n fok gyöke: alapdefiníciók. Szibériai nagylelkű lélekkel

• Aritmetikai gyök természetes fok n>=2 egy nem negatív számból és valamilyen nem negatív számot hívunk meg negatív szám n hatványra emelve az a számot kapjuk.

Bizonyítható, hogy bármely nemnegatív a és természetes n esetén az x^n=a egyenletnek egyetlen nemnegatív gyöke lesz. Ezt a gyökét nevezzük az a szám n-edik fokának aritmetikai gyökének.

Egy szám n-edik fokának számtani gyöke van jelölve a következő módon n√a. Az a számot ebben az esetben radikális kifejezésnek nevezzük.

A másodfokú számtani gyökeret négyzetgyöknek, a harmadfokú számtani gyökeret pedig kockagyöknek nevezzük.

Az n-edik fokú számtani gyök alapvető tulajdonságai

• 1. (n√a)^n = a.

Például (5√2)^5 = 2.

Ez a tulajdonság közvetlenül következik az n-edik számtani gyök definíciójából.

Ha a nagyobb vagy egyenlő nullánál, b nagyobb nullánál, és n, m néhány egész számokúgy, hogy n nagyobb vagy egyenlő, mint 2 és m nagyobb vagy egyenlő, mint 2, akkor a következő tulajdonságok teljesülnek:

• 2. n√(a*b)= n√a*n√b.

Például 4√27 * 4√3 = 4√(27*3) = 4√81 =4√(3^4) = 3.

• 3. n√(a/b) = (n√a)/(n√b).

Például 3√(256/625) :3√(4/5) = 3√((256/625) : (4/5)) = (3√(64))/(3√(125)) = 4/5.

• 4. (n√a)^m = n√(a^m).

Például 7√(5^21) = 7√((5^7)^3)) = (7√(5^7))^3 = 5^3 = 125.

• 5. m√(n√a) = (n*m) √a.

Például 3√(4√4096) = 12√4096 = 12√(2^12) = 2.

Figyeljük meg, hogy a 2. tulajdonságban a b szám lehet nulla, a 4. tulajdonságban pedig az m szám tetszőleges egész szám lehet, feltéve, hogy a>0.

A második tulajdonság igazolása

Mind az utolsó négy tulajdonság hasonló módon igazolható, ezért csak a második bizonyítására szorítkozunk: n√(a*b)= n√a*n√b.

Az aritmetikai gyök definíciójával bebizonyítjuk, hogy n√(a*b)= n√a*n√b.

Ehhez két tényt bizonyítunk: n√a*n√b. Nagyobb vagy egyenlő nullánál, és hogy (n√a*n√b.)^n = ab.

• 1. n√a*n√b nagyobb vagy egyenlő nullával, mivel a és b is nagyobb vagy egyenlő nullával.
• 2. (n√a*n√b)^n = a*b, mivel (n√a*n√b)^n = (n√a)^n *(n√b)^n = a* b .

Q.E.D. Tehát az ingatlan igaz. Ezeket a tulajdonságokat gyakran kell használni az aritmetikai gyököket tartalmazó kifejezések egyszerűsítésekor.

Gratulálunk: ma a gyökerekkel fogunk foglalkozni – a 8. osztály egyik legelgondolkodtatóbb témája. :)

Sokan összezavarodnak a gyökerekkel kapcsolatban, nem azért, mert bonyolultak (mi olyan bonyolult ebben - néhány definíció és még néhány tulajdonság), hanem azért, mert a legtöbb iskolai tankönyvben a gyökerek olyan dzsungelen keresztül vannak meghatározva, hogy csak a tankönyvek szerzői. maguk is megérthetik ezt az írást. És akkor is csak egy üveg jó whiskyvel. :)

Ezért most megadom a gyökér leghelyesebb és legkompetensebb meghatározását - az egyetlent, amelyre valóban emlékeznie kell. És akkor elmagyarázom: miért van szükség erre, és hogyan kell alkalmazni a gyakorlatban.

