Jak rozwiązywać równania z pierwiastkami w matematyce. Równania irracjonalne i metody ich rozwiązywania

Zmiany metodologiczne dla zajęć fakultatywnych

„Metody rozwiązywania równań niewymiernych”

WSTĘP

Proponowany przedmiot do wyboru „Metody rozwiązywania równań niewymiernych” przeznaczony jest dla uczniów 11 klasy szkoły ogólnokształcącej i ma charakter przedmiotowy, mający na celu poszerzenie wiedzy teoretycznej i praktycznej uczniów. Przedmiot do wyboru opiera się na wiedzy i umiejętnościach, które uczniowie zdobywają podczas nauki matematyki w szkole średniej.

Specyfika tego kursu polega na tym, że jest on przeznaczony przede wszystkim dla studentów, którzy chcą poszerzyć, pogłębić, usystematyzować, uogólnić swoją wiedzę matematyczną oraz poznać powszechne metody i techniki rozwiązywania równań niewymiernych. W programie znajdują się pytania wykraczające częściowo poza dotychczasowe programy matematyki oraz niestandardowe metody, które pozwalają skuteczniej rozwiązywać różnorodne problemy.

Większość zadań USE wymaga od absolwentów opanowania różnych metod rozwiązywania różnego rodzaju równań i ich układów. Materiał związany z równaniami i układami równań stanowi znaczną część szkolnego kursu matematyki. O trafności wyboru tematu zajęć fakultatywnych decyduje znaczenie tematu „Równania irracjonalne” w szkolnym kursie matematyki, a jednocześnie brak czasu na rozważenie niestandardowych metod i podejść do rozwiązywania irracjonalnych równania, które znajdują się w zadaniach grupy „C” Unified State Examination.

Oprócz podstawowego zadania nauczania matematyki – zapewnienia studentom silnego i świadomego opanowania systemu wiedzy i umiejętności matematycznych – ten przedmiot fakultatywny zapewnia kształtowanie trwałego zainteresowania przedmiotem, rozwój zdolności matematycznych, podnoszenie poziomu wiedzy matematycznej, kulturę matematyczną studentów, tworzącą podstawy do pomyślnego zdania Jednolitego Egzaminu Państwowego i kontynuowania nauki na uczelniach.

Cel kursu:

Zwiększ poziom zrozumienia i praktycznego szkolenia w rozwiązywaniu równań irracjonalnych;

Badanie technik i metod rozwiązywania równań niewymiernych;

Rozwijaj umiejętność analizowania, podkreślania najważniejszych rzeczy, tworzenia elementów twórczych poszukiwań w oparciu o techniki uogólniania;

Poszerzaj wiedzę uczniów na ten temat, doskonal swoje umiejętności rozwiązywania różnych problemów, aby pomyślnie zdać Unified State Exam.

Cele kursu:

Pogłębianie wiedzy na temat metod i technik rozwiązywania równań algebraicznych;

Uogólnianie i systematyzacja wiedzy podczas nauki w klasach 10-11 i przygotowania do jednolitego egzaminu państwowego;

Rozwój umiejętności samodzielnego zdobywania i stosowania wiedzy;

Zapoznanie studentów z pracą z literaturą matematyczną;

Rozwój logicznego myślenia uczniów, ich kultury algorytmicznej i intuicji matematycznej;

Podnoszenie kultury matematycznej ucznia.

Program zajęć do wyboru obejmuje studiowanie różnych metod i podejść do rozwiązywania równań irracjonalnych oraz rozwijanie praktycznych umiejętności w zakresie rozważanych zagadnień. Kurs trwa 17 godzin.

Program jest skomplikowany, wykracza poza zwykły tok studiów, sprzyja rozwojowi abstrakcyjnego myślenia i poszerza obszar poznania studenta. Jednocześnie zachowuje ciągłość z istniejącymi programami, będąc ich logiczną kontynuacją.

Plan edukacyjno-tematyczny

№p/s

Temat lekcji

Liczba godzin

Rozwiązywanie równań z uwzględnieniem zakresu dopuszczalnych wartości

Rozwiązywanie równań irracjonalnych poprzez podniesienie do potęg naturalnych

Rozwiązywanie równań poprzez wprowadzenie zmiennych pomocniczych (metoda zastępcza)

Rozwiązywanie równania z pierwiastkiem trzeciego stopnia.

Identyczne przekształcenia przy rozwiązywaniu równań niewymiernych

Niekonwencjonalne zadania. Zadania grupy „C” jednolitego egzaminu państwowego

Formy kontroli: testy domowe, praca niezależna, eseje i artykuły naukowe.

W wyniku studiowania tego przedmiotu do wyboru studenci powinni potrafić rozwiązywać różne równania irracjonalne, stosując standardowe i niestandardowe metody i techniki;

opanuj algorytm rozwiązywania standardowych równań irracjonalnych;

potrafić wykorzystać właściwości równań do rozwiązywania problemów niestandardowych;

potrafić dokonywać przekształceń tożsamościowych przy rozwiązywaniu równań;

dobrze rozumieć tematykę jednolitego egzaminu państwowego, główne metody ich rozwiązywania;

zdobyć doświadczenie w doborze metod rozwiązywania niestandardowych problemów.

