Метод крамера вирішення систем лінійних рівнянь алгебри. Правило Крамера

2. Вирішення систем рівнянь матричним методом (за допомогою зворотної матриці).
3. Метод Гауса вирішення систем рівнянь.

Метод Крамер.

Метод Крамера застосовується для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри ( СЛАУ).

Формули з прикладу системи із двох рівнянь із двома змінними.
Дано:Вирішити методом Крамера систему

Щодо змінних хі у.
Рішення:
Знайдемо визначник матриці, складений із коефіцієнтів системи Обчