Як обчислити площу паралелепіпеда. Площа бічної поверхні різних пірамід

Під час підготовки до ЄДІ з математики учням доводиться систематизувати знання з алгебри та геометрії. Хочеться поєднати всі відомі відомості, наприклад, про те, як обчислити площу піраміди. Причому від основи і бічних граней до площі всієї поверхні. Якщо з бічними гранями ситуація зрозуміла, оскільки вони є трикутниками, то основа завжди різна.

Як бути при знаходженні площі основи піраміди?

Воно може бути абсолютно будь-якою фігурою: від довільного трикутника до n-кутника. І ця підстава, крім відмінності у кількості кутів, може бути правильною фігурою чи неправильною. У школярів, що цікавлять завданнями з ЄДІ зустрічаються тільки завдання з правильними фігурами в основі. Тому йтиметься лише про них.

Правильний трикутник

Тобто рівнобічний. Той, у якого всі сторони рівні та позначені буквою «а». У цьому випадку площа основи піраміди обчислюється за формулою:

S = (а 2 * √3) / 4.

Квадрат

Формула для обчислення його площі найпростіша, тут «а» - знову бік:

Довільний правильний n-кутник

У сторони багатокутника те саме позначення. Для кількості кутів використовується латинська літера n.

S = (n * а 2) / (4 * tg (180 º / n)).

Як вчинити при обчисленні площі бічної та повної поверхні?

Оскільки основу лежить правильна постать, всі грані піраміди виявляються рівними. Причому кожна є рівнобедреним трикутником, оскільки бічні ребра рівні. Тоді для того, щоб обчислити бічну площу піраміди, знадобиться формула, що складається з суми однакових одночленів. Число доданків визначається кількістю сторін основи.

Площа рівнобедреного трикутника обчислюється за формулою, в якій половина добутку основи множиться на висоту. Ця висота в піраміді називається апофемою. Її позначення – «А». Загальна формула для площі бічної поверхні виглядає так:

S = ½ Р * А, де Р - периметр основи піраміди.

Бувають ситуації, коли не відомі сторони основи, але дано бічні ребра (в) та плоский кут при її вершині (α). Тоді потрібно використовувати таку формулу, щоб обчислити бічну площу піраміди:

S = n/2 * у 2 sin α .

Завдання №1

Умови.Знайти загальну площу піраміди, якщо в його основі лежить зі стороною 4 см, а апофема має значення 3 см.

Рішення.Його починати потрібно з розрахунку периметра основи. Оскільки це правильний трикутник, то Р = 3*4 = 12 см. Оскільки апофема відома, можна відразу обчислити площу всієї бічної поверхні: ½*12*√3 = 6√3 см 2 .

Для трикутника в основі вийде таке значення площі: (4 2 * 3) / 4 = 4 √ 3 см 2 .

Для визначення всієї площі потрібно скласти два значення: 6√3 + 4√3 = 10√3 см 2 .

Відповідь. 10√3 см 2 .

Завдання № 2

Умова. Є правильна чотирикутна піраміда. Довжина сторони основи дорівнює 7 мм, бічне ребро - 16 мм. Необхідно дізнатися площу її поверхні.

Рішення.Оскільки багатогранник чотирикутний і правильний, то в його основі лежить квадрат. Дізнавшись площі основи та бічних граней, вдасться порахувати площу піраміди. Формула для квадрата дана вище. А у бічних граней відомі усі сторони трикутника. Тому можна використовувати формулу Герона для обчислення їх площ.

Перші розрахунки прості і призводять до такої кількості: 49 мм 2 . Для другого значення потрібно обчислити напівпериметр: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 мм. Тепер можна обчислювати площу рівнобедреного трикутника: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 мм 2 . Таких трикутників всього чотири, тому за підрахунку підсумкового числа потрібно його помножити на 4.

Виходить: 49 + 4*54,644 = 267,576 мм2.

Відповідь. Шукане значення 267,576 мм2.

Завдання №3

Умова. У правильній чотирикутної піраміди необхідно обчислити площу. У ній відома сторона квадрата – 6 см і висота – 4 см.

Рішення.Найпростіше скористатися формулою з добутком периметра та апофеми. Перше значення знайти просто. Друге трохи складніше.