GŁÓWNYM ELEMENTEM.

Nazywa się równania, w których nieznana wielkość znajduje się pod znakiem pierwiastka irracjonalny.

Do najprostszych równań niewymiernych zaliczają się równania postaci:

Główna idea rozwiązania równanie niewymierne polega na sprowadzeniu go do wymiernego równania algebraicznego, które albo jest równoważne pierwotnemu równaniu niewymiernemu, albo jest jego konsekwencją. Rozwiązując irracjonalne równania, zawsze mówimy o znalezieniu rzeczywistych pierwiastków.

Przyjrzyjmy się niektórym sposobom rozwiązywania równań irracjonalnych.

1. Rozwiązywanie równań niewymiernych z uwzględnieniem zakresu wartości dopuszczalnych (APV).

Obszar dopuszczalnych wartości równania irracjonalnego składa się z tych wartości niewiadomych, dla których wszystkie wyrażenia pod znakiem pierwiastka parzystego stopnia są nieujemne.

Czasami znajomość ODZ pozwala udowodnić, że równanie nie ma rozwiązań, a czasami pozwala znaleźć rozwiązania równania poprzez bezpośrednie podstawienie liczb z ODZ.

Przykład 1 . Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie . Po znalezieniu ODZ tego równania dochodzimy do wniosku, że ODZ pierwotnego równania jest zbiorem jednoelementowym. Zastępowaniex=2w tym równaniu dochodzimy do wniosku, żex=2jest pierwiastkiem pierwotnego równania.

Odpowiedź : 2 .

Przykład 2.

Równanie nie ma rozwiązań, ponieważ Dla każdej prawidłowej wartości zmiennej suma dwóch liczb nieujemnych nie może być ujemna.

Przykład 3.
+ 3 =
.

OZ:

Równanie ODZ jest zbiorem pustym.

Odpowiedź: równanie nie ma pierwiastków.

Przykład 4. 3
−4
−
=−(2+
).

OZ:

OZ:
. Sprawdzając, jesteśmy przekonani, że x=1 jest pierwiastkiem równania.

Odpowiedź 1.

Udowodnić, że równanie nie ma

korzenie.

1.
= 0.

2.
=1.

3. 5
.

4.
+
=2.

5.
=
.

Rozwiązać równanie.

1. .

2. = 0.

3.
= 92.

4. = 0.

5.
+
+(x+3)(2005−x)=0.

2. B podnosząc obie strony równania do potęgi naturalnej , czyli przejście z równania

(1)

do równania

. (2)

Następujące stwierdzenia są prawdziwe:

1) dla dowolnego równania (2) jest konsekwencją równania (1);

2) jeśli ( N jest liczbą nieparzystą), wówczas równania (1) i (2 ) są równoważne;

3) jeśli ( N jest liczbą parzystą), wówczas równanie (2) jest równoważne równaniu

, (3)

a równanie (3) jest równoważne zbiorowi równań

. (4)

W szczególności równanie

(5)

jest równoważne układowi równań (4).

Przykład 1. Rozwiązać równanie

.

Równanie jest równoważne systemowi

skąd wynika, że ​​x=1, a pierwiastek nie spełnia drugiej nierówności. Jednocześnie kompetentne rozwiązanie nie wymaga weryfikacji.

Odpowiedź:x=1.

Przykład 2. Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie pierwszego równania tego układu, które jest równoważne równaniu , dostajemy korzenie i . Jednak przy tych wartościach X nierówność nie jest spełniona i dlatego to równanie nie ma pierwiastków.

Odpowiedź: brak korzeni.

Przykład 3. Rozwiązać równanie

Wyodrębniając pierwszy rodnik otrzymujemy równanie

odpowiednik oryginału.

Podnosząc do kwadratu obie strony tego równania, ponieważ obie są dodatnie, otrzymujemy równanie

,

co jest konsekwencją pierwotnego równania. Podnosząc obie strony tego równania do kwadratu pod warunkiem, że , dochodzimy do równania

.

To równanie ma pierwiastki , . Pierwszy pierwiastek spełnia warunek początkowy, ale drugi nie.

Odpowiedź: x=2.

Jeśli równanie zawiera dwa lub więcej rodników, wówczas najpierw je wyodrębnia się, a następnie podnosi do kwadratu.

Przykład 1.

Wyodrębniając pierwszy rodnik, otrzymujemy równanie równoważne podanemu. Podnieśmy obie strony równania do kwadratu:

Po dokonaniu niezbędnych przekształceń wynikowe równanie podnosimy do kwadratu

Po sprawdzeniu zauważamy to

nie mieści się w dopuszczalnych wartościach.

Odpowiedź: 8.

Odpowiedź: 2

Odpowiedź: 3; 1.4.

