Cum se rezolvă numerele complexe. Expresii, ecuații și sisteme de ecuații cu numere complexe

Utilizarea ecuațiilor este larg răspândită în viața noastră. Ele sunt folosite în multe calcule, construcție de structuri și chiar sport. Omul a folosit ecuații în antichitate, iar de atunci utilizarea lor a crescut. Pentru claritate, să rezolvăm următoarea problemă:

Calculați \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] dacă \

În primul rând, să fim atenți la faptul că un număr este prezentat sub formă algebrică, celălalt sub formă trigonometrică. Trebuie simplificat și adus la următoarea formă

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Expresia \ spune că în primul rând facem înmulțirea și ridicarea la puterea a 10-a folosind formula Moivre. Această formulă este formulată pentru forma trigonometrică a unui număr complex. Primim:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Urmând regulile de înmulțire a numerelor complexe în formă trigonometrică, facem următoarele:

În cazul nostru:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Făcând corectă fracția \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\], ajungem la concluzia că putem „răsuci” 4 ture \[(8\pi rad.): \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Răspuns: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Această ecuație poate fi rezolvată într-un alt mod, care se rezumă la aducerea celui de-al 2-lea număr în formă algebrică, apoi efectuarea înmulțirii în formă algebrică, convertirea rezultatului în formă trigonometrică și aplicarea formulei lui Moivre:

Unde pot rezolva online un sistem de ecuații cu numere complexe?

Puteți rezolva sistemul de ecuații pe site-ul nostru https://site. Rezolvatorul online gratuit vă va permite să rezolvați ecuații online de orice complexitate în câteva secunde. Tot ce trebuie să faceți este să introduceți pur și simplu datele dvs. în soluție. De asemenea, puteți viziona instrucțiuni video și puteți afla cum să rezolvați ecuația pe site-ul nostru. Și dacă mai aveți întrebări, le puteți adresa în grupul nostru VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Alătură-te grupului nostru, suntem mereu bucuroși să te ajutăm.

Pentru a rezolva probleme cu numere complexe, trebuie să înțelegeți definițiile de bază. Scopul principal al acestui articol de revizuire este de a explica ce sunt numerele complexe și de a prezenta metode de rezolvare a problemelor de bază cu numere complexe. Deci, un număr complex va fi numit număr al formei z = a + bi, Unde a, b- numerele reale, care se numesc părțile reale și, respectiv, imaginare ale unui număr complex, și denotă a = Re(z), b=Im(z).
i numită unitatea imaginară. i 2 = -1. În special, orice număr real poate fi considerat complex: a = a + 0i, unde a este real. Dacă a = 0Și b ≠ 0, atunci numărul este de obicei numit pur imaginar.

Acum să introducem operații pe numere complexe.
Luați în considerare două numere complexe z 1 = a 1 + b 1 iȘi z 2 = a 2 + b 2 i.

Sa luam in considerare z = a + bi.

Mulțimea numerelor complexe extinde mulțimea numerelor reale, care la rândul său extinde mulțimea numerelor raționale etc. Acest lanț de investiții poate fi văzut în figură: N – numere naturale, Z – numere întregi, Q – rațional, R – real, C – complex.

Reprezentarea numerelor complexe

Notația algebrică.

Luați în considerare un număr complex z = a + bi, această formă de scriere a unui număr complex se numește algebric. Am discutat deja despre această formă de înregistrare în detaliu în secțiunea anterioară. Următorul desen vizual este folosit destul de des

Forma trigonometrică.

Din figură se poate observa că numărul z = a + bi poate fi scris diferit. Este evident că a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, prin urmare z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) se numește argumentul unui număr complex. Această reprezentare a unui număr complex se numește formă trigonometrică. Forma trigonometrică a notației este uneori foarte convenabilă. De exemplu, este convenabil să îl folosiți pentru a ridica un număr complex la o putere întreagă, și anume, dacă z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Acea z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, această formulă se numește formula lui Moivre.

Forma demonstrativă.

Sa luam in considerare z = rcos(φ) + rsin(φ)i- un număr complex în formă trigonometrică, scrieți-l într-o altă formă z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, ultima egalitate rezultă din formula lui Euler, astfel am obținut o nouă formă de scriere a unui număr complex: z = re iφ, Care e numit indicativ. Această formă de notație este, de asemenea, foarte convenabilă pentru ridicarea unui număr complex la o putere: z n = r n e inφ, Aici n nu neapărat un număr întreg, dar poate fi un număr real arbitrar. Această formă de notație este destul de des folosită pentru a rezolva probleme.

Teorema fundamentală a algebrei superioare

Să ne imaginăm că avem o ecuație pătratică x 2 + x + 1 = 0. Evident, discriminantul acestei ecuații este negativ și nu are rădăcini reale, dar rezultă că această ecuație are două rădăcini complexe diferite. Deci, teorema fundamentală a algebrei superioare afirmă că orice polinom de grad n are cel puțin o rădăcină complexă. De aici rezultă că orice polinom de gradul n are exact n rădăcini complexe, ținând cont de multiplicitatea acestora. Această teoremă este un rezultat foarte important în matematică și este utilizată pe scară largă. Un simplu corolar al acestei teoreme este că există exact n rădăcini diferite de gradul n de unitate.

Principalele tipuri de sarcini

Această secțiune va analiza principalele tipuri de probleme simple care implică numere complexe. În mod convențional, problemele care implică numere complexe pot fi împărțite în următoarele categorii.

• Efectuarea de operații aritmetice simple pe numere complexe.
• Găsirea rădăcinilor polinoamelor în numere complexe.
• Ridicarea numerelor complexe la puteri.
• Extragerea rădăcinilor din numere complexe.
• Utilizarea numerelor complexe pentru a rezolva alte probleme.

Acum să ne uităm la metodele generale de rezolvare a acestor probleme.

Cele mai simple operații aritmetice cu numere complexe sunt efectuate conform regulilor descrise în prima secțiune, dar dacă numerele complexe sunt prezentate în forme trigonometrice sau exponențiale, atunci în acest caz le puteți converti în formă algebrică și puteți efectua operații conform regulilor cunoscute.

Găsirea rădăcinilor polinoamelor se reduce de obicei la găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice. Să presupunem că avem o ecuație pătratică, dacă discriminantul ei este nenegativ, atunci rădăcinile sale vor fi reale și pot fi găsite după o formulă binecunoscută. Dacă discriminantul este negativ, adică D = -1∙a 2, Unde A este un anumit număr, atunci discriminantul poate fi reprezentat ca D = (ia) 2, prin urmare √D = i|a|, și apoi puteți utiliza formula deja cunoscută pentru rădăcinile unei ecuații pătratice.

Exemplu. Să revenim la ecuația pătratică menționată mai sus x 2 + x + 1 = 0.
discriminant - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Acum putem găsi cu ușurință rădăcinile:

Ridicarea numerelor complexe la puteri se poate face în mai multe moduri. Dacă trebuie să ridicați un număr complex în formă algebrică la o putere mică (2 sau 3), atunci puteți face acest lucru prin înmulțire directă, dar dacă puterea este mai mare (în probleme este adesea mult mai mare), atunci trebuie să scrieți acest număr în forme trigonometrice sau exponențiale și folosiți metode deja cunoscute.

Exemplu. Se consideră z = 1 + i și se ridică la a zecea putere.
Să scriem z în formă exponențială: z = √2 e iπ/4.
Apoi z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Să revenim la forma algebrică: z 10 = -32i.

Extragerea rădăcinilor din numere complexe este operația inversă de exponențiere și, prin urmare, se realizează într-un mod similar. Pentru a extrage rădăcini, este adesea folosită forma exponențială de scriere a unui număr.

