Testarea ipotezei că media populației este egală cu o anumită valoare dată. Testarea ipotezelor statistice despre egalitatea de medii
Uneori se dovedește că rezultatul mediu din seria principală de experimente diferă de rezultatul mediu dintr-o altă serie de experimente. Este necesar să se determine dacă această diferență este accidentală sau nu, adică. putem considera că rezultatul experimentului reprezintă un eșantion din două populații independente cu aceleași medii, sau mediile acestor populații nu sunt egale.
Formularea formală a acestei probleme este următoarea: se studiază două variabile aleatoare distribuite conform legii normale:
, Unde σ – abaterea standard.
Se presupune că varianțele sunt cunoscute, dar așteptările matematice sunt necunoscute.
Să fie două serii de observații ale mărimilor Χ și Υ.
Χ: x 1, x 2, ..., x n 1.
Υ: y 1, y 2, …, y n 2.
Propunem următoarea ipoteză că m x =m y. Pe baza observațiilor, este necesar să se confirme sau să infirme această ipoteză. Dacă se confirmă ipoteza nulă, atunci putem spune că diferențele dintre valorile medii din cele două eșantioane sunt nesemnificative statistic, adică. explicată ca o eroare aleatorie.
Un test z este utilizat pentru a testa această ipoteză. În acest scop se calculează
z-test (z-statistic), care este definit după cum urmează:
Media aritmetică a seriei n observatii.
Testul z este distribuit în mod normal cu așteptări matematice zero și varianță unitară.
H 1: m x ≠ m y
Ipoteza nulă că mediile sunt egale: H0: =
Ipoteza alternativă că mijloacele nu sunt egale este următoarea : H1: ≠.
Cu o ipoteză alternativă sunt posibile următoarele opțiuni: fie< , либо >. În consecință, trebuie să aplicăm un test cu două părți. Astfel, există două puncte critice: și.
Aceste puncte sunt selectate din condiția:
(1) Р(-∞ (2) P( După valoare determinăm punctele critice stânga și dreapta. unde F(z) este funcția de distribuție cumulată a variabilei aleatoare Z, iar F -1 (...) este funcția inversă. Definiție: Fie definită funcția y = f(x) pe segment, iar mulțimea de valori a acestei funcții să fie segmentul [α, β]. Fie, în continuare, fiecărui y din segmentul [α, β] îi corespunde doar o singură valoare x din segmentul pentru care f(x) = y. Apoi pe segmentul [α, β] putem defini funcția x = f -1 (y), atribuind fiecărui y din [α, β] valoarea x din care f(x) = y. Funcția x = f -1 (y) se numește inversul funcției y = f(x). Valorile punctelor critice pot fi găsite folosind funcția: =NORMSINV, prin specificarea valorii probabilității () în caseta de dialog - pentru a găsi valoarea , sau valoarea (1 - ) - pentru a găsi valoarea ). Magnitudinea Z, distribuită normal cu parametrii Z=N(0;1), distribuite simetric: 0,05 Interpretare geometrică: probabilitatea de cădere în zona în care ipoteza este respinsă este egală cu suma zonelor umbrite. Secvența de testare: 1. Calculați statistici Z. 2. Stabilim nivelul de semnificație. 3. Determinăm punctele critice pe baza condițiilor (1) și (2). 4. Comparați valoarea calculată la pasul 1 Z cu valoarea punctelor critice: Dacă valoarea Z- statisticile vor fi mai mari în valoare absolută decât valoarea punctului critic, atunci ipoteza nulă este respinsă la acest nivel de semnificație. Aceasta înseamnă că cele două populații din care este extras eșantionul sunt diferite și, prin urmare, mediile și așteptările pentru aceste eșantioane nu sunt egale. În caz contrar, se acceptă ipoteza egalității de medii, iar cele două populații pot fi considerate ca una în comun cu aceeași valoare matematică. Există un instrument de analiză în EXCEL numit „două mostre Z-test pentru medii” (Serviciul - analiza datelor - două mostre Z- test pentru medii). Acesta servește la testarea ipotezei despre diferența dintre mediile (așteptările matematice) a două distribuții normale cu varianțe cunoscute. Când acest instrument este apelat, apare o casetă de dialog în care sunt setați următorii parametri: * Diferența medie ipotetică: se introduce numărul diferenţei aşteptate dintre mediile pentru secvenţa generală studiată. Pentru a testa ipoteza egalității de medii, trebuie să introduceți valoarea zero. * Varianta variabilei 1 (cunoscută): se introduce o valoare cunoscută a varianţei variabilei aleatoare X. * Varianta variabilei 2 (cunoscută): se introduce o valoare cunoscută a varianţei variabilei aleatoare Y. * Etichete: dacă este activată, prima linie este percepută ca un antet și nu este numărată. * Alfa: nivelul de semnificație este stabilit egal cu probabilitatea de a face o eroare de tip I. EXERCITIUL 1: Sunt cunoscute date selectate privind diametrul rolelor în milimetri produse de mașinile 1 și 2. Dispersie pentru mașina 1: = 5 mm 2. Dispersie pentru mașina 2: =7 mm 2. Nivel de semnificație = 0,05. 