Calculul ariei unei figuri delimitate de linii specificate. Exemple
Să trecem la considerarea aplicațiilor calculului integral. În această lecție ne vom uita la problema tipică și cea mai comună de calcul a ariei unei figuri plane folosind o integrală definită. În cele din urmă, toți cei care caută sens în matematica superioară să-l găsească. Nu stii niciodata. În viața reală, va trebui să aproximați o diagramă dacha folosind funcții elementare și să-i găsiți aria folosind o integrală definită.
Pentru a stăpâni cu succes materialul, trebuie să:
1) Înțelegeți integrala nedefinită cel puțin la un nivel intermediar. Așadar, proștii ar trebui să se familiarizeze mai întâi cu lecția lui El.
2) Să fie capabil să aplice formula Newton-Leibniz și să calculeze integrala definită. Puteți stabili relații prietenoase calde cu integrale definite pe pagina Integrale definite. Exemple de soluții. Sarcina „calculați zona folosind o integrală definită” implică întotdeauna construirea unui desen, astfel încât cunoștințele și abilitățile dvs. de desen vor fi, de asemenea, o problemă importantă. Cel puțin, trebuie să fiți capabil să construiți o linie dreaptă, o parabolă și o hiperbolă.
Să începem cu un trapez curbat. Un trapez curbat este o figură plată delimitată de graficul unei funcții y = f(X), axa BOUși linii X = A; X = b.
Aria unui trapez curbiliniu este numeric egală cu o integrală definită
Orice integrală definită (care există) are o semnificație geometrică foarte bună. În lecția Integrală definită. Exemple de soluții am spus că o integrală definită este un număr. Și acum este timpul să precizăm un alt fapt util. Din punct de vedere al geometriei, integrala definită este AREA. Adică, o anumită integrală (dacă există) corespunde geometric cu aria unei anumite figuri. Luați în considerare integrala definită
Integrand
definește o curbă pe plan (poate fi desenată dacă se dorește), iar integrala definită în sine este egală numeric cu aria trapezului curbiliniu corespunzător.
Exemplul 1
, , , .
Aceasta este o declarație tipică de atribuire. Cel mai important punct al deciziei este construcția desenului. Mai mult, desenul trebuie construit CORECT.
Când construiți un desen, vă recomand următoarea ordine: mai întâi, este mai bine să construiți toate liniile drepte (dacă există) și numai apoi - parabole, hiperbolele și graficele altor funcții. Tehnica construcției punctuale poate fi găsită în materialul de referință Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare. Acolo puteți găsi și material foarte util pentru lecția noastră - cum să construiți rapid o parabolă.
În această problemă, soluția ar putea arăta astfel.
Să facem desenul (rețineți că ecuația y= 0 specifică axa BOU):
Nu vom umbri trapezul curbat, aici este evident despre ce zonă vorbim. Solutia continua asa:
Pe segmentul [-2; 1] graficul funcției y = X 2 + 2 situat deasupra axei BOU, De aceea:
Răspuns: .
Care are dificultăți în calcularea integralei definite și aplicarea formulei Newton-Leibniz
,
Consultați prelegerea Integrală definită. Exemple de soluții. După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, numărăm numărul de celule din desen „cu ochi” - ei bine, vor fi aproximativ 9, se pare că este adevărat. Este absolut clar că dacă am primit, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci este evident că s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul este negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.
Exemplul 2
Calculați aria unei figuri delimitate de linii X y = 4, X = 2, X= 4 și axa BOU.
Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.
Ce trebuie să faceți dacă un trapez curbat este situat sub axă BOU?
Exemplul 3
Calculați aria unei figuri delimitate de linii y = e-x, X= 1 și axele de coordonate.
Soluție: Să facem un desen:
Dacă un trapez curbat este complet situat sub axă BOU, atunci aria sa poate fi găsită folosind formula:
În acest caz:
.
Atenţie! Cele două tipuri de sarcini nu trebuie confundate:
1) Dacă vi se cere să rezolvați pur și simplu o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.
