Ανεβάζοντας μια δύναμη σε μια δύναμη με αρνητικό εκθέτη. Πώς να αυξήσετε έναν αριθμό σε αρνητική ισχύ - παραδείγματα με περιγραφή στο Excel

Τύποι ισχύοςχρησιμοποιείται στη διαδικασία μείωσης και απλοποίησης σύνθετων εκφράσεων, στην επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων.

Αριθμός ντοείναι n-η δύναμη ενός αριθμού έναπότε:

Επιχειρήσεις με πτυχία.

1. Πολλαπλασιάζοντας τις μοίρες με την ίδια βάση, οι δείκτες τους αθροίζονται:

είμαιa n = a m + n .

2. Στη διαίρεση των μοιρών με την ίδια βάση αφαιρούνται οι δείκτες τους:

3. Ο βαθμός του γινομένου 2 ή περισσότερων παραγόντων είναι ίσος με το γινόμενο των βαθμών αυτών των παραγόντων:

(abc…) n = a n b n c n…

4. Ο βαθμός ενός κλάσματος είναι ίσος με τον λόγο των μοιρών του μερίσματος και του διαιρέτη:

(a/b) n = a n / b n .

5. Ανεβάζοντας μια δύναμη σε δύναμη, οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται:

(am) n = a m n .

Κάθε τύπος παραπάνω είναι σωστός στις κατευθύνσεις από αριστερά προς τα δεξιά και αντίστροφα.

Για παράδειγμα. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Επεμβάσεις με ρίζες.

1. Η ρίζα του γινομένου πολλών παραγόντων είναι ίση με το γινόμενο των ριζών αυτών των παραγόντων:

2. Η ρίζα του λόγου είναι ίση με την αναλογία του μερίσματος και του διαιρέτη των ριζών:

3. Όταν ανεβάζετε μια ρίζα σε δύναμη, αρκεί να αυξήσετε τον αριθμό της ρίζας σε αυτήν την ισχύ:

4. Αν αυξήσουμε το βαθμό της ρίζας μέσα nμια φορά και ταυτόχρονα ανέβασε σε nΗ ισχύς είναι ένας αριθμός ρίζας, τότε η τιμή της ρίζας δεν θα αλλάξει:

5. Αν μειώσουμε το βαθμό της ρίζας μέσα nρίζα ταυτόχρονα nου βαθμού από τον ριζικό αριθμό, τότε η τιμή της ρίζας δεν θα αλλάξει:

Βαθμός με αρνητικό εκθέτη.Ο βαθμός ενός αριθμού με μη θετικό (ακέραιο) εκθέτη ορίζεται ως ένας διαιρούμενος με τον βαθμό του ίδιου αριθμού με εκθέτη ίσο με την απόλυτη τιμή του μη θετικού εκθέτη:

Τύπος είμαι:a n = a m - nμπορεί να χρησιμοποιηθεί όχι μόνο για Μ> n, αλλά και στο Μ< n.

Για παράδειγμα. ένα4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Στη φόρμουλα είμαι:a n = a m - nέγινε δίκαιη στο m=n, χρειάζεστε την παρουσία του μηδενικού βαθμού.

Βαθμός με μηδενικό εκθέτη.Η ισχύς οποιουδήποτε μη μηδενικού αριθμού με μηδενικό εκθέτη είναι ίση με ένα.

Για παράδειγμα. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Ένας βαθμός με κλασματικό εκθέτη.Για να αυξήσετε έναν πραγματικό αριθμό έναεώς ένα βαθμό m/n, πρέπει να εξαγάγετε τη ρίζα nο βαθμός του Μη δύναμη αυτού του αριθμού ένα.

Η αύξηση σε αρνητική δύναμη είναι ένα από τα βασικά στοιχεία των μαθηματικών, το οποίο συναντάται συχνά στην επίλυση αλγεβρικών προβλημάτων. Παρακάτω είναι μια αναλυτική οδηγία.

Πώς να ανεβείτε σε μια αρνητική δύναμη - θεωρία

Όταν παίρνουμε έναν αριθμό στη συνηθισμένη ισχύ, πολλαπλασιάζουμε την τιμή του πολλές φορές. Για παράδειγμα, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Με ένα αρνητικό κλάσμα, ισχύει το αντίθετο. Η γενική μορφή σύμφωνα με τον τύπο θα είναι η εξής: a -n = 1/a n . Έτσι, για να αυξήσετε έναν αριθμό σε αρνητική ισχύ, πρέπει να διαιρέσετε έναν με τον δεδομένο αριθμό, αλλά ήδη σε μια θετική δύναμη.

Πώς να αυξήσετε σε αρνητική ισχύ - παραδείγματα σε συνηθισμένους αριθμούς

Έχοντας υπόψη τον παραπάνω κανόνα, ας λύσουμε μερικά παραδείγματα.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Απάντηση: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Η απάντηση είναι -4 -2 = 1/16.

Γιατί όμως η απάντηση στο πρώτο και στο δεύτερο παράδειγμα είναι ίδια; Το γεγονός είναι ότι όταν ένας αρνητικός αριθμός αυξάνεται σε άρτια ισχύ (2, 4, 6, κ.λπ.), το πρόσημο γίνεται θετικό. Εάν ο βαθμός ήταν άρτιος, τότε το μείον διατηρείται:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Πώς να αυξήσετε σε αρνητική ισχύ - αριθμοί από το 0 στο 1

Θυμηθείτε ότι όταν ένας αριθμός μεταξύ 0 και 1 αυξάνεται σε θετική ισχύ, η τιμή μειώνεται όσο αυξάνεται η ισχύς. Έτσι, για παράδειγμα, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Παράδειγμα 3: Υπολογίστε το 0,5 -2
Λύση: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Απάντηση: 0,5 -2 = 4

Ανάλυση (ακολουθία ενεργειών):

• Μετατρέψτε το δεκαδικό 0,5 σε κλασματικό 1/2. Είναι ευκολότερο.
  Αύξηση 1/2 σε αρνητική ισχύ. 1/(2) -2 . Διαιρούμε το 1 με το 1/(2) 2, παίρνουμε 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Παράδειγμα 4: Υπολογίστε το 0,5 -3
Λύση: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Παράδειγμα 5: Υπολογίστε -0,5 -3
Λύση: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Απάντηση: -0,5 -3 = -8

Με βάση το 4ο και 5ο παράδειγμα, θα βγάλουμε αρκετά συμπεράσματα:

• Για έναν θετικό αριθμό μεταξύ 0 και 1 (παράδειγμα 4) αυξημένο σε αρνητική ισχύ, είτε η δύναμη είναι άρτια είτε περιττή, η τιμή της παράστασης θα είναι θετική. Σε αυτή την περίπτωση, όσο μεγαλύτερος είναι ο βαθμός, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή.
• Για έναν αρνητικό αριθμό μεταξύ 0 και 1 (Παράδειγμα 5), αυξημένο σε αρνητική ισχύ, είτε η ισχύς είναι άρτια είτε περιττή, η τιμή της παράστασης θα είναι αρνητική. Σε αυτή την περίπτωση, όσο μεγαλύτερος είναι ο βαθμός, τόσο χαμηλότερη είναι η τιμή.

Πώς να αυξήσετε σε αρνητική ισχύ - την ισχύ ως κλασματικός αριθμός

Οι εκφράσεις αυτού του τύπου έχουν την εξής μορφή: a -m/n, όπου a είναι ένας συνηθισμένος αριθμός, m είναι ο αριθμητής του βαθμού, n είναι ο παρονομαστής του βαθμού.

Εξετάστε ένα παράδειγμα:
Υπολογίστε: 8 -1/3

Λύση (ακολουθία ενεργειών):

• Θυμηθείτε τον κανόνα για την αύξηση ενός αριθμού σε αρνητική δύναμη. Παίρνουμε: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
• Σημειώστε ότι ο παρονομαστής είναι 8 σε κλασματική δύναμη. Η γενική μορφή υπολογισμού ενός κλασματικού βαθμού είναι η εξής: a m/n = n √8 m .
• Έτσι, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Παίρνουμε την κυβική ρίζα του οκτώ, που είναι 2. Με βάση αυτό, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Απάντηση: 8 -1/3 = 2

Προφανώς, οι αριθμοί με δυνάμεις μπορούν να προστεθούν όπως και άλλες ποσότητες , προσθέτοντάς τα ένα προς ένα με τα σημάδια τους.

Άρα, το άθροισμα των a 3 και b 2 είναι a 3 + b 2 .
Το άθροισμα ενός 3 - b n και του h 5 - d 4 είναι 3 - b n + h 5 - d 4 .

Πιθανότητα τις ίδιες δυνάμεις των ίδιων μεταβλητώνμπορεί να προστεθεί ή να αφαιρεθεί.

Άρα, το άθροισμα των 2a 2 και 3a 2 είναι 5a 2 .

Είναι επίσης προφανές ότι αν πάρουμε δύο τετράγωνα a, ή τρία τετράγωνα a, ή πέντε τετράγωνα a.

Αλλά πτυχία διάφορες μεταβλητέςκαι διάφορους βαθμούς πανομοιότυπες μεταβλητές, πρέπει να προστεθούν προσθέτοντάς τα στα σημάδια τους.

Άρα, το άθροισμα ενός 2 και ενός 3 είναι το άθροισμα ενός 2 + a 3 .