1. Folosind două mostre Z- test pentru medii verificați ipoteza de egalitate a valorilor medii pentru opțiunea dvs. 2. Verificați aceeași ipoteză folosind formule de calcul. Omogenitatea a două probe este verificată cu ajutorul testului Student (sau t– criteriu). Să luăm în considerare formularea problemei verificării omogenității a două probe. Lăsați două mostre de volum și se face. Este necesar să se testeze ipoteza nulă că mediile generale ale celor două eșantioane sunt egale. Adică și. n 1 Înainte de a lua în considerare metodologia de rezolvare a problemei, să luăm în considerare câteva principii teoretice utilizate pentru rezolvarea problemei. Faimosul matematician W.S. Gosset (care a publicat o serie de lucrări sub pseudonimul Student) a dovedit că statisticile t(6.4) se supune unei anumite legi de distribuție, care mai târziu a fost numită legea distribuției Student (al doilea nume al legii este „ t– distribuție”). Valoarea medie a unei variabile aleatoare X; Așteptarea unei variabile aleatoare X; Abaterea standard a volumului mediu al probei n. Estimarea abaterii standard a mediei este calculată folosind formula (6.5): Abaterea standard a unei variabile aleatoare X. Distribuția Student are un parametru - numărul de grade de libertate. Acum să revenim la formularea inițială a problemei cu două eșantioane și să considerăm o variabilă aleatorie egală cu diferența dintre mediile a două eșantioane (6.6): Cu condiția ca ipoteza despre egalitatea mijloacelor generale să fie satisfăcută, (6.7) este valabilă: Să rescriem relația (6.4) în raport cu cazul nostru: Estimarea abaterii standard poate fi exprimată în termeni de estimarea abaterii standard a populației combinate (6.9): O estimare a varianței populației grupate poate fi exprimată în termeni de estimări ale varianței calculate din două eșantioane și: Luând în considerare formula (6.10), relația (6.9) poate fi rescrisă ca (6.11). Relația (6.9) este principala formulă de calcul pentru problema comparării mediilor: Când înlocuim valoarea în formula (6.8), vom avea o valoare eșantion t-criterii. Conform tabelelor de distribuție Student cu numărul de grade de libertate Să ne uităm la un exemplu de efectuare a calculelor pentru a testa ipoteza egalității a două medii în EXCEL. Să creăm un tabel de date (Fig. 6.22). Vom genera datele folosind programul de generare a numerelor aleatorii din pachetul de analiză a datelor: Eșantion X1 din distribuție normală cu parametri Probă X2 dintr-o distribuție normală cu parametri de volum; Eșantion X3 din distribuție normală cu parametri Eșantion X4 din distribuție normală cu parametri Să verificăm ipoteza egalității a două medii (X1-X2), (X1-X3), (X1-X4). Mai întâi, să calculăm parametrii mostrelor de caracteristici X1-X4 (Fig. 6.23). Apoi calculăm valoarea t- criterii. Calculele vor fi efectuate folosind formulele (6.6) – (6.9) în EXCEL. Rezumăm rezultatele calculului într-un tabel (Fig. 6.24). Orez. 6.22. Tabel de date Orez. 6.23. Parametrii mostrelor de caracteristici X1-X4 Orez. 6.24. Tabel rezumativ pentru calcularea valorilor t– criterii pentru perechile de caracteristici (X1-X2), (X1-X3), (X1-X4) Conform rezultatelor prezentate în tabelul din fig. 6.24 putem concluziona că pentru o pereche de semne (X1-X2) se respinge ipoteza de egalitate a mediilor a două semne, iar pentru perechile de semne (X1-X3), (X1-X4) ipoteza poate fi considerată validă. . Aceleași rezultate pot fi obținute folosind programul Two-Sample. t-test cu varianțe egale” din pachetul de analiză a datelor. Interfața programului este prezentată în Fig. 