Podnoszenie potęgi do potęgi o wykładniku ujemnym. Jak podnieść liczbę do potęgi ujemnej - przykłady z opisem w Excelu

Formuły mocy wykorzystywane w procesie redukcji i upraszczania złożonych wyrażeń, w rozwiązywaniu równań i nierówności.

Numer C Jest N-ta potęga liczby A Gdy:

Operacje ze stopniami.

1. Mnożąc stopnie o tej samej podstawie, ich wskaźniki sumują się:

jestemza n = za m + n .

2. W podziale stopni o tej samej podstawie ich wskaźniki są odejmowane:

3. Stopień iloczynu 2 lub więcej czynników jest równy iloczynowi stopni tych czynników:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Stopień ułamka jest równy stosunkowi stopni dywidendy i dzielnika:

(a/b) n = za n / b n .

5. Podnosząc potęgę do potęgi mnożymy wykładniki:

(am) n = za m n .

Każda powyższa formuła jest poprawna w kierunkach od lewej do prawej i odwrotnie.

Na przykład. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacje z korzeniami.

1. Pierwiastek iloczynu kilku czynników jest równy iloczynowi pierwiastków tych czynników:

2. Pierwiastek ze stosunku jest równy stosunkowi dywidendy i dzielnikowi pierwiastków:

3. Podnosząc pierwiastek do potęgi wystarczy podnieść pierwiastek do tej potęgi:

4. Jeśli zwiększymy stopień pierwiastka w N raz i jednocześnie podnieść do N potęga jest liczbą pierwiastkową, to wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie:

5. Jeśli zmniejszymy stopień pierwiastka w N jednocześnie rootować N stopnia od liczby pierwiastkowej, to wartość pierwiastka nie ulegnie zmianie:

Stopień z ujemnym wykładnikiem. Stopień liczby z wykładnikiem nie dodatnim (całkowitym) definiuje się jako jeden podzielony przez stopień tej samej liczby, której wykładnik jest równy wartości bezwzględnej wykładnika nie dodatniego:

Formuła jestem:a n = a m - n może służyć nie tylko do M> N, ale także o godz M< N.

Na przykład. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Do formuły jestem:a n = a m - n stał się uczciwy o godz m=n, potrzebujesz obecności stopnia zero.

Stopień z wykładnikiem zerowym. Potęga dowolnej liczby niezerowej z wykładnikiem zerowym jest równa jeden.

Na przykład. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stopień z wykładnikiem ułamkowym. Aby podnieść liczbę rzeczywistą A do pewnego stopnia m/n, musisz wyodrębnić root N stopnia M potęga tej liczby A.

Podnoszenie do potęgi ujemnej jest jednym z podstawowych elementów matematyki, często spotykanym przy rozwiązywaniu problemów algebraicznych. Poniżej znajduje się szczegółowa instrukcja.

Jak podnieść do potęgi ujemnej - teoria

Kiedy podnosimy liczbę do zwykłej potęgi, mnożymy jej wartość kilka razy. Na przykład 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. W przypadku ułamka ujemnego jest odwrotnie. Ogólna postać zgodnie ze wzorem będzie następująca: a -n = 1/a n . Tak więc, aby podnieść liczbę do potęgi ujemnej, należy podzielić jedynkę przez podaną liczbę, ale już do potęgi dodatniej.

Jak podnieść do potęgi ujemnej - przykłady na liczbach zwykłych

Mając na uwadze powyższą regułę, rozwiążmy kilka przykładów.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Odpowiedź: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Odpowiedź to -4 -2 = 1/16.

Ale dlaczego odpowiedź w pierwszym i drugim przykładzie jest taka sama? Faktem jest, że gdy liczba ujemna jest podnoszona do potęgi parzystej (2, 4, 6 itd.), znak staje się dodatni. Gdyby stopień był równy, to zachowany jest minus:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Jak podnieść do potęgi ujemnej - liczby od 0 do 1

Przypomnij sobie, że gdy liczba z przedziału od 0 do 1 jest podnoszona do potęgi dodatniej, wartość maleje wraz ze wzrostem potęgi. Na przykład 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Przykład 3: Oblicz 0,5 -2
Rozwiązanie: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Odpowiedź: 0,5 -2 = 4

Parsowanie (kolejność działań):

• Zamień dziesiętne 0,5 na ułamkowe 1/2. To jest łatwiejsze.
  Podnieś 1/2 do potęgi ujemnej. 1/(2) -2 . Podziel 1 przez 1/(2) 2 , otrzymamy 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Przykład 4: Oblicz 0,5 -3
Rozwiązanie: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Przykład 5: Oblicz -0,5 -3
Rozwiązanie: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Odpowiedź: -0,5 -3 = -8

Na podstawie czwartego i piątego przykładu wyciągniemy kilka wniosków:

• Dla liczby dodatniej z zakresu od 0 do 1 (przykład 4) podniesionej do potęgi ujemnej, niezależnie od tego, czy potęga jest parzysta czy nieparzysta, wartość wyrażenia będzie dodatnia. W tym przypadku im większy stopień, tym większa wartość.
• Dla liczby ujemnej z zakresu od 0 do 1 (przykład 5), podniesionej do potęgi ujemnej, niezależnie od tego, czy potęga jest parzysta czy nieparzysta, wartość wyrażenia będzie ujemna. W tym przypadku im wyższy stopień, tym niższa wartość.

Jak podnieść do potęgi ujemnej - potęga jako liczba ułamkowa

Wyrażenia tego typu mają następującą postać: a -m/n, gdzie a jest liczbą zwykłą, m jest licznikiem stopnia, n jest mianownikiem stopnia.

Rozważ przykład:
Oblicz: 8 -1/3

Rozwiązanie (kolejność działań):

• Zapamiętaj zasadę podnoszenia liczby do potęgi ujemnej. Otrzymujemy: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
• Zauważ, że mianownik to 8 do potęgi ułamkowej. Ogólna postać obliczania stopnia ułamkowego jest następująca: a m/n = n √8 m .
• Zatem 1/(8) 1/3 = 1/(3 √ 8 1). Otrzymujemy pierwiastek sześcienny z ośmiu, czyli 2. Opierając się na tym, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Odpowiedź: 8 -1/3 = 2

Oczywiście liczby z potęgami można dodawać jak inne wielkości , dodając je jeden po drugim wraz z ich znakami.

Więc suma a 3 i b 2 to a 3 + b 2 .
Suma a 3-bn i h 5-d 4 to a 3-bn + h 5-d 4 .

Szanse te same potęgi tych samych zmiennych można dodawać lub odejmować.

Zatem suma 2a 2 i 3a 2 wynosi 5a 2 .

Jest również oczywiste, że jeśli weźmiemy dwa kwadraty a, trzy kwadraty a lub pięć kwadratów a.

Ale stopnie różne zmienne I różne stopnie identyczne zmienne, należy dodać, dodając je do ich znaków.

Więc suma a 2 i a 3 jest sumą a 2 + a 3 .

Jest oczywiste, że kwadrat a i sześcian a nie są ani dwukrotnością kwadratu a, ale dwukrotnością sześcianu a.

Suma a 3 b n i 3a 5 b 6 to a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Odejmowanie potęgi wykonuje się w taki sam sposób jak dodawanie, z tym wyjątkiem, że znaki odejmowania muszą być odpowiednio zmienione.

Lub:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Mnożenie mocy

Liczby z potęgami można mnożyć jak inne wielkości, zapisując je jedna po drugiej, z lub bez znaku mnożenia między nimi.

Tak więc wynikiem pomnożenia a 3 przez b 2 jest a 3 b 2 lub aaabb.

Lub:
x -3 ⋅ za m = za m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
za 2 b 3 y 2 ⋅ za 3 b 2 y = za 2 b 3 y 2 za 3 b 2 y

Wynik w ostatnim przykładzie można uporządkować, dodając te same zmienne.
Wyrażenie przyjmie postać: a 5 b 5 y 3 .

Porównując kilka liczb (zmiennych) z potęgami, możemy zobaczyć, że jeśli pomnożymy dowolne dwie z nich, to wynikiem będzie liczba (zmienna) o potędze równej suma stopnie terminów.

Zatem a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Tutaj 5 jest potęgą wyniku mnożenia, równą 2 + 3, sumą potęg wyrazów.

Zatem a n .a m = a m+n .

Dla n , a jest brane jako czynnik tyle razy, ile wynosi potęga n;

A m jest brane jako czynnik tyle razy, ile stopień m jest równy;

Dlatego, potęgi o tych samych podstawach można pomnożyć przez dodanie wykładników.

Więc a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . I x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Lub:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Pomnóż (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpowiedź: x 4 - y 4.
Pomnóż (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ta reguła jest również prawdziwa dla liczb, których wykładniki są - negatywny.

1. Więc a -2 .a -3 = a -5 . Można to zapisać jako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. za -n .a m = za m-n .

Jeśli a + b pomnożymy przez a - b, wynikiem będzie a 2 - b 2: to znaczy

Wynik mnożenia sumy lub różnicy dwóch liczb jest równy sumie lub różnicy ich kwadratów.

Jeżeli suma i różnica dwóch liczb podniesiona do kwadrat, wynik będzie równy sumie lub różnicy tych liczb w czwarty stopień.

Więc (a - y).(a + y) = za 2 - y 2 .
(za 2 - y 2)⋅ (za 2 + y 2) = za 4 - y 4 .
(za 4 - y 4)⋅ (za 4 + y 4) = za 8 - y 8 .

Podział władzy

Liczby z potęgami można dzielić jak inne liczby, odejmując od dzielnika lub umieszczając je w postaci ułamka.

Więc a 3 b 2 podzielone przez b 2 daje 3 .

Lub:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Zapisanie 5 podzielonego przez 3 wygląda jak $\frac(a^5)(a^3)$. Ale to jest równe a 2 . W serii liczb
za +4 , za +3 ​​, za +2 , za +1 , za 0 , za -1 , za -2 , za -3 , za -4 .
dowolną liczbę można podzielić przez inną, a wykładnik będzie równy różnica wskaźniki liczb podzielnych.

Dzieląc potęgi o tej samej podstawie, ich wykładniki są odejmowane..

Więc y 3: y 2 = y 3-2 = y 1 . Oznacza to, że $\frac(yyy)(yy) = y$.

A n+1:a = an+1-1 = an . Oznacza to, że $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Lub:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Reguła obowiązuje również dla liczb z negatywny wartości stopni.
Wynikiem dzielenia -5 przez -3 jest -2 .
Również $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 lub $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Konieczne jest bardzo dobre opanowanie mnożenia i dzielenia potęg, ponieważ takie operacje są bardzo szeroko stosowane w algebrze.

Przykłady rozwiązywania przykładów z ułamkami zawierającymi liczby z potęgami

1. Zmniejsz wykładniki w $\frac(5a^4)(3a^2)$ Odpowiedź: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Zmniejsz wykładniki w $\frac(6x^6)(3x^5)$. Odpowiedź: $\frac(2x)(1)$ lub 2x.

3. Zmniejsz wykładniki a 2 / a 3 i a -3 / a -4 i sprowadź do wspólnego mianownika.
a 2 .a -4 to pierwszy licznik -2.
a 3 .a -3 to a 0 = 1, drugi licznik.
a 3 .a -4 to a -1 , wspólny licznik.
Po uproszczeniu: a -2 /a -1 i 1/a -1 .

4. Skróć wykładniki 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 i sprowadź do wspólnego mianownika.
Odpowiedź: 2a 3 / 5a 7 i 5a 5 / 5a 7 lub 2a 3 / 5a 2 i 5/5a 2.

5. Pomnóż (a 3 + b)/b 4 przez (a - b)/3.

6. Pomnóż (a 5 + 1)/x 2 przez (b 2 - 1)/(x + a).

7. Pomnóż b 4 /a -2 przez h -3 /x i a n /y -3 .

8. Podziel 4 /y 3 przez 3 /y 2 . Odpowiedź: a/y.

9. Podziel (h 3 - 1)/d 4 przez (d n + 1)/h.

Pierwszy poziom

Stopień i jego właściwości. Kompleksowy przewodnik (2019)

Dlaczego potrzebne są stopnie naukowe? Gdzie ich potrzebujesz? Dlaczego warto poświęcić czas na ich studiowanie?

Aby dowiedzieć się wszystkiego o stopniach, do czego służą, jak wykorzystać swoją wiedzę w życiu codziennym, przeczytaj ten artykuł.

I, oczywiście, znajomość stopni przybliży Cię do pomyślnego zdania OGE lub Jednolitego Egzaminu Państwowego i dostania się na wymarzony uniwersytet.

Chodźmy, chodźmy!)

Ważna uwaga! Jeśli zamiast formuł widzisz bełkot, wyczyść pamięć podręczną. Aby to zrobić, naciśnij klawisze CTRL+F5 (w systemie Windows) lub Cmd+R (w systemie Mac).

PIERWSZY POZIOM

Potęgowanie jest tą samą operacją matematyczną, co dodawanie, odejmowanie, mnożenie lub dzielenie.

Teraz wyjaśnię wszystko ludzkim językiem na bardzo prostych przykładach. Bądź ostrożny. Przykłady są elementarne, ale wyjaśniają ważne rzeczy.

Zacznijmy od dodawania.

Nie ma tu nic do wyjaśniania. Wiesz już wszystko: jest nas ośmioro. Każdy ma dwie butelki coli. Ile coli? Zgadza się - 16 butelek.

Teraz mnożenie.

Ten sam przykład z colą można zapisać w inny sposób: . Matematycy to przebiegli i leniwi ludzie. Najpierw zauważają pewne wzorce, a następnie wymyślają sposób na ich szybsze „liczenie”. W naszym przypadku zauważyli, że każda z ośmiu osób miała taką samą liczbę butelek coli i wymyślili technikę zwaną mnożeniem. Zgadzam się, uważa się to za łatwiejsze i szybsze niż.

Aby więc liczyć szybciej, łatwiej i bez błędów, wystarczy pamiętać tabliczka mnożenia. Oczywiście wszystko można robić wolniej, mocniej i z błędami! Ale…

Oto tabliczka mnożenia. Powtarzać.

I jeszcze jeden, ładniejszy:

A jakie inne podstępne sztuczki z liczeniem wymyślili leniwi matematycy? Prawidłowy - podniesienie liczby do potęgi.

Podnoszenie liczby do potęgi

Jeśli musisz pomnożyć liczbę przez siebie pięć razy, matematycy twierdzą, że musisz podnieść tę liczbę do piątej potęgi. Na przykład, . Matematycy pamiętają, że dwa do piątej potęgi to jest. I takie problemy rozwiązują w myślach - szybciej, łatwiej i bezbłędnie.

Aby to zrobić, potrzebujesz tylko pamiętaj, co jest zaznaczone kolorem w tabeli potęg liczb. Uwierz mi, to znacznie ułatwi Ci życie.

Nawiasem mówiąc, dlaczego nazywa się drugi stopień kwadrat liczby i trzeci sześcian? Co to znaczy? Bardzo dobre pytanie. Teraz będziesz mieć zarówno kwadraty, jak i sześciany.

Przykład z życia wzięty nr 1

Zacznijmy od kwadratu lub drugiej potęgi liczby.

Wyobraź sobie kwadratowy basen o wymiarach metry na metry. Basen jest na twoim podwórku. Jest gorąco i bardzo chcę popływać. Ale… basen bez dna! Konieczne jest pokrycie dna basenu płytkami. Ile płytek potrzebujesz? Aby to ustalić, musisz znać obszar dna basenu.

Możesz po prostu policzyć, szturchając palcem, że dno basenu składa się z kostek metr po metrze. Jeśli twoje płytki są metr po metrze, będziesz potrzebować kawałków. To proste... Ale gdzie widziałeś taką płytkę? Płytka będzie raczej centymetr po centymetrze, a potem męczy cię „liczenie palcem”. Następnie musisz pomnożyć. Tak więc po jednej stronie dna basenu zmieścimy kafelki (sztuki), a po drugiej również kafelki. Mnożąc przez, otrzymujesz kafelki ().

Czy zauważyłeś, że pomnożyliśmy tę samą liczbę przez siebie, aby określić powierzchnię dna basenu? Co to znaczy? Ponieważ ta sama liczba jest mnożona, możemy zastosować technikę potęgowania. (Oczywiście, gdy masz tylko dwie liczby, nadal musisz je pomnożyć lub podnieść do potęgi. Ale jeśli masz ich dużo, to podniesienie do potęgi jest znacznie łatwiejsze i jest też mniej błędów w obliczeniach Dla egzaminu jest to bardzo ważne).
Tak więc trzydzieści do drugiego stopnia będzie (). Lub możesz powiedzieć, że trzydzieści do kwadratu będzie. Innymi słowy, drugą potęgę liczby można zawsze przedstawić jako kwadrat. I odwrotnie, jeśli widzisz kwadrat, ZAWSZE jest to druga potęga jakiejś liczby. Kwadrat jest obrazem drugiej potęgi liczby.

Przykład z życia wzięty nr 2

Oto zadanie dla Ciebie, policz ile pól jest na szachownicy za pomocą kwadratu liczby... Po jednej stronie komórek i po drugiej też. Aby policzyć ich liczbę, musisz pomnożyć osiem przez osiem, czyli… jeśli zauważysz, że szachownica to kwadrat z bokiem, możesz podnieść osiem do kwadratu. Zdobądź komórki. () Więc?

Przykład z życia nr 3

Teraz sześcian lub trzecia potęga liczby. Ten sam basen. Ale teraz musisz dowiedzieć się, ile wody trzeba będzie wlać do tego basenu. Musisz obliczyć objętość. (Nawiasem mówiąc, objętości i ciecze są mierzone w metrach sześciennych. Nieoczekiwane, prawda?) Narysuj basen: dolny o wielkości jednego metra i głęboki na metr, i spróbuj obliczyć, ile sześcianów o wymiarach metr na metr wejdzie do twojego basen.

Po prostu wskaż palcem i policz! Raz, dwa, trzy, cztery… dwadzieścia dwa, dwadzieścia trzy… Ile wyszło? Nie zgubiłeś się? Czy trudno jest policzyć palcem? Aby! Weź przykład z matematyków. Są leniwi, więc zauważyli, że aby obliczyć objętość basenu, trzeba pomnożyć przez siebie jego długość, szerokość i wysokość. W naszym przypadku objętość puli będzie równa kostkom… Łatwiej, prawda?

A teraz wyobraź sobie, jak leniwi i przebiegli są matematycy, jeśli to zbyt łatwo upraszczają. Zredukowałem wszystko do jednej akcji. Zauważyli, że długość, szerokość i wysokość są sobie równe i że ta sama liczba jest mnożona przez samą siebie… A co to oznacza? Oznacza to, że możesz użyć stopnia. A więc to, co kiedyś policzyłeś palcem, robią jednym ruchem: trzy w kostce równa się. Jest napisane tak:

Pozostałości tylko zapamiętaj tabelę stopni. Chyba że jesteś tak samo leniwy i przebiegły jak matematycy. Jeśli lubisz ciężko pracować i popełniać błędy, możesz liczyć na palcach.

Cóż, żeby Cię w końcu przekonać, że stopnie zostały wymyślone przez mokasynów i przebiegłych ludzi, aby rozwiązywać ich życiowe problemy, a nie stwarzać Ci problemy, oto jeszcze kilka przykładów z życia.

Przykład z życia #4

Masz milion rubli. Na początku każdego roku za każdy milion zarabiasz kolejny milion. Oznacza to, że każdy twój milion na początku każdego roku podwaja się. Ile będziesz miał pieniędzy za lata? Jeśli teraz siedzisz i „liczysz palcem”, to jesteś osobą bardzo pracowitą i… głupią. Ale najprawdopodobniej dasz odpowiedź za kilka sekund, ponieważ jesteś mądry! A więc w pierwszym roku - dwa razy dwa... w drugim roku - co się stało przez kolejne dwa, w trzecim roku... Stop! Zauważyłeś, że liczba jest mnożona przez siebie raz. Więc dwa do potęgi piątej to milion! A teraz wyobraź sobie, że masz konkurencję i ten, kto szybciej policzy, dostanie te miliony… Czy warto pamiętać stopnie liczb, co o tym sądzisz?

Przykład z życia wzięty nr 5

Masz milion. Na początku każdego roku zarabiasz o dwa więcej za każdy milion. To świetnie, prawda? Każdy milion jest potrojony. Ile będziesz miał pieniędzy za rok? Policzmy. Pierwszy rok - pomnóż przez, potem wynik przez kolejny... To już jest nudne, bo już wszystko zrozumiałeś: trzy mnoży się przez siebie razy. Więc czwarta potęga to milion. Musisz tylko pamiętać, że trzy do potęgi czwartej to lub.

Teraz już wiesz, że podnosząc liczbę do potęgi, znacznie ułatwisz sobie życie. Przyjrzyjmy się dalej, co możesz zrobić ze stopniami i co musisz o nich wiedzieć.

Terminy i pojęcia… żeby się nie pomylić

A więc najpierw zdefiniujmy pojęcia. Co myślisz, co to jest wykładnik? To bardzo proste - jest to liczba, która jest „na górze” potęgi liczby. Nie naukowe, ale jasne i łatwe do zapamiętania ...

Cóż, w tym samym czasie, co taka podstawa stopnia? Jeszcze prostsza jest liczba, która znajduje się na dole, u podstawy.

Oto zdjęcie dla pewności.

Cóż, ogólnie rzecz biorąc, aby uogólnić i lepiej zapamiętać ... Stopień z podstawą „” i wskaźnikiem „” odczytuje się jako „do stopnia” i zapisuje w następujący sposób:

Potęga liczby z wykładnikiem naturalnym

Pewnie już się domyśliłeś: ponieważ wykładnik jest liczbą naturalną. Tak, ale co to jest Liczba naturalna? Podstawowy! Liczby naturalne to te, które są używane do liczenia przy wymienianiu przedmiotów: jeden, dwa, trzy… Kiedy liczymy przedmioty, nie mówimy: „minus pięć”, „minus sześć”, „minus siedem”. Nie mówimy też „jedna trzecia” ani „zero przecinek pięć dziesiątych”. To nie są liczby naturalne. Jak myślisz, co to za liczby?

Liczby takie jak „minus pięć”, „minus sześć”, „minus siedem” odnoszą się do wszystkie liczby. Ogólnie rzecz biorąc, liczby całkowite obejmują wszystkie liczby naturalne, liczby przeciwne do liczb naturalnych (czyli wzięte ze znakiem minus) oraz liczbę. Zero jest łatwe do zrozumienia - wtedy nie ma nic. A co oznaczają liczby ujemne („minus”)? Ale zostały wymyślone przede wszystkim w celu oznaczenia długów: jeśli masz saldo w telefonie w rublach, oznacza to, że jesteś winien operatorowi ruble.

Wszystkie ułamki są liczbami wymiernymi. Jak do nich doszło, jak myślisz? Bardzo prosta. Kilka tysięcy lat temu nasi przodkowie odkryli, że nie mają wystarczającej liczby liczb naturalnych, aby zmierzyć długość, wagę, powierzchnię itp. I wymyślili liczby wymierne… Ciekawe, prawda?

Istnieją również liczby niewymierne. Co to za liczby? Krótko mówiąc, nieskończony ułamek dziesiętny. Na przykład, jeśli podzielisz obwód koła przez jego średnicę, otrzymasz liczbę niewymierną.

Streszczenie:

Zdefiniujmy pojęcie stopnia, którego wykładnikiem jest liczba naturalna (czyli całkowita i dodatnia).

1. Każda liczba do pierwszej potęgi jest równa samej sobie:
2. Podniesienie liczby do kwadratu to pomnożenie jej przez siebie:
3. Sześcian liczby to trzykrotne pomnożenie jej samej przez siebie:

Definicja. Aby podnieść liczbę do potęgi naturalnej, należy pomnożyć ją przez siebie razy:
.

Właściwości stopnia

Skąd wzięły się te właściwości? Pokażę ci teraz.

Zobaczmy, co jest I ?

A-priorytet:

Ile jest łącznie mnożników?

To bardzo proste: dodaliśmy czynniki do czynników, a wynikiem są czynniki.

Ale z definicji jest to stopień liczby z wykładnikiem, czyli: , który należało udowodnić.

Przykład: Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie:

Przykład: Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie: Warto zauważyć, że w naszej regule Koniecznie musi być ten sam powód!
Dlatego łączymy stopnie z podstawą, ale pozostajemy osobnym czynnikiem:

tylko dla produktów potęg!

W żadnym wypadku nie powinieneś tak pisać.

2. to znaczy -ta potęga liczby

Podobnie jak w przypadku poprzedniej własności, przejdźmy do definicji stopnia:

Okazuje się, że wyrażenie jest mnożone przez siebie raz, czyli zgodnie z definicją jest to th potęga liczby:

W rzeczywistości można to nazwać „ujęciem wskaźnika w nawias”. Ale nigdy nie możesz tego zrobić w sumie:

Przypomnijmy sobie wzory na skrócone mnożenie: ile razy chcieliśmy napisać?

Ale to nieprawda, naprawdę.

Stopień z ujemną podstawą

Do tego momentu omawialiśmy tylko, jaki powinien być wykładnik.

Ale co powinno być podstawą?

W stopniach od wskaźnik naturalny podstawa może być Jakikolwiek numer. Rzeczywiście, możemy pomnożyć przez siebie dowolną liczbę, niezależnie od tego, czy są one dodatnie, ujemne, czy nawet.

Zastanówmy się, jakie znaki („” lub „”) będą miały stopnie liczb dodatnich i ujemnych?

Na przykład, czy liczba będzie dodatnia czy ujemna? A? ? Z pierwszym wszystko jest jasne: bez względu na to, ile liczb dodatnich pomnożymy ze sobą, wynik będzie dodatni.

Ale te negatywne są trochę bardziej interesujące. Przecież pamiętamy prostą zasadę z 6 klasy: „minus razy minus daje plus”. To znaczy lub. Ale jeśli pomnożymy przez, okazuje się.

Ustal sam, jaki znak będą miały następujące wyrażenia:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Czy udało Ci się?

Oto odpowiedzi: Mam nadzieję, że w pierwszych czterech przykładach wszystko jest jasne? Po prostu patrzymy na podstawę i wykładnik i stosujemy odpowiednią regułę.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

W przykładzie 5) wszystko też nie jest tak przerażające, jak się wydaje: nie ma znaczenia, jaka jest podstawa - stopień jest równy, co oznacza, że ​​\u200b\u200bwynik zawsze będzie dodatni.

No chyba, że ​​podstawa wynosi zero. Baza nie jest taka sama, prawda? Oczywiście, że nie, ponieważ (ponieważ).

Przykład 6) nie jest już taki prosty!

6 praktycznych przykładów

Analiza rozwiązania 6 przykładów

Jeśli nie zwrócimy uwagi na ósmy stopień, co tu widzimy? Przyjrzyjmy się programowi 7. klasy. Więc pamiętaj? To jest skrócona formuła mnożenia, a mianowicie różnica kwadratów! Otrzymujemy:

Uważnie patrzymy na mianownik. Wygląda bardzo podobnie do jednego z czynników licznika, ale co jest nie tak? Zła kolejność warunków. Gdyby zostały zamienione, reguła mogłaby obowiązywać.

Ale jak to zrobić? Okazuje się, że jest to bardzo proste: pomaga nam tutaj parzysty stopień mianownika.

Warunki magicznie zamieniły się miejscami. To „zjawisko” dotyczy każdego wyrażenia w stopniu parzystym: możemy dowolnie zmieniać znaki w nawiasach.

Ale ważne jest, aby pamiętać: wszystkie znaki zmieniają się w tym samym czasie!

Wróćmy do przykładu:

I znowu formuła:

cały nazywamy liczby naturalne, ich przeciwieństwa (to znaczy wzięte ze znakiem „”) i liczbę.

Dodatnia liczba całkowita, i nie różni się niczym od naturalnego, to wszystko wygląda dokładnie tak, jak w poprzedniej sekcji.

Teraz spójrzmy na nowe przypadki. Zacznijmy od wskaźnika równego.

Każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden:

Jak zawsze zadajemy sobie pytanie: dlaczego tak jest?

Rozważmy pewną moc z podstawą. Weźmy na przykład i pomnóżmy przez:

Więc pomnożyliśmy liczbę przez i otrzymaliśmy to samo, co było -. Przez jaką liczbę należy pomnożyć, aby nic się nie zmieniło? Właśnie, wł. Oznacza.

To samo możemy zrobić z dowolną liczbą:

Powtórzmy regułę:

Każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden.

Ale są wyjątki od wielu zasad. I tutaj też jest - to jest liczba (jako podstawa).

Z jednej strony musi być równy dowolnemu stopniowi - bez względu na to, jak bardzo pomnożysz zero przez siebie, nadal otrzymasz zero, to jasne. Ale z drugiej strony, jak każda liczba do stopnia zerowego, musi być równa. Więc jaka jest w tym prawda? Matematycy postanowili się nie angażować i odmówili podniesienia zera do potęgi zerowej. Oznacza to, że teraz możemy nie tylko dzielić przez zero, ale także podnosić go do potęgi zerowej.

Idźmy dalej. Oprócz liczb naturalnych i liczb, liczby całkowite obejmują liczby ujemne. Aby zrozumieć, czym jest stopień ujemny, zróbmy to samo, co poprzednio: mnożymy pewną liczbę normalną przez to samo w stopniu ujemnym:

Stąd już łatwo jest wyrazić pożądane:

Teraz rozszerzymy wynikową regułę w dowolnym stopniu:

Sformułujmy więc regułę:

Liczba do potęgi ujemnej jest odwrotnością tej samej liczby do potęgi dodatniej. Ale w tym samym czasie podstawa nie może być pusta:(bo nie da się podzielić).

Podsumujmy:

I. Wyrażenie nie jest zdefiniowane w przypadku. Jeśli następnie.

II. Każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden: .

III. Liczba, która nie jest równa zero do potęgi ujemnej, jest odwrotnością tej samej liczby do potęgi dodatniej: .

Zadania do samodzielnego rozwiązania:

Cóż, jak zwykle, przykłady niezależnego rozwiązania:

Analiza zadań do samodzielnego rozwiązania:

Wiem, wiem, liczby przerażają, ale na egzaminie trzeba być przygotowanym na wszystko! Rozwiąż te przykłady lub przeanalizuj ich rozwiązanie, jeśli nie mogłeś ich rozwiązać, a nauczysz się, jak łatwo sobie z nimi poradzić na egzaminie!

Kontynuujmy rozszerzanie zakresu liczb „odpowiednich” jako wykładnik.

Teraz rozważ liczby wymierne. Jakie liczby nazywamy wymiernymi?

Odpowiedź: wszystko, co można przedstawić jako ułamek, gdzie i są zresztą liczbami całkowitymi.

Aby zrozumieć, co jest „stopień ułamkowy” Rozważmy ułamek:

Podnieśmy obie strony równania do potęgi:

Teraz zapamiętaj zasadę „stopień do stopnia”:

Jaką liczbę należy podnieść do potęgi, aby otrzymać?

To sformułowanie jest definicją pierwiastka stopnia.

Przypomnę: pierwiastek z potęgi liczby () to liczba, która podniesiona do potęgi jest równa.

Oznacza to, że pierwiastek stopnia jest odwrotną operacją potęgowania: .

Okazało się, że. Oczywiście ten szczególny przypadek można rozszerzyć: .

Teraz dodaj licznik: co to jest? Odpowiedź jest łatwa do uzyskania dzięki zasadzie mocy do władzy:

Ale czy podstawą może być dowolna liczba? W końcu nie można wyodrębnić korzenia ze wszystkich liczb.

Nic!

Pamiętaj o zasadzie: każda liczba podniesiona do potęgi parzystej jest liczbą dodatnią. Oznacza to, że niemożliwe jest wyodrębnienie pierwiastków parzystego stopnia z liczb ujemnych!

A to oznacza, że ​​\u200b\u200btakich liczb nie można podnieść do potęgi ułamkowej z parzystym mianownikiem, to znaczy wyrażenie nie ma sensu.

A co z ekspresją?

Ale tutaj pojawia się problem.

Liczbę można przedstawić jako inne, zredukowane ułamki, na przykład lub.

I okazuje się, że istnieje, ale nie istnieje, a to tylko dwa różne zapisy o tej samej liczbie.

Albo inny przykład: raz, potem możesz to zapisać. Ale gdy tylko zapiszemy wskaźnik w inny sposób, znowu mamy kłopoty: (to znaczy otrzymaliśmy zupełnie inny wynik!).

Aby uniknąć takich paradoksów, rozważ tylko dodatni wykładnik podstawowy z wykładnikiem ułamkowym.

Więc jeśli:

• - Liczba naturalna;
• jest liczbą całkowitą;

Przykłady:

Potęgi z wykładnikiem wymiernym są bardzo przydatne do przekształcania wyrażeń z pierwiastkami, na przykład:

5 praktycznych przykładów

Analiza 5 przykładów do treningu

Cóż, teraz - najtrudniejsze. Teraz będziemy analizować stopień z niewymiernym wykładnikiem.

Wszystkie zasady i właściwości stopni tutaj są dokładnie takie same jak dla stopni z wykładnikiem wymiernym, z wyjątkiem

Rzeczywiście, z definicji liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić jako ułamek, gdzie i są liczbami całkowitymi (to znaczy wszystkie liczby niewymierne są liczbami rzeczywistymi z wyjątkiem liczb wymiernych).

Studiując stopnie ze wskaźnikiem naturalnym, całkowitym i wymiernym, za każdym razem tworzyliśmy pewien „obraz”, „analogię” lub opis w bardziej znanych terminach.

Na przykład wykładnik naturalny to liczba pomnożona przez siebie kilka razy;

...zerowa moc- jest to niejako liczba pomnożona przez siebie raz, to znaczy jeszcze się nie zaczęła mnożyć, co oznacza, że ​​\u200b\u200bsama liczba jeszcze się nie pojawiła - dlatego wynikiem jest tylko pewna „liczba pusta” , a mianowicie liczba;

...ujemny wykładnik całkowity- to tak, jakby miał miejsce pewien „proces odwrotny”, to znaczy liczba nie została pomnożona przez siebie, ale podzielona.

Nawiasem mówiąc, nauka często używa stopnia ze złożonym wykładnikiem, to znaczy wykładnik nie jest nawet liczbą rzeczywistą.

Ale w szkole nie myślimy o takich trudnościach, będziesz miał okazję zrozumieć te nowe koncepcje w instytucie.

GDZIE JESTEŚMY PEWNI, ŻE POJEDZIESZ! (jeśli nauczysz się rozwiązywać takie przykłady :))

Na przykład:

Zdecyduj sam:

Analiza rozwiązań:

1. Zacznijmy od już zwykłej zasady podnoszenia stopnia do stopnia:

Teraz spójrz na wynik. Czy on ci coś przypomina? Przypominamy wzór na skrócone mnożenie różnicy kwadratów:

W tym przypadku,

Okazało się, że:

Odpowiedź: .

2. Doprowadzamy ułamki w wykładnikach do tej samej postaci: albo dziesiętnej, albo zwykłej. Otrzymujemy np.:

Odpowiedź: 16

3. Nic specjalnego, stosujemy zwykłe właściwości stopni:

POZIOM ZAAWANSOWANY

Definicja stopnia

Stopień jest wyrażeniem postaci: , gdzie:

• — podstawa stopnia;
• - wykładnik.

Stopień z naturalnym wykładnikiem (n = 1, 2, 3,...)

Podniesienie liczby do potęgi naturalnej n oznacza pomnożenie liczby przez samą siebie razy:

Potęga z wykładnikiem całkowitym (0, ±1, ±2,...)

Jeśli wykładnik jest Dodatnia liczba całkowita numer:

erekcja do zerowej mocy:

Wyrażenie jest nieokreślone, ponieważ z jednej strony w jakimkolwiek stopniu to jest to, a z drugiej strony dowolna liczba do tego stopnia jest tym.

Jeśli wykładnik jest liczba całkowita ujemna numer:

(bo nie da się podzielić).

Jeszcze raz o wartościach zerowych: wyrażenie nie jest zdefiniowane w przypadku. Jeśli następnie.

Przykłady:

Stopień z wykładnikiem wymiernym

• - Liczba naturalna;
• jest liczbą całkowitą;

Przykłady:

Właściwości stopnia

Aby ułatwić rozwiązywanie problemów, spróbujmy zrozumieć: skąd wzięły się te właściwości? Udowodnijmy je.

Zobaczmy: co jest i?

A-priorytet:

Tak więc po prawej stronie tego wyrażenia otrzymuje się następujący produkt:

Ale z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem, czyli:

co było do okazania

Przykład : Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie : .

Przykład : Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie : Należy zauważyć, że w naszej regule Koniecznie musi być na tej samej podstawie. Dlatego łączymy stopnie z podstawą, ale pozostajemy osobnym czynnikiem:

Kolejna ważna uwaga: ta zasada - tylko dla iloczynów potęg!

W żadnym wypadku nie powinienem tak pisać.

Podobnie jak w przypadku poprzedniej własności, przejdźmy do definicji stopnia:

Przeorganizujmy to tak:

Okazuje się, że wyrażenie jest mnożone przez siebie raz, czyli zgodnie z definicją jest to -ta potęga liczby:

W rzeczywistości można to nazwać „ujęciem wskaźnika w nawias”. Ale nigdy nie możesz tego zrobić w całości:!

Przypomnijmy sobie wzory na skrócone mnożenie: ile razy chcieliśmy napisać? Ale to nieprawda, naprawdę.

Potęga o ujemnej podstawie.

Do tego momentu dyskutowaliśmy tylko o tym, co powinno być indeks stopień. Ale co powinno być podstawą? W stopniach od naturalny wskaźnik podstawa może być Jakikolwiek numer .

Rzeczywiście, możemy pomnożyć przez siebie dowolną liczbę, niezależnie od tego, czy są one dodatnie, ujemne, czy nawet. Zastanówmy się, jakie znaki („” lub „”) będą miały stopnie liczb dodatnich i ujemnych?

Na przykład, czy liczba będzie dodatnia czy ujemna? A? ?

Z pierwszym wszystko jest jasne: bez względu na to, ile liczb dodatnich pomnożymy ze sobą, wynik będzie dodatni.

Ale te negatywne są trochę bardziej interesujące. Przecież pamiętamy prostą zasadę z 6 klasy: „minus razy minus daje plus”. To znaczy lub. Ale jeśli pomnożymy przez (), otrzymamy -.

I tak w nieskończoność: z każdym kolejnym mnożeniem znak będzie się zmieniał. Możesz sformułować te proste zasady:

1. nawet stopień, - liczba pozytywny.
2. Liczba ujemna podniesiona do dziwne stopień, - liczba negatywny.
3. Liczba dodatnia podniesiona do dowolnej potęgi jest liczbą dodatnią.
4. Zero do dowolnej potęgi jest równe zeru.

Ustal sam, jaki znak będą miały następujące wyrażenia:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Czy udało Ci się? Oto odpowiedzi:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Mam nadzieję, że w pierwszych czterech przykładach wszystko jest jasne? Po prostu patrzymy na podstawę i wykładnik i stosujemy odpowiednią regułę.

W przykładzie 5) wszystko też nie jest tak przerażające, jak się wydaje: nie ma znaczenia, jaka jest podstawa - stopień jest równy, co oznacza, że ​​\u200b\u200bwynik zawsze będzie dodatni. No chyba, że ​​podstawa wynosi zero. Baza nie jest taka sama, prawda? Oczywiście, że nie, ponieważ (ponieważ).

Przykład 6) nie jest już taki prosty. Tutaj musisz dowiedzieć się, co jest mniejsze: czy? Jeśli to pamiętasz, staje się jasne, że oznacza to, że podstawa jest mniejsza od zera. Oznacza to, że stosujemy zasadę 2: wynik będzie ujemny.

I znowu używamy definicji stopnia:

Wszystko jest jak zwykle - zapisujemy definicję stopni i dzielimy je między sobą, dzielimy na pary i otrzymujemy:

Zanim przeanalizujemy ostatnią regułę, rozwiążmy kilka przykładów.

Oblicz wartości wyrażeń:

Rozwiązania :

Jeśli nie zwrócimy uwagi na ósmy stopień, co tu widzimy? Przyjrzyjmy się programowi 7. klasy. Więc pamiętaj? To jest skrócona formuła mnożenia, a mianowicie różnica kwadratów!

Otrzymujemy:

Uważnie patrzymy na mianownik. Wygląda bardzo podobnie do jednego z czynników licznika, ale co jest nie tak? Zła kolejność warunków. Gdyby zostały odwrócone, można by zastosować regułę 3. Ale jak to zrobić? Okazuje się, że jest to bardzo proste: pomaga nam tutaj parzysty stopień mianownika.

Jeśli pomnożysz to przez, nic się nie zmieni, prawda? Ale teraz wygląda to tak:

Warunki magicznie zamieniły się miejscami. To „zjawisko” dotyczy każdego wyrażenia w stopniu parzystym: możemy dowolnie zmieniać znaki w nawiasach. Ale ważne jest, aby pamiętać: wszystkie znaki zmieniają się w tym samym czasie! Nie można tego zastąpić, zmieniając tylko jeden budzący zastrzeżenia minus dla nas!

Wróćmy do przykładu:

I znowu formuła:

A teraz ostatnia zasada:

Jak to udowodnimy? Oczywiście, jak zwykle: rozwińmy pojęcie stopnia i uprośćmy:

Cóż, teraz otwórzmy nawiasy. Ile będzie liter? razy przez mnożniki - jak to wygląda? To nic innego jak definicja operacji mnożenie: suma okazała się mnożnikami. Oznacza to, że z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem:

Przykład:

Stopień z niewymiernym wykładnikiem

Oprócz informacji o stopniach dla średniego poziomu przeanalizujemy stopień z irracjonalnym wskaźnikiem. Wszystkie zasady i właściwości stopni są tutaj dokładnie takie same jak dla stopnia z wykładnikiem wymiernym, z wyjątkiem - w końcu z definicji liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić jako ułamek, gdzie i są liczbami całkowitymi (czyli , wszystkie liczby niewymierne są liczbami rzeczywistymi z wyjątkiem liczb wymiernych).

Studiując stopnie ze wskaźnikiem naturalnym, całkowitym i wymiernym, za każdym razem tworzyliśmy pewien „obraz”, „analogię” lub opis w bardziej znanych terminach. Na przykład wykładnik naturalny to liczba pomnożona przez siebie kilka razy; liczba do stopnia zerowego jest niejako liczbą pomnożoną przez samą siebie raz, to znaczy, że jeszcze się nie zaczęła mnożyć, co oznacza, że ​​sama liczba jeszcze się nawet nie pojawiła - zatem wynikiem jest tylko pewne „przygotowanie liczby”, a mianowicie liczby; stopień z ujemnym wskaźnikiem całkowitym - to tak, jakby nastąpił pewien „proces odwrotny”, to znaczy liczba nie została pomnożona przez siebie, ale podzielona.

Niezwykle trudno jest wyobrazić sobie stopień z niewymiernym wykładnikiem (tak jak trudno wyobrazić sobie przestrzeń 4-wymiarową). Jest to raczej obiekt czysto matematyczny stworzony przez matematyków w celu rozszerzenia pojęcia stopnia na całą przestrzeń liczb.

Nawiasem mówiąc, nauka często używa stopnia ze złożonym wykładnikiem, to znaczy wykładnik nie jest nawet liczbą rzeczywistą. Ale w szkole nie myślimy o takich trudnościach, będziesz miał okazję zrozumieć te nowe koncepcje w instytucie.

Co więc robimy, gdy widzimy niewymierny wykładnik? Robimy wszystko, żeby się go pozbyć! :)

Na przykład:

Zdecyduj sam:

1)

2)

3)

Odpowiedzi:

1. Zapamiętaj wzór na różnicę kwadratów. Odpowiedź: .
2. Doprowadzamy ułamki do tej samej postaci: albo oba ułamki dziesiętne, albo oba zwykłe. Otrzymujemy np.: .
3. Nic specjalnego, stosujemy zwykłe właściwości stopni:

PODSUMOWANIE ROZDZIAŁU I PODSTAWOWA FORMUŁA

Stopień nazywa się wyrażeniem postaci: , gdzie:

Stopień z wykładnikiem całkowitym

stopień, którego wykładnikiem jest liczba naturalna (tj. całkowita i dodatnia).

Stopień z wykładnikiem wymiernym

stopień, którego wskaźnikiem są liczby ujemne i ułamkowe.

Stopień z niewymiernym wykładnikiem

wykładnik, którego wykładnikiem jest nieskończony ułamek dziesiętny lub pierwiastek.

Właściwości stopnia

Cechy stopni.

• Liczba ujemna podniesiona do nawet stopień, - liczba pozytywny.
• Liczba ujemna podniesiona do dziwne stopień, - liczba negatywny.
• Liczba dodatnia podniesiona do dowolnej potęgi jest liczbą dodatnią.
• Zero jest równe dowolnej potędze.
• Każda liczba do potęgi zerowej jest równa.

TERAZ MASZ SŁOWO...

Jak ci się podoba artykuł? Daj mi znać w komentarzach poniżej, czy ci się podobało, czy nie.

Opowiedz nam o swoich doświadczeniach z właściwościami mocy.

Być może masz pytania. Lub sugestie.

Napisz w komentarzach.

I powodzenia na egzaminach!

Wykładnik służy do ułatwienia zapisu operacji mnożenia liczby przez samą siebie. Na przykład zamiast pisać, możesz pisać 4 5 (\ Displaystyle 4 ^ (5))(wyjaśnienie takiego przejścia podano w pierwszej części tego artykułu). Potęgi ułatwiają pisanie długich lub złożonych wyrażeń lub równań; ponadto potęgi można łatwo dodawać i odejmować, co prowadzi do uproszczenia wyrażenia lub równania (na przykład 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\ Displaystyle 4 ^ (2) * 4 ^ (3) = 4 ^ (5))).

Notatka: jeśli musisz rozwiązać równanie wykładnicze (w takim równaniu niewiadoma jest w wykładniku), przeczytaj.

Kroki

Rozwiązywanie prostych zadań za pomocą potęg

Pomnóż podstawę wykładnika przez siebie tyle razy, ile wynosi wykładnik. Jeśli musisz rozwiązać problem z wykładnikami ręcznie, przepisz wykładnik jako operację mnożenia, w której podstawa wykładnika jest mnożona przez siebie. Na przykład ze względu na stopień 3 4 (\ Displaystyle 3 ^ (4)). W takim przypadku podstawę stopnia 3 należy pomnożyć przez siebie 4 razy: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\ Displaystyle 3 * 3 * 3 * 3). Oto inne przykłady:

Najpierw pomnóż dwie pierwsze liczby. Na przykład, 4 5 (\ Displaystyle 4 ^ (5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\ Displaystyle 4 * 4 * 4 * 4 * 4). Nie martw się - proces obliczania nie jest tak skomplikowany, jak się wydaje na pierwszy rzut oka. Najpierw pomnóż pierwsze dwie czwórki, a następnie zastąp je wynikiem. Lubię to:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\ Displaystyle 4 ^ (5) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\ Displaystyle 4*4 = 16)

1. Pomnóż wynik (w naszym przykładzie 16) przez następną liczbę. Każdy kolejny wynik będzie proporcjonalnie wzrastał. W naszym przykładzie pomnóż 16 przez 4. W ten sposób:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\ Displaystyle 4 ^ (5) = 16 * 4 * 4 * 4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\ Displaystyle 16*4 = 64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\ Displaystyle 4 ^ (5) = 64 * 4 * 4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\ Displaystyle 64*4 = 256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\ Displaystyle 4 ^ (5) = 256 * 4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\ Displaystyle 256*4 = 1024)
   • Kontynuuj mnożenie wyniku mnożenia pierwszych dwóch liczb przez następną liczbę, aż uzyskasz ostateczną odpowiedź. Aby to zrobić, pomnóż pierwsze dwie liczby, a następnie pomnóż wynik przez kolejną liczbę w sekwencji. Ta metoda jest ważna dla dowolnego stopnia. W naszym przykładzie powinieneś otrzymać: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\ Displaystyle 4 ^ (5) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024) .

2. Rozwiąż następujące problemy. Sprawdź swoją odpowiedź za pomocą kalkulatora.

   • 8 2 (\ Displaystyle 8 ^ (2))
   • 3 4 (\ Displaystyle 3 ^ (4))
   • 10 7 (\ Displaystyle 10 ^ (7))

3. Na kalkulatorze poszukaj klucza oznaczonego „exp” lub „ x n (\ displaystyle x ^ (n))" lub "^". Za pomocą tego klucza podniesiesz liczbę do potęgi. Praktycznie niemożliwe jest ręczne obliczenie stopnia z dużym wykładnikiem (na przykład stopień 9 15 (\ Displaystyle 9 ^ (15))), ale kalkulator bez problemu poradzi sobie z tym zadaniem. W systemie Windows 7 standardowy kalkulator można przełączyć w tryb inżynierski; aby to zrobić, kliknij „Widok” -\u003e „Inżynieria”. Aby przejść do trybu normalnego, kliknij „Widok” -\u003e „Normalny”.

   • Sprawdź otrzymaną odpowiedź za pomocą wyszukiwarki (Google lub Yandex). Za pomocą klawisza „^” na klawiaturze komputera wprowadź wyrażenie do wyszukiwarki, która natychmiast wyświetli poprawną odpowiedź (i ewentualnie zasugeruje podobne wyrażenia do nauki).

   Dodawanie, odejmowanie, mnożenie potęg

   1. Możesz dodawać i odejmować potęgi tylko wtedy, gdy mają tę samą podstawę. Jeśli chcesz dodać potęgi o tych samych podstawach i wykładnikach, możesz zastąpić operację dodawania operacją mnożenia. Na przykład, biorąc pod uwagę wyrażenie 4 5 + 4 5 (\ Displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5)). Pamiętaj, że stopień 4 5 (\ Displaystyle 4 ^ (5)) można przedstawić jako 1 ∗ 4 5 (\ Displaystyle 1 * 4 ^ (5)); Zatem, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\ Displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) = 1 * 4 ^ (5) + 1 * 4 ^ (5) =2*4^(5))(gdzie 1 +1 = 2). To znaczy policz liczbę podobnych stopni, a następnie pomnóż taki stopień i tę liczbę. W naszym przykładzie podnieś 4 do piątej potęgi, a następnie pomnóż wynik przez 2. Pamiętaj, że operację dodawania można zastąpić operacją mnożenia, na przykład 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\ Displaystyle 3 + 3 = 2 * 3). Oto inne przykłady:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\ Displaystyle 3 ^ (2) + 3 ^ (2) = 2 * 3 ^ (2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\ Displaystyle 4 ^ (5) + 4 ^ (5) + 4 ^ (5) = 3 * 4 ^ (5))
      • 4 5 - 4 5 + 2 = 2 (\ Displaystyle 4 ^ (5) -4 ^ (5) + 2 = 2)
      • 4 x 2 - 2 x 2 = 2 x 2 (\ Displaystyle 4x ^ (2) -2x ^ (2) = 2x ^ (2))

   2. Podczas mnożenia potęg o tej samej podstawie ich wykładniki są dodawane (podstawa się nie zmienia). Na przykład, biorąc pod uwagę wyrażenie x 2 ∗ x 5 (\ Displaystyle x ^ (2) * x ^ (5)). W takim przypadku wystarczy dodać wskaźniki, pozostawiając bazę bez zmian. Zatem, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\ Displaystyle x ^ (2) * x ^ (5) = x ^ (7)). Oto wizualne wyjaśnienie tej zasady:

      Podczas podnoszenia potęgi do potęgi wykładniki są mnożone. Na przykład, biorąc pod uwagę stopień. Skoro wykładniki są mnożone, to (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\ Displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) = x ^ (2*5) = x ^ (10)). Znaczenie tej zasady polega na tym, że mnożysz potęgę (x 2) (\ Displaystyle (x ^ (2))) na siebie pięć razy. Lubię to:

      • (x 2) 5 (\ Displaystyle (x ^ (2)) ^ (5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\ Displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) = x ^ (2) * x ^ (2) * x ^ ( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Ponieważ podstawa jest taka sama, wykładniki po prostu sumują się: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\ Displaystyle (x ^ (2)) ^ (5) = x ^ (2) * x ^ (2) * x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Wykładnik z wykładnikiem ujemnym należy zamienić na ułamek (do potęgi odwrotnej). Nie ma znaczenia, jeśli nie wiesz, co to jest odwrotność. Jeśli otrzymasz stopień naukowy z ujemnym wykładnikiem, np. 3 - 2 (\ Displaystyle 3 ^ (-2)), zapisz tę potęgę w mianowniku ułamka (w liczniku wstaw 1) i uczyń wykładnik dodatnim. W naszym przykładzie: 1 3 2 (\ Displaystyle (\ frac (1) (3 ^ (2)))). Oto inne przykłady:

      Podczas dzielenia potęg o tej samej podstawie ich wykładniki są odejmowane (podstawa się nie zmienia). Operacja dzielenia jest przeciwieństwem operacji mnożenia. Na przykład, biorąc pod uwagę wyrażenie 4 4 4 2 (\ Displaystyle (\ frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2)))). Odejmij wykładnik w mianowniku od wykładnika w liczniku (nie zmieniaj podstawy). Zatem, 4 4 4 2 = 4 4 - 2 = 4 2 (\ Displaystyle (\ Frac (4 ^ (4)) (4 ^ (2))) = 4 ^ (4-2) = 4 ^ (2)) = 16 .

      • Stopień w mianowniku można zapisać w następujący sposób: 1 4 2 (\ Displaystyle (\ frac (1) (4 ^ (2)))) = 4 - 2 (\ Displaystyle 4 ^ (-2)). Pamiętaj, że ułamek to liczba (potęga, wyrażenie) z ujemnym wykładnikiem.

   4. Poniżej znajduje się kilka wyrażeń, które pomogą Ci nauczyć się rozwiązywać problemy z zasilaniem. Powyższe wyrażenia obejmują materiał przedstawiony w tej sekcji. Aby zobaczyć odpowiedź, po prostu zaznacz puste miejsce po znaku równości.

   Rozwiązywanie problemów z wykładnikami ułamkowymi

   Stopień z wykładnikiem ułamkowym (na przykład ) jest konwertowany na operację wyodrębniania pierwiastków. W naszym przykładzie: x 1 2 (\ displaystyle x ^ (\ frac (1) (2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). Nie ma znaczenia, jaka liczba jest w mianowniku wykładnika ułamkowego. Na przykład, x 1 4 (\ displaystyle x ^ (\ frac (1) (4))) jest czwartym pierwiastkiem z „x” x 4 (\ Displaystyle (\ sqrt [(4)] (x))) .

   1. Jeśli wykładnik jest ułamkiem niewłaściwym, to taki wykładnik można rozłożyć na dwie potęgi, aby uprościć rozwiązanie problemu. Nie ma w tym nic skomplikowanego - wystarczy zapamiętać zasadę mnożenia potęg. Na przykład, biorąc pod uwagę stopień. Zamień ten wykładnik na pierwiastek, którego wykładnik jest równy mianownikowi wykładnika ułamkowego, a następnie podnieś ten pierwiastek do wykładnika równego licznikowi wykładnika ułamkowego. Aby to zrobić, pamiętaj o tym 5 3 (\ Displaystyle (\ frac (5) (3))) = (1 3) ∗ 5 (\ Displaystyle ((\ Frac (1) (3))) * 5). W naszym przykładzie:

      • x 5 3 (\ displaystyle x ^ (\ frac (5) (3)))
      • x 1 3 = x 3 (\ Displaystyle x ^ (\ Frac (1) (3)) = (\ sqrt [(3)] (x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\ Displaystyle x ^ (\ Frac (5) (3)) = x ^ (5) * x ^ (\ Frac (1) (3))) = (x 3) 5 (\ Displaystyle ((\ sqrt [(3)] (x))) ^ (5))
   2. Niektóre kalkulatory mają przycisk do obliczania wykładników (najpierw należy wprowadzić podstawę, następnie nacisnąć przycisk, a następnie wprowadzić wykładnik). Jest oznaczony jako ^ lub x^y.
   3. Pamiętaj, że każda liczba jest równa samej sobie do pierwszej potęgi, np. 4 1 = 4. (\ Displaystyle 4 ^ (1) = 4.) Co więcej, każda liczba pomnożona lub podzielona przez jeden jest równa sobie, na przykład 5 ∗ 1 = 5 (\ Displaystyle 5 * 1 = 5) I 5 / 1 = 5 (\ Displaystyle 5/1 = 5).
   4. Wiedz, że stopień 0 0 nie istnieje (taki stopień nie ma rozwiązania). Kiedy spróbujesz rozwiązać taki stopień na kalkulatorze lub na komputerze, pojawi się błąd. Ale pamiętaj, że każda liczba do potęgi zero jest równa 1, na przykład 4 0 = 1. (\ Displaystyle 4 ^ (0) = 1.)
   5. W matematyce wyższej, która operuje liczbami urojonymi: mi za ja x = do o s za x + ja s ja n za x (\ Displaystyle e ^ (a) ix = cosax + isinax), Gdzie ja = (− 1) (\ Displaystyle i = (\ sqrt (()) -1)); e jest stałą w przybliżeniu równą 2,7; a jest dowolną stałą. Dowód tej równości można znaleźć w każdym podręczniku matematyki wyższej.

   Ostrzeżenia

   • Wraz ze wzrostem wykładnika jego wartość znacznie wzrasta. Dlatego jeśli odpowiedź wydaje ci się błędna, w rzeczywistości może się okazać, że jest prawdziwa. Możesz to sprawdzić, wykreślając dowolną funkcję wykładniczą, taką jak 2 x .