Είναι προφανές ότι το τετράγωνο του α και ο κύβος του α δεν είναι ούτε διπλάσιο του τετραγώνου του α, αλλά διπλάσιο του κύβου του α.

Το άθροισμα του a 3 b n και του 3a 5 b 6 είναι a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Αφαίρεσηοι εξουσίες εκτελούνται με τον ίδιο τρόπο όπως η πρόσθεση, εκτός από το ότι τα σημάδια του υπόστρωμα πρέπει να αλλάξουν ανάλογα.

Ή:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Πολλαπλασιασμός ισχύος

Οι αριθμοί με δυνάμεις μπορούν να πολλαπλασιαστούν όπως και άλλες ποσότητες γράφοντάς τους ο ένας μετά τον άλλο, με ή χωρίς το πρόσημο πολλαπλασιασμού μεταξύ τους.

Άρα, το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του a 3 με το b 2 είναι a 3 b 2 ή aaabb.

Ή:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Το αποτέλεσμα στο τελευταίο παράδειγμα μπορεί να ταξινομηθεί προσθέτοντας τις ίδιες μεταβλητές.
Η έκφραση θα έχει τη μορφή: a 5 b 5 y 3 .

Συγκρίνοντας πολλούς αριθμούς (μεταβλητές) με δυνάμεις, μπορούμε να δούμε ότι αν πολλαπλασιαστούν δύο από αυτούς, τότε το αποτέλεσμα είναι ένας αριθμός (μεταβλητή) με δύναμη ίση με άθροισμαβαθμοί όρων.

Άρα, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Εδώ 5 είναι η δύναμη του αποτελέσματος του πολλαπλασιασμού, ίση με 2 + 3, το άθροισμα των δυνάμεων των όρων.

Άρα, a n .a m = a m+n .

Για ένα n, το a λαμβάνεται ως παράγοντας τόσες φορές όσες είναι η ισχύς του n.

Και το a m , λαμβάνεται ως παράγοντας όσες φορές είναι ίσος με τον βαθμό m.

Να γιατί, οι δυνάμεις με τις ίδιες βάσεις μπορούν να πολλαπλασιαστούν προσθέτοντας τους εκθέτες.

Άρα, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Και x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Ή:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Πολλαπλασιάστε (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Απάντηση: x 4 - y 4.
Πολλαπλασιάστε (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Αυτός ο κανόνας ισχύει επίσης για αριθμούς των οποίων οι εκθέτες είναι - αρνητικός.

1. Άρα, a -2 .a -3 = a -5 . Αυτό μπορεί να γραφτεί ως (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Αν τα a + b πολλαπλασιαστούν με a - b, το αποτέλεσμα θα είναι a 2 - b 2: δηλαδή

Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του αθροίσματος ή της διαφοράς δύο αριθμών είναι ίσο με το άθροισμα ή τη διαφορά των τετραγώνων τους.

Αν το άθροισμα και η διαφορά δύο αριθμών αυξηθεί σε τετράγωνο, το αποτέλεσμα θα είναι ίσο με το άθροισμα ή τη διαφορά αυτών των αριθμών σε τέταρτοςβαθμός.

Άρα, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Καταμερισμός εξουσιών

Οι αριθμοί με δυνάμεις μπορούν να διαιρεθούν όπως άλλοι αριθμοί αφαιρώντας από τον διαιρέτη ή τοποθετώντας τους με τη μορφή κλάσματος.

Άρα ένα 3 b 2 διαιρούμενο με το b 2 είναι ένα 3 .

Ή:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Η εγγραφή ενός 5 διαιρεμένου με ένα 3 μοιάζει με $\frac(a^5)(a^3)$. Αυτό όμως ισούται με 2. Σε μια σειρά αριθμών
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να διαιρεθεί με έναν άλλο και ο εκθέτης θα είναι ίσος με διαφοράδείκτες διαιρετών αριθμών.

Κατά τη διαίρεση των δυνάμεων με την ίδια βάση, οι εκθέτες τους αφαιρούνται..

Άρα, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Δηλαδή, $\frac(εεε)(εε) = y$.

Και a n+1:a = a n+1-1 = a n . Δηλαδή, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Ή:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Ο κανόνας ισχύει και για αριθμούς με αρνητικόςτιμές πτυχίου.
Το αποτέλεσμα της διαίρεσης ενός -5 με ένα -3 είναι ένα -2.
Επίσης, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ή $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Είναι απαραίτητο να κυριαρχήσετε πολύ καλά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση των δυνάμεων, καθώς τέτοιες πράξεις χρησιμοποιούνται πολύ ευρέως στην άλγεβρα.

Παραδείγματα επίλυσης παραδειγμάτων με κλάσματα που περιέχουν αριθμούς με δυνάμεις

1. Μειώστε τους εκθέτες σε $\frac(5a^4)(3a^2)$ Απάντηση: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Μειώστε τους εκθέτες σε $\frac(6x^6)(3x^5)$. Απάντηση: $\frac(2x)(1)$ ή 2x.

3. Μειώστε τους εκθέτες a 2 / a 3 και a -3 / a -4 και φέρετε σε κοινό παρονομαστή.
a 2 .a -4 είναι ένας πρώτος αριθμητής -2.
a 3 .a -3 είναι 0 = 1, ο δεύτερος αριθμητής.
a 3 .a -4 είναι το -1, ο κοινός αριθμητής.
Μετά την απλοποίηση: a -2 /a -1 και 1/a -1 .

4. Μειώστε τους εκθέτες 2a 4 /5a 3 και 2 /a 4 και φέρετε σε κοινό παρονομαστή.
Απάντηση: 2a 3 / 5a 7 και 5a 5 / 5a 7 ή 2a 3 / 5a 2 και 5/5a 2.

5. Πολλαπλασιάστε (a 3 + b)/b 4 με (a - b)/3.

6. Πολλαπλασιάστε (a 5 + 1)/x 2 με (b 2 - 1)/(x + a).

7. Πολλαπλασιάστε b 4 /a -2 με h -3 /x και a n /y -3 .

8. Διαιρέστε ένα 4 /y 3 με ένα 3 /y 2 . Απάντηση: α/υ.

9. Διαιρέστε (h 3 - 1)/d 4 με (d n + 1)/h.

Πρώτο επίπεδο

Ο βαθμός και οι ιδιότητές του. Περιεκτικός οδηγός (2019)

Γιατί χρειάζονται πτυχία; Πού τα χρειάζεστε; Γιατί χρειάζεται να αφιερώσετε χρόνο στη μελέτη τους;

Για να μάθετε τα πάντα σχετικά με τα πτυχία, σε τι χρησιμεύουν, πώς να χρησιμοποιείτε τις γνώσεις σας στην καθημερινή ζωή, διαβάστε αυτό το άρθρο.

Και, φυσικά, η γνώση των πτυχίων θα σας φέρει πιο κοντά στο να περάσετε με επιτυχία την OGE ή την Ενιαία Κρατική Εξέταση και να εισέλθετε στο πανεπιστήμιο των ονείρων σας.

Πάμε... (Πάμε!)

Σημαντική σημείωση! Εάν αντί για τύπους βλέπετε ασυναρτησίες, διαγράψτε την προσωρινή μνήμη. Για να το κάνετε αυτό, πατήστε CTRL+F5 (στα Windows) ή Cmd+R (σε Mac).

ΠΡΩΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Η εκθετικότητα είναι η ίδια μαθηματική πράξη με την πρόσθεση, την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμό ή τη διαίρεση.

Τώρα θα εξηγήσω τα πάντα στην ανθρώπινη γλώσσα χρησιμοποιώντας πολύ απλά παραδείγματα. Πρόσεχε. Τα παραδείγματα είναι στοιχειώδη, αλλά εξηγούν σημαντικά πράγματα.

Ας ξεκινήσουμε με την προσθήκη.

Δεν υπάρχει τίποτα να εξηγήσω εδώ. Τα ξέρεις ήδη όλα: είμαστε οκτώ. Κάθε ένα έχει δύο μπουκάλια κόλα. Πόσο κόλα; Αυτό είναι σωστό - 16 μπουκάλια.

Τώρα πολλαπλασιασμός.

Το ίδιο παράδειγμα με την κόλα μπορεί να γραφτεί με διαφορετικό τρόπο: . Οι μαθηματικοί είναι πονηροί και τεμπέληδες. Πρώτα παρατηρούν κάποια μοτίβα και μετά βρίσκουν έναν τρόπο να τα «μετρήσουν» πιο γρήγορα. Στην περίπτωσή μας, παρατήρησαν ότι καθένα από τα οκτώ άτομα είχε τον ίδιο αριθμό μπουκαλιών κόλα και κατέληξαν σε μια τεχνική που ονομάζεται πολλαπλασιασμός. Συμφωνώ, θεωρείται ευκολότερο και πιο γρήγορο από.

Έτσι, για να μετράτε πιο γρήγορα, πιο εύκολα και χωρίς λάθη, απλά πρέπει να θυμάστε προπαιδεία. Φυσικά, μπορείς να τα κάνεις όλα πιο αργά, πιο δύσκολα και με λάθη! Αλλά…

Εδώ είναι ο πίνακας πολλαπλασιασμού. Επαναλαμβάνω.

Και ένα άλλο, πιο όμορφο:

Και ποια άλλα δύσκολα κόλπα μέτρησης βρήκαν οι τεμπέληδες μαθηματικοί; Σωστά - ανεβάζοντας έναν αριθμό σε δύναμη.