6.25. Orez. 6.25. Opțiuni de program cu două mostre t- test cu varianțe egale” În Fig. 6.26-6.28. Orez. 6.26. Calculul valorii t– criteriu pentru o pereche de caracteristici (X1-X2) Orez. 6.27. Calculul valorii t– criteriu pentru o pereche de caracteristici (X1-X3) Orez. 6.28. Calculul valorii t– criteriu pentru o pereche de caracteristici (X1-X4) Două mostre t-testul cu varianțe egale se numește altfel t-test cu mostre independente. De asemenea, a primit o largă distribuție t- test de probe dependente. Situația în care este necesară aplicarea acestui criteriu apare atunci când aceeași variabilă aleatoare este măsurată de două ori. Numărul de observații în ambele cazuri este același. Să introducem notația pentru două măsurători succesive ale unei proprietăți ale acelorași obiecte, și notăm diferența a două măsurători succesive: În acest caz, formula pentru valoarea eșantionului a criteriului ia forma: În acest caz, numărul de grade de libertate este . Testarea ipotezelor poate fi efectuată utilizând programul Paired Two-Sample. t-test” pachet de analiză a datelor (Fig. 6.29). Orez. 6.29. Parametrii programului „Paired two-sample”. t-Test" 6.5. Analiza varianței – clasificare după un singur criteriu (F - criteriu) În analiza varianței, se testează o ipoteză, care este o generalizare a ipotezei egalității a două mijloace în cazul în care ipoteza egalității mai multor medii este testată simultan. Analiza varianței examinează gradul de influență a uneia sau mai multor caracteristici factoriale asupra caracteristicii rezultate. Ideea analizei varianței îi aparține lui R. Fischer. L-a folosit pentru a procesa rezultatele experimentelor agronomice. Analiza varianței este utilizată pentru a stabili semnificația influenței factorilor calitativi asupra valorii studiate. Numele prescurtat în limba engleză pentru analiza varianței este ANOVA (variație de analiză). Forma generală de prezentare a datelor cu clasificare după un criteriu este prezentată în Tabelul 6.1. Tabelul 6.1. Formular de prezentare a datelor cu clasificare după o caracteristică Verificarea dacă media este egală cu o anumită valoare. Eșantioanele sunt extrase dintr-o populație care are o distribuție normală și datele sunt independente. Valoarea criteriului se calculează folosind formula: unde N este dimensiunea eșantionului; S 2 - varianța eșantionului empiric; A este valoarea așteptată a valorii medii; X este valoarea medie. Numărul de grade de libertate pentru testul t este V = n-1. Zero ipoteza ta N 0: X = A versus NA: X≠A. Ipoteza nulă a egalității de medii este respinsă dacă, în valoare absolută, valoarea criteriului este mai mare decât punctul α/2% superior al distribuției t luate cu V grade de libertate, adică atunci când │t│> t vα /2. H0: X< А против Н А: X >A. Ipoteza nulă este respinsă dacă valoarea criteriului este mai mare decât punctul α% superior al distribuției t luate cu V grade de libertate, adică atunci când │t│> t vα . H 0: X>A vs. H A: X< А. Нулевая гипотеза отвергается, если критериальное значение меньше нижней α% точки t-распределения, взятого с V степенями свободы. Criteriul este stabil pentru abateri mici de la distribuția normală. Exemplu Să luăm în considerare exemplul prezentat în fig. 5.10. Să presupunem că trebuie să testăm ipoteza că media pentru eșantion (celule 123:130) este egală cu 0,012. În primul rând, găsim media eșantionului (=AVERAGE(123:130) în I31) și varianța (=VARIANCE(I23:I30) în I32). După aceasta, calculăm valorile criteriului (=(131-0.012)*ROOT(133)/132) și critic (=STUDISCOVER(0.025,133-1)). Deoarece valoarea criteriului (24,64) este mai mare decât valoarea critică (2,84), ipoteza că media este egală cu 0,012 este respinsă. Figura 5.10 Compararea valorii medii cu o constantă 1. testarea ipotezelor despre medii și varianțe folosind testele parametrice ale lui Fisher și Cochran (Tabelul 5.4); 2. testați ipoteza despre egalitatea mediilor cu variații inegale ale eșantionului (pentru a face acest lucru, eliminați 1 sau 2 valori într-unul dintre eșantioanele variantei dvs.) (Tabelul 5.4); 3. se verifică ipoteza că media este egală cu valoarea dată A (Tabelul 5.5) și datele din coloana 1 pentru opțiune. Tabelul 5.4 Opțiuni de sarcină Tabelul 5.5 Valoarea A Puteți utiliza propriile date experimentale ca date inițiale în sarcină. Raportul trebuie să conțină calcule ale caracteristicilor statistice. Întrebări de control: 1. Ce probleme statistice se rezolvă la studierea proceselor tehnologice din industria alimentară? 