ऑनलाइन किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंड में गुणनखंडित करना। अभाज्य और भाज्य संख्याएँ

क्या हुआ है गुणनखंडन?यह एक असुविधाजनक और जटिल उदाहरण को सरल और सुंदर उदाहरण में बदलने का एक तरीका है।) एक बहुत शक्तिशाली तकनीक! यह प्रारंभिक और उच्च गणित दोनों में हर कदम पर पाया जाता है।

गणितीय भाषा में ऐसे परिवर्तनों को भावों का समरूप रूपान्तरण कहा जाता है। जो लोग नहीं जानते, वे लिंक पर एक नज़र डालें। वहाँ बहुत कम है, सरल और उपयोगी।) किसी भी पहचान परिवर्तन का अर्थ अभिव्यक्ति की रिकॉर्डिंग है दूसरे रूप मेंइसके सार को बनाए रखते हुए.

अर्थ गुणनअत्यंत सरल और स्पष्ट. नाम से ही सही. आप भूल सकते हैं (या नहीं जानते) कि गुणक क्या है, लेकिन आप यह पता लगा सकते हैं कि यह शब्द "गुणा" शब्द से आया है?) फैक्टरिंग का अर्थ है: किसी चीज़ को किसी चीज़ से गुणा करने के रूप में एक अभिव्यक्ति का प्रतिनिधित्व करें। गणित और रूसी भाषा मुझे माफ कर दें...) बस इतना ही।

उदाहरण के लिए, आपको संख्या 12 का विस्तार करने की आवश्यकता है। आप सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं:

इसलिए हमने संख्या 12 को 3 बटा 4 के गुणन के रूप में प्रस्तुत किया। कृपया ध्यान दें कि दाईं ओर की संख्याएं (3 और 4) बाईं ओर की संख्या (1 और 2) से पूरी तरह से अलग हैं। लेकिन हम अच्छी तरह समझते हैं कि 12 और 3 4 वही।परिवर्तन से संख्या 12 का सार नहीं बदला गया है।

क्या 12 को अलग-अलग तरीके से विघटित करना संभव है? आसानी से!

12=3·4=2·6=3·2·2=0.5·24=........

विघटन के विकल्प अनंत हैं।

संख्याओं का गुणनखंडन एक उपयोगी चीज़ है। उदाहरण के लिए, जड़ों के साथ काम करते समय यह बहुत मदद करता है। लेकिन बीजीय व्यंजकों का गुणनखंडन न केवल उपयोगी है, बल्कि उपयोगी भी है ज़रूरी!उदाहरण के लिए:

सरल बनाएं:

जो लोग यह नहीं जानते कि किसी अभिव्यक्ति का मूल्यांकन कैसे किया जाए, वे हाशिए पर हैं। जो लोग जानते हैं कि कैसे - सरल बनाएं और प्राप्त करें:

प्रभाव अद्भुत है, है ना?) वैसे, समाधान काफी सरल है। आप स्वयं नीचे देखेंगे. या, उदाहरण के लिए, यह कार्य:

प्रश्न हल करें:

एक्स 5 - एक्स 4 = 0

वैसे तो ये मन में ही तय होता है. गुणनखंडन का उपयोग करना. हम इस उदाहरण को नीचे हल करेंगे। उत्तर: एक्स 1 = 0; एक्स 2 = 1.

या, वही बात, लेकिन पुराने लोगों के लिए):

प्रश्न हल करें:

इन उदाहरणों में मैंने दिखाया मुख्य उद्देश्यगुणनखंडन: भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को सरल बनाना और कुछ प्रकार के समीकरणों को हल करना। यहाँ याद रखने योग्य एक सामान्य नियम है:

यदि हमारे सामने कोई डरावनी भिन्नात्मक अभिव्यक्ति है, तो हम अंश और हर का गुणनखंड करने का प्रयास कर सकते हैं। बहुत बार भिन्न को कम और सरल बना दिया जाता है।

यदि हमारे सामने एक समीकरण है, जहां दाईं ओर शून्य है, और बाईं ओर, मुझे समझ में नहीं आ रहा है, तो हम बाईं ओर का गुणनखंड करने का प्रयास कर सकते हैं। कभी-कभी यह मदद करता है)।

गुणनखंडन की मूल विधियाँ।

यहाँ वे हैं, सबसे लोकप्रिय तरीके:

4. द्विघात त्रिपद का विस्तार।

इन तरीकों को जरूर याद रखना चाहिए. बिल्कुल उसी क्रम में. जटिल उदाहरणों की जाँच की जाती है सभी संभावित अपघटन विधियों के लिए.और क्रम में जांच करना बेहतर है ताकि भ्रमित न हों... तो चलिए क्रम से शुरू करते हैं।)

1. सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना।

एक सरल और विश्वसनीय तरीका. उससे कुछ भी बुरा नहीं होता! ऐसा या तो ठीक से होता है या बिल्कुल नहीं होता।) इसीलिए वह पहले स्थान पर आता है। आइए इसका पता लगाएं।

हर कोई जानता है (मुझे विश्वास है!) नियम:

ए(बी+सी) = एबी+एसी

या, अधिक सामान्यतः:

a(b+c+d+...) = ab+ac+ad+....

सभी समानताएँ बाएँ से दाएँ और इसके विपरीत, दाएँ से बाएँ दोनों तरह से काम करती हैं। आप लिख सकते हो:

एबी+एसी = ए(बी+सी)

एबी+एसी+विज्ञापन+.... = ए(बी+सी+डी+...)

सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालने का पूरा उद्देश्य यही है।

बायीं तरफ पर ए - सामान्य गुणकसभी शर्तों के लिए. जो कुछ भी मौजूद है उससे गुणा किया गया)। दाहिनी ओर सबसे अधिक है एपहले से ही स्थित है कोष्ठक के बाहर.

हम उदाहरणों का उपयोग करके विधि के व्यावहारिक अनुप्रयोग पर विचार करेंगे। पहले तो विकल्प सरल है, यहाँ तक कि आदिम भी।) लेकिन इस विकल्प में मैं किसी भी गुणनखंडन के लिए बहुत महत्वपूर्ण बिंदुओं को (हरे रंग में) चिह्नित करूँगा।

गुणनखंड:

आह+9x

कौन सामान्यक्या गुणक दोनों पदों में प्रकट होता है? एक्स, बिल्कुल! हम इसे कोष्ठक से बाहर रखेंगे। आओ इसे करें। हम तुरंत कोष्ठक के बाहर X लिखते हैं:

कुल्हाड़ी+9x=x(

और कोष्ठक में हम विभाजन का परिणाम लिखते हैं प्रत्येक शब्दइसी एक्स पर. क्रम में:

बस इतना ही। निःसंदेह, इसका इतना विस्तार से वर्णन करने की आवश्यकता नहीं है, यह मन ही मन किया जाता है। लेकिन यह समझने की सलाह दी जाती है कि क्या है)। हम स्मृति में रिकॉर्ड करते हैं:

हम सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक के बाहर लिखते हैं। कोष्ठक में हम सभी पदों को इस सामान्य गुणनखंड से विभाजित करने के परिणाम लिखते हैं। क्रम में।

इसलिए हमने अभिव्यक्ति का विस्तार किया है आह+9xगुणक द्वारा. इसे x से गुणा करने में बदल दिया (ए+9).मैं ध्यान देता हूं कि मूल अभिव्यक्ति में गुणा भी था, यहां तक ​​कि दो भी: a·x और 9·x.लेकिन यह गुणनखंडित नहीं किया गया था!क्योंकि इस अभिव्यक्ति में गुणन के अलावा जोड़, "+" चिन्ह भी शामिल था! और अभिव्यक्ति में एक्स(ए+9) गुणा के अलावा कुछ भी नहीं है!

ऐसा कैसे!? - मुझे लोगों की क्रोध भरी आवाज़ सुनाई देती है - और कोष्ठक में!?)

हाँ, कोष्ठक के अंदर जोड़ है। लेकिन चाल यह है कि जब तक कोष्ठक खुले नहीं हैं, हम उन पर विचार करते हैं एक अक्षर की तरह.और हम सभी क्रियाएं पूरी तरह से कोष्ठक के साथ करते हैं, जैसे एक अक्षर के साथ.इस अर्थ में, अभिव्यक्ति में एक्स(ए+9)गुणा के अलावा कुछ भी नहीं है. यह गुणनखंडन का संपूर्ण बिंदु है।

वैसे, क्या किसी तरह यह जांचना संभव है कि हमने सब कुछ सही ढंग से किया है या नहीं? आसानी से! आपने जो लिखा है (x) उसे कोष्ठक से गुणा करना और देखना कि क्या यह काम करता है, पर्याप्त है मूलअभिव्यक्ति? अगर यह काम करता है, तो सब कुछ बढ़िया है!)

x(a+9)=ax+9x

घटित।)

इस आदिम उदाहरण में कोई समस्या नहीं है. लेकिन अगर कई शब्द हों, और यहां तक ​​कि अलग-अलग संकेतों के साथ भी... संक्षेप में, हर तीसरा छात्र गड़बड़ करता है)। इसलिए:

यदि आवश्यक हो, व्युत्क्रम गुणन द्वारा गुणनखंडन की जाँच करें।

गुणनखंड:

3ax+9x

हम एक सामान्य कारक की तलाश कर रहे हैं। खैर, एक्स के साथ सब कुछ स्पष्ट है, इसे बाहर निकाला जा सकता है। क्या यहां और है सामान्यकारक? हाँ! यह तीन है. आप अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिख सकते हैं:

3ax+3 3x

यहां यह तुरंत स्पष्ट है कि सामान्य कारक क्या होगा 3x. यहां हम इसे निकालते हैं:

3ax+3 3x=3x(a+3)

छितराया हुआ।

अगर आप इसे बाहर निकालेंगे तो क्या होगा केवल एक्स?कुछ भी खास नहीं:

3ax+9x=x(3a+9)

यह भी एक गुणनखंड होगा. लेकिन इस आकर्षक प्रक्रिया में, अवसर होने पर हर चीज़ को सीमा तक रखने की प्रथा है। यहां कोष्ठक में तीन को बाहर निकालने का अवसर है। यह निकलेगा:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

वही बात, केवल एक अतिरिक्त कार्रवाई के साथ।) याद रखें:

सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालते समय, हम निकालने का प्रयास करते हैं अधिकतमसामान्य अवयव।

क्या हम मौज-मस्ती जारी रखें?)

अभिव्यक्ति का कारक:

3एख+9х-8ए-24

हम क्या छीन लेंगे? तीन, एक्स? नहीं... आप नहीं कर सकते. मैं आपको याद दिलाता हूं कि आप केवल बाहर निकाल सकते हैं सामान्यगुणक अर्थात सभी मेंअभिव्यक्ति की शर्तें. इसीलिए वह सामान्य।यहां ऐसा कोई गुणक नहीं है... क्या, आपको इसका विस्तार नहीं करना पड़ेगा!? अच्छा, हाँ, हम बहुत खुश थे... मिलें:

2. समूहीकरण।

वास्तव में, समूहन को गुणनखंडन की एक स्वतंत्र विधि शायद ही कहा जा सकता है। बल्कि, यह एक जटिल उदाहरण से बाहर निकलने का एक तरीका है।) आपको शब्दों को समूहीकृत करने की आवश्यकता है ताकि सब कुछ काम कर सके। इसे केवल उदाहरण द्वारा ही दर्शाया जा सकता है। तो, हमारे पास अभिव्यक्ति है:

3एख+9х-8ए-24

यह देखा जा सकता है कि कुछ सामान्य अक्षर और संख्याएँ हैं। लेकिन... सामान्यसभी शर्तों में कोई गुणक नहीं है। आइए हिम्मत न हारें और अभिव्यक्ति को टुकड़ों में तोड़ दो.समूहीकरण। ताकि प्रत्येक टुकड़े में एक सामान्य कारक हो, दूर ले जाने के लिए कुछ न कुछ हो। हम इसे कैसे तोड़ें? हां, हम सिर्फ कोष्ठक लगाते हैं।

मैं आपको याद दिला दूं कि कोष्ठक कहीं भी और जैसे भी आप चाहें, लगाए जा सकते हैं। बस उदाहरण का सार नहीं बदला है.उदाहरण के लिए, आप यह कर सकते हैं:

3एख+9х-8ए-24=(3ах+9х)-(8а+24)

कृपया दूसरे कोष्ठक पर ध्यान दें! उनके पहले एक ऋण चिह्न होता है, और 8एऔर 24 सकारात्मक हो गया! यदि, जाँच करने के लिए, हम कोष्ठक को वापस खोलते हैं, तो संकेत बदल जाएंगे, और हमें मिल जाएगा मूलअभिव्यक्ति। वे। कोष्ठक से अभिव्यक्ति का सार नहीं बदला है.

लेकिन यदि आपने चिह्न के परिवर्तन को ध्यान में रखे बिना कोष्ठक डाला है, उदाहरण के लिए, इस तरह:

3एख+9х-8ए-24=(3ax+9x) -(8ए-24 )

यह एक गलती होगी. दाईं ओर - पहले से ही अन्यअभिव्यक्ति। कोष्ठक खोलो और सब कुछ दिखाई देने लगेगा। आपको आगे निर्णय लेने की ज़रूरत नहीं है, हाँ...)

लेकिन आइए गुणनखंडन पर वापस लौटें। आइए पहले कोष्ठक को देखें (3ax+9x)और हम सोचते हैं, क्या ऐसा कुछ है जिसे हम निकाल सकते हैं? खैर, हमने ऊपर इस उदाहरण को हल कर लिया है, हम इसे ले सकते हैं 3x:

(3ax+9x)=3x(a+3)

आइए दूसरे कोष्ठक का अध्ययन करें, हम वहां आठ जोड़ सकते हैं:

(8ए+24)=8(ए+3)

हमारी संपूर्ण अभिव्यक्ति होगी:

(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)

गुणनखंडित? नहीं। विघटन का परिणाम होना चाहिए केवल गुणालेकिन हमारे यहां माइनस साइन सब कुछ खराब कर देता है। लेकिन... दोनों शब्दों में एक सामान्य कारक है! यह (ए+3). यह अकारण नहीं है कि मैंने कहा कि संपूर्ण कोष्ठक मानों एक ही अक्षर हैं। इसका मतलब यह है कि इन कोष्ठकों को कोष्ठकों से बाहर निकाला जा सकता है। हाँ, बिल्कुल ऐसा ही लगता है।)

जैसा ऊपर बताया गया है हम वैसा ही करते हैं। हम उभयनिष्ठ गुणनखंड लिखते हैं (ए+3), दूसरे कोष्ठक में हम पदों को विभाजित करने के परिणाम लिखते हैं (ए+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

सभी! दायीं ओर गुणा के अलावा कुछ भी नहीं है! इसका मतलब है कि गुणनखंडन सफलतापूर्वक पूरा हो गया है!) यहाँ यह है:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

आइए संक्षेप में समूह का सार दोहराएँ।

यदि अभिव्यक्ति नहीं होती सामान्यके लिए गुणक सब लोगशब्दों में, हम व्यंजक को कोष्ठक में तोड़ते हैं ताकि कोष्ठक के अंदर उभयनिष्ठ गुणनखंड हो था।हम इसे बाहर निकालते हैं और देखते हैं कि क्या होता है। यदि आप भाग्यशाली हैं और कोष्ठक में बिल्कुल समान अभिव्यक्तियाँ बची हैं, तो हम इन कोष्ठकों को कोष्ठक से बाहर निकाल देते हैं।

मैं यह भी जोड़ूंगा कि समूहीकरण एक रचनात्मक प्रक्रिया है)। यह हमेशा पहली बार काम नहीं करता. कोई बात नहीं। कभी-कभी आपको शर्तों को बदलना पड़ता है और विभिन्न समूहीकरण विकल्पों पर विचार करना पड़ता है जब तक कि आपको कोई सफल विकल्प न मिल जाए। यहां मुख्य बात हिम्मत हारना नहीं है!)

उदाहरण।

अब, अपने आप को ज्ञान से समृद्ध करके, आप पेचीदा उदाहरणों को हल कर सकते हैं।) पाठ की शुरुआत में इनमें से तीन थे...

सरल बनाएं:

संक्षेप में, हम इस उदाहरण को पहले ही हल कर चुके हैं। अपने आप से अनभिज्ञ।) मैं आपको याद दिलाता हूं: यदि हमें एक भयानक भिन्न दिया जाता है, तो हम अंश और हर का गुणनखंड करने का प्रयास करते हैं। अन्य सरलीकरण विकल्प बस नहीं.

खैर, यहां हर का विस्तार नहीं किया गया है, बल्कि अंश का... हमने पाठ के दौरान अंश का विस्तार पहले ही कर दिया है! इस कदर:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

हम विस्तार के परिणाम को भिन्न के अंश में लिखते हैं:

भिन्नों को कम करने के नियम (अंश का मुख्य गुण) के अनुसार, हम अंश और हर को एक ही संख्या या अभिव्यक्ति से (एक ही समय में!) विभाजित कर सकते हैं। इससे अंश बदलना मत।इसलिए हम अंश और हर को व्यंजक से विभाजित करते हैं (3x-8). और यहां-वहां हमें मिल जाएंगे. सरलीकरण का अंतिम परिणाम:

मैं विशेष रूप से इस बात पर जोर देना चाहूंगा: किसी भिन्न को कम करना तभी संभव है जब भावों को गुणा करने के अलावा अंश और हर में भी हो वहां कुछ भी नहीं है।इसीलिए योग (अंतर) का परिवर्तन गुणासरलीकरण के लिए बहुत महत्वपूर्ण है. बेशक, अगर अभिव्यक्तियाँ अलग,फिर कुछ भी कम नहीं होगा. यह होगा। लेकिन गुणनखंडीकरण मौका देता है.विघटन के बिना यह संभावना ही नहीं है।

समीकरण के साथ उदाहरण:

प्रश्न हल करें:

एक्स 5 - एक्स 4 = 0

हम सामान्य कारक निकालते हैं एक्स 4कोष्ठक से बाहर. हम पाते हैं:

x 4 (x-1)=0

हम समझते हैं कि कारकों का गुणनफल शून्य के बराबर है तब और केवल तभी,जब उनमें से कोई भी शून्य हो. यदि संदेह है, तो मुझे कुछ गैर-शून्य संख्याएँ खोजें, जिन्हें गुणा करने पर शून्य मिलेगा।) तो हम लिखते हैं, पहले पहला गुणनखंड:

ऐसी समानता के साथ, दूसरा कारक हमें चिंतित नहीं करता है। कोई भी हो सकता है, लेकिन अंत में वह शून्य ही होगा। शून्य चौथी घात को कौन सी संख्या देता है? केवल शून्य! और कोई अन्य नहीं... इसलिए:

हमने पहले कारक का पता लगाया और एक मूल पाया। आइए दूसरे कारक पर नजर डालें। अब हमें पहले कारक की कोई परवाह नहीं है।):

यहां हमें एक समाधान मिला: एक्स 1 = 0; एक्स 2 = 1. इनमें से कोई भी मूल हमारे समीकरण में फिट बैठता है।

बहुत महत्वपूर्ण नोट. कृपया ध्यान दें कि हमने समीकरण हल कर लिया है एक एक!प्रत्येक कारक शून्य के बराबर था, अन्य कारकों की परवाह किए बिना.वैसे, यदि ऐसे समीकरण में हमारे जैसे दो कारक नहीं हैं, बल्कि तीन, पांच, जितने आप चाहें, हम हल कर देंगे समान।एक एक। उदाहरण के लिए:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

जो कोई भी कोष्ठक खोलता है और सब कुछ गुणा करता है वह इस समीकरण पर हमेशा के लिए अटक जाएगा।) एक सही छात्र तुरंत देखेगा कि गुणा के अलावा बाईं ओर कुछ भी नहीं है, और दाईं ओर शून्य है। और वह (अपने दिमाग में!) सभी कोष्ठकों को शून्य के बराबर करना शुरू कर देगा। और उसे (10 सेकंड में!) सही समाधान मिल जाएगा: एक्स 1 = 1; एक्स 2 = -5; एक्स 3 = 3; x 4 = -2.

बढ़िया, ठीक है?) यदि समीकरण बाईं ओर है तो ऐसा सुंदर समाधान संभव है गुणनखंडित।संकेत मिल गया?)

खैर, एक आखिरी उदाहरण, पुराने लोगों के लिए):

प्रश्न हल करें:

यह कुछ हद तक पिछले वाले के समान है, क्या आपको नहीं लगता?) बिल्कुल। यह याद रखने का समय है कि सातवीं कक्षा में बीजगणित, साइन, लघुगणक और कुछ भी अक्षरों के नीचे छिपाया जा सकता है! पूरे गणित में फैक्टरिंग काम करती है।

हम सामान्य कारक निकालते हैं एलजी 4 एक्सकोष्ठक से बाहर. हम पाते हैं:

लॉग 4 x=0

यह एक जड़ है. आइए दूसरे कारक पर नजर डालें।

यहाँ अंतिम उत्तर है: एक्स 1 = 1; x 2 = 10.

मुझे आशा है कि आपको भिन्नों को सरल बनाने और समीकरणों को हल करने में गुणनखंडन की शक्ति का एहसास हो गया होगा।)

इस पाठ में हमने सामान्य गुणनखंडन और समूहन के बारे में सीखा। संक्षिप्त गुणन और द्विघात त्रिपद के सूत्रों को समझना बाकी है।

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यह आलेख किसी शीट पर किसी संख्या का गुणनखंड करने के प्रश्न का उत्तर देता है। आइए उदाहरणों के साथ अपघटन के सामान्य विचार को देखें। आइए हम विस्तार के विहित रूप और उसके एल्गोरिदम का विश्लेषण करें। विभाज्यता चिह्नों और गुणन तालिकाओं का उपयोग करके सभी वैकल्पिक तरीकों पर विचार किया जाएगा।

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किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंड में गुणनखंड करने का क्या मतलब है?

आइए अभाज्य कारकों की अवधारणा को देखें। यह ज्ञात है कि प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड एक अभाज्य संख्या है। प्रपत्र 2 · 7 · 7 · 23 के गुणनफल में हमारे पास 2, 7, 7, 23 के रूप में 4 अभाज्य गुणनखंड हैं।

गुणनखंडन में अभाज्य संख्याओं के उत्पादों के रूप में इसका प्रतिनिधित्व शामिल होता है। यदि हमें संख्या 30 को विघटित करने की आवश्यकता है, तो हमें 2, 3, 5 प्राप्त होते हैं। प्रविष्टि 30 = 2 · 3 · 5 का रूप लेगी। यह संभव है कि गुणकों को दोहराया जा सकता है। 144 जैसी संख्या में 144 = 2 2 2 2 3 3 है।

सभी संख्याएँ क्षयग्रस्त नहीं होतीं। वे संख्याएँ जो 1 से बड़ी हैं और पूर्णांक हैं, गुणनखंडित की जा सकती हैं। अभाज्य संख्याएँ, जब गुणनखंडित की जाती हैं, तो केवल 1 और स्वयं से विभाज्य होती हैं, इसलिए इन संख्याओं को उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करना असंभव है।

जब z पूर्णांकों को संदर्भित करता है, तो इसे a और b के गुणनफल के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ z को a और b से विभाजित किया जाता है। मिश्रित संख्याओं को अंकगणित के मौलिक प्रमेय का उपयोग करके गुणनखंडित किया जाता है। यदि संख्या 1 से अधिक है, तो इसका गुणनखंड p 1, p 2, ..., p n है a = p 1 , p 2 , … , p n का रूप लेता है . अपघटन को एक ही प्रकार में माना जाता है।

किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में विहित गुणनखंडन

विस्तार के दौरान, कारकों को दोहराया जा सकता है। इन्हें डिग्रियों का उपयोग करके संक्षिप्त रूप से लिखा जाता है। यदि, संख्या a को विघटित करते समय, हमारे पास एक गुणनखंड p 1 होता है, जो s 1 बार और इसी प्रकार p n - s n बार आता है। इस प्रकार विस्तार का रूप ले लेगा ए = पी 1 एस 1 · ए = पी 1 एस 1 · पी 2 एस 2 · … · पी एन एस एन. इस प्रविष्टि को किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडों में विहित गुणनखंडन कहा जाता है।

संख्या 609840 का विस्तार करने पर हमें पता चलता है कि 609 840 = 2 2 2 2 3 3 3 5 7 11 11, इसका विहित रूप 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2 होगा। विहित विस्तार का उपयोग करके, आप किसी संख्या के सभी विभाजक और उनकी संख्या ज्ञात कर सकते हैं।

सही ढंग से गुणनखंड करने के लिए, आपको अभाज्य और भाज्य संख्याओं की समझ होनी चाहिए। मुद्दा यह है कि फॉर्म पी 1, पी 2, ..., पी एन के विभाजकों की अनुक्रमिक संख्या प्राप्त की जाए नंबर ए , ए 1 , ए 2 , … , ए एन - 1, इससे इसे प्राप्त करना संभव हो जाता है ए = पी 1 ए 1, जहां ए 1 = ए: पी 1 , ए = पी 1 · ए 1 = पी 1 · पी 2 · ए 2, जहां ए 2 = ए 1: पी 2 , … , ए = पी 1 · पी 2 · … · पी एन · ए एन , कहां ए एन = ए एन - 1: पी एन. प्राप्त होने पर ए एन = 1, फिर समानता ए = पी 1 · पी 2 · … · पी एनहम संख्या a का अभाज्य गुणनखंडों में आवश्यक अपघटन प्राप्त करते हैं। नोटिस जो पी 1 ≤ पी 2 ≤ पी 3 ≤ … ≤ पी एन.

कम से कम सामान्य गुणनखंड खोजने के लिए, आपको अभाज्य संख्याओं की तालिका का उपयोग करना होगा। यह संख्या z का सबसे छोटा अभाज्य भाजक खोजने के उदाहरण का उपयोग करके किया जाता है। अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 11 इत्यादि लेते समय, और संख्या z को उनसे विभाजित करते समय। चूँकि z एक अभाज्य संख्या नहीं है, इसलिए यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि सबसे छोटा अभाज्य भाजक z से बड़ा नहीं होगा। यह देखा जा सकता है कि z का कोई भाजक नहीं है, तो यह स्पष्ट है कि z एक अभाज्य संख्या है।

उदाहरण 1

आइए संख्या 87 का उदाहरण देखें। जब इसे 2 से विभाजित किया जाता है, तो हमें 87: 2 = 43 प्राप्त होता है और शेषफल 1 होता है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि 2 विभाजक नहीं हो सकता; विभाजन पूर्णतः किया जाना चाहिए। 3 से विभाजित करने पर हमें 87: 3 = 29 प्राप्त होता है। अतः निष्कर्ष यह है कि 3 संख्या 87 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक है।

अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंड करते समय, आपको अभाज्य संख्याओं की एक तालिका का उपयोग करना चाहिए, जहाँ a. 95 का गुणनखंड करते समय, आपको लगभग 10 अभाज्य संख्याओं का उपयोग करना चाहिए, और 846653 का गुणनखंड करते समय, लगभग 1000 का उपयोग करना चाहिए।

आइए प्रमुख कारकों में अपघटन एल्गोरिथ्म पर विचार करें:

• किसी संख्या के भाजक p 1 का सबसे छोटा गुणनखंड ज्ञात करना एसूत्र a 1 = a: p 1 के अनुसार, जब a 1 = 1 होता है, तो a एक अभाज्य संख्या होती है और इसे गुणनखंड में शामिल किया जाता है, जब 1 के बराबर नहीं होता है, तो a = p 1 · a 1 और नीचे दिए गए बिंदु का अनुसरण करें;
• किसी संख्या a 1 का अभाज्य भाजक p 2 ज्ञात करना a 2 = a 1: p 2 का उपयोग करके अभाज्य संख्याओं की क्रमिक गणना करके , जब ए 2 = 1 , तो विस्तार a = p 1 p 2 का रूप लेगा , जब ए 2 = 1, तो ए = पी 1 पी 2 ए 2 , और हम अगले चरण पर आगे बढ़ते हैं;
• अभाज्य संख्याओं के माध्यम से खोजना और अभाज्य भाजक खोजना पी 3नंबर एक 2सूत्र के अनुसार a 3 = a 2: p 3 जब a 3 = 1 , तो हम पाते हैं कि a = p 1 p 2 p 3 , जब 1 के बराबर न हो, तो a = p 1 p 2 p 3 a 3 और अगले चरण पर आगे बढ़ें;
• प्रधान भाजक पाया जाता है पी एननंबर ए एन - 1अभाज्य संख्याओं की गणना करके पीएन-1, और ए एन = ए एन - 1: पी एन, जहां a n = 1, चरण अंतिम है, परिणामस्वरूप हमें यह मिलता है कि a = p 1 · p 2 · … · p n .

एल्गोरिथम का परिणाम एक तालिका के रूप में एक कॉलम में क्रमिक रूप से ऊर्ध्वाधर पट्टी के साथ विघटित कारकों के साथ लिखा जाता है। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें.

परिणामी एल्गोरिदम को संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करके लागू किया जा सकता है।

अभाज्य कारकों में गुणनखंडन करते समय, मूल एल्गोरिदम का पालन किया जाना चाहिए।

उदाहरण 2

संख्या 78 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।

समाधान

सबसे छोटे अभाज्य भाजक को खोजने के लिए, आपको 78 में सभी अभाज्य संख्याओं से गुजरना होगा। यानी 78: 2 = 39. बिना किसी शेषफल के विभाजन का अर्थ है कि यह पहला सरल भाजक है, जिसे हम p 1 के रूप में दर्शाते हैं। हम पाते हैं कि a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39. हम a = p 1 · a 1 के रूप की समानता पर पहुँचे , जहाँ 78 = 2 39. फिर 1 = 39, यानी हमें अगले चरण पर आगे बढ़ना चाहिए।

आइए अभाज्य भाजक खोजने पर ध्यान केंद्रित करें पी2नंबर ए 1 = 39. आपको अभाज्य संख्याओं, यानी 39: 2 = 19 (शेष 1) पर गौर करना चाहिए। चूँकि शेषफल 2 से भाग करने पर भाजक नहीं होता। संख्या 3 चुनने पर हमें वह 39:3 = 13 प्राप्त होता है। इसका मतलब यह है कि p 2 = 3, 39 का a 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13 से सबसे छोटा अभाज्य विभाजक है। हमें स्वरूप की समानता प्राप्त होती है ए = पी 1 पी 2 ए 2 78 = 2 3 13 के रूप में। हमारा मानना ​​है कि 2 = 13, 1 के बराबर नहीं है, तो हमें आगे बढ़ना चाहिए।

संख्या a 2 = 13 का सबसे छोटा अभाज्य विभाजक 3 से शुरू करके संख्याओं के माध्यम से खोजने पर पाया जाता है। हमें वह 13: 3 = 4 (शेष 1) मिलता है। इससे हम देख सकते हैं कि 13, 5, 7, 11 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि 13: 5 = 2 (शेष 3), 13: 7 = 1 (शेष 6) और 13: 11 = 1 (शेष 2) . यह देखा जा सकता है कि 13 एक अभाज्य संख्या है। सूत्र के अनुसार यह इस तरह दिखता है: ए 3 = ए 2: पी 3 = 13: 13 = 1। हमने पाया कि 3 = 1, जिसका अर्थ है एल्गोरिथम का पूरा होना। अब गुणनखंडों को 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3) के रूप में लिखा जाता है।

उत्तर: 78 = 2 3 13.

उदाहरण 3

संख्या 83,006 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।

समाधान

पहले चरण में फैक्टरिंग शामिल है पी 1 = 2और ए 1 = ए: पी 1 = 83,006: 2 = 41,503, जहां 83,006 = 2 · 41,503.

दूसरा चरण मानता है कि 2, 3 और 5 संख्या a 1 = 41,503 के लिए अभाज्य भाजक नहीं हैं, लेकिन 7 एक अभाज्य भाजक है, क्योंकि 41,503: 7 = 5,929। हम पाते हैं कि पी 2 = 7, ए 2 = ए 1: पी 2 = 41,503: 7 = 5,929। जाहिर है, 83,006 = 2 7 5 929.

संख्या a 3 = 847 के लिए p 4 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक ज्ञात करना 7 है। यह देखा जा सकता है कि a 4 = a 3: p 4 = 847: 7 = 121, इसलिए 83 006 = 2 7 7 7 121।

संख्या a 4 = 121 का अभाज्य भाजक ज्ञात करने के लिए, हम संख्या 11 का उपयोग करते हैं, अर्थात p 5 = 11। तब हमें स्वरूप की अभिव्यक्ति प्राप्त होती है ए 5 = ए 4: पी 5 = 121: 11 = 11, और 83,006 = 2 7 7 7 11 11.

संख्या के लिए ए 5 = 11संख्या पी 6 = 11सबसे छोटा अभाज्य भाजक है. अत: ए 6 = ए 5: पी 6 = 11: 11 = 1। फिर 6 = 1. यह एल्गोरिथम के पूरा होने का संकेत देता है। गुणनखंड 83006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11 के रूप में लिखे जायेंगे।

उत्तर का विहित अंकन 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2 का रूप लेगा।

उत्तर: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2.

उदाहरण 4

संख्या 897,924,289 का गुणनखंड करें।

समाधान

पहला अभाज्य गुणनखंड खोजने के लिए, 2 से शुरू करके अभाज्य संख्याओं को खोजें। खोज का अंत 937 नंबर पर होता है. फिर पी 1 = 937, ए 1 = ए: पी 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 और 897 924 289 = 937 958 297।

एल्गोरिथम का दूसरा चरण छोटी अभाज्य संख्याओं को दोहराना है। यानी हम संख्या 937 से शुरू करते हैं. संख्या 967 को अभाज्य माना जा सकता है क्योंकि यह संख्या a 1 = 958,297 का अभाज्य विभाजक है। यहां से हमें पता चलता है कि p 2 = 967, फिर a 2 = a 1: p 1 = 958 297: 967 = 991 और 897 924 289 = 937 967 991।

तीसरा चरण कहता है कि 991 एक अभाज्य संख्या है, क्योंकि इसका एक भी अभाज्य गुणनखंड ऐसा नहीं है जो 991 से अधिक न हो। मूलांक अभिव्यक्ति का अनुमानित मान 991 है< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . इससे पता चलता है कि पी 3 = 991 और ए 3 = ए 2: पी 3 = 991: 991 = 1। हम पाते हैं कि संख्या 897 924 289 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने पर 897 924 289 = 937 967 991 प्राप्त होता है।

उत्तर: 897 924 289 = 937 967 991.

अभाज्य गुणनखंडन के लिए विभाज्यता परीक्षणों का उपयोग करना

किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने के लिए, आपको एक एल्गोरिदम का पालन करना होगा। जब छोटी संख्याएँ होती हैं, तो गुणन सारणी और विभाज्यता चिह्नों का उपयोग करने की अनुमति होती है। आइए इसे उदाहरणों से देखें।

उदाहरण 5

यदि 10 का गुणनखंड करना आवश्यक है, तो तालिका दर्शाती है: 2 · 5 = 10। परिणामी संख्याएँ 2 और 5 अभाज्य संख्याएँ हैं, इसलिए वे संख्या 10 के लिए अभाज्य गुणनखंड हैं।

उदाहरण 6

यदि संख्या 48 को विघटित करना आवश्यक है, तो तालिका दिखाती है: 48 = 6 8. लेकिन 6 और 8 अभाज्य गुणनखंड नहीं हैं, क्योंकि इन्हें 6 = 2 3 और 8 = 2 4 के रूप में भी विस्तारित किया जा सकता है। तब यहाँ से पूर्ण विस्तार 48 = 6 8 = 2 3 2 4 के रूप में प्राप्त होता है। विहित अंकन 48 = 2 4 · 3 का रूप लेगा।

उदाहरण 7

संख्या 3400 को विघटित करते समय, आप विभाज्यता के संकेतों का उपयोग कर सकते हैं। इस मामले में, 10 और 100 से विभाज्यता के संकेत प्रासंगिक हैं। यहां से हमें पता चलता है कि 3,400 = 34 · 100, जहां 100 को 10 से विभाजित किया जा सकता है, यानी 100 = 10 · 10 के रूप में लिखा जाता है, जिसका अर्थ है कि 3,400 = 34 · 10 · 10। विभाज्यता परीक्षण के आधार पर, हम पाते हैं कि 3 400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5। सभी कारक प्रमुख हैं. विहित विस्तार रूप लेता है 3 400 = 2 3 5 2 17.

जब हमें अभाज्य गुणनखंड मिलते हैं, तो हमें विभाज्यता परीक्षण और गुणन सारणी का उपयोग करने की आवश्यकता होती है। यदि आप संख्या 75 को गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में कल्पना करते हैं, तो आपको 5 से विभाज्यता के नियम को ध्यान में रखना होगा। हम पाते हैं कि 75 = 5 15, और 15 = 3 5। अर्थात् वांछित विस्तार गुणनफल 75 = 5 · 3 · 5 के रूप का एक उदाहरण है।

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किसी भी भाज्य संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है। विघटन की अनेक विधियाँ हो सकती हैं। कोई भी विधि समान परिणाम उत्पन्न करती है।

सबसे सुविधाजनक तरीके से किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में कैसे विभाजित करें? आइए देखें कि विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके इसे सर्वोत्तम तरीके से कैसे किया जाए।

उदाहरण। 1) संख्या 1400 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।

1400, 2 से विभाज्य है। 2 एक अभाज्य संख्या है; इसका गुणनखंड करने की कोई आवश्यकता नहीं है। हमें 700 प्राप्त होता है। इसे 2 से विभाजित करें। हमें 350 प्राप्त होता है। हम 350 को भी 2 से विभाजित करते हैं। परिणामी संख्या 175 को 5 से विभाजित किया जा सकता है। परिणाम 35 है - फिर से 5 से विभाजित करें। कुल - 7. इसे केवल इससे विभाजित किया जा सकता है 7. हमें 1 मिलता है, विभाजन खत्म।

एक ही संख्या को अलग-अलग तरीके से गुणनखंडित किया जा सकता है:

1400 को 10 से विभाजित करना सुविधाजनक है। 10 एक अभाज्य संख्या नहीं है, इसलिए इसे अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने की आवश्यकता है: 10=2∙5। परिणाम 140 है। हम इसे फिर से 10=2∙5 से विभाजित करते हैं। हमें 14 मिलता है। यदि 14 को 14 से विभाजित किया जाता है, तो इसे भी अभाज्य गुणनखंडों के उत्पाद में विघटित किया जाना चाहिए: 14=2∙7।

इस प्रकार, हम फिर से पहले मामले की तरह ही विघटन पर आ गए, लेकिन तेजी से।

निष्कर्ष: किसी संख्या को विघटित करते समय, इसे केवल अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना आवश्यक नहीं है। हम जो अधिक सुविधाजनक है उससे विभाजित करते हैं, उदाहरण के लिए, 10 से। आपको केवल यौगिक भाजक को सरल कारकों में विघटित करना याद रखना होगा।

2) संख्या 1620 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।

संख्या 1620 को 10 से विभाजित करने का सबसे सुविधाजनक तरीका है। चूँकि 10 एक अभाज्य संख्या नहीं है, हम इसे अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में दर्शाते हैं: 10=2∙5। हमें 162 प्राप्त हुआ। इसे 2 से विभाजित करना सुविधाजनक है। परिणाम 81 है। संख्या 81 को 3 से विभाजित किया जा सकता है, लेकिन 9 से यह अधिक सुविधाजनक है। चूँकि 9 एक अभाज्य संख्या नहीं है, हम इसे 9=3∙3 के रूप में विस्तारित करते हैं। हमें 9 मिलता है। हम इसे 9 से भी विभाजित करते हैं और इसे अभाज्य कारकों के उत्पाद में विस्तारित करते हैं।

यह ऑनलाइन कैलकुलेटर अभाज्य गुणनखंडों की गणना करके संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करता है। यदि संख्या बड़ी है, तो प्रस्तुतीकरण में आसानी के लिए अंक विभाजक का उपयोग करें।

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किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना - सिद्धांत, एल्गोरिदम, उदाहरण और समाधान

किसी संख्या का गुणनखंड करने के सबसे सरल तरीकों में से एक यह जांचना है कि क्या वह संख्या 2, 3, 5,... आदि से विभाज्य है, यानी। जांचें कि क्या कोई संख्या अभाज्य संख्याओं की श्रृंखला से विभाज्य है। यदि संख्या एनतक किसी भी अभाज्य संख्या से विभाज्य नहीं है, तो यह संख्या अभाज्य है, क्योंकि यदि संख्या भाज्य है, तो उसके कम से कम दो गुणनखंड हैं और वे दोनों इससे बड़े नहीं हो सकते।

आइए संख्या अपघटन एल्गोरिथ्म की कल्पना करें एनप्रमुख कारकों में. आइए अभाज्य संख्याओं की एक तालिका पहले से तैयार कर लें एस=. आइए हम अभाज्य संख्याओं की एक श्रृंखला को इससे निरूपित करें पी 1 , पी 2 , पी 3 , ...

किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने के लिए एल्गोरिदम:

उदाहरण 1. संख्या 153 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।

समाधान। तक की अभाज्य संख्याओं की एक तालिका हमारे लिए पर्याप्त है , अर्थात। 2, 3, 5, 7, 11.

153 को 2 से विभाजित करें। 153 शेषफल के बिना 2 से विभाज्य नहीं है। इसके बाद, 153 को अभाज्य संख्याओं की तालिका के अगले तत्व से विभाजित करें, अर्थात। 3 पर 153:3=51. तालिका भरें:

इसके बाद, हम जाँचते हैं कि क्या संख्या 17, 3 से विभाज्य है। संख्या 17, 3 से विभाज्य नहीं है। यह संख्या 5, 7, 11 से विभाज्य नहीं है। अगला भाजक बड़ा है . इसलिए, 17 एक अभाज्य संख्या है जो केवल स्वयं से विभाज्य है: 17:17=1. प्रक्रिया रुक गई है. तालिका भरें:

हम उन विभाजकों को चुनते हैं जिनके द्वारा संख्याएँ 153, 51, 17 बिना किसी शेषफल के विभाजित होती हैं, अर्थात्। सभी संख्याएँ तालिका के दाईं ओर हैं। ये भाजक 3, 3, 17 हैं। अब संख्या 153 को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है: 153=3·3·17।

उदाहरण 2. संख्या 137 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।

समाधान। हम हिसाब लगाते हैं . इसका मतलब है कि हमें संख्या 137 की 11: 2,3,5,7,11 तक की अभाज्य संख्याओं से विभाज्यता की जांच करने की आवश्यकता है। संख्या 137 को इन संख्याओं से एक-एक करके विभाजित करने पर, हमें पता चलता है कि संख्या 137, 2,3,5,7,11 में से किसी भी संख्या से विभाज्य नहीं है। अतः 137 एक अभाज्य संख्या है।

एक को छोड़कर प्रत्येक प्राकृत संख्या में दो या दो से अधिक भाजक होते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 7 बिना किसी शेषफल के केवल 1 और 7 से विभाज्य है, अर्थात इसमें दो भाजक हैं। और संख्या 8 में भाजक 1, 2, 4, 8 हैं, यानी एक साथ 4 भाजक।

अभाज्य और भाज्य संख्याओं में क्या अंतर है?

वे संख्याएँ जिनमें दो से अधिक भाजक होते हैं, भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं। वे संख्याएँ जिनमें केवल दो भाजक होते हैं: एक और स्वयं संख्या अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।

संख्या 1 का केवल एक ही विभाजन होता है, अर्थात संख्या। एक न तो अभाज्य संख्या है और न ही भाज्य संख्या।

• उदाहरण के लिए, संख्या 7 अभाज्य है और संख्या 8 भाज्य है।

प्रथम 10 अभाज्य संख्याएँ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. संख्या 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है, अन्य सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं।

संख्या 78 संयुक्त है, क्योंकि 1 और स्वयं के अलावा, यह 2 से भी विभाज्य है। 2 से विभाजित करने पर, हमें 39 प्राप्त होता है। अर्थात, 78 = 2*39। ऐसे मामलों में, वे कहते हैं कि संख्या को 2 और 39 के गुणनखंडों में विभाजित किया गया था।

किसी भी भाज्य संख्या को दो गुणनखंडों में विघटित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक 1 से बड़ा होता है। यह युक्ति अभाज्य संख्या के साथ काम नहीं करेगी। तो यह जाता है।

किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना

जैसा कि ऊपर बताया गया है, किसी भी भाज्य संख्या को दो कारकों में विघटित किया जा सकता है। आइए, उदाहरण के लिए, संख्या 210 लें। इस संख्या को दो गुणनखंडों 21 और 10 में विघटित किया जा सकता है। लेकिन संख्याएँ 21 और 10 भी संयुक्त हैं, आइए उन्हें दो गुणनखंडों में विघटित करें। हमें 10 = 2*5, 21=3*7 प्राप्त होता है। और परिणामस्वरूप, संख्या 210 4 कारकों में विघटित हो गई: 2,3,5,7। ये संख्याएँ पहले से ही अभाज्य हैं और इनका विस्तार नहीं किया जा सकता। अर्थात्, हमने संख्या 210 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित किया है।

भाज्य संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करते समय, उन्हें आमतौर पर आरोही क्रम में लिखा जाता है।

यह याद रखना चाहिए कि किसी भी भाज्य संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में और अनूठे तरीके से, क्रमपरिवर्तन तक विघटित किया जा सकता है।

• आमतौर पर, किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते समय, विभाज्यता मानदंड का उपयोग किया जाता है।

आइए संख्या 378 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंड करें

हम संख्याओं को एक ऊर्ध्वाधर रेखा से अलग करते हुए लिखेंगे। संख्या 378 2 से विभाज्य है, क्योंकि यह 8 पर समाप्त होती है। विभाजित करने पर, हमें संख्या 189 प्राप्त होती है। संख्या 189 के अंकों का योग 3 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या 189 स्वयं 3 से विभाज्य है। परिणाम 63 है.

विभाज्यता के अनुसार संख्या 63 भी 3 से विभाज्य है। हमें 21 मिलता है, संख्या 21 को फिर से 3 से विभाजित किया जा सकता है, हमें 7 मिलता है। सात केवल अपने आप से विभाजित होता है, हमें एक मिलता है। यह विभाजन पूरा करता है. रेखा के बाद दाईं ओर वे अभाज्य गुणनखंड हैं जिनमें संख्या 378 विघटित होती है।

378|2
189|3
63|3
21|3