De először emlékezz egyet fontos pont, amelyről sok tankönyv-összeállító valamiért „elfelejti”:

A gyökerek lehetnek páros fokozatúak (kedvenc $\sqrt(a)$, valamint mindenféle $\sqrt(a)$ és páros $\sqrt(a)$) és páratlan fokos (mindenféle $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$ stb.). A páratlan fok gyökének meghatározása pedig némileg eltér a párostól.

Valószínűleg a gyökerekkel kapcsolatos hibák és félreértések 95%-a ebben a kibaszott „kicsit más”-ban rejtőzik. Tehát egyszer s mindenkorra tisztázzuk a terminológiát:

Meghatározás. Még root n a $a$ számból bármely nem negatív a $b$ szám olyan, hogy $((b)^(n))=a$. És ugyanannak az $a$ számnak a páratlan gyöke általában bármely $b$ szám, amelyre ugyanaz az egyenlőség vonatkozik: $((b)^(n))=a$.

Mindenesetre a gyökér jelölése a következő:

\(a)\]

Az ilyen jelölésben szereplő $n$ számot gyökérkitevőnek, az $a$ számot pedig gyökkifejezésnek nevezzük. Konkrétan $n=2$ esetén megkapjuk a „kedvenc” négyzetgyökünket (ez egyébként páros fok gyöke), $n=3$ esetén pedig egy köbgyököt (páratlan fok), ami problémákban és egyenletekben is gyakran megtalálható.

Példák. Klasszikus példák négyzetgyök:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(igazítás)\]

Egyébként $\sqrt(0)=0$, és $\sqrt(1)=1$. Ez teljesen logikus, mivel $((0)^(2))=0$ és $((1)^(2))=1$.

A kockagyökerek is gyakoriak - nem kell félni tőlük:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(igazítás)\]

Nos, néhány „egzotikus példa”:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(igazítás)\]

Ha nem érti, mi a különbség a páros és a páratlan fok között, olvassa el újra a definíciót. Ez nagyon fontos!

Addig is megvizsgáljuk a gyökök egy kellemetlen tulajdonságát, ami miatt külön definíciót kellett bevezetnünk a páros és páratlan kitevőkre.

Miért van szükség egyáltalán a gyökerekre?

A definíció elolvasása után sok diák megkérdezi: „Mit dohányoztak a matematikusok, amikor ezt kitalálták?” És tényleg: miért van egyáltalán szükség ezekre a gyökerekre?

A kérdés megválaszolásához térjünk vissza egy pillanatra általános osztályok. Ne feledjük: azokban a távoli időkben, amikor zöldebbek voltak a fák és finomabbak a gombócok, a fő gondunk az volt, hogy helyesen szorozzuk meg a számokat. Nos, valami olyasmi, hogy „öt-öt – huszonöt”, ez minden. De a számokat nem párban, hanem hármasban, négyesben és általában egész halmazban szorozhatja:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Azonban nem ez a lényeg. A trükk más: a matematikusok lusta emberek, ezért nehezen írták le a tíz ötös szorzását így:

Ezért jöttek a diplomák. Miért nem írja fel a faktorok számát felső indexként a hosszú karakterlánc helyett? Valami ilyesmi:

Nagyon kényelmes! Minden számítás jelentősen lecsökken, és nem kell egy csomó pergamenlapot és jegyzetfüzetet pazarolnia ahhoz, hogy leírjon mintegy 5183-at. Ezt a rekordot egy szám hatványának nevezték, egy csomó tulajdonságot találtak benne, de a boldogság rövid életűnek bizonyult.

Egy grandiózus ivászat után, amelyet csak a fokozatok „felfedezéséért” szerveztek, néhány különösen makacs matematikus hirtelen feltette a kérdést: „Mi van akkor, ha egy szám fokszámát ismerjük, de maga a szám ismeretlen?” Nos, ha tudjuk, hogy egy bizonyos $b$ szám, mondjuk, az 5. hatványig 243-at ad, akkor hogyan lehet kitalálni, hogy maga a $b$ mekkora számmal egyenlő?