2. Cum se compară caracteristicile statistice ale variabilelor aleatoare? 3. Nivelul de semnificație și probabilitatea de încredere pentru fiabilitatea evaluării datelor experimentale. 4. Cum sunt testate ipotezele statistice folosind teste de bunătate? 5. De ce depinde puterea testului de bunăstare a potrivirii pentru analiza probelor experimentale? 6. Cum se realizează selecția criteriilor de rezolvare a problemelor de analiză a proceselor tehnologice de producție alimentară? 7. Cum se realizează clasificarea criteriilor de acord pentru analiza mostrelor rezultatelor cercetării privind procesele tehnologice de producție alimentară? 8. Care sunt cerințele pentru eșantionarea rezultatelor cercetării proceselor tehnologice de producție alimentară? Exemplu. Veniturile farmaciilor dintr-unul din microdistrictele orașului pentru o anumită perioadă au fost de 128; 192; 223; 398; 205; 266; 219; 260; 264; 98 (unități convenționale). În microdistrictul învecinat pentru același timp au fost egale cu 286; 240; 263; 266; 484; 223; 335. Efectuăm soluția folosind calculatorul Testarea ipotezei de egalitate a varianțelor. 2. Găsiți indicatorii de variație pentru al doilea eșantion. Pentru a evalua seria de distribuție, găsim următorii indicatori: Să considerăm aceeași problemă ca în paragraful 3.4 anterior, dar numai cu condiția ca eșantionul să fie mic (mai puțin de 30). În acest caz, înlocuirea variațiilor generale și incluse în (3.15) cu variațiile eșantionului corectate și poate duce la o eroare mare în valoarea și, în consecință, la o eroare mare în stabilirea zonei de acceptare a ipotezei H0. Totuşi, dacă există încredere că generalul necunoscut şi La fel(de exemplu, dacă se compară dimensiunile medii a două loturi de piese fabricate pe aceeași mașină), atunci este posibil, folosind distribuția Student, și în acest caz să construim un criteriu de testare a ipotezei H0 XȘi Y. Pentru a face acest lucru, introduceți o variabilă aleatorie Media variațiilor eșantionului corectat și , care servește ca estimare punctuală atât a variațiilor identice necunoscute ale populației, cât și . După cum se dovedește (vezi, p. 180), dacă ipoteza nulă este adevărată H0 valoare aleatorie T are o distributie Student cu Astfel, zona de acceptare a ipotezei H0 va fi un anumit interval în care valorile variabilei aleatoare T trebuie să lovească cu probabilitatea 1- α
: Valoarea determinată de egalitate (3.18) pentru diferite niveluri de semnificație α
și diverse numere K grade de libertate a cantității T pot fi găsite în tabelul punctelor critice ale distribuției Student (Tabelul 4 din Anexă). Astfel, se va găsi intervalul de acceptare a ipotezei H0. Iar dacă valoarea experimentală T Valori exp T se încadrează în acest interval – ipoteză H0 admis. Dacă nu lovește, nu o vor accepta. Nota 1. Dacă nu există niciun motiv pentru a considera variațiile generale și valorile egale XȘi Y, apoi în acest caz pentru a testa ipoteza H0 asupra egalităţii aşteptărilor matematice ale mărimilor XȘi Y Este permisă utilizarea testului t Student menționat mai sus. Abia acum amploarea T număr K gradele de libertate ar trebui considerate nu egale, ci egale (vezi) Dacă variațiile eșantionului corectate diferă semnificativ, atunci al doilea termen din ultima paranteză din (3.19) este mic în comparație cu 0,5, astfel încât expresia (3.19) în comparație cu expresia Exemplu
4. Folosind datele din tabel, comparați producția medie de lapte a vacilor hrănite cu diferite diete. La testarea ipotezei nule H0 privind egalitatea producțiilor medii de lapte, acceptați nivelul de semnificație α
=0,05. Numărul de vaci care primesc regimul alimentar (Capete) Producția zilnică medie de lapte în ceea ce privește conținutul de grăsime de bază (kg/cap) Abaterea standard a producției zilnice de lapte a vacilor (kg/cap) .
Deoarece datele tabelare prezentate au fost obținute pe baza unor eșantioane mici cu volume =10 și =8, atunci pentru a compara așteptările matematice ale producției medii zilnice de lapte a vacilor care primesc ambele rații de hrană, trebuie să folosim teoria prezentată în acest paragraf. Pentru a face acest lucru, în primul rând, vom afla dacă variațiile eșantionului corectate găsite =(3.8)2=14.44 și =(4.2)2=17.64 ne permit să luăm în considerare variațiile generale și . Pentru a face acest lucru, folosim criteriul Fisher-Snedecor (vezi paragraful 3.3). Avem: Conform tabelului punctelor critice ale distribuției Fisher-Snedecor pt α
=0,05; K1
=8-1=7 și K2
=10-1=9 găsim Și din moment ce , atunci nu avem nicio bază la acest nivel de semnificație α
=0,05 respinge ipoteza H0
asupra egalităţii varianţelor generale şi . Acum, în conformitate cu (3.17) și (3.16), să calculăm valoarea experimentală a mărimii T: Mai departe, conform formulei Notă 2. În paragrafele 3.4 și 3.5 discutate mai sus, s-a luat în considerare ipoteza nulă H0
despre egalitate M(X)=M(Y)
sub ipoteză alternativă H1 despre inegalitatea lor: M(X)≠M(Y).
Dar ipoteza alternativă H1 poate fi altul, de exemplu, M(Y)>M(X).
În practică, acest caz va apărea atunci când se introduce o oarecare îmbunătățire (factor pozitiv), care ne permite să contam pe o creștere a valorii medii a unei variabile aleatoare distribuite normal. Y comparativ cu valorile unei mărimi distribuite normal X. De exemplu, în alimentația vacilor a fost introdus un nou aditiv pentru hrana animalelor, ceea ce face posibilă așteptarea unei creșteri a producției medii de lapte a vacilor; fertilizarea suplimentară a fost adăugată culturii, permițându-ne să ne așteptăm la o creștere a randamentului mediu al culturii etc. Și aș dori să aflu dacă acest factor introdus este semnificativ (semnificativ) sau nesemnificativ. Apoi, în cazul volumelor mari și al Probelelor (vezi paragraful 3.4) ca criteriu pentru validitatea ipotezei H0
luați în considerare o variabilă aleatoare distribuită normal La un anumit nivel de semnificație α
Ipoteză H0
despre egalitate M(X)Și M(Y)
va fi respins dacă valoarea experimentală a cantității este pozitivă și mai mare, unde Întrucât dacă ipoteza este adevărată H0
M(Z)=
0, atunci
,
(6.6)
(6.7)
(6.9)
(6.10)
iar un anumit nivel de semnificație poate fi determinat. Acum, dacă , atunci ipoteza despre egalitatea celor două mijloace este respinsă.
volum;
volum;
volum.
, (6.13)
(6.15)
Datele experimentului
Opțiune
2,3
2,6
2,2
2,1
2,5
2,6
1,20
1,42
17,3
23,5
2,37
2,85
35,2
26,1
2,1
2,6
5,63
5,62
26,1
27,0
5,67
2,67
35,9
25,8
5,1
5,63
2,34
2,37
23,9
23,3
2,35
2,34
33,6
23,8
2,34
2,38
7,71
7,90
28,0
25,2
2,59
2,58
35,7
26,0
7,63
7,6,1
1,2
1,6
1,7
2,6
1,9
2,8
1,13
1,15
21,6
21,2
2,13
2,16
31,7
1,12
1,12
1,45
1,47
24,7
24,8
2,45
2,47
34,8
24,5
1,49
1,45
3,57
3,59
25,9
25,7
2,55
2,59
36,0
25,7
3,58
3,58
3,3
3,6
2,5
2,4
3,4
3,5
Datele experimentului
Opțiune
7,3
7,6
12,2
12,1
3,5
4,6
6,20
6,42
217,3
230,5
12,37
12,85
75,2
86,1
3,1
4,6
7,63
5,62
264,1
278,0
15,67
14,67
75,9
75,8
5,1
5,63
6,34
5,37
233,9
236,3
12,35
12,34
73,6
73,8
3,34
4,38
7,71
7,90
281,0
255,2
12,59
12,58
85,7
86,0
3,63
4,6,1
6,2
6,6
11,7
12,6
3,9
4,8
4,13
4,15
251,6
261,2
12,13
12,16
71,7
5,12
4,12
5,45
6,47
244,7
247,8
12,45
12,47
74,8
84,5
3,49
4,45
5,57
5,59
250,9
255,7
12,55
12,59
86,0
85,7
3,58
3,58
5,3
5,6
12,5
12,4
3,4
3,5
Opțiuni
2,2
2,2
2,2
6,5
12,2
3,5
Pentru ambele eșantioane, calculați media, varianța corectată și abaterea standard. Găsiți intervalul de variație, abaterea medie absolută (liniară), coeficientul de variație, coeficientul de variație liniar, coeficientul de oscilație.
Presupunând că o anumită variabilă aleatoare este distribuită în mod normal, determinați intervalul de încredere pentru media generală (în ambele cazuri).
Utilizând criteriul Fisher, verificați ipoteza de egalitate a variațiilor generale. Cu ajutorul testului Student, verificați ipoteza despre egalitatea mijloacelor generale (ipoteza alternativă este despre inegalitatea acestora).
În toate calculele, nivelul de semnificație este α = 0,05.
1. Găsiți indicatorii de variație pentru primul eșantion.X |x - x av | (x - x medie) 2
98
127.3
16205.29
128
97.3
9467.29
192
33.3
1108.89
205
20.3
412.09
219
6.3
39.69
223
2.3
5.29
260
34.7
1204.09
264
38.7
1497.69
266
40.7
1656.49
398
172.7
29825.29
2253
573.6
61422.1
.
Indicatori de variație.
.
R = X max - X min
R = 398 - 98 = 300
Abaterea liniară medie
Fiecare valoare a seriei diferă de cealaltă cu o medie de 57,36
Dispersia
Estimator de varianță imparțial
.
Fiecare valoare a seriei diferă de valoarea medie de 225,3 cu o medie de 78,37
.
.
Coeficientul de variație
Deoarece v>30%, dar v sau
Coeficient de oscilație
.
.
Folosind tabelul Studentului găsim:
Tabel T (n-1;α/2) = Tabel T (9;0,025) = 2,262
(225.3 - 59.09;225.3 + 59.09) = (166.21;284.39)
Să clasificăm rândul. Pentru a face acest lucru, sortăm valorile sale în ordine crescătoare.
Tabel pentru calcularea indicatorilor.X |x - x av | (x - x medie) 2
223
76.57
5863.18
240
59.57
3548.76
263
36.57
1337.47
266
33.57
1127.04
286
13.57
184.18
335
35.43
1255.18
484
184.43
34013.9
2097
439.71
47329.71
Indicatori centre de distribuție.
Media aritmetică simplă
Indicatori de variație.
Variații absolute.
Intervalul de variație este diferența dintre valorile maxime și minime ale caracteristicii seriei primare.
R = X max - X min
R = 484 - 223 = 261
Abaterea liniară medie- calculată pentru a lua în considerare diferențele tuturor unităților populației studiate.
Fiecare valoare a seriei diferă de cealaltă cu o medie de 62,82
Dispersia- caracterizează măsura dispersiei în jurul valorii sale medii (o măsură a dispersiei, adică abaterea de la medie).
Estimator de varianță imparțial- estimarea consistentă a varianței (varianță corectată).
Deviație standard.
Fiecare valoare a seriei diferă de valoarea medie de 299,57 cu o medie de 82,23
Estimarea abaterii standard.
Măsuri de variație relativă.
Indicatorii relativi de variație includ: coeficientul de oscilație, coeficientul de variație liniar, deviația liniară relativă.
Coeficientul de variație- o măsură a dispersiei relative a valorilor populației: arată ce proporție din valoarea medie a acestei valori este dispersia medie a acesteia.
Deoarece v ≤ 30%, populația este omogenă, iar variația este slabă. Rezultatele obținute pot fi de încredere.
Coeficient liniar de variație sau Deviația liniară relativă- caracterizează proporţia valorii medii a semnului abaterilor absolute de la valoarea medie.
Coeficient de oscilație- reflectă fluctuația relativă a valorilor extreme ale caracteristicii în jurul mediei.
Estimarea pe intervale a centrului populației.
Interval de încredere pentru media generală.
Determinați valoarea t kp folosind tabelul de distribuție Student
Folosind tabelul Studentului găsim:
Tabel T (n-1;α/2) = Tabel T (6;0,025) = 2,447
(299.57 - 82.14;299.57 + 82.14) = (217.43;381.71)
Cu o probabilitate de 0,95, se poate afirma că valoarea medie cu o dimensiune mai mare a eșantionului nu va fi în afara intervalului găsit.
Testăm ipoteza egalității varianțelor:
H0: Dx = D y;
H 1: D x Să găsim valoarea observată a criteriului Fisher:
Deoarece s y 2 > s x 2, atunci s b 2 = s y 2, s m 2 = s x 2
Numărul de grade de libertate:
f 1 = n y – 1 = 7 – 1 = 6
f 2 = n x – 1 = 10 – 1 = 9
Folosind tabelul punctelor critice ale distribuției Fisher-Snedecor la un nivel de semnificație de α = 0,05 și date numere de grade de libertate, găsim F cr (6;9) = 3,37
Deoarece F obs. Testăm ipoteza despre egalitatea mijloacelor generale:
Să găsim valoarea experimentală a criteriului Studentului:
Numărul de grade de libertate f = n x + n y – 2 = 10 + 7 – 2 = 15
Determinați valoarea t kp folosind tabelul de distribuție Student
Folosind tabelul Studentului găsim:
Tabel T (f;α/2) = Tabel T (15;0,025) = 2,131
Folosind tabelul punctelor critice ale distribuției Student la un nivel de semnificație de α = 0,05 și un număr dat de grade de libertate, găsim t cr = 2,131
Deoarece t obs.
, (3.16)
(3.17)
grade de libertate indiferent de dimensiunile și dimensiunile eșantionului. Dacă ipoteza H0 este adevărat, atunci diferența ar trebui să fie mică. Adică valoarea experimentală T Exp. cantități T ar trebui să fie mic. Și anume, trebuie să fie în anumite limite. Dacă depășește aceste limite, o vom considera o respingere a ipotezei. H0, și vom presupune acest lucru cu o probabilitate egală cu nivelul de semnificație specificat α
.
(3.19)reduce numărul de grade de libertate ale unei variabile aleatoare T aproape dublat. Și aceasta duce la o extindere semnificativă a intervalului de acceptare a ipotezelor H0și, în consecință, la o îngustare semnificativă a zonei critice de neacceptare a acestei ipoteze. Și acest lucru este destul de corect, deoarece gradul de răspândire a valorilor posibile ale diferenței va fi determinat în principal de răspândirea valorilor uneia dintre cantități XȘi Y, care are o dispersie mare. Adică, informațiile dintr-un eșantion cu varianță mai mică par să dispară, ceea ce duce la o mai mare incertitudine în concluziile despre ipoteză. H0 .
găsiți numărul K grade de libertate a cantității T: K=10+8-2=16. După aceasta, pentru n0+8-2=16. (3.16) calculăm valoarea experimentală a valorii T: Y rațiile de furaj, trebuie să folosim α
=0,05 și K=16 din tabelul punctelor critice ale distribuției Student (Tabelul 4 din Anexă) găsim: =2.12. Astfel, intervalul de acceptare a ipotezei H0
despre egalitatea producțiilor medii de lapte ale vacilor care primesc rațiile nr. 1 și nr. 2, intervalul = (-2,12; 2,12). Și deoarece = - 0,79 se încadrează în acest interval, nu avem niciun motiv să respingem ipoteza H0
.
Adică, avem dreptul să presupunem că diferența dintre rațiile de furaje nu afectează producția medie zilnică de lapte a vacilor.