Exemplu. Să găsim toate rădăcinile de gradul 3 de unitate. Pentru a face acest lucru, vom găsi toate rădăcinile ecuației z 3 = 1, vom căuta rădăcinile în formă exponențială.
Să substituim în ecuație: r 3 e 3iφ = 1 sau r 3 e 3iφ = e 0 .
Prin urmare: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, deci φ = 2πk/3.
Se obțin rădăcini diferite la φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Prin urmare 1, e i2π/3, e i4π/3 sunt rădăcini.
Sau sub formă algebrică:

Ultimul tip de probleme include o mare varietate de probleme și nu există metode generale de rezolvare a acestora. Să dăm un exemplu simplu de astfel de sarcină:

Găsiți suma sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Deși formularea acestei probleme nu implică numere complexe, ea poate fi ușor rezolvată cu ajutorul acestora. Pentru a o rezolva, se folosesc următoarele reprezentări:


Dacă substituim acum această reprezentare în sumă, atunci problema se reduce la însumarea progresiei geometrice obișnuite.

Concluzie

Numerele complexe sunt utilizate pe scară largă în matematică; acest articol de revizuire a examinat operațiile de bază asupra numerelor complexe, a descris mai multe tipuri de probleme standard și a descris pe scurt metodele generale de rezolvare a acestora; pentru un studiu mai detaliat al capacităților numerelor complexe, se recomandă să folosi literatura de specialitate.

Literatură

AGENȚIA FEDERALĂ PENTRU EDUCAȚIE

INSTITUȚIE DE ÎNVĂȚĂMÂNT DE STAT

ÎNVĂŢĂMÂNT PROFESIONAL SUPERIOR

„UNIVERSITATEA PEDAGOGICĂ DE STAT VORONEZH”

DEPARTAMENTUL AGLEBRA SI GEOMETRIE

Numere complexe

(sarcini selectate)

MUNCĂ DE CALIFICARE DE LICENZIAT

specialitatea 050201.65 matematica

(cu specialitatea suplimentară 050202.65 informatică)

Completat de: student anul 5

fizice si matematice

facultate

Consilier stiintific:

VORONEZH – 2008

1. Introducere……………………………………………………...…………..…

2. Numere complexe (probleme selectate)

2.1. Numere complexe în formă algebrică….……………….….

2.2. Interpretarea geometrică a numerelor complexe…………..…

2.3. Forma trigonometrică a numerelor complexe

2.4. Aplicarea teoriei numerelor complexe la soluționarea ecuațiilor de gradul 3 și 4…………………………………………………………………………

2.5. Numere și parametri complexi……………………………………………….

3. Concluzie……………………………………………………………………………….

4. Lista referințelor…………………………………………………….

1. Introducere

În programa școlară de matematică, teoria numerelor este introdusă folosind exemple de mulțimi de numere naturale, întregi, raționale, iraționale, i.e. pe setul de numere reale, ale căror imagini umplu întreaga linie numerică. Dar deja în clasa a VIII-a nu există suficientă ofertă de numere reale, rezolvând ecuații pătratice cu un discriminant negativ. Prin urmare, a fost necesară completarea stocului de numere reale cu ajutorul numerelor complexe, pentru care rădăcina pătrată a unui număr negativ are sens.

Alegerea temei „Numere complexe” ca subiect al lucrării mele de calificare finală este că conceptul de număr complex extinde cunoștințele studenților despre sistemele de numere, despre rezolvarea unei clase largi de probleme cu conținut atât algebric, cât și geometric, despre rezolvarea algebrică. ecuaţii de orice grad şi despre rezolvarea problemelor cu parametri.

Această teză examinează soluția a 82 de probleme.

Prima parte a secțiunii principale „Numere complexe” oferă soluții la problemele cu numere complexe în formă algebrică, definește operațiile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire, operația de conjugare pentru numere complexe în formă algebrică, puterea unei unități imaginare , modulul unui număr complex și, de asemenea, stabilește regula de extragere a rădăcinii pătrate a unui număr complex.

În a doua parte sunt rezolvate probleme de interpretare geometrică a numerelor complexe sub formă de puncte sau vectori ai planului complex.

Partea a treia examinează operațiile pe numere complexe în formă trigonometrică. Formulele folosite sunt: ​​Moivre și extragerea rădăcinii unui număr complex.

A patra parte este dedicată rezolvării ecuațiilor de gradul 3 și 4.