3. Wiele równań irracjonalnych rozwiązuje się poprzez wprowadzenie zmiennych pomocniczych.

Wygodnym sposobem rozwiązywania równań irracjonalnych jest czasami metoda wprowadzenia nowej zmiennej lub „metoda wymiany” Metodę tę zwykle stosuje się, gdy w równaniu. jakieś wyrażenie pojawia się wielokrotnie, w zależności od nieznanej ilości. Wtedy warto oznaczyć to wyrażenie jakąś nową literą i spróbować najpierw rozwiązać równanie w odniesieniu do wprowadzonej niewiadomej, a następnie znaleźć pierwotną niewiadomą.

Pomyślny wybór nowej zmiennej sprawia, że ​​struktura równania staje się bardziej przejrzysta. Nowa zmienna jest czasem oczywista, czasem nieco zawoalowana, ale „wyczuwalna”, a czasem „ujawnia się” dopiero w procesie transformacji.

Przykład 1.

Pozwalać
t > 0, zatem

t =
,

t2 +5t-14=0,

t1 =-7, t2 =2. t=-7 nie spełnia zatem warunku t>0

,

x 2 -2x-5=0,

x 1 = 1-
, x2 =1+
.

Odpowiedź 1-
; 1+
.

Przykład 2. Rozwiąż niewymierne równanie

Wymiana:

Odwrotna wymiana: /

Odpowiedź:

Przykład 3. Rozwiązać równanie .

Dokonajmy zamian: , . Oryginalne równanie zostanie zapisane w postaci , z której to znajdziemy A = 4B I . Następnie podnieś obie strony równania do kwadratu otrzymujemy: Stąd X= 15. Pozostaje tylko sprawdzić:

- Prawidłowy!

Odpowiedź: 15.

Przykład 4. Rozwiązać równanie

Stawiając , otrzymujemy znacznie prostsze równanie irracjonalne. Podnieśmy obie strony równania do kwadratu: .

; ;

; ; , .

Sprawdzenie znalezionych wartości i podstawienie ich do równania pokazuje, że jest to pierwiastek równania, a jest to pierwiastek obcy.

Wracając do oryginalnej zmiennej X, otrzymujemy równanie, czyli równanie kwadratowe, rozwiązując które znajdujemy dwa pierwiastki: ,. Obydwa pierwiastki spełniają pierwotne równanie.

Odpowiedź: , .

Zastąpienie jest szczególnie przydatne, jeśli w wyniku tego uzyskuje się nową jakość, na przykład irracjonalne równanie zamienia się w racjonalne.

Przykład 6. Rozwiązać równanie.

Przepiszmy równanie w następujący sposób: .

Można to zauważyć, jeśli wprowadzimy nową zmienną , to równanie przyjmuje postać , gdzie jest zewnętrzny korzeń i .

Z równania otrzymujemy , .

Odpowiedź: , .

Przykład 7. Rozwiązać równanie .

Wprowadźmy nową zmienną, .

W rezultacie pierwotne irracjonalne równanie przyjmuje postać kwadratową

,

skąd, biorąc pod uwagę ograniczenie, otrzymujemy . Rozwiązując równanie, otrzymujemy pierwiastek. Odpowiedź: 2,5.

Zadania do samodzielnego rozwiązania.

1.
+
=
.

2.
+
=.

3.
.

5.
.

4.Sposób wprowadzania dwóch zmiennych pomocniczych.

Równania postaci (Tutaj A , B , C , D – jakieś liczby M , N – liczby naturalne) i wiele innych równań często można rozwiązać wprowadzając dwie niewiadome pomocnicze: i , gdzie i późniejsze przejście do równoważny układ równań wymiernych.

Przykład 1. Rozwiązać równanie.

Podniesienie obu stron tego równania do potęgi czwartej nie wróży niczego dobrego. Jeśli umieścimy , to pierwotne równanie zostanie przepisane w następujący sposób: . Ponieważ wprowadziliśmy dwie nowe niewiadome, musimy znaleźć inne powiązane równanie y I z. Aby to zrobić, podnosimy równość do potęgi czwartej i zauważamy, że . Musimy więc rozwiązać układ równań

Podnosząc do kwadratu otrzymujemy:

Po podstawieniu mamy: lub . Wtedy układ ma dwa rozwiązania: , ; , , a układ nie ma rozwiązań.

Pozostaje rozwiązać układ dwóch równań z jedną niewiadomą

i system Pierwszy z nich daje, drugi daje.

Odpowiedź: , .

Przykład 2.

Pozwalać

Odpowiedź:

5. Równania z pierwiastkiem trzeciego stopnia.
Przy rozwiązywaniu równań zawierających pierwiastki trzeciego stopnia przydatne może być dodawanie przez tożsamości:

Przykład 1. .
Podnieśmy obie strony tego równania do potęgi trzeciej i skorzystajmy z powyższej tożsamości:

Zauważ, że wyrażenie w nawiasach jest równe 1, co wynika z pierwotnego równania. Biorąc to pod uwagę i wprowadzając podobne terminy, otrzymujemy:
Otwórzmy nawiasy, dodajmy podobne wyrazy i rozwiążmy równanie kwadratowe. Jego korzenieI. Jeśli założymy (z definicji), że pierwiastki nieparzyste można również wyprowadzić z liczb ujemnych, to obie otrzymane liczby są rozwiązaniami pierwotnego równania.
Odpowiedź:.