Ανεβάζοντας έναν αριθμό σε δύναμη

Εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό από τον εαυτό του πέντε φορές, τότε οι μαθηματικοί λένε ότι πρέπει να αυξήσετε αυτόν τον αριθμό στην πέμπτη δύναμη. Για παράδειγμα, . Οι μαθηματικοί θυμούνται ότι δύο προς την πέμπτη δύναμη είναι. Και λύνουν τέτοια προβλήματα στο μυαλό τους - πιο γρήγορα, πιο εύκολα και χωρίς λάθη.

Για να το κάνετε αυτό, χρειάζεστε μόνο θυμηθείτε τι επισημαίνεται με χρώμα στον πίνακα των δυνάμεων των αριθμών. Πιστέψτε με, θα κάνει τη ζωή σας πολύ πιο εύκολη.

Παρεμπιπτόντως, γιατί λέγεται το δεύτερο πτυχίο τετράγωνοαριθμούς και το τρίτο κύβος? Τι σημαίνει? Πολύ καλή ερώτηση. Τώρα θα έχετε και τετράγωνα και κύβους.

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #1

Ας ξεκινήσουμε με ένα τετράγωνο ή τη δεύτερη δύναμη ενός αριθμού.

Φανταστείτε μια τετράγωνη πισίνα που μετράει μέτρα ανά μέτρα. Η πισίνα βρίσκεται στην αυλή σας. Έχει ζέστη και θέλω πολύ να κολυμπήσω. Αλλά ... πισίνα χωρίς πάτο! Είναι απαραίτητο να καλύψετε το κάτω μέρος της πισίνας με πλακάκια. Πόσα πλακάκια χρειάζεστε; Για να το προσδιορίσετε, πρέπει να γνωρίζετε την περιοχή του πυθμένα της πισίνας.

Μπορείτε απλά να μετρήσετε πατώντας το δάχτυλό σας ότι το κάτω μέρος της πισίνας αποτελείται από κύβους μέτρο προς μέτρο. Αν τα πλακάκια σας είναι μέτρο με μέτρο, θα χρειαστείτε κομμάτια. Είναι εύκολο... Μα πού είδες τέτοιο πλακάκι; Το πλακάκι θα είναι μάλλον εκατοστά εκ. Και μετά θα σε βασανίζουν «μετρώντας με το δάχτυλό σου». Τότε πρέπει να πολλαπλασιάσετε. Έτσι, στη μία πλευρά του πάτου της πισίνας θα τοποθετήσουμε πλακάκια (κομμάτια) και στην άλλη πλακάκια επίσης. Πολλαπλασιάζοντας με, λαμβάνετε πλακίδια ().

Παρατηρήσατε ότι πολλαπλασιάσαμε τον ίδιο αριθμό από μόνος του για να προσδιορίσουμε το εμβαδόν του πυθμένα της πισίνας; Τι σημαίνει? Εφόσον πολλαπλασιάζεται ο ίδιος αριθμός, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την τεχνική της εκθέσεως. (Φυσικά, όταν έχετε μόνο δύο αριθμούς, πρέπει ακόμα να τους πολλαπλασιάσετε ή να τους αυξήσετε σε μια ισχύ. Αλλά αν έχετε πολλούς από αυτούς, τότε η αύξηση σε μια ισχύ είναι πολύ πιο εύκολη και επίσης υπάρχουν λιγότερα λάθη στους υπολογισμούς Για την εξέταση, αυτό είναι πολύ σημαντικό).
Έτσι, τριάντα έως το δεύτερο βαθμό θα είναι (). Ή μπορείτε να πείτε ότι θα είναι τριάντα στο τετράγωνο. Με άλλα λόγια, η δεύτερη δύναμη ενός αριθμού μπορεί πάντα να αναπαρασταθεί ως τετράγωνο. Και αντίστροφα, αν δείτε τετράγωνο, είναι ΠΑΝΤΑ η δεύτερη δύναμη κάποιου αριθμού. Ένα τετράγωνο είναι μια εικόνα της δεύτερης δύναμης ενός αριθμού.

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #2

Εδώ είναι μια εργασία για εσάς, μετρήστε πόσα τετράγωνα υπάρχουν στη σκακιέρα χρησιμοποιώντας το τετράγωνο του αριθμού ... Στη μία πλευρά των κελιών και στην άλλη επίσης. Για να μετρήσετε τον αριθμό τους, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το οκτώ επί οκτώ ή ... αν παρατηρήσετε ότι μια σκακιέρα είναι ένα τετράγωνο με μια πλευρά, τότε μπορείτε να τετραγωνίσετε το οκτώ. Αποκτήστε κύτταρα. () Ετσι?

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #3

Τώρα ο κύβος ή η τρίτη δύναμη ενός αριθμού. Η ίδια πισίνα. Αλλά τώρα πρέπει να μάθετε πόσο νερό θα πρέπει να χυθεί σε αυτή την πισίνα. Πρέπει να υπολογίσετε τον όγκο. (Οι όγκοι και τα υγρά, παρεμπιπτόντως, μετρώνται σε κυβικά μέτρα. Απροσδόκητο, σωστά;) Σχεδιάστε μια πισίνα: ένα πάτο σε μέγεθος ένα μέτρο και ένα μέτρο βάθος και προσπαθήστε να υπολογίσετε πόσους κύβους που μετρούν ένα μέτρο με ένα μέτρο θα μπουν στο δικό σας πισίνα.

Απλώς κουνήστε το δάχτυλό σας και μετρήστε! Ένα, δύο, τρία, τέσσερα… είκοσι δύο, είκοσι τρία… Πόσο βγήκε; Δεν χάθηκες; Είναι δύσκολο να μετρήσεις με το δάχτυλό σου; Ετσι ώστε! Πάρτε ένα παράδειγμα από μαθηματικούς. Είναι τεμπέληδες, οπότε παρατήρησαν ότι για να υπολογίσετε τον όγκο της πισίνας, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μήκος, το πλάτος και το ύψος της το ένα με το άλλο. Στην περίπτωσή μας, ο όγκος της πισίνας θα είναι ίσος με κύβους ... Πιο εύκολο, σωστά;

Τώρα φανταστείτε πόσο τεμπέληδες και πονηροί είναι οι μαθηματικοί αν το κάνουν πολύ εύκολο. Μείωσε τα πάντα σε μία ενέργεια. Παρατήρησαν ότι το μήκος, το πλάτος και το ύψος είναι ίσα και ότι ο ίδιος αριθμός πολλαπλασιάζεται από μόνος του... Και τι σημαίνει αυτό; Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το πτυχίο. Έτσι, αυτό που κάποτε μετρούσατε με ένα δάχτυλο, το κάνουν με μία ενέργεια: τρία σε έναν κύβο είναι ίσα. Είναι γραμμένο έτσι:

Παραμένει μόνο απομνημονεύστε τον πίνακα των βαθμών. Εκτός, φυσικά, αν είστε τόσο τεμπέληδες και πονηροί όσο οι μαθηματικοί. Αν σας αρέσει να εργάζεστε σκληρά και να κάνετε λάθη, μπορείτε να συνεχίσετε να μετράτε με το δάχτυλό σας.

Λοιπόν, για να σας πείσουμε επιτέλους ότι τα πτυχία τα εφευρέθηκαν αργόσχολοι και πονηροί για να λύσουν τα προβλήματα της ζωής τους και όχι για να σας δημιουργήσουν προβλήματα, ορίστε μερικά ακόμη παραδείγματα από τη ζωή.

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #4

Έχετε ένα εκατομμύριο ρούβλια. Στην αρχή κάθε έτους, κερδίζετε άλλο ένα εκατομμύριο για κάθε εκατομμύριο. Δηλαδή, κάθε ένα από τα εκατομμύρια σας στην αρχή κάθε έτους διπλασιάζεται. Πόσα χρήματα θα έχετε σε χρόνια; Αν τώρα κάθεσαι και «μετράς με το δάχτυλό σου», τότε είσαι πολύ εργατικός άνθρωπος και .. ηλίθιος. Το πιο πιθανό όμως είναι να δώσεις απάντηση σε λίγα δευτερόλεπτα, γιατί είσαι έξυπνος! Έτσι, τον πρώτο χρόνο - δύο φορές δύο ... τον δεύτερο χρόνο - τι έγινε, από δύο ακόμη, τον τρίτο χρόνο ... Σταματήστε! Παρατηρήσατε ότι ο αριθμός πολλαπλασιάζεται μόνος του μία φορά. Άρα δύο προς την πέμπτη δύναμη είναι ένα εκατομμύριο! Τώρα φανταστείτε ότι έχετε διαγωνισμό και αυτός που υπολογίζει πιο γρήγορα θα πάρει αυτά τα εκατομμύρια ... Αξίζει να θυμάστε τους βαθμούς των αριθμών, τι πιστεύετε;

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #5

Έχεις ένα εκατομμύριο. Στην αρχή κάθε έτους, κερδίζετε δύο περισσότερα για κάθε εκατομμύριο. Είναι υπέροχο σωστά; Κάθε εκατομμύριο τριπλασιάζεται. Πόσα χρήματα θα έχετε σε ένα χρόνο; Ας μετρήσουμε. Το πρώτο έτος - πολλαπλασιάστε με, μετά το αποτέλεσμα με ένα άλλο ... Είναι ήδη βαρετό, γιατί έχετε ήδη καταλάβει τα πάντα: το τρία πολλαπλασιάζεται από μόνο του φορές. Άρα η τέταρτη δύναμη είναι ένα εκατομμύριο. Απλώς πρέπει να θυμάστε ότι το τρία προς την τέταρτη δύναμη είναι ή.

