Корен квадратен. Изчерпателното ръководство (2019)

Поздравления: днес ще разгледаме корените - една от най-умопомрачителните теми в 8 клас. :)

Много хора се объркват относно корените не защото са сложни (какво му е толкова сложното - няколко дефиниции и още няколко свойства), а защото в повечето училищни учебници корените се дефинират през такава джунгла, че само авторите на самите учебници може да разбере това писане. И то само с бутилка хубаво уиски. :)

Затова сега ще дам най-правилното и най-компетентно определение за корен - единственото, което наистина трябва да запомните. И тогава ще обясня: защо е необходимо всичко това и как да го приложим на практика.

Но първо си спомнете едно важен момент, за които много съставители на учебници по някаква причина „забравят“:

Корените могат да бъдат с четна степен (нашият любим $\sqrt(a)$, както и всички видове $\sqrt(a)$ и четни $\sqrt(a)$) и нечетна степен (всички видове $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$ и т.н.). И дефиницията на корен от нечетна степен е малко по-различна от четната.

Вероятно 95% от всички грешки и недоразумения, свързани с корените, са скрити в това шибано „донякъде различно“. Така че нека изясним терминологията веднъж завинаги:

Определение. Дори корен нот числото $a$ е всяко неотрицателничислото $b$ е такова, че $((b)^(n))=a$. А нечетният корен на същото число $a$ обикновено е всяко число $b$, за което важи същото равенство: $((b)^(n))=a$.

Във всеки случай коренът се обозначава така:

\(a)\]

Числото $n$ в такава нотация се нарича степен на корен, а числото $a$ се нарича радикален израз. По-конкретно, за $n=2$ получаваме нашия „любим” квадратен корен (между другото, това е корен от четна степен), а за $n=3$ получаваме кубичен корен (нечетна степен), което е също често се среща в задачи и уравнения.

Примери. Класически примери квадратни корени:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \край (подравняване)\]

Между другото, $\sqrt(0)=0$ и $\sqrt(1)=1$. Това е съвсем логично, тъй като $((0)^(2))=0$ и $((1)^(2))=1$.

Кубичните корени също са често срещани - няма нужда да се страхувате от тях:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \край (подравняване)\]

Е, няколко „екзотични примера“:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \край (подравняване)\]

Ако не разбирате каква е разликата между четна и нечетна степен, прочетете отново определението. Много е важно!

Междувременно ще разгледаме една неприятна особеност на корените, поради която трябваше да въведем отделна дефиниция за четни и нечетни показатели.

Защо изобщо са необходими корени?

След като прочетат определението, много ученици ще попитат: „Какво са пушили математиците, когато са измислили това?“ И наистина: защо изобщо са необходими всички тези корени?

За да отговорим на този въпрос, нека се върнем за момент начални класове. Помнете: в онези далечни времена, когато дърветата бяха по-зелени и кнедлите по-вкусни, основната ни грижа беше да умножим числата правилно. Е, нещо като "пет по пет - двадесет и пет", това е всичко. Но можете да умножавате числа не по двойки, а по тройки, четворки и като цяло цели набори:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Не това обаче е важното. Номерът е друг: математиците са мързеливи хора, така че им е било трудно да запишат умножението на десет петици по този начин:

Затова са измислили дипломи. Защо не напишете броя на факторите като горен индекс вместо дълъг низ? Нещо като това:

Много е удобно! Всички изчисления са значително намалени и не е нужно да губите куп листове пергамент и тетрадки, за да запишете около 5183. Този запис беше наречен степен на число, в него бяха открити куп свойства, но щастието се оказа краткотрайно.

След грандиозно пиянство, организирано само за „откриването“ на градусите, някакъв особено упорит математик изведнъж попита: „Ами ако знаем степента на едно число, но самото число е неизвестно?“ Сега, наистина, ако знаем, че определено число $b$, да речем, на 5-та степен дава 243, тогава как можем да познаем на какво е равно самото число $b$?

Този проблем се оказа много по-глобален, отколкото може да изглежда на пръв поглед. Защото се оказа, че за повечето „готови“ мощности няма такива „първоначални“ числа. Преценете сами:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Стрелка надясно b=4\cdot 4\cdot 4\Стрелка надясно b=4. \\ \край (подравняване)\]

Ами ако $((b)^(3))=50$? Оказва се, че трябва да намерим определено число, което, умножено по себе си три пъти, ще ни даде 50. Но какво е това число? Очевидно е по-голямо от 3, тъй като 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Това е това число е някъде между три и четири, но няма да разберете на какво е равно.

Точно затова математиците излязоха с $n$-ти корени. Точно затова беше въведен радикалният символ $\sqrt(*)$. Да обозначим самото число $b$, което в посочената степен ще ни даде предварително известна стойност

\[\sqrt[n](a)=b\Дясна стрелка ((b)^(n))=a\]

Не споря: често тези корени се изчисляват лесно - видяхме няколко такива примера по-горе. Но все пак, в повечето случаи, ако мислите за произволно число и след това се опитате да извлечете корен от произволна степен от него, ще бъдете в ужасна беда.

Какво има там! Дори най-простият и познат $\sqrt(2)$ не може да бъде представен в нашата обичайна форма - като цяло число или дроб. И ако въведете това число в калкулатора, ще видите това:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Както можете да видите, след десетичната запетая има безкрайна последователност от числа, които не се подчиняват на никаква логика. Можете, разбира се, да закръглите това число, за да го сравните бързо с други числа. Например:

\[\sqrt(2)=1,4142...\приблизително 1,4 \lt 1,5\]

Или ето друг пример:

\[\sqrt(3)=1,73205...\приблизително 1,7 \gt 1,5\]

Но всички тези закръгляния, първо, са доста груби; и второ, вие също трябва да можете да работите с приблизителни стойности, в противен случай можете да хванете куп неочевидни грешки (между другото, умението за сравняване и закръгляване в задължителенпроверени в профила Единен държавен изпит).

Следователно в сериозната математика не можете да правите без корени - те са едни и същи равни представители на множеството от всички реални числа $\mathbb(R)$, точно като дробите и целите числа, които отдавна са ни познати.

Невъзможността да се представи корен като дроб от формата $\frac(p)(q)$ означава това даден коренне е рационално число. Такива числа се наричат ​​ирационални и не могат да бъдат точно представени, освен с помощта на радикал или други конструкции, специално предназначени за това (логаритми, степени, граници и т.н.). Но за това друг път.

Нека разгледаме няколко примера, при които след всички изчисления в отговора все още ще останат ирационални числа.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\приблизително 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\приблизително -1,2599... \\ \end(align)\]

Естествено, според външен вид root е почти невъзможно да се познае кои числа ще дойдат след десетичната запетая. Въпреки това можете да разчитате на калкулатор, но дори и най-модерният калкулатор за дата ни дава само първите няколко цифри от ирационално число. Затова е много по-правилно да напишете отговорите във формата $\sqrt(5)$ и $\sqrt(-2)$.

Точно за това са измислени. За удобно записване на отговорите.

Защо са необходими две определения?

Внимателният читател вероятно вече е забелязал, че всички квадратни корени, дадени в примерите, са взети от положителни числа. Добре в в краен случайот нулата. Но кубични корени могат спокойно да бъдат извлечени от абсолютно всяко число - било то положително или отрицателно.

Защо се случва това? Погледнете графиката на функцията $y=((x)^(2))$:

График квадратична функциядава два корена: положителен и отрицателен

Нека се опитаме да изчислим $\sqrt(4)$ с помощта на тази графика. За да направите това, върху графиката се начертава хоризонтална линия $y=4$ (маркирана в червено), която се пресича с параболата в две точки: $((x)_(1))=2$ и $((x )_(2)) =-2$. Това е съвсем логично, тъй като

С първото число всичко е ясно - то е положително, значи е коренът:

Но тогава какво да правим с втората точка? Както четири има два корена едновременно? В края на краищата, ако повдигнем на квадрат числото −2, също получаваме 4. Защо тогава не напишем $\sqrt(4)=-2$? И защо учителите гледат такива публикации, сякаш искат да те изядат? :)

Това е проблемът, ако не приложите нито един допълнителни условия, тогава четворката ще има два квадратни корена – положителен и отрицателен. И всяко положително число също ще има две от тях. Но отрицателните числа изобщо няма да имат корени - това може да се види от същата графика, тъй като параболата никога не пада под оста г, т.е. не приема отрицателни стойности.

Подобен проблем възниква за всички корени с четен показател:

1. Строго погледнато, всяко положително число ще има два корена с четен показател $n$;
2. От отрицателни числа коренът с четни $n$ изобщо не се извлича.

Ето защо в дефиницията на корен от четна степен $n$ изрично е посочено, че отговорът трябва да бъде неотрицателно число. Така се освобождаваме от двусмислието.

Но за нечетни $n$ няма такъв проблем. За да видите това, нека погледнем графиката на функцията $y=((x)^(3))$:

Кубичната парабола може да приеме всякаква стойност, така че кубичният корен може да бъде взет от произволно число

От тази графика могат да се направят два извода:

1. Клоните на кубична парабола, за разлика от обикновената, отиват до безкрайност и в двете посоки - и нагоре, и надолу. Следователно, без значение на каква височина нарисуваме хоризонтална линия, тази линия със сигурност ще се пресича с нашата графика. Следователно, кубичният корен винаги може да бъде извлечен от абсолютно всяко число;
2. В допълнение, такова пресичане винаги ще бъде уникално, така че не е нужно да мислите кое число се счита за „правилен“ корен и кое да игнорирате. Ето защо определянето на корени за нечетна степен е по-лесно, отколкото за четна степен (няма изискване за неотрицателност).

Жалко, че тези прости нещане са обяснени в повечето учебници. Вместо това мозъците ни започват да се извисяват с всякакви аритметични корени и техните свойства.

Да, не споря: вие също трябва да знаете какво е аритметичен корен. И ще говоря за това подробно в отделен урок. Днес ще говорим и за него, защото без него всички мисли за корени от $n$-та кратност биха били непълни.

Но първо трябва ясно да разберете определението, което дадох по-горе. В противен случай, поради изобилието от термини, в главата ви ще започне такава бъркотия, че в крайна сметка няма да разберете нищо.

Всичко, което трябва да направите, е да разберете разликата между четни и нечетни индикатори. Затова нека отново да съберем всичко, което наистина трябва да знаете за корените:

1. Корен от четна степен съществува само от неотрицателно число и сам по себе си винаги е неотрицателно число. За отрицателни числа такъв корен е недефиниран.
2. Но коренът на нечетна степен съществува от всяко число и сам по себе си може да бъде всяко число: за положителни числа той е положителен, а за отрицателни числа, както подсказва капачката, е отрицателен.

Трудно е? Не, не е трудно. Ясно е? Да, напълно е очевидно! Така че сега ще се упражняваме малко с изчисленията.

Основни свойства и ограничения

Има много корени странни свойстваи ограничения - за това ще има отделен урок. Затова сега ще разгледаме само най-важния „трик“, който се прилага само за корени с четен индекс. Нека запишем това свойство като формула:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\надясно|\]

С други думи, ако повдигнем число на четна степен и след това извлечем корена на същата степен, няма да получим оригиналното число, а неговия модул. Това проста теорема, което е лесно за доказване (достатъчно е отделно да разгледаме неотрицателните $x$ и след това отделно да разгледаме отрицателните). Учителите непрекъснато говорят за това, има го във всеки учебник. Но след като се стигне до решение ирационални уравнения(т.е. уравнения, съдържащи радикален знак), учениците единодушно забравят тази формула.

За да разберем проблема в детайли, нека забравим всички формули за минута и се опитаме да изчислим две числа направо напред:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Това е много прости примери. Повечето хора ще решат първия пример, но много хора се забиват на втория. За да разрешите подобни глупости без проблеми, винаги обмисляйте процедурата:

1. Първо, числото се повишава на четвърта степен. Е, някак си е лесно. Ще получите ново число, което може да се намери дори в таблицата за умножение;
2. И сега от това ново число е необходимо да извлечем четвъртия корен. Тези. не се случва „намаляване“ на корени и правомощия - това са последователни действия.

Нека да разгледаме първия израз: $\sqrt(((3)^(4)))$. Очевидно първо трябва да изчислите израза под корена:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

След това извличаме четвъртия корен от числото 81:

Сега нека направим същото с втория израз. Първо, повдигаме числото −3 на четвърта степен, което изисква умножаването му по себе си 4 пъти:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ ляво(-3 \дясно)=81\]

Получихме положително число, тъй като общият брой на минусите в продукта е 4 и всички те ще се компенсират взаимно (в края на краищата минус за минус дава плюс). След това отново извличаме корена:

По принцип този ред не би могъл да бъде написан, тъй като няма смисъл отговорът да е същият. Тези. четен корен със същата четна мощност „изгаря“ минусите и в този смисъл резултатът е неразличим от обикновения модул:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \край (подравняване)\]

Тези изчисления са в добро съответствие с дефиницията на корен от четна степен: резултатът винаги е неотрицателен и под знака на радикала също винаги не е отрицателно число. В противен случай коренът е недефиниран.

Забележка относно процедурата

1. Нотацията $\sqrt(((a)^(2)))$ означава, че първо възвеждаме на квадрат числото $a$ и след това вземаме корен квадратен от получената стойност. Следователно можем да сме сигурни, че винаги има неотрицателно число под знака за корен, тъй като $((a)^(2))\ge 0$ във всеки случай;
2. Но нотацията $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, напротив, означава, че първо вземаме корен от определено число $a$ и едва след това повдигаме резултата на квадрат. Следователно числото $a$ в никакъв случай не може да бъде отрицателно - това е задължително изискване, включени в определението.

По този начин в никакъв случай не трябва безразсъдно да намалявате корени и степени, като по този начин уж „опростявате“ оригиналния израз. Защото, ако коренът има отрицателно число и неговият показател е четен, получаваме куп проблеми.

Всички тези проблеми обаче са от значение само за четни индикатори.

Премахване на знака минус под знака за корен

Естествено, корените с нечетни показатели също имат своя особеност, която по принцип не съществува при четните. а именно:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Накратко, можете да премахнете минуса под знака на корени с нечетна степен. Това е много полезно свойство, което ви позволява да „изхвърлите“ всички негативи:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \край (подравняване)\]

Това просто свойство значително опростява много изчисления. Сега не е нужно да се притеснявате: какво ще стане, ако под корена е скрит отрицателен израз, но степента в корена се оказа четна? Достатъчно е просто да „изхвърлите“ всички минуси извън корените, след което те могат да бъдат умножени помежду си, разделени и изобщо да направят много подозрителни неща, които в случай на „класически“ корени гарантирано ще ни доведат до грешка.

И тук на сцената излиза друго определение – същото, с което в повечето училища започват изучаването на ирационални изрази. И без които нашите разсъждения биха били непълни. Среща!

Аритметичен корен

Нека приемем за момент, че под знака за корен може да има само положителни числа или в краен случай нула. Да забравим за показателите четно/нечетно, да забравим за всички определения по-горе – ще работим само с неотрицателни числа. Какво тогава?

И тогава ще получим аритметичен корен - той частично се припокрива с нашите „стандартни“ дефиниции, но все пак се различава от тях.

Определение. Аритметичен корен от $n$-та степен на неотрицателно число $a$ е неотрицателно число $b$, така че $((b)^(n))=a$.

Както виждаме, паритетът вече не ни интересува. Вместо това се появи ново ограничение: радикалният израз вече винаги е неотрицателен, а самият корен също е неотрицателен.

За да разберете по-добре как аритметичният корен се различава от обичайния, разгледайте вече познатите ни графики на квадратната и кубичната парабола:

Област за търсене на аритметичен корен - неотрицателни числа

Както можете да видите, отсега нататък се интересуваме само от онези части от графиките, които се намират в първата координатна четвърт - където координатите $x$ и $y$ са положителни (или поне нула). Вече не е необходимо да гледате индикатора, за да разберете дали имаме право да поставим отрицателно число под корена или не. Защото отрицателните числа вече не се разглеждат по принцип.

Може да попитате: „Е, защо имаме нужда от такова кастрирано определение?“ Или: „Защо не можем да се справим със стандартната дефиниция, дадена по-горе?“

Е, ще дам само едно свойство, поради което новата дефиниция става подходяща. Например правилото за степенуване:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Моля, обърнете внимание: можем да повдигнем радикалния израз на произволна степен и в същото време да умножим коренния показател по същата степен - и резултатът ще бъде същото число! Ето примери:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

И така, каква е голямата работа? Защо не можахме да направим това по-рано? Ето защо. Нека разгледаме един прост израз: $\sqrt(-2)$ - това число е съвсем нормално в нашето класическо разбиране, но е абсолютно неприемливо от гледна точка на аритметичния корен. Нека се опитаме да го конвертираме:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Както можете да видите, в първия случай премахнахме минуса от под радикала (имаме всяко право, защото индикаторът е нечетен), а във втория използвахме горната формула. Тези. От математическа гледна точка всичко е направено по правилата.

WTF?! Как може едно и също число да бъде едновременно положително и отрицателно? Няма начин. Просто формулата за степенуване, която работи чудесно за положителни числа и нула, започва да произвежда пълна ерес в случай на отрицателни числа.

Именно за да се отървем от такава неяснота, бяха изобретени аритметичните корени. На тях е посветена отделна страхотен урок, където разглеждаме подробно всичките им свойства. Така че няма да се спираме на тях сега - урокът вече се оказа твърде дълъг.

Алгебричен корен: за тези, които искат да знаят повече

Дълго мислих дали да сложа тази тема в отделен параграф или не. В крайна сметка реших да го оставя тук. Този материал е предназначен за тези, които искат да разберат още по-добре корените - вече не на средното „училищно“ ниво, а на ниво, близко до нивото на олимпиадата.

И така: в допълнение към „класическата“ дефиниция на $n$-тия корен на числото и свързаното с нея деление на четни и нечетни показатели, има по-„възрастна“ дефиниция, която изобщо не зависи от паритета и други тънкости. Това се нарича алгебричен корен.

Определение. Алгебричният $n$-ти корен на всяко $a$ е множеството от всички числа $b$, така че $((b)^(n))=a$. Няма установено обозначение за такива корени, така че просто ще поставим тире отгоре:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Фундаментална разлика от стандартна дефинициядадено в началото на урока е, че алгебричният корен не е конкретно число, а набор. И тъй като работим с реални числа, този набор се предлага само в три вида:

1. Празен комплект. Възниква, когато трябва да намерите алгебричен корен от четна степен от отрицателно число;
2. Комплект, състоящ се от един единствен елемент. Всички корени на нечетни степени, както и корени на четни степени на нула, попадат в тази категория;
3. И накрая, наборът може да включва две числа - същите $((x)_(1))$ и $((x)_(2))=-((x)_(1))$, които видяхме на графика на квадратична функция. Съответно, такова подреждане е възможно само при извличане на корена на четна степен от положително число.

Последният случай заслужава по-подробно разглеждане. Нека преброим няколко примера, за да разберем разликата.

Пример. Оценете изразите:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Решение. Първият израз е прост:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Това са две числа, които са част от комплекта. Защото всеки от тях на квадрат дава четворка.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Тук виждаме набор, състоящ се само от едно число. Това е съвсем логично, тъй като коренният показател е нечетен.

И накрая, последният израз:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Получихме празен комплект. Защото няма нито едно реално число, което, когато бъде повдигнато на четвърта (т.е. четна!) степен, да ни даде отрицателното число −16.

Последна бележка. Обърнете внимание: не случайно отбелязах навсякъде, че работим с реални числа. Защото има още комплексни числа— напълно възможно е да се изчисли $\sqrt(-16)$ и много други странни неща там.

Въпреки това, в съвременните училищен курсВ математиката комплексните числа почти никога не се срещат. Те са премахнати от повечето учебници, защото нашите служители смятат, че темата е „твърде трудна за разбиране“.