मैट्रिक्स का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल करें। रेखीय समीकरण

विषय 2. रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियाँ।

बुनियादी अवधारणाओं।

परिभाषा 1. प्रणाली एमके साथ रैखिक समीकरण एनअज्ञात प्रपत्र की एक प्रणाली है:

संख्याएँ कहाँ और हैं।

परिभाषा 2. सिस्टम (I) का समाधान अज्ञात का एक सेट है जिसमें इस सिस्टम का प्रत्येक समीकरण एक पहचान बन जाता है।

परिभाषा 3. सिस्टम (I) कहा जाता है संयुक्त, यदि इसका कम से कम एक समाधान है और गैर संयुक्त, यदि इसका कोई समाधान नहीं है। संयुक्त प्रणाली कहलाती है निश्चित, यदि इसका कोई अनूठा समाधान है, और ढुलमुलअन्यथा।

परिभाषा 4. रूप का समीकरण

बुलाया शून्य, और समीकरण इस रूप का है

बुलाया असंगत. जाहिर है, असंगत समीकरण वाली समीकरण प्रणाली असंगत है।

परिभाषा 5. रैखिक समीकरणों की दो प्रणालियाँ कहलाती हैं समकक्ष, यदि एक प्रणाली का प्रत्येक समाधान दूसरे के लिए समाधान के रूप में कार्य करता है और, इसके विपरीत, दूसरी प्रणाली का प्रत्येक समाधान पहले के लिए एक समाधान है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व।

आइए सिस्टम (I) पर विचार करें (§1 देखें)।

आइए निरूपित करें:

अज्ञात के लिए गुणांक मैट्रिक्स

मैट्रिक्स - मुक्त पदों का स्तंभ

मैट्रिक्स – अज्ञात का स्तंभ

.

परिभाषा 1.मैट्रिक्स कहा जाता है सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स(I), और मैट्रिक्स सिस्टम (I) का विस्तारित मैट्रिक्स है।

मैट्रिक्स की समानता की परिभाषा के अनुसार, सिस्टम (I) मैट्रिक्स समानता से मेल खाता है:

.

आव्यूहों के गुणनफल की परिभाषा के अनुसार इस समानता का दाहिना पक्ष ( परिभाषा 3 § 5 अध्याय 1 देखें) को गुणनखंडित किया जा सकता है:

, अर्थात।

समानता (2) बुलाया सिस्टम का मैट्रिक्स नोटेशन (I).

क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना।

सिस्टम में आने दें (I) (देखें §1) म=एन, अर्थात। समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर है, और सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स गैर-एकवचन है, यानी। . फिर §1 से सिस्टम (I) का एक अनूठा समाधान है

कहां Δ = डेट एमुख्य कहा जाता है प्रणाली के निर्धारक(आई), Δ मैंनिर्धारक Δ को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है मैंसिस्टम के मुक्त सदस्यों के कॉलम में वां कॉलम (I)।

उदाहरण: क्रैमर विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें:

.

सूत्रों द्वारा (3) .

हम सिस्टम के निर्धारकों की गणना करते हैं:

,

,

.

सारणिक प्राप्त करने के लिए, हमने सारणिक में पहले कॉलम को मुक्त पदों के कॉलम से बदल दिया; सारणिक में दूसरे कॉलम को मुक्त पदों के कॉलम से बदलने पर, हमें मिलता है; इसी तरह, सारणिक में तीसरे कॉलम को मुक्त पदों के कॉलम से बदलने पर, हमें मिलता है। सिस्टम समाधान:

व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना।

सिस्टम में आने दें (I) (देखें §1) म=एनऔर सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स गैर-एकवचन है। आइए सिस्टम (I) को मैट्रिक्स रूप में लिखें ( §2 देखें):

क्योंकि आव्यूह एगैर-एकवचन, तो इसका एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स है ( अध्याय 1 का प्रमेय 1 §6 देखें). आइए समानता के दोनों पक्षों को गुणा करें (2) मैट्रिक्स के लिए, फिर

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की परिभाषा के अनुसार. समानता से (3) हमारे पास है

व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके सिस्टम को हल करें

.

चलो निरूपित करें

उदाहरण में (§ 3) हमने निर्धारक की गणना की, इसलिए, मैट्रिक्स एएक व्युत्क्रम मैट्रिक्स है. तब प्रभाव में (4) , अर्थात।

. (5)

आइए मैट्रिक्स ढूंढें ( §6 अध्याय 1 देखें)

, , ,

, , ,

,

.

गॉस विधि.

आइए रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी जाए:

. (मैं)

सिस्टम (I) के सभी समाधान ढूंढना या यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि सिस्टम असंगत है।

परिभाषा 1.आइए हम सिस्टम का प्रारंभिक परिवर्तन कहते हैं(I) तीन क्रियाओं में से कोई:

1) शून्य समीकरण को पार करना;

2) समीकरण के दोनों पक्षों में दूसरे समीकरण के संगत भागों को जोड़कर, संख्या l से गुणा किया जाता है;

3) सिस्टम के समीकरणों में शब्दों की अदला-बदली ताकि सभी समीकरणों में समान संख्याओं वाले अज्ञात एक ही स्थान पर कब्जा कर लें, यानी। यदि, उदाहरण के लिए, पहले समीकरण में हमने दूसरे और तीसरे पद को बदल दिया है, तो सिस्टम के सभी समीकरणों में भी ऐसा ही किया जाना चाहिए।

गॉस विधि में यह तथ्य शामिल है कि प्राथमिक परिवर्तनों की सहायता से सिस्टम (I) को एक समतुल्य प्रणाली में घटा दिया जाता है, जिसका समाधान सीधे पाया जाता है या इसकी अघुलनशीलता स्थापित की जाती है।

जैसा कि §2 में वर्णित है, सिस्टम (I) अपने विस्तारित मैट्रिक्स द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है और सिस्टम (I) का कोई भी प्रारंभिक परिवर्तन विस्तारित मैट्रिक्स के प्राथमिक परिवर्तन से मेल खाता है:

.

परिवर्तन 1) मैट्रिक्स में शून्य पंक्ति को हटाने के अनुरूप है, परिवर्तन 2) मैट्रिक्स की संबंधित पंक्ति में एक और पंक्ति जोड़ने के बराबर है, संख्या एल से गुणा किया गया है, परिवर्तन 3) मैट्रिक्स में कॉलम को पुनर्व्यवस्थित करने के बराबर है।

यह देखना आसान है कि, इसके विपरीत, मैट्रिक्स का प्रत्येक प्राथमिक परिवर्तन सिस्टम (I) के प्राथमिक परिवर्तन से मेल खाता है। उपरोक्त के कारण, सिस्टम (I) के साथ संचालन के बजाय, हम इस सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स के साथ काम करेंगे।

मैट्रिक्स में, पहले कॉलम में गुणांक होते हैं एक्स 1, दूसरा कॉलम - के लिए गुणांक से एक्स 2वगैरह। यदि स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है, तो यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि इस शर्त का उल्लंघन हुआ है। उदाहरण के लिए, यदि हम पहले और दूसरे कॉलम को स्वैप करते हैं, तो अब पहले कॉलम में गुणांक शामिल होंगे एक्स 2, और दूसरे कॉलम में - के लिए गुणांक एक्स 1.

हम गॉसियन विधि का उपयोग करके सिस्टम (I) को हल करेंगे।

1. मैट्रिक्स में सभी शून्य पंक्तियों को काट दें, यदि कोई हो (यानी, सिस्टम (I) में सभी शून्य समीकरणों को काट दें)।

2. आइए जांचें कि क्या मैट्रिक्स की पंक्तियों के बीच एक पंक्ति है जिसमें अंतिम को छोड़कर सभी तत्व शून्य के बराबर हैं (चलिए ऐसी पंक्ति को असंगत कहते हैं)। जाहिर है, ऐसी रेखा सिस्टम (I) में एक असंगत समीकरण से मेल खाती है, इसलिए, सिस्टम (I) का कोई समाधान नहीं है और यहीं प्रक्रिया समाप्त होती है।

3. मान लीजिए कि मैट्रिक्स में असंगत पंक्तियाँ नहीं हैं (सिस्टम (I) में असंगत समीकरण नहीं हैं)। अगर ए 11 =0, फिर हम पहली पंक्ति में शून्य के अलावा कुछ तत्व (अंतिम को छोड़कर) पाते हैं और स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं ताकि पहली पंक्ति में पहले स्थान पर कोई शून्य न हो। अब हम यह मानेंगे कि (अर्थात, हम सिस्टम (I) के समीकरणों में संबंधित पदों की अदला-बदली करेंगे)।

4. पहली पंक्ति को इससे गुणा करें और परिणाम को दूसरी पंक्ति से जोड़ें, फिर पहली पंक्ति को इससे गुणा करें और परिणाम को तीसरी पंक्ति से जोड़ें, आदि। जाहिर है, यह प्रक्रिया अज्ञात को ख़त्म करने के बराबर है एक्स 1पहले को छोड़कर, सिस्टम (I) के सभी समीकरणों से। नए मैट्रिक्स में हमें तत्व के नीचे पहले कॉलम में शून्य मिलते हैं एक 11:

.

5. आइए मैट्रिक्स में सभी शून्य पंक्तियों को काट दें, यदि कोई हो, और जांचें कि क्या कोई असंगत पंक्ति है (यदि कोई है, तो सिस्टम असंगत है और समाधान वहीं समाप्त हो जाता है)। चलो जाँच करें कि क्या वहाँ होगा एक 22 / =0, यदि हाँ, तो हम दूसरी पंक्ति में शून्य के अलावा एक तत्व पाते हैं और स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं ताकि। इसके बाद, दूसरी पंक्ति के तत्वों को इससे गुणा करें और तीसरी पंक्ति के संगत तत्वों के साथ जोड़ें, फिर - दूसरी पंक्ति के तत्वों को और चौथी पंक्ति के संबंधित तत्वों आदि के साथ जोड़ें, जब तक कि हमें नीचे शून्य न मिल जाए एक 22/

.

उठाए गए कदम अज्ञात को ख़त्म करने के बराबर हैं एक्स 2सिस्टम (I) के सभी समीकरणों से, पहले और दूसरे को छोड़कर। चूँकि पंक्तियों की संख्या सीमित है, इसलिए चरणों की एक सीमित संख्या के बाद हमें पता चलता है कि या तो सिस्टम असंगत है, या हम एक चरण मैट्रिक्स के साथ समाप्त होते हैं ( परिभाषा 2 §7 अध्याय 1 देखें) :

,

आइए हम मैट्रिक्स के अनुरूप समीकरणों की प्रणाली लिखें। यह सिस्टम सिस्टम (I) के बराबर है

.

अंतिम समीकरण से हम व्यक्त करते हैं; पिछले समीकरण में स्थानापन्न करें, खोजें, आदि, जब तक हमें प्राप्त न हो जाए।

नोट 1।इस प्रकार, गॉसियन विधि का उपयोग करके सिस्टम (I) को हल करते समय, हम निम्नलिखित मामलों में से एक पर पहुंचते हैं।

1. सिस्टम (I) असंगत है.

2. यदि मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या अज्ञात () की संख्या के बराबर है तो सिस्टम (I) का एक अनूठा समाधान है।

3. सिस्टम (I) में अनंत संख्या में समाधान हैं यदि मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या अज्ञात () की संख्या से कम है।

अतः निम्नलिखित प्रमेय मान्य है।

प्रमेय.रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली या तो असंगत होती है, इसका एक अद्वितीय समाधान होता है, या इसमें अनंत संख्या में समाधान होते हैं।

उदाहरण। गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करें या इसकी असंगतता साबित करें:

बी) ;

ए) आइए दी गई प्रणाली को इस रूप में फिर से लिखें:

.

हमने गणना को सरल बनाने के लिए मूल प्रणाली के पहले और दूसरे समीकरणों को बदल दिया है (अंशों के बजाय, हम इस पुनर्व्यवस्था का उपयोग करके केवल पूर्णांकों के साथ काम करेंगे)।

आइए एक विस्तारित मैट्रिक्स बनाएं:

.

कोई शून्य रेखाएँ नहीं हैं; कोई असंगत पंक्तियाँ नहीं हैं; आइए पहले को छोड़कर सिस्टम के सभी समीकरणों से पहले अज्ञात को बाहर कर दें। ऐसा करने के लिए, मैट्रिक्स की पहली पंक्ति के तत्वों को "-2" से गुणा करें और उन्हें दूसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों के साथ जोड़ें, जो कि पहले समीकरण को "-2" से गुणा करने और इसे दूसरे के साथ जोड़ने के बराबर है। समीकरण. फिर हम पहली पंक्ति के तत्वों को "-3" से गुणा करते हैं और उन्हें तीसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों के साथ जोड़ते हैं, यानी। दिए गए सिस्टम के दूसरे समीकरण को "-3" से गुणा करें और इसे तीसरे समीकरण में जोड़ें। हम पाते हैं

.

मैट्रिक्स समीकरणों की एक प्रणाली से मेल खाता है)। - (अध्याय 1 की परिभाषा 3§7 देखें)।

चलो गौर करते हैं रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली(एसएलएयू) अपेक्षाकृत एनअज्ञात एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन :

इस प्रणाली को "संक्षिप्त" रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

एस एन मैं=1 ए आईजे एक्स जे = बी मैं , मैं=1,2, ..., एन.

मैट्रिक्स गुणन नियम के अनुसार, रैखिक समीकरणों की मानी गई प्रणाली को लिखा जा सकता है मैट्रिक्स फॉर्म कुल्हाड़ी=बी, कहाँ

, ,.

आव्यूह ए, जिसके स्तंभ संबंधित अज्ञात के लिए गुणांक हैं, और पंक्तियाँ संबंधित समीकरण में अज्ञात के लिए गुणांक हैं, कहलाती हैं सिस्टम का मैट्रिक्स. कॉलम मैट्रिक्स बी, जिसके तत्व सिस्टम के समीकरणों के दाईं ओर हैं, उन्हें दाईं ओर का मैट्रिक्स या बस कहा जाता है सिस्टम का दाहिना भाग. कॉलम मैट्रिक्स एक्स , जिसके तत्व अज्ञात अज्ञात हैं, कहलाते हैं सिस्टम समाधान.

प्रपत्र में लिखी गई रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली कुल्हाड़ी=बी, है मैट्रिक्स समीकरण.

यदि सिस्टम मैट्रिक्स गैर पतित, तो इसका एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स है और फिर सिस्टम का समाधान है कुल्हाड़ी=बीसूत्र द्वारा दिया गया है:

एक्स=ए -1 बी.

उदाहरणसिस्टम को हल करें मैट्रिक्स विधि.

समाधानआइए सिस्टम के गुणांक मैट्रिक्स के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजें

आइए पहली पंक्ति के साथ विस्तार करके निर्धारक की गणना करें:

क्योंकि Δ ≠ 0 , वह ए -1 मौजूद।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स सही पाया गया.

आइए सिस्टम का समाधान खोजें

इस तरह, एक्स 1 = 1, एक्स 2 = 2, एक्स 3 = 3 .

इंतिहान:

7. रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली की अनुकूलता पर क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय।

रैखिक समीकरणों की प्रणालीइसका रूप है:

ए 21 x 1 + ए 22 x 2 +... + ए 2एन एक्स एन = बी 2, (5.1)

ए एम1 एक्स 1 + ए एम1 एक्स 2 +... + ए एमएन एक्स एन = बी एम।

यहां a i j और b i (i = ; j = ) दिए गए हैं, और x j अज्ञात वास्तविक संख्याएं हैं। मैट्रिक्स के उत्पाद की अवधारणा का उपयोग करके, हम सिस्टम (5.1) को इस रूप में फिर से लिख सकते हैं:

जहां A = (a i j) एक मैट्रिक्स है जिसमें सिस्टम (5.1) के अज्ञात के लिए गुणांक शामिल हैं, जिसे कहा जाता है सिस्टम का मैट्रिक्स, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T क्रमशः अज्ञात x j और मुक्त पदों b i से बने स्तंभ सदिश हैं।

संग्रह का आदेश दिया एनवास्तविक संख्याएँ (c 1, c 2,..., c n) कहलाती हैं सिस्टम समाधान(5.1), यदि संगत चर x 1, x 2,..., x n के स्थान पर इन संख्याओं को प्रतिस्थापित करने के परिणामस्वरूप, सिस्टम का प्रत्येक समीकरण एक अंकगणितीय पहचान में बदल जाता है; दूसरे शब्दों में, यदि कोई सदिश C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T है जिससे AC  B.

सिस्टम (5.1) कहा जाता है संयुक्त,या हल करने योग्य,यदि इसका कम से कम एक समाधान है. सिस्टम कहा जाता है असंगत,या न सुलझा हुआ, यदि इसका कोई समाधान नहीं है।

,

मैट्रिक्स ए के दाईं ओर मुक्त पदों का एक कॉलम निर्दिष्ट करके गठित ए कहा जाता है सिस्टम का विस्तारित मैट्रिक्स।

सिस्टम की अनुकूलता (5.1) का प्रश्न निम्नलिखित प्रमेय द्वारा हल किया गया है।

क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय . रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली सुसंगत होती है यदि और केवल यदि मैट्रिक्स ए और ए की रैंक मेल खाती है, यानी। आर(ए) = आर(ए) = आर.

सिस्टम (5.1) के समाधान के सेट एम के लिए तीन संभावनाएँ हैं:

1) एम =  (इस मामले में सिस्टम असंगत है);

2) M में एक तत्व शामिल है, अर्थात। सिस्टम का एक अनोखा समाधान है (इस मामले में सिस्टम को कहा जाता है)। निश्चित);

3) M में एक से अधिक तत्व होते हैं (तब सिस्टम कहा जाता है ढुलमुल). तीसरे मामले में, सिस्टम (5.1) में अनंत संख्या में समाधान हैं।

सिस्टम का एक अद्वितीय समाधान केवल तभी होता है जब r(A) = n हो। इस मामले में, समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या (mn) से कम नहीं है; यदि m>n, तो m-n समीकरण दूसरों के परिणाम हैं। यदि 0

रैखिक समीकरणों की एक मनमानी प्रणाली को हल करने के लिए, आपको उन प्रणालियों को हल करने में सक्षम होने की आवश्यकता है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर है - तथाकथित क्रैमर प्रकार की प्रणालियाँ:

ए 11 एक्स 1 + ए 12 एक्स 2 +... + ए 1 एन एक्स एन = बी 1,

ए 21 x 1 + ए 22 x 2 +... + ए 2एन एक्स एन = बी 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

ए एन1 एक्स 1 + ए एन1 एक्स 2 +... + ए एनएन एक्स एन = बी एन।

सिस्टम (5.3) को निम्नलिखित तरीकों में से एक में हल किया जाता है: 1) गॉस विधि, या अज्ञात को खत्म करने की विधि; 2) क्रैमर के सूत्रों के अनुसार; 3) मैट्रिक्स विधि.

उदाहरण 2.12. समीकरणों की प्रणाली का अन्वेषण करें और यदि यह सुसंगत है तो इसे हल करें:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

समाधान।हम सिस्टम का विस्तारित मैट्रिक्स लिखते हैं:

 .

आइए सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक की गणना करें। यह स्पष्ट है कि, उदाहरण के लिए, ऊपरी बाएँ कोने में दूसरे क्रम का नाबालिग = 7  0; इसमें शामिल तीसरे क्रम के अवयस्क शून्य के बराबर हैं:

नतीजतन, सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक 2 है, यानी। r(A) = 2. विस्तारित मैट्रिक्स A की रैंक की गणना करने के लिए, बॉर्डरिंग माइनर पर विचार करें

इसका मतलब है कि विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक r(A) = 3. चूँकि r(A)  r(A), सिस्टम असंगत है।

n अज्ञात के साथ m रैखिक समीकरणों की एक प्रणालीप्रपत्र की एक प्रणाली कहलाती है

कहाँ एक आई.जेऔर बी मैं (मैं=1,…,एम; बी=1,…,एन) कुछ ज्ञात संख्याएँ हैं, और एक्स 1 ,…,एक्स एन- अज्ञात। गुणांकों के पदनाम में एक आई.जेपहला सूचकांक मैंसमीकरण संख्या को दर्शाता है, और दूसरा जे- अज्ञात की संख्या जिस पर यह गुणांक खड़ा है।

हम अज्ञात के लिए गुणांकों को एक मैट्रिक्स के रूप में लिखेंगे , जिसे हम कहेंगे सिस्टम का मैट्रिक्स.

समीकरण के दाईं ओर संख्याएँ हैं बी 1 ,…,बी एमकहा जाता है मुफ़्त सदस्य.

समग्रता एननंबर सी 1 ,…,सी एनबुलाया फ़ैसलाकिसी दिए गए सिस्टम का, यदि सिस्टम का प्रत्येक समीकरण इसमें संख्याओं को प्रतिस्थापित करने के बाद एक समानता बन जाता है सी 1 ,…,सी एनसंगत अज्ञात के बजाय एक्स 1 ,…,एक्स एन.

हमारा काम सिस्टम का समाधान ढूंढना होगा. इस स्थिति में, तीन स्थितियाँ उत्पन्न हो सकती हैं:

रैखिक समीकरणों की वह प्रणाली जिसमें कम से कम एक समाधान हो, कहलाती है संयुक्त. अन्यथा, यानी यदि सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है, तो इसे कहा जाता है गैर संयुक्त.

आइए सिस्टम का समाधान खोजने के तरीकों पर विचार करें।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि

मैट्रिक्स रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संक्षेप में लिखना संभव बनाता है। मान लीजिए कि तीन अज्ञातों के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है:

सिस्टम मैट्रिक्स पर विचार करें और अज्ञात और मुक्त पदों के मैट्रिक्स कॉलम

चलिए काम ढूंढते हैं

वे। उत्पाद के परिणामस्वरूप, हमें इस प्रणाली के समीकरणों के बाएँ पक्ष प्राप्त होते हैं। फिर, मैट्रिक्स समानता की परिभाषा का उपयोग करके, इस प्रणाली को इस रूप में लिखा जा सकता है

या छोटा ए∙एक्स=बी.

यहाँ मैट्रिक्स हैं एऔर बीज्ञात हैं, और मैट्रिक्स एक्सअज्ञात। इसे ढूंढना जरूरी है, क्योंकि... इसके तत्व इस प्रणाली का समाधान हैं। इस समीकरण को कहा जाता है मैट्रिक्स समीकरण.

मान लीजिए मैट्रिक्स निर्धारक शून्य से भिन्न है | ए| ≠ 0. फिर मैट्रिक्स समीकरण को निम्नानुसार हल किया जाता है। बायीं ओर समीकरण के दोनों पक्षों को मैट्रिक्स से गुणा करें एक-1, मैट्रिक्स का उलटा ए: . क्योंकि ए -1 ए = ईऔर इ∙एक्स = एक्स, तो हमें फॉर्म में मैट्रिक्स समीकरण का समाधान प्राप्त होता है एक्स = ए -1 बी .

ध्यान दें कि चूंकि व्युत्क्रम मैट्रिक्स केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए पाया जा सकता है, मैट्रिक्स विधि केवल उन प्रणालियों को हल कर सकती है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञातों की संख्या से मेल खाती है. हालाँकि, सिस्टम की मैट्रिक्स रिकॉर्डिंग उस स्थिति में भी संभव है जब समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर नहीं है, तो मैट्रिक्स एवर्गाकार नहीं होगा और इसलिए फॉर्म में सिस्टम का समाधान ढूंढना असंभव है एक्स = ए -1 बी.

उदाहरण।समीकरणों की प्रणालियों को हल करें.

क्रैमर का नियम

तीन अज्ञातों के साथ 3 रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

सिस्टम मैट्रिक्स के अनुरूप तीसरे क्रम का निर्धारक, यानी। अज्ञात के लिए गुणांकों से बना,

बुलाया प्रणाली के निर्धारक.

आइए निम्नानुसार तीन और निर्धारक बनाएं: निर्धारक डी में क्रमिक रूप से 1, 2 और 3 कॉलम को मुक्त पदों के कॉलम से बदलें।

तब हम निम्नलिखित परिणाम सिद्ध कर सकते हैं।

प्रमेय (क्रैमर का नियम)।यदि सिस्टम का निर्धारक Δ ≠ 0 है, तो विचाराधीन सिस्टम का एक और केवल एक ही समाधान है, और

सबूत. तो, आइए तीन अज्ञात वाले 3 समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें। आइए सिस्टम के पहले समीकरण को बीजगणितीय पूरक से गुणा करें ए 11तत्व एक 11, दूसरा समीकरण - चालू ए 21और तीसरा - पर ए 31:

आइए इन समीकरणों को जोड़ें:

आइए इस समीकरण के प्रत्येक कोष्ठक और दाएँ पक्ष को देखें। प्रथम स्तंभ के तत्वों में सारणिक के विस्तार पर प्रमेय द्वारा

इसी तरह, यह दिखाया जा सकता है कि और।

अंततः, इसे नोटिस करना आसान है

इस प्रकार, हम समानता प्राप्त करते हैं:।

इस तरह, ।

समानताएँ और समान रूप से व्युत्पन्न होती हैं, जिससे प्रमेय का कथन अनुसरण करता है।

इस प्रकार, हम ध्यान दें कि यदि सिस्टम का निर्धारक Δ ≠ 0 है, तो सिस्टम का एक अद्वितीय समाधान है और इसके विपरीत। यदि सिस्टम का निर्धारक शून्य के बराबर है, तो सिस्टम में या तो अनंत संख्या में समाधान हैं या कोई समाधान नहीं है, यानी। असंगत.

उदाहरण।समीकरणों की प्रणाली को हल करें

गॉस विधि

पहले चर्चा की गई विधियों का उपयोग केवल उन प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाती है, और प्रणाली का निर्धारक शून्य से भिन्न होना चाहिए। गॉस विधि अधिक सार्वभौमिक है और किसी भी संख्या में समीकरण वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त है। इसमें सिस्टम के समीकरणों से अज्ञात को लगातार हटाना शामिल है।

तीन अज्ञात वाले तीन समीकरणों की एक प्रणाली पर फिर से विचार करें:

.

हम पहले समीकरण को अपरिवर्तित छोड़ देंगे, और दूसरे और तीसरे से हम युक्त पदों को बाहर कर देंगे एक्स 1. ऐसा करने के लिए, दूसरे समीकरण को इससे विभाजित करें ए 21 और गुणा करें - ए 11, और फिर इसे पहले समीकरण में जोड़ें। इसी प्रकार, हम तीसरे समीकरण को इससे विभाजित करते हैं ए 31 और गुणा करें - ए 11, और फिर इसे पहले वाले के साथ जोड़ें। परिणामस्वरूप, मूल प्रणाली यह रूप ले लेगी:

अब अंतिम समीकरण से हम युक्त पद को हटा देते हैं एक्स 2. ऐसा करने के लिए, तीसरे समीकरण को इससे विभाजित करें, गुणा करें और दूसरे के साथ जोड़ें। तब हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली होगी:

यहां से, पिछले समीकरण से इसे ढूंढना आसान है एक्स 3, फिर दूसरे समीकरण से एक्स 2और अंत में, 1 से - एक्स 1.

गाऊसी पद्धति का उपयोग करते समय, यदि आवश्यक हो तो समीकरणों की अदला-बदली की जा सकती है।

अक्सर, समीकरणों की एक नई प्रणाली लिखने के बजाय, वे खुद को सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखने तक ही सीमित रखते हैं:

और फिर प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे त्रिकोणीय या विकर्ण रूप में लाएं।

को प्राथमिक परिवर्तनमैट्रिक्स में निम्नलिखित परिवर्तन शामिल हैं:

1. पंक्तियों या स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करना;
2. किसी स्ट्रिंग को शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करना;
3. एक पंक्ति में अन्य पंक्तियाँ जोड़ना।

उदाहरण:गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणालियों को हल करें।

इस प्रकार, सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं।

समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। इनका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक ​​कि खेलों में भी किया जाता है। प्राचीन काल में मनुष्य ने समीकरणों का प्रयोग किया और तब से इनका प्रयोग बढ़ता ही गया। मैट्रिक्स विधि आपको किसी भी जटिलता के SLAE (रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली) का समाधान खोजने की अनुमति देती है। SLAE को हल करने की पूरी प्रक्रिया दो मुख्य क्रियाओं पर आधारित होती है:

मुख्य मैट्रिक्स के आधार पर व्युत्क्रम मैट्रिक्स का निर्धारण:

परिणामी व्युत्क्रम मैट्रिक्स को समाधानों के कॉलम वेक्टर से गुणा करना।

मान लीजिए हमें निम्नलिखित फॉर्म का SLAE दिया गया है:

\[\left\(\begin(matrix) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matrix)\right.\]

आइए सिस्टम मैट्रिक्स लिखकर इस समीकरण को हल करना शुरू करें:

दाईं ओर का मैट्रिक्स:

आइए व्युत्क्रम मैट्रिक्स को परिभाषित करें। आप दूसरे क्रम का मैट्रिक्स इस प्रकार पा सकते हैं: 1 - मैट्रिक्स स्वयं गैर-एकवचन होना चाहिए; 2 - इसके तत्व जो मुख्य विकर्ण पर हैं, उनकी अदला-बदली की जाती है, और द्वितीयक विकर्ण के तत्वों के लिए हम चिह्न को विपरीत में बदलते हैं, जिसके बाद हम परिणामी तत्वों को मैट्रिक्स के निर्धारक द्वारा विभाजित करते हैं। हम पाते हैं:

\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ प्रारंभ(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]

2 आव्यूहों को समान माना जाता है यदि उनके संगत अवयव समान हों। परिणामस्वरूप, हमारे पास SLAE समाधान के लिए निम्नलिखित उत्तर हैं:

मैं मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को ऑनलाइन कहां हल कर सकता हूं?

आप हमारी वेबसाइट पर समीकरणों की प्रणाली को हल कर सकते हैं। मुफ़्त ऑनलाइन सॉल्वर आपको किसी भी जटिलता के ऑनलाइन समीकरण को कुछ ही सेकंड में हल करने की अनुमति देगा। आपको बस सॉल्वर में अपना डेटा दर्ज करना है। आप हमारी वेबसाइट पर यह भी जान सकते हैं कि समीकरण को कैसे हल किया जाए। और यदि आपके पास अभी भी प्रश्न हैं, तो आप उन्हें हमारे VKontakte समूह में पूछ सकते हैं।