Доведеться згадати теорему Піфагора і розглянути Він утворений висотою піраміди та апофемою, яка є гіпотенузою. Другий катет дорівнює половині сторони квадрата, оскільки висота багатогранника падає у його середину.

Шукана апофема (гіпотенуза прямокутного трикутника) дорівнює √(3 2 + 4 2) = 5 (см).

Тепер можна обчислювати потрібну величину: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (см 2).

Відповідь. 96 см 2 .

Завдання № 4

Умови.Дана правильна Сторони її основи дорівнюють 22 мм, бічні ребра — 61 мм. Чому дорівнює площа бічної поверхні цього багатогранника?

Рішення.Міркування в ній такі самі, як були описані в задачі №2. Тільки там була дана піраміда з квадратом у основі, а тепер це шестикутник.

Насамперед обчислюється площа підстави за зазначеною вище формулою: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 см 2 .

Тепер необхідно дізнатися напівпериметр рівнобедреного трикутника, який є бічною гранню. (22+61*2):2 = 72 см. Залишилося за формулою Герона порахувати площу кожного такого трикутника, а потім помножити її на шість і скласти з тієї, що вийшла на підставу.

Розрахунки за формулою Герона: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 см 2 . Обчислення, що дадуть площу бічної поверхні: 660*6 = 3960 см 2 . Залишилося їх скласти, щоб дізнатися всю поверхню: 5217,47-5217 см 2 .

Відповідь.Підстави - 726√3 см 2 , бічної поверхні - 3960 см 2 , вся площа - 5217 см 2 .

Циліндр – це фігура, що складається з циліндричної поверхні та двох кіл, розташованих паралельно. Розрахунок площі циліндра – це завдання геометричного розділу математики, яке вирішується досить просто. Існує кілька методів її вирішення, які в результаті завжди зводяться до однієї формули.

Як знайти площу циліндра – правила обчислення

• Щоб дізнатися площу циліндра, необхідно дві площі основи скласти з площею бічної поверхні: S = Sбок. + 2Sосн. У більш розгорнутому варіанті дана формула виглядає так: S = 2 π rh + 2 π r2 = 2 π r (h + r).
• Площа бічної поверхні даного геометричного тіла можна вирахувати, якщо відомі його висота і радіус кола, що лежить в основі. В даному випадку можна виразити радіус із довжини кола, якщо вона дана. Висота може бути знайдена, якщо в умові задано значення твірної. У цьому випадку утворювальна дорівнюватиме висоті. Формула бічної поверхні даного тіла виглядає так: S = 2 π rh.
• Площа основи вважається за формулою знаходження площі кола: S osn = π r 2 . У деяких завданнях може не даватися радіус, але задаватися довжина кола. З цієї формули радіус виражається досить легко. С=2π r, r=С/2π. Потрібно пам'ятати про те, що радіус – це половина діаметра.
• При виконанні всіх цих розрахунків число π зазвичай не переводиться в 3,14159… Його потрібно просто дописувати поруч із числовим значенням, яке було отримано в результаті обчислень.
• Далі необхідно лише помножити знайдену площу підстави на 2 і додати до отриманого числа обчислену площу бічної поверхні фігури.
• Якщо завдання вказується, що у циліндрі є осьовий перетин і це – прямокутник, то рішення буде трохи іншим. У такому випадку ширина прямокутника буде діаметром кола, що лежить в основі тіла. Довжина фігури дорівнюватиме утворює або висоті циліндра. Необхідно вирахувати потрібні значення і підставити вже відому формулу. В даному випадку ширину прямокутника потрібно розділити на два, щоб знайти площу основи. Для знаходження бічної поверхні довжина множиться на два радіуси і на число π.
• Можна вирахувати площу даного геометричного тіла через його об'єм. Для цього потрібно з формули V = π r 2 h вивести недостатню величину.
• У обчисленні площі циліндра немає нічого складного. Потрібно лише знати формули та вміти виводити з них величини, необхідні для проведення розрахунків.

Площа поверхні піраміди. У цій статті ми розглянемо завдання з правильними пірамідами. Нагадаю, що правильна піраміда – це піраміда, основою якої є правильний багатокутник, вершина піраміди проектується до центру цього багатокутника.

Бічна грань такої піраміди це рівнобедрений трикутник.Висота цього трикутника, проведена з вершини правильної піраміди, називається апофемою, SF – апофема:

У наведеному нижче типі завдань потрібно знайти площу поверхні всієї піраміди або площу її бічної поверхні. На блозі вже розглянуто кілька завдань з правильними пірамідами, де ставилося питання про знаходження елементів (висоти, ребра основи, бічного ребра).

У завданнях ЄДІ, як правило, розглядаються правильні трикутні, чотирикутні та шестикутні піраміди. Завдань із правильними п'ятикутними та семикутними пірамідами не зустрічав.

Формула площі всієї поверхні проста - потрібно знайти суму площі основи піраміди та площі її бічної поверхні:

Розглянемо завдання:

Сторони основи правильної чотирикутної піраміди дорівнюють 72, бічні ребра дорівнюють 164. Знайдіть площу поверхні цієї піраміди.

Площа поверхні піраміди дорівнює сумі площ бічної поверхні та основи:

*Бічна поверхня складається з чотирьох рівних за площею трикутників. Основа піраміди це квадрат.

Площу бокової сторони піраміди можемо обчислити скориставшись :

Таким чином, площа поверхні піраміди дорівнює:

Відповідь: 28224

Сторони основи правильної шестикутної піраміди дорівнюють 22, бічні ребра дорівнюють 61. Знайдіть площу бічної поверхні цієї піраміди.

Підставою правильної шестикутної піраміди є правильний шестикутник.

Площа бічної поверхні даної піраміди складається з шести площ рівних трикутників зі сторонами 61,61 та 22:

Знайдемо площу трикутника, скористаємося формулою Герона:

Таким чином, площа бічної поверхні дорівнює:

Відповідь: 3240

*У поданих вище завданнях площу бічної грані можна було знайти використовуючи іншу формулу трикутника, але для цього потрібно обчислити апофему.

27155. Знайдіть площу поверхні правильної чотирикутної піраміди, сторони основи якої дорівнюють 6 і висота дорівнює 4.

Для того, щоб знайти площу поверхні піраміди нам необхідно знати площу основи та площу бічної поверхні:

Площа основи дорівнює 36, оскільки це квадрат зі стороною 6.

Бічна поверхня складається із чотирьох граней, які є рівними трикутниками. Для того, щоб знайти площу такого трикутника потрібно знати його основу та висоту (апофему):

*Площа трикутника дорівнює половині добутку основи та висоти проведеної до цієї основи.

Підстава відома, вона дорівнює шести. Знайдемо висоту. Розглянемо прямокутний трикутник (він виділено жовтим):

Один катет дорівнює 4, так як це висота піраміди, інший дорівнює 3, так як він дорівнює половині ребра основи. Можемо знайти гіпотенузу, за теоремою Піфагора:

Значить площа бічної поверхні піраміди дорівнює:

Таким чином, площа поверхні всієї піраміди дорівнює:

Відповідь: 96

27069. Сторони основи правильної чотирикутної піраміди дорівнюють 10, бічні ребра дорівнюють 13. Знайдіть площу поверхні цієї піраміди.

27070. Сторони основи правильної шестикутної піраміди дорівнюють 10, бічні ребра дорівнюють 13. Знайдіть площу бічної поверхні цієї піраміди.

Існують ще формули площі бічної поверхні правильної піраміди. У правильній піраміді основа є ортогональною проекцією бічної поверхні, тому:

P- периметр основи, l- Апофема піраміди

*Ця формула ґрунтується на формулі площі трикутника.

Якщо хочете дізнатися докладніше, як ці формули виводяться, не пропустіть, стежте за публікацією статей.На цьому все. Успіху Вам!

З повагою Олександр Крутицьких.

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.

Циліндр є геометричним тілом, обмеженим двома паралельними площинами і циліндричною поверхнею. У статті поговоримо про те, як знайти площу циліндра і, застосувавши формулу, вирішимо для прикладу кілька завдань.

У циліндра є три поверхні: вершина, основа, та бічна поверхня.

Вершина та основа циліндра є колами, їх легко визначити.

Відомо, що площа кола дорівнює πr 2 . Тому формула площі двох кіл (вершини і основи циліндра) матиме вигляд πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

Третя, бічна поверхня циліндра є вигнутою стінкою циліндра. Для того щоб краще уявити цю поверхню, спробуємо перетворити її, щоб отримати впізнавану форму. Уявіть собі, що циліндр, це звичайна консервна банка, яка не має верхньої кришки і дна. Зробимо вертикальний надріз на бічній стінці від вершини до основи банки (Крок 1 на малюнку) і спробуємо максимально розкрити (випрямити) отриману фігуру (Крок 2).

Після повного розкриття отриманої банки побачимо вже знайому фігуру (Крок 3), це прямокутник. Площа прямокутника легко обчислити. Але перед цим повернемося на мить до початкового циліндра. Вершина вихідного циліндра є коло, а ми знаємо, що довжина кола обчислюється за формулою: L = 2πr. На малюнку вона позначена червоним кольором.

Коли бічна стінка циліндра повністю розкрита, бачимо, що довжина кола стає довжиною отриманого прямокутника. Сторонами цього прямокутника будуть довжина кола (L = 2πr) та висота циліндра (h). Площа прямокутника дорівнює добутку його сторін – S = довжина x ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. В результаті ми отримали формулу для розрахунку площі бічної поверхні циліндра.

Формула площі бічної поверхні циліндра
S бік. = 2πrh

Площа повної поверхні циліндра

Зрештою, якщо ми складемо площу всіх трьох поверхонь, ми отримаємо формулу площі повної поверхні циліндра. Площі поверхні циліндра дорівнює площа вершини циліндра + площа основи циліндра + площа бічної поверхні циліндра або S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Іноді цей вираз записується ідентичною формулою 2πr (r + h).

Формула площі повної поверхні циліндра
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – радіус циліндра, h – висота циліндра

Приклади розрахунку площі поверхні циліндра

Для розуміння наведених формул спробуємо порахувати площу поверхні циліндра на прикладах.

1. Радіус основи циліндра дорівнює 2, висота дорівнює 3. Визначте площу бічної поверхні циліндра.

Площа повної поверхні розраховується за формулою: S бік. = 2πrh

S бік. = 2*3,14*2*3

S бік. = 6,28*6

S бік. = 37,68

Площа бічної поверхні циліндра дорівнює 37,68.

2. Як знайти площу поверхні циліндра, якщо висота дорівнює 4, а радіус 6?

Площа повної поверхні розраховується за формулою: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

- Це багатогранна фігура, в основі якої лежить багатокутник, а інші грані представлені трикутниками із загальною вершиною.

Якщо в основі лежить квадрат, то піраміду називається чотирикутний, якщо трикутник - то трикутної. Висота піраміди проводиться з її вершини перпендикулярно до основи. Також для розрахунку площі використовується апофема- Висота бічної грані, опущена з її вершини.
Формула площі бічної поверхні піраміди є сумою площ її бічних граней, які рівні між собою. Однак цей спосіб розрахунку застосовується вкрай рідко. В основному площа піраміди розраховується через периметр основи та апофему:

Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні піраміди.

Нехай дана піраміда з основою ABCDE та вершиною F . AB = BC = CD = DE = EA = 3 см. Апофема a = 5 см. Знайти площу бічної поверхні піраміди.
Знайдемо периметр. Оскільки всі грані основи рівні, то периметр п'ятикутника дорівнюватиме:
Тепер можна знайти бічну площу піраміди:

Площа правильної трикутної піраміди

Правильна трикутна піраміда складається з основи, в якій лежить правильний трикутник і трьох бічних граней, які рівні площі.
Формула площі бічної поверхні правильної трикутної піраміди може бути розрахована у різний спосіб. Можна застосувати звичайну формулу розрахунку через периметр та апофему, а можна знайти площу однієї грані та помножити її на три. Оскільки грань піраміди – це трикутник, то застосуємо формулу площі трикутника. Для неї буде потрібна апофема і довжина основи. Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні правильної трикутної піраміди.

Дано піраміду з апофемою a = 4 см і гранню основи b = 2 см. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
Для початку знаходимо площу однієї з бічних граней. В даному випадку вона буде:
Підставляємо значення у формулу:
Так як у правильній піраміді всі бічні сторони однакові, то площа бічної поверхні піраміди дорівнюватиме сумі площ трьох граней. Відповідно:

Площа усіченої піраміди

Усіченоюпірамідою називається багатогранник, який утворюється пірамідою та її перетином, паралельним підставі.
Формула площі бічної поверхні усіченої піраміди дуже проста. Площа дорівнює добутку половини суми периметрів підстав на апофему: