Faktoryzacja. Przykłady

Dowolną liczbę złożoną można wyrazić jako iloczyn jej pierwszych dzielników:

28 = 2 2 7

Nazywa się właściwe części otrzymanych równości faktoryzacja pierwsza numery 15 i 28.

Rozłożenie danej liczby złożonej na czynniki pierwsze oznacza przedstawienie tej liczby jako iloczynu jej pierwszych dzielników.

Rozkład danej liczby na czynniki pierwsze przeprowadza się w następujący sposób:

1. Najpierw należy wybrać z tablicy liczb pierwszych najmniejszą liczbę pierwszą, przez którą ta liczba złożona jest podzielna bez reszty i wykonać dzielenie.
2. Następnie musisz ponownie wybrać najmniejszą liczbę pierwszą, przez którą uzyskany już iloraz zostanie podzielony bez reszty.
3. Wykonanie drugiej akcji jest powtarzane aż do uzyskania jednostki w ilorazie.

Jako przykład, rozłóżmy na czynniki liczbę 940. Znajdź najmniejszą liczbę pierwszą, która dzieli 940. Ta liczba to 2:

Teraz wybieramy najmniejszą liczbę pierwszą, przez którą dzieli się 470. Ta liczba to znowu 2:

Najmniejszą liczbą pierwszą podzielną przez 235 jest 5:

Liczba 47 jest liczbą pierwszą, więc najmniejszą liczbą pierwszą podzielną przez 47 jest sama liczba:

W ten sposób otrzymujemy liczbę 940, rozłożoną na czynniki pierwsze:

940 = 2 470 = 2 2 235 = 2 2 5 47

Jeśli rozkład liczby na czynniki pierwsze dał kilka identycznych czynników, to dla zwięzłości można je zapisać jako stopień:

940 = 2 2 5 47

Najwygodniej jest zapisać rozkład na czynniki pierwsze w następujący sposób: najpierw zapisujemy podaną liczbę złożoną i rysujemy pionową linię na prawo od niej:

Po prawej stronie wpisujemy najmniejszy prosty dzielnik, przez który dana liczba złożona jest podzielna:

Dokonujemy podziału i zapisujemy wynikowy iloraz pod dywidendą:

Z ilorazem postępujemy tak samo jak z daną liczbą złożoną, czyli wybieramy najmniejszą liczbę pierwszą, przez którą jest on podzielny bez reszty i wykonujemy dzielenie. I tak powtarzamy, aż do uzyskania jednostki w ilorazie:

Należy pamiętać, że czasami dość trudno jest przeprowadzić rozkład liczby na czynniki pierwsze, ponieważ podczas rozkładu możemy napotkać dużą liczbę, którą trudno określić na bieżąco, czy jest to liczba pierwsza, czy złożona. A jeśli jest złożony, to nie zawsze łatwo jest znaleźć jego najmniejszy dzielnik pierwszy.

Spróbujmy na przykład rozłożyć liczbę 5106 na czynniki pierwsze:

Po osiągnięciu ilorazu 851 trudno od razu wyznaczyć jego najmniejszy dzielnik. Przechodzimy do tabeli liczb pierwszych. Jeśli jest w nim liczba, która stawia nas w trudnej sytuacji, to jest podzielna tylko przez siebie i przez jeden. Liczba 851 nie występuje w tablicy liczb pierwszych, co oznacza, że ​​jest złożona. Pozostaje tylko podzielić go na liczby pierwsze metodą sekwencyjnego wyliczania: 3, 7, 11, 13, ... i tak dalej, aż znajdziemy odpowiedni dzielnik pierwszy. Poprzez wyliczenie stwierdzamy, że 851 jest podzielne przez liczbę 23.

Twoja prywatność jest dla nas ważna. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje informacje. Przeczytaj naszą politykę prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe odnoszą się do danych, które mogą być wykorzystane do zidentyfikowania lub skontaktowania się z konkretną osobą.

W każdym momencie kontaktu z nami możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych.

Poniżej przedstawiono kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić, oraz sposobów ich wykorzystania.

Jakie dane osobowe zbieramy:

• Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy gromadzić różne informacje, w tym imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

• Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach oraz innych wydarzeniach i nadchodzących wydarzeniach.
• Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
• Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różne badania w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawiania rekomendacji dotyczących naszych usług.
• Jeśli weźmiesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje do administrowania takimi programami.

Ujawnienie osobom trzecim

Nie ujawniamy otrzymanych od Ciebie informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

• W przypadku, gdy jest to konieczne - zgodnie z prawem, nakazem sądowym, postępowaniem sądowym i / lub na podstawie publicznych żądań lub żądań organów państwowych na terytorium Federacji Rosyjskiej - ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub właściwe ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów interesu publicznego.
• W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniemu następcy zewnętrznemu.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności — w tym administracyjne, techniczne i fizyczne — w celu ochrony danych osobowych przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także przed nieautoryzowanym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Zachowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, informujemy naszych pracowników o praktykach w zakresie prywatności i bezpieczeństwa oraz ściśle egzekwujemy praktyki w zakresie prywatności.

Co to znaczy faktoryzować? Jak to zrobić? Czego można się dowiedzieć z rozkładu liczby na czynniki pierwsze? Odpowiedzi na te pytania zilustrowano konkretnymi przykładami.

definicje:

Liczba pierwsza to liczba, która ma dokładnie dwa różne dzielniki.

Liczba złożona to liczba, która ma więcej niż dwa dzielniki.

Faktoryzacja liczby naturalnej oznacza przedstawienie jej jako iloczynu liczb naturalnych.

Rozłożenie liczby naturalnej na czynniki pierwsze oznacza przedstawienie jej jako iloczynu liczb pierwszych.

Uwagi:

• W rozwinięciu liczby pierwszej jeden z czynników jest równy jeden, a drugi jest równy samej tej liczbie.
• Nie ma sensu mówić o rozkładzie jedności na czynniki.
• Liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki, z których każdy różni się od 1.

	Rozłóżmy liczbę 150 na czynniki. Na przykład 150 to 15 razy 10. 15 to liczba złożona. Można go rozłożyć na czynniki pierwsze 5 i 3. 10 to liczba złożona. Można go rozłożyć na czynniki pierwsze 5 i 2. Zapisując ich rozwinięcia na czynniki pierwsze zamiast 15 i 10, otrzymaliśmy rozkład liczby 150.
	Liczbę 150 można rozłożyć na czynniki w inny sposób. Na przykład 150 jest iloczynem liczb 5 i 30. 5 to liczba pierwsza. 30 to liczba złożona. Można to przedstawić jako iloczyn 10 i 3. 10 to liczba złożona. Można go rozłożyć na czynniki pierwsze 5 i 2. Rozkład liczby 150 na czynniki pierwsze otrzymaliśmy w inny sposób.
	Zauważ, że pierwsze i drugie rozszerzenie są takie same. Różnią się tylko kolejnością mnożników. Zwyczajowo zapisuje się czynniki w porządku rosnącym.
Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki pierwsze w unikalny sposób, aż do rzędu czynników.

Podczas rozkładania dużych liczb na czynniki pierwsze używany jest wpis w kolumnie:

	Najmniejszą liczbą pierwszą podzielną przez 216 jest 2. Podziel 216 przez 2. Otrzymujemy 108.
	Wynikowa liczba 108 jest podzielna przez 2. Zróbmy podział. W rezultacie otrzymujemy 54.
	Zgodnie z testem podzielności przez 2 liczba 54 jest podzielna przez 2. Po podzieleniu otrzymujemy 27.
	Liczba 27 kończy się nieparzystą liczbą 7. To Nie podzielne przez 2. Następna liczba pierwsza to 3. Podziel 27 przez 3. Otrzymujemy 9. Najmniejsza liczba pierwsza Liczba, przez którą podzielna jest liczba 9, to 3. Trzy samo w sobie jest liczbą pierwszą, podzielną przez siebie i przez jeden. Podzielmy 3 przez siebie. W efekcie otrzymaliśmy 1.

• Liczba jest podzielna tylko przez te liczby pierwsze, które są częścią jej rozwinięcia.
• Liczba jest podzielna tylko przez te liczby złożone, których rozkład na czynniki pierwsze jest w niej całkowicie zawarty.

Rozważ przykłady:

	4900 jest podzielna przez liczby pierwsze 2, 5 i 7 (są one zawarte w rozwinięciu liczby 4900), ale nie jest podzielna np. przez 13.
	11 550 75. Dzieje się tak, ponieważ ekspansja liczby 75 jest całkowicie zawarta w ekspansji liczby 11550. Wynik dzielenia będzie iloczynem czynników 2, 7 i 11. 11550 nie jest podzielne przez 4, ponieważ w rozwinięciu 4 jest dodatkowe 2.

Znajdź iloraz dzielenia liczby a przez liczbę b, jeśli te liczby rozłożymy na czynniki pierwsze w następujący sposób a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

	Rozkład liczby b jest całkowicie zawarty w rozkładzie liczby a.
	Wynik dzielenia a przez b jest iloczynem trzech liczb pozostających w rozwinięciu a. Więc odpowiedź brzmi: 30.

Bibliografia

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir MS. Matematyka 6 kl. - Gimnazjum. 2006.
3. Depman IYa., Vilenkin N.Ya. Za kartkami podręcznika do matematyki. - M.: Oświecenie, 1989.
4. Rurukin A.N., Czajkowski I.V. Zadania z kursu matematyki kl. 5-6. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin AN, Sochilov S.V., Czajkowski K.G. Matematyka 5-6. Podręcznik dla uczniów 6 klasy szkoły korespondencyjnej MEPhI. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematyka: Podręcznik-rozmówca dla klas 5-6 liceum. - M .: Edukacja, Biblioteka Nauczycieli Matematyki, 1989.

1. Portal internetowy Matematika-na.ru ().
2. Portal internetowy Math-portal.ru ().

Praca domowa

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov VI, Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka 6. - M.: Mnemozina, 2012. nr 127, nr 129, nr 141.
2. Inne zadania: nr 133, nr 144.

Ten artykuł zawiera odpowiedzi na pytanie dotyczące rozkładania liczby na czynniki w arkuszach. Rozważ ogólną ideę rozkładu z przykładami. Przeanalizujmy postać kanoniczną dekompozycji i jej algorytm. Wszystkie alternatywne metody zostaną rozważone przy użyciu znaków podzielności i tabliczki mnożenia.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Co to znaczy rozkładać liczbę na czynniki pierwsze?

Przyjrzyjmy się koncepcji czynników pierwszych. Wiadomo, że każdy czynnik pierwszy jest liczbą pierwszą. W iloczynie postaci 2 7 7 23 mamy, że mamy 4 czynniki pierwsze postaci 2 , 7 , 7 , 23 .

Faktoring polega na przedstawianiu go jako produktów liczb pierwszych. Jeśli musisz rozłożyć liczbę 30, otrzymamy 2, 3, 5. Wpis przyjmie postać 30 = 2 3 5 . Możliwe, że mnożniki mogą się powtórzyć. Liczba taka jak 144 ma 144 = 2 2 2 2 3 3 .

Nie wszystkie liczby są podatne na rozkład. Liczby, które są większe niż 1 i są liczbami całkowitymi, można rozłożyć na czynniki. Liczby pierwsze są podzielne tylko przez 1 i siebie po rozłożeniu, więc nie można przedstawić tych liczb jako iloczynu.

Gdy z odnosi się do liczb całkowitych, jest reprezentowane jako iloczyn aib, gdzie z jest dzielone przez aib. Liczby złożone są rozkładane na czynniki pierwsze przy użyciu podstawowego twierdzenia arytmetycznego. Jeżeli liczba jest większa niż 1, to jej rozkład na czynniki p 1 , p 2 , … , p n przyjmuje postać a = p 1 , p 2 , … , p n . Dekompozycję zakłada się w jednym wariancie.

Kanoniczny rozkład liczby na czynniki pierwsze

Czynniki mogą się powtarzać podczas rozkładu. Są one napisane zwięźle przy użyciu stopnia. Jeśli rozkładając liczbę a, mamy czynnik p 1 , który występuje s 1 razy i tak dalej p n - s n razy. W ten sposób rozkład przybiera formę a=p 1 s 1 za = p 1 s 1 p 2 s 2 … p n s n. Ten wpis nazywa się rozkładem kanonicznym liczby na czynniki pierwsze.

Rozkładając liczbę 609840 otrzymujemy, że 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11 , jej postać kanoniczna będzie miała postać 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2 . Korzystając z rozwinięcia kanonicznego, możesz znaleźć wszystkie dzielniki liczby i ich liczbę.

Aby poprawnie rozłożyć na czynniki, musisz zrozumieć liczby pierwsze i złożone. Chodzi o to, aby otrzymać kolejną liczbę dzielników postaci p 1 , p 2 , … , p n liczby za , za 1 , za 2 , … , za n - 1, umożliwia to uzyskanie za = p 1 za 1, gdzie a 1 \u003d a: p 1, a \u003d p 1 a 1 \u003d p 1 p 2 a 2, gdzie a 2 \u003d a 1: p 2, ..., a \u003d p 1 p 2 . .. ... p n a n , gdzie za n = za n - 1: p n. Po otrzymaniu za n = 1, to równość za = p 1 p 2 … p n otrzymujemy wymagany rozkład liczby a na czynniki pierwsze. Zauważ, że p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.

Aby znaleźć najmniej wspólne dzielniki, musisz użyć tablicy liczb pierwszych. Odbywa się to na przykładzie znajdowania najmniejszego dzielnika pierwszego liczby z. Biorąc liczby pierwsze 2, 3, 5, 11 itd., dzielimy przez nie liczbę z. Ponieważ z nie jest liczbą pierwszą, należy pamiętać, że najmniejszy dzielnik pierwszy nie będzie większy niż z . Widać, że nie ma dzielników z , to jasne jest, że z jest liczbą pierwszą.

Przykład 1

Rozważmy przykład liczby 87. Dzieląc przez 2, mamy to 87: 2 \u003d 43 z resztą 1. Wynika z tego, że 2 nie może być dzielnikiem, podział musi być dokonany w całości. Dzieląc przez 3, otrzymujemy, że 87: 3 = 29. Stąd wniosek - 3 jest najmniejszym dzielnikiem pierwszym liczby 87.

Przy rozkładzie na czynniki pierwsze należy skorzystać z tablicy liczb pierwszych, gdzie a. Przy rozkładaniu 95 należy użyć około 10 liczb pierwszych, a przy rozkładaniu 846653 około 1000.

Rozważ algorytm rozkładu na czynniki pierwsze:

• znalezienie najmniejszego czynnika z dzielnikiem p 1 liczby A według wzoru a 1 \u003d a: p 1, gdy a 1 \u003d 1, to a jest liczbą pierwszą i jest uwzględnione w rozkładzie na czynniki, gdy nie jest równe 1, to a \u003d p 1 a 1 i przejdź do punktu poniżej;
• znalezienie pierwszego dzielnika p 2 z 1 przez sekwencyjne wyliczanie liczb pierwszych, używając a 2 = a 1: p 2 , kiedy 2 = 1 , wtedy rozwinięcie przyjmuje postać a = p 1 p 2 , kiedy a 2 \u003d 1, to a \u003d p 1 p 2 a 2 , i przechodzimy do następnego kroku;
• iteracja po liczbach pierwszych i znajdowanie dzielnika pierwszego str. 3 liczby 2 zgodnie ze wzorem a 3 \u003d a 2: p 3 gdy a 3 \u003d 1 , wtedy otrzymujemy, że a = p 1 p 2 p 3 , gdy nie jest równe 1, to a = p 1 p 2 p 3 a 3 i przejdź do następnego kroku;
• znaleźć dzielnik pierwszy pn liczby za n - 1 przez wyliczanie liczb pierwszych za pomocą p n - 1, I za n = za n - 1: p n, gdzie a n = 1 , krok jest końcowy, w rezultacie otrzymujemy, że a = p 1 p 2 … p n .

Wynik algorytmu zapisywany jest w postaci tabeli z rozłożonymi czynnikami z pionową kreską sekwencyjnie w kolumnie. Rozważ poniższy rysunek.

Otrzymany algorytm można zastosować, rozkładając liczby na czynniki pierwsze.

Podczas uwzględniania czynników pierwszych należy postępować zgodnie z podstawowym algorytmem.

Przykład 2

Rozłóż liczbę 78 na czynniki pierwsze.

Rozwiązanie

Aby znaleźć najmniejszy dzielnik pierwszy, należy wyliczyć wszystkie liczby pierwsze w 78 . To znaczy 78: 2 = 39. Dzielenie bez reszty, więc jest to pierwszy dzielnik pierwszy, który oznaczamy jako p 1. Otrzymujemy, że a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39. Doszliśmy do równości postaci a = p 1 a 1 , gdzie 78 = 2 39 . Wtedy a 1 = 39 , czyli powinieneś przejść do następnego kroku.

Skupmy się na znalezieniu dzielnika pierwszego p2 liczby a 1 = 39. Powinieneś uporządkować liczby pierwsze, czyli 39: 2 = 19 (reszta 1). Ponieważ dzielenie ma resztę, 2 nie jest dzielnikiem. Wybierając liczbę 3, otrzymujemy, że 39: 3 = 13. Oznacza to, że p 2 = 3 jest najmniejszym dzielnikiem pierwszym liczby 39 przez a 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13 . Otrzymujemy równość postaci za = p 1 p 2 za 2 w postaci 78 = 2 3 13 . Mamy, że a 2 = 13 nie jest równe 1 , więc powinniśmy przejść dalej.

Najmniejszy dzielnik pierwszy liczby a 2 = 13 znajdujemy wyliczając liczby zaczynając od 3 . Otrzymujemy, że 13: 3 = 4 (reszta 1). To pokazuje, że 13 nie jest podzielne przez 5, 7, 11, ponieważ 13: 5 = 2 (reszta 3), 13: 7 = 1 (reszta 6) i 13: 11 = 1 (reszta 2). Widać, że 13 jest liczbą pierwszą. Formuła wygląda następująco: a 3 \u003d a 2: p 3 \u003d 13: 13 \u003d 1. Mamy to a 3 = 1 , co oznacza koniec algorytmu. Teraz czynniki są zapisywane jako 78 = 2 3 13 (a = p 1 p 2 p 3) .

Odpowiedź: 78 = 2 3 13 .

Przykład 3

Rozłóż liczbę 83 006 na czynniki pierwsze.

Rozwiązanie

Pierwszym krokiem jest faktoring p 1 = 2 I za 1 \u003d za: p 1 \u003d 83 006: 2 \u003d 41 503, gdzie 83 006 = 2 41 503 .

Drugi krok zakłada, że ​​2 , 3 i 5 nie są dzielnikami pierwszymi dla a 1 = 41503, ale 7 jest dzielnikiem pierwszym, ponieważ 41503: 7 = 5929 . Otrzymujemy to p 2 \u003d 7, a 2 \u003d a 1: p 2 \u003d 41 503: 7 \u003d 5 929. Oczywiście 83 006 = 2 7 5 929 .

Znalezienie najmniejszego dzielnika pierwszego p 4 do liczby a 3 = 847 wynosi 7 . Można zauważyć, że a 4 \u003d a 3: p 4 \u003d 847: 7 \u003d 121, a więc 83 006 \u003d 2 7 7 7 121.

Aby znaleźć dzielnik pierwszy liczby a 4 = 121, używamy liczby 11, czyli p 5 = 11. Otrzymujemy wtedy wyrażenie postaci za 5 \u003d za 4: p 5 \u003d 121: 11 \u003d 11, oraz 83 006 = 2 7 7 7 11 11 .

dla numeru 5 = 11 numer p6 = 11 jest najmniejszym dzielnikiem pierwszym. Stąd 6 \u003d a 5: p 6 \u003d 11: 11 \u003d 1. Wtedy a 6 = 1 . Oznacza to koniec algorytmu. Mnożniki zostaną zapisane jako 83006 = 2 7 7 7 11 11 .

Kanoniczny zapis odpowiedzi przyjmie postać 83 006 = 2 7 3 11 2 .

Odpowiedź: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2 .

Przykład 4

Rozłóż liczbę 897 924 289 na czynniki.

Rozwiązanie

Aby znaleźć pierwszy czynnik pierwszy, przejrzyj liczby pierwsze, zaczynając od 2. Koniec wyliczenia przypada na liczbę 937 . Wtedy p 1 = 937, a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 i 897 924 289 = 937 958 297.

Drugim krokiem algorytmu jest wyliczenie mniejszych liczb pierwszych. Oznacza to, że zaczynamy od numeru 937. Liczbę 967 można uznać za pierwszą, ponieważ jest ona dzielnikiem pierwszym liczby a 1 = 958 297. Stąd otrzymujemy p 2 \u003d 967, następnie a 2 \u003d a 1: p 1 \u003d 958 297: 967 \u003d 991 i 897 924 289 \u003d 937 967 991.

Trzeci krok mówi, że 991 jest liczbą pierwszą, ponieważ nie ma dzielnika pierwszego mniejszego lub równego 991 . Przybliżona wartość radykalnego wyrażenia wynosi 991< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . Z tego widać, że p 3 \u003d 991 i a 3 \u003d a 2: p 3 \u003d 991: 991 \u003d 1. Otrzymujemy, że rozkład liczby 897 924 289 na czynniki pierwsze otrzymujemy jako 897 924 289 \u003d 937 967 991.

Odpowiedź: 897 924 289 = 937 967 991 .

Używanie testów podzielności do rozkładu na czynniki pierwsze

Aby rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze, musisz postępować zgodnie z algorytmem. W przypadku małych liczb dozwolone jest stosowanie tabliczki mnożenia i znaków podzielności. Spójrzmy na to na przykładach.

Przykład 5

Jeśli konieczne jest rozłożenie 10 na czynniki, wówczas tabela pokazuje: 2 5 \u003d 10. Otrzymane liczby 2 i 5 są liczbami pierwszymi, więc są czynnikami pierwszymi liczby 10.

Przykład 6

Jeśli konieczne jest rozłożenie liczby 48, tabela pokazuje: 48 \u003d 6 8. Ale 6 i 8 nie są czynnikami pierwszymi, ponieważ można je również rozłożyć jako 6 = 2 3 i 8 = 2 4 . Wtedy całkowity rozkład otrzymujemy stąd jako 48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 · 4 . Notacja kanoniczna przyjmie postać 48 = 2 4 3 .

Przykład 7

Rozkładając liczbę 3400, możesz użyć znaków podzielności. W tym przypadku istotne są znaki podzielności przez 10 i przez 100. Stąd otrzymujemy 3400 \u003d 34 100, gdzie 100 można podzielić przez 10, czyli zapisać jako 100 \u003d 10 10, co oznacza, że ​​3400 \u003d 34 10 10. Na podstawie znaku podzielności otrzymujemy, że 3400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5 . Wszystkie czynniki są proste. Rozszerzenie kanoniczne przybiera formę 3400 = 2 3 5 2 17.

Kiedy znajdujemy czynniki pierwsze, konieczne jest użycie znaków podzielności i tabliczki mnożenia. Jeśli reprezentujesz liczbę 75 jako iloczyn czynników, musisz wziąć pod uwagę zasadę podzielności przez 5. Otrzymujemy, że 75 = 5 15 i 15 = 3 5 . Oznacza to, że pożądany rozkład jest przykładem postaci iloczynu 75 = 5 · 3 · 5 .

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki pierwsze. Istnieje kilka sposobów rozkładu. Każda metoda daje ten sam wynik.

Jak rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze wygodnym sposobem? Zastanówmy się, jak zrobić to lepiej, używając konkretnych przykładów.

Przykłady. 1) Rozłóż liczbę 1400 na czynniki pierwsze.

1400 jest podzielne przez 2. 2 to liczba pierwsza, nie ma potrzeby jej rozkładać na czynniki. Otrzymujemy 700. Dzielimy przez 2. Otrzymujemy 350. 350 dzielimy również przez 2. Otrzymaną liczbę 175 można podzielić przez 5. Wynik to z5 - ponownie dzielimy przez 5. Suma - 7. Może być tylko podzielone przez 7. Mamy 1, dzielenie zakończone.

Tę samą liczbę można rozłożyć na czynniki pierwsze w różny sposób:

1400 wygodnie dzieli się przez 10. 10 nie jest liczbą pierwszą, więc musi być rozłożone na czynniki pierwsze: 10=2∙5. Wynik to 140. Ponownie dzielimy przez 10=2∙5. Otrzymujemy 14. Jeśli 14 dzielimy przez 14, to również należy je rozłożyć na iloczyn czynników pierwszych: 14=2∙7.

W ten sposób ponownie doszliśmy do tego samego rozkładu, co w pierwszym przypadku, ale szybciej.

Wniosek: rozkładając liczbę, nie trzeba jej dzielić tylko przez dzielniki pierwsze. Dzielimy przez to, co jest wygodniejsze, np. przez 10. Musimy tylko pamiętać o rozłożeniu dzielników złożonych na czynniki proste.

2) Rozłóż liczbę 1620 na czynniki pierwsze.

Liczbę 1620 najwygodniej podzielić przez 10. Ponieważ 10 nie jest liczbą pierwszą, przedstawiamy ją jako iloczyn czynników pierwszych: 10=2∙5. Mamy 162. Wygodnie jest podzielić to przez 2. Wynik to 81. Liczbę 81 można podzielić przez 3, ale 9 jest wygodniejsze. Ponieważ 9 nie jest liczbą pierwszą, rozkładamy ją jako 9=3∙3. Mamy 9. Dzielimy to również przez 9 i rozkładamy na iloczyn czynników pierwszych.