = 0,95. ¿Por qué cambió el resultado? Debido a que usamos más información, tomamos en cuenta el número de letras en cada una de las pilas y, por cierto, determinamos las estimaciones p ai y p bi de manera mucho más correcta. Se determinaron como lo hizo el propio Bayes, calculando probabilidades condicionales. En otras palabras, p a3 es la probabilidad de que la palabra "amigo" aparezca en una carta, siempre que esta letra ya pertenezca al montón de spam H A . El resultado no se hizo esperar: parece que podemos tomar una decisión con mayor seguridad.
Bayes contra el fraude empresarial
MAGNUS8 describió una aplicación interesante del enfoque bayesiano.
Mi proyecto actual (IS para detectar fraude en una empresa manufacturera) utiliza la fórmula de Bayes para determinar la probabilidad de fraude (fraude) en presencia/ausencia de varios hechos que testimonian indirectamente a favor de la hipótesis sobre la posibilidad de cometer fraude. El algoritmo es de autoaprendizaje (con retroalimentación), es decir. recalcula sus coeficientes (probabilidades condicionales) tras la confirmación real o no de fraude durante una inspección por parte del servicio de seguridad económica.
Probablemente valga la pena decir que tales métodos al diseñar algoritmos requieren una cultura matemática bastante alta por parte del desarrollador, porque el más mínimo error en la derivación y/o implementación de fórmulas computacionales anulará y desacreditará todo el método. Los métodos probabilísticos son especialmente propensos a esto, ya que el pensamiento humano no está adaptado para trabajar con categorías probabilísticas y, en consecuencia, no hay "visibilidad" ni comprensión del "significado físico" de los parámetros probabilísticos intermedios y finales. Esta comprensión existe solo para los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad, y luego solo es necesario combinar y derivar con mucho cuidado cosas complejas de acuerdo con las leyes de la teoría de la probabilidad; el sentido común ya no ayudará para los objetos compuestos. Esto, en particular, se debe a batallas metodológicas bastante serias que tienen lugar en las páginas de los libros modernos sobre filosofía de la probabilidad, así como a una gran cantidad de sofismas, paradojas y curiosos acertijos sobre este tema.
Otro matiz que tuve que afrontar es que, lamentablemente, casi todo lo más o menos ÚTIL EN LA PRÁCTICA sobre este tema está escrito en inglés. En las fuentes en idioma ruso existe principalmente solo una teoría bien conocida con ejemplos de demostración solo para los casos más primitivos.
Estoy completamente de acuerdo con el último comentario. Por ejemplo, Google, al intentar encontrar algo como “el libro Probabilidad bayesiana”, no produjo nada inteligible. Es cierto que informó que en China estaba prohibido un libro con estadísticas bayesianas. (El profesor de estadística Andrew Gelman informó en el blog de la Universidad de Columbia que se prohibió la publicación de su libro, Análisis de datos con modelos de regresión y multinivel/jerárquicos, en China. El editor allí informó que "el libro no fue aprobado por las autoridades debido a varios motivos políticamente delicados". material en el texto.") Me pregunto si una razón similar condujo a la falta de libros sobre probabilidad bayesiana en Rusia.
Conservadurismo en el procesamiento de información humana.
Las probabilidades determinan el grado de incertidumbre. La probabilidad, tanto según Bayes como según nuestras intuiciones, es simplemente un número entre cero y el que representa el grado en que una persona algo idealizada cree que la afirmación es cierta. La razón por la que una persona está algo idealizada es que la suma de sus probabilidades para dos eventos mutuamente excluyentes debe ser igual a su probabilidad de que ocurra cualquiera de los eventos. La propiedad de la aditividad tiene tales consecuencias que pocas personas reales pueden cumplirlas todas.
El teorema de Bayes es una consecuencia trivial de la propiedad de la aditividad, indiscutible y aceptada por todos los probabilistas, bayesianos y otros. Una forma de escribir esto es la siguiente. Si P(H A |D) es la probabilidad posterior de que la hipótesis A fuera después de que se observara un valor dado D, P(H A) es su probabilidad previa antes de que se observara un valor dado D, P(D|H A ) es la probabilidad de que un El valor dado D se observará si H A es verdadero y P(D) es la probabilidad incondicional de un valor dado D, entonces
(1) P(H A |D) = P(D|H A) * P(H A) / P(D)
Es mejor considerar a P(D) como una constante de normalización que hace que las probabilidades posteriores sumen la unidad sobre el conjunto exhaustivo de hipótesis mutuamente excluyentes que se están considerando. Si es necesario calcularlo, podría ser así:
Pero lo más frecuente es que P(D) se elimine en lugar de calcularse. Una forma conveniente de eliminar esto es transformar el teorema de Bayes en forma de razón de probabilidad-odds.
Considere otra hipótesis, H B, que es mutuamente excluyente con H A, y cambie de opinión sobre ella basándose en la misma cantidad dada que cambió su opinión sobre H A. El teorema de Bayes dice que
(2) P(H B |D) = P(D|H B) * P(H B) / P(D)
Ahora dividamos la Ecuación 1 por la Ecuación 2; el resultado será así:
donde Ω 1 son las probabilidades posteriores a favor de H A a H B , Ω 0 son las probabilidades anteriores y L es la cantidad familiar para los estadísticos como razón de probabilidad. La ecuación 3 es la misma versión relevante del teorema de Bayes que la ecuación 1 y, a menudo, es significativamente más útil, especialmente para experimentos que involucran hipótesis. Los bayesianos sostienen que el teorema de Bayes es una regla formalmente óptima sobre cómo revisar opiniones a la luz de nueva evidencia.
Nos interesa comparar el comportamiento ideal definido por el teorema de Bayes con el comportamiento real de las personas. Para darle una idea de lo que esto significa, intentemos un experimento con usted como sujeto de prueba. Esta bolsa contiene 1000 fichas de póquer. Tengo dos bolsas de este tipo, una que contiene 700 fichas rojas y 300 azules, y la otra que contiene 300 fichas rojas y 700 azules. Lancé una moneda para determinar cuál usar. Entonces, si nuestras opiniones son las mismas, su probabilidad actual de obtener una bolsa que contenga más fichas rojas es 0,5. Ahora, haces una muestra aleatoria con una devolución después de cada chip. En 12 fichas obtienes 8 rojas y 4 azules. Ahora, según todo lo que sabes, ¿cuál es la probabilidad de que caiga la bolsa con más rojos? Está claro que es superior a 0,5. No continúe leyendo hasta que haya registrado su puntuación.
Si usted es como un examinado típico, su puntuación se situó en el rango de 0,7 a 0,8. Sin embargo, si hiciéramos el cálculo correspondiente, la respuesta sería 0,97. De hecho, es muy raro que una persona a la que no se le ha demostrado previamente la influencia del conservadurismo llegue a una estimación tan alta, incluso si estaba familiarizada con el teorema de Bayes.
Si la proporción de chips rojos en la bolsa es R, entonces la probabilidad de recibir r chips rojos y ( norte –r) azul en norte muestras con devolución – p r (1–pag)norte-r. Entonces, en un experimento típico con una bolsa y fichas de póquer, si norteA significa que la proporción de chips rojos es r un Y norteB– significa que la acción es RB, entonces la razón de probabilidad:
Al aplicar la fórmula de Bayes, es necesario considerar sólo la probabilidad de la observación real, y no las probabilidades de otras observaciones que podría haber hecho pero no hizo. Este principio tiene amplias implicaciones para todas las aplicaciones estadísticas y no estadísticas del teorema de Bayes; es la herramienta técnica más importante para el razonamiento bayesiano.
revolución bayesiana
Tus amigos y colegas están hablando de algo llamado "Teorema de Bayes" o "Regla de Bayes" o algo llamado Razonamiento Bayesiano. Están realmente interesados en esto, así que te conectas a Internet y encuentras una página sobre el teorema de Bayes y... Es una ecuación. Y ya está... ¿Por qué un concepto matemático genera tanto entusiasmo en la mente? ¿Qué tipo de “revolución bayesiana” está ocurriendo entre los científicos y se argumenta que incluso el enfoque experimental en sí mismo puede describirse como su caso especial? ¿Cuál es el secreto que conocen los bayesianos? ¿Qué tipo de luz ven?
La revolución bayesiana en la ciencia no ocurrió porque cada vez más científicos cognitivos comenzaron repentinamente a notar que los fenómenos mentales tenían una estructura bayesiana; no porque los científicos de todos los campos hayan comenzado a utilizar el método bayesiano; sino porque la ciencia misma es un caso especial del teorema de Bayes; La evidencia experimental es evidencia bayesiana. Los revolucionarios bayesianos sostienen que cuando se realiza un experimento y se obtiene evidencia que “confirma” o “refuta” su teoría, esa confirmación o refutación ocurre de acuerdo con las reglas bayesianas. Por ejemplo, debes considerar no sólo que tu teoría puede explicar un fenómeno, sino también que existen otras explicaciones posibles que también pueden predecir ese fenómeno.
Anteriormente, la filosofía de la ciencia más popular era la filosofía antigua, que fue desplazada por la revolución bayesiana. La idea de Karl Popper de que las teorías pueden ser completamente falsadas pero nunca completamente verificadas es otro caso especial de reglas bayesianas; si p(X|A) ≈ 1 – si la teoría hace predicciones correctas, entonces observar ~X falsifica fuertemente A. Por otro lado, si p(X|A) ≈ 1 y observamos X, esto no confirma firmemente la teoría; quizás alguna otra condición B sea posible, tal que p(X|B) ≈ 1, y bajo la cual la observación X no atestigua a favor de A pero sí a favor de B. Para que la observación X confirme definitivamente A, tendríamos no saber que p(X|A) ≈ 1 y que p(X|~A) ≈ 0, lo cual no podemos saber porque no podemos considerar todas las explicaciones alternativas posibles. Por ejemplo, cuando la teoría de la relatividad general de Einstein superó la bien sustentada teoría de la gravedad de Newton, todas las predicciones de la teoría de Newton se convirtieron en un caso especial de las predicciones de Einstein.
De manera similar, la afirmación de Popper de que una idea debe ser falsable puede interpretarse como una manifestación de la regla bayesiana de conservación de la probabilidad; Si el resultado X es evidencia positiva de la teoría, entonces el resultado X debe refutar la teoría hasta cierto punto. Si intentas interpretar tanto X como ~X como "confirmando" la teoría, ¡las reglas bayesianas dicen que es imposible! Para aumentar la probabilidad de una teoría, es necesario someterla a pruebas que potencialmente puedan reducir su probabilidad; Ésta no es sólo una regla para identificar a los charlatanes en la ciencia, sino un corolario del teorema de probabilidad bayesiano. Por otro lado, la idea de Popper de que sólo se necesita falsificación y no confirmación es incorrecta. El teorema de Bayes muestra que la falsificación es una evidencia muy sólida en comparación con la confirmación, pero la falsificación sigue siendo de naturaleza probabilística; no se rige por reglas fundamentalmente diferentes y en este sentido no se diferencia de la confirmación, como afirma Popper.
Así, encontramos que muchos fenómenos de las ciencias cognitivas, más los métodos estadísticos utilizados por los científicos, más el método científico mismo, son todos casos especiales del teorema de Bayes. Esta es la revolución bayesiana.
¡Bienvenidos a la conspiración bayesiana!
Literatura sobre probabilidad bayesiana
2. El premio Nobel de economía Kahneman (y sus camaradas) describen muchas aplicaciones diferentes de Bayes en un libro maravilloso. Sólo en mi breve resumen de este libro tan extenso, conté 27 menciones del nombre de un ministro presbiteriano. Fórmulas mínimas. (... Me gustó mucho. Es cierto que es un poco complicado, hay muchas matemáticas (y dónde estaríamos sin ellas), pero los capítulos individuales (por ejemplo, el Capítulo 4. Información) están claramente relacionados con el tema. Lo recomiendo para todos. Incluso si las matemáticas son difíciles para usted, lea cada dos líneas, omitiendo las matemáticas y buscando granos útiles...
14. (adición de fecha 15 de enero de 2017), un capítulo del libro de Tony Crilly. 50 ideas que debes conocer. Matemáticas.
El físico premio Nobel Richard Feynman, hablando de un filósofo particularmente engreído, dijo una vez: “Lo que me irrita no es la filosofía como ciencia, sino la pomposidad que se crea en torno a ella. ¡Si los filósofos pudieran reírse de sí mismos! Ojalá pudieran decir: “Yo digo que es así, pero Von Leipzig pensó que era diferente y él también sabe algo al respecto”. Si tan solo se acordaran de aclarar que es solo suyo .
Formulario de eventos grupo completo, si al menos uno de ellos ocurrirá definitivamente como resultado del experimento y son incompatibles por pares.
Supongamos que el evento A sólo puede ocurrir junto con uno de varios eventos incompatibles por pares que forman un grupo completo. Llamaremos eventos ( i= 1, 2,…, norte) hipótesis experiencia adicional (a priori). La probabilidad de que ocurra el evento A está determinada por la fórmula probabilidad total :
Ejemplo 16. Hay tres urnas. La primera urna contiene 5 bolas blancas y 3 negras, la segunda contiene 4 bolas blancas y 4 negras y la tercera contiene 8 bolas blancas. Una de las urnas se selecciona al azar (esto podría significar, por ejemplo, que la elección se haga entre una urna auxiliar que contiene tres bolas numeradas 1, 2 y 3). De esta urna se extrae una bola al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea negro?
Solución. Evento A– se retira la bola negra. Si se supiera de qué urna se extrajo la bola, entonces la probabilidad deseada podría calcularse utilizando la definición clásica de probabilidad. Introduzcamos suposiciones (hipótesis) sobre qué urna se elige para recuperar la pelota.
La bola se puede extraer de la primera urna (conjetura), de la segunda (conjetura) o de la tercera (conjetura). Dado que hay iguales posibilidades de elegir cualquiera de las urnas, entonces 
.
Resulta que
Ejemplo 17. Las lámparas eléctricas se fabrican en tres fábricas. La primera planta produce el 30% del número total de lámparas eléctricas, la segunda, el 25%,
y el tercero - el resto. Los productos de la primera planta contienen un 1% de lámparas eléctricas defectuosas, la segunda, un 1,5% y la tercera, un 2%. La tienda recibe productos de las tres fábricas. ¿Cuál es la probabilidad de que una lámpara comprada en una tienda resulte defectuosa?
Solución. Se deben hacer suposiciones sobre en qué planta se fabricó la bombilla. Sabiendo esto, podemos encontrar la probabilidad de que esté defectuoso. Introduzcamos la notación para eventos: A– la lámpara eléctrica comprada resultó defectuosa, – la lámpara fue fabricada por la primera planta, – la lámpara fue fabricada por la segunda planta,
– la lámpara fue fabricada por la tercera planta.
Encontramos la probabilidad deseada usando la fórmula de probabilidad total:
La fórmula de Bayes. Sea un grupo completo de eventos incompatibles por pares (hipótesis). A– un evento aleatorio. Entonces,
La última fórmula que permite reestimar las probabilidades de hipótesis después de conocer el resultado de la prueba que resultó en el evento A se llama fórmula de bayes .
Ejemplo 18. De media, el 50% de los pacientes con la enfermedad ingresan en un hospital especializado A, 30% – con enfermedad l, 20 % –
con enfermedad METRO. Probabilidad de curación completa de la enfermedad. k igual a 0,7 para enfermedades l Y METRO estas probabilidades son 0,8 y 0,9, respectivamente. El paciente ingresado en el hospital fue dado de alta sano. Encuentre la probabilidad de que este paciente padeciera la enfermedad. k.
Solución. Introduzcamos las hipótesis: – el paciente padecía una enfermedad A l, – el paciente padecía una enfermedad METRO.
Entonces, según las condiciones del problema, tenemos . Presentemos un evento A– el paciente ingresado en el hospital fue dado de alta sano. Por condición
Usando la fórmula de probabilidad total obtenemos:
Según la fórmula de Bayes.
Ejemplo 19. Supongamos que hay cinco bolas en la urna y todas las conjeturas sobre el número de bolas blancas son igualmente posibles. Se saca una bola al azar de la urna y resulta ser blanca. ¿Qué suposición sobre la composición inicial de la urna es más probable?
Solución. Sea la hipótesis de que hay bolas blancas en la urna. 
, es decir, se pueden hacer seis suposiciones. Entonces, según las condiciones del problema, tenemos .
Presentemos un evento A– una bola blanca extraída al azar. Calculemos. Dado que , entonces según la fórmula de Bayes tenemos: 
Por tanto, la hipótesis más probable es porque.
Ejemplo 20. Dos de los tres elementos que funcionan independientemente del dispositivo informático han fallado. Encuentre la probabilidad de que el primer y segundo elemento fallen si las probabilidades de falla del primer, segundo y tercer elemento, respectivamente, son 0,2; 0,4 y 0,3.
Solución. Denotemos por A evento – dos elementos han fallado. Se pueden formular las siguientes hipótesis:
– los elementos primero y segundo han fallado, pero el tercer elemento está operativo. Dado que los elementos operan de forma independiente, se aplica el teorema de la multiplicación:
