Розглянутий вище приклад дозволяє зробити висновок, що значення, які використовуються для аналізу залежать від випадкових причин, тому такі змінні величини називаються випадковими. У більшості випадків вони з'являються в результаті спостережень або експериментів, які зводяться в таблиці, в першому рядку якої записуються різні значення випадкової величини Х, що спостерігаються, а в другому - відповідні частоти. Тому така таблиця називається емпіричним розподілом випадкової величини Хабо варіаційним рядом. Для варіаційного ряду ми знаходили середнє значення, дисперсію та середнє квадратичне відхилення.

безперервнийякщо її значення повністю заповнюють деякий числовий проміжок.

Випадкова величина називається дискретний, якщо всі її значення можна занумерувати (зокрема, якщо воно набуває кінцевого числа значень).

Слід зазначити два характерні властивостітаблиці розподілу дискретної випадкової величини:

Усі числа другого рядка таблиці позитивні;

Їхня сума дорівнює одиниці.

Відповідно до проведених досліджень можна припустити, що при збільшенні числа спостережень емпіричний розподіл наближається до теоретичного, заданого в табличній формі.

Важливою характеристикою дискретної випадкової величини є її математичне очікування.

Математичним очікуваннямдискретної випадкової величини Х, що набуває значення , , …, .з ймовірностями , , …, називається число:

Математичне очікування також називають середнім значенням.

До інших важливих характеристик випадкової величини відносяться дисперсія (8) та середнє відхилення квадратичне (9).

де: математичне очікування величини X.

. (9)

Графічне представлення інформації значно наочніше, ніж табличне, тому можливість електронних таблиць MS Excel представляти розміщені у яких дані як різних діаграм, графіків і гістограм використовується дуже часто. Так, крім таблиці, розподіл випадкової величини зображують також за допомогою багатокутника розподілу. Для цього на координатній площині будують точки з координатами , , … і з'єднують їх прямими відрізками.

Для отримання прямокутника розподілу за допомогою MS Excel необхідно:

1. Вибрати закладку «Вставка» ® «Діаграма з областями» на панелі інструментів.

2. Активізувати область, що з'явилася на аркуші MS Excel, для діаграми правою кнопкою миші і в контекстному меню скористатися командою «Вибрати дані».

Мал. 6. Вибір джерела даних

Спочатку визначимо діапазон даних діаграми. Для цього у відповідну область діалогового вікна "Вибір джерела даних" введемо діапазон C6:I6 (в ньому представлені значення частот під назвою Ряд1, рис. 7).

Мал. 7. Додавання ряду 1

Для зміни назви ряду необхідно вибрати кнопку змінити область «Елементи легенди (ряди)» (див. рис. 7) та назвати її .

Для того, щоб додати підпис осі X, необхідно скористатися кнопкою «Змінити» області «Підписи горизонтальної осі (категорії)»
(рис. 8) та вказати значення ряду (діапазон $C$6:$I$6).

Мал. 8. Остаточний вид вікна діалогу "Вибір джерела даних"

Вибір кнопки у діалоговому вікні «Вибір джерела даних»
(Мал. 8) дозволить отримати необхідний багатокутник розподілу випадкової величини (Мал. 9).

Мал. 9. Багатокутник розподілу випадкової величини

Внесемо деякі зміни до дизайну отриманої графічної інформації:

Додамо підпис осі Х;

Відредагуємо підпис осі Y;

- додамо заголовок для діаграми "Багатокутник розподілу".

Для цього виберемо в області панелі інструментів закладку «Робота з діаграмами» закладку «Макет» і в панелі інструментів, що з'явилася, відповідні кнопки: «Назва діаграми», «Назви осей» (рис. 10).

Мал. 10. Підсумковий вид багатокутника розподілу випадкової величини

Випадковою величиноюназивається величина, яка в результаті досвіду може набути того чи іншого значення, не відоме заздалегідь. Випадкові величини бувають перервного (дискретного)і безперервноготипу. Можливі значення перервних величин наперед можуть бути перераховані. Можливі значення безперервних величин неможливо знайти заздалегідь перераховані і безперервно заповнюють певний проміжок.

Приклад дискретних випадкових величин:

1) Число появи герба при трьох кидання монети. (можливі значення 0; 1; 2; 3)

2) Частота появи герба у тому досвіді. (можливі значення )

3) Число елементів, що відмовили в приладі, що складається з п'яти елементів. (Можливі значення величин 0; 1; 2; 3; 4; 5)

Приклади безперервних випадкових величин:

1) Абсцисса (ордината) точки влучення при пострілі.

2) Відстань від точки влучення до центру мішені.

3) Час безвідмовної роботи приладу (радіолампи).

Випадкові величини позначаються великими літерами, які можливі значення – відповідними малими літерами. Наприклад, X - число попадань при трьох пострілах; Можливі значення: X 1 =0, Х 2 = 1, Х 3 = 2, Х 4 = 3.

Розглянемо перервну випадкову величину Х з можливими значеннями Х1, Х2, …, Хn. Кожне з цих значень можливо, але не достовірно, і величина Х може прийняти кожне з них певною ймовірністю. В результаті досвіду величина Х прийме одне з цих значень, тобто станеться одне з повної групи несумісних подій.

Позначимо ймовірність цих подій літерами p з відповідними індексами:

Оскільки несумісні події утворюють повну групу, то

тобто сума ймовірності всіх можливих значень випадкової величини дорівнює 1. Ця сумарна ймовірність якимось чином розподілена між окремими значеннями. Випадкова величина буде повністю описана з імовірнісної точки зору, якщо ми поставимо цей розподіл, тобто в точності вкажемо якою ймовірністю має кожну з подій. (Цим ми встановимо так званий закон розподілу випадкових величин.)

Законом розподілу випадкової величининазивається всяке співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідної їм ймовірності. (Про випадкову величину ми говоритимемо, що вона підпорядкована цьому закону розподілу)

Найпростішою формою завдання закону розподілу випадкової величини є таблиця, в якій перераховані можливі значення випадкової величини та ймовірності, що їм відповідають.

Таблиця 1.

Випадкові величини. Багатокутник розподілу

Випадкові величини: дискретні та безперервні.

Під час проведення стохастичного експерименту формується простір елементарних подій – можливих результатів цього експерименту. Вважають, що на цьому просторі елементарних подій задано випадкова величина X, якщо заданий закон (правило) яким кожному елементарному події зіставляється число. Таким чином, випадкову величину X можна розглядати як функцію, задану на просторі елементарних подій.

■ Випадкова величина- величина, яка при кожному випробуванні приймає те чи інше числове значення (перед невідомо, яке саме), що залежить від випадкових причин, які заздалегідь не можуть бути враховані. Випадкові величини позначають великими літерами латинського алфавіту, а можливі значення випадкової величини малими. Так, при киданні грального кубика відбувається подія, пов'язана з числом x , де x - число очок, що випало. Число очок – випадкова величина, а числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 – можливі значення цієї величини. Відстань, яка пролетить снаряд при пострілі з гармати - теж випадкова величина (залежить від установки прицілу, сили та напрямки вітру, температури та інших факторів), а можливі значення цієї величини належать деякому проміжку (a; b).

■ Дискретна випадкова величина- Випадкова величина, яка приймає окремі, ізольовані можливі значення з певними ймовірностями. Число можливих значень дискретної випадкової величини може бути кінцевим та нескінченним.

■ Безперервна випадкова величина- Випадкова величина, яка може приймати всі значення з деякого кінцевого або нескінченного проміжку. Число можливих значень безперервної випадкової величини - нескінченно.

Наприклад, кількість очок, що випали при киданні кубика, бальна оцінка за контрольну роботу - дискретні випадкові величини; відстань, що пролітає снаряд при стрільбі з гармати, похибка вимірювань показника часу засвоєння навчального матеріалу, зростання та вага людини – безперервні випадкові величини.

Закон розподілу випадкової величини– відповідність між можливими значеннями випадкової величини та його ймовірностями, тобто. кожному можливому значенню x i ставиться у відповідність ймовірність p i , з якою випадкова величина може прийняти це значення. Закон розподілу випадкової величини може бути заданий таблично (у формі таблиці), аналітично (як формула) іграфічно.

Нехай дискретна випадкова величина X приймає значення x 1 x 2 ... x n з ймовірностями p 1 p 2 ... pn відповідно, тобто. P(X=x 1) = p 1 , P(X=x 2) = p 2 , …, P(X=x n) = p n . При табличному завданні закону розподілу цієї величини перший рядок таблиці містить можливі значення x 1 , x 2 , …, x n , а другий їх ймовірності

X	x 1	x 2	…	x n
p	p 1	p 2	…	p n

В результаті випробування дискретна випадкова величина X приймає одне і тільки одне з можливих значень, тому події X = x 1, X = x 2, …, X = x n утворюють повну групу попарно несумісних подій, і, отже, сума ймовірностей цих подій дорівнює одиниці , тобто. p 1 + p 2 + ... + p n = 1.

Закон розподілу дискретної випадкової величини. Багатокутник (полігон) розподілу.

Як відомо, випадковою величиною називається змінна величина, яка може набувати тих чи інших значень залежно від випадку. Випадкові величини позначають великими літерами латинського алфавіту (X, Y, Z), які значення – відповідними малими літерами (x, y, z). Випадкові величини поділяються на перервні (дискретні) та безперервні.

Дискретною випадковою величиною називається випадкова величина, що приймає лише кінцеве чи нескінченне (лічильна) безліч значень з певними ненульовими ймовірностями.

Законом розподілу дискретної випадкової величининазивається функція, що зв'язує значення випадкової величини з відповідними ймовірностями. Закон розподілу може бути заданий одним із таких способів.

1. Закон розподілу може бути заданий таблицею:

де λ>0, k = 0, 1, 2, … .

в) за допомогою функції розподілу F(x), що визначає для кожного значення x ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення менше x, тобто. F(x) = P(X< x).

Властивості функції F(x)

3. Закон розподілу може бути заданий графічно – багатокутником (полігоном) розподілу (дивись задачу 3).

Зазначимо, що з вирішення деяких завдань необов'язково знати закон розподілу. У деяких випадках достатньо знати одне або кілька чисел, що відображають найважливіші особливості закону розподілу. Це може бути число, що має сенс «середнього значення» випадкової величини, або число, що показує середній розмір відхилення випадкової величини від свого середнього значення. Числа такого роду називають числовими характеристиками випадкової величини.

Основні числові характеристики дискретної випадкової величини:

Mатематичне очікування (середнє значення) дискретної випадкової величини M(X)=Σ x i p i .
Для біномного розподілу M(X)=np, для розподілу Пуассона M(X)=λ
Дисперсія дискретної випадкової величини D(X)= M2 або D(X)=M(X2)−2. Різниця X-M(X) називають відхиленням випадкової величини від її математичного очікування.
Для біномного розподілу D(X)=npq, для розподілу Пуассона D(X)=λ
Середнє квадратичне відхилення (стандартне відхилення) σ(X)=√D(X).

· Для наочності уявлення варіаційного ряду велике значення мають його графічні зображення. Графічно варіаційний ряд може бути зображений у вигляді полігону, гістограми та кумуляти.

· Полігон розподілу (дослівно – багатокутник розподілу) називають ламану, яка будується у прямокутній системі координат. Розмір ознаки відкладається на осі абсцис, відповідні частоти (чи відносні частоти ) – по осі ординат. Крапки (або ) з'єднують відрізками прямих і одержують полігон розподілу. Найчастіше полігони застосовуються зображення дискретних варіаційних рядів, але їх можна використовувати й у інтервальних рядів. У цьому випадку осі абсцис відкладаються точки, відповідні серединам даних інтервалів.

X i	X 1	X 2	…	X n
P i	P 1	P 2	…	P n

Таку таблицю називають поряд розподілувипадкових величин.

Щоб надати ряду розподілу наочніший вигляд вдаються до його графічного зображення: по осі абсцис відкладають можливі значення випадкової величини, а по осі ординат – ймовірності цих значень. (Для наочності отримані точки з'єднують відрізками прямих.)

Малюнок 1 – багатокутник розподілу

Така постать називається багатокутником розподілу. Багатокутник розподілу, як і ряд розподілу, повністю характеризує випадкову величину; він є однією із форм закону розподілу.

Приклад:

виробляється один досвід, в якому може з'явитися або не з'явитись подія А. Імовірність події А = 0,3. Розглядається випадкова величина Х – кількість появи події А цьому досвіді. Потрібно побудувати ряд і багатокутник розподілу величини Х.

Таблиця 2.

X i
P i	0,7	0,3

Рисунок 2 – Функція розподілу

Функція розподілує універсальною характеристикою довільної величини. Вона існує всім випадкових величин: як перервних, і не перервних. Функція розподілу повністю характеризує випадкову величину з імовірнісної точки зору, тобто є однією із форм закону розподілу.

Для кількісної характеристики цього розподілу ймовірностей зручно скористатися не ймовірністю події X = x, а ймовірністю X

Функцію розподілу F(x) іноді називають також інтегральною функцією розподілу або інтегральним законом розподілу.

Властивості функції розподілу випадкової величини

1. Функція розподілу F(x) є незменшною функцією свого аргументу, тобто при ;

2. На мінус нескінченності:

3. На плюс нескінченності:

Рисунок 3 – графік функції розподілу

Графік функції розподілуу загальному випадку є графіком незнищуючої функції, значення якої починаються від 0 і доходять до 1.

Знаючи низку розподілу випадкової величини, можна побудувати функцію розподілу випадкової величини.

Приклад:

для попереднього прикладу побудувати функцію розподілу випадкової величини.

Побудуємо функцію розподілу X:

Рисунок 4 – функція розподілу Х

Функція розподілубудь-якої дискретної перервної випадкової величини завжди є розривна ступінчаста функція, стрибки якої відбуваються в точках, відповідних можливим значенням випадкової величини і рівні ймовірностям цих значень. Сума всіх стрибків функції розподілу дорівнює 1.

У міру збільшення числа можливих значень випадкової величини та зменшення інтервалів між ними число стрибків стає більше, а самі стрибки – менше:

Малюнок 5

Ступінчаста крива стає більш плавною:

Малюнок 6

Випадкова величина поступово наближається до безперервної величини, та її функція розподілу до безперервної функції. Також є випадкові величини, можливі значення яких безперервно заповнюють деякий проміжок, але для яких функція розподілу не скрізь є безперервною. І в окремих точках зазнає розриву. Такі випадкові величини називаються змішаними.

Малюнок 7

Завдання 14.У грошовій лотереї розігрується 1 виграш у 1000000 руб., 10 виграшів по 100000 руб. та 100 виграшів по 1000 руб. за загальної кількості квитків 10000. Знайти закон розподілу випадкового виграшу Хдля власника одного лотерейного білета.

Рішення. Можливі значення для Х: х 1 = 0; х 2 = 1000; х 3 = 100000;

х 4 = 1000000. Імовірності їх відповідно дорівнюють: р 2 = 0,01; р 3 = 0,001; р 4 = 0,0001; р 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Отже, закон розподілу виграшу Хможе бути заданий наступною таблицею:

Завдання 15. Дискретна випадкова величина Хзадана законом розподілу:

Побудувати багатокутник розподілу.

Рішення. Побудуємо прямокутну систему координат, причому по осі абсцис відкладатимемо можливі значення х i ,а по осі ординат – відповідні ймовірності р i. Побудуємо точки М 1 (1;0,2), М 2 (3;0,1), М 3 (6;0,4) та М 4 (8; 0,3). З'єднавши ці точки відрізками прямих, отримаємо багатокутник розподілу, що шукається.

§2. Числові характеристики випадкових величин

Випадкова величина повністю характеризується своїм законом розподілу. Середній опис випадкової величини можна отримати при використанні її числових характеристик

2.1. Математичне очікування. Дисперсія.

Нехай випадкова величина може набувати значень з ймовірностями відповідно.

Визначення. Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називається сума творів всіх її можливих значень на відповідні ймовірності:

Властивості математичного очікування.

Розсіювання випадкової величини близько середнього значення характеризують дисперсія та середньоквадратичне відхилення.

Дисперсією випадкової величини називають математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування:

Для обчислень використовується така формула

Властивості дисперсії.

2. де взаємно незалежні випадкові величини.

3. Середньоквадратичне відхилення.

Завдання 16.Знайти математичне очікування випадкової величини Z = X+ 2Yякщо відомі математичні очікування випадкових величин Xі Y: М(Х) = 5, М(Y) = 3.

Рішення. Використовуємо властивості математичного очікування. Тоді отримуємо:

М(Х+ 2Y)= М(Х) + М(2Y) = М(Х) + 2М(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.

Завдання 17.Дисперсія випадкової величини Хдорівнює 3. Знайти дисперсію випадкових величин: а) -3 Х;б) 4 Х + 3.

Рішення. Застосуємо властивості 3, 4 та 2 дисперсії. Маємо:

а) D(–3Х) = (–3) 2 D(Х) = 9D(Х) = 9 . 3 = 27;

б) D(4Х+ 3) = D(4Х) + D(3) = 16D(Х) + 0 = 16 . 3 = 48.

Завдання 18.Дана незалежна випадкова величина Y- Число очок, що випали при киданні гральної кістки. Знайти закон розподілу, математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини Y.

Рішення.Таблиця розподілу випадкової величини Yмає вигляд:

Тоді М(Y) = 1 · 1/6 + 2 · 1/6 + 3 · 1/6+ 4 · 1/6+ 5 · 1/6+ 6 · 1/6 = 3,5;

D(Y) = (1 – 3,5) 2 · 1/6 + (2 – 3,5) 2 · /6 + (3 – 3,5) 2 · 1/6 + (4 – 3,5) 2 · / 6 + (5 - -3,5) 2 · 1/6 + (6 - 3,5) 2. · 1 / 6 = 2,917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.

Рішення. Можливі значення для Х: х 1 = 0; х 2 = 1000; х 3 = 100000;

х 4 = 1000000. Імовірності їх відповідно дорівнюють: р 2 = 0,01; р 3 = 0,001; р 4 = 0,0001; р 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Отже, закон розподілу виграшу Хможе бути заданий наступною таблицею:

Побудувати багатокутник розподілу.

§2. Числові характеристики випадкових величин

2.1. Математичне очікування. Дисперсія.

Нехай випадкова величина може набувати значень з ймовірностями відповідно.

Властивості математичного очікування.

Для обчислень використовується така формула

Властивості дисперсії.

2. де взаємно незалежні випадкові величини.

3. Середньоквадратичне відхилення .

Рішення. Використовуємо властивості математичного очікування. Тоді отримуємо:

М(Х+ 2Y)= М(Х) + М(2Y) = М(Х) + 2М(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.

Завдання 17.Дисперсія випадкової величини Хдорівнює 3. Знайти дисперсію випадкових величин: а) -3 Х;б) 4 Х + 3.

Рішення. Застосуємо властивості 3, 4 та 2 дисперсії. Маємо:

а) D(–3Х) = (–3) 2 D(Х) = 9D(Х) = 9 . 3 = 27;

б) D(4Х+ 3) = D(4Х) + D(3) = 16D(Х) + 0 = 16 . 3 = 48.

Рішення.Таблиця розподілу випадкової величини Yмає вигляд:

Y
р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Тоді М(Y) = 1 · 1/6 + 2 · 1/6 + 3 · 1/6+ 4 · 1/6+ 5 · 1/6+ 6 · 1/6 = 3,5;

D(Y) = (1 – 3,5) 2 · 1/6 + (2 – 3,5) 2 · /6 + (3 – 3,5) 2 · 1/6 + (4 – 3,5) 2 · / 6 + (5 - -3,5) 2 · 1/6 + (6 - 3,5) 2. · 1 / 6 = 2,917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.

КАТЕГОРІЇ

Скринінг

УЗД кінцівок

Види УЗД

УЗД черевної порожнини

УЗД грудної клітки

ПОПУЛЯРНІ СТАТТІ

	Чи варять варення з глоду
	Рецепти смачного та корисного варення з глоду
	Сир із кефіру в домашніх умовах
	Лопатка запечена в духовці або мультиварці в гірчичному соусі
	Як приготувати в домашніх умовах м'ясо по-тайському.

2023 «kingad.ru» - УЗД дослідження органів людини