eigenvectors और eigenvalues ​​क्या हैं? eigenvalues ​​​​(संख्याएं) और eigenvectors। समाधान के उदाहरण

किसी वेबसाइट पर गणितीय सूत्र कैसे डालें?

यदि आपको कभी किसी वेब पेज पर एक या दो गणितीय सूत्र जोड़ने की आवश्यकता होती है, तो ऐसा करने का सबसे आसान तरीका लेख में बताया गया है: गणितीय सूत्र आसानी से चित्रों के रूप में साइट पर डाले जाते हैं जो वोल्फ्राम अल्फा द्वारा स्वचालित रूप से उत्पन्न होते हैं . सादगी के अलावा, यह सार्वभौमिक विधि खोज इंजन में साइट की दृश्यता को बेहतर बनाने में मदद करेगी। यह लंबे समय से काम कर रहा है (और, मुझे लगता है, हमेशा काम करेगा), लेकिन नैतिक रूप से यह पहले से ही पुराना हो चुका है।

यदि आप नियमित रूप से अपनी साइट पर गणितीय सूत्रों का उपयोग करते हैं, तो मैं आपको MathJax का उपयोग करने की सलाह देता हूं - एक विशेष जावास्क्रिप्ट लाइब्रेरी जो MathML, LaTeX या ASCIIMathML मार्कअप का उपयोग करके वेब ब्राउज़र में गणितीय नोटेशन प्रदर्शित करती है।

MathJax का उपयोग शुरू करने के दो तरीके हैं: (1) एक सरल कोड का उपयोग करके, आप जल्दी से एक MathJax स्क्रिप्ट को अपनी वेबसाइट से कनेक्ट कर सकते हैं, जो सही समय पर एक दूरस्थ सर्वर से स्वचालित रूप से लोड हो जाएगी (सर्वर की सूची); (2) मैथजैक्स स्क्रिप्ट को रिमोट सर्वर से अपने सर्वर पर डाउनलोड करें और इसे अपनी साइट के सभी पेजों से कनेक्ट करें। दूसरी विधि - अधिक जटिल और समय लेने वाली - आपकी साइट के पृष्ठों की लोडिंग को तेज कर देगी, और यदि मूल MathJax सर्वर किसी कारण से अस्थायी रूप से अनुपलब्ध हो जाता है, तो यह किसी भी तरह से आपकी अपनी साइट को प्रभावित नहीं करेगा। इन फायदों के बावजूद, मैंने पहला तरीका चुना क्योंकि यह सरल, तेज़ है और इसमें तकनीकी कौशल की आवश्यकता नहीं है। मेरे उदाहरण का अनुसरण करें, और केवल 5 मिनट में आप अपनी साइट पर MathJax की सभी सुविधाओं का उपयोग करने में सक्षम होंगे।

आप मुख्य MathJax वेबसाइट या दस्तावेज़ीकरण पृष्ठ से लिए गए दो कोड विकल्पों का उपयोग करके MathJax लाइब्रेरी स्क्रिप्ट को दूरस्थ सर्वर से कनेक्ट कर सकते हैं:

इन कोड विकल्पों में से एक को कॉपी करके आपके वेब पेज के कोड में पेस्ट करना होगा, अधिमानतः टैग के बीच और टैग के तुरंत बाद। पहले विकल्प के अनुसार, MathJax तेजी से लोड होता है और पेज को कम धीमा करता है। लेकिन दूसरा विकल्प स्वचालित रूप से MathJax के नवीनतम संस्करणों की निगरानी और लोड करता है। यदि आप पहला कोड डालते हैं, तो इसे समय-समय पर अद्यतन करने की आवश्यकता होगी। यदि आप दूसरा कोड डालते हैं, तो पेज अधिक धीरे-धीरे लोड होंगे, लेकिन आपको MathJax अपडेट की लगातार निगरानी करने की आवश्यकता नहीं होगी।

MathJax को कनेक्ट करने का सबसे आसान तरीका ब्लॉगर या वर्डप्रेस में है: साइट कंट्रोल पैनल में, तृतीय-पक्ष जावास्क्रिप्ट कोड डालने के लिए डिज़ाइन किया गया एक विजेट जोड़ें, ऊपर प्रस्तुत डाउनलोड कोड के पहले या दूसरे संस्करण को कॉपी करें, और विजेट को करीब रखें टेम्पलेट की शुरुआत में (वैसे, यह बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है, क्योंकि MathJax स्क्रिप्ट अतुल्यकालिक रूप से लोड की गई है)। बस इतना ही। अब MathML, LaTeX और ASCIIMathML का मार्कअप सिंटैक्स सीखें, और आप अपनी साइट के वेब पेजों में गणितीय सूत्र सम्मिलित करने के लिए तैयार हैं।

किसी भी फ्रैक्टल का निर्माण एक निश्चित नियम के अनुसार किया जाता है, जिसे लगातार असीमित संख्या में लागू किया जाता है। ऐसे प्रत्येक समय को पुनरावृत्ति कहा जाता है।

मेन्जर स्पंज के निर्माण के लिए पुनरावृत्त एल्गोरिथ्म काफी सरल है: 1 भुजा वाले मूल घन को उसके फलकों के समानांतर समतलों द्वारा 27 बराबर घनों में विभाजित किया जाता है। इसमें से एक केंद्रीय घन और उसके फलकों से लगे हुए 6 घन हटा दिए जाते हैं। परिणाम एक सेट है जिसमें शेष 20 छोटे घन शामिल हैं। इनमें से प्रत्येक घन के साथ ऐसा करने पर, हमें 400 छोटे घनों का एक सेट मिलता है। इस प्रक्रिया को अनवरत जारी रखने पर हमें मेन्जर स्पंज प्राप्त होता है।

सजातीय रैखिक समीकरणों की प्रणाली

सजातीय रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली रूप की एक प्रणाली है

इस मामले में यह स्पष्ट है , क्योंकि इन निर्धारकों में से किसी एक स्तंभ के सभी तत्व शून्य के बराबर हैं।

चूँकि अज्ञात सूत्रों के अनुसार ज्ञात किये जाते हैं , तो उस स्थिति में जब Δ ≠ 0, सिस्टम में एक अद्वितीय शून्य समाधान होता है एक्स = य = जेड= 0. हालाँकि, कई समस्याओं में दिलचस्प सवाल यह है कि क्या एक सजातीय प्रणाली में शून्य के अलावा अन्य समाधान हैं।

प्रमेय. रैखिक सजातीय समीकरणों की एक प्रणाली के लिए एक गैर-शून्य समाधान होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि Δ ≠ 0।

इसलिए, यदि निर्धारक Δ ≠ 0 है, तो सिस्टम के पास एक अद्वितीय समाधान है। यदि Δ ≠ 0, तो रैखिक सजातीय समीकरणों की प्रणाली में अनंत संख्या में समाधान होते हैं।

उदाहरण।

मैट्रिक्स के आइजनवेक्टर और आइगेनवैल्यू

मान लीजिए कि एक वर्गाकार मैट्रिक्स दिया गया है , एक्स- कुछ मैट्रिक्स-कॉलम, जिसकी ऊंचाई मैट्रिक्स के क्रम से मेल खाती है ए. .

कई समस्याओं में हमें समीकरण पर विचार करना पड़ता है एक्स

जहाँ λ एक निश्चित संख्या है। यह स्पष्ट है कि किसी भी λ के लिए इस समीकरण का शून्य समाधान है।

वह संख्या λ जिसके लिए इस समीकरण का गैर-शून्य समाधान होता है, कहलाती है eigenvalueमैट्रिक्स ए, ए एक्सऐसे के लिए λ कहा जाता है आइजन्वेक्टरमैट्रिक्स ए.

आइए मैट्रिक्स का eigenvector खोजें ए. क्योंकि इ∙एक्स = एक्स, तो मैट्रिक्स समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है या . विस्तारित रूप में, इस समीकरण को रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। वास्तव में .

और इसलिए

इसलिए, हमने निर्देशांक निर्धारित करने के लिए सजातीय रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की है एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3वेक्टर एक्स. किसी सिस्टम में गैर-शून्य समाधान होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि सिस्टम का निर्धारक शून्य के बराबर हो, यानी।

यह λ के लिए तीसरी डिग्री का समीकरण है। यह कहा जाता है विशेषता समीकरणमैट्रिक्स एऔर λ के eigenvalues ​​​​को निर्धारित करने का कार्य करता है।

प्रत्येक eigenvalue λ एक eigenvector से मेल खाता है एक्स, जिनके निर्देशांक λ के संगत मान पर सिस्टम से निर्धारित होते हैं।

उदाहरण।

वेक्टर बीजगणित. वेक्टर की अवधारणा

भौतिकी की विभिन्न शाखाओं का अध्ययन करते समय, ऐसी मात्राएँ होती हैं जो पूरी तरह से उनके संख्यात्मक मानों को निर्दिष्ट करके निर्धारित की जाती हैं, उदाहरण के लिए, लंबाई, क्षेत्र, द्रव्यमान, तापमान, आदि। ऐसी मात्राएँ अदिश कहलाती हैं। हालाँकि, उनके अलावा, ऐसी मात्राएँ भी हैं, जिन्हें निर्धारित करने के लिए, संख्यात्मक मान के अलावा, अंतरिक्ष में उनकी दिशा जानना भी आवश्यक है, उदाहरण के लिए, शरीर पर लगने वाला बल, गति और त्वरण। जब कोई पिंड अंतरिक्ष में घूमता है, तो अंतरिक्ष में किसी दिए गए बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र की ताकत आदि। ऐसी मात्राएँ सदिश राशियाँ कहलाती हैं।

आइए एक सख्त परिभाषा पेश करें।

निर्देशित खंडआइए एक खंड कहते हैं, जिसके सिरों के सापेक्ष यह ज्ञात होता है कि उनमें से कौन सा पहला है और कौन सा दूसरा है।

वेक्टरएक निश्चित लंबाई वाला निर्देशित खंड कहा जाता है, अर्थात। यह एक निश्चित लंबाई का एक खंड है, जिसमें इसे सीमित करने वाले बिंदुओं में से एक को शुरुआत के रूप में लिया जाता है, और दूसरे को अंत के रूप में लिया जाता है। अगर ए– वेक्टर की शुरुआत, बीइसका अंत है, तो वेक्टर को प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है; इसके अलावा, वेक्टर को अक्सर एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है। चित्र में, वेक्टर को एक खंड द्वारा और इसकी दिशा को एक तीर द्वारा दर्शाया गया है।

मापांकया लंबाईएक वेक्टर को निर्देशित खंड की लंबाई कहा जाता है जो इसे परिभाषित करता है। || द्वारा निरूपित या ||

हम तथाकथित शून्य वेक्टर को भी वेक्टर के रूप में शामिल करेंगे, जिसका आरंभ और अंत मेल खाता है। यह नामित है. शून्य वेक्टर की कोई विशिष्ट दिशा नहीं होती है और इसका मापांक शून्य ||=0 होता है।

वेक्टर कहलाते हैं समरेख, यदि वे एक ही रेखा पर या समानांतर रेखाओं पर स्थित हों। इसके अलावा, यदि सदिश और एक ही दिशा में हैं, तो हम विपरीत लिखेंगे।

एक ही तल के समांतर सीधी रेखाओं पर स्थित सदिश कहलाते हैं समतलीय.

दो वेक्टर कहलाते हैं बराबर, यदि वे संरेख हैं, उनकी दिशा समान है और लंबाई समान है। इस मामले में वे लिखते हैं.

सदिशों की समानता की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि एक सदिश को अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर अपनी उत्पत्ति रखते हुए, स्वयं के समानांतर ले जाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए ।

वेक्टरों पर रैखिक संचालन

किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करना.

एक सदिश और संख्या λ का गुणनफल एक नया सदिश है जैसे:

एक सदिश और एक संख्या λ के गुणनफल को द्वारा दर्शाया जाता है।

उदाहरण के लिए, एक वेक्टर है जो वेक्टर के समान दिशा में निर्देशित है और इसकी लंबाई वेक्टर से आधी है।

प्रस्तुत ऑपरेशन में निम्नलिखित गुण हैं:

वेक्टर जोड़.

मान लीजिए और दो मनमाना सदिश हैं। आइए एक मनमाना बिंदु लें हेऔर एक वेक्टर का निर्माण करें। उसके बाद बिंदु से एआइए वेक्टर को एक तरफ रख दें। पहले वेक्टर की शुरुआत को दूसरे वेक्टर के अंत से जोड़ने वाले वेक्टर को कहा जाता है मात्राइन सदिशों का और निरूपित किया जाता है .

सदिश योग की सूत्रबद्ध परिभाषा कहलाती है समांतर चतुर्भुज नियम, चूँकि सदिशों का समान योग निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। बात को यहीं से टालते हैं हेवेक्टर और . आइए इन सदिशों पर एक समांतर चतुर्भुज बनाएं OABC. चूँकि सदिश, तो सदिश, जो शीर्ष से खींचे गए समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण है हे, स्पष्टतः सदिशों का योग होगा।

वेक्टर जोड़ के निम्नलिखित गुणों की जांच करना आसान है।

वेक्टर अंतर.

किसी दिए गए वेक्टर के संरेख, लंबाई में बराबर और विपरीत दिशा में निर्देशित वेक्टर को कहा जाता है विलोमएक सदिश के लिए सदिश और द्वारा निरूपित किया जाता है। विपरीत वेक्टर को वेक्टर को संख्या λ = -1: से गुणा करने के परिणाम के रूप में माना जा सकता है।

एक वर्ग मैट्रिक्स का एक आइजनवेक्टर वह होता है, जिसे किसी दिए गए मैट्रिक्स से गुणा करने पर एक संरेख वेक्टर प्राप्त होता है। सरल शब्दों में, जब एक मैट्रिक्स को एक आइजनवेक्टर से गुणा किया जाता है, तो बाद वाला वही रहता है, लेकिन एक निश्चित संख्या से गुणा किया जाता है।

परिभाषा

एक आइजनवेक्टर एक गैर-शून्य वेक्टर V है, जिसे वर्ग मैट्रिक्स M से गुणा करने पर, कुछ संख्या λ बढ़ जाती है। बीजगणितीय संकेतन में यह इस प्रकार दिखता है:

एम × वी = λ × वी,

जहां λ मैट्रिक्स एम का eigenvalue है।

आइए एक संख्यात्मक उदाहरण देखें. रिकॉर्डिंग में आसानी के लिए, मैट्रिक्स में संख्याओं को अर्धविराम से अलग किया जाएगा। आइए हमारे पास एक मैट्रिक्स है:

• एम = 0; 4;
• 6; 10.

आइए इसे कॉलम वेक्टर से गुणा करें:

• वी = -2;

जब हम किसी मैट्रिक्स को कॉलम वेक्टर से गुणा करते हैं, तो हमें एक कॉलम वेक्टर भी मिलता है। सख्त गणितीय भाषा में, 2 × 2 मैट्रिक्स को कॉलम वेक्टर से गुणा करने का सूत्र इस तरह दिखेगा:

• एम × वी = एम11 × वी11 + एम12 × वी21;
• एम21 × वी11 + एम22 × वी21.

M11 का अर्थ है मैट्रिक्स M का तत्व जो पहली पंक्ति और पहले कॉलम में स्थित है, और M22 का अर्थ है दूसरी पंक्ति और दूसरे कॉलम में स्थित तत्व। हमारे मैट्रिक्स के लिए, ये तत्व M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10 के बराबर हैं। एक कॉलम वेक्टर के लिए, ये मान V11 = -2, V21 = 1 के बराबर हैं। इस सूत्र के अनुसार, हमें एक वेक्टर द्वारा वर्ग मैट्रिक्स के उत्पाद का निम्नलिखित परिणाम मिलता है:

• एम × वी = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

सुविधा के लिए, आइए कॉलम वेक्टर को एक पंक्ति में लिखें। इसलिए, हमने वर्ग मैट्रिक्स को वेक्टर (-2; 1) से गुणा किया, जिसके परिणामस्वरूप वेक्टर (4; -2) प्राप्त हुआ। जाहिर है, यह वही वेक्टर है जिसे λ = -2 से गुणा किया गया है। इस मामले में लैम्ब्डा मैट्रिक्स के eigenvalue को दर्शाता है।

मैट्रिक्स का एक आइजनवेक्टर एक कोलिनियर वेक्टर होता है, यानी एक ऐसी वस्तु जो मैट्रिक्स से गुणा करने पर अंतरिक्ष में अपनी स्थिति नहीं बदलती है। वेक्टर बीजगणित में संरेखता की अवधारणा ज्यामिति में समानता शब्द के समान है। एक ज्यामितीय व्याख्या में, संरेख सदिश विभिन्न लंबाई के समानांतर निर्देशित खंड होते हैं। यूक्लिड के समय से, हम जानते हैं कि एक रेखा के समानांतर अनंत संख्या में रेखाएँ होती हैं, इसलिए यह मान लेना तर्कसंगत है कि प्रत्येक मैट्रिक्स में अनंत संख्या में आइजनवेक्टर होते हैं।

पिछले उदाहरण से यह स्पष्ट है कि eigenvectors (-8; 4), और (16; -8), और (32, -16) हो सकते हैं। ये सभी eigenvalue λ = -2 के अनुरूप संरेख सदिश हैं। इन वैक्टरों द्वारा मूल मैट्रिक्स को गुणा करने पर, हम अभी भी एक वेक्टर के साथ समाप्त होंगे जो मूल से 2 गुना भिन्न है। इसीलिए, आइजनवेक्टर खोजने की समस्याओं को हल करते समय, केवल रैखिक रूप से स्वतंत्र वेक्टर वस्तुओं को ढूंढना आवश्यक है। अक्सर, n × n मैट्रिक्स के लिए, n संख्या में eigenvectors होते हैं। हमारा कैलकुलेटर दूसरे क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के विश्लेषण के लिए डिज़ाइन किया गया है, इसलिए लगभग हमेशा परिणाम में दो ईजेनवेक्टर मिलेंगे, उन मामलों को छोड़कर जब वे मेल खाते हैं।

उपरोक्त उदाहरण में, हम मूल मैट्रिक्स के आइजेनवेक्टर को पहले से जानते थे और लैम्ब्डा संख्या को स्पष्ट रूप से निर्धारित करते थे। हालाँकि, व्यवहार में, सब कुछ दूसरे तरीके से होता है: पहले eigenvalues ​​​​पाए जाते हैं और उसके बाद ही eigenvectors।

समाधान एल्गोरिथ्म

आइए मूल मैट्रिक्स M को फिर से देखें और इसके दोनों eigenvectors को खोजने का प्रयास करें। तो मैट्रिक्स इस तरह दिखता है:

• एम = 0; 4;
• 6; 10.

सबसे पहले हमें eigenvalue λ निर्धारित करने की आवश्यकता है, जिसके लिए निम्नलिखित मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने की आवश्यकता है:

• (0 - λ); 4;
• 6; (10 − λ).

यह मैट्रिक्स मुख्य विकर्ण पर तत्वों से अज्ञात λ घटाकर प्राप्त किया जाता है। निर्धारक मानक सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 - λ) × (10 - λ) - 24

चूँकि हमारा वेक्टर गैर-शून्य होना चाहिए, हम परिणामी समीकरण को रैखिक रूप से निर्भर के रूप में स्वीकार करते हैं और अपने निर्धारक detA को शून्य के बराबर करते हैं।

(0 - λ) × (10 - λ) - 24 = 0

आइए कोष्ठक खोलें और मैट्रिक्स का अभिलक्षणिक समीकरण प्राप्त करें:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

यह एक मानक द्विघात समीकरण है जिसे विवेचक का उपयोग करके हल करने की आवश्यकता है।

डी = बी 2 - 4एसी = (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

विवेचक का मूल sqrt(D) = 14 है, इसलिए λ1 = -2, λ2 = 12। अब प्रत्येक लैम्ब्डा मान के लिए हमें आइजेनवेक्टर खोजने की आवश्यकता है। आइए हम λ = -2 के लिए सिस्टम गुणांक व्यक्त करें।

• एम - λ × ई = 2; 4;
• 6; 12.

इस सूत्र में, E पहचान मैट्रिक्स है। परिणामी मैट्रिक्स के आधार पर, हम रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं:

2x + 4y = 6x + 12y,

जहां x और y आइजेनवेक्टर तत्व हैं।

आइए बाईं ओर के सभी X और दाईं ओर के सभी Y को एकत्रित करें। जाहिर है - 4x = 8y. व्यंजक को -4 से विभाजित करें और x = -2y प्राप्त करें। अब हम अज्ञात के किसी भी मान को लेते हुए, मैट्रिक्स का पहला आइजनवेक्टर निर्धारित कर सकते हैं (रैखिक रूप से निर्भर आइजनवेक्टरों की अनंतता को याद रखें)। आइए y = 1 लें, फिर x = -2. इसलिए, पहला आइजनवेक्टर V1 = (-2; 1) जैसा दिखता है। लेख की शुरुआत पर लौटें. यह वह वेक्टर ऑब्जेक्ट था जिसे हमने आइजेनवेक्टर की अवधारणा को प्रदर्शित करने के लिए मैट्रिक्स को गुणा किया था।

आइए अब λ = 12 के लिए आइजनवेक्टर खोजें।

• एम - λ × ई = -12; 4
• 6; -2.

आइए रैखिक समीकरणों की वही प्रणाली बनाएं;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x = y.

अब हम x = 1 लेते हैं, इसलिए y = 3. इस प्रकार, दूसरा eigenvector V2 = (1; 3) जैसा दिखता है। मूल मैट्रिक्स को किसी दिए गए वेक्टर से गुणा करने पर, परिणाम हमेशा वही वेक्टर होगा जिसे 12 से गुणा किया जाएगा। यहीं पर समाधान एल्गोरिदम समाप्त होता है। अब आप जानते हैं कि मैट्रिक्स के आइजेनवेक्टर को मैन्युअल रूप से कैसे निर्धारित किया जाए।

• निर्धारक;
• ट्रेस, अर्थात्, मुख्य विकर्ण पर तत्वों का योग;
• रैंक, यानी, रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों/स्तंभों की अधिकतम संख्या।

प्रोग्राम उपरोक्त एल्गोरिथम के अनुसार संचालित होता है, समाधान प्रक्रिया को यथासंभव छोटा करता है। यह बताना महत्वपूर्ण है कि प्रोग्राम में लैम्ब्डा को "सी" अक्षर द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है। आइए एक संख्यात्मक उदाहरण देखें.

प्रोग्राम कैसे काम करता है इसका उदाहरण

आइए निम्नलिखित मैट्रिक्स के लिए eigenvectors निर्धारित करने का प्रयास करें:

• एम = 5; 13;
• 4; 14.

आइए इन मानों को कैलकुलेटर की कोशिकाओं में दर्ज करें और निम्नलिखित रूप में उत्तर प्राप्त करें:

• मैट्रिक्स रैंक: 2;
• मैट्रिक्स निर्धारक: 18;
• मैट्रिक्स ट्रेस: ​​19;
• आइजनवेक्टर की गणना: c 2 − 19.00c + 18.00 (विशेषता समीकरण);
• आइजेनवेक्टर गणना: 18 (पहला लैम्ब्डा मान);
• आइजेनवेक्टर गणना: 1 (दूसरा लैम्ब्डा मान);
• वेक्टर 1 के लिए समीकरणों की प्रणाली: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• वेक्टर 2 के लिए समीकरणों की प्रणाली: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• ईजेनवेक्टर 1: (1; 1);
• आइजेनवेक्टर 2: (-3.25; 1).

इस प्रकार, हमें दो रैखिक रूप से स्वतंत्र eigenvectors प्राप्त हुए।

निष्कर्ष

रैखिक बीजगणित और विश्लेषणात्मक ज्यामिति किसी भी नए इंजीनियरिंग प्रमुख के लिए मानक विषय हैं। वैक्टर और मैट्रिक्स की बड़ी संख्या भयावह है, और ऐसी बोझिल गणनाओं में गलतियाँ करना आसान है। हमारा कार्यक्रम छात्रों को अपनी गणनाओं की जांच करने या ईजेनवेक्टर खोजने की समस्या को स्वचालित रूप से हल करने की अनुमति देगा। हमारे कैटलॉग में अन्य रैखिक बीजगणित कैलकुलेटर हैं; उन्हें अपने अध्ययन या कार्य में उपयोग करें।

परिभाषा 9.3.वेक्टर एक्समैट्रिक्स का eigenvector कहा जाता है ए, यदि ऐसी कोई संख्या है λ, समानता रखती है: Ах = λх,अर्थात्, आवेदन करने का परिणाम एक्समैट्रिक्स द्वारा निर्दिष्ट रैखिक परिवर्तन ए, इस वेक्टर का संख्या से गुणा है λ . नंबर ही λ मैट्रिक्स का eigenvalue कहा जाता है ए.

सूत्रों में प्रतिस्थापित करना (9.3) x` j = λx j ,हम आइजेनवेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं:

. (9.5)

इस रैखिक सजातीय प्रणाली का एक गैर-तुच्छ समाधान तभी होगा जब इसका मुख्य निर्धारक 0 (क्रैमर का नियम) है। इस शर्त को फॉर्म में लिखकर:

हम eigenvalues ​​​​निर्धारित करने के लिए एक समीकरण प्राप्त करते हैं λ , जिसे विशेषता समीकरण कहा जाता है। संक्षेप में इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

| ए - λई | = 0, (9.6)

चूँकि इसके बाईं ओर मैट्रिक्स का निर्धारक होता है ए-λई. बहुपद सापेक्ष λ | ए - λई| मैट्रिक्स A का अभिलक्षणिक बहुपद कहलाता है।

चारित्रिक बहुपद के गुण:

1) एक रैखिक परिवर्तन का अभिलक्षणिक बहुपद आधार की पसंद पर निर्भर नहीं करता है। सबूत। (देखें (9.4)), लेकिन इस तरह, । इस प्रकार, यह आधार के चुनाव पर निर्भर नहीं करता है। इसका मतलब यह है कि | ए-λई| नए आधार पर जाने पर परिवर्तन नहीं होता है।

2) यदि मैट्रिक्स एरैखिक परिवर्तन सममित है (अर्थात और ij = ए जी), तो अभिलक्षणिक समीकरण (9.6) के सभी मूल वास्तविक संख्याएँ हैं।

eigenvalues ​​​​और eigenvectors के गुण:

1) यदि आप eigenvectors में से एक आधार चुनते हैं एक्स 1, एक्स 2, एक्स 3, eigenvalues ​​​​के अनुरूप λ 1, λ 2, λ 3मैट्रिक्स ए, तो इस आधार पर रैखिक परिवर्तन ए में विकर्ण रूप का एक मैट्रिक्स है:

(9.7) इस गुण का प्रमाण आइजेनवेक्टर की परिभाषा से मिलता है।

2) यदि परिवर्तन के eigenvalues एभिन्न हैं, तो उनके संगत eigenvectors रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।

3) यदि आव्यूह का अभिलक्षणिक बहुपद एइसकी तीन अलग-अलग जड़ें हैं, फिर किसी आधार पर मैट्रिक्स एएक विकर्ण स्वरूप है.