6.Mnożenie obu stron równania przez wyrażenie sprzężone jednego z nich.

Czasami irracjonalne równanie można rozwiązać dość szybko, jeśli obie strony pomnoży się przez dobrze wybraną funkcję. Oczywiście, gdy obie strony równania zostaną pomnożone przez pewną funkcję, mogą pojawić się obce rozwiązania, które mogą okazać się zerami samej funkcji. Dlatego proponowana metoda wymaga obowiązkowych badań uzyskanych wartości.

Przykład 1. Rozwiązać równanie

Rozwiązanie: Wybierzmy funkcję

Pomnóżmy obie strony równania przez wybraną funkcję:

Przyprowadźmy podobne terminy i otrzymajmy równoważne równanie

Dodajmy pierwotne równanie i otrzymamy ostatnie

Odpowiedź: .

7. Identyczne przekształcenia przy rozwiązywaniu równań niewymiernych

Przy rozwiązywaniu równań niewymiernych często konieczne jest zastosowanie identycznych przekształceń związanych z użyciem znanych wzorów. Niestety, te działania są czasami tak samo niebezpieczne, jak podniesienie do równej potęgi – rozwiązania można zyskać lub stracić.

Przyjrzyjmy się kilku sytuacjom, w których występują te problemy, i dowiedzmy się, jak je rozpoznawać i im zapobiegać.

I. Przykład 1. Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie. Obowiązująca tutaj formuła to .

Trzeba tylko pomyśleć o bezpieczeństwie jego stosowania. Łatwo zauważyć, że jego lewa i prawa strona mają różne dziedziny definicji i że ta równość jest prawdziwa tylko pod warunkiem . Dlatego oryginalne równanie jest równoważne układowi

Rozwiązując równanie tego układu, otrzymujemy pierwiastki i . Drugi pierwiastek nie spełnia zbioru nierówności układu i dlatego jest obcym pierwiastkiem pierwotnego równania.

Odpowiedź: -1 .

II.Następną niebezpieczną transformację przy rozwiązywaniu równań irracjonalnych określa wzór.

Jeśli użyjesz tej formuły od lewej do prawej, ODZ rozszerzy się i będziesz mógł pozyskać rozwiązania innych firm. Rzeczywiście, po lewej stronie obie funkcje muszą być nieujemne; a po prawej stronie ich iloczyn musi być nieujemny.

Spójrzmy na przykład, w którym problem został zaimplementowany przy użyciu formuły.

Przykład 2. Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie. Spróbujmy rozwiązać to równanie poprzez rozkład na czynniki

Zauważ, że w przypadku tego działania rozwiązanie okazało się utracone, ponieważ pasuje do pierwotnego równania i nie pasuje już do otrzymanego: nie ma to sensu dla . Dlatego lepiej jest rozwiązać to równanie metodą zwykłego podniesienia do kwadratu

Rozwiązując równanie tego układu, otrzymujemy pierwiastki i . Obydwa pierwiastki spełniają nierówność systemu.

Odpowiedź: , .

III Istnieje jeszcze bardziej niebezpieczne działanie - redukcja przez wspólny czynnik.

Przykład 3. Rozwiązać równanie .

Błędne rozumowanie: zmniejsz obie strony równania o , otrzymamy .

Nie ma nic bardziej niebezpiecznego i złego niż takie działanie. Po pierwsze, utracone zostało odpowiednie rozwiązanie pierwotnego równania; po drugie, zakupiono dwa rozwiązania firm trzecich. Okazuje się, że nowe równanie nie ma nic wspólnego z pierwotnym! Podajmy prawidłowe rozwiązanie.

Rozwiązanie. Przesuńmy wszystkie wyrazy na lewą stronę równania i rozłóżmy je na czynniki

.

To równanie jest równoważne systemowi

który ma unikalne rozwiązanie.

Odpowiedź: 3 .

WNIOSEK.

W ramach zajęć fakultatywnych prezentowane są niestandardowe techniki rozwiązywania złożonych problemów, które skutecznie rozwijają logiczne myślenie i umiejętność znalezienia spośród wielu rozwiązań tego, które będzie dla studenta wygodne i racjonalne. Przedmiot ten wymaga od studentów dużo samodzielnej pracy, pomaga przygotować ich do kontynuowania nauki oraz podnosi poziom kultury matematycznej.

W pracy omówiono główne metody rozwiązywania równań niewymiernych, niektóre podejścia do rozwiązywania równań wyższego stopnia, których zastosowanie zakłada się przy rozwiązywaniu zadań Unified State Examination, a także podczas wchodzenia na uniwersytety i kontynuowania edukacji matematycznej. Ujawniono także treść podstawowych pojęć i twierdzeń związanych z teorią rozwiązywania równań niewymiernych. Po ustaleniu najpowszechniejszej metody rozwiązywania równań zidentyfikowaliśmy jej zastosowanie w sytuacjach standardowych i niestandardowych. Ponadto rozważono typowe błędy przy dokonywaniu przekształceń tożsamości oraz sposoby ich przezwyciężania.

Po ukończeniu kursu studenci będą mieli możliwość opanowania różnych metod i technik rozwiązywania równań, jednocześnie ucząc się systematyzowania i uogólniania informacji teoretycznych, samodzielnego poszukiwania rozwiązań określonych problemów i w związku z tym komponowania szeregu problemów i ćwiczeń na te tematy. Wybór złożonego materiału pomoże uczniom wyrazić się w działaniach badawczych.

Pozytywną stroną kursu jest możliwość dalszego zastosowania przez studentów studiowanego materiału przy zdaniu jednolitego egzaminu państwowego i wejściu na uniwersytety.

Negatywną stroną jest to, że nie każdy student jest w stanie opanować wszystkie techniki tego kursu, nawet gdyby chciał, ze względu na trudność większości rozwiązywanych problemów.

LITERATURA:

Sharygin I.F. „Matematyka dla rozpoczynających naukę na uniwersytetach” – wyd. 3, – M.: Bustard, 2000.

Równania i nierówności. Podręcznik referencyjny./ Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. –M.: Egzamin, 1998.

Czerkasow O.Yu., Jakuszew A.G. „Matematyka: intensywny kurs przygotowujący do egzaminu”. – wyd. 8, wyd. i dodatkowe – M.:Iris, 2003. – (korepetytor domowy)

Balayan E.N. Kompleksowe ćwiczenia i warianty zadań szkoleniowych do Jednolitego Egzaminu Państwowego z matematyki. Rostów nad Donem: Wydawnictwo Phoenix, 2004.

Skanavi M.I. „Zbiór problemów z matematyki dla osób rozpoczynających naukę na uniwersytetach”. - M., „Szkoła Wyższa”, 1998.

Igusman OS „Matematyka na egzaminie ustnym”. - M., Irys, 1999.

Materiały egzaminacyjne przygotowujące do egzaminu Unified State Exam – 2008 – 2012.

V.V. Kochagin, M.N. Kochagina „Ujednolicony egzamin państwowy - 2010. Matematyka. Korepetytor” Moskwa „Oświecenie” 2010

V.A.Gusev, A.G.Mordkovich „Matematyka. Materiały referencyjne” Moskwa „Oświecenie” 1988

Każde nowe działanie w matematyce natychmiast generuje jego przeciwieństwo. Dawno, dawno temu starożytni Grecy odkryli, że kwadratowy kawałek ziemi o długości 2 metrów i szerokości 2 metrów będzie miał powierzchnię 2*2 = 4 metry kwadratowe (w dalszej części będzie oznaczane m^2). Przeciwnie, gdyby Grek wiedział, że jego działka jest kwadratowa i ma powierzchnię 4 m^2, skąd miałby wiedzieć, jaka jest długość i szerokość jego działki? Wprowadzono operację odwrotną do kwadratury i nazwano ją ekstrakcją pierwiastkową. Ludzie zaczęli rozumieć, że 2 do kwadratu (2^2) równa się 4. I odwrotnie, pierwiastek kwadratowy z 4 (zwany dalej √(4)) będzie równy dwa. Modele stały się bardziej złożone, a zapisy opisujące procesy z korzeniami również stały się bardziej złożone. Pytanie pojawiało się wielokrotnie: jak rozwiązać równanie z pierwiastkiem.

Niech pewna wartość x, pomnożona raz przez siebie, da 9. Można to zapisać jako x*x=9. Lub przez stopień: x^2=9. Aby znaleźć x, trzeba wziąć pierwiastek z 9, który w pewnym stopniu jest już równaniem z pierwiastkiem: x=√(9) . Korzeń można wyodrębnić ustnie lub za pomocą kalkulatora. Następnie powinniśmy rozważyć problem odwrotny. Pewna wielkość, po wyciągnięciu z niej pierwiastka kwadratowego, daje wartość 7. Jeśli zapiszemy to w postaci równania niewymiernego, otrzymamy: √(x) = 7. Aby rozwiązać to zadanie, należy podnieść do kwadratu obie strony wyrażenia. Biorąc pod uwagę, że √(x) *√(x) =x, okazuje się, że x = 49. Korzeń jest natychmiast gotowy w czystej postaci. Następnie powinniśmy przyjrzeć się bardziej złożonym przykładom równań z pierwiastkami.

Odejmijmy 5 od pewnej wielkości i podnieśmy wyrażenie do potęgi 1/2. W rezultacie otrzymano liczbę 3. Teraz warunek ten należy zapisać w postaci równania: √(x-5) =3. Następnie należy pomnożyć każdą część równania przez siebie: x-5 = 3. Po podniesieniu do drugiej potęgi wyrażenie zostało uwolnione od pierwiastków. Teraz warto rozwiązać najprostsze równanie liniowe, przesuwając piątkę na prawą stronę i zmieniając jej znak. x = 5+3. x = 8. Niestety nie wszystkie procesy życiowe można opisać takimi prostymi równaniami. Bardzo często można znaleźć wyrażenia z kilkoma rodnikami, czasami stopień pierwiastka może być wyższy niż drugi. Nie ma jednego algorytmu rozwiązania dla takich tożsamości. Warto szukać specjalnego podejścia do każdego równania. Podano przykład, w którym równanie z pierwiastkiem ma trzeci stopień.

Pierwiastek sześcienny będzie oznaczony przez 3√. Znajdź objętość pojemnika w kształcie sześcianu o boku 5 metrów. Niech objętość będzie wynosić x m^3. Wtedy pierwiastek sześcienny objętości będzie równy boku sześcianu i równy pięciu metrom. Wynikowe równanie to: 3√(x) =5. Aby go rozwiązać, musisz podnieść obie części do trzeciej potęgi, x = 125. Odpowiedź: 125 metrów sześciennych. Poniżej znajduje się przykład równania z sumą pierwiastków. √(x) +√(x-1) =5. Najpierw musisz wyrównać obie części. W tym celu warto zapamiętać skrócony wzór na mnożenie kwadratu sumy: (a+b) ^2=a^2+2*ab+b^2. Stosując to do równania, otrzymujemy: x + 2*√(x) *√(x-1) + x-1 = 25. Następnie pierwiastki pozostawiamy po lewej stronie, a wszystko inne przenosimy na prawą stronę : 2*√(x) *√ (x-1) = 26 - 2x. Wygodnie jest podzielić obie strony wyrażenia przez 2: √((x) (x-1)) = 13 - x. Otrzymuje się prostsze irracjonalne równanie.

Następnie należy ponownie podnieść obie strony do kwadratu: x*(x-1) = 169 - 26x + x^2. Należy otworzyć nawiasy i wprowadzić podobne wyrazy: x^2 - x = 169 - 26x + x^2. Drugi stopień znika, stąd 25x = 169. x = 169/25 = 6,6. Sprawdzając, podstawiając otrzymany pierwiastek do pierwotnego równania: √(6,6) +√(6,6-1) = 2,6 + √(5,6) = 2,6 + 2,4 = 5, można uzyskać satysfakcjonującą odpowiedź. Bardzo ważne jest również, aby zrozumieć, że wyrażenie z pierwiastkiem parzystego stopnia nie może być ujemne. Rzeczywiście, mnożąc dowolną liczbę przez samą siebie parzystą liczbę razy, nie można uzyskać wartości mniejszej niż zero. Dlatego równań takich jak √(x^2+7x-11) = -3 można bezpiecznie nie rozwiązać, ale napisać, że równanie nie ma pierwiastków. Jak wspomniano powyżej, rozwiązywanie równań z pierwiastkami może przybierać różne formy.

Prosty przykład równania, w którym konieczna jest zmiana zmiennych. √(y) - 5*4√(y) +6 = 0, gdzie 4√(y) jest czwartym pierwiastkiem z y. Proponowany zamiennik wygląda w następujący sposób: x = 4√(y) . Po wykonaniu tej czynności otrzymujemy: x^2 - 5x + 6 = 0. Otrzymujemy wynikowe równanie kwadratowe. Jego wyróżnik: 25 - 4*6 = 25 - 24 = 1. Pierwszy pierwiastek x1 będzie równy (5 + √1) /2 = 6/2 = 3. Drugi pierwiastek x2 = (5 - √1) / 2 = 4/ 2 = 2. Pierwiastki można także znaleźć korzystając z twierdzenia Viety. Znaleziono korzenie, należy przeprowadzić odwrotną wymianę. 4√(y) = 3, stąd y1 = 1,6. Również 4√(y) = 2, biorąc 4. pierwiastek, okazuje się, że y2 = 1,9. Wartości obliczone za pomocą kalkulatora. Ale nie musisz ich robić, pozostawiając odpowiedź w postaci radykałów.

Równania kwadratowe uczymy się w ósmej klasie, więc nie ma tu nic skomplikowanego. Umiejętność ich rozwiązywania jest absolutnie konieczna.

Równanie kwadratowe to równanie w postaci ax 2 + bx + c = 0, gdzie współczynniki a, b i c są liczbami dowolnymi, a a ≠ 0.

Przed przestudiowaniem konkretnych metod rozwiązywania należy pamiętać, że wszystkie równania kwadratowe można podzielić na trzy klasy:

1. Nie mają korzeni;
2. Mają dokładnie jeden korzeń;
3. Mają dwa różne korzenie.

Jest to istotna różnica między równaniami kwadratowymi a równaniami liniowymi, w których pierwiastek zawsze istnieje i jest unikalny. Jak ustalić, ile pierwiastków ma równanie? Jest w tym coś cudownego - dyskryminujący.

Dyskryminujący

Niech zostanie podane równanie kwadratowe ax 2 + bx + c = 0. Wtedy wyróżnikiem będzie po prostu liczba D = b 2 − 4ac.

Tę formułę musisz znać na pamięć. Skąd pochodzi, nie jest teraz istotne. Ważna jest jeszcze jedna rzecz: po znaku dyskryminatora można określić, ile pierwiastków ma równanie kwadratowe. Mianowicie:

1. Jeśli D< 0, корней нет;
2. Jeśli D = 0, istnieje dokładnie jeden pierwiastek;
3. Jeśli D > 0, będą dwa pierwiastki.

Uwaga: dyskryminator wskazuje liczbę korzeni, a nie ich znaki, jak z jakiegoś powodu wielu ludzi uważa. Spójrz na przykłady, a sam wszystko zrozumiesz:

Zadanie. Ile pierwiastków mają równania kwadratowe:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Wypiszmy współczynniki pierwszego równania i znajdźmy dyskryminator:
a = 1, b = -8, c = 12;
re = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Zatem dyskryminator jest dodatni, więc równanie ma dwa różne pierwiastki. Drugie równanie analizujemy w podobny sposób:
a = 5; b = 3; c = 7;
re = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

Dyskryminator jest ujemny, nie ma pierwiastków. Ostatnie równanie jakie pozostało to:
a = 1; b = -6; c = 9;
re = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

Dyskryminator wynosi zero - pierwiastek będzie wynosić jeden.

Należy pamiętać, że dla każdego równania zapisano współczynniki. Tak, jest długa, tak, jest nudna, ale nie pomylisz szans i nie popełnisz głupich błędów. Wybierz dla siebie: szybkość lub jakość.

Nawiasem mówiąc, jeśli opanujesz tę czynność, po pewnym czasie nie będziesz musiał zapisywać wszystkich współczynników. Takie operacje będziesz wykonywać w swojej głowie. Większość ludzi zaczyna to robić gdzieś po 50-70 rozwiązanych równaniach - ogólnie rzecz biorąc, nie tak dużo.

Pierwiastki równania kwadratowego

Przejdźmy teraz do samego rozwiązania. Jeżeli dyskryminator D > 0, pierwiastki można znaleźć korzystając ze wzorów:

Podstawowy wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Gdy D = 0, możesz użyć dowolnego z tych wzorów - otrzymasz tę samą liczbę, która będzie odpowiedzią. Wreszcie, jeśli D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12 x + 36 = 0.

Pierwsze równanie:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ za = 1; b = -2; c = -3;
re = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ równanie ma dwa pierwiastki. Znajdźmy je:

Drugie równanie:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ za = −1; b = -2; c = 15;
re = (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ równanie ponownie ma dwa pierwiastki. Znajdźmy je

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Wreszcie trzecie równanie:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
re = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ równanie ma jeden pierwiastek. Można zastosować dowolną formułę. Na przykład pierwszy:

Jak widać na przykładach, wszystko jest bardzo proste. Jeśli znasz wzory i potrafisz liczyć, nie będzie żadnych problemów. Najczęściej błędy pojawiają się przy podstawieniu do wzoru współczynników ujemnych. Tutaj znowu pomoże opisana powyżej technika: spójrz na formułę dosłownie, zapisz każdy krok - a już wkrótce pozbędziesz się błędów.

Niekompletne równania kwadratowe

Zdarza się, że równanie kwadratowe różni się nieco od tego, co podano w definicji. Na przykład:

1. x 2 + 9 x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

Łatwo zauważyć, że w równaniach tych brakuje jednego z członów. Takie równania kwadratowe są jeszcze łatwiejsze do rozwiązania niż standardowe: nie wymagają nawet obliczania dyskryminatora. Wprowadźmy więc nową koncepcję:

Równanie ax 2 + bx + c = 0 nazywa się niepełnym równaniem kwadratowym, jeśli b = 0 lub c = 0, tj. współczynnik zmiennej x lub elementu swobodnego jest równy zero.

Oczywiście bardzo trudny przypadek jest możliwy, gdy oba te współczynniki są równe zero: b = c = 0. W tym przypadku równanie przyjmuje postać ax 2 = 0. Oczywiście takie równanie ma jeden pierwiastek: x = 0.

Rozważmy pozostałe przypadki. Niech b = 0, wówczas otrzymamy niepełne równanie kwadratowe o postaci ax 2 + c = 0. Przekształćmy to trochę:

Ponieważ arytmetyczny pierwiastek kwadratowy istnieje tylko z liczby nieujemnej, ostatnia równość ma sens tylko dla (−c /a) ≥ 0. Wniosek:

1. Jeżeli w niepełnym równaniu kwadratowym postaci ax 2 + c = 0 jest spełniona nierówność (−c /a) ≥ 0, to będą dwa pierwiastki. Wzór podano powyżej;
2. Jeśli (-c /a)< 0, корней нет.

Jak widać, dyskryminator nie był wymagany — w niekompletnych równaniach kwadratowych nie ma żadnych skomplikowanych obliczeń. Właściwie nie trzeba nawet pamiętać nierówności (−c /a) ≥ 0. Wystarczy wyrazić wartość x 2 i zobaczyć, co jest po drugiej stronie znaku równości. Jeśli jest liczba dodatnia, będą dwa pierwiastki. Jeśli będzie ujemny, w ogóle nie będzie korzeni.

Przyjrzyjmy się teraz równaniom postaci ax 2 + bx = 0, w których element wolny jest równy zero. Tutaj wszystko jest proste: zawsze będą dwa korzenie. Wystarczy rozłożyć wielomian na czynniki:

Wyjmując wspólny czynnik z nawiasów

Iloczyn wynosi zero, gdy co najmniej jeden z czynników wynosi zero. To stąd pochodzą korzenie. Podsumowując, spójrzmy na kilka z tych równań:

Zadanie. Rozwiązuj równania kwadratowe:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Nie ma korzeni, bo kwadrat nie może być równy liczbie ujemnej.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Równanie niewymierne to dowolne równanie zawierające funkcję pod znakiem pierwiastka. Na przykład:

Takie równania są zawsze rozwiązywane w 3 krokach:

1. Odizoluj korzeń. Innymi słowy, jeśli na lewo od znaku równości oprócz pierwiastka znajdują się inne liczby lub funkcje, wszystko to należy przesunąć w prawo, zmieniając znak. W takim przypadku po lewej stronie powinien pozostać tylko pierwiastek - bez żadnych współczynników.
2. 2. Podnieś obie strony równania do kwadratu. Jednocześnie pamiętamy, że zakres wartości pierwiastka to wszystkie liczby nieujemne. Dlatego funkcja po prawej stronie irracjonalne równanie musi być również nieujemna: g(x) ≥ 0.
3. Trzeci krok logicznie wynika z drugiego: musisz przeprowadzić kontrolę. Faktem jest, że w drugim kroku moglibyśmy mieć dodatkowe korzenie. A żeby je odciąć, trzeba podstawić powstałe liczby kandydujące do pierwotnego równania i sprawdzić: czy rzeczywiście otrzymano poprawną równość liczbową?

Rozwiązywanie równania niewymiernego

Przyjrzyjmy się naszemu irracjonalnemu równaniu podanemu na samym początku lekcji. Tutaj pierwiastek jest już izolowany: na lewo od znaku równości nie ma nic oprócz korzenia. Kwadrat po obu stronach:

2x 2 - 14x + 13 = (5 - x ) 2
2x 2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x 2
x 2 - 4x - 12 = 0

Rozwiązujemy powstałe równanie kwadratowe poprzez dyskryminator:

re = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 1 (-12) = 16 + 48 = 64
x 1 = 6; x 2 = −2

Pozostaje tylko zastąpić te liczby pierwotnym równaniem, tj. wykonać kontrolę. Ale nawet tutaj możesz postąpić właściwie, aby uprościć ostateczną decyzję.

Jak uprościć rozwiązanie

Zastanówmy się: po co w ogóle sprawdzamy na końcu rozwiązywania irracjonalnego równania? Chcemy mieć pewność, że gdy podstawimy nasze pierwiastki, po prawej stronie znaku równości będzie liczba nieujemna. Przecież wiemy już na pewno, że po lewej stronie znajduje się liczba nieujemna, ponieważ arytmetyczny pierwiastek kwadratowy (dlatego nasze równanie nazywa się niewymiernym) z definicji nie może być mniejszy od zera.

Dlatego jedyne, co musimy sprawdzić, to to, że funkcja g (x) = 5 − x, która znajduje się na prawo od znaku równości, jest nieujemna:

g(x) ≥ 0

Podstawiamy nasze pierwiastki do tej funkcji i otrzymujemy:

g (x 1) = g (6) = 5 - 6 = -1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Z uzyskanych wartości wynika, że ​​pierwiastek x 1 = 6 nam nie odpowiada, ponieważ podstawiając prawą stronę pierwotnego równania otrzymujemy liczbę ujemną. Ale pierwiastek x 2 = −2 jest dla nas całkiem odpowiedni, ponieważ:

1. Pierwiastek ten jest rozwiązaniem równania kwadratowego uzyskanego przez podniesienie obu stron irracjonalne równanie w kwadrat.
2. Podstawiając pierwiastek x 2 = −2, prawa strona pierwotnego równania irracjonalnego zamienia się w liczbę dodatnią, tj. zakres wartości pierwiastka arytmetycznego nie jest naruszony.

Oto cały algorytm! Jak widać, rozwiązywanie równań z pierwiastkami nie jest takie trudne. Najważniejsze, aby nie zapomnieć sprawdzić otrzymanych korzeni, w przeciwnym razie istnieje bardzo duże prawdopodobieństwo otrzymania niepotrzebnych odpowiedzi.