Това, което се нарича основа на степента. Какво е степен на число

В тази статия ще разберем какво е то степен на. Тук ще дадем дефиниции на степента на число, като същевременно ще разгледаме подробно всички възможни показатели, като започнем от естествения показател и завършим с ирационалния. В материала ще намерите много примери за степени, покриващи всички тънкости, които възникват.

Навигация в страницата.

Степен с естествен показател, квадрат на число, куб на число

Да започнем с. Гледайки напред, нека кажем, че дефиницията на степента на число a с естествен показател n е дадена за a, което ще наречем степен основа, и n, които ще наречем експонент. Отбелязваме също, че степен с естествен показател се определя чрез произведение, така че за да разберете материала по-долу, трябва да имате разбиране за умножаване на числа.

Определение.

Степен на число с естествен показател nе израз на формата a n, чиято стойност е равна на произведението от n фактора, всеки от които е равен на a, т.е.
По-специално, степента на число a с показател 1 е самото число a, тоест a 1 =a.

Струва си да споменем веднага за правилата за четене на степени. Универсалният начин за четене на нотацията a n е: „a на степен n“. В някои случаи са приемливи и следните опции: „a на n-та степен“ и „n-та степен на a“. Например, нека вземем степен 8 12, това е „осем на степен дванадесет“, или „осем на дванадесета степен“, или „дванадесета степен на осем“.

Втората степен на числото, както и третата степен на числото имат свои имена. Втората степен на число се нарича квадрат на числото, например, 7 2 се чете като „седем на квадрат“ или „квадрат на числото седем“. Третата степен на число се нарича кубични числа, например, 5 3 може да се чете като „пет кубчета“ или можете да кажете „куб на числото 5“.

Време е да донесете примери за степени с естествен показател. Нека започнем със степен 5 7, тук 5 е основата на степента, а 7 е степента. Нека дадем друг пример: 4,32 е основата, а естественото число 9 е показателят (4,32) 9 .

Моля, обърнете внимание, че в последния пример основата на степента 4.32 е написана в скоби: за да избегнем несъответствия, ще поставим в скоби всички основи на степента, които са различни от естествените числа. Като пример даваме следните степени с естествени показатели , основите им не са естествени числа, затова се записват в скоби. Е, за пълна яснота, в този момент ще покажем разликата, съдържаща се в записите под формата (−2) 3 и −2 3. Изразът (−2) 3 е степен на −2 с естествен показател 3, а изразът −2 3 (може да бъде записан като −(2 3) ) съответства на числото, стойността на степента 2 3 .

Обърнете внимание, че има нотация за степента на число a с показател n във формата a^n. Освен това, ако n е многозначно естествено число, тогава показателят се взема в скоби. Например 4^9 е друга нотация за степента на 4 9 . И ето още няколко примера за записване на степени с помощта на символа “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . В това, което следва, ние ще използваме основно запис на степен на формата a n.

Един от проблемите, обратни на повдигането на степен с естествен показател, е проблемът за намиране на основата на степен от известна стойност на степента и известен показател. Тази задача води до.

Известно е, че множеството от рационални числа се състои от цели числа и дроби, като всяка дроб може да бъде представена като положителна или отрицателна обикновена дроб. Дефинирахме степен с цяло число в предходния параграф, следователно, за да завършим дефиницията на степен с рационален показател, трябва да дадем значение на степента на числото a с дробен показател m/n, където m е цяло число и n е естествено число. Хайде да го направим.

Нека разгледаме степен с дробен показател от формата . За да остане валидно свойството мощност към степен, равенството трябва да е спазено . Ако вземем предвид полученото равенство и как сме определили , тогава е логично да го приемем при условие, че за дадени m, n и a изразът има смисъл.

Лесно се проверява, че за всички свойства на степен с цял показател са валидни (това беше направено в раздела свойства на степен с рационален показател).

Горното разсъждение ни позволява да направим следното заключение: ако са дадени m, n и a, изразът има смисъл, тогава степента на a с дробен показател m/n се нарича n-ти корен от a на степен m.

Това твърдение ни доближава до дефиницията на степен с дробен показател. Всичко, което остава, е да опишем при какви m, n и a изразът има смисъл. В зависимост от ограниченията, наложени на m, n и a, има два основни подхода.

Най-лесният начин е да наложите ограничение на a, като вземете a≥0 за положително m и a>0 за отрицателно m (тъй като за m≤0 степента 0 на m не е дефинирана). Тогава получаваме следната дефиниция на степен с дробен показател.

Определение.

Степен на положително число a с дробен показател m/n, където m е цяло число и n е естествено число, се нарича n-ти корен от числото a на степен m, т.е.

Дробната степен на нула също се определя с единственото предупреждение, че индикаторът трябва да е положителен.

Определение.

Степен нула с дробен положителен показател m/n, където m е положително цяло число и n е естествено число, се дефинира като .
Когато степента не е определена, тоест степента на числото нула с дробен отрицателен показател няма смисъл.

Трябва да се отбележи, че при тази дефиниция на степен с дробен показател има едно предупреждение: за някои отрицателни a и някои m и n изразът има смисъл и ние отхвърлихме тези случаи, като въведохме условието a≥0. Например, записите имат смисъл или , и дефиницията, дадена по-горе, ни принуждава да кажем, че степените с дробен показател на формата нямат смисъл, тъй като основата не трябва да е отрицателна.

Друг подход за определяне на степен с дробен показател m/n е отделно разглеждане на четните и нечетните показатели на корена. Този подход изисква допълнително условие: степента на числото a, чийто показател е , се счита за степен на числото a, чийто показател е съответната несъкратима дроб (ще обясним важността на това условие по-долу ). Тоест, ако m/n е несъкратима дроб, тогава за всяко естествено число k степента първо се заменя с .

За четно n и положително m изразът има смисъл за всяко неотрицателно a (четен корен от отрицателно число няма смисъл); за отрицателно m числото a все още трябва да е различно от нула (в противен случай ще има деление с нула). И за нечетно n и положително m числото a може да бъде всяко (коренът на нечетна степен е дефиниран за всяко реално число), а за отрицателно m числото a трябва да е различно от нула (така че да няма деление на нула).

Горното разсъждение ни води до тази дефиниция на степен с дробен показател.

Определение.

Нека m/n е несъкратима дроб, m е цяло число и n е естествено число. За всяка редуцируема дроб степента се заменя с . Степента на число с несъкратим дробен показател m/n е за



Нека обясним защо степен с редуцируем дробен показател първо се заменя със степен с нередуцируем показател. Ако просто дефинираме степента като и не направим уговорка относно несводимостта на дробта m/n, тогава ще се сблъскаме със ситуации, подобни на следното: тъй като 6/10 = 3/5, тогава равенството трябва да е спазено , Но , А .

„Сравнителна степен“ - В същата дупка е живял пор. Н.ф. Smart + MORE - по-умен N.f. Smart + LESS - по-малко умни. Роля в изречението. Нашите по-малко пъргави кучета отиват да аплодират мишките на състезанията. Общинска образователна институция "Основно средно училище Елгай". Хамстерът е по-пъргав от кученцето. По някакъв начин нашата обувка беше отвлечена от кученце на по-малко пъргав съсед.

„Степен с естествен показател“ - Степен с естествен и целочислен показател. (-1)2k=1, (-1)2k-1= -1. Свойства на степен с естествен показател. Определяне на степен с натурален показател. 1 на произволна степен е равно на 1 1n=1. Какво е диплома? Как се пише накратко. Умножение на степени с еднакви основи. N условия. 10n=100000…0.

„Степен с цяло число“ - Изчислете. Изразете израза като степен. Изразете израза x-12 като произведение на две степени с основа x, ако е известен един фактор. Подредете в низходящ ред. Опростете. За какви стойности на x е вярно равенството.

„Уравнения от трета степен“ - (В третия случай - минимумът, в четвъртия - максимумът). В първия и втория случай казваме, че функцията е монотонна в точката x =. Нашата формула дава: „Велико изкуство“. Така Тарталия се остави да бъде убеден. Лема. В третия и четвъртия случай казваме, че функцията има екстремум в точката x =. Отваряне на скобите.

„Свойства на степен“ - Обобщаване на знания и умения за прилагане на свойствата на степен с естествен показател. Свойства на степен с естествен показател. Мозъчна атака. Кубът на кое число е 64? Изчислителна пауза. Свойства на степен с естествен показател. Развитие на постоянство, умствена активност и творческа активност.

„Корен от n-та степен“ - Определение 2: A). Нека кубираме двете страни на уравнението: - Радикален израз. Да разгледаме уравнението x? = 1. Нека повдигнем двете страни на уравнението на четвърта степен: Нека начертаем функциите y = x? и y = 1. Концепцията за корен n-та от реално число. Ако n е нечетно, тогава един корен: Да изградим графики на функциите y = x? и y = 1.

Моля, имайте предвид, че този раздел обсъжда концепцията степени само с естествен показатели нула.

Понятието и свойствата на степените с рационални показатели (с отрицателни и дробни) ще бъдат разгледани в уроците за 8 клас.

И така, нека разберем какво е степен на число.За да запишете произведението на число само по себе си, съкратеният запис се използва няколко пъти.

Вместо произведението на шест еднакви множителя 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4, напишете 4 6 и кажете „четири на шеста степен“.

4 4 4 4 4 4 = 4 6

Изразът 4 6 се нарича степен на число, където:

• 4 — степен база;
• 6 — експонент.

По принцип степен с основа „a“ и показател „n“ се записва с помощта на израза:

Помня!

Степента на число "a" с естествен показател "n" по-голям от 1 е произведението на "n" еднакви множители, всеки от които е равен на числото "a".

Записът „a n“ се чете така: „a на степен n“ или „n-та степен на числото a“.

Изключенията са следните записи:

• a 2 - може да се произнесе като "а на квадрат";
• a 3 - може да се произнесе като "куб."

• a 2 - „a на втора степен“;
• a 3 - „a на трета степен“.

Специални случаи възникват, ако експонентата е равна на единица или нула (n = 1; n = 0).

Помня!

Степента на числото "a" с показател n = 1 е самото това число:
a 1 = a

Всяко число на нулева степен е равно на едно.
а 0 = 1

Нула към всяка естествена степен е равна на нула.
0 n = 0

Едно на произволна степен е равно на 1.
1 n = 1

Израз 0 0 ( нула на нулева степен) се считат за безсмислени.

• (−32) 0 = 1
• 0 253 = 0
• 1 4 = 1

Когато решавате примери, трябва да запомните, че повдигането на степен означава намиране на числова или буквена стойност след повдигането й на степен.

Пример. Издигане на степен.

• 5 3 = 5 5 5 = 125
• 2,5 2 = 2,5 2,5 = 6,25
• ( · = = 81

  256

Повдигане на отрицателно число на степен

Основата (числото, което е повдигнато на степен) може да бъде всяко число — положително, отрицателно или нула.

Помня!

Повишаването на положително число на степен дава положително число.

Когато нулата се повдигне на естествена степен, резултатът е нула.

Когато отрицателно число се повдигне на степен, резултатът може да бъде или положително число, или отрицателно число. Зависи дали показателят е четно или нечетно число.

Нека да разгледаме примери за повдигане на отрицателни числа на степени.

От разгледаните примери става ясно, че ако отрицателно число се повдигне на нечетна степен, тогава се получава отрицателно число. Тъй като произведението на нечетен брой отрицателни фактори е отрицателно.

Ако отрицателно число се повиши на четна степен, то става положително число. Тъй като произведението на четен брой отрицателни фактори е положително.

Помня!

Отрицателно число, повишено на четна степен, е положително число.

Отрицателно число, повишено на нечетна степен, е отрицателно число.

Квадратът на всяко число е положително число или нула, тоест:

a 2 ≥ 0 за всяко a.

• 2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
• −5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40

Забележка!

При решаването на примери за степенуване често се допускат грешки, забравяйки, че записите (−5) 4 и −5 4 са различни изрази. Резултатите от повдигането на тези изрази на степени ще бъдат различни.

Изчисляването на (−5) 4 означава намиране на стойността на четвъртата степен на отрицателно число.

(−5) 4 = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625

Докато намирането на „−5 4“ означава, че примерът трябва да бъде решен в 2 стъпки:

1. Повишете положителното число 5 на четвърта степен.
   5 4 = 5 5 5 5 = 625
2. Поставете знак минус пред получения резултат (т.е. извършете действие за изваждане).
   −5 4 = −625

Пример. Изчислете: −6 2 − (−1) 4

−6 2 − (−1) 4 = −37

1. 6 2 = 6 6 = 36
2. −6 2 = −36
3. (−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
4. −(−1) 4 = −1
5. −36 − 1 = −37

Процедура в примери със степени

Изчисляването на стойност се нарича действие на степенуване. Това е трето етапно действие.

Помня!

В изрази със степени, които не съдържат скоби, първо направете степенуване, тогава умножение и деление, и в края събиране и изваждане.

Ако изразът съдържа скоби, тогава първо изпълнете действията в скобите в посочения по-горе ред и след това изпълнете останалите действия в същия ред отляво надясно.

Пример. Изчисли:

За да улесните решаването на примери, е полезно да знаете и използвате таблицата със степените, която можете да изтеглите безплатно от нашия уебсайт.

За да проверите резултатите си, можете да използвате калкулатора на нашия уебсайт "