आइए मैट्रिक्स के eigenvalues ​​​​और eigenvectors ढूंढें आइए एक विशेषता समीकरण बनाएं: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

आइए प्रत्येक पाए गए मान के अनुरूप eigenvectors के निर्देशांक खोजें λ. (9.5) से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि एक्स (1) ={एक्स 1 ,एक्स 2 ,एक्स 3) - ईजेनवेक्टर संगत λ 1 =-2, तो

- एक सहयोगी लेकिन अनिश्चित प्रणाली। इसका समाधान फॉर्म में लिखा जा सकता है एक्स (1) ={ए,0,-ए), जहां a कोई संख्या है। विशेष रूप से, यदि हमें इसकी आवश्यकता है | एक्स (1) |=1, एक्स (1) =

सिस्टम में प्रतिस्थापित करना (9.5) λ 2 =3, हमें दूसरे आइजेनवेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए एक प्रणाली प्राप्त होती है - एक्स (2) ={आप 1 , आप 2 , आप 3}:

, कहाँ एक्स (2) ={बी,-बी,बी) या, प्रदान किया गया | एक्स (2) |=1, एक्स (2) =

के लिए λ 3 = 6 आइजेनवेक्टर खोजें एक्स (3) ={जेड 1 , जेड 2 , जेड 3}:

, एक्स (3) ={सी,2सी,सी) या सामान्यीकृत संस्करण में

एक्स(3) = ऐसा नोटिस किया जा सकता है एक्स (1) एक्स (2) = अब-अब= 0, एक्स (1) एक्स (3) = एसी-एसी= 0, एक्स (2) एक्स (3) = ईसा पूर्व- 2बीसी + बीसी= 0. इस प्रकार, इस मैट्रिक्स के आइजनवेक्टर जोड़ीदार ऑर्थोगोनल हैं।

व्याख्यान 10.

द्विघात रूप और सममित आव्यूहों के साथ उनका संबंध। एक सममित मैट्रिक्स के eigenvectors और eigenvalues ​​​​के गुण। द्विघात रूप को विहित रूप में कम करना।

परिभाषा 10.1.वास्तविक चरों का द्विघात रूप एक्स 1, एक्स 2,…, एक्स एनइन चरों में दूसरी डिग्री का बहुपद कहा जाता है जिसमें एक मुक्त पद और पहली डिग्री के पद शामिल नहीं होते हैं।

द्विघात रूपों के उदाहरण:

(एन = 2),

(एन = 3). (10.1)

आइए पिछले व्याख्यान में दी गई सममित मैट्रिक्स की परिभाषा को याद करें:

परिभाषा 10.2.एक वर्ग मैट्रिक्स को सममित कहा जाता है यदि, अर्थात, यदि मैट्रिक्स के तत्व जो मुख्य विकर्ण के बारे में सममित हैं, बराबर हैं।

एक सममित मैट्रिक्स के eigenvalues ​​​​और eigenvectors के गुण:

1) सममित मैट्रिक्स के सभी eigenvalues ​​​​वास्तविक हैं।

सबूत (के लिए एन = 2).

चलो मैट्रिक्स एइसका रूप है: . आइए एक विशिष्ट समीकरण बनाएं:

(10.2) आइए विभेदक खोजें:

इसलिए, समीकरण के केवल वास्तविक मूल हैं।

2) सममित मैट्रिक्स के आइजनवेक्टर ऑर्थोगोनल होते हैं।

सबूत (के लिए एन= 2).

eigenvectors के निर्देशांक और समीकरणों को संतुष्ट करना चाहिए।