Ez a probléma sokkal globálisabbnak bizonyult, mint amilyennek első pillantásra tűnhet. Mert kiderült, hogy a legtöbb „kész” erő esetében nincsenek ilyen „kezdeti” számok. Ítéld meg magad:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Jobbra b=4\cdot 4\cdot 4\Jobbra b=4. \\ \end(igazítás)\]

Mi van, ha $((b)^(3))=50 $? Kiderült, hogy meg kell találnunk egy bizonyos számot, amelyet ha háromszor megszorozunk önmagával, akkor 50-et kapunk. De mi ez a szám? Egyértelműen nagyobb, mint 3, mivel 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Azaz ez a szám valahol három és négy között van, de nem fogod megérteni, hogy mivel egyenlő.

Pontosan ez az oka annak, hogy a matematikusok $n$-edik gyököket találtak ki. Pontosan ezért vezették be a $\sqrt(*)$ radikális szimbólumot. Pont a $b$ szám kijelölésére, amely a jelzett mértékben egy korábban ismert értéket ad

\[\sqrt[n](a)=b\Jobbra ((b)^(n))=a\]

Nem vitatom: gyakran ezek a gyökerek könnyen kiszámíthatók - több ilyen példát láttunk fent. De mégis, a legtöbb esetben, ha egy tetszőleges számra gondolsz, majd megpróbálod kiszedni belőle egy tetszőleges fokozat gyökerét, akkor szörnyű balhé lesz.

Mi van ott! Még a legegyszerűbb és legismertebb $\sqrt(2)$ sem ábrázolható a megszokott formában - egész számként vagy törtként. És ha beírja ezt a számot egy számológépbe, ezt fogja látni:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Mint látható, a tizedesvessző után végtelen számsor következik, amely nem engedelmeskedik semmilyen logikának. Természetesen ezt a számot kerekítheti, hogy gyorsan összehasonlíthassa más számokkal. Például:

\[\sqrt(2)=1,4142...\kb. 1,4 \lt 1,5\]

Vagy itt van egy másik példa:

\[\sqrt(3)=1,73205...\kb. 1,7 \gt 1,5\]

De mindezek a kerekítések először is meglehetősen durvaak; másodszor pedig hozzávetőleges értékekkel is tudni kell dolgozni, különben egy csomó nyilvánvaló hibát elkaphat (egyébként az összehasonlítás és a kerekítés készsége) kötelező az Egységes államvizsga profilon ellenőrizve).

Ezért a komoly matematikában nem nélkülözheti a gyököket - ezek ugyanazok a valós számok $\mathbb(R)$ halmazának egyenlő képviselői, akárcsak a számunkra régóta ismert törtek és egészek.

A gyökér képtelensége a $\frac(p)(q)$ alak törtrészeként ábrázolni azt jelenti adott gyökér nem racionális szám. Az ilyen számokat irracionálisnak nevezzük, és csak egy radikális vagy más, speciálisan erre tervezett konstrukció (logaritmus, hatvány, határérték stb.) segítségével ábrázolhatók pontosan. De erről majd máskor.

Nézzünk meg néhány példát, ahol az összes számítás után az irracionális számok továbbra is megmaradnak a válaszban.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\kb. 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\approx -1,2599... \\ \end(align)\]

Természetesen szerint kinézet gyökér szinte lehetetlen kitalálni, hogy mely számok jönnek a tizedesvessző után. Számológépre azonban számíthat, de a legfejlettebb dátumkalkulátor is csak az irracionális szám első néhány számjegyét adja meg. Ezért sokkal helyesebb a válaszokat $\sqrt(5)$ és $\sqrt(-2)$ formában írni.

Pontosan ezért találták ki őket. A válaszok kényelmes rögzítéséhez.

Miért van szükség két definícióra?

A figyelmes olvasó valószínűleg már észrevette, hogy a példákban szereplő összes négyzetgyök pozitív számokból származik. Hát be utolsó lehetőségként a semmiből. De a kockagyökereket nyugodtan ki lehet húzni abszolút bármilyen számból - legyen az pozitív vagy negatív.

Miért történik ez? Vessen egy pillantást a $y=((x)^(2))$ függvény grafikonjára:

Menetrend másodfokú függvény két gyökeret ad: pozitív és negatív

Próbáljuk meg kiszámítani a $\sqrt(4)$ értékét ezzel a grafikonnal. Ehhez a grafikonon egy vízszintes vonalat húzunk $y=4$ (pirossal jelölve), amely két pontban metszi a parabolát: $((x)_(1))=2$ és $((x) )_(2)) =-2$. Ez teljesen logikus, hiszen

Minden világos az első számmal - ez pozitív, tehát ez a gyökér:

De akkor mi a teendő a második ponttal? Mintha négynek két gyökere lenne egyszerre? Hiszen ha a −2 számot négyzetre emeljük, akkor 4-et is kapunk. Miért nem írunk akkor $\sqrt(4)=-2$? És miért nézik a tanárok az ilyen hozzászólásokat, mintha meg akarnának enni? :)

Az a baj, ha nem alkalmazod egyiket sem további feltételek, akkor a négyesnek két négyzetgyöke lesz - pozitív és negatív. És bármely pozitív számnak kettő is lesz belőle. De a negatív számoknak egyáltalán nem lesz gyökere - ez ugyanabból a grafikonból látható, mivel a parabola soha nem esik a tengely alá y, azaz negatív értékeket nem fogad el.

Hasonló probléma jelentkezik minden páros kitevővel rendelkező gyökérnél:

1. Szigorúan véve minden pozitív számnak két gyöke lesz páros kitevővel $n$;
2. Negatív számokból a páros $n$ gyökér egyáltalán nem kerül kivonásra.

Éppen ezért a páros $n$ fokú gyök definíciójában kifejezetten elő van írva, hogy a válasznak nemnegatív számnak kell lennie. Így megszabadulunk a kétértelműségtől.

De páratlan $n$ esetén nincs ilyen probléma. Ennek megtekintéséhez nézzük meg a $y=((x)^(3))$ függvény grafikonját:

Egy kockaparabola bármilyen értéket felvehet, így a kockagyök tetszőleges számból vehető

Ebből a grafikonból két következtetés vonható le:

1. A kocka alakú parabola ágai, a szokásostól eltérően, mindkét irányban a végtelenbe mennek - fel és le. Ezért nem számít, milyen magasságban húzunk egy vízszintes vonalat, ez a vonal biztosan metszi a grafikonunkat. Következésképpen a kocka gyökér mindig bármilyen számból kinyerhető;
2. Ezenkívül egy ilyen kereszteződés mindig egyedi lesz, így nem kell gondolkodnia azon, hogy melyik szám tekinthető „helyes” gyökérnek, és melyiket hagyja figyelmen kívül. Éppen ezért a páratlan fok gyökeinek meghatározása egyszerűbb, mint a páros fok esetén (nincs előírás a negativitásra).

Kár, hogy ezek egyszerű dolgok a legtöbb tankönyvben nem magyarázzák el. Ehelyett az agyunk szárnyalni kezd mindenféle számtani gyökérrel és azok tulajdonságaival.

Igen, nem vitatkozom: azt is tudni kell, mi az a számtani gyök. És erről részletesen egy külön leckében fogok beszélni. Ma erről is fogunk beszélni, mert enélkül a $n$-edik multiplicitás gyökereiről való minden gondolat hiányos lenne.

De először világosan meg kell értened a fentebb megadott definíciót. Ellenkező esetben a kifejezések bősége miatt olyan zűrzavar kezdődik a fejedben, hogy a végén már egyáltalán nem értesz semmit.

Csak annyit kell tennie, hogy megértse a páros és páratlan mutatók közötti különbséget. Ezért ismét gyűjtsük össze mindazt, amit a gyökerekről igazán tudni kell:

1. A páros fok gyöke csak nemnegatív számból létezik, és maga is mindig nemnegatív szám. Negatív számok esetén az ilyen gyök definiálatlan.
2. De a páratlan fok gyöke bármely számból létezik, és maga is tetszőleges szám lehet: pozitív számoknál pozitív, negatív számoknál pedig, ahogy a sapka utal, negatív.

Ez bonyolult? Nem, nem nehéz. Ez egyértelmű? Igen, ez teljesen nyilvánvaló! Tehát most gyakorolunk egy kicsit a számításokkal.

Alapvető tulajdonságok és korlátozások

Nagyon sok gyökér van furcsa tulajdonságokés korlátozások – erről külön lecke lesz. Ezért most csak a legfontosabb „trükköt” vesszük figyelembe, amely csak az egyenletes indexű gyökerekre vonatkozik. Írjuk fel ezt a tulajdonságot képletként:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\jobbra|\]

Más szóval, ha egy számot páros hatványra emelünk, majd kivonjuk ugyanannak a hatványnak a gyökerét, akkor nem az eredeti számot kapjuk, hanem a modulusát. Ez egyszerű tétel, ami könnyen igazolható (elég külön figyelembe venni a nem negatív $x$-okat, majd külön figyelembe venni a negatívakat). A tanárok folyamatosan beszélnek róla, minden iskolai tankönyvben szerepel. De ha egyszer döntés születik irracionális egyenletek(vagyis gyökjelet tartalmazó egyenletek), a tanulók egyöntetűen elfelejtik ezt a képletet.

A probléma részletes megértéséhez felejtsük el az összes képletet egy percre, és próbáljunk meg két számot kiszámítani közvetlenül előre:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Ez nagyon egyszerű példák. A legtöbb ember megoldja az első példát, de sokan elakadnak a másodiknál. Minden ilyen szar problémamentes megoldásához mindig fontolja meg az eljárást:

1. Először a számot a negyedik hatványra emeljük. Nos, ez valahogy könnyű. Kapsz egy új számot, amely még a szorzótáblában is megtalálható;
2. És most ebből az új számból ki kell vonni a negyedik gyökért. Azok. a gyökerek és az erők „csökkenése” nem történik - ezek egymást követő műveletek.

Nézzük az első kifejezést: $\sqrt(((3)^(4)))$. Nyilvánvalóan először ki kell számítania a gyökér alatti kifejezést:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Ezután kivonjuk a 81-es szám negyedik gyökerét:

Most tegyük ugyanezt a második kifejezéssel. Először a −3 számot a negyedik hatványra emeljük, amihez meg kell szorozni önmagával 4-szer:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ bal (-3 \jobb)=81\]

Pozitív számot kaptunk, mivel a termék összes mínuszának száma 4, és ezek mind kioltják egymást (elvégre a mínusz a mínuszra pluszt ad). Ezután ismét kivonjuk a gyökeret:

Ezt a sort elvileg nem is lehetett volna megírni, mert hiába, hogy ugyanaz lesz a válasz. Azok. ugyanazon páros teljesítmény páros gyöke „égeti” a mínuszokat, és ebben az értelemben az eredmény megkülönböztethetetlen egy normál modultól:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \jobbra|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \jobbra|=3. \\ \end(igazítás)\]

Ezek a számítások jól egyeznek a páros fok gyökének definíciójával: az eredmény mindig nem negatív, és a gyökjel is mindig tartalmaz nemnegatív számot. Ellenkező esetben a gyökér definiálatlan.

Megjegyzés az eljáráshoz

1. A $\sqrt(((a)^(2)))$ jelölés azt jelenti, hogy először négyzetre tesszük az $a$ számot, majd vesszük a kapott érték négyzetgyökét. Ezért biztosak lehetünk abban, hogy a gyökérjel alatt mindig van nem negatív szám, hiszen $((a)^(2))\ge 0$ mindenképpen;
2. De a $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ jelölés éppen ellenkezőleg, azt jelenti, hogy először egy bizonyos $a$ szám gyökerét vesszük, és csak azután négyzetesre vesszük az eredményt. Ezért az $a$ szám semmi esetre sem lehet negatív – ez az kötelező követelmény, szerepel a definícióban.

Így semmi esetre sem szabad meggondolatlanul redukálni a gyökereket és a fokozatokat, ezzel állítólag „leegyszerűsítve” az eredeti kifejezést. Mert ha a gyökérnek negatív a száma, és a kitevője páros, akkor egy csomó problémát kapunk.

Mindezek a problémák azonban csak a páros mutatók esetében relevánsak.

A mínusz jel eltávolítása a gyökérjel alól

Természetesen a páratlan kitevővel rendelkező gyököknek is megvannak a maguk sajátosságai, ami elvileg párosoknál nem létezik. Ugyanis:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Röviden: eltávolíthatja a mínuszt a páratlan fokú gyökerek jele alól. Ez nagyon hasznos ingatlan, amely lehetővé teszi az összes negatív "kidobását":

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(igazítás)\]

Ez az egyszerű tulajdonság nagyban leegyszerűsíti számos számítást. Most már nem kell aggódnia: mi van akkor, ha egy negatív kifejezés rejtőzik a gyökér alatt, de a gyökér foka párosnak bizonyult? Elég csak „kidobni” az összes mínuszt a gyökereken kívül, ami után egymás szaporodhatnak, feloszthatók, és általában sok gyanús dolgot csinálhatnak, ami a „klasszikus” gyökerek esetében garantáltan oda vezet. egy hiba.

És itt egy másik meghatározás lép színre - ugyanaz, amellyel a legtöbb iskolában elkezdik az irracionális kifejezések tanulmányozását. És ami nélkül érvelésünk hiányos lenne. Találkozik!

Aritmetikai gyök

Tegyük fel egy pillanatra, hogy a gyökjel alatt csak pozitív számok, vagy szélsőséges esetben nulla lehet. Felejtsük el a páros/páratlan mutatókat, felejtsük el az összes fent megadott definíciót – csak nem negatív számokkal fogunk dolgozni. Akkor mit?

És akkor kapunk egy aritmetikai gyökeret - ez részben átfedésben van a „szokásos” definícióinkkal, de mégis eltér tőlük.

Meghatározás. Egy nemnegatív $a$ szám $n$-edik fokának számtani gyöke egy $b$ nemnegatív szám, így $((b)^(n))=a$.

Amint látjuk, minket már nem érdekel a paritás. Ehelyett egy új megszorítás jelent meg: a radikális kifejezés mostantól mindig nem negatív, és maga a gyök is nem negatív.

Hogy jobban megértsük, miben tér el az aritmetikai gyök a szokásostól, vessünk egy pillantást a már ismert négyzet- és köbparabola grafikonokra:

Aritmetikai gyökér keresési területe - nem negatív számok

Mint látható, ezentúl csak azokra a grafikondarabokra vagyunk kíváncsiak, amelyek az első koordinátanegyedben találhatók - ahol a $x$ és $y$ koordináták pozitívak (vagy legalább nulla). Többé nem kell a mutatót nézni, hogy megértsük, jogunk van-e negatív számot a gyökér alá helyezni vagy sem. Mert a negatív számokat elvileg már nem veszik figyelembe.

Felteheti a kérdést: „Nos, miért van szükségünk egy ilyen ivartalan meghatározásra?” Vagy: „Miért nem boldogulunk a fent megadott standard definícióval?”

Nos, csak egy tulajdonságot adok meg, ami miatt az új meghatározás megfelelővé válik. Például a hatványozás szabálya:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Figyelem: a gyökkifejezést tetszőleges hatványra emelhetjük, ugyanakkor a gyökkitevőt megszorozhatjuk ugyanennyi hatványral – és az eredmény ugyanannyi lesz! Íme, példák:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

Szóval mi a nagy baj? Miért nem tudtuk ezt megtenni korábban? Íme, miért. Tekintsünk egy egyszerű kifejezést: $\sqrt(-2)$ - ez a szám klasszikus felfogásunk szerint teljesen normális, de a számtani gyök szempontjából abszolút elfogadhatatlan. Próbáljuk meg konvertálni:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Mint látható, az első esetben eltávolítottuk a mínuszt a radikális alól (van minden jogot, mert a mutató páratlan), a másodikban pedig a fenti képletet használtuk. Azok. Matematikai szempontból minden a szabályok szerint történik.

WTF?! Hogyan lehet ugyanaz a szám pozitív és negatív is? Semmiképpen. Csak arról van szó, hogy a hatványozási képlet, amely kiválóan működik pozitív számokra és nullára, teljes eretnekséget kezd kiváltani negatív számok esetén.

A számtani gyököket azért találták ki, hogy megszabaduljanak az ilyen kétértelműségektől. Nekik külön van szentelve nagyszerű lecke, ahol részletesen megvizsgáljuk minden tulajdonságukat. Tehát most nem foglalkozunk velük - a lecke már túl hosszúnak bizonyult.

Algebrai gyök: azoknak, akik többet szeretnének tudni

Sokáig gondolkodtam, hogy ezt a témát külön bekezdésbe rakjam-e vagy sem. Végül úgy döntöttem, itt hagyom. Ez az anyag azoknak szól, akik még jobban szeretnék megérteni a gyökereket - már nem az átlagos „iskolai”, hanem az olimpia szintjéhez közeli szinten.

Tehát: a szám $n$-edik gyökének „klasszikus” definíciója és az ehhez kapcsolódó páros és páratlan kitevőkre való felosztás mellett létezik egy „felnőttebb” definíció, amely egyáltalán nem függ a paritástól és egyéb finomságoktól. Ezt algebrai gyökérnek nevezzük.

Meghatározás. Bármely $a$ algebrai $n$-adik gyöke az összes $b$ szám halmaza úgy, hogy $((b)^(n))=a$. Az ilyen gyökerekre nincs meghatározott megjelölés, ezért csak egy kötőjelet teszünk a tetejére:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\(b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \jobbra. \jobbra\) \]

Alapvető különbség a szabványos definíció A lecke elején elmondjuk, hogy az algebrai gyök nem egy konkrét szám, hanem egy halmaz. És mivel valós számokkal dolgozunk, ennek a készletnek csak három típusa van:

1. Üres készlet. Akkor fordul elő, ha meg kell találni egy páros fokú algebrai gyökét egy negatív számból;
2. Egyetlen elemből álló készlet. A páratlan hatványok minden gyökere, valamint a nulla páros hatványainak gyökere ebbe a kategóriába tartozik;
3. Végül a halmaz két számot tartalmazhat – ugyanazt a $((x)_(1))$ és $((x)_(2))=-((x)_(1))$, amelyet a gráf másodfokú függvény. Ennek megfelelően egy ilyen elrendezés csak akkor lehetséges, ha egy pozitív számból kivonjuk a páros fok gyökét.

Az utolsó eset részletesebb vizsgálatot érdemel. Nézzünk meg néhány példát, hogy megértsük a különbséget.

Példa. Értékelje a kifejezéseket:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Megoldás. Az első kifejezés egyszerű:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Ez két szám, amely a halmaz részét képezi. Mert mindegyik négyzetes négyzetet ad.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Itt csak egy számból álló halmazt látunk. Ez teljesen logikus, mivel a gyökérkitevő páratlan.

Végül az utolsó kifejezés:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Üres készletet kaptunk. Mert nincs egyetlen valós szám sem, amelyet a negyedik (vagyis páros!) hatványra emelve a −16 negatív számot kapjuk.

Végső megjegyzés. Figyelem: nem véletlenül jegyeztem meg mindenhol, hogy valós számokkal dolgozunk. Mert több is van komplex számok— ott teljesen ki lehet számolni $\sqrt(-16)$ és sok más furcsaságot.

Azonban a modern iskolai tanfolyam A matematikában szinte soha nem találkozunk komplex számokkal. A legtöbb tankönyvből eltávolították őket, mert tisztviselőink szerint a téma „túl nehezen érthető”.