Τώρα ξέρετε ότι ανεβάζοντας έναν αριθμό σε δύναμη, θα κάνετε τη ζωή σας πολύ πιο εύκολη. Ας ρίξουμε μια περαιτέρω ματιά στο τι μπορείτε να κάνετε με τα πτυχία και τι πρέπει να γνωρίζετε για αυτά.

Όροι και έννοιες ... για να μην μπερδευτούμε

Λοιπόν, πρώτα, ας ορίσουμε τις έννοιες. Τι νομίζετε, τι είναι εκθέτης? Είναι πολύ απλό - αυτός είναι ο αριθμός που βρίσκεται "στην κορυφή" της ισχύος του αριθμού. Δεν είναι επιστημονικό, αλλά ξεκάθαρο και εύκολο στην απομνημόνευση...

Λοιπόν, την ίδια στιγμή, τι μια τέτοια βάση πτυχίου? Ακόμα πιο απλός είναι ο αριθμός που βρίσκεται στο κάτω μέρος, στη βάση.

Εδώ είναι μια φωτογραφία για να είστε σίγουροι.

Λοιπόν, σε γενικές γραμμές, για να γενικεύουμε και να θυμόμαστε καλύτερα ... Ο βαθμός με τη βάση "" και τον δείκτη "" διαβάζεται ως "στο βαθμό" και γράφεται με τον εξής τρόπο:

Δύναμη ενός αριθμού με φυσικό εκθέτη

Μάλλον μαντέψατε ήδη: επειδή ο εκθέτης είναι ένας φυσικός αριθμός. Ναι, αλλά τι είναι φυσικός αριθμός? Στοιχειώδης! Οι φυσικοί αριθμοί είναι αυτοί που χρησιμοποιούνται στην καταμέτρηση κατά την καταχώριση στοιχείων: ένα, δύο, τρία ... Όταν μετράμε στοιχεία, δεν λέμε: «μείον πέντε», «μείον έξι», «μείον επτά». Δεν λέμε ούτε «ένα τρίτο» ή «μηδέν πόντος πέντε δέκατα». Αυτοί δεν είναι φυσικοί αριθμοί. Ποιοι πιστεύετε ότι είναι αυτοί οι αριθμοί;

Αριθμοί όπως "μείον πέντε", "μείον έξι", "μείον επτά" αναφέρονται ολόκληροι αριθμοί.Γενικά, οι ακέραιοι αριθμοί περιλαμβάνουν όλους τους φυσικούς αριθμούς, τους αριθμούς αντίθετους από τους φυσικούς αριθμούς (δηλαδή που λαμβάνονται με το πρόσημο μείον) και έναν αριθμό. Το μηδέν είναι εύκολο να κατανοηθεί - αυτό είναι όταν δεν υπάρχει τίποτα. Και τι σημαίνουν αρνητικοί («μείον») αριθμοί; Αλλά εφευρέθηκαν κυρίως για να δηλώσουν χρέη: εάν έχετε υπόλοιπο στο τηλέφωνό σας σε ρούβλια, αυτό σημαίνει ότι οφείλετε ρούβλια στον χειριστή.

Όλα τα κλάσματα είναι ρητοί αριθμοί. Πώς προέκυψαν, πιστεύεις; Πολύ απλό. Πριν από αρκετές χιλιάδες χρόνια, οι πρόγονοί μας ανακάλυψαν ότι δεν είχαν αρκετούς φυσικούς αριθμούς για να μετρήσουν το μήκος, το βάρος, το εμβαδόν κ.λπ. Και κατέληξαν στο ρητοί αριθμοί… Ενδιαφέρον, έτσι δεν είναι;

Υπάρχουν και παράλογοι αριθμοί. Ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί; Εν ολίγοις, ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα. Για παράδειγμα, αν διαιρέσετε την περιφέρεια ενός κύκλου με τη διάμετρό του, τότε παίρνετε έναν παράλογο αριθμό.

Περίληψη:

Ας ορίσουμε την έννοια του βαθμού, ο εκθέτης του οποίου είναι ένας φυσικός αριθμός (δηλαδή ακέραιος και θετικός).

1. Οποιοσδήποτε αριθμός στην πρώτη δύναμη είναι ίσος με τον εαυτό του:
2. Το τετράγωνο ενός αριθμού σημαίνει πολλαπλασιασμός του από τον εαυτό του:
3. Ο κύβος ενός αριθμού σημαίνει ότι τον πολλαπλασιάζεις με τον εαυτό του τρεις φορές:

Ορισμός.Για να αυξήσετε έναν αριθμό σε μια φυσική δύναμη είναι να πολλαπλασιάσετε τον αριθμό με τον εαυτό του φορές:
.

Ιδιότητες πτυχίου

Από πού προήλθαν αυτά τα ακίνητα; Θα σου δείξω τώρα.

Ας δούμε τι είναι και ?

Εξ ορισμού:

Πόσοι πολλαπλασιαστές υπάρχουν συνολικά;

Είναι πολύ απλό: προσθέσαμε παράγοντες στους παράγοντες και το αποτέλεσμα είναι παράγοντες.

Αλλά εξ ορισμού, αυτός είναι ο βαθμός ενός αριθμού με εκθέτη, δηλαδή: , που έπρεπε να αποδειχθεί.

Παράδειγμα: Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση:

Παράδειγμα:Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση:Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι στον κανόνα μας αναγκαίωςπρέπει να είναι ο ίδιος λόγος!
Επομένως, συνδυάζουμε τις μοίρες με τη βάση, αλλά παραμένουμε ξεχωριστός παράγοντας:

μόνο για προϊόντα δυνάμεων!

Σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να το γράψετε αυτό.

2. δηλαδή -η δύναμη ενός αριθμού

Όπως και με την προηγούμενη ιδιότητα, ας στραφούμε στον ορισμό του πτυχίου:

Αποδεικνύεται ότι η έκφραση πολλαπλασιάζεται από μόνη της μία φορά, δηλαδή, σύμφωνα με τον ορισμό, αυτή είναι η ισχύς του αριθμού:

Στην πραγματικότητα, αυτό μπορεί να ονομαστεί "bracketing του δείκτη". Αλλά ποτέ δεν μπορείτε να το κάνετε αυτό συνολικά:

Ας θυμηθούμε τους τύπους για συντομευμένο πολλαπλασιασμό: πόσες φορές θέλαμε να γράψουμε;

Αλλά αυτό δεν είναι αλήθεια, πραγματικά.

Πτυχίο με αρνητική βάση

Μέχρι αυτό το σημείο, έχουμε συζητήσει μόνο ποιος πρέπει να είναι ο εκθέτης.

Ποια πρέπει όμως να είναι η βάση;

Σε μοίρες από φυσικός δείκτηςη βάση μπορεί να είναι οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ. Πράγματι, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε οποιονδήποτε αριθμό μεταξύ τους, είτε είναι θετικοί, αρνητικοί ή ζυγοί.

Ας σκεφτούμε ποια ζώδια ("" ή "") θα έχουν βαθμούς θετικών και αρνητικών αριθμών;

Για παράδειγμα, ο αριθμός θα είναι θετικός ή αρνητικός; ΑΛΛΑ? ? Με το πρώτο, όλα είναι ξεκάθαρα: ανεξάρτητα από το πόσους θετικούς αριθμούς πολλαπλασιάζουμε μεταξύ τους, το αποτέλεσμα θα είναι θετικό.

Αλλά τα αρνητικά είναι λίγο πιο ενδιαφέροντα. Εξάλλου, θυμόμαστε έναν απλό κανόνα από την 6η δημοτικού: «το μείον επί το μείον δίνει ένα συν». Δηλαδή ή. Αλλά αν πολλαπλασιάσουμε με, βγαίνει.

Προσδιορίστε μόνοι σας τι πρόσημο θα έχουν οι παρακάτω εκφράσεις:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Κατάφερες?

Εδώ είναι οι απαντήσεις: Στα τέσσερα πρώτα παραδείγματα, ελπίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα; Απλώς κοιτάμε τη βάση και τον εκθέτη και εφαρμόζουμε τον κατάλληλο κανόνα.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Στο παράδειγμα 5), όλα δεν είναι επίσης τόσο τρομακτικά όσο φαίνονται: δεν έχει σημασία ποια είναι η βάση - ο βαθμός είναι άρτιος, πράγμα που σημαίνει ότι το αποτέλεσμα θα είναι πάντα θετικό.

Λοιπόν, εκτός από την περίπτωση που η βάση είναι μηδέν. Η βάση δεν είναι η ίδια, έτσι; Προφανώς όχι, αφού (γιατί).

Το Παράδειγμα 6) δεν είναι πλέον τόσο απλό!

6 παραδείγματα πρακτικής

Ανάλυση της λύσης 6 παραδείγματα

Αν δεν προσέξουμε τον όγδοο βαθμό, τι βλέπουμε εδώ; Ας ρίξουμε μια ματιά στο πρόγραμμα της 7ης τάξης. Λοιπόν, θυμάσαι; Αυτός είναι ο συντομευμένος τύπος πολλαπλασιασμού, δηλαδή η διαφορά των τετραγώνων! Παίρνουμε:

Εξετάζουμε προσεκτικά τον παρονομαστή. Μοιάζει πολύ με έναν από τους αριθμητικούς παράγοντες, αλλά τι φταίει; Λανθασμένη σειρά όρων. Εάν ανταλλάσσονταν, θα μπορούσε να ισχύει ο κανόνας.

Αλλά πώς να το κάνουμε αυτό; Αποδεικνύεται ότι είναι πολύ εύκολο: ο άρτιος βαθμός του παρονομαστή μας βοηθά εδώ.

Οι όροι έχουν αλλάξει τόπους ως δια μαγείας. Αυτό το «φαινόμενο» ισχύει για οποιαδήποτε έκφραση σε άρτιο βαθμό: μπορούμε ελεύθερα να αλλάξουμε τα σημάδια σε αγκύλες.

Αλλά είναι σημαντικό να θυμάστε: όλα τα σημάδια αλλάζουν ταυτόχρονα!

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα:

Και πάλι ο τύπος:

ολόκληροςονομάζουμε τους φυσικούς αριθμούς, τα αντίθετά τους (δηλαδή λαμβάνονται με το πρόσημο «») και τον αριθμό.

θετικός ακέραιος, και δεν διαφέρει από το φυσικό, τότε όλα μοιάζουν ακριβώς όπως στην προηγούμενη ενότητα.

Ας δούμε τώρα νέες περιπτώσεις. Ας ξεκινήσουμε με έναν δείκτη ίσο με.

Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι ίσος με ένα:

Όπως πάντα, αναρωτιόμαστε: γιατί συμβαίνει αυτό;

Σκεφτείτε λίγη δύναμη με βάση. Πάρτε, για παράδειγμα, και πολλαπλασιάστε με:

Έτσι, πολλαπλασιάσαμε τον αριθμό επί, και πήραμε τον ίδιο όπως ήταν -. Με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιαστεί για να μην αλλάξει τίποτα; Αυτό είναι σωστό, επάνω. Που σημαίνει.

Μπορούμε να κάνουμε το ίδιο με έναν αυθαίρετο αριθμό:

Ας επαναλάβουμε τον κανόνα:

Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι ίσος με ένα.

Υπάρχουν όμως εξαιρέσεις σε πολλούς κανόνες. Και εδώ είναι επίσης εκεί - αυτός είναι ένας αριθμός (ως βάση).

Από τη μια πλευρά, πρέπει να είναι ίσο με οποιοδήποτε βαθμό - όσο κι αν πολλαπλασιάσετε το μηδέν με τον εαυτό του, εξακολουθείτε να παίρνετε μηδέν, αυτό είναι ξεκάθαρο. Αλλά από την άλλη πλευρά, όπως κάθε αριθμός στον μηδενικό βαθμό, πρέπει να είναι ίσος. Ποια είναι λοιπόν η αλήθεια αυτού; Οι μαθηματικοί αποφάσισαν να μην εμπλακούν και αρνήθηκαν να ανεβάσουν το μηδέν στη μηδενική ισχύ. Δηλαδή, τώρα μπορούμε όχι μόνο να διαιρέσουμε με το μηδέν, αλλά και να το ανεβάσουμε στη μηδενική ισχύ.

Ας πάμε παρακάτω. Εκτός από τους φυσικούς αριθμούς και τους αριθμούς, οι ακέραιοι περιλαμβάνουν αρνητικούς αριθμούς. Για να καταλάβουμε τι είναι αρνητικός βαθμός, ας κάνουμε το ίδιο με την προηγούμενη φορά: πολλαπλασιάζουμε κάποιον κανονικό αριθμό με τον ίδιο σε αρνητικό βαθμό:

Από εδώ είναι ήδη εύκολο να εκφράσουμε το επιθυμητό:

Τώρα επεκτείνουμε τον κανόνα που προκύπτει σε αυθαίρετο βαθμό:

Ας διαμορφώσουμε λοιπόν τον κανόνα:

Ένας αριθμός σε μια αρνητική δύναμη είναι το αντίστροφο του ίδιου αριθμού σε μια θετική δύναμη. Αλλα ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑ Η βάση δεν μπορεί να είναι μηδενική:(γιατί είναι αδύνατο να διαιρεθεί).

Ας συνοψίσουμε:

I. Η έκφραση δεν ορίζεται σε περίπτωση. Αν τότε.

II. Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ ισούται με ένα: .

III. Ένας αριθμός που δεν είναι ίσος με το μηδέν σε μια αρνητική δύναμη είναι το αντίστροφο του ίδιου αριθμού σε μια θετική δύναμη: .

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση:

Λοιπόν, ως συνήθως, παραδείγματα για μια ανεξάρτητη λύση:

Ανάλυση εργασιών για ανεξάρτητη λύση:

Ξέρω, ξέρω, τα νούμερα είναι τρομακτικά, αλλά στις εξετάσεις πρέπει να είσαι έτοιμος για όλα! Λύστε αυτά τα παραδείγματα ή αναλύστε τη λύση τους αν δεν μπορούσατε να τη λύσετε και θα μάθετε πώς να τα αντιμετωπίζετε εύκολα στις εξετάσεις!

Ας συνεχίσουμε να επεκτείνουμε τον κύκλο των αριθμών «κατάλληλων» ως εκθέτης.

Τώρα σκεφτείτε ρητοί αριθμοί.Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ρητικοί;

Απάντηση: όλα όσα μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα, όπου και είναι ακέραιοι, επιπλέον.

Για να καταλάβουμε τι είναι "κλασματικός βαθμός"Ας εξετάσουμε ένα κλάσμα:

Ας υψώσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης σε δύναμη:

Τώρα θυμηθείτε τον κανόνα "πτυχίο σε πτυχίο":

Ποιος αριθμός πρέπει να αυξηθεί σε μια δύναμη για να ληφθεί;

Αυτή η διατύπωση είναι ο ορισμός της ρίζας του ου βαθμού.

Να σας υπενθυμίσω: η ρίζα της ης δύναμης ενός αριθμού () είναι ένας αριθμός που, όταν αυξάνεται σε δύναμη, είναι ίσος.

Δηλαδή, η ρίζα του ου βαθμού είναι η αντίστροφη πράξη της εκθέσεως: .

Τελικά φαίνεται πως. Προφανώς, αυτή η ειδική περίπτωση μπορεί να επεκταθεί: .

Τώρα προσθέστε τον αριθμητή: τι είναι; Η απάντηση είναι εύκολο να ληφθεί με τον κανόνα power-to-power:

Μπορεί όμως η βάση να είναι οποιοσδήποτε αριθμός; Εξάλλου, η ρίζα δεν μπορεί να εξαχθεί από όλους τους αριθμούς.

Κανένας!

Θυμηθείτε τον κανόνα: οποιοσδήποτε αριθμός ανυψωθεί σε άρτια δύναμη είναι θετικός αριθμός. Δηλαδή, είναι αδύνατο να εξαχθούν ρίζες ζυγού βαθμού από αρνητικούς αριθμούς!

Και αυτό σημαίνει ότι τέτοιοι αριθμοί δεν μπορούν να αυξηθούν σε κλασματική ισχύ με άρτιο παρονομαστή, δηλαδή η έκφραση δεν έχει νόημα.

Τι γίνεται με την έκφραση;

Εδώ όμως προκύπτει ένα πρόβλημα.

Ο αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως άλλα, μειωμένα κλάσματα, για παράδειγμα, ή.

Και αποδεικνύεται ότι υπάρχει, αλλά δεν υπάρχει, και πρόκειται μόνο για δύο διαφορετικές εγγραφές του ίδιου αριθμού.

Ή ένα άλλο παράδειγμα: μία φορά, τότε μπορείτε να το γράψετε. Μόλις όμως γράψουμε τον δείκτη με διαφορετικό τρόπο, ξαναμπαίνουμε σε μπελάδες: (δηλαδή, πήραμε ένα τελείως διαφορετικό αποτέλεσμα!).

Για να αποφύγετε τέτοια παράδοξα, σκεφτείτε μόνο θετικός εκθέτης βάσης με κλασματικό εκθέτη.

Οπότε αν:

• - φυσικός αριθμός;
• είναι ακέραιος αριθμός?

Παραδείγματα:

Οι δυνάμεις με λογικό εκθέτη είναι πολύ χρήσιμες για τον μετασχηματισμό εκφράσεων με ρίζες, για παράδειγμα:

5 παραδείγματα πρακτικής

Ανάλυση 5 παραδειγμάτων για εκπαίδευση

Λοιπόν, τώρα - το πιο δύσκολο. Τώρα θα αναλύσουμε βαθμό με παράλογο εκθέτη.

Όλοι οι κανόνες και οι ιδιότητες των μοιρών εδώ είναι ακριβώς οι ίδιοι όπως για τους βαθμούς με λογικό εκθέτη, με εξαίρεση

Πράγματι, εξ ορισμού, οι παράλογοι αριθμοί είναι αριθμοί που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα, όπου και είναι ακέραιοι (δηλαδή, οι παράλογοι αριθμοί είναι όλοι πραγματικοί αριθμοί εκτός από τους ρητούς).

Όταν μελετάμε πτυχία με φυσικό, ακέραιο και ορθολογικό δείκτη, κάθε φορά φτιάχναμε μια συγκεκριμένη «εικόνα», «αναλογία» ή περιγραφή με πιο οικείους όρους.

Για παράδειγμα, ένας φυσικός εκθέτης είναι ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του πολλές φορές.

...μηδενική ισχύς- αυτός είναι, όπως ήταν, ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από μόνος του μία φορά, δηλαδή, δεν έχει αρχίσει ακόμη να πολλαπλασιάζεται, πράγμα που σημαίνει ότι ο ίδιος ο αριθμός δεν έχει ακόμη εμφανιστεί - επομένως το αποτέλεσμα είναι μόνο ένας ορισμένος "κενός αριθμός" , δηλαδή τον αριθμό?

...αρνητικός ακέραιος εκθέτης- είναι σαν να έχει λάβει χώρα μια συγκεκριμένη «αντίστροφη διαδικασία», δηλαδή ο αριθμός δεν πολλαπλασιάστηκε από μόνος του, αλλά διαιρέθηκε.

Παρεμπιπτόντως, η επιστήμη χρησιμοποιεί συχνά έναν βαθμό με σύνθετο εκθέτη, δηλαδή, ένας εκθέτης δεν είναι καν πραγματικός αριθμός.

Αλλά στο σχολείο, δεν σκεφτόμαστε τέτοιες δυσκολίες· θα έχετε την ευκαιρία να κατανοήσετε αυτές τις νέες έννοιες στο ινστιτούτο.

ΠΟΥ ΕΙΜΑΣΤΕ ΣΙΓΟΥΡΟΙ ΘΑ ΠΑΤΕ! (αν μάθεις να λύνεις τέτοια παραδείγματα :))

Για παράδειγμα:

Αποφασίστε μόνοι σας:

Ανάλυση λύσεων:

1. Ας ξεκινήσουμε με τον ήδη συνηθισμένο κανόνα για την αύξηση του πτυχίου σε ένα βαθμό:

Δείτε τώρα το σκορ. Σας θυμίζει κάτι; Υπενθυμίζουμε τον τύπο για τον συντομευμένο πολλαπλασιασμό της διαφοράς των τετραγώνων:

Σε αυτήν την περίπτωση,

Τελικά φαίνεται πως:

Απάντηση: .

2. Φέρνουμε κλάσματα σε εκθέτες στην ίδια μορφή: είτε και τα δύο δεκαδικά είτε και τα δύο κοινά. Παίρνουμε, για παράδειγμα:

Απάντηση: 16

3. Τίποτα το ιδιαίτερο, εφαρμόζουμε τις συνήθεις ιδιότητες των πτυχίων:

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Ορισμός πτυχίου

Ο βαθμός είναι έκφραση της μορφής: , όπου:

• — βάση πτυχίου?
• - εκθέτης.

Βαθμός με φυσικό εκθέτη (n = 1, 2, 3,...)

Η αύξηση ενός αριθμού στη φυσική ισχύ n σημαίνει πολλαπλασιασμός του αριθμού από τον εαυτό του επί φορές:

Ισχύς με ακέραιο εκθέτη (0, ±1, ±2,...)

Αν ο εκθέτης είναι θετικός ακέραιοςαριθμός:

ανέγερση σε μηδενική ισχύ:

Η έκφραση είναι αόριστη, γιατί, αφενός, σε οποιοδήποτε βαθμό είναι αυτό, και αφετέρου, οποιοσδήποτε αριθμός στον ου βαθμό είναι αυτό.

Αν ο εκθέτης είναι ακέραιος αρνητικόςαριθμός:

(γιατί είναι αδύνατο να διαιρεθεί).

Για άλλη μια φορά για τα μηδενικά: η έκφραση δεν ορίζεται στην περίπτωση. Αν τότε.

Παραδείγματα:

Πτυχίο με ορθολογικό εκθέτη

• - φυσικός αριθμός;
• είναι ακέραιος αριθμός?

Παραδείγματα:

Ιδιότητες πτυχίου

Για να διευκολύνουμε την επίλυση προβλημάτων, ας προσπαθήσουμε να καταλάβουμε: από πού προήλθαν αυτές οι ιδιότητες; Ας τους αποδείξουμε.

Ας δούμε: τι είναι και;

Εξ ορισμού:

Έτσι, στη δεξιά πλευρά αυτής της έκφρασης, προκύπτει το ακόλουθο προϊόν:

Αλλά εξ ορισμού, αυτή είναι μια δύναμη ενός αριθμού με έναν εκθέτη, δηλαδή:

Q.E.D.

Παράδειγμα : Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση : .

Παράδειγμα : Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση : Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι στον κανόνα μας αναγκαίωςπρέπει να έχουν την ίδια βάση. Επομένως, συνδυάζουμε τις μοίρες με τη βάση, αλλά παραμένουμε ξεχωριστός παράγοντας:

Μια άλλη σημαντική σημείωση: αυτός ο κανόνας - μόνο για προϊόντα δυνάμεων!

Σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να το γράψω.

Όπως και με την προηγούμενη ιδιότητα, ας στραφούμε στον ορισμό του πτυχίου:

Ας το αναδιατάξουμε ως εξής:

Αποδεικνύεται ότι η έκφραση πολλαπλασιάζεται από μόνη της μία φορά, δηλαδή, σύμφωνα με τον ορισμό, αυτή είναι η -η δύναμη του αριθμού:

Στην πραγματικότητα, αυτό μπορεί να ονομαστεί "bracketing του δείκτη". Αλλά ποτέ δεν μπορείτε να το κάνετε αυτό συνολικά:!

Ας θυμηθούμε τους τύπους για συντομευμένο πολλαπλασιασμό: πόσες φορές θέλαμε να γράψουμε; Αλλά αυτό δεν είναι αλήθεια, πραγματικά.

Ισχύς με αρνητική βάση.

Μέχρι αυτό το σημείο, έχουμε συζητήσει μόνο τι θα έπρεπε να είναι δείκτηςβαθμός. Ποια πρέπει όμως να είναι η βάση; Σε μοίρες από φυσικός δείκτης η βάση μπορεί να είναι οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ .

Πράγματι, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε οποιονδήποτε αριθμό μεταξύ τους, είτε είναι θετικοί, αρνητικοί ή ζυγοί. Ας σκεφτούμε ποια ζώδια ("" ή "") θα έχουν βαθμούς θετικών και αρνητικών αριθμών;

Για παράδειγμα, ο αριθμός θα είναι θετικός ή αρνητικός; ΑΛΛΑ? ?

Με το πρώτο, όλα είναι ξεκάθαρα: ανεξάρτητα από το πόσους θετικούς αριθμούς πολλαπλασιάζουμε μεταξύ τους, το αποτέλεσμα θα είναι θετικό.

Αλλά τα αρνητικά είναι λίγο πιο ενδιαφέροντα. Εξάλλου, θυμόμαστε έναν απλό κανόνα από την 6η δημοτικού: «το μείον επί το μείον δίνει ένα συν». Δηλαδή ή. Αλλά αν πολλαπλασιάσουμε με (), παίρνουμε -.

Και ούτω καθεξής ad infinitum: με κάθε επόμενο πολλαπλασιασμό, το πρόσημο θα αλλάζει. Μπορείτε να διαμορφώσετε αυτούς τους απλούς κανόνες:

1. ακόμη καιβαθμός, - αριθμός θετικός.
2. Ο αρνητικός αριθμός αυξήθηκε σε Περιττόςβαθμός, - αριθμός αρνητικός.
3. Ένας θετικός αριθμός σε οποιαδήποτε δύναμη είναι ένας θετικός αριθμός.
4. Το μηδέν σε οποιαδήποτε ισχύ ισούται με μηδέν.

Προσδιορίστε μόνοι σας τι πρόσημο θα έχουν οι παρακάτω εκφράσεις:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Κατάφερες? Εδώ είναι οι απαντήσεις:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Στα πρώτα τέσσερα παραδείγματα, ελπίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα; Απλώς κοιτάμε τη βάση και τον εκθέτη και εφαρμόζουμε τον κατάλληλο κανόνα.

Στο παράδειγμα 5), όλα δεν είναι επίσης τόσο τρομακτικά όσο φαίνονται: δεν έχει σημασία ποια είναι η βάση - ο βαθμός είναι άρτιος, πράγμα που σημαίνει ότι το αποτέλεσμα θα είναι πάντα θετικό. Λοιπόν, εκτός από την περίπτωση που η βάση είναι μηδέν. Η βάση δεν είναι η ίδια, έτσι; Προφανώς όχι, αφού (γιατί).

Το Παράδειγμα 6) δεν είναι πλέον τόσο απλό. Εδώ πρέπει να μάθετε ποιο είναι λιγότερο: ή; Αν το θυμάστε αυτό, γίνεται σαφές ότι, πράγμα που σημαίνει ότι η βάση είναι μικρότερη από το μηδέν. Δηλαδή, εφαρμόζουμε τον κανόνα 2: το αποτέλεσμα θα είναι αρνητικό.

Και πάλι χρησιμοποιούμε τον ορισμό του πτυχίου:

Όλα είναι ως συνήθως - γράφουμε τον ορισμό των βαθμών και τους χωρίζουμε ο ένας στον άλλο, τους χωρίζουμε σε ζεύγη και παίρνουμε:

Πριν αναλύσουμε τον τελευταίο κανόνα, ας λύσουμε μερικά παραδείγματα.

Υπολογίστε τις τιμές των παραστάσεων:

Λύσεις :

Αν δεν προσέξουμε τον όγδοο βαθμό, τι βλέπουμε εδώ; Ας ρίξουμε μια ματιά στο πρόγραμμα της 7ης τάξης. Λοιπόν, θυμάσαι; Αυτός είναι ο συντομευμένος τύπος πολλαπλασιασμού, δηλαδή η διαφορά των τετραγώνων!

Παίρνουμε:

Εξετάζουμε προσεκτικά τον παρονομαστή. Μοιάζει πολύ με έναν από τους αριθμητικούς παράγοντες, αλλά τι φταίει; Λανθασμένη σειρά όρων. Αν αντιστραφούν, θα μπορούσε να εφαρμοστεί ο κανόνας 3. Πώς γίνεται όμως αυτό; Αποδεικνύεται ότι είναι πολύ εύκολο: ο άρτιος βαθμός του παρονομαστή μας βοηθά εδώ.

Αν το πολλαπλασιάσετε επί, δεν αλλάζει τίποτα, σωστά; Τώρα όμως μοιάζει με αυτό:

Οι όροι έχουν αλλάξει τόπους ως δια μαγείας. Αυτό το «φαινόμενο» ισχύει για οποιαδήποτε έκφραση σε άρτιο βαθμό: μπορούμε ελεύθερα να αλλάξουμε τα σημάδια σε αγκύλες. Αλλά είναι σημαντικό να θυμάστε: όλα τα ζώδια αλλάζουν ταυτόχρονα!Δεν μπορεί να αντικατασταθεί αλλάζοντας μόνο ένα απαράδεκτο μείον για εμάς!

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα:

Και πάλι ο τύπος:

Λοιπόν τώρα ο τελευταίος κανόνας:

Πώς θα το αποδείξουμε; Φυσικά, ως συνήθως: ας επεκτείνουμε την έννοια του πτυχίου και ας απλοποιήσουμε:

Λοιπόν, τώρα ας ανοίξουμε τις αγκύλες. Πόσα γράμματα θα είναι; φορές με πολλαπλασιαστές - πώς μοιάζει; Αυτό δεν είναι παρά ο ορισμός μιας πράξης πολλαπλασιασμός: συνολικά αποδείχθηκαν πολλαπλασιαστές. Δηλαδή, είναι εξ ορισμού δύναμη ενός αριθμού με εκθέτη:

Παράδειγμα:

Πτυχίο με παράλογο εκθέτη

Εκτός από πληροφορίες σχετικά με τους βαθμούς για το μέσο επίπεδο, θα αναλύσουμε το πτυχίο με έναν παράλογο δείκτη. Όλοι οι κανόνες και οι ιδιότητες των βαθμών εδώ είναι ακριβώς οι ίδιοι όπως για έναν βαθμό με λογικό εκθέτη, με εξαίρεση - εξ ορισμού, οι παράλογοι αριθμοί είναι αριθμοί που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα, όπου και είναι ακέραιοι αριθμοί (δηλ. , οι παράλογοι αριθμοί είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί εκτός από τους ορθολογικούς).

Όταν μελετάμε πτυχία με φυσικό, ακέραιο και ορθολογικό δείκτη, κάθε φορά φτιάχναμε μια συγκεκριμένη «εικόνα», «αναλογία» ή περιγραφή με πιο οικείους όρους. Για παράδειγμα, ένας φυσικός εκθέτης είναι ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του πολλές φορές. ένας αριθμός στον μηδέν βαθμό είναι, σαν να λέγαμε, ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του μία φορά, δηλαδή, δεν έχει αρχίσει ακόμη να πολλαπλασιάζεται, πράγμα που σημαίνει ότι ο ίδιος ο αριθμός δεν έχει καν εμφανιστεί ακόμα - επομένως, το αποτέλεσμα είναι μόνο ένα ορισμένη «προετοιμασία ενός αριθμού», δηλαδή ένας αριθμός· ένας βαθμός με ακέραιο αρνητικό δείκτη - είναι σαν να έχει συμβεί μια συγκεκριμένη "αντίστροφη διαδικασία", δηλαδή ο αριθμός δεν πολλαπλασιάστηκε από μόνος του, αλλά διαιρέθηκε.

Είναι εξαιρετικά δύσκολο να φανταστεί κανείς έναν βαθμό με έναν παράλογο εκθέτη (όπως είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς έναν 4-διάστατο χώρο). Μάλλον, είναι ένα καθαρά μαθηματικό αντικείμενο που δημιούργησαν οι μαθηματικοί για να επεκτείνουν την έννοια του βαθμού σε ολόκληρο τον χώρο των αριθμών.

Παρεμπιπτόντως, η επιστήμη χρησιμοποιεί συχνά έναν βαθμό με σύνθετο εκθέτη, δηλαδή, ένας εκθέτης δεν είναι καν πραγματικός αριθμός. Αλλά στο σχολείο, δεν σκεφτόμαστε τέτοιες δυσκολίες· θα έχετε την ευκαιρία να κατανοήσετε αυτές τις νέες έννοιες στο ινστιτούτο.

Τι κάνουμε λοιπόν αν δούμε έναν παράλογο εκθέτη; Προσπαθούμε να το ξεφορτωθούμε! :)

Για παράδειγμα:

Αποφασίστε μόνοι σας:

1)

2)

3)

Απαντήσεις:

1. Θυμηθείτε τη διαφορά των τετραγώνων. Απάντηση: .
2. Φέρνουμε τα κλάσματα στην ίδια μορφή: είτε και τα δύο δεκαδικά είτε και τα δύο συνηθισμένα. Παίρνουμε, για παράδειγμα: .
3. Τίποτα το ιδιαίτερο, εφαρμόζουμε τις συνήθεις ιδιότητες των πτυχίων:

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ

Βαθμόςονομάζεται έκφραση της μορφής: , όπου:

Βαθμός με ακέραιο εκθέτη

βαθμός, ο εκθέτης του οποίου είναι ένας φυσικός αριθμός (δηλαδή ακέραιος και θετικός).

Πτυχίο με ορθολογικό εκθέτη

βαθμό, ο δείκτης του οποίου είναι αρνητικοί και κλασματικοί αριθμοί.

Πτυχίο με παράλογο εκθέτη

εκθέτης του οποίου ο εκθέτης είναι ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα ή ρίζα.

Ιδιότητες πτυχίου

Χαρακτηριστικά πτυχίων.

• Ο αρνητικός αριθμός αυξήθηκε σε ακόμη καιβαθμός, - αριθμός θετικός.
• Ο αρνητικός αριθμός αυξήθηκε σε Περιττόςβαθμός, - αριθμός αρνητικός.
• Ένας θετικός αριθμός σε οποιαδήποτε δύναμη είναι ένας θετικός αριθμός.
• Το μηδέν ισούται με οποιαδήποτε δύναμη.
• Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι ίσος.

ΤΩΡΑ ΕΧΕΙΣ ΛΟΓΙΑ...

Πώς σας φαίνεται το άρθρο; Ενημερώστε με στα σχόλια παρακάτω αν σας άρεσε ή όχι.

Πείτε μας για την εμπειρία σας με τις ιδιότητες ισχύος.

Ίσως έχετε ερωτήσεις. Ή προτάσεις.

Γράψτε στα σχόλια.

Και καλή επιτυχία στις εξετάσεις σας!

Ο εκθέτης χρησιμοποιείται για να διευκολύνει την εγγραφή της πράξης πολλαπλασιασμού ενός αριθμού με τον εαυτό του. Για παράδειγμα, αντί να γράφετε, μπορείτε να γράψετε 4 5 (\displaystyle 4^(5))(μια εξήγηση μιας τέτοιας μετάβασης δίνεται στην πρώτη ενότητα αυτού του άρθρου). Οι δυνάμεις διευκολύνουν τη σύνταξη μεγάλων ή σύνθετων εκφράσεων ή εξισώσεων. Επίσης, οι δυνάμεις προστίθενται και αφαιρούνται εύκολα, με αποτέλεσμα την απλοποίηση μιας έκφρασης ή εξίσωσης (για παράδειγμα, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Σημείωση:εάν πρέπει να λύσετε μια εκθετική εξίσωση (σε μια τέτοια εξίσωση, ο άγνωστος βρίσκεται στον εκθέτη), διαβάστε.

Βήματα

Επίλυση απλών προβλημάτων με δυνάμεις

Πολλαπλασιάστε τη βάση του εκθέτη με τον εαυτό του πολλές φορές ίσο με τον εκθέτη.Εάν πρέπει να λύσετε ένα πρόβλημα με τους εκθέτες με μη αυτόματο τρόπο, ξαναγράψτε τον εκθέτη ως λειτουργία πολλαπλασιασμού, όπου η βάση του εκθέτη πολλαπλασιάζεται από μόνη της. Για παράδειγμα, δεδομένου του πτυχίου 3 4 (\displaystyle 3^(4)). Σε αυτήν την περίπτωση, η βάση του βαθμού 3 πρέπει να πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό της 4 φορές: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Ακολουθούν άλλα παραδείγματα:

Αρχικά, πολλαπλασιάστε τους δύο πρώτους αριθμούς.Για παράδειγμα, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Μην ανησυχείτε - η διαδικασία υπολογισμού δεν είναι τόσο περίπλοκη όσο φαίνεται με την πρώτη ματιά. Πολλαπλασιάστε πρώτα τα δύο πρώτα τετραπλάσια και μετά αντικαταστήστε τα με το αποτέλεσμα. Σαν αυτό:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Πολλαπλασιάστε το αποτέλεσμα (16 στο παράδειγμά μας) με τον επόμενο αριθμό.Κάθε επόμενο αποτέλεσμα θα αυξάνεται αναλογικά. Στο παράδειγμά μας, πολλαπλασιάστε το 16 με το 4. Κάπως έτσι:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Συνεχίστε να πολλαπλασιάζετε το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των δύο πρώτων αριθμών με τον επόμενο αριθμό μέχρι να πάρετε την τελική απάντηση. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τους δύο πρώτους αριθμούς και, στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε το αποτέλεσμα με τον επόμενο αριθμό της σειράς. Αυτή η μέθοδος ισχύει για οποιοδήποτε πτυχίο. Στο παράδειγμά μας, θα πρέπει να λάβετε: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Λύστε τα παρακάτω προβλήματα.Ελέγξτε την απάντησή σας με μια αριθμομηχανή.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Στην αριθμομηχανή, αναζητήστε το κλειδί με την ένδειξη "exp" ή " x n (\displaystyle x^(n))", ή "^".Με αυτό το κλειδί θα αυξήσετε έναν αριθμό σε δύναμη. Είναι πρακτικά αδύνατο να υπολογιστεί χειροκίνητα ο βαθμός με έναν μεγάλο εκθέτη (για παράδειγμα, τον βαθμό 9 15 (\displaystyle 9^(15))), αλλά η αριθμομηχανή μπορεί εύκολα να αντιμετωπίσει αυτήν την εργασία. Στα Windows 7, η τυπική αριθμομηχανή μπορεί να αλλάξει σε λειτουργία μηχανικής. για να το κάνετε αυτό, κάντε κλικ στο "Προβολή" -\u003e "Μηχανική". Για να μεταβείτε στην κανονική λειτουργία, κάντε κλικ στο "Προβολή" -\u003e "Κανονικό".

   • Ελέγξτε την απάντηση που λάβατε χρησιμοποιώντας μια μηχανή αναζήτησης (Google ή Yandex). Χρησιμοποιώντας το πλήκτρο "^" στο πληκτρολόγιο του υπολογιστή, εισαγάγετε την έκφραση στη μηχανή αναζήτησης, η οποία θα εμφανίσει αμέσως τη σωστή απάντηση (και πιθανώς θα προτείνει παρόμοιες εκφράσεις για μελέτη).

   Πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός δυνάμεων

   1. Μπορείτε να προσθέσετε και να αφαιρέσετε δυνάμεις μόνο εάν έχουν την ίδια βάση.Εάν χρειάζεται να προσθέσετε δυνάμεις με τις ίδιες βάσεις και εκθέτες, τότε μπορείτε να αντικαταστήσετε την πράξη πρόσθεσης με μια πράξη πολλαπλασιασμού. Για παράδειγμα, δεδομένης της έκφρασης 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Να θυμάστε ότι το πτυχίο 4 5 (\displaystyle 4^(5))μπορεί να αναπαρασταθεί ως 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); έτσι, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(όπου 1 +1 =2). Δηλαδή, μετρήστε τον αριθμό των παρόμοιων βαθμών και στη συνέχεια πολλαπλασιάστε έναν τέτοιο βαθμό και αυτόν τον αριθμό. Στο παράδειγμά μας, αυξήστε το 4 στην πέμπτη δύναμη και, στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε το αποτέλεσμα με το 2. Θυμηθείτε ότι η πράξη πρόσθεσης μπορεί να αντικατασταθεί από μια πράξη πολλαπλασιασμού, για παράδειγμα, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Ακολουθούν άλλα παραδείγματα:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Όταν πολλαπλασιάζονται οι δυνάμεις με την ίδια βάση, προστίθενται οι εκθέτες τους (η βάση δεν αλλάζει).Για παράδειγμα, δεδομένης της έκφρασης x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει απλώς να προσθέσετε τους δείκτες, αφήνοντας τη βάση αμετάβλητη. Με αυτόν τον τρόπο, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Ακολουθεί μια οπτική εξήγηση αυτού του κανόνα:

      Όταν ανεβάζουμε μια ισχύ σε μια ισχύ, οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται.Για παράδειγμα, με ένα πτυχίο. Αφού οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται, λοιπόν (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Το νόημα αυτού του κανόνα είναι ότι πολλαπλασιάζεις την ισχύ (x 2) (\displaystyle (x^(2)))στον εαυτό του πέντε φορές. Σαν αυτό:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Δεδομένου ότι η βάση είναι η ίδια, οι εκθέτες απλώς αθροίζονται: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Ένας εκθέτης με αρνητικό εκθέτη πρέπει να μετατραπεί σε κλάσμα (στην αντίστροφη ισχύ).Δεν πειράζει αν δεν ξέρεις τι είναι ανταποδοτικό. Εάν σας δοθεί πτυχίο με αρνητικό εκθέτη, για παράδειγμα, 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), γράψτε αυτή τη δύναμη στον παρονομαστή του κλάσματος (βάλτε 1 στον αριθμητή) και κάντε τον εκθέτη θετικό. Στο παράδειγμά μας: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Ακολουθούν άλλα παραδείγματα:

      Κατά τη διαίρεση των δυνάμεων με την ίδια βάση, οι εκθέτες τους αφαιρούνται (η βάση δεν αλλάζει).Η πράξη διαίρεσης είναι αντίθετη από την πράξη πολλαπλασιασμού. Για παράδειγμα, δεδομένης της έκφρασης 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Αφαιρέστε τον εκθέτη στον παρονομαστή από τον εκθέτη στον αριθμητή (μην αλλάξετε τη βάση). Με αυτόν τον τρόπο, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Ο βαθμός στον παρονομαστή μπορεί να γραφτεί ως εξής: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Θυμηθείτε ότι ένα κλάσμα είναι ένας αριθμός (δύναμη, έκφραση) με αρνητικό εκθέτη.

   4. Ακολουθούν ορισμένες εκφράσεις που θα σας βοηθήσουν να μάθετε πώς να επιλύετε προβλήματα ισχύος.Οι παραπάνω εκφράσεις καλύπτουν το υλικό που παρουσιάζεται σε αυτή την ενότητα. Για να δείτε την απάντηση, απλώς επισημάνετε το κενό διάστημα μετά το σύμβολο ίσον.

   Επίλυση προβλημάτων με κλασματικούς εκθέτες

   Ένας βαθμός με κλασματικό εκθέτη (για παράδειγμα, ) μετατρέπεται σε λειτουργία εξαγωγής ρίζας.Στο παράδειγμά μας: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). Δεν έχει σημασία ποιος αριθμός είναι στον παρονομαστή του κλασματικού εκθέτη. Για παράδειγμα, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))είναι η τέταρτη ρίζα του "x" x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Εάν ο εκθέτης είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα, τότε ένας τέτοιος εκθέτης μπορεί να αποσυντεθεί σε δύο δυνάμεις για να απλοποιηθεί η λύση του προβλήματος. Δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο σε αυτό - απλά θυμηθείτε τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων. Για παράδειγμα, με ένα πτυχίο. Μετατρέψτε αυτόν τον εκθέτη σε ρίζα της οποίας ο εκθέτης είναι ίσος με τον παρονομαστή του κλασματικού εκθέτη και, στη συνέχεια, αυξήστε τη ρίζα στον εκθέτη ίσο με τον αριθμητή του κλασματικού εκθέτη. Για να το κάνετε αυτό, θυμηθείτε το 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). Στο παράδειγμά μας:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Ορισμένες αριθμομηχανές έχουν ένα κουμπί για τον υπολογισμό των εκθετών (πρώτα πρέπει να εισαγάγετε τη βάση, μετά να πατήσετε το κουμπί και μετά να εισαγάγετε τον εκθέτη). Συμβολίζεται ως ^ ή x^y.
   3. Θυμηθείτε ότι οποιοσδήποτε αριθμός είναι ίσος με τον εαυτό του με την πρώτη δύναμη, για παράδειγμα, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.)Επιπλέον, οποιοσδήποτε αριθμός πολλαπλασιασμένος ή διαιρεμένος με ένα είναι ίσος με τον εαυτό του, για παράδειγμα, 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5)και 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Να ξέρετε ότι ο βαθμός 0 0 δεν υπάρχει (ένας τέτοιος βαθμός δεν έχει λύση). Όταν προσπαθείτε να λύσετε ένα τέτοιο πτυχίο σε μια αριθμομηχανή ή σε έναν υπολογιστή, θα λάβετε ένα σφάλμα. Αλλά να θυμάστε ότι οποιοσδήποτε αριθμός στη δύναμη του μηδέν είναι ίσος με 1, για παράδειγμα, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. Στα ανώτερα μαθηματικά, τα οποία λειτουργούν με φανταστικούς αριθμούς: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), όπου i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); Το e είναι μια σταθερά περίπου ίση με 2,7. Το a είναι μια αυθαίρετη σταθερά. Η απόδειξη αυτής της ισότητας βρίσκεται σε οποιοδήποτε εγχειρίδιο ανώτερων μαθηματικών.

   Προειδοποιήσεις

   • Καθώς ο εκθέτης αυξάνεται, η τιμή του αυξάνεται πολύ. Επομένως, εάν η απάντηση σας φαίνεται λάθος, στην πραγματικότητα μπορεί να αποδειχθεί αληθινή. Μπορείτε να το ελέγξετε σχεδιάζοντας οποιαδήποτε εκθετική συνάρτηση, όπως 2 x .