Pierwiastek kwadratowy. Kompleksowy przewodnik (2019)

Gratulacje: dziś przyjrzymy się korzeniom - jednemu z najbardziej fascynujących tematów w 8 klasie. :)

Wiele osób myli korzenie nie dlatego, że są one skomplikowane (co w tym takiego skomplikowanego - kilka definicji i jeszcze kilka właściwości), ale dlatego, że w większości podręczników szkolnych korzenie są definiowane poprzez taką dżunglę, że tylko autorzy podręczników sami mogą zrozumieć ten tekst. I nawet wtedy tylko z butelką dobrej whisky. :)

Dlatego teraz podam najbardziej poprawną i najbardziej kompetentną definicję korzenia - jedyną, o której naprawdę powinieneś pamiętać. A potem wyjaśnię: po co to wszystko jest potrzebne i jak zastosować to w praktyce.

Ale najpierw zapamiętaj jedno ważny punkt, o którym wielu kompilatorów podręczników z jakiegoś powodu „zapomina”:

Pierwiastki mogą mieć stopień parzysty (nasz ulubiony $\sqrt(a)$, a także wszelkiego rodzaju $\sqrt(a)$, a nawet $\sqrt(a)$) i stopień nieparzysty (wszelkiego rodzaju $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$ itd.). A definicja pierwiastka stopnia nieparzystego różni się nieco od parzystego.

Prawdopodobnie 95% wszystkich błędów i nieporozumień związanych z korzeniami kryje się w tym pieprzonym „nieco innym”. Wyjaśnijmy więc raz na zawsze terminologię:

Definicja. Nawet root N z liczby $a$ jest dowolna nieujemne liczba $b$ jest taka, że ​​$((b)^(n))=a$. Pierwiastkiem nieparzystym tej samej liczby $a$ jest zazwyczaj dowolna liczba $b$, dla której zachodzi ta sama równość: $((b)^(n))=a$.

W każdym razie pierwiastek jest oznaczony w ten sposób:

\(A)\]

Liczba $n$ w takim zapisie nazywana jest wykładnikiem pierwiastkowym, a liczba $a$ nazywana jest wyrażeniem radykalnym. W szczególności dla $n=2$ dostajemy nasz „ulubiony” pierwiastek kwadratowy (swoją drogą, jest to pierwiastek stopnia parzystego), a dla $n=3$ pierwiastek sześcienny (stopień nieparzysty), czyli często spotykane również w problemach i równaniach.

Przykłady. Klasyczne przykłady pierwiastki kwadratowe:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]

Nawiasem mówiąc, $\sqrt(0)=0$ i $\sqrt(1)=1$. Jest to całkiem logiczne, ponieważ $((0)^(2))=0$ i $((1)^(2))=1$.

Korzenie sześcienne są również powszechne - nie trzeba się ich bać:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]

Cóż, kilka „egzotycznych przykładów”:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]

Jeśli nie rozumiesz, jaka jest różnica między stopniem parzystym a nieparzystym, przeczytaj jeszcze raz definicję. To jest bardzo ważne!

W międzyczasie rozważymy jedną nieprzyjemną cechę pierwiastków, z powodu której musieliśmy wprowadzić osobną definicję wykładników parzystych i nieparzystych.

Dlaczego w ogóle potrzebne są korzenie?

Po przeczytaniu definicji wielu uczniów zapyta: „Co palili matematycy, kiedy wymyślili coś takiego?” I naprawdę: po co w ogóle te wszystkie korzenie?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, wróćmy na chwilę do zajęcia podstawowe. Pamiętajcie: w tych odległych czasach, kiedy drzewa były bardziej zielone, a pierogi smaczniejsze, naszą główną troską było prawidłowe pomnożenie liczb. Cóż, coś w rodzaju „pięć na pięć – dwadzieścia pięć” i to wszystko. Ale możesz mnożyć liczby nie parami, ale trójkami, czwórkami i ogólnie całymi zbiorami:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Jednak nie o to chodzi. Sztuczka jest inna: matematycy to leniwi ludzie, więc trudno było im zapisać mnożenie dziesięciu piątek w ten sposób:

Dlatego wymyślili stopnie naukowe. Dlaczego nie zapisać liczby czynników jako indeksu górnego zamiast długiego ciągu znaków? Coś takiego:

To bardzo wygodne! Wszelkie obliczenia są znacznie skrócone i nie trzeba marnować stosu kartek pergaminu i zeszytów, aby zapisać jakieś 5183. Zapis ten nazwano potęgą liczby, znaleziono w nim szereg właściwości, ale szczęście okazało się krótkotrwałe.

Po hucznej imprezie przy piwie zorganizowanej tylko po to, by „odkryć” stopnie naukowe, jakiś szczególnie uparty matematyk nagle zapytał: „A co, jeśli znamy stopień liczby, ale sama liczba jest nieznana?” Rzeczywiście, jeśli wiemy, że pewna liczba $b$, powiedzmy, do potęgi 5 daje 243, to jak możemy zgadnąć, ile wynosi sama liczba $b$?

Problem ten okazał się znacznie bardziej globalny, niż mogłoby się wydawać na pierwszy rzut oka. Bo okazało się, że dla większości „gotowych” mocy nie ma takich „początkowych” liczb. Oceńcie sami:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Strzałka w prawo b=4\cdot 4\cdot 4\Strzałka w prawo b=4. \\ \end(align)\]

A co jeśli $((b)^(3))=50$? Okazuje się, że musimy znaleźć pewną liczbę, która pomnożona przez siebie trzykrotnie da nam 50. Ale co to za liczba? Jest wyraźnie większa od 3, gdyż 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. To znaczy ta liczba leży gdzieś pomiędzy trzema a czterema, ale nie zrozumiecie, ile ona jest równa.

Właśnie dlatego matematycy wymyślili $n$th pierwiastków. Właśnie dlatego wprowadzono radykalny symbol $\sqrt(*)$. Wyznaczyć samą liczbę $b$, która we wskazanym stopniu da nam znaną wcześniej wartość

\[\sqrt[n](a)=b\Strzałka w prawo ((b)^(n))=a\]

Nie twierdzę: często te pierwiastki można łatwo obliczyć - widzieliśmy kilka takich przykładów powyżej. Jednak w większości przypadków, jeśli pomyślisz o dowolnej liczbie, a następnie spróbujesz wyodrębnić z niej pierwiastek z dowolnego stopnia, czeka cię straszny kłopot.

Co tam jest! Nawet najprostszego i najbardziej znanego $\sqrt(2)$ nie można przedstawić w naszej zwykłej formie - jako liczby całkowitej lub ułamka. A jeśli wpiszesz tę liczbę do kalkulatora, zobaczysz to:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Jak widać, po przecinku znajduje się nieskończony ciąg liczb, które nie podlegają żadnej logice. Możesz oczywiście zaokrąglić tę liczbę, aby szybko porównać ją z innymi liczbami. Na przykład:

\[\sqrt(2)=1,4142...\około 1,4 \lt 1,5\]

Lub oto inny przykład:

\[\sqrt(3)=1,73205...\około 1,7 \gt 1,5\]

Ale wszystkie te zaokrąglenia są, po pierwsze, dość szorstkie; a po drugie trzeba też umieć pracować z wartościami przybliżonymi, bo inaczej można wyłapać masę nieoczywistych błędów (swoją drogą umiejętność porównywania i zaokrąglania obowiązkowy zaznaczone na profilu Unified State Examination).

Dlatego w poważnej matematyce nie można obejść się bez pierwiastków - są one tymi samymi równymi przedstawicielami zbioru wszystkich liczb rzeczywistych $\mathbb(R)$, podobnie jak znane nam od dawna ułamki zwykłe i liczby całkowite.

Oznacza to, że nie można przedstawić pierwiastka jako ułamka postaci $\frac(p)(q)$ dany korzeń nie jest liczbą wymierną. Takie liczby nazywane są niewymiernymi i nie można ich dokładnie przedstawić inaczej, jak za pomocą pierwiastka lub innych specjalnie do tego zaprojektowanych konstrukcji (logarytmy, potęgi, granice itp.). Ale o tym innym razem.

Rozważmy kilka przykładów, w których po wszystkich obliczeniach liczby niewymierne nadal pozostaną w odpowiedzi.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\około 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\około -1,2599... \\\end(align)\]

Naturalnie, wg wygląd root prawie niemożliwe jest odgadnięcie, które liczby pojawią się po przecinku. Można jednak liczyć na kalkulator, ale nawet najbardziej zaawansowany kalkulator daty podaje nam tylko kilka pierwszych cyfr liczby niewymiernej. Dlatego znacznie bardziej poprawne jest zapisanie odpowiedzi w postaci $\sqrt(5)$ i $\sqrt(-2)$.

Właśnie po to je wymyślono. Aby wygodnie nagrywać odpowiedzi.

Dlaczego potrzebne są dwie definicje?

Uważny czytelnik zapewne zauważył już, że wszystkie pierwiastki kwadratowe podane w przykładach pochodzą z liczb dodatnich. Cóż, w jako ostateczność od zera. Ale pierwiastki sześcienne można spokojnie wyodrębnić z absolutnie dowolnej liczby - dodatniej lub ujemnej.

Dlaczego to się dzieje? Spójrz na wykres funkcji $y=((x)^(2))$:

Harmonogram funkcja kwadratowa daje dwa pierwiastki: dodatni i ujemny

Spróbujmy obliczyć $\sqrt(4)$ korzystając z tego wykresu. W tym celu na wykresie rysuje się poziomą linię $y=4$ (zaznaczoną na czerwono), która przecina się z parabolą w dwóch punktach: $((x)_(1))=2$ i $((x )_(2)) =-2$. Jest to całkiem logiczne, ponieważ

Z pierwszą liczbą wszystko jest jasne - jest dodatnia, więc jest to pierwiastek:

Ale co w takim razie zrobić z drugim punktem? Jak cztery ma dwa pierwiastki na raz? Przecież jeśli podniesiemy liczbę −2 do kwadratu, otrzymamy także 4. Dlaczego więc nie napisać $\sqrt(4)=-2$? A dlaczego nauczyciele patrzą na takie posty jakby chcieli Cię zjeść? :)

To jest problem, jeśli żadnego nie zastosujesz dodatkowe warunki, wówczas poczwórna liczba będzie miała dwa pierwiastki kwadratowe - dodatni i ujemny. A każda liczba dodatnia również będzie miała dwie z nich. Ale liczby ujemne w ogóle nie będą miały pierwiastków - widać to na tym samym wykresie, ponieważ parabola nigdy nie spada poniżej osi y, tj. nie przyjmuje wartości ujemnych.

Podobny problem występuje w przypadku wszystkich pierwiastków z wykładnikiem parzystym:

1. Ściśle mówiąc, każda liczba dodatnia będzie miała dwa pierwiastki z wykładnikiem parzystym $n$;
2. Z liczb ujemnych pierwiastek z parzystymi $n$ w ogóle nie jest wyodrębniany.

Dlatego w definicji pierwiastka stopnia parzystego $n$ jest wyraźnie określone, że odpowiedź musi być liczbą nieujemną. W ten sposób pozbędziemy się niejasności.

Ale dla nieparzystych $n$ nie ma takiego problemu. Aby to zobaczyć, spójrzmy na wykres funkcji $y=((x)^(3))$:

Parabola sześcienna może przyjmować dowolną wartość, więc pierwiastek sześcienny można pobrać z dowolnej liczby

Z tego wykresu można wyciągnąć dwa wnioski:

1. Gałęzie paraboli sześciennej, w przeciwieństwie do zwykłej, idą do nieskończoności w obu kierunkach - zarówno w górę, jak i w dół. Dlatego niezależnie od tego, na jakiej wysokości narysujemy linię poziomą, linia ta z pewnością przetnie się z naszym wykresem. W związku z tym pierwiastek sześcienny można zawsze wyodrębnić z absolutnie dowolnej liczby;
2. Ponadto takie przecięcie zawsze będzie unikalne, więc nie musisz zastanawiać się, która liczba jest uważana za „poprawny” pierwiastek, a którą zignorować. Dlatego określenie pierwiastka dla stopnia nieparzystego jest prostsze niż dla stopnia parzystego (nie jest wymagana nieujemność).

Szkoda, że ​​te proste rzeczy większość podręczników nie jest wyjaśniona. Zamiast tego nasze mózgi zaczynają szybować, korzystając z różnego rodzaju pierwiastków arytmetycznych i ich właściwości.

Tak, nie kłócę się: musisz także wiedzieć, co to jest pierwiastek arytmetyczny. O tym szczegółowo opowiem w osobnej lekcji. Dzisiaj też o tym porozmawiamy, bo bez tego wszelkie przemyślenia na temat pierwiastków $n$-tej krotności byłyby niepełne.

Ale najpierw musisz jasno zrozumieć definicję, którą podałem powyżej. Inaczej przez natłok terminów w Twojej głowie zacznie się taki bałagan, że ostatecznie nic nie zrozumiesz.

Wszystko, co musisz zrobić, to zrozumieć różnicę między wskaźnikami parzystymi i nieparzystymi. Dlatego jeszcze raz zbierzmy wszystko, co naprawdę musisz wiedzieć o korzeniach:

1. Pierwiastek stopnia parzystego istnieje tylko z liczby nieujemnej i sam w sobie jest zawsze liczbą nieujemną. Dla liczb ujemnych taki pierwiastek jest nieokreślony.
2. Ale pierwiastek stopnia nieparzystego istnieje z dowolnej liczby i sama może być dowolną liczbą: dla liczb dodatnich jest dodatnia, a dla liczb ujemnych, jak wskazuje czapka, jest ujemna.

Czy to jest trudne? Nie, to nie jest trudne. Jest jasne? Tak, to całkowicie oczywiste! Zatem teraz poćwiczymy trochę obliczenia.

Podstawowe właściwości i ograniczenia

Jest dużo korzeni dziwne właściwości i ograniczenia – będzie o tym osobna lekcja. Dlatego teraz rozważymy tylko najważniejszą „sztuczkę”, która dotyczy tylko pierwiastków o parzystym indeksie. Zapiszmy tę właściwość w postaci wzoru:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\lewo| x\prawo|\]

Innymi słowy, jeśli podniesiemy liczbę do potęgi parzystej, a następnie wyodrębnimy pierwiastek z tej potęgi, nie otrzymamy pierwotnej liczby, ale jej moduł. Ten proste twierdzenie, co jest łatwe do udowodnienia (wystarczy osobno rozważyć nieujemne $x$, a następnie osobno rozważyć ujemne). Nauczyciele ciągle o tym mówią, jest to podane w każdym szkolnym podręczniku. Ale kiedy już dojdzie do decyzji irracjonalne równania(tj. równania zawierające pierwiastek), uczniowie jednomyślnie zapominają o tym wzorze.

Aby szczegółowo zrozumieć zagadnienie, zapomnijmy na chwilę o wszystkich wzorach i spróbujmy od razu obliczyć dwie liczby:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

To jest bardzo proste przykłady. Większość ludzi rozwiąże pierwszy przykład, ale wiele osób utknie na drugim. Aby rozwiązać takie bzdury bez problemów, zawsze rozważ procedurę:

1. Najpierw liczbę podnosi się do czwartej potęgi. Cóż, to dość łatwe. Otrzymasz nową liczbę, którą znajdziesz nawet w tabliczce mnożenia;
2. A teraz z tej nowej liczby należy wyodrębnić czwarty pierwiastek. Te. nie następuje żadna „redukcja” korzeni i mocy - są to działania sekwencyjne.

Przyjrzyjmy się pierwszemu wyrażeniu: $\sqrt(((3)^(4)))$. Oczywiście najpierw musisz obliczyć wyrażenie pod pierwiastkiem:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Następnie wyodrębniamy czwarty pierwiastek liczby 81:

Teraz zróbmy to samo z drugim wyrażeniem. Najpierw podnosimy liczbę −3 do potęgi czwartej, co wymaga pomnożenia jej przez samą siebie 4 razy:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ lewo(-3 \prawo)=81\]

Otrzymaliśmy liczbę dodatnią, ponieważ całkowita liczba minusów w iloczynie wynosi 4 i wszystkie się znoszą (w końcu minus za minus daje plus). Następnie ponownie wyodrębniamy korzeń:

W zasadzie tego wiersza nie można było napisać, ponieważ nie ma wątpliwości, że odpowiedź byłaby taka sama. Te. parzysty pierwiastek tej samej parzystej potęgi „spala” minusy i w tym sensie wynik jest nie do odróżnienia od zwykłego modułu:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \prawo|=3; \\ & \sqrt(((\lewo(-3 \prawo))^(4)))=\lewo| -3 \prawo|=3. \\ \end(align)\]

Obliczenia te są zgodne z definicją pierwiastka stopnia parzystego: wynik jest zawsze nieujemny, a pod znakiem pierwiastka też zawsze nie jest liczba ujemna. W przeciwnym razie korzeń jest niezdefiniowany.

Uwaga dotycząca procedury

1. Zapis $\sqrt(((a)^(2)))$ oznacza, że ​​najpierw podnosimy liczbę $a$ do kwadratu, a następnie obliczamy pierwiastek kwadratowy z otrzymanej wartości. Zatem możemy być pewni, że pod pierwiastkiem zawsze znajduje się liczba nieujemna, ponieważ w każdym przypadku $((a)^(2))\ge 0$;
2. Natomiast zapis $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ oznacza, że ​​najpierw obliczamy pierwiastek z pewnej liczby $a$, a dopiero potem podstawiamy wynik do kwadratu. Dlatego liczba $a$ w żadnym wypadku nie może być ujemna - tak jest obowiązkowy wymóg, zawarte w definicji.

Dlatego w żadnym wypadku nie należy bezmyślnie redukować korzeni i stopni, rzekomo „upraszczając” pierwotne wyrażenie. Ponieważ jeśli pierwiastek ma liczbę ujemną, a jego wykładnik jest parzysty, mamy mnóstwo problemów.

Jednak wszystkie te problemy dotyczą tylko parzystych wskaźników.

Usunięcie znaku minus spod znaku głównego

Oczywiście pierwiastki z wykładnikami nieparzystymi mają również swoją cechę, która w zasadzie nie istnieje w przypadku parzystych. Mianowicie:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Krótko mówiąc, możesz usunąć minus spod znaku pierwiastków stopnia nieparzystego. To jest bardzo przydatna właściwość, co pozwala „wyrzucić” wszystkie negatywy:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]

Ta prosta właściwość znacznie upraszcza wiele obliczeń. Teraz nie musisz się martwić: co by było, gdyby pod rdzeniem ukryte było wyrażenie negatywne, ale stopień u nasady okazał się równy? Wystarczy „wyrzucić” wszystkie minusy poza pierwiastki, po czym można je mnożyć przez siebie, dzielić i w ogóle robić wiele podejrzanych rzeczy, co w przypadku „klasycznych” korzeni z pewnością doprowadzi nas do błąd.

I tu pojawia się kolejna definicja – ta sama, od której w większości szkół rozpoczyna się naukę wyrażeń irracjonalnych. I bez których nasze rozumowanie byłoby niepełne. Poznać!

Pierwiastek arytmetyczny

Załóżmy na chwilę, że pod pierwiastkiem mogą znajdować się tylko liczby dodatnie lub w skrajnych przypadkach zero. Zapomnijmy o wskaźnikach parzystych/nieparzystych, zapomnijmy o wszystkich definicjach podanych powyżej - będziemy pracować tylko z liczbami nieujemnymi. Co wtedy?

A wtedy otrzymamy pierwiastek arytmetyczny - częściowo pokrywa się on z naszymi „standardowymi” definicjami, ale nadal się od nich różni.

Definicja. Pierwiastek arytmetyczny n$tego stopnia liczby nieujemnej $a$ jest liczbą nieujemną $b$ taką, że $((b)^(n))=a$.

Jak widać, parytet nas już nie interesuje. Zamiast tego pojawiło się nowe ograniczenie: wyrażenie radykalne jest teraz zawsze nieujemne i sam pierwiastek również jest nieujemny.

Aby lepiej zrozumieć, czym pierwiastek arytmetyczny różni się od zwykłego, spójrz na wykresy paraboli kwadratowej i sześciennej, które już znamy:

Obszar wyszukiwania pierwiastka arytmetycznego - liczby nieujemne

Jak widać od tej chwili interesują nas tylko te fragmenty wykresu, które znajdują się w pierwszej ćwiartce współrzędnych - gdzie współrzędne $x$ i $y$ są dodatnie (lub co najmniej zerowe). Nie trzeba już patrzeć na wskaźnik, aby zrozumieć, czy mamy prawo umieścić liczbę ujemną pod pierwiastkiem, czy nie. Ponieważ liczby ujemne nie są już w zasadzie brane pod uwagę.

Możesz zapytać: „No cóż, po co nam tak wykastrowana definicja?” Lub: „Dlaczego nie możemy obejść się przy standardowej definicji podanej powyżej?”

Cóż, podam tylko jedną właściwość, ze względu na którą nowa definicja staje się właściwa. Na przykład zasada potęgowania:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Uwaga: możemy podnieść wyrażenie pierwiastkowe do dowolnej potęgi i jednocześnie pomnożyć wykładnik pierwiastkowy przez tę samą potęgę - a wynik będzie taki sam! Oto przykłady:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\\end(align)\]

Więc o co chodzi? Dlaczego nie mogliśmy tego zrobić wcześniej? Dlatego. Rozważmy proste wyrażenie: $\sqrt(-2)$ - liczba ta jest w naszym klasycznym rozumieniu całkiem normalna, jednak z punktu widzenia pierwiastka arytmetycznego jest absolutnie nie do przyjęcia. Spróbujmy to przekonwertować:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Jak widać, w pierwszym przypadku usunęliśmy minus spod pierwiastka (mamy wszelkie prawo, ponieważ wskaźnik jest nieparzysty), a w drugim zastosowaliśmy powyższy wzór. Te. Z matematycznego punktu widzenia wszystko odbywa się zgodnie z regułami.

WTF?! Jak ta sama liczba może być zarówno dodatnia, jak i ujemna? Nie ma mowy. Tyle, że wzór na potęgowanie, który świetnie sprawdza się w przypadku liczb dodatnich i zera, w przypadku liczb ujemnych zaczyna dawać zupełną herezję.

Aby pozbyć się takiej dwuznaczności, wymyślono pierwiastki arytmetyczne. Im poświęcony jest osobny świetna lekcja, gdzie szczegółowo rozważamy wszystkie ich właściwości. Więc nie będziemy się teraz nad nimi rozwodzić - lekcja okazała się już za długa.

Pierwiastek algebraiczny: dla tych, którzy chcą wiedzieć więcej

Długo zastanawiałem się, czy umieścić ten temat w osobnym akapicie, czy nie. W końcu zdecydowałem się to tutaj zostawić. Materiał ten przeznaczony jest dla tych, którzy chcą jeszcze lepiej zrozumieć korzenie – już nie na przeciętnym poziomie „szkolnym”, ale na poziomie bliskim olimpiady.

Zatem: oprócz „klasycznej” definicji pierwiastka liczby $n$ i związanego z nią podziału na wykładniki parzyste i nieparzyste, istnieje bardziej „dorosła” definicja, która w ogóle nie zależy od parzystości i innych subtelności. Nazywa się to pierwiastkiem algebraicznym.

Definicja. Pierwiastek algebraiczny $n$-tego dowolnego $a$ jest zbiorem wszystkich liczb $b$ takich, że $((b)^(n))=a$. Nie ma ustalonego oznaczenia takich korzeni, więc po prostu postawimy myślnik na górze:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Podstawowa różnica od standardowa definicja podane na początku lekcji jest takie, że pierwiastek algebraiczny nie jest konkretną liczbą, ale zbiorem. A ponieważ pracujemy z liczbami rzeczywistymi, ten zestaw występuje tylko w trzech typach:

1. Pusty zestaw. Występuje, gdy trzeba znaleźć pierwiastek algebraiczny stopnia parzystego z liczby ujemnej;
2. Zestaw składający się z jednego pojedynczego elementu. Do tej kategorii należą wszystkie pierwiastki potęg nieparzystych, a także pierwiastki parzystych potęg zera;
3. Wreszcie zbiór może zawierać dwie liczby - te same $((x)_(1))$ i $((x)_(2))=-((x)_(1))$, które widzieliśmy na wykres funkcji kwadratowej. Odpowiednio taki układ jest możliwy tylko przy wyodrębnianiu pierwiastka stopnia parzystego z liczby dodatniej.

Ostatni przypadek zasługuje na bardziej szczegółowe rozpatrzenie. Policzmy kilka przykładów, aby zrozumieć różnicę.

Przykład. Oceń wyrażenia:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Rozwiązanie. Pierwsze wyrażenie jest proste:

\[\overline(\sqrt(4))=\lewo\( 2;-2 \prawo\)\]

Są to dwie liczby, które są częścią zestawu. Bo każdy z nich podniesiony do kwadratu daje czwórkę.

\[\overline(\sqrt(-27))=\lewo\( -3 \prawo\)\]

Widzimy tutaj zbiór składający się tylko z jednej liczby. Jest to całkiem logiczne, ponieważ wykładnik pierwiastkowy jest nieparzysty.

Na koniec ostatnie wyrażenie:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnic\]

Otrzymaliśmy pusty zestaw. Ponieważ nie ma ani jednej liczby rzeczywistej, która podniesiona do czwartej (tj. parzystej!) potęgi da nam liczbę ujemną –16.

Uwaga końcowa. Uwaga: to nie przypadek, że wszędzie zauważyłem, że pracujemy z liczbami rzeczywistymi. Ponieważ jest więcej Liczby zespolone— całkiem możliwe jest obliczenie $\sqrt(-16)$ i wielu innych dziwnych rzeczy.

Jednak we współczesnym kurs szkolny W matematyce liczby zespolone prawie nigdy nie są spotykane. Usunięto je z większości podręczników, ponieważ nasi urzędnicy uznali temat za „zbyt trudny do zrozumienia”.