Ako riešiť sústavu rovníc pomocou matíc. Lineárne rovnice

Téma 2. SYSTÉMY LINEÁRNYCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC.

Základné pojmy.

Definícia 1. systém m lineárne rovnice s n neznáme je systém tvaru:

kde a sú čísla.

Definícia 2. Riešenie systému (I) je množina neznámych, v ktorej sa každá rovnica tohto systému stáva identitou.

Definícia 3. Systém (I) sa nazýva kĺb, ak má aspoň jedno riešenie a nekĺbové, ak nemá žiadne riešenia. Kĺbový systém je tzv istý, ak má jedinečné riešenie a neistý inak.

Definícia 4. Rovnica formulára

volal nula a rovnica má tvar

volal nezlučiteľné. Je zrejmé, že systém rovníc obsahujúci nekompatibilnú rovnicu je nekonzistentný.

Definícia 5. Nazývajú sa dva systémy lineárnych rovníc ekvivalent, ak každé riešenie jedného systému slúži ako riešenie druhého a naopak každé riešenie druhého systému je riešením prvého.

Maticová reprezentácia sústavy lineárnych rovníc.

Zoberme si systém (I) (pozri § 1).

Označme:

Koeficientová matica pre neznáme

Matica - stĺpec voľných termínov

Matica – stĺpec neznámych

.

Definícia 1. Matica sa nazýva hlavná matica systému(I) a matica je rozšírená matica systému (I).

Podľa definície rovnosti matíc systém (I) zodpovedá rovnosti matíc:

.

Pravá strana tejto rovnosti podľa definície súčinu matíc ( pozri definíciu 3 § 5 kapitola 1) možno faktorizovať:

, t.j.

Rovnosť (2) volal maticový zápis sústavy (I).

Riešenie sústavy lineárnych rovníc Cramerovou metódou.

Vpustite systém (I) (pozri § 1) m=n, t.j. počet rovníc sa rovná počtu neznámych a hlavná matica systému je nesingulárna, t.j. . Potom systém (I) z §1 má unikátne riešenie

kde Δ = det A nazývaný hlavný determinant systému(I), A i sa získa z determinantu Δ nahradením i stĺpec na stĺpec voľných členov systému (I).

Príklad: Vyriešte systém Cramerovou metódou:

.

Podľa vzorcov (3) .

Vypočítame determinanty systému:

,

,

.

Aby sme získali determinant, nahradili sme prvý stĺpec v determinante stĺpcom voľných členov; nahradením 2. stĺpca v determinante stĺpcom voľných členov dostaneme ; podobným spôsobom, nahradením 3. stĺpca v determinante stĺpcom voľných členov, dostaneme . Systémové riešenie:

Riešenie sústav lineárnych rovníc pomocou inverznej matice.

Vpustite systém (I) (pozri § 1) m=n a hlavná matica systému je nesingulárna. Napíšme systém (I) v maticovom tvare ( pozri §2):

pretože matice A nesingulár, potom má inverznú maticu ( pozri vetu 1 § 6 kapitoly 1). Vynásobme obe strany rovnosti (2) do matrice teda

Podľa definície inverznej matice. Z rovnosti (3) máme

Riešte systém pomocou inverznej matice

.

Označme

V príklade (§ 3) sme vypočítali determinant, teda maticu A má inverznú maticu. Potom v platnosti (4) , t.j.

. (5)

Poďme nájsť maticu ( pozri § 6 kapitola 1)

, , ,

, , ,

,

.

Gaussova metóda.

Nech je daný systém lineárnych rovníc:

. (ja)

Je potrebné nájsť všetky riešenia systému (I) alebo sa uistiť, že systém je nekonzistentný.

Definícia 1.Nazvime elementárnu transformáciu systému(I) ktorýkoľvek z troch úkonov:

1) prečiarknutie nulovej rovnice;

2) pridanie zodpovedajúcich častí inej rovnice na obe strany rovnice, vynásobené číslom l;

3) prehodenie pojmov v rovniciach sústavy tak, aby neznáme s rovnakými číslami vo všetkých rovniciach zaberali rovnaké miesta, t.j. ak sme napríklad v 1. rovnici zmenili 2. a 3. člen, tak to isté treba urobiť vo všetkých rovniciach sústavy.

Gaussova metóda spočíva v tom, že systém (I) sa pomocou elementárnych transformácií redukuje na ekvivalentný systém, ktorého riešenie sa priamo nájde alebo sa zistí jeho neriešiteľnosť.

Ako je opísané v § 2, systém (I) je jednoznačne určený svojou rozšírenou maticou a každá elementárna transformácia systému (I) zodpovedá elementárnej transformácii rozšírenej matice:

.

Transformácia 1) zodpovedá vymazaniu nultého riadku v matici, transformácia 2) je ekvivalentná pridania ďalšieho riadku do zodpovedajúceho riadku matice, vynásobeného číslom l, transformácia 3) je ekvivalentná preskupeniu stĺpcov v matici.

Je ľahké vidieť, že naopak, každá elementárna transformácia matice zodpovedá elementárnej transformácii systému (I). Vzhľadom na vyššie uvedené budeme namiesto operácií so systémom (I) pracovať s rozšírenou maticou tohto systému.

V matici tvoria 1. stĺpec koeficienty pre x 1, 2. stĺpec - z koeficientov za x 2 atď. Ak sú stĺpce preskupené, treba brať do úvahy, že táto podmienka je porušená. Napríklad, ak zameníme 1. a 2. stĺpec, tak teraz 1. stĺpec bude obsahovať koeficienty pre x 2, a v 2. stĺpci - koeficienty pre x 1.

Systém (I) budeme riešiť Gaussovou metódou.

1. Prečiarknite všetky nulové riadky v matici, ak existujú (t. j. prečiarknite všetky nulové rovnice v sústave (I).

2. Skontrolujeme, či sa medzi riadkami matice nachádza riadok, v ktorom sú všetky prvky okrem posledného rovné nule (nazvime takýto riadok nekonzistentný). Je zrejmé, že takáto čiara zodpovedá nekonzistentnej rovnici v systéme (I), preto systém (I) nemá riešenia a tu sa proces končí.

3. Nech matica neobsahuje nekonzistentné riadky (systém (I) neobsahuje nekonzistentné rovnice). Ak a 11 = 0, potom nájdeme v 1. riadku nejaký prvok (okrem posledného) iný ako nula a preusporiadame stĺpce tak, aby v 1. riadku nebola na 1. mieste nula. Teraz budeme predpokladať, že (t. j. zameníme zodpovedajúce členy v rovniciach systému (I)).

4. Vynásobte 1. riadok a výsledok sčítajte s 2. riadkom, potom vynásobte 1. riadok a pridajte výsledok s 3. riadkom atď. Je zrejmé, že tento proces je ekvivalentný odstraňovaniu neznámeho x 1 zo všetkých rovníc sústavy (I), okrem 1. V novej matici dostaneme nuly v 1. stĺpci pod prvkom 11:

.

5. Prečiarkneme všetky nulové riadky v matici, ak nejaké sú, a skontrolujeme, či tam nie je nekonzistentný riadok (ak je jeden, potom je systém nekonzistentný a riešenie tam končí). Skontrolujeme, či bude a 22/=0, ak áno, tak nájdeme v 2. riadku iný prvok ako nula a preusporiadame stĺpce tak, aby . Ďalej vynásobte prvky 2. riadku o a pridajte so zodpovedajúcimi prvkami 3. riadku, potom - prvky 2. riadku a pridajte so zodpovedajúcimi prvkami 4. riadku atď., až kým nedostaneme nuly pod 22/

.

Prijaté opatrenia sú ekvivalentné odstráneniu neznámeho x 2 zo všetkých rovníc sústavy (I), okrem 1. a 2. Keďže počet riadkov je konečný, teda po konečnom počte krokov dostaneme, že buď je systém nekonzistentný, alebo skončíme s krokovou maticou ( pozri definíciu 2 §7 kapitola 1) :

,

Napíšme sústavu rovníc zodpovedajúcu matici. Tento systém je ekvivalentný systému (I)

.

Z poslednej rovnice vyjadríme; dosadzujte do predchádzajúcej rovnice, nájdite atď., kým nedostaneme .

Poznámka 1. Pri riešení sústavy (I) Gaussovou metódou sa teda dostávame k jednému z nasledujúcich prípadov.

1. Systém (I) je nekonzistentný.

2. Systém (I) má jedinečné riešenie, ak sa počet riadkov v matici rovná počtu neznámych ().

3. Systém (I) má nekonečný počet riešení, ak je počet riadkov v matici menší ako počet neznámych ().

Preto platí nasledujúca veta.

Veta. Systém lineárnych rovníc je buď nekonzistentný, má jedinečné riešenie alebo má nekonečný počet riešení.

Príklady. Vyriešte sústavu rovníc Gaussovou metódou alebo dokážte jej nekonzistentnosť:

b) ;

a) Prepíšme daný systém do tvaru:

.

Zamenili sme 1. a 2. rovnicu pôvodného systému, aby sme zjednodušili výpočty (namiesto zlomkov budeme pri tomto preusporiadaní pracovať len s celými číslami).

Vytvorme rozšírenú maticu:

.

Neexistujú žiadne nulové riadky; neexistujú žiadne nekompatibilné riadky, ; Vylúčme 1. neznámu zo všetkých rovníc sústavy okrem 1. Za týmto účelom vynásobte prvky 1. riadku matice „-2“ a pridajte ich so zodpovedajúcimi prvkami 2. riadku, čo je ekvivalentné vynásobeniu 1. rovnice „-2“ a jej pripočítaniu k 2. rovnica. Potom prvky 1. riadku vynásobíme „-3“ a sčítame ich so zodpovedajúcimi prvkami tretieho riadku, t.j. vynásobte 2. rovnicu daného systému „-3“ a pridajte ju k 3. rovnici. Dostaneme

.

Matica zodpovedá sústave rovníc). - (pozri definíciu 3 ods. 7 kapitoly 1).

Uvažujme sústava lineárnych algebraických rovníc(SLAU) relatívne n neznámy X 1 , X 2 , ..., X n :

Tento systém v „zbalenej“ forme možno napísať takto:

S n i=1 a ij X j = b i , i=1,2, ..., n.

V súlade s pravidlom násobenia matice je možné zapísať uvažovaný systém lineárnych rovníc matricový formulár Ax=b, Kde

, ,.

Matrix A, ktorého stĺpce sú koeficienty pre zodpovedajúce neznáme a riadky sú koeficienty pre neznáme v príslušnej rovnici sa nazýva matice systému. Matica stĺpcov b, ktorej prvky sú pravými stranami rovníc systému, sa nazýva matica pravej strany alebo jednoducho pravej strane systému. Matica stĺpcov X , ktorého prvky sú neznáme neznáme, sa nazýva systémové riešenie.

Systém lineárnych algebraických rovníc zapísaných vo forme Ax=b, je maticová rovnica.

Ak systémová matica nedegenerované, potom má inverznú maticu a potom riešenie systému je Ax=b je daný vzorcom:

x=A -1 b.

Príklad Vyriešte systém maticová metóda.

Riešenie nájdime inverznú maticu pre maticu koeficientov systému

Vypočítajme determinant rozšírením pozdĺž prvého riadku:

Pretože Δ ≠ 0 , To A -1 existuje.

Inverzná matica bola nájdená správne.

Poďme nájsť riešenie systému

teda X 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Vyšetrenie:

7. Kronecker-Capelliho veta o kompatibilite sústavy lineárnych algebraických rovníc.

Systém lineárnych rovníc má tvar:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

Tu sú uvedené a i j a b i (i = ; j = ) a x j sú neznáme reálne čísla. Pomocou konceptu súčinu matíc môžeme prepísať systém (5.1) do tvaru:

kde A = (a i j) je matica pozostávajúca z koeficientov pre neznáme sústavy (5.1), ktorá je tzv. matice systému, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T sú stĺpcové vektory zložené z neznámych x j a voľných členov b i.

Objednaný odber n nazývame reálne čísla (c 1, c 2,..., c n). systémové riešenie(5.1), ak sa v dôsledku dosadenia týchto čísel namiesto zodpovedajúcich premenných x 1, x 2,..., x n zmení každá rovnica systému na aritmetickú identitu; inými slovami, ak existuje vektor C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T taký, že AC  B.

Zavolá sa systém (5.1). kĺb, alebo riešiteľný, ak má aspoň jedno riešenie. Systém je tzv nezlučiteľné, alebo neriešiteľný, ak nemá žiadne riešenia.

,

vytvorený priradením stĺpca voľných členov na pravú stranu matice A je tzv rozšírená matica systému.

Otázku kompatibility systému (5.1) rieši nasledujúca veta.

Kronecker-Capelliho veta . Systém lineárnych rovníc je konzistentný vtedy a len vtedy, ak sa rady matíc A aA zhodujú, t.j. r(A) = r(A) = r.

Pre množinu M riešení sústavy (5.1) existujú tri možnosti:

1) M =  (v tomto prípade je systém nekonzistentný);

2) M pozostáva z jedného prvku, t.j. systém má jedinečné riešenie (v tomto prípade je systém tzv istý);

3) M pozostáva z viac ako jedného prvku (potom sa systém nazýva neistý). V treťom prípade má systém (5.1) nekonečný počet riešení.

Systém má jednoznačné riešenie len vtedy, ak r(A) = n. V tomto prípade počet rovníc nie je menší ako počet neznámych (mn); ak m>n, potom m-n rovníc je dôsledkom ostatných. Ak 0

Na riešenie ľubovoľnej sústavy lineárnych rovníc potrebujete vedieť riešiť sústavy, v ktorých sa počet rovníc rovná počtu neznámych – tzv. Systémy typu Cramer:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Systémy (5.3) sa riešia jedným z nasledujúcich spôsobov: 1) Gaussova metóda alebo metóda eliminácie neznámych; 2) podľa Cramerových vzorcov; 3) maticová metóda.

Príklad 2.12. Preskúmajte systém rovníc a vyriešte ho, ak je konzistentný:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 – 3 x 2 – 6 x 3 + 5 x 4 = 0.

Riešenie. Vypíšeme rozšírenú maticu systému:

 .

Vypočítajme hodnosť hlavnej matice systému. Je zrejmé, že napríklad vedľajší druh druhého rádu v ľavom hornom rohu = 7  0; maloletí tretieho rádu, ktorí ho obsahujú, sa rovnajú nule:

V dôsledku toho je poradie hlavnej matice systému 2, t.j. r(A) = 2. Na výpočet poradia rozšírenej matice A zvážte hraničnú vedľajšiu

to znamená, že poradie rozšírenej matice r(A) = 3. Keďže r(A)  r(A), systém je nekonzistentný.

Sústava m lineárnych rovníc s n neznámymi nazývaný systém formulára

Kde a ij A b i (i=1,…,m; b=1,…,n) sú niektoré známe čísla a x 1,…,x n– neznámy. V označení koeficientov a ij prvý index i označuje číslo rovnice a druhé j– číslo neznámej, pri ktorej tento koeficient stojí.

Koeficienty pre neznáme budeme zapisovať vo forme matice , ktorú zavoláme matice systému.

Čísla na pravej strane rovníc sú b1,...,b m sa volajú voľných členov.

Totalita nčísla c 1,…,c n volal rozhodnutie danej sústavy, ak sa každá rovnica sústavy po dosadení čísel do nej stane rovnosťou c 1,…,c n namiesto zodpovedajúcich neznámych x 1,…,x n.

Našou úlohou bude nájsť riešenia systému. V tomto prípade môžu nastať tri situácie:

Systém lineárnych rovníc, ktorý má aspoň jedno riešenie, sa nazýva kĺb. V opačnom prípade, t.j. ak systém nemá riešenia, tak sa volá nekĺbové.

Pozrime sa na spôsoby, ako nájsť riešenia systému.

MATICOVÁ METÓDA NA RIEŠENIE SYSTÉMOV LINEÁRNYCH ROVNIC

Matice umožňujú stručne zapísať sústavu lineárnych rovníc. Nech je daný systém 3 rovníc s tromi neznámymi:

Zvážte maticu systému a matice stĺpce neznámych a voľných výrazov

Poďme nájsť prácu

tie. ako výsledok súčinu získame ľavé strany rovníc tohto systému. Potom pomocou definície maticovej rovnosti možno tento systém zapísať do tvaru

alebo kratšie A∙X = B.

Tu sú matrice A A B sú známe a matice X neznámy. Je potrebné ho nájsť, pretože... jeho prvky sú riešením tohto systému. Táto rovnica sa nazýva maticová rovnica.

Nech je determinant matice odlišný od nuly | A| ≠ 0. Potom sa maticová rovnica vyrieši nasledovne. Vynásobte obe strany rovnice vľavo maticou A-1, inverzná k matici A: . Pretože A-1 A = E A E∙X = X, potom získame riešenie maticovej rovnice v tvare X = A-1 B .

Všimnite si, že keďže inverznú maticu možno nájsť len pre štvorcové matice, maticová metóda môže riešiť len tie systémy, v ktorých počet rovníc sa zhoduje s počtom neznámych. Maticový záznam systému je však možný aj v prípade, keď sa počet rovníc nerovná počtu neznámych, potom matica A nebude hranatý a preto nie je možné nájsť riešenie systému vo forme X = A-1 B.

Príklady. Riešiť sústavy rovníc.

CRAMEROVO PRAVIDLO

Uvažujme systém 3 lineárnych rovníc s tromi neznámymi:

Determinant tretieho rádu zodpovedajúci matici systému, t.j. zložené z koeficientov pre neznáme,

volal determinant systému.

Zostavme ďalšie tri determinanty takto: nahraďte postupne 1, 2 a 3 stĺpce v determinante D stĺpcom voľných členov

Potom môžeme dokázať nasledujúci výsledok.

Veta (Cramerovo pravidlo). Ak je determinant sústavy Δ ≠ 0, potom uvažovaná sústava má len jedno riešenie a

Dôkaz. Uvažujme teda systém 3 rovníc s tromi neznámymi. Vynásobme 1. rovnicu sústavy algebraickým doplnkom A 11 element 11, 2. rovnica – zap A 21 a 3. – dňa A 31:

Pridajme tieto rovnice:

Pozrime sa na každú zo zátvoriek a pravú stranu tejto rovnice. Podľa vety o expanzii determinantu v prvkoch 1. stĺpca

Podobne možno ukázať, že a .

Nakoniec je ľahké si to všimnúť

Získame teda rovnosť: .

Preto, .

Rovnosti a sú odvodené podobne, z čoho vyplýva výrok vety.

Poznamenávame teda, že ak je determinant systému Δ ≠ 0, potom má systém jedinečné riešenie a naopak. Ak je determinant sústavy rovný nule, tak sústava má buď nekonečný počet riešení, alebo nemá riešenia, t.j. nezlučiteľné.

Príklady. Riešiť sústavu rovníc

GAUSSOVÁ METÓDA

Vyššie diskutované metódy možno použiť na riešenie iba tých systémov, v ktorých sa počet rovníc zhoduje s počtom neznámych a determinant systému musí byť odlišný od nuly. Gaussova metóda je univerzálnejšia a vhodná pre systémy s ľubovoľným počtom rovníc. Spočíva v dôslednom odstraňovaní neznámych z rovníc sústavy.

Zvážte znova systém troch rovníc s tromi neznámymi:

.

Prvú rovnicu necháme nezmenenú a z 2. a 3. vylúčime členy obsahujúce x 1. Ak to chcete urobiť, vydeľte druhú rovnicu o A 21 a vynásobte - A 11 a potom ho pridajte do 1. rovnice. Podobne delíme tretiu rovnicu o A 31 a vynásobte - A 11 a potom ho pridajte k prvému. V dôsledku toho bude mať pôvodný systém podobu:

Teraz z poslednej rovnice vylúčime člen obsahujúci x 2. Ak to chcete urobiť, vydeľte tretiu rovnicu, vynásobte a pridajte s druhou. Potom budeme mať systém rovníc:

Odtiaľto z poslednej rovnice je ľahké nájsť x 3, potom z 2. rovnice x 2 a nakoniec od 1. x 1.

Pri použití Gaussovej metódy je možné rovnice v prípade potreby prehodiť.

Často sa namiesto písania nového systému rovníc obmedzujú na písanie rozšírenej matice systému:

a potom ho pomocou elementárnych transformácií priviesť do trojuholníkového alebo diagonálneho tvaru.

TO elementárne transformácie matice zahŕňajú nasledujúce transformácie:

1. preusporiadanie riadkov alebo stĺpcov;
2. násobenie reťazca číslom iným ako nula;
3. pridanie ďalších riadkov do jedného riadku.

Príklady: Riešiť sústavy rovníc pomocou Gaussovej metódy.

Systém má teda nekonečné množstvo riešení.

Používanie rovníc je v našich životoch veľmi rozšírené. Používajú sa pri mnohých výpočtoch, stavbe konštrukcií a dokonca aj v športe. Človek používal rovnice v staroveku a odvtedy sa ich používanie len zvyšuje. Maticová metóda vám umožňuje nájsť riešenia SLAE (systémy lineárnych algebraických rovníc) akejkoľvek zložitosti. Celý proces riešenia SLAE pozostáva z dvoch hlavných krokov:

Určenie inverznej matice na základe hlavnej matice:

Násobenie výslednej inverznej matice stĺpcovým vektorom riešení.

Predpokladajme, že dostaneme SLAE v nasledujúcom tvare:

\[\left\(\začiatok(matica) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \koniec(matica)\vpravo.\]

Začnime riešiť túto rovnicu napísaním matice systému:

Matica na pravej strane:

Definujme inverznú maticu. Maticu 2. rádu môžete nájsť nasledovne: 1 - samotná matica musí byť nejednotná; 2 - jeho prvky, ktoré sú na hlavnej uhlopriečke, sa vymenia a pre prvky vedľajšej uhlopriečky zmeníme znamienko na opačné, potom výsledné prvky vydelíme determinantom matice. Dostaneme:

\[\začiatok(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\začiatok(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Pravá šípka \začiatok(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]

2 matice sa považujú za rovnaké, ak sú ich zodpovedajúce prvky rovnaké. V dôsledku toho máme pre riešenie SLAE nasledujúcu odpoveď:

Kde môžem vyriešiť systém rovníc pomocou maticovej metódy online?

Systém rovníc môžete vyriešiť na našej webovej stránke. Bezplatný online riešiteľ vám umožní vyriešiť online rovnice akejkoľvek zložitosti v priebehu niekoľkých sekúnd. Všetko, čo musíte urobiť, je jednoducho zadať svoje údaje do riešiteľa. Ako vyriešiť rovnicu nájdete aj na našej webovej stránke. A ak máte stále otázky, môžete sa ich opýtať v našej skupine VKontakte.