Видове триъгълници, ъгли и страни. Свойства на триъгълник

Днес отиваме в страната на Геометрията, където ще се запознаем с различните видове триъгълници.

Разгледайте геометричните фигури и намерете „допълнителната“ сред тях (фиг. 1).

Ориз. 1. Илюстрация например

Виждаме, че фигури No 1, 2, 3, 5 са ​​четириъгълници. Всеки от тях има свое име (фиг. 2).

Ориз. 2. Четириъгълници

Това означава, че „допълнителната“ фигура е триъгълник (фиг. 3).

Ориз. 3. Илюстрация например

Триъгълникът е фигура, която се състои от три точки, които не лежат на една права и три сегмента, свързващи тези точки по двойки.

Точките се наричат върхове на триъгълника, сегменти - негови партии. Страните на триъгълника се образуват Във върховете на триъгълника има три ъгъла.

Основните характеристики на триъгълника са три страни и три ъгъла.Според големината на ъгъла триъгълниците са остър, правоъгълен и тъп.

Триъгълникът се нарича остроъгълен, ако и трите му ъгъла са остри, тоест по-малки от 90° (фиг. 4).

Ориз. 4. Остроъгълен триъгълник

Триъгълникът се нарича правоъгълен, ако единият му ъгъл е 90° (фиг. 5).

Ориз. 5. Правоъгълен триъгълник

Триъгълникът се нарича тъп, ако един от ъглите му е тъп, т.е. повече от 90° (фиг. 6).

Ориз. 6. Тъп триъгълник

Въз основа на броя на равните страни триъгълниците са равностранни, равнобедрени, мащабни.

Равнобедрен триъгълник е този, в който двете страни са равни (фиг. 7).

Ориз. 7. Равнобедрен триъгълник

Тези страни се наричат страничен, Трета страна - база. В равнобедрен триъгълник ъглите при основата са равни.

Има равнобедрени триъгълници остри и тъпи(фиг. 8) .

Ориз. 8. Остър и тъп равнобедрен триъгълник

Равностранен триъгълник е този, в който и трите страни са равни (фиг. 9).

Ориз. 9. Равностранен триъгълник

В равностранен триъгълник всички ъгли са равни. Равностранни триъгълнициВинаги остроъгълен.

Скалата е триъгълник, в който и трите страни имат различна дължина (фиг. 10).

Ориз. 10. Скален триъгълник

Изпълнете задачата. Разпределете тези триъгълници в три групи (фиг. 11).

Ориз. 11. Илюстрация към задачата

Първо да разпределим според размера на ъглите.

Остроъгълни триъгълници: №1, №3.

Правоъгълни триъгълници: № 2, № 6.

Тъпи триъгълници: No4, No5.

Ще разпределим еднаквите триъгълници в групи според броя на равните страни.

Скален триъгълници: № 4, № 6.

Равнобедрени триъгълници: No2, No3, No5.

Равностранен триъгълник: No1.

Погледни картинките.

Помислете от какво парче тел е направен всеки триъгълник (фиг. 12).

Ориз. 12. Илюстрация към задачата

Можете да мислите така.

Първото парче тел е разделено на три равни части, така че можете да направите равностранен триъгълник от него. Той е показан трети на снимката.

Второто парче тел е разделено на три различни части, така че може да се използва за направата на скален триъгълник. Показано е първо на снимката.

Третото парче тел се разделя на три части, като две части имат еднаква дължина, което означава, че от нея може да се направи равнобедрен триъгълник. На снимката той е показан втори.

Днес в клас научихме за различните видове триъгълници.

Библиография

1. M.I. Moreau, M.A. Бантова и др.Математика: Учебник. 3 клас: в 2 части, част 1. - М.: „Просвещение“, 2012 г.
2. M.I. Moreau, M.A. Бантова и др.Математика: Учебник. 3 клас: в 2 части, част 2. - М.: „Просвещение“, 2012 г.
3. M.I. Моро. Уроци по математика: Методически препоръки за учители. 3 клас. - М.: Образование, 2012.
4. Нормативен документ. Мониторинг и оценка на резултатите от обучението. - М .: „Просвещение“, 2011 г.
5. „Училище на Русия“: Програми за начално училище. - М .: „Просвещение“, 2011 г.
6. С.И. Волкова. Математика: Контролна работа. 3 клас. - М.: Образование, 2012.
7. В.Н. Рудницкая. Тестове. - М.: „Изпит“, 2012 г.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Домашна работа

1. Допълнете фразите.

а) Триъгълник е фигура, която се състои от ... които не лежат на една права и ... които свързват тези точки по двойки.

б) Точките се наричат … , сегменти - негови … . Страните на триъгълника се образуват във върховете на триъгълника ….

в) Според големината на ъгъла триъгълниците са ... , ... , ... .

г) Според броя на равните страни триъгълниците са ... , ... , ... .

2. Рисувайте

а) правоъгълен триъгълник;

б) остроъгълен триъгълник;

в) тъп триъгълник;

г) равностранен триъгълник;

д) мащабен триъгълник;

д) равнобедрен триъгълник.

3. Създайте задача по темата на урока за вашите приятели.

Най-простият многоъгълник, който се изучава в училище, е триъгълник. Той е по-разбираем за учениците и среща по-малко трудности. Въпреки факта, че има различни видове триъгълници, които имат специални свойства.

Каква форма се нарича триъгълник?

Образувана от три точки и отсечки. Първите се наричат ​​върхове, вторите се наричат ​​страни. Освен това и трите сегмента трябва да бъдат свързани така, че да се образуват ъгли между тях. Оттук и името на фигурата "триъгълник".

Разлики в имената в ъглите

Тъй като те могат да бъдат остри, тъпи и прави, видовете триъгълници се определят от тези имена. Съответно има три групи такива фигури.

• Първо. Ако всички ъгли на триъгълник са остри, тогава той ще се нарича остър. Всичко е логично.

• Второ. Един от ъглите е тъп, което означава, че триъгълникът е тъп. Не може да бъде по-просто.

• трето. Има ъгъл, равен на 90 градуса, който се нарича прав ъгъл. Триъгълникът става правоъгълен.

Разлики в имената отстрани

В зависимост от характеристиките на страните се разграничават следните видове триъгълници:

общият случай е скален, при който всички страни са с произволна дължина;

равнобедрен, чиито две страни имат еднакви числени стойности;

равностранен, дължините на всичките му страни са еднакви.

Ако проблемът не посочва конкретен тип триъгълник, тогава трябва да нарисувате произволен. В който всички ъгли са остри, а страните са с различна дължина.

Свойства, общи за всички триъгълници

1. Ако съберете всички ъгли на триъгълник, ще получите число, равно на 180º. И няма значение какъв тип е. Това правило важи винаги.
2. Числената стойност на която и да е страна на триъгълник е по-малка от другите две, събрани заедно. Освен това е по-голяма от тяхната разлика.
3. Всеки външен ъгъл има стойност, която се получава чрез добавяне на два вътрешни ъгъла, които не са съседни на него. Освен това винаги е по-голям от вътрешния, съседен на него.
4. Най-малкият ъгъл винаги е срещу по-малката страна на триъгълника. И обратно, ако страната е голяма, тогава ъгълът ще бъде най-голям.

Тези свойства винаги са валидни, независимо какви видове триъгълници се разглеждат в задачите. Всичко останало следва от специфични характеристики.

Свойства на равнобедрен триъгълник

• Ъглите, които са съседни на основата, са равни.
• Височината, която е начертана към основата, също е медиана и ъглополовяща.
• Височините, медианите и ъглополовящите, които са построени към страничните страни на триъгълника, са съответно равни една на друга.

Свойства на равностранен триъгълник

Ако има такава фигура, тогава всички свойства, описани малко по-горе, ще бъдат верни. Защото равностранен винаги ще бъде равнобедрен. Но не и обратното; равнобедреният триъгълник не е задължително да е равностранен.

• Всичките му ъгли са равни един на друг и имат стойност 60º.
• Всяка медиана на равностранен триъгълник е неговата надморска височина и ъглополовяща. Освен това всички те са равни помежду си. За да се определят техните стойности, има формула, която се състои от произведението на страната и корен квадратен от 3, делено на 2.

Свойства на правоъгълен триъгълник

• Два остри ъгъла дават сбор от 90º.
• Дължината на хипотенузата винаги е по-голяма от тази на който и да е от катетите.
• Числената стойност на медианата, прекарана към хипотенузата, е равна на нейната половина.
• Кракът е равен на същата стойност, ако лежи срещу ъгъл от 30º.
• Височината, която се изтегля от върха със стойност 90º, има определена математическа зависимост от краката: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Тук: a, b - крака, n - височина.

Задачи с различни видове триъгълници

номер 1. Даден е равнобедрен триъгълник. Периметърът му е известен и е равен на 90 см. Трябва да намерим страните му. Като допълнително условие: страничната страна е 1,2 пъти по-малка от основата.

Стойността на периметъра директно зависи от количествата, които трябва да бъдат намерени. Сумата от трите страни ще даде 90 см. Сега трябва да запомните знака на триъгълника, според който той е равнобедрен. Тоест двете страни са равни. Можете да създадете уравнение с две неизвестни: 2a + b = 90. Тук a е страната, b е основата.

Сега е време за допълнително условие. След него се получава второто уравнение: b = 1.2a. Можете да замените този израз в първия. Оказва се: 2a + 1.2a = 90. След трансформации: 3.2a = 90. Следователно a = 28.125 (cm). Сега е лесно да разберете основата. Това се прави най-добре от второто условие: b = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).

За да проверите, можете да добавите три стойности: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). Това е вярно.

Отговор: Страните на триъгълника са 28,125 см, 28,125 см, 33,75 см.

номер 2. Страната на равностранен триъгълник е 12 см. Трябва да изчислите височината му.

Решение. За да намерите отговора, достатъчно е да се върнете към момента, в който са описани свойствата на триъгълника. Това е формулата за намиране на височина, медиана и ъглополовяща на равностранен триъгълник.

n = a * √3 / 2, където n е височината, а a е страната.

Заместването и изчислението дават следния резултат: n = 6 √3 (cm).

Няма нужда да запомняте тази формула. Достатъчно е да запомните, че височината разделя триъгълника на два правоъгълника. Освен това се оказва крак, а хипотенузата в него е страната на първоначалния, вторият крак е половината от известната страна. Сега трябва да запишете Питагоровата теорема и да изведете формула за височина.

Отговор: височината е 6 √3 cm.

номер 3. Даден MKR е триъгълник, в който ъгъл K е 90 градуса.Страните MR и KR са известни, те са съответно равни на 30 и 15 см. Трябва да намерим стойността на ъгъл P.

Решение. Ако направите чертеж, става ясно, че MR е хипотенузата. Освен това е два пъти по-голям от страната на KR. Отново трябва да се обърнете към свойствата. Един от тях е свързан с ъглите. От него става ясно, че ъгълът на KMR е 30º. Това означава, че желаният ъгъл P ще бъде равен на 60º. Това следва от друго свойство, което гласи, че сумата от два остри ъгъла трябва да е равна на 90º.

Отговор: ъгъл P е 60º.

номер 4. Трябва да намерим всички ъгли на равнобедрен триъгълник. За него е известно, че външният ъгъл от ъгъла при основата е 110º.

Решение. Тъй като е даден само външният ъгъл, това е, което трябва да използвате. С вътрешния образува разгънат ъгъл. Това означава, че общо те ще дадат 180º. Тоест ъгълът в основата на триъгълника ще бъде равен на 70º. Тъй като е равнобедрен, вторият ъгъл има същата стойност. Остава да изчислим третия ъгъл. Съгласно свойство, общо за всички триъгълници, сумата от ъглите е 180º. Това означава, че третият ще бъде определен като 180º - 70º - 70º = 40º.

Отговор: ъглите са 70º, 70º, 40º.

номер 5. Известно е, че в равнобедрен триъгълник ъгълът срещу основата е 90º. На основата има отбелязана точка. Отсечката, която го свързва с прав ъгъл, го разделя в съотношение 1 към 4. Трябва да намерите всички ъгли на по-малкия триъгълник.

Решение. Един от ъглите може да бъде определен веднага. Тъй като триъгълникът е правоъгълен и равнобедрен, тези, които лежат в основата му, ще бъдат 45º всеки, тоест 90º/2.

Второто от тях ще ви помогне да намерите връзката, известна в условието. Тъй като е равен на 1 до 4, частите, на които е разделен, са само 5. Това означава, че за да намерите по-малкия ъгъл на триъгълник, ви трябва 90º/5 = 18º. Остава да разберем третото. За да направите това, трябва да извадите 45º и 18º от 180º (сумата от всички ъгли на триъгълника). Изчисленията са прости и получавате: 117º.

Днес отиваме в страната на Геометрията, където ще се запознаем с различните видове триъгълници.

Разгледайте геометричните фигури и намерете „допълнителната“ сред тях (фиг. 1).

Ориз. 1. Илюстрация например

Виждаме, че фигури No 1, 2, 3, 5 са ​​четириъгълници. Всеки от тях има свое име (фиг. 2).

Ориз. 2. Четириъгълници

Това означава, че „допълнителната“ фигура е триъгълник (фиг. 3).

Ориз. 3. Илюстрация например

Триъгълникът е фигура, която се състои от три точки, които не лежат на една права и три сегмента, свързващи тези точки по двойки.

Точките се наричат върхове на триъгълника, сегменти - негови партии. Страните на триъгълника се образуват Във върховете на триъгълника има три ъгъла.

Основните характеристики на триъгълника са три страни и три ъгъла.Според големината на ъгъла триъгълниците са остър, правоъгълен и тъп.

Триъгълникът се нарича остроъгълен, ако и трите му ъгъла са остри, тоест по-малки от 90° (фиг. 4).

Ориз. 4. Остроъгълен триъгълник

Триъгълникът се нарича правоъгълен, ако единият му ъгъл е 90° (фиг. 5).

Ориз. 5. Правоъгълен триъгълник

Триъгълникът се нарича тъп, ако един от ъглите му е тъп, т.е. повече от 90° (фиг. 6).

Ориз. 6. Тъп триъгълник

Въз основа на броя на равните страни триъгълниците са равностранни, равнобедрени, мащабни.

Равнобедрен триъгълник е този, в който двете страни са равни (фиг. 7).

Ориз. 7. Равнобедрен триъгълник

Тези страни се наричат страничен, Трета страна - база. В равнобедрен триъгълник ъглите при основата са равни.

Има равнобедрени триъгълници остри и тъпи(фиг. 8) .

Ориз. 8. Остър и тъп равнобедрен триъгълник

Равностранен триъгълник е този, в който и трите страни са равни (фиг. 9).

Ориз. 9. Равностранен триъгълник

В равностранен триъгълник всички ъгли са равни. Равностранни триъгълнициВинаги остроъгълен.

Скалата е триъгълник, в който и трите страни имат различна дължина (фиг. 10).

Ориз. 10. Скален триъгълник

Изпълнете задачата. Разпределете тези триъгълници в три групи (фиг. 11).

Ориз. 11. Илюстрация към задачата

Първо да разпределим според размера на ъглите.

Остроъгълни триъгълници: №1, №3.

Правоъгълни триъгълници: № 2, № 6.

Тъпи триъгълници: No4, No5.

Ще разпределим еднаквите триъгълници в групи според броя на равните страни.

Скален триъгълници: № 4, № 6.

Равнобедрени триъгълници: No2, No3, No5.

Равностранен триъгълник: No1.

Погледни картинките.

Помислете от какво парче тел е направен всеки триъгълник (фиг. 12).

Ориз. 12. Илюстрация към задачата

Можете да мислите така.

Първото парче тел е разделено на три равни части, така че можете да направите равностранен триъгълник от него. Той е показан трети на снимката.

Второто парче тел е разделено на три различни части, така че може да се използва за направата на скален триъгълник. Показано е първо на снимката.

Третото парче тел се разделя на три части, като две части имат еднаква дължина, което означава, че от нея може да се направи равнобедрен триъгълник. На снимката той е показан втори.

Днес в клас научихме за различните видове триъгълници.

Библиография

1. M.I. Moreau, M.A. Бантова и др.Математика: Учебник. 3 клас: в 2 части, част 1. - М.: „Просвещение“, 2012 г.
2. M.I. Moreau, M.A. Бантова и др.Математика: Учебник. 3 клас: в 2 части, част 2. - М.: „Просвещение“, 2012 г.
3. M.I. Моро. Уроци по математика: Методически препоръки за учители. 3 клас. - М.: Образование, 2012.
4. Нормативен документ. Мониторинг и оценка на резултатите от обучението. - М .: „Просвещение“, 2011 г.
5. „Училище на Русия“: Програми за начално училище. - М .: „Просвещение“, 2011 г.
6. С.И. Волкова. Математика: Контролна работа. 3 клас. - М.: Образование, 2012.
7. В.Н. Рудницкая. Тестове. - М.: „Изпит“, 2012 г.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Домашна работа

1. Допълнете фразите.

а) Триъгълник е фигура, която се състои от ... които не лежат на една права и ... които свързват тези точки по двойки.

б) Точките се наричат … , сегменти - негови … . Страните на триъгълника се образуват във върховете на триъгълника ….

в) Според големината на ъгъла триъгълниците са ... , ... , ... .

г) Според броя на равните страни триъгълниците са ... , ... , ... .

2. Рисувайте

а) правоъгълен триъгълник;

б) остроъгълен триъгълник;

в) тъп триъгълник;

г) равностранен триъгълник;

д) мащабен триъгълник;

д) равнобедрен триъгълник.

3. Създайте задача по темата на урока за вашите приятели.

Стандартни обозначения

Триъгълник с върхове А, бИ ° Се обозначен като (виж фигурата). Триъгълникът има три страни:

Дължините на страните на триъгълника се обозначават с малки латински букви (a, b, c):

Триъгълникът има следните ъгли:

Стойностите на ъглите в съответните върхове традиционно се обозначават с гръцки букви (α, β, γ).

Признаци за равенство на триъгълници

Триъгълник на евклидовата равнина може да бъде еднозначно определен (до конгруентност) от следните триплети основни елементи:

1. a, b, γ (равенство на двете страни и ъгълът между тях);
2. a, β, γ (равенство на страната и два съседни ъгъла);
3. a, b, c (равенство на три страни).

Признаци за равенство на правоъгълни триъгълници:

1. по крака и хипотенузата;
2. на два крака;
3. по крака и остър ъгъл;
4. по хипотенузата и острия ъгъл.

Някои точки в триъгълника са „сдвоени“. Например, има две точки, от които всички страни се виждат или под ъгъл от 60°, или под ъгъл от 120°. Те се наричат Торичели точки. Има и две точки, чиито проекции върху страните лежат във върховете на правилен триъгълник. Това - точки Аполоний. Точки и такива се наричат Точки на Brocard.

Директен

Във всеки триъгълник центърът на тежестта, ортоцентърът и центърът на описаната окръжност лежат на една и съща права линия, т.нар. Линията на Ойлер.

Правата, минаваща през центъра на описаната окръжност и точката на Лемоан, се нарича Ос Brocard. Върху него лежат точките на Аполоний. Точката на Торичели и точката на Лемоан също лежат на една права. Основите на външните ъглополовящи на ъглите на триъгълник лежат на една и съща права, т.нар. ос на външни ъглополовящи. Пресечните точки на правите, съдържащи страните на ортотриъгълник с правите, съдържащи страните на триъгълника, също лежат на една и съща права. Тази линия се нарича ортоцентрична ос, тя е перпендикулярна на правата на Ойлер.

Ако вземем точка върху описаната окръжност на триъгълник, тогава нейните проекции върху страните на триъгълника ще лежат на една и съща права линия, т.нар. Симсън е правтази точка. Линиите на Симсън от диаметрално противоположни точки са перпендикулярни.

Триъгълници

• Триъгълник с върхове в основите, прекаран през дадена точка, се нарича севиан триъгълниктази точка.
• Триъгълник с върхове в проекциите на дадена точка върху страните се нарича копкаили триъгълник на педалатази точка.
• Триъгълник с върхове във вторите точки на пресичане на прави, прекарани през върховете и дадена точка с описаната окръжност, се нарича обиколен триъгълник. Окръжният триъгълник е подобен на триъгълника с копка.

Кръгове

• Вписан кръг- кръг, докосващ трите страни на триъгълника. Тя е единствената. Центърът на вписаната окръжност се нарича инцентър.
• Околна окръжност- окръжност, минаваща през трите върха на триъгълника. Описаната окръжност също е уникална.
• Excircle- кръг, докосващ едната страна на триъгълника и продължението на другите две страни. В един триъгълник има три такива кръга. Техният радикален център е центърът на вписаната окръжност на медиалния триъгълник, т.нар Точката на Спайкър.

Средите на трите страни на триъгълник, основите на трите му височини и средите на трите отсечки, свързващи върховете му с ортоцентъра, лежат на една окръжност, наречена кръг от девет точкиили кръг на Ойлер. Центърът на окръжността с девет точки лежи върху правата на Ойлер. Окръжност от девет точки се допира до вписана окръжност и три вписани окръжности. Точката на допир между вписаната окръжност и окръжността от девет точки се нарича Точка на Фойербах. Ако от всеки връх положим навън от триъгълника прави линии, съдържащи страните, ортези, равни по дължина на противоположните страни, тогава получените шест точки лежат на една и съща окръжност - Кръг на Конуей. Три окръжности могат да бъдат вписани във всеки триъгълник по такъв начин, че всяка от тях да докосва две страни на триъгълника и две други окръжности. Такива кръгове се наричат Кръгове на Малфати. Центровете на описаните окръжности на шестте триъгълника, на които триъгълникът е разделен от медиани, лежат на една окръжност, която се нарича обиколка на Ламун.

Триъгълникът има три кръга, които докосват двете страни на триъгълника и описаната окръжност. Такива кръгове се наричат полувписаниили Вериерски кръгове. Отсечките, свързващи точките на допиране на окръжностите на Верие с описаната окръжност, се пресичат в една точка, т.нар. Точката на Верие. Той служи като център на хомотетия, която трансформира описаната окръжност във вписана окръжност. Допирните точки на окръжностите на Верие със страните лежат на права линия, която минава през центъра на вписаната окръжност.

Отсечките, свързващи точките на допиране на вписаната окръжност с върховете, се пресичат в една точка, т.нар. Точка Gergonne, а сегментите, свързващи върховете с точките на допиране на вписаните окръжности, са вътре Точка Нагел.

Елипси, параболи и хиперболи

Вписана коника (елипса) и нейният перспектор

Безкраен брой коники (елипси, параболи или хиперболи) могат да бъдат вписани в триъгълник. Ако впишем произволна коника в триъгълник и свържем допирателните точки с противоположни върхове, то получените прави ще се пресичат в една точка, т.нар. перспективакойки. За всяка точка от равнината, която не лежи на страна или на нейното продължение, в тази точка има вписана коника с перспектор.

Описаната елипса на Щайнер и цевианите, преминаващи през нейните фокуси

Можете да впишете елипса в триъгълник, който докосва страните си в средата. Такава елипса се нарича вписана елипса на Щайнер(неговата перспектива ще бъде центърът на триъгълника). Описаната елипса, която допира правите, минаващи през върховете, успоредни на страните, се нарича описана от елипса на Щайнер. Ако трансформираме триъгълник в правилен триъгълник с помощта на афинна трансформация („изкривяване“), тогава неговата вписана и описана елипса на Щайнер ще се трансформира във вписана и описана окръжност. Правите на Чевиан, прекарани през фокусите на описаната елипса на Щайнер (точки на Скутин), са равни (теорема на Скутин). От всички описани елипси описаната елипса на Щайнер има най-малка площ, а от всички вписани елипси вписаната елипса на Щайнер е с най-голяма площ.

Елипса на Брокар и нейният перспективор - точка на Льомоан

Нарича се елипса с фокуси в точките на Brocard Елипса на Брокард. Неговата перспектива е точката на Льомоан.

Свойства на вписана парабола

Парабола на Кипърт

Перспективите на вписаните параболи лежат върху описаната елипса на Щайнер. Фокусът на вписана парабола лежи върху описаната окръжност, а директрисата минава през ортоцентъра. Парабола, вписана в триъгълник и чиято директриса е директриса на Ойлер, се нарича Парабола на Кипърт. Неговият перспектор е четвъртата пресечна точка на описаната окръжност и описаната елипса на Щайнер, т.нар. точка на Щайнер.

Хипербола на Киперт

Ако описаната хипербола минава през точката на пресичане на височините, тогава тя е равностранна (т.е. нейните асимптоти са перпендикулярни). Пресечната точка на асимптотите на равностранна хипербола лежи върху кръга от девет точки.

Трансформации

Ако линиите, минаващи през върховете и някаква точка, която не лежи отстрани, и техните продължения се отразяват спрямо съответните ъглополовящи, тогава техните образи също ще се пресичат в една точка, която се нарича изогонално спрегнатиоригиналната (ако точката лежи върху описаната окръжност, тогава получените линии ще бъдат успоредни). Много двойки забележителни точки са изогонално спрегнати: центърът на описаната окръжност и ортоцентърът, центроидът и точката на Лемоан, точките на Брокар. Точките на Аполоний са изогонално спрегнати на точките на Торичели, а центърът на вписаната окръжност е изогонално спрегнат на себе си. Под действието на изогоналното спрежение правите линии се трансформират в описани коники, а описаните коники - в прави. Така хиперболата на Киперт и оста на Брокар, хиперболата на Йензабек и правата на Ойлер, хиперболата на Фойербах и линията на центровете на вписаната и описаната окръжност са изогонално спрегнати. Описаните окръжности на триъгълниците на изогонално спрегнати точки съвпадат. Фокусите на вписаните елипси са изогонално спрегнати.

Ако вместо симетричен севиан, вземем севиан, чиято основа е толкова отдалечена от средата на страната, колкото основата на оригиналния, тогава такива севиани също ще се пресичат в една точка. Получената трансформация се нарича изотомно конюгиране. Той също така преобразува правите линии в описани коники. Точките Gergonne и Nagel са изотомично спрегнати. При афинни трансформации изотомно спрегнатите точки се трансформират в изотомно спрегнати точки. При изотомно конюгиране описаната елипса на Щайнер ще премине в безкрайно отдалечената права линия.

Ако в сегментите, отрязани от страните на триъгълника от описаната окръжност, вписваме кръгове, докосващи страните в основите на цевианите, изтеглени през определена точка, и след това свързваме допирателните точки на тези окръжности с описаната окръжност с противоположни върхове, тогава такива прави линии ще се пресичат в една точка. Извиква се трансформация на равнина, която съпоставя оригиналната точка с получената изокръгова трансформация. Композицията на изогонални и изотомични конюгати е композиция на изокръгова трансформация със себе си. Тази композиция е проективна трансформация, която оставя страните на триъгълника на място и трансформира оста на външните ъглополовящи в права линия в безкрайност.

Ако продължим страните на триъгълник на Чевиан от определена точка и вземем техните пресечни точки със съответните страни, тогава получените пресечни точки ще лежат на една права линия, т.нар. трилинейна полярнаначална точка. Ортоцентричната ос е трилинейната полярна на ортоцентъра; трилинейната поляра на центъра на вписаната окръжност е оста на външните ъглополовящи. Трилинейни поляри на точки, лежащи върху описана коника, се пресичат в една точка (за описана окръжност това е точката на Лемоан, за описана елипса на Щайнер това е центроидът). Композицията на изогонален (или изотомичен) конюгат и трилинейна полярна е двойствена трансформация (ако точка, изогонално (изотомично) конюгирана към точка, лежи върху трилинейната полярна на точка, тогава трилинейната полярна на точка изогонално (изотомно) спрегнат на точка лежи на трилинейната полярна на точка).

Кубчета

Съотношения в триъгълник

Забележка:в този раздел, , са дължините на трите страни на триъгълника, и , са ъглите, разположени съответно срещу тези три страни (противоположни ъгли).

Неравенство на триъгълник

В неизроден триъгълник сборът от дължините на двете му страни е по-голям от дължината на третата страна, в изроден триъгълник е равен. С други думи, дължините на страните на триъгълник са свързани със следните неравенства:

Неравенството на триъгълника е една от аксиомите на метриката.

Теорема за сумата на триъгълния ъгъл

Теорема за синусите

,

където R е радиусът на окръжността, описана около триъгълника. От теоремата следва, че ако a< b < c, то α < β < γ.

Косинусова теорема

Теорема за допирателната

Други съотношения

Дадени са метрични съотношения в триъгълник за:

Решаване на триъгълници

Изчисляването на неизвестните страни и ъгли на триъгълник въз основа на известните исторически се е наричало „решаване на триъгълници“. Използват се горните общи тригонометрични теореми.

Площ на триъгълник

Специални случаи Нотация

За площта са валидни следните неравенства:

Изчисляване на площта на триъгълник в пространството с помощта на вектори

Нека върховете на триъгълника са в точки , , .

Нека представим вектора на площта. Дължината на този вектор е равна на площта на триъгълника и е насочена нормално към равнината на триъгълника:

Нека зададем , където , , са проекциите на триъгълника върху координатните равнини. При което

и подобно

Площта на триъгълника е.

Алтернатива е да се изчислят дължините на страните (като се използва Питагоровата теорема) и след това да се използва формулата на Heron.

Теореми за триъгълника

Теорема на Дезарг: ако два триъгълника са перспективни (правите, минаващи през съответните върхове на триъгълниците, се пресичат в една точка), тогава съответните им страни се пресичат на една и съща права.

Теорема на Сонда: ако два триъгълника са перспективни и ортологични (перпендикуляри, изтеглени от върховете на един триъгълник към страните, противоположни на съответните върхове на триъгълника, и обратно), тогава и двата центъра на ортология (точките на пресичане на тези перпендикуляри) и центърът на перспектива лежат на една и съща права линия, перпендикулярна на оста на перспективата (права линия от теоремата на Дезарг).