2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea apare minusul în formula tocmai discutată.
În practică, cel mai adesea figura este situată atât în semiplanul superior, cât și în cel inferior și, prin urmare, de la cele mai simple probleme școlare trecem la exemple mai semnificative.
Exemplul 4
Găsiți aria unei figuri plane delimitată de drepte y = 2X – X 2 , y = -X.
Soluție: Mai întâi trebuie să faci un desen. Când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție a liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei y = 2X – X 2 și drept y = -X. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima metodă este analitică. Rezolvam ecuatia:
Aceasta înseamnă că limita inferioară a integrării A= 0, limita superioară a integrării b= 3. Este adesea mai profitabil și mai rapid să construiești linii punct cu punct, iar limitele integrării devin clare „de la sine”. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția detaliată nu a evidențiat limitele integrării (pot fi fracționale sau iraționale). Să revenim la sarcina noastră: este mai rațional să construim mai întâi o linie dreaptă și abia apoi o parabolă. Să facem desenul:
Să repetăm că atunci când construim punctual, limitele integrării sunt cel mai adesea determinate „automat”.
Și acum formula de lucru:
Dacă pe segmentul [ A; b] oarecare funcție continuă f(X) este mai mare sau egală cu o funcție continuă g(X), atunci aria figurii corespunzătoare poate fi găsită folosind formula:
Aici nu mai trebuie să vă gândiți unde se află figura - deasupra axei sau sub axă, dar important este care grafic este MAI ÎNALT (față de un alt grafic) și care este JOS.
În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, de la 2 X – X 2 trebuie scazut - X.
Soluția finalizată ar putea arăta astfel:
Cifra dorită este limitată de o parabolă y = 2X – X 2 deasupra și drepte y = -X de mai jos.
Pe segmentul 2 X – X 2 ≥ -X. Conform formulei corespunzătoare:
Răspuns: .
De fapt, formula școlară pentru aria unui trapez curbiliniu în semiplanul inferior (a se vedea exemplul nr. 3) este un caz special al formulei
.
Pentru că axa BOU dat de ecuaţie y= 0 și graficul funcției g(X) situat sub axă BOU, Acea
.
Și acum câteva exemple pentru propria dvs. soluție
Exemplul 5
Exemplul 6
Găsiți aria unei figuri delimitate de linii
Când rezolvați probleme care implică calcularea ariei folosind o integrală definită, se întâmplă uneori un incident amuzant. Desenul a fost completat corect, calculele au fost corecte, dar din nepăsare... a fost găsită zona figurii greșite.
Exemplul 7
Mai întâi să facem un desen:
Figura a cărei zonă trebuie să o găsim este umbrită în albastru (uitați-vă cu atenție la starea - cât de limitată figura!). Dar, în practică, din cauza neatenției, oamenii decid adesea că trebuie să găsească zona figurii care este umbrită în verde!
Acest exemplu este, de asemenea, util deoarece calculează aria unei figuri folosind două integrale definite. Într-adevăr:
1) Pe segmentul [-1; 1] deasupra axei BOU graficul este situat drept y = X+1;
2) Pe un segment deasupra axei BOU este situat graficul unei hiperbole y = (2/X).
Este destul de evident că zonele pot (și ar trebui) să fie adăugate, prin urmare:
Răspuns:
Exemplul 8
Calculați aria unei figuri delimitate de linii
Să prezentăm ecuațiile sub formă de „școală”.
și faceți un desen punct cu punct:
Din desen este clar că limita noastră superioară este „bună”: b = 1.
Dar care este limita inferioară?! Este clar că acesta nu este un număr întreg, dar ce este?
Pot fi, A=(-1/3)? Dar unde este garanția că desenul este realizat cu acuratețe perfectă, s-ar putea dovedi că A=(-1/4). Ce se întâmplă dacă am construit incorect graficul?
În astfel de cazuri, trebuie să petreceți timp suplimentar și să clarificați limitele integrării analitic.
Să găsim punctele de intersecție ale graficelor
Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația:
.
