Перерахувати властивості додавання як вони читаються. Властивості додавання, множення, віднімання та поділу цілих чисел

Накреслимо на листку в клітинку прямокутник зі сторонами 5 см і 3 см. Розіб'ємо його на квадрати зі стороною 1 см (рис. 143). Підрахуємо кількість клітин, розташованих у прямокутнику. Це можна зробити, наприклад, так.

Кількість квадратів зі стороною 1 см дорівнює 5*3. Кожен такий квадрат складається із чотирьох клітин. Тому загальна кількість клітин дорівнює (5 * 3) * 4.

Це завдання можна вирішити інакше. Кожен із п'ять стовпців прямокутника складається з трьох квадратів зі стороною 1 см. Тому в одному стовпці міститься 3*4 клітин. Отже, всього клітин буде 5*(3*4).

Підрахунок клітин малюнку 143 двома способами ілюструє сполучна властивість множеннядля чисел 5, 3 та 4 . Маємо: (5 * 3) * 4 = 5 * (3 * 4).

Щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на добуток другого чи третього чисел.

(ab)c = a(bc)

З переміщувальних і комбінаційних властивостей множення випливає, що при множенні декількох чисел множники можна міняти місцями і укладати в дужки, тим самим визначаючи порядок обчислень .

Наприклад, вірні рівності:

abc = cba,

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

На малюнку 144 відрізок AB ділить розглянутий вище прямокутник прямокутник і квадрат.

Підрахуємо кількість квадратів із стороною 1 см двома способами.

З одного боку, в квадраті, що утворився, їх міститься 3 * 3, а в прямокутнику - 3 * 2 . Усього отримаємо 3*3+3*2 квадратів. З іншого боку, у кожній із трьох рядків даного прямокутника знаходиться 3 + 2 квадрати. Тоді їх загальна кількість дорівнює 3*(3+2).

Равенсто 3 * (3 + 2) = 3 * 3 + 3 * 2 ілюструє розподільна властивість множення щодо додавання.

Щоб число помножити на суму двох чисел, можна це число помножити на кожен доданок та одержані твори скласти.

У буквеному вигляді цю властивість записують так:

a(b + c) = ab + ac

З розподільчої властивості множення щодо складання випливає, що

ab+ac=a(b+c).

Ця рівність дозволяє формулу P = 2 a + 2 b для знаходження периметра прямокутника записати у такому вигляді:

P = 2 (a + b).

Зауважимо, що розподільна властивість справедлива для трьох і більше доданків. Наприклад:

a(m+n+p+q) = am+an+ap+aq.

Також справедлива розподільна властивість множення щодо віднімання: якщо b > c або b = c, то

a(b − c) = ab − ac

приклад 1 . Обчисліть зручним способом:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) Використовуємо переміщувальну, а потім поєднану властивості множення:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) Маємо:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

приклад 2 . Спростіть вираз:

1) 4 a * 3 b;

2) 18 m - 13 m.

1 ) Використовуючи переміщувальну та поєднану властивості множення, отримуємо:

4 a * 3 b = (4 * 3) * ab = 12 ab.

2 ) Використовуючи розподільну властивість множення щодо віднімання, отримуємо:

18 m − 13 m = m(18 − 13 ) = m * 5 = 5 m.

приклад 3 . Запишіть вираз 5 (2 m + 7 ) так, щоб він не містив дужок.

Відповідно до розподільчої властивості множення щодо складання маємо:

5 (2 m + 7) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35.

Таке перетворення називають розкриттям дужок.

приклад 4 . Обчисліть зручним способом значення виразу 125*24*283.

Рішення. Маємо:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

приклад 5 . Виконайте множення: 3 доби 18 год * 6 .

Рішення. Маємо:

3 діб 18 год * 6 = 18 діб 108 год = 22 діб 12 год.

При рішенні прикладу було використано розподільну властивість множення щодо додавання:

3 доби 18 год * 6 = (3 доби + 18 год) * 6 = 3 доби * 6 + 18 год * 6 = 18 діб + 108 год = 18 діб + 96 год + 12 год = 18 діб + 4 доби + 12 год = 22 діб 12 год.

Можна відзначити низку результатів, властивих цій дії. Ці результати називають властивостями додавання натуральних чисел. У цій статті ми докладно розберемо властивості складання натуральних чисел, запишемо їх за допомогою літер і наведемо приклади, що пояснюють.

Навігація на сторінці.

Сполучна властивість складання натуральних чисел.

Тепер наведемо приклад, що ілюструє поєднану властивість складання натуральних чисел.

Уявимо ситуацію: з першої яблуні впало 1 яблуко, а з другої яблуні - 2 яблука та ще 4 яблука. А тепер розглянемо таку ситуацію: з першої яблуні впало 1 яблуко та ще 2 яблука, а з другої яблуні впало 4 яблука. Зрозуміло, що на землі і в першому і другому випадку виявиться однакова кількість яблук (що можна перевірити перерахунком). Тобто, результат додавання числа 1 із сумою чисел 2 і 4 дорівнює результату додавання суми чисел 1 та 2 з числом 4 .

Розглянутий приклад дозволяє нам сформулювати сполучну властивість складання натуральних чисел: щоб додати до даного числа цю суму двох чисел, можна до цього додати перший доданок даної суми і до отриманого результату додати другий доданок даної суми . Цю властивість за допомогою літер можна записати так: a+(b+c)=(a+b)+c, де a, b та c – довільні натуральні числа.

Зверніть увагу, що в рівності a+(b+c)=(a+b)+c є круглі дужки «(» і «)». Дужки використовуються у виразах для вказівки порядку виконання дій – спочатку виконуються дії у дужках (докладніше про це написано у розділі). Іншими словами, у дужки полягають вирази, значення яких обчислюються насамперед.

Наприкінці цього пункту зазначимо, що сполучна властивість додавання дозволяє однозначно визначити додавання трьох, чотирьох та більшої кількості натуральних чисел.

Властивість додавання нуля і натурального числа, властивість додавання нуля з нулем.

Ми знаємо, що нуль НЕ є натуральним числом. То чому ми вирішили розглянути властивість складання нуля та натурального числа у цій статті? На це є три причини. Перша: ця властивість використовується при складання натуральних чисел стовпчиком. Друга: ця властивість використовується при віднімання натуральних чисел. Третя: якщо вважати, що нуль означає відсутність чогось, то зміст додавання нуля і натурального числа збігається з змістом додавання двох натуральних чисел.

Проведемо міркування, які допоможуть нам сформулювати властивість складання нуля та натурального числа. Припустимо, що в ящику немає жодного предмета (іншими словами, в ящику знаходиться 0 предметів), і в нього поміщають предметів, де a - будь-яке натуральне число. Тобто склали 0 та a предметів. Зрозуміло, що після цієї дії в ящику стало предметів. Отже, справедлива рівність 0+a=a.

Аналогічно, якщо в ящику знаходиться a предметів і до нього додають 0 предметів (тобто, не додають жодного предмета), то після цієї дії в ящику виявляться a предметів. Отже, a+0=a .

Тепер ми можемо навести формулювання властивості складання нуля та натурального числа: сума двох чисел, одне з яких дорівнює нулю, дорівнює другому числу. Математично цю властивість можна записати у вигляді наступної рівності: 0+a=aабо a+0=aде a - довільне натуральне число.

Окремо звернемо увагу на те, що при додаванні натурального числа і нуля залишається вірним переміщувальна властивість додавання, тобто a+0=0+a .

Нарешті, сформулюємо властивість додавання нуля з нулем (вона досить очевидна і не потребує додаткових коментарів): сума двох чисел, кожне з яких дорівнює нулю, дорівнює нулю. Тобто, 0+0=0 .

Тепер настав час розібратися з тим, як виконується додавання натуральних чисел.

Список літератури.

• Математика. Будь-які підручники для 1, 2, 3, 4 класів загальноосвітніх закладів.
• Математика. Будь-які підручники для 5 класів загальноосвітніх закладів.

Тема, якій присвячений цей урок, - «Властивості додавання». На ньому ви познайомитеся з переміщувальним та поєднувальним властивостями додавання, розглянувши їх на конкретних прикладах. Дізнаєтеся, в яких випадках можна ними користуватися, щоб зробити процес обчислення більш простим. Приклади перевірки допоможуть визначити, наскільки добре ви засвоїли вивчений матеріал.

Урок: Властивості додавання

Уважно подивіться на вираз:

9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3

Нам потрібно знайти його значення. Давайте це зробимо.

9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40

Результат виразу 9+6+8+7+2+4+1+3=40.
Скажіть, чи зручно було вираховувати? Обчислювати було зовсім зручно. Подивіться ще раз на цифри цього виразу. Чи не можна їх поміняти місцями так, щоб обчислення були зручнішими?

Якщо ми перегрупуємо числа по-іншому:

9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40

Остаточний результат виразу 9+1+8+2+7+3+6+4=40.
Ми бачимо, що результати виразів вийшли однакові.

Доданки можна змінювати місцями, якщо це зручно для обчислень, і значення суми від цього зміниться.

У математиці існує закон: Переміщувальний закон складання. Він говорить, що від перестановки доданків сума не змінюється.

Дядько Федір та Шарик посперечалися. Кулька знаходив значення виразу так, як воно записано, а дядько Федір сказав, що знає інший, більш зручний спосіб обчислення. Чи бачите ви зручніший спосіб обчислення?

Кулька вирішував вираз так, як воно записано. А дядько Федір сказав, що знає закон, який дозволяє міняти доданки місцями, і поміняв місцями числа 25 і 3.

37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62

37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40

Ми бачимо, що результат залишився таким самим, але вважати стало набагато простіше.

Подивіться на такі вирази та прочитайте їх.

6 + (24 + 51) = 81 (до 6 додати суму 24 та 51)
Чи немає зручного способу обчислення?
Ми бачимо, що якщо додати 6 і 24, ми отримаємо кругле число. До круглого числа завжди легше щось додавати. Візьмемо у дужки суму чисел 6 та 24.
(6 + 24) + 51 = …
(До суми чисел 6 і 24 додати 51)

Обчислимо значення виразу та подивимося, чи змінилося значення виразу?

6 + 24 = 30
30 + 51 = 81

Ми бачимо, що значення виразу залишилося тим самим.

Потренуємося ще на одному прикладі.

(27 + 19) + 1 = 47 (до суми чисел 27 та 19 додати 1)
Які числа зручно згрупувати так, щоб вийшов зручний спосіб?
Ви здогадалися, що це числа 19 та 1. Суму чисел 19 та 1 візьмемо у дужки.
27 + (19 + 1) = …
(До 27 додати суму чисел 19 і 1)
Знайдемо значення цього виразу. Ми пам'ятаємо, що спочатку виконується дія у дужках.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47

Значення нашого вислову залишилося таким самим.

Сполучний закон складання: два сусідніх доданків можна замінити їх сумою.

Тепер потренуємось користуватися обома законами. Нам потрібно обчислити значення виразу:

38 + 14 + 2 + 6 = …

Спочатку скористаємося переміщувальним властивістю додавання, яке дозволяє міняти доданки місцями. Поміняємо місцями доданки 14 та 2.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …

Тепер скористаємося комбінаційною властивістю, яка дозволяє нам два сусідніх доданків замінювати їх сумою.

38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…

Спочатку дізнаємося значення суми 38 та 2.

Тепер суму 14 та 6.

3. Фестиваль педагогічних ідей "Відкритий урок" ().

Зроби вдома

1. Обчисліть суму доданків по-різному:

а) 5 + 3 + 5 б) 7 + 8 + 13 в) 24 + 9 + 16

2. Обчисліть результати виразів:

а) 19+4+16+1 б) 8+15+12+5 в) 20+9+30+1

3. Обчисліть суму зручним способом:

а) 10 + 12 + 8 + 20 б) 17 + 4 + 3 + 16 в) 9 + 7 + 21 + 13

Ми визначили складання, множення, віднімання та розподіл цілих чисел. Ці дії (операції) мають ряд характерних результатів, які називаються властивостями. У цій статті ми розглянемо основні властивості додавання та множення цілих чисел, з яких випливають всі інші властивості цих дій, а також властивості віднімання та поділу цілих чисел.

Навігація на сторінці.

Для складання цілих чисел характерні ще кілька важливих властивостей.

Одне пов'язані з існуванням нуля. Ця властивість складання цілих чисел стверджує, що додаток до будь-якого цілого числа нуля не змінює це число. Запишемо дану властивість додавання за допомогою літер: a+0=a і 0+a=a (ця рівність справедлива через переміщувальну властивість додавання), a – будь-яке ціле число. Можна почути, що ціле число нуль називають нейтральним елементом додавання. Наведемо кілька прикладів. Сума цілого числа -78 і нуля дорівнює -78; якщо до нуля додати ціле позитивне число 999 , то в результаті отримаємо число 999 .

Тепер ми дамо формулювання ще однієї якості складання цілих чисел, що з існуванням протилежного числа для будь-якого цілого числа. Сума будь-якого цілого числа з протилежним йому числом дорівнює нулю. Наведемо літерну форму запису цієї властивості: a+(−a)=0 , де a та −a – протилежні цілі числа. Наприклад, сума 901+(−901) дорівнює нулю; аналогічно сума протилежних цілих чисел -97 і 97 дорівнює нулю.

Основні властивості множення цілих чисел

Примноження цілих чисел притаманні всі властивості множення натуральних чисел. Перелічимо основні з цих властивостей.

Також як нуль є нейтральним цілим числом щодо додавання, одиниця є нейтральним цілим числом щодо множення цілих чисел. Тобто, множення будь-якого цілого числа на одиницю не змінює число, що множиться. Так 1·a=a , де a – будь-яке ціле число. Остання рівність можна переписати у вигляді a 1 = a це нам дозволяє зробити переміщувальну властивість множення. Наведемо два приклади. Добуток цілого числа 556 на 1 дорівнює 556; добуток одиниці та цілого негативного числа −78 дорівнює −78 .

Наступна властивість множення цілих чисел пов'язана з множенням на нуль. Результат множення будь-якого цілого числа a на нуль дорівнює нулю, Тобто, a · 0 = 0 . Також справедлива рівність 0·a=0 в силу переміщувальної властивості множення цілих чисел. У окремому випадку при a=0 добуток нуля на нуль дорівнює нулю.

Для множення цілих чисел також справедлива властивість, зворотна до попереднього. Воно стверджує, що добуток двох цілих чисел дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. У буквеному вигляді цю властивість можна записати так: a b = 0 , якщо a = 0 , або b = 0 , або і a і b рівні нулю одночасно.

Розподільча властивість множення цілих чисел щодо складання

Спільно додавання та множення цілих чисел нам дозволяє розглядати розподільну властивість множення щодо додавання, яке пов'язує дві зазначені дії. Використання додавання та множення спільно відкриває додаткові можливості, яких ми були б позбавлені, розглядаючи додавання окремо від множення.

Отже, розподільна властивість множення щодо додавання говорить, що добуток цілого числа a на суму двох цілих чисел a і b дорівнює сумі творів a b і a c , тобто, a·(b+c)=a·b+a·c. Цю ж властивість можна записати в іншому вигляді: (a+b)·c=a·c+b·c .

Розподільча властивість множення цілих чисел щодо додавання разом із сполучною властивістю додавання дозволяють визначити множення цілого числа на суму трьох і більшої кількості цілих чисел, а далі – і множення суми цілих чисел на суму.

Також зауважимо, що всі інші властивості додавання та множення цілих чисел можуть бути отримані із зазначених нами властивостей, тобто є наслідками зазначених вище властивостей.

Властивості віднімання цілих чисел

З отриманої рівності, а також з властивостей додавання і множення цілих чисел випливають наступні властивості віднімання цілих чисел (a, b і c – довільні цілі числа):

• Віднімання цілих чисел у випадку НЕ має переміщувальним властивістю: a−b≠b−a .
• Різниця рівних цілих чисел дорівнює нулю: a−a=0 .
• Властивість віднімання суми двох цілих чисел з даного цілого числа: a−(b+c)=(a−b)−c .
• Властивість віднімання цілого числа із суми двох цілих чисел: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
• Розподільча властивість множення щодо віднімання: a·(b−c)=a·b−a·c та (a−b)·c=a·c−b·c.
• І всі інші властивості віднімання цілих чисел.

Властивості поділу цілих чисел

Розмірковуючи про сенс розподілу цілих чисел, ми з'ясували, що розподіл цілих чисел - це дія, зворотна до множення. Ми дали таке визначення: розподіл цілих чисел – це знаходження невідомого множника за відомим твором та відомим множником. Тобто, ціле число c ми називаємо приватним від розподілу цілого числа a на ціле число b коли добуток c b дорівнює a .

Дане визначення, а також усі розглянуті вище властивості операцій над цілими числами дозволяють встановити справедливість таких властивостей поділу цілих чисел:

• Жодне ціле число не можна ділити на нуль.
• Властивість розподілу нуля на довільне ціле число a відмінне від нуля: 0: a = 0 .
• Властивість поділу рівних цілих чисел: a:a=1 , де a – будь-яке ціле число, відмінне від нуля.
• Властивість поділу довільного цілого числа a на одиницю: a: 1 = a.
• У випадку ділення цілих чисел НЕ має переміщувальним властивістю: a:b≠b:a .
• Властивості поділу суми та різниці двох цілих чисел на ціле число: (a+b):c=a:c+b:c та (a−b):c=a:c−b:c , де a , b , і c такі цілі числа, що і a і b ділиться на c і ​​c відмінно від нуля.
• Властивість поділу добутку двох цілих чисел a і b на ціле число c, відмінне від нуля: (a b): c = (a: c) b, якщо a ділиться на c; (a·b):c=a·(b:c) , якщо b ділиться на c; (a·b):c=(a:c)·b=a·(b:c) , якщо і a і b діляться на c.
• Властивість поділу цілого числа a на добуток двох цілих чисел b і c (числа a, b і c такі, що поділ a на b·c можливий): a:(b·c)=(a:b)·c=(a :c) · b .
• Будь-які інші властивості поділу цілих чисел.