La rezolvarea problemelor din ultima parte, „Numere și parametri complexe”, se utilizează și se consolidează informațiile date în părțile anterioare. O serie de probleme din capitol sunt consacrate determinării familiilor de drepte în planul complex definit prin ecuații (inegalități) cu un parametru. În parte din exerciții trebuie să rezolvați ecuații cu un parametru (peste câmpul C). Există sarcini în care o variabilă complexă satisface simultan o serie de condiții. O caracteristică specială a rezolvării problemelor din această secțiune este reducerea multora dintre ele la rezolvarea ecuațiilor (inegalități, sisteme) de gradul doi, iraționale, trigonometrice cu un parametru.

O caracteristică a prezentării materialului în fiecare parte este introducerea inițială a fundamentelor teoretice și, ulterior, aplicarea lor practică în rezolvarea problemelor.

La sfârșitul tezei există o listă de referințe utilizate. Majoritatea prezintă material teoretic suficient de detaliat și într-o manieră accesibilă, discută soluții la unele probleme și oferă sarcini practice pentru soluții independente. Aș dori să acord o atenție deosebită unor surse precum:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Numerele complexe și aplicațiile lor: manual. . Materialul manualului este prezentat sub formă de prelegeri și exerciții practice.

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Probleme și teoreme alese ale matematicii elementare. Aritmetică și algebră. Cartea conține 320 de probleme legate de algebră, aritmetică și teoria numerelor. Aceste sarcini diferă semnificativ ca natură de sarcinile școlare standard.

2. Numere complexe (probleme selectate)

2.1. Numere complexe în formă algebrică

Rezolvarea multor probleme din matematică și fizică se rezumă la rezolvarea ecuațiilor algebrice, i.e. ecuații ale formei

,

unde a0, a1, …, an sunt numere reale. Prin urmare, studiul ecuațiilor algebrice este una dintre cele mai importante probleme din matematică. De exemplu, o ecuație pătratică cu un discriminant negativ nu are rădăcini reale. Cea mai simplă astfel de ecuație este ecuația

.

Pentru ca această ecuație să aibă o soluție, este necesar să extindem mulțimea numerelor reale adăugând la aceasta rădăcina ecuației

.

Să notăm această rădăcină prin

. Astfel, prin definiție, sau,

prin urmare,

. numită unitatea imaginară. Cu ajutorul ei și cu ajutorul unei perechi de numere reale se alcătuiește o expresie a formei.

Expresia rezultată a fost numită numere complexe deoarece conțineau atât părți reale, cât și imaginare.

Deci, numerele complexe sunt expresii ale formei

, și sunt numere reale și este un anumit simbol care satisface condiția . Numărul se numește partea reală a unui număr complex, iar numărul este partea sa imaginară. Simbolurile , sunt folosite pentru a le desemna.

Numere complexe ale formei

sunt numere reale și, prin urmare, mulțimea numerelor complexe conține mulțimea numerelor reale.

Numere complexe ale formei

sunt numite pur imaginare. Două numere complexe de forma și se spune că sunt egale dacă părțile lor reale și imaginare sunt egale, i.e. dacă egalități , .

Notarea algebrică a numerelor complexe permite operații asupra lor conform regulilor obișnuite ale algebrei.

Expresii, ecuații și sisteme de ecuații
cu numere complexe

Astăzi la clasă vom exersa operații tipice cu numere complexe și, de asemenea, vom stăpâni tehnica rezolvării expresiilor, ecuațiilor și sistemelor de ecuații care conțin aceste numere. Acest atelier este o continuare a lecției și, prin urmare, dacă nu sunteți bine versat în subiect, atunci vă rugăm să urmați linkul de mai sus. Ei bine, pentru cititorii mai pregătiți, vă sugerez să vă încălziți imediat:

Exemplul 1

Simplificați o expresie , Dacă . Reprezentați rezultatul în formă trigonometrică și reprezentați-l pe plan complex.

Soluţie: deci, trebuie să înlocuiți fracția în fracția „teribilă”, să efectuați simplificări și să convertiți rezultatul număr complex V formă trigonometrică . Plus un desen.

Care este cel mai bun mod de a oficializa decizia? Este mai profitabil să faci pas cu pas cu o expresie algebrică „sofisticată”. În primul rând, atenția este mai puțin distrasă, iar în al doilea rând, dacă sarcina nu este acceptată, va fi mult mai ușor să găsiți eroarea.

1) Mai întâi, să simplificăm numărătorul. Să înlocuim valoarea în ea, să deschidem parantezele și să reparăm coafura:

...Da, un astfel de Quasimodo a venit din numere complexe...

Permiteți-mi să vă reamintesc că în timpul transformărilor se folosesc lucruri complet simple - regula înmulțirii polinoamelor și egalitatea care a devenit deja banală. Principalul lucru este să fii atent și să nu te încurci de semne.

2) Acum vine numitorul. Daca atunci:

Observați în ce interpretare neobișnuită este folosită formula sumei pătrate . Alternativ, puteți efectua o rearanjare aici subformula Rezultatele vor fi în mod natural aceleași.

3) Și în sfârșit, întreaga expresie. Daca atunci:

Pentru a scăpa de o fracție, înmulțiți numărătorul și numitorul cu expresia conjugată a numitorului. Totodată, în scopul aplicării formule de diferență pătrată trebuie mai întâi (și deja obligatoriu!) pune partea reală negativă pe locul 2:

Și acum regula cheie:

NU SUNTEM NICIO GRABĂ! Este mai bine să joci în siguranță și să faci un pas în plus.
În expresii, ecuații și sisteme cu numere complexe, calcule verbale prezumtive mai încordat ca niciodată!

A fost o reducere bună în pasul final și acesta este doar un semn grozav.

Notă : strict vorbind, aici a avut loc împărțirea unui număr complex la numărul complex 50 (rețineți că). Am tăcut până acum despre această nuanță și despre ea vom vorbi puțin mai târziu.

Să denotăm realizarea noastră cu scrisoarea

Să prezentăm rezultatul obținut sub formă trigonometrică. În general, aici te poți descurca fără un desen, dar deoarece este necesar, este ceva mai rațional să o faci chiar acum:

Să calculăm modulul unui număr complex:

Dacă desenezi pe o scară de 1 unitate. = 1 cm (2 celule de notebook), atunci valoarea obținută poate fi verificată cu ușurință folosind o riglă obișnuită.

Să găsim un argument. Deoarece numărul este situat în al 2-lea trimestru de coordonate, atunci:

Unghiul poate fi verificat cu ușurință cu un raportor. Acesta este avantajul incontestabil al desenului.

Astfel: – numărul cerut în formă trigonometrică.

Sa verificam:
, ceea ce trebuia verificat.

Este convenabil să găsiți valori nefamiliare ale sinusului și cosinusului folosind tabel trigonometric .

Răspuns:

Un exemplu similar pentru o soluție independentă:

Exemplul 2

Simplificați o expresie , Unde . Desenați numărul rezultat pe planul complex și scrieți-l în formă exponențială.

Încercați să nu săriți peste tutoriale. Ele pot părea simple, dar fără antrenament, „a intra într-o băltoacă” nu este doar ușor, ci și foarte ușor. Prin urmare, „punem mâna pe asta”.

Adesea, o problemă are mai multe soluții:

Exemplul 3

Calculați dacă,

Soluţie: în primul rând, să fim atenți la condiția inițială - un număr este prezentat în algebric, iar celălalt în formă trigonometrică și chiar cu grade. Să-l rescriem imediat într-o formă mai familiară: .

În ce formă ar trebui efectuate calculele? Expresia implică, evident, prima înmulțire și ridicarea în continuare la puterea a 10-a formula lui Moivre , care este formulat pentru forma trigonometrică a unui număr complex. Deci pare mai logic să convertiți primul număr. Să-i găsim modulul și argumentul:

Folosim regula pentru înmulțirea numerelor complexe în formă trigonometrică:
daca atunci

Făcând fracția corectă, ajungem la concluzia că putem „răuci” 4 ture ( bucuros.):

A doua soluție este de a converti al 2-lea număr în formă algebrică , efectuați înmulțirea în formă algebrică, convertiți rezultatul în formă trigonometrică și utilizați formula lui Moivre.

După cum puteți vedea, există o acțiune „în plus”. Cei care doresc pot urma decizia și se pot asigura că rezultatele sunt aceleași.

Condiția nu spune nimic despre forma numărului complex final, deci:

Răspuns:

Dar „pentru frumusețe” sau la cerere, rezultatul nu este greu de imaginat în formă algebrică:

Pe cont propriu:

Exemplul 4

Simplificați o expresie

Aici trebuie să ne amintim acţiuni cu grade , deși nu există o singură regulă utilă în manual, aici este: .

Și încă o notă importantă: exemplul poate fi rezolvat în două stiluri. Prima opțiune este să lucrezi cu Două numere și fiind de acord cu fracțiile. A doua opțiune este de a reprezenta fiecare număr ca coeficientul a doua numere: Și scapă de structura cu patru etaje . Din punct de vedere formal, nu contează cum decizi, dar există o diferență de fond! Vă rugăm să vă gândiți cu atenție la:
este un număr complex;
este câtul a două numere complexe ( și ), dar în funcție de context, puteți spune și așa: un număr reprezentat ca câtul a două numere complexe.

O scurtă soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

Expresiile sunt bune, dar ecuațiile sunt mai bune:

Ecuații cu coeficienți complexi

Cum sunt ele diferite de ecuații „obișnuite”.? Cote =)

În lumina comentariului de mai sus, să începem cu acest exemplu:

Exemplul 5

Rezolvați ecuația

Și un preambul imediat „fierbinte pe călcâie”: inițial partea dreaptă a ecuației este poziționată ca câtul a două numere complexe (și 13) și, prin urmare, ar fi proastă să rescrieți condiția cu numărul (deși acest lucru nu va provoca o eroare). Această diferență, apropo, este mai clar vizibilă în fracție - dacă, relativ vorbind, atunci această valoare este înțeleasă în primul rând ca rădăcina complexă „completă” a ecuației, și nu ca divizor al unui număr, și mai ales ca parte a unui număr!

Soluţie, în principiu, se poate face și pas cu pas, dar în acest caz jocul nu merită lumânarea. Sarcina inițială este de a simplifica tot ceea ce nu conține necunoscutul „z”, rezultând ca ecuația să fie redusă la forma:

Simplificăm cu încredere fracția de mijloc:

Transferăm rezultatul în partea dreaptă și găsim diferența:

Notă : și din nou vă atrag atenția asupra punctului semnificativ - aici nu am scăzut un număr dintr-un număr, ci am adus fracțiile la un numitor comun! Trebuie remarcat că deja în PROGRES de rezolvare nu este interzis să lucrați cu numere: , cu toate acestea, în exemplul în cauză, acest stil este mai dăunător decât util =)

Conform regulii proporției, exprimăm „zet”:

Acum puteți împărți și înmulți din nou cu conjugat, dar numerele suspect de similare din numărător și numitor sugerează următoarea mișcare:

Răspuns:

Pentru a verifica, să înlocuim valoarea rezultată în partea stângă a ecuației inițiale și să facem simplificări:

– se obține partea dreaptă a ecuației inițiale, astfel rădăcina este găsită corect.

...Acum, acum... Voi găsi ceva mai interesant pentru tine... iată:

Exemplul 6

Rezolvați ecuația

Această ecuație se reduce la forma , ceea ce înseamnă că este liniară. Cred că sugestia este clară - mergi!

Desigur... cum poți trăi fără el:

Ecuație pătratică cu coeficienți complexi

La lectie Numere complexe pentru manechine am aflat că o ecuație pătratică cu coeficienți reali poate avea rădăcini complexe conjugate, după care apare o întrebare logică: de ce, de fapt, coeficienții înșiși nu pot fi complexi? Permiteți-mi să formulez un caz general:

Ecuație pătratică cu coeficienți complexi arbitrari (1 sau 2 dintre care sau toate trei pot fi, în special, valide) Are doi și numai doi rădăcină complexă (posibil unul sau ambele sunt valide). În același timp, rădăcinile (atât real, cât și cu parte imaginară diferită de zero) pot coincide (fi multipli).