Prin urmare, A=(-1/3).
Soluția ulterioară este banală. Principalul lucru este să nu vă confundați în înlocuiri și semne. Calculele de aici nu sunt cele mai simple. Pe segment
, 
,
după formula corespunzătoare:
Răspuns: 
Pentru a încheia lecția, să ne uităm la două sarcini mai dificile.
Exemplul 9
Calculați aria unei figuri delimitate de linii
Soluție: Să reprezentăm această figură în desen.
Pentru a construi un desen punct cu punct, trebuie să cunoașteți aspectul unei sinusoide. În general, este util să cunoașteți graficele tuturor funcțiilor elementare, precum și unele valori sinusoidale. Ele pot fi găsite în tabelul de valori ale funcțiilor trigonometrice. În unele cazuri (de exemplu, în acest caz), este posibil să se construiască un desen schematic, pe care graficele și limitele integrării ar trebui să fie în mod fundamental afișate corect.
Nu există probleme cu limitele integrării aici; ele decurg direct din condiția:
– „x” se schimbă de la zero la „pi”. Să luăm o altă decizie:
Pe un segment, graficul unei funcții y= păcatul 3 X situat deasupra axei BOU, De aceea:
(1) Puteți vedea cum sinusurile și cosinusurile sunt integrate în puteri impare în lecția Integrale funcțiilor trigonometrice. Ciupim un sinus.
(2) Folosim identitatea trigonometrică principală în formă
(3) Să schimbăm variabila t=cos X, atunci: este situat deasupra axei, prin urmare:
.
.
Notă: rețineți cum este luată integrala cubului tangentei; aici este folosit un corolar al identității trigonometrice de bază
.
De fapt, pentru a găsi aria unei figuri, nu aveți nevoie de atâtea cunoștințe despre integrala nedefinită și definită. Sarcina „calculați suprafața folosind o integrală definită” implică întotdeauna construirea unui desen, astfel încât cunoștințele și abilitățile dumneavoastră în construirea desenelor vor fi o întrebare mult mai presantă. În acest sens, este util să vă reîmprospătați memoria graficelor funcțiilor elementare de bază și, cel puțin, să puteți construi o linie dreaptă și o hiperbolă.
Un trapez curbat este o figură plată delimitată de o axă, linii drepte și graficul unei funcții continuă pe un segment care nu își schimbă semnul în acest interval. Să fie localizată această cifră nu mai puțin axa x:
Atunci aria trapezului curbiliniu este numeric egală cu integrala definită. Orice integrală definită (care există) are o semnificație geometrică foarte bună.
Din punct de vedere al geometriei, integrala definită este AREA.
Adică, o anumită integrală (dacă există) corespunde geometric cu aria unei anumite figuri. De exemplu, luați în considerare integrala definită. Integrandul definește o curbă pe planul situat deasupra axei (cei care doresc pot face un desen), iar integrala definită în sine este numeric egală cu aria trapezului curbiliniu corespunzător.
Exemplul 1
Aceasta este o declarație tipică de atribuire. Primul și cel mai important punct al deciziei este desenul. Mai mult, desenul trebuie construit CORECT.
Când construiți un desen, vă recomand următoarea ordine: mai întâi, este mai bine să construiți toate liniile drepte (dacă există) și numai apoi - parabole, hiperbole și grafice ale altor funcții. Este mai profitabil să construiești grafice de funcții punct cu punct.
În această problemă, soluția ar putea arăta astfel.
Să desenăm desenul (rețineți că ecuația definește axa):
Pe segment, graficul funcției este situat deasupra axei, prin urmare:
Răspuns:
După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, „prin ochi” numărăm numărul de celule din desen - ei bine, vor fi aproximativ 9, se pare că este adevărat. Este absolut clar că dacă am primit, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci este evident că s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul este negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.
Exemplul 3
Calculați aria figurii delimitată de linii și axe de coordonate.
Soluție: Să facem un desen:
Dacă trapezul curbat este situat sub axă (sau cel puțin nu mai sus axa dată), atunci aria sa poate fi găsită folosind formula:
În acest caz:
Atenţie! Cele două tipuri de sarcini nu trebuie confundate:
1) Dacă vi se cere să rezolvați pur și simplu o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.
2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea apare minusul în formula tocmai discutată.
În practică, cel mai adesea figura este situată atât în semiplanul superior, cât și în cel inferior și, prin urmare, de la cele mai simple probleme școlare trecem la exemple mai semnificative.
Exemplul 4
Aflați aria unei figuri plane delimitată de liniile , .
Soluție: Mai întâi trebuie să faci un desen. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție a liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima metodă este analitică. Rezolvam ecuatia:
Aceasta înseamnă că limita inferioară a integrării este , limita superioară a integrării este .
Este mai bine, dacă este posibil, să nu folosiți această metodă.
Este mult mai profitabil și mai rapid să construiești linii punct cu punct, iar limitele integrării devin clare „de la sine”. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția detaliată nu a evidențiat limitele integrării (pot fi fracționale sau iraționale). Și vom lua în considerare și un astfel de exemplu.
Să revenim la sarcina noastră: este mai rațional să construim mai întâi o linie dreaptă și abia apoi o parabolă. Să facem desenul:
Și acum formula de lucru: Dacă pe un segment o funcție continuă este mai mare sau egală cu o funcție continuă, atunci aria figurii limitată de graficele acestor funcții și linii drepte poate fi găsită folosind formula: 
Aici nu mai trebuie să vă gândiți unde se află figura - deasupra axei sau sub axă și, aproximativ vorbind, este important care grafic este MAI ÎNALT (față de un alt grafic) și care este JAS.
În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din
Soluția finalizată ar putea arăta astfel:
Cifra dorită este limitată de o parabolă deasupra și de o linie dreaptă dedesubt.
Pe segment, conform formulei corespunzătoare:
Răspuns:
Exemplul 4
Calculați aria figurii delimitată de liniile , , , .
Soluție: Mai întâi, să facem un desen:
Figura a cărei zonă trebuie să o găsim este umbrită în albastru (uitați-vă cu atenție la starea - cât de limitată figura!). Dar, în practică, din cauza neatenției, apare adesea o „glitch” în care trebuie să găsiți zona unei figuri care este umbrită în verde!
Acest exemplu este util și prin faptul că calculează aria unei figuri folosind două integrale definite.
Într-adevăr :
1) Pe segmentul de deasupra axei se află un grafic al unei drepte;
2) Pe segmentul de deasupra axei există un grafic al unei hiperbole.
Este destul de evident că zonele pot (și ar trebui) să fie adăugate, prin urmare:
Începem să luăm în considerare procesul real de calcul al integralei duble și să ne familiarizăm cu semnificația ei geometrică.
Integrala dublă este numeric egală cu aria figurii plane (regiunea de integrare). Aceasta este cea mai simplă formă de integrală dublă, când funcția a două variabile este egală cu una: .
Mai întâi, să ne uităm la problema în formă generală. Acum vei fi destul de surprins cât de simplu este totul cu adevărat! Să calculăm aria unei figuri plate delimitate de linii. Pentru certitudine, presupunem că pe segmentul . Aria acestei figuri este numeric egală cu:
Să reprezentăm zona din desen: 
Să alegem primul mod de a traversa zona: 
Prin urmare: 
Și imediat un truc tehnic important: integralele repetate pot fi calculate separat. Mai întâi integrala interioară, apoi integrala exterioară. Recomand cu caldura aceasta metoda incepatorilor in materie.
1) Să calculăm integrala internă, iar integrarea se efectuează peste variabila „y”: 
Integrala nedefinită aici este cea mai simplă, iar apoi se folosește formula banală Newton-Leibniz, cu singura diferență că limitele integrării nu sunt numere, ci funcții. În primul rând, am înlocuit limita superioară în „y” (funcția antiderivată), apoi limita inferioară
2) Rezultatul obţinut la primul paragraf trebuie înlocuit în integrala externă: 
O reprezentare mai compactă a întregii soluții arată astfel:
Formula rezultată 
este exact formula de lucru pentru calcularea ariei unei figuri plane folosind integrala definită „obișnuită”! Vezi lecția Calcularea ariei folosind o integrală definită, acolo este la fiecare pas!
Adică problema calculării ariei folosind integrală dublă nu mult diferit din problema găsirii zonei folosind o integrală definită! De fapt, este același lucru!
În consecință, nu ar trebui să apară dificultăți! Nu mă voi uita la foarte multe exemple, deoarece, de fapt, ați întâlnit în mod repetat această sarcină.
Exemplul 9
Soluție: Să reprezentăm zona din desen: 
Să alegem următoarea ordine de parcurgere a zonei: 
Aici și mai departe nu mă voi opri asupra modului de parcurgere a zonei, deoarece în primul paragraf au fost date explicații foarte detaliate.
Prin urmare: 
După cum am menționat deja, este mai bine pentru începători să calculeze integrale iterate separat și voi rămâne la aceeași metodă:
1) În primul rând, folosind formula Newton-Leibniz, ne ocupăm de integrala internă: 
2) Rezultatul obținut în prima etapă este înlocuit în integrala externă: 
Punctul 2 este de fapt găsirea aria unei figuri plane folosind o integrală definită.
Răspuns:
Aceasta este o sarcină atât de stupidă și naivă.
Un exemplu interesant pentru o soluție independentă:
Exemplul 10
Folosind o integrală dublă, calculați aria unei figuri plane delimitată de liniile , ,
Un exemplu aproximativ de soluție finală la sfârșitul lecției.
În exemplele 9-10, este mult mai profitabil să folosiți prima metodă de parcurgere a zonei; cititorii curioși, apropo, pot schimba ordinea de parcurgere și pot calcula zonele folosind a doua metodă. Dacă nu greșești, atunci, în mod natural, vei obține aceleași valori de suprafață.
Dar, în unele cazuri, a doua metodă de traversare a zonei este mai eficientă, iar la sfârșitul cursului tânărului tocilar, să ne uităm la câteva exemple pe acest subiect:
Exemplul 11
Folosind o integrală dublă, calculați aria unei figuri plane delimitată de linii,
Soluție: așteptăm cu nerăbdare două parabole cu o ciudată care se află pe o parte. Nu este nevoie să zâmbești; lucruri similare apar destul de des în integrale multiple.
Care este cel mai simplu mod de a face un desen?
Să ne imaginăm o parabolă sub forma a două funcții:
– ramura superioară și – ramura inferioară.
În mod similar, imaginați-vă o parabolă sub formă de sus și de jos 
ramuri.
Apoi, graficul punctual al regulilor graficelor, rezultând o cifră atât de bizară: 
Calculăm aria figurii folosind integrala dublă conform formulei:
Ce se întâmplă dacă alegem prima metodă de parcurgere a zonei? În primul rând, această zonă va trebui împărțită în două părți. Și în al doilea rând, vom observa această imagine tristă: 
. Integralele, desigur, nu sunt de un nivel supercomplicat, dar... există o veche zicală matematică: cei care sunt aproape de rădăcinile lor nu au nevoie de un test.
Prin urmare, din neînțelegerea dată în condiție, exprimăm funcțiile inverse: 
Funcțiile inverse din acest exemplu au avantajul că ele specifică întreaga parabola dintr-o dată, fără frunze, ghinde, ramuri și rădăcini.
Conform celei de-a doua metode, traversarea zonei va fi după cum urmează: 
Prin urmare: 
După cum se spune, simți diferența.
1) Ne ocupăm de integrala internă:
Înlocuim rezultatul în integrala exterioară:
Integrarea peste variabila „y” nu ar trebui să fie confuză; dacă ar exista o litera „zy”, ar fi grozav să o integrezi peste ea. Deși oricine a citit al doilea paragraf al lecției Cum se calculează volumul unui corp de rotație nu mai experimentează cea mai mică stânjeneală cu integrarea folosind metoda „Y”.
Atenție și la primul pas: integrandul este par, iar intervalul de integrare este simetric față de zero. Prin urmare, segmentul poate fi înjumătățit, iar rezultatul poate fi dublat. Această tehnică este comentată în detaliu în lecția Metode eficiente pentru calcularea unei integrale definite.
Ce să adaugi…. Toate!
Răspuns:
Pentru a vă testa tehnica de integrare, puteți încerca să calculați . Răspunsul ar trebui să fie exact același.
Exemplul 12
Folosind o integrală dublă, calculați aria unei figuri plane delimitată de linii 
Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Este interesant de observat că, dacă încercați să utilizați prima metodă de parcurgere a zonei, figura nu va mai trebui împărțită în două, ci în trei părți! Și, în consecință, obținem trei perechi de integrale repetate. Uneori se întâmplă.
Clasa de master a ajuns la sfârșit și este timpul să trecem la nivelul de mare maestru - Cum se calculează o integrală dublă? Exemple de soluții. Voi încerca să nu fiu atât de maniac în al doilea articol =)
Vă doresc succes!
Solutii si raspunsuri:
Exemplul 2:Soluţie:
Să descriem zona pe desen:
Să alegem următoarea ordine de parcurgere a zonei:
Prin urmare: 
Să trecem la funcțiile inverse:
Prin urmare: 
Răspuns:
Exemplul 4:Soluţie:
Să trecem la funcțiile directe:
Să facem desenul:
Să schimbăm ordinea de parcurgere a zonei:
Răspuns:
Să trecem la considerarea aplicațiilor calculului integral. În această lecție vom analiza problema tipică și cea mai comună - cum să calculăm aria unei figuri plane folosind o integrală definită. În cele din urmă, cei care caută sens în matematica superioară - să-l găsească. Nu stii niciodata. În viața reală, va trebui să aproximați o diagramă dacha folosind funcții elementare și să-i găsiți aria folosind o integrală definită.
Pentru a stăpâni cu succes materialul, trebuie să:
1) Înțelegeți integrala nedefinită cel puțin la un nivel intermediar. Astfel, manechinii ar trebui să se familiarizeze mai întâi cu lecția Nu.
2) Să fie capabil să aplice formula Newton-Leibniz și să calculeze integrala definită. Puteți stabili relații prietenoase calde cu integrale definite pe pagina Integrale definite. Exemple de soluții.
De fapt, pentru a găsi aria unei figuri, nu aveți nevoie de atâtea cunoștințe despre integrala nedefinită și definită. Sarcina „calculați suprafața folosind o integrală definită” implică întotdeauna construirea unui desen, astfel încât cunoștințele și abilitățile dumneavoastră în construirea desenelor vor fi o întrebare mult mai presantă. În acest sens, este util să vă reîmprospătați memoria graficelor funcțiilor elementare de bază și, cel puțin, să puteți construi o linie dreaptă, o parabolă și o hiperbolă. Acest lucru se poate face (pentru mulți, este necesar) cu ajutorul materialului metodologic și a unui articol despre transformările geometrice ale graficelor.
De fapt, toată lumea a fost familiarizată cu sarcina de a găsi zona folosind o integrală definită încă de la școală și nu vom merge cu mult mai departe decât programa școlară. Acest articol poate să nu fi existat deloc, dar adevărul este că problema apare în 99 de cazuri din 100, când un elev suferă de o școală urâtă și stăpânește cu entuziasm un curs de matematică superioară.
Materialele acestui workshop sunt prezentate simplu, detaliat și cu un minim de teorie.
Să începem cu un trapez curbat.
Un trapez curbat este o figură plată delimitată de o axă, linii drepte și graficul unei funcții continuă pe un segment care nu își schimbă semnul în acest interval. Să fie localizată această cifră nu mai puțin axa x:
Atunci aria trapezului curbiliniu este numeric egală cu integrala definită. Orice integrală definită (care există) are o semnificație geometrică foarte bună. În lecția Integrală definită. Exemple de soluții Am spus că o integrală definită este un număr. Și acum este timpul să precizăm un alt fapt util. Din punct de vedere al geometriei, integrala definită este AREA.
Adică, o anumită integrală (dacă există) corespunde geometric cu aria unei anumite figuri. De exemplu, luați în considerare integrala definită. Integrandul definește o curbă pe planul situat deasupra axei (cei care doresc pot face un desen), iar integrala definită în sine este numeric egală cu aria trapezului curbiliniu corespunzător.
Exemplul 1
Aceasta este o declarație tipică de atribuire. Primul și cel mai important punct al deciziei este desenul. Mai mult, desenul trebuie construit CORECT.
Când construiți un desen, vă recomand următoarea ordine: mai întâi, este mai bine să construiți toate liniile drepte (dacă există) și numai apoi - parabole, hiperbolele și graficele altor funcții. Este mai profitabil să construiești grafice ale funcțiilor punctual; tehnica construcției punctuale poate fi găsită în materialul de referință Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare. Acolo puteți găsi și material foarte util pentru lecția noastră - cum să construiți rapid o parabolă.
În această problemă, soluția ar putea arăta astfel.
Să desenăm desenul (rețineți că ecuația definește axa):
Nu voi umbri trapezul curbat; aici este evident despre ce zonă vorbim. Solutia continua asa:
Pe segment, graficul funcției este situat deasupra axei, prin urmare:
Răspuns:
Care are dificultăți în calcularea integralei definite și aplicarea formulei Newton-Leibniz 
, consultați prelegerea Integrală definită. Exemple de soluții.
După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, numărăm numărul de celule din desen „cu ochi” - ei bine, vor fi aproximativ 9, se pare că este adevărat. Este absolut clar că dacă am primit, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci este evident că s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul este negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.
Exemplul 2
Calculați aria unei figuri delimitate de linii , și axă
Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.
Ce să faci dacă un trapez curbat este situat sub axă?
Exemplul 3
Calculați aria figurii delimitată de linii și axe de coordonate.
Soluție: Să facem un desen: 
Dacă trapezul curbat este situat sub axă (sau cel puțin nu mai sus axa dată), atunci aria sa poate fi găsită folosind formula:
În acest caz: 
Atenţie! Cele două tipuri de sarcini nu trebuie confundate:
1) Dacă vi se cere să rezolvați pur și simplu o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.
2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea apare minusul în formula tocmai discutată.
În practică, cel mai adesea figura este situată atât în semiplanul superior, cât și în cel inferior și, prin urmare, de la cele mai simple probleme școlare trecem la exemple mai semnificative.
Exemplul 4
Aflați aria unei figuri plane delimitată de liniile , .
Soluție: Mai întâi trebuie să faci un desen. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție a liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima metodă este analitică. Rezolvam ecuatia:
Aceasta înseamnă că limita inferioară a integrării este , limita superioară a integrării este .
Este mai bine, dacă este posibil, să nu folosiți această metodă.
Este mult mai profitabil și mai rapid să construiești linii punct cu punct, iar limitele integrării devin clare „de la sine”. Tehnica construcției punctuale pentru diferite grafice este discutată în detaliu în ajutorul Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția detaliată nu a evidențiat limitele integrării (pot fi fracționale sau iraționale). Și vom lua în considerare și un astfel de exemplu.
Să revenim la sarcina noastră: este mai rațional să construim mai întâi o linie dreaptă și abia apoi o parabolă. Să facem desenul: 
Repet că atunci când construim punctual, limitele integrării sunt cel mai adesea descoperite „automat”.
Și acum formula de lucru: Dacă pe un segment o funcție continuă este mai mare sau egală cu o funcție continuă, atunci aria figurii limitată de graficele acestor funcții și linii drepte poate fi găsită folosind formula: 
Aici nu mai trebuie să vă gândiți unde se află figura - deasupra axei sau sub axă și, aproximativ vorbind, este important care grafic este MAI ÎNALT (față de un alt grafic) și care este JAS.
În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din
Soluția finalizată ar putea arăta astfel:
Cifra dorită este limitată de o parabolă deasupra și de o linie dreaptă dedesubt.
Pe segment, conform formulei corespunzătoare:
Răspuns:
De fapt, formula școlară pentru aria unui trapez curbiliniu în semiplanul inferior (a se vedea exemplul simplu nr. 3) este un caz special al formulei 
. Deoarece axa este specificată de ecuație, iar graficul funcției este localizat nu mai sus topoare, atunci 
Și acum câteva exemple pentru propria dvs. soluție
Exemplul 5
Exemplul 6
Aflați aria figurii delimitată de liniile , .
Când rezolvați probleme care implică calcularea ariei folosind o integrală definită, se întâmplă uneori un incident amuzant. Desenul a fost făcut corect, calculele au fost corecte, dar din nepăsare... a fost găsită zona figurii greșite, exact așa a greșit umilul tău servitor de mai multe ori. Iată un caz real:
Exemplul 7
Calculați aria figurii delimitată de liniile , , , .
Soluție: Mai întâi, să facem un desen: 
...Eh, desenul a ieșit prost, dar totul pare a fi lizibil.
Figura a cărei zonă trebuie să o găsim este umbrită în albastru (uitați-vă cu atenție la starea - cât de limitată figura!). Dar, în practică, din cauza neatenției, apare adesea o „glitch” în care trebuie să găsiți zona unei figuri care este umbrită în verde!
Acest exemplu este util și prin faptul că calculează aria unei figuri folosind două integrale definite. Într-adevăr:
1) Pe segmentul de deasupra axei se află un grafic al unei drepte;
2) Pe segmentul de deasupra axei există un grafic al unei hiperbole.
Este destul de evident că zonele pot (și ar trebui) să fie adăugate, prin urmare:
Răspuns:
Să trecem la o altă sarcină semnificativă.
Exemplul 8
Calculați aria unei figuri delimitate de linii,
Să prezentăm ecuațiile sub formă de „școală” și să facem un desen punct cu punct: 
Din desen reiese clar că limita noastră superioară este „bună”: .
Dar care este limita inferioară?! Este clar că acesta nu este un număr întreg, dar ce este? Pot fi ? Dar unde este garanția că desenul este realizat cu acuratețe perfectă, s-ar putea dovedi că... Sau rădăcina. Ce se întâmplă dacă am construit incorect graficul?
În astfel de cazuri, trebuie să petreceți timp suplimentar și să clarificați limitele integrării analitic.
Să găsim punctele de intersecție ale unei drepte și ale unei parabole.
Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația: 
,
Într-adevăr, .
Soluția ulterioară este trivială, principalul lucru este să nu vă confundați în substituții și semne; calculele de aici nu sunt cele mai simple.
Pe segment 
, conform formulei corespunzătoare: 
Răspuns: 
Ei bine, pentru a încheia lecția, să ne uităm la două sarcini mai dificile.
Exemplul 9
Calculați aria figurii delimitată de liniile , ,
Soluție: Să reprezentăm această figură în desen. 
La naiba, am uitat să semnez programul și, scuze, nu am vrut să refac poza. Nu este o zi de desen, pe scurt, azi este ziua =)
Pentru construcția punct cu punct, trebuie să cunoașteți aspectul sinusoidei (și, în general, este util să cunoașteți graficele tuturor funcțiilor elementare), precum și unele valori ale sinusului, acestea pot fi găsite în tabelul trigonometric. În unele cazuri (ca și în acest caz), este posibil să se construiască un desen schematic, pe care graficele și limitele de integrare ar trebui să fie în mod fundamental afișate corect.
Nu există probleme cu limitele de integrare aici; acestea decurg direct din condiția: „x” se schimbă de la zero la „pi”. Să luăm o altă decizie:
Pe segment, graficul funcției este situat deasupra axei, prin urmare:
