गुणनखंडन। उदाहरण

किसी भी समग्र संख्या को उसके प्रमुख विभाजकों के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

28 = 2 2 7

प्राप्त समानता के सही हिस्से कहलाते हैं मुख्य गुणनखंड प्रक्रियासंख्या 15 और 28।

किसी दी गई संमिश्र संख्या को प्रमुख कारकों में विभाजित करने का अर्थ है कि इस संख्या को उसके प्रमुख विभाजकों के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करना।

प्रमुख कारकों में दी गई संख्या का अपघटन निम्नानुसार किया जाता है:

1. पहले आपको अभाज्य संख्याओं की तालिका से सबसे छोटी अभाज्य संख्या चुनने की आवश्यकता है, जिसके द्वारा यह समग्र संख्या शेष के बिना विभाज्य है, और विभाजन करें।
2. इसके बाद, आपको फिर से सबसे छोटी अभाज्य संख्या चुननी होगी, जिसके द्वारा पहले से प्राप्त भागफल को शेष के बिना विभाजित किया जाएगा।
3. दूसरी क्रिया का निष्पादन तब तक दोहराया जाता है जब तक कि भागफल में इकाई प्राप्त नहीं हो जाती।

एक उदाहरण के रूप में, आइए संख्या 940 का गुणनखंडन करें। वह सबसे छोटी अभाज्य संख्या ज्ञात करें जो 940 को विभाजित करती है। यह संख्या 2 है:

अब हम सबसे छोटी अभाज्य संख्या का चयन करते हैं जिससे 470 विभाज्य है। यह संख्या फिर से 2 है:

सबसे छोटी अभाज्य संख्या जिससे 235 विभाज्य है 5 है:

संख्या 47 अभाज्य है, इसलिए सबसे छोटी अभाज्य संख्या जिससे 47 विभाज्य है वह स्वयं संख्या है:

इस प्रकार, हमें संख्या 940 मिलती है, जो प्रमुख कारकों में विघटित होती है:

940 = 2 470 = 2 2 235 = 2 2 5 47

यदि किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन के परिणामस्वरूप कई समान गुणनखंड प्राप्त होते हैं, तो संक्षिप्तता के लिए, उन्हें एक अंश के रूप में लिखा जा सकता है:

940 = 2 2 5 47

अपघटन को प्रमुख कारकों में लिखना सबसे सुविधाजनक है: सबसे पहले, हम दी गई समग्र संख्या को लिखते हैं और इसके दाईं ओर एक लंबवत रेखा खींचते हैं:

रेखा के दाईं ओर, हम सबसे छोटा साधारण भाजक लिखते हैं जिससे दी गई भाज्य संख्या विभाज्य है:

हम विभाजन करते हैं और परिणामी भागफल को लाभांश के तहत लिखते हैं:

एक भागफल के साथ, हम एक दी गई समग्र संख्या के समान ही करते हैं, अर्थात, हम सबसे छोटी अभाज्य संख्या का चयन करते हैं, जिसके द्वारा यह शेष के बिना विभाज्य है और विभाजन करता है। और इसलिए हम तब तक दोहराते हैं जब तक कि भागफल में इकाई प्राप्त नहीं हो जाती:

कृपया ध्यान दें कि कभी-कभी किसी संख्या का प्रमुख कारकों में अपघटन करना काफी कठिन होता है, क्योंकि अपघटन के दौरान हम एक बड़ी संख्या का सामना कर सकते हैं जो कि यह निर्धारित करना मुश्किल है कि यह प्रमुख या समग्र है या नहीं। और यदि यह समग्र है, तो इसका सबसे छोटा प्रधान भाजक खोजना हमेशा आसान नहीं होता है।

आइए, उदाहरण के लिए, संख्या 5106 को प्रमुख कारकों में विघटित करने का प्रयास करें:

भागफल 851 तक पहुँचने के बाद, इसका सबसे छोटा भाजक तुरंत निर्धारित करना मुश्किल है। हम अभाज्य संख्याओं की तालिका की ओर मुड़ते हैं। यदि इसमें कोई ऐसी संख्या है जो हमें कठिनाई में डालती है तो वह केवल स्वयं से और एक से विभाज्य होती है। संख्या 851 अभाज्य संख्याओं की तालिका में नहीं है, जिसका अर्थ है कि यह समग्र है। यह अनुक्रमिक गणना की विधि द्वारा केवल इसे अभाज्य संख्याओं में विभाजित करने के लिए बनी हुई है: 3, 7, 11, 13, ..., और इसी तरह जब तक हम एक उपयुक्त प्रधान भाजक नहीं पाते। गणना पद्धति का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि 851 संख्या 23 से विभाज्य है।

आपकी निजता हमारे लिए महत्वपूर्ण है। इस कारण से, हमने एक गोपनीयता नीति विकसित की है जो बताती है कि हम आपकी जानकारी का उपयोग और संग्रह कैसे करते हैं। कृपया हमारी गोपनीयता नीति पढ़ें और यदि आपके कोई प्रश्न हैं तो हमें बताएं।

व्यक्तिगत जानकारी का संग्रह और उपयोग

व्यक्तिगत जानकारी उस डेटा को संदर्भित करती है जिसका उपयोग किसी विशिष्ट व्यक्ति की पहचान करने या उससे संपर्क करने के लिए किया जा सकता है।

जब आप हमसे संपर्क करते हैं तो आपसे किसी भी समय आपकी व्यक्तिगत जानकारी प्रदान करने के लिए कहा जा सकता है।

निम्नलिखित कुछ प्रकार की व्यक्तिगत जानकारी के उदाहरण हैं जिन्हें हम एकत्र कर सकते हैं और हम इस तरह की जानकारी का उपयोग कैसे कर सकते हैं।

हम कौन सी व्यक्तिगत जानकारी एकत्र करते हैं:

• जब आप साइट पर एक आवेदन जमा करते हैं, तो हम आपका नाम, फोन नंबर, ईमेल पता आदि सहित विभिन्न जानकारी एकत्र कर सकते हैं।

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कैसे करते हैं:

• हम जो व्यक्तिगत जानकारी एकत्र करते हैं, वह हमें आपसे संपर्क करने और आपको अद्वितीय प्रस्तावों, प्रचारों और अन्य घटनाओं और आगामी कार्यक्रमों के बारे में सूचित करने की अनुमति देती है।
• समय-समय पर, हम आपको महत्वपूर्ण नोटिस और संचार भेजने के लिए आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कर सकते हैं।
• हम आंतरिक उद्देश्यों के लिए भी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कर सकते हैं, जैसे कि हमारे द्वारा प्रदान की जाने वाली सेवाओं को बेहतर बनाने और आपको हमारी सेवाओं के संबंध में सिफारिशें प्रदान करने के लिए ऑडिट, डेटा विश्लेषण और विभिन्न शोध करना।
• यदि आप किसी पुरस्कार ड्रा, प्रतियोगिता या समान प्रोत्साहन में प्रवेश करते हैं, तो हम आपके द्वारा प्रदान की गई जानकारी का उपयोग ऐसे कार्यक्रमों के संचालन के लिए कर सकते हैं।

तृतीय पक्षों के लिए प्रकटीकरण

हम आपसे प्राप्त जानकारी को तृतीय पक्षों को प्रकट नहीं करते हैं।

अपवाद:

• इस घटना में कि यह आवश्यक है - कानून के अनुसार, न्यायिक आदेश, कानूनी कार्यवाही में, और / या सार्वजनिक अनुरोधों या रूसी संघ के क्षेत्र में राज्य निकायों के अनुरोधों के आधार पर - अपनी व्यक्तिगत जानकारी का खुलासा करें। हम आपके बारे में जानकारी का खुलासा भी कर सकते हैं यदि हम यह निर्धारित करते हैं कि सुरक्षा, कानून प्रवर्तन, या अन्य सार्वजनिक हित उद्देश्यों के लिए ऐसा प्रकटीकरण आवश्यक या उपयुक्त है।
• पुनर्गठन, विलय या बिक्री की स्थिति में, हम एकत्रित की गई व्यक्तिगत जानकारी को प्रासंगिक तृतीय पक्ष उत्तराधिकारी को स्थानांतरित कर सकते हैं।

व्यक्तिगत जानकारी का संरक्षण

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी को नुकसान, चोरी और दुरुपयोग के साथ-साथ अनधिकृत पहुंच, प्रकटीकरण, परिवर्तन और विनाश से बचाने के लिए - प्रशासनिक, तकनीकी और भौतिक सहित - सावधानी बरतते हैं।

कंपनी स्तर पर अपनी गोपनीयता बनाए रखना

यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी व्यक्तिगत जानकारी सुरक्षित है, हम अपने कर्मचारियों को गोपनीयता और सुरक्षा प्रथाओं के बारे में बताते हैं और गोपनीयता प्रथाओं को सख्ती से लागू करते हैं।

गुणनखण्ड करने का क्या अर्थ है? यह कैसे करना है? किसी संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने से क्या सीखा जा सकता है? इन सवालों के जवाब विशिष्ट उदाहरणों के साथ सचित्र हैं।

परिभाषाएँ:

एक अभाज्य संख्या एक संख्या है जिसमें दो अलग-अलग विभाजक होते हैं।

एक समग्र संख्या एक संख्या है जिसमें दो से अधिक विभाजक होते हैं।

किसी प्राकृतिक संख्या के गुणनखण्ड करने का अर्थ है उसे प्राकृतिक संख्याओं के गुणनफल के रूप में प्रदर्शित करना।

किसी प्राकृत संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने का अर्थ है उसे अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में प्रदर्शित करना।

टिप्पणियाँ:

• एक अभाज्य संख्या के विस्तार में, एक कारक एक के बराबर होता है, और दूसरा इस संख्या के बराबर होता है।
• कारकों में एकता के अपघटन के बारे में बात करने का कोई मतलब नहीं है।
• एक समग्र संख्या को कारकों में विघटित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक 1 से भिन्न है।

	आइए संख्या 150 का गुणनखंड करें। उदाहरण के लिए, 150 15 गुना 10 है। 15 एक मिश्रित संख्या है। इसे 5 और 3 के प्रमुख कारकों में विघटित किया जा सकता है। 10 एक मिश्रित संख्या है। इसे 5 और 2 के प्रमुख कारकों में विघटित किया जा सकता है। 15 और 10 के बजाय उनके विस्तार को प्रमुख कारकों में लिखने के बाद, हमें संख्या 150 का अपघटन प्राप्त हुआ।
	150 नंबर को दूसरे तरीके से फैक्टर किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 150 संख्या 5 और 30 का गुणनफल है। 5 एक अभाज्य संख्या है। 30 एक मिश्रित संख्या है। इसे 10 और 3 के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है। 10 एक मिश्रित संख्या है। इसे 5 और 2 के प्रमुख कारकों में विघटित किया जा सकता है। हमने 150 की संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में एक अलग तरीके से अपघटन किया।
	ध्यान दें कि पहला और दूसरा विस्तार समान हैं। वे केवल गुणकों के क्रम में भिन्न होते हैं। कारकों को आरोही क्रम में लिखने की प्रथा है।
कारकों के क्रम तक किसी भी समग्र संख्या को प्रमुख कारकों में एक अनूठे तरीके से विघटित किया जा सकता है।

बड़ी संख्या को प्रमुख कारकों में विघटित करते समय, एक स्तंभ प्रविष्टि का उपयोग किया जाता है:

	सबसे छोटी अभाज्य संख्या जिससे 216 विभाज्य है, 2 है। 216 को 2 से भाग दें। हमें 108 प्राप्त होता है।
	परिणामी संख्या 108 2 से विभाज्य है। चलो विभाजन करते हैं। परिणामस्वरूप हमें 54 मिलते हैं।
	2 से विभाज्यता की कसौटी के अनुसार 54 संख्या 2 से विभाज्य है। भाग देने पर हमें 27 प्राप्त होते हैं।
	संख्या 27 एक विषम संख्या 7 के साथ समाप्त होती है। यह 2 से विभाज्य नहीं। अगली अभाज्य संख्या 3 है। 27 को 3 से विभाजित करें। हमें 9. सबसे छोटा प्राइम मिलता है वह संख्या जो 9 से विभाज्य है, 3 है। तीन स्वयं एक अभाज्य संख्या है, जो स्वयं और एक से विभाज्य है। आइए 3 को आपस में भाग दें। नतीजतन, हमें 1 मिला।

• एक संख्या केवल उन अभाज्य संख्याओं से विभाज्य होती है जो उसके अपघटन का हिस्सा हैं।
• एक संख्या केवल उन समग्र संख्याओं से विभाज्य होती है, जिनमें से प्रमुख कारकों में अपघटन पूरी तरह से निहित होता है।

उदाहरणों पर विचार करें:

	4900 अभाज्य संख्या 2, 5 और 7 से विभाज्य है (वे संख्या 4900 के विस्तार में शामिल हैं), लेकिन विभाज्य नहीं है, उदाहरण के लिए, 13 से।
	11 550 75. ऐसा इसलिए है क्योंकि संख्या 75 का विस्तार पूरी तरह से संख्या 11550 के विस्तार में निहित है। विभाजन का परिणाम कारक 2, 7 और 11 का गुणनफल होगा। 11550 4 से विभाज्य नहीं है क्योंकि 4 के विस्तार में 2 अतिरिक्त है।

संख्या a को संख्या b से विभाजित करने का भागफल ज्ञात करें, यदि ये संख्याएँ इस प्रकार अभाज्य कारकों में विभाजित हैं a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; बी = 2∙2∙3∙3∙5∙19

	संख्या b का अपघटन पूरी तरह से संख्या a के अपघटन में निहित है।
	a को b से विभाजित करने का परिणाम a के विस्तार में शेष तीन संख्याओं का गुणनफल होता है। तो उत्तर है: 30।

ग्रन्थसूची

1. विलेनकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई., चेसनोकोव ए.एस., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. गणित 6. - एम .: मेमनोसिन, 2012।
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. गणित छठी कक्षा। - व्यायामशाला। 2006.
3. डेपमैन आई.वाई.ए., विलेनकिन एन.वाई.ए. गणित की पाठ्यपुस्तक के पन्नों के पीछे। - एम .: ज्ञानोदय, 1989।
4. रुरुकिन ए.एन., शाइकोवस्की आई.वी. गणित ग्रेड 5-6 के पाठ्यक्रम के लिए कार्य। - एम.: जेडएसएच एमईपीएचआई, 2011।
5. रुरुकिन ए.एन., सोचिलोव एस.वी., शाइकोवस्की के.जी. गणित 5-6। MEPhI पत्राचार स्कूल की छठी कक्षा के छात्रों के लिए एक मैनुअल। - एम.: जेडएसएच एमईपीएचआई, 2011।
6. शेवरिन एल.एन., जिन ए.जी., कोरयाकोव आई.ओ., वोल्कोव एम.वी. गणित: हाई स्कूल के 5-6 ग्रेड के लिए पाठ्यपुस्तक-वार्ताकार। - एम।: शिक्षा, गणित शिक्षक पुस्तकालय, 1989।

1. इंटरनेट पोर्टल Matematika-na.ru ()।
2. इंटरनेट पोर्टल Math-portal.ru ()।

गृहकार्य

1. विलेनकिन एन.वाई.ए., झोखोव वी.आई., चेसनोकोव ए.एस., श्वार्ट्सबर्ड एस.आई. गणित 6. - एम .: मेनमोजिना, 2012. नंबर 127, नंबर 129, नंबर 141।
2. अन्य कार्य: संख्या 133, संख्या 144।

यह आलेख किसी संख्या को शीट में विभाजित करने के बारे में प्रश्न का उत्तर देता है। उदाहरण के साथ अपघटन के एक सामान्य विचार पर विचार करें। आइए हम अपघटन के विहित रूप और उसके एल्गोरिथ्म का विश्लेषण करें। विभाज्यता के चिह्नों और गुणन तालिका का उपयोग करके सभी वैकल्पिक विधियों पर विचार किया जाएगा।

Yandex.RTB R-A-339285-1

किसी संख्या को प्रमुख कारकों में विभाजित करने का क्या अर्थ है?

आइए प्रमुख कारकों की अवधारणा पर एक नज़र डालें। यह ज्ञात है कि प्रत्येक अभाज्य गुणनखण्ड एक अभाज्य संख्या होती है। 2 7 7 23 के रूप के गुणनफल में हमारे पास 2 , 7 , 7 , 23 के रूप में 4 अभाज्य गुणनखंड हैं।

फैक्टरिंग में प्राइम्स के उत्पादों के रूप में इसका प्रतिनिधित्व शामिल है। यदि आपको संख्या 30 को विघटित करने की आवश्यकता है, तो हमें 2, 3, 5 मिलते हैं। प्रविष्टि 30 = 2 3 5 रूप लेगी। यह संभव है कि गुणकों को दोहराया जा सकता है। 144 जैसी संख्या में 144 = 2 2 2 2 3 3 है।

सभी संख्याएँ अपघटन के लिए प्रवृत्त नहीं होती हैं। संख्याएँ जो 1 से अधिक हैं और पूर्णांक हैं, को कारक बनाया जा सकता है। विघटित होने पर अभाज्य संख्याएँ केवल 1 और स्वयं से विभाज्य होती हैं, इसलिए इन संख्याओं को उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करना असंभव है।

जब z पूर्णांकों को संदर्भित करता है, तो इसे a और b के उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ z को a और b से विभाजित किया जाता है। अंकगणित के मूल प्रमेय का उपयोग करके समग्र संख्याएं प्रमुख कारकों में विघटित हो जाती हैं। यदि संख्या 1 से अधिक है, तो इसका गुणनखण्ड p 1 , p 2 , … , p n रूप लेता है a = p 1 , p 2 , … , p n . अपघटन को एक ही रूप में माना जाता है।

प्रमुख कारकों में एक संख्या का विहित अपघटन

अपघटन के दौरान कारकों को दोहराया जा सकता है। वे एक डिग्री का उपयोग करके संक्षिप्त रूप से लिखे गए हैं। यदि, संख्या a को विघटित करते समय, हमारे पास एक कारक p 1 होता है, जो s 1 बार और इसी तरह p n - s n बार होता है। इस प्रकार, अपघटन रूप लेता है a=p 1 s 1 a = p 1 s 1 p 2 s 2 … p n s n. इस प्रविष्टि को अभाज्य गुणनखंडों में किसी संख्या का विहित अपघटन कहा जाता है।

संख्या 609840 को विघटित करते समय, हम पाते हैं कि 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, इसका विहित रूप 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2 होगा। विहित विस्तार का उपयोग करके, आप किसी संख्या के सभी विभाजक और उनकी संख्या ज्ञात कर सकते हैं।

सही तरीके से फ़ैक्टराइज़ करने के लिए, आपको अभाज्य और भाज्य संख्याओं की समझ होनी चाहिए। बिंदु यह है कि p 1 , p 2 , … , p n के रूप में निरंतर संख्या में विभाजक प्राप्त करें नंबर ए, ए 1, ए 2, …, एन - 1, यह प्राप्त करना संभव बनाता है ए = पी 1 ए 1, जहाँ a 1 \u003d a: p 1, a \u003d p 1 a 1 \u003d p 1 p 2 a 2, जहाँ a 2 \u003d a 1: p 2, ..., a \u003d p 1 p 2 । .. ... पी एन ए एन , जहां एक एन = एक एन - 1: पी एन. प्राप्त होने पर एन = 1, फिर समानता ए = पी 1 पी 2 … पी एनहम संख्या के आवश्यक अपघटन को प्रमुख कारकों में प्राप्त करते हैं। नोटिस जो पी 1 ≤ पी 2 ≤ पी 3 ≤ … ≤ पी एन.

कम से कम सामान्य विभाजक खोजने के लिए, आपको अभाज्य संख्या तालिका का उपयोग करने की आवश्यकता है। यह संख्या z के सबसे छोटे अभाज्य भाजक को खोजने के उदाहरण का उपयोग करके किया जाता है। अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 11 और इसी तरह लेते समय, और हम संख्या z को उनके द्वारा विभाजित करते हैं। चूँकि z एक अभाज्य संख्या नहीं है, इसलिए ध्यान रखें कि सबसे छोटा अभाज्य भाजक z से बड़ा नहीं होगा। यह देखा जा सकता है कि z का कोई भाजक नहीं है, तो यह स्पष्ट है कि z एक अभाज्य संख्या है।

उदाहरण 1

संख्या 87 के उदाहरण पर विचार करें। जब इसे 2 से विभाजित किया जाता है, तो हमारे पास 87: 2 \u003d 43 शेष 1 के साथ होता है। यह इस प्रकार है कि 2 भाजक नहीं हो सकता, विभाजन पूरी तरह से किया जाना चाहिए। 3 से भाग देने पर हमें 87:3 = 29 प्राप्त होता है। अतः निष्कर्ष - 3 संख्या 87 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक है।

प्रमुख कारकों में विघटित होने पर, अभाज्य संख्याओं की एक तालिका का उपयोग करना आवश्यक है, जहाँ a। 95 को विघटित करते समय, लगभग 10 प्राइम का उपयोग किया जाना चाहिए, और 846653 को विघटित करते समय, लगभग 1000।

प्रधान गुणनखंड एल्गोरिथम पर विचार करें:

• किसी संख्या के विभाजक p 1 के साथ सबसे छोटा कारक ज्ञात करना एकसूत्र द्वारा a 1 \u003d a: p 1, जब a 1 \u003d 1, तब a एक अभाज्य संख्या है और इसे गुणनखंड में शामिल किया जाता है, जब 1 के बराबर नहीं होता है, तब a \u003d p 1 a 1 और नीचे के बिंदु का पालन करें;
• a 1 का अभाज्य भाजक p 2 ज्ञात करना a 2 = a 1: p 2 का उपयोग करके अभाज्य संख्याओं की क्रमिक गणना द्वारा , जब एक 2 = 1 , तब विस्तार a = p 1 p 2 का रूप ले लेता है , जब 2 \u003d 1, तब a \u003d p 1 p 2 a 2 , और हम अगले चरण में परिवर्तन करते हैं;
• अभाज्य संख्याओं पर पुनरावृति करना और अभाज्य भाजक खोजना पी 3नंबर एक 2सूत्र के अनुसार a 3 \u003d a 2: p 3 जब a 3 \u003d 1 , तो हमें वह a = p 1 p 2 p 3 मिलता है , जब 1 के बराबर नहीं है तो a = p 1 p 2 p 3 a 3 और अगले चरण पर आगे बढ़ें;
• एक प्रमुख विभाजक खोजें पी एननंबर एक एन -1के साथ अभाज्य संख्याओं की गणना द्वारा पी एन - 1, साथ ही एक एन = एक एन - 1: पी एन, जहाँ a n = 1, चरण अंतिम है, परिणामस्वरूप हम पाते हैं कि a = p 1 p 2 … p n .

एल्गोरिथ्म का परिणाम तालिका के रूप में विघटित कारकों के साथ एक स्तंभ में क्रमिक रूप से एक ऊर्ध्वाधर पट्टी के साथ लिखा जाता है। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

परिणामी एल्गोरिथ्म को संख्याओं को प्रमुख कारकों में विघटित करके लागू किया जा सकता है।

प्रमुख कारकों में फैक्टरिंग करते समय, मूल एल्गोरिदम का पालन किया जाना चाहिए।

उदाहरण 2

संख्या 78 को प्रमुख कारकों में विघटित करें।

समाधान

सबसे छोटा अभाज्य भाजक ज्ञात करने के लिए, 78 में सभी अभाज्य संख्याओं की गणना करना आवश्यक है। यानी 78:2 = 39। शेषफल के बिना विभाजन, इसलिए यह पहला अभाज्य भाजक है, जिसे हम p 1 के रूप में निरूपित करते हैं। हम पाते हैं कि a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39। हमें a = p 1 a 1 के रूप की समानता प्राप्त हुई , जहां 78 = 2 39। तब a 1 = 39 , अर्थात, आपको अगले चरण पर जाना चाहिए।

आइए एक प्रधान विभाजक खोजने पर ध्यान दें p2नंबर एक 1 = 39. आपको अभाज्य संख्याओं को छाँटना चाहिए, अर्थात 39: 2 = 19 (शेष 1)। चूंकि विभाजन में शेषफल है, 2 भाजक नहीं है। संख्या 3 का चयन करने पर हमें वह 39:3 = 13 प्राप्त होता है। इसका अर्थ है कि p 2 = 3, 39 बटा a 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13 का सबसे छोटा प्रधान भाजक है। हम फॉर्म की समानता प्राप्त करते हैं ए = पी 1 पी 2 ए 2रूप में 78 = 2 3 13 । हमारे पास यह है कि a 2 = 13, 1 के बराबर नहीं है, तो हमें आगे बढ़ना चाहिए।

संख्या a 2 = 13 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक 3 से शुरू होने वाली संख्याओं की गणना द्वारा पाया जाता है। हमें वह 13:3 = 4 (बाकी 1) मिलता है। इससे पता चलता है कि 13, 5, 7, 11 से विभाज्य नहीं है, क्योंकि 13: 5 = 2 (शेष 3), 13: 7 = 1 (शेष 6) और 13: 11 = 1 (शेष 2)। यह देखा जा सकता है कि 13 एक अभाज्य संख्या है। सूत्र इस तरह दिखता है: a 3 \u003d a 2: p 3 \u003d 13: 13 \u003d 1। हमें वह a 3 = 1 मिला, जिसका अर्थ एल्गोरिथम का अंत है। अब गुणनखंडों को 78 = 2 3 13 (a = p 1 p 2 p 3) के रूप में लिखा जाता है।

उत्तर: 78 = 2 3 13 .

उदाहरण 3

संख्या 83,006 को प्रमुख कारकों में विघटित करें।

समाधान

पहले चरण में फैक्टरिंग शामिल है पी 1 = 2तथा ए 1 \u003d ए: पी 1 \u003d 83 006: 2 \u003d 41 503, जहां 83 006 = 2 41 503।

दूसरा चरण मानता है कि a 1 = 41503 के लिए 2 , 3 और 5 अभाज्य भाजक नहीं हैं लेकिन 7 एक अभाज्य भाजक है क्योंकि 41503: 7 = 5929। हमें वह पी 2 \u003d 7, ए 2 \u003d ए 1: पी 2 \u003d 41 503: 7 \u003d 5 929 मिलता है। जाहिर है, 83 006 = 2 7 5 929।

संख्या a 3 = 847 का सबसे छोटा अभाज्य भाजक p 4 ज्ञात करना 7 है। यह देखा जा सकता है कि एक 4 \u003d एक 3: पी 4 \u003d 847: 7 \u003d 121, इसलिए 83 006 \u003d 2 7 7 7 121।

संख्या a 4 = 121 का प्रधान भाजक ज्ञात करने के लिए, हम संख्या 11 का उपयोग करते हैं, अर्थात, p 5 = 11। तब हमें रूप की अभिव्यक्ति मिलती है ए 5 \u003d ए 4: पी 5 \u003d 121: 11 \u003d 11, और 83 006 = 2 7 7 7 11 11।

संख्या के लिए एक 5 = 11संख्या पी 6 = 11सबसे छोटा प्रधान भाजक है। इसलिए a 6 \u003d a 5: p 6 \u003d 11: 11 \u003d 1। फिर एक 6 = 1। यह एल्गोरिथम के अंत को इंगित करता है। गुणक को 83006 = 2 7 7 7 11 11 लिखा जाएगा।

उत्तर का विहित अंकन 83 006 = 2 7 3 11 2 का रूप लेगा।

उत्तर: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2 ।

उदाहरण 4

संख्या 897 924 289 का गुणनखंडन करें।

समाधान

पहला प्रमुख कारक खोजने के लिए, 2 से शुरू होने वाली अभाज्य संख्याओं के माध्यम से पुनरावृति करें। गणना का अंत 937 नंबर पर आता है। फिर पी 1 = 937, ए 1 = ए: पी 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 और 897 924 289 = 937 958 297।

एल्गोरिथम का दूसरा चरण छोटे अभाज्य संख्याओं की गणना करना है। यानी हम 937 नंबर से शुरू करते हैं। संख्या 967 को अभाज्य माना जा सकता है, क्योंकि यह संख्या a 1 = 958 297 का अभाज्य भाजक है। यहाँ से हमें वह p 2 \u003d 967, फिर a 2 \u003d a 1: p 1 \u003d 958 297: 967 \u003d 991 और 897 924 289 \u003d 937 967 991 मिलता है।

तीसरा चरण कहता है कि 991 एक अभाज्य संख्या है, क्योंकि इसमें कोई अभाज्य भाजक नहीं है जो 991 से कम या उसके बराबर हो। कट्टरपंथी अभिव्यक्ति का अनुमानित मूल्य 991 है< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . इससे यह देखा जा सकता है कि पी 3 \u003d 991 और ए 3 \u003d ए 2: पी 3 \u003d 991: 991 \u003d 1। हम पाते हैं कि प्रमुख कारकों में संख्या 897 924 289 का अपघटन 897 924 289 \u003d 937 967 991 के रूप में प्राप्त होता है।

उत्तर: 897 924 289 = 937 967 991 .

प्राइम फैक्टराइजेशन के लिए विभाज्यता टेस्ट का उपयोग करना

किसी संख्या को प्रमुख कारकों में विघटित करने के लिए, आपको एल्गोरिथम का पालन करना होगा। जब छोटी संख्याएँ होती हैं, तो उसे गुणन तालिका और विभाज्यता चिह्नों का उपयोग करने की अनुमति होती है। आइए इसे उदाहरणों के साथ देखें।

उदाहरण 5

यदि 10 का गुणनखंड करना आवश्यक है, तो तालिका दिखाती है: 2 5 \u003d 10। परिणामी संख्याएँ 2 और 5 अभाज्य हैं, इसलिए वे संख्या 10 के लिए अभाज्य गुणनखण्ड हैं।

उदाहरण 6

यदि संख्या 48 को विघटित करना आवश्यक है, तो तालिका दिखाती है: 48 \u003d 6 8। लेकिन 6 और 8 प्रमुख कारक नहीं हैं, क्योंकि उन्हें 6 = 2 3 और 8 = 2 4 के रूप में भी विघटित किया जा सकता है। फिर यहाँ से पूर्ण अपघटन 48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 · 4 के रूप में प्राप्त होता है। विहित संकेतन 48 = 2 4 3 का रूप लेगा।

उदाहरण 7

संख्या 3400 को विघटित करते समय, आप विभाज्यता के संकेतों का उपयोग कर सकते हैं। इस मामले में, 10 और 100 से विभाज्यता के संकेत प्रासंगिक हैं। यहाँ से हमें वह 3400 \u003d 34 100 मिलता है, जहाँ 100 को 10 से विभाजित किया जा सकता है, अर्थात 100 \u003d 10 10 के रूप में लिखा जाता है, जिसका अर्थ है कि 3400 \u003d 34 10 10। विभाज्यता के चिह्न के आधार पर, हम पाते हैं कि 3400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5 । सभी कारक सरल हैं। विहित विस्तार रूप लेता है 3400 = 2 3 5 2 17.

जब हम प्रमुख कारक पाते हैं, तो विभाज्यता के संकेतों और गुणन तालिका का उपयोग करना आवश्यक होता है। यदि आप कारकों के उत्पाद के रूप में संख्या 75 का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो आपको 5 से विभाज्यता के नियम को ध्यान में रखना चाहिए। हम पाते हैं कि 75 = 5 15 , और 15 = 3 5 । अर्थात्, वांछित अपघटन उत्पाद 75 = 5 · 3 · 5 के रूप का एक उदाहरण है।

यदि आप टेक्स्ट में कोई गलती देखते हैं, तो कृपया इसे हाइलाइट करें और Ctrl+Enter दबाएं

किसी भी समग्र संख्या को प्रमुख कारकों में विघटित किया जा सकता है। अपघटन के कई तरीके हैं। कोई भी विधि समान परिणाम उत्पन्न करती है।

किसी संख्या को प्रमुख कारकों में कैसे विभाजित करें सुविधाजनक तरीका? आइए विशिष्ट उदाहरणों का उपयोग करके इसे बेहतर तरीके से कैसे करें, इस पर विचार करें।

उदाहरण। 1) संख्या 1400 को प्रमुख कारकों में विघटित करें।

1400 2 से विभाज्य है। 2 एक अभाज्य संख्या है, इसका गुणनखण्ड करने की आवश्यकता नहीं है। हमें 700 मिलते हैं। हम इसे 2 से विभाजित करते हैं। हमें 350 मिलते हैं। हम 350 को भी 2 से विभाजित करते हैं। परिणामी संख्या 175 को 5 से विभाजित किया जा सकता है। परिणाम z5 है - हम फिर से 5 से विभाजित करते हैं। कुल - 7। यह केवल हो सकता है 7 से विभाजित। हमें 1 मिला, विभाजित करना समाप्त हो गया।

एक ही संख्या को प्रमुख कारकों में अलग-अलग तरीके से विघटित किया जा सकता है:

1400 को आसानी से 10 से विभाजित किया जाता है। 10 एक अभाज्य संख्या नहीं है, इसलिए इसे अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित किया जाना चाहिए: 10=2∙5। परिणाम 140 है। हम इसे फिर से 10=2∙5 से विभाजित करते हैं। हमें 14 मिलता है। यदि 14 को 14 से विभाजित किया जाता है, तो इसे प्रमुख कारकों के उत्पाद में भी विघटित किया जाना चाहिए: 14=2∙7।

इस प्रकार, हम फिर से पहले मामले की तरह ही अपघटन पर आ गए, लेकिन तेजी से।

निष्कर्ष: किसी संख्या को विघटित करते समय, यह आवश्यक नहीं है कि इसे केवल अभाज्य विभाजकों द्वारा विभाजित किया जाए। हम अधिक सुविधाजनक से विभाजित करते हैं, उदाहरण के लिए, 10 से। हमें केवल समग्र विभाजकों को सरल कारकों में विघटित करने के लिए याद रखने की आवश्यकता है।

2) संख्या 1620 को प्रमुख कारकों में विघटित करें।

संख्या 1620 को सबसे आसानी से 10 से विभाजित किया जाता है। चूंकि 10 एक अभाज्य संख्या नहीं है, इसलिए हम इसे अभाज्य कारकों के गुणनफल के रूप में प्रस्तुत करते हैं: 10=2∙5। हमें 162 मिला। इसे 2 से विभाजित करना सुविधाजनक है। परिणाम 81 है। संख्या 81 को 3 से विभाजित किया जा सकता है, लेकिन 9 अधिक सुविधाजनक है। चूँकि 9 एक अभाज्य संख्या नहीं है, हम इसे 9=3∙3 के रूप में विघटित करते हैं। हमें 9 मिला। हम इसे 9 से विभाजित भी करते हैं और इसे प्रमुख कारकों के उत्पाद में विघटित करते हैं।