O ecuație pătratică cu coeficienți complexi este rezolvată folosind aceeași schemă ca ecuația „școală”. , cu unele diferențe în tehnica de calcul:

Exemplul 7

Găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice

Soluţie: unitatea imaginară este pe primul loc și, în principiu, poți scăpa de ea (înmulțind ambele părți cu), cu toate acestea, nu este nevoie în mod special de acest lucru.

Pentru comoditate, scriem coeficienții:

Să nu pierdem „minusul” unui membru gratuit! ...Este posibil să nu fie clar pentru toată lumea - voi rescrie ecuația în formă standard :

Să calculăm discriminantul:

Și aici este principalul obstacol:

Aplicarea formulei generale pentru extragerea rădăcinii (vezi ultimul paragraf al articolului Numere complexe pentru manechine ) complicată de dificultăți grave asociate cu argumentul numărului complex radical (convinge-te singur). Dar există o altă modalitate, „algebrică”! Vom căuta rădăcina sub forma:

Să pătram ambele părți:

Două numere complexe sunt egale dacă părțile lor reale și imaginare sunt egale. Astfel, obținem următorul sistem:

Sistemul este mai ușor de rezolvat prin selectare (o modalitate mai amănunțită este de a exprima din a 2-a ecuație - înlocuiți în prima, obțineți și rezolvați o ecuație biquadratică). Presupunând că autorul problemei nu este un monstru, propunem ipoteza că și sunt numere întregi. Din prima ecuație rezultă că „x” modulo mai mult decât „Y”. În plus, produsul pozitiv ne spune că necunoscutele sunt de același semn. Pe baza celor de mai sus și concentrându-ne pe a 2-a ecuație, notăm toate perechile care se potrivesc cu aceasta:

Este evident că prima ecuație a sistemului este satisfăcută de ultimele două perechi, astfel:

O verificare intermediară nu ar strica:

care era ceea ce trebuia verificat.

Puteți alege ca rădăcină „de lucru”. orice sens. Este clar că este mai bine să luați versiunea fără „contra”:

Găsim rădăcinile, fără a uita, de altfel, că:

Răspuns:

Să verificăm dacă rădăcinile găsite satisfac ecuația :

1) Să înlocuim:

egalitate adevărată.

2) Să înlocuim:

egalitate adevărată.

Astfel, soluția a fost găsită corect.

Pe baza problemei pe care tocmai am discutat:

Exemplul 8

Găsiți rădăcinile ecuației

Trebuie remarcat faptul că rădăcina pătrată a pur complex numerele pot fi extrase cu ușurință folosind formula generală , Unde , deci ambele metode sunt prezentate în eșantion. A doua remarcă utilă se referă la faptul că extragerea preliminară a rădăcinii unei constante nu simplifică deloc soluția.

Acum te poți relaxa - în acest exemplu vei scăpa cu o ușoară frică :)

Exemplul 9

Rezolvați ecuația și verificați

Soluții și răspunsuri la sfârșitul lecției.

Ultimul paragraf al articolului este dedicat

sistem de ecuații cu numere complexe

Să ne relaxăm și... nu te încordăm =) Să luăm în considerare cel mai simplu caz - un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute:

Exemplul 10

Rezolvați sistemul de ecuații. Prezentați răspunsul în forme algebrice și exponențiale, descrieți rădăcinile în desen.

Soluţie: condiția în sine sugerează că sistemul are o soluție unică, adică trebuie să găsim două numere care să satisfacă Pentru fiecare ecuația sistemului.

Sistemul poate fi într-adevăr rezolvat într-un mod „copilăr”. (exprimă o variabilă în termenii alteia ) , cu toate acestea, este mult mai convenabil de utilizat formulele lui Cramer . Să calculăm determinant principal sisteme:

, ceea ce înseamnă că sistemul are o soluție unică.

Repet că este mai bine să vă faceți timp și să scrieți pașii cât mai detaliat posibil:

Înmulțim numărătorul și numitorul cu o unitate imaginară și obținem prima rădăcină:

De asemenea:

Se obțin părțile din dreapta corespunzătoare etc.

Să facem desenul:

Să reprezentăm rădăcinile în formă exponențială. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți modulele și argumentele lor:

1) – arctangenta lui „două” este calculată „prost”, așa că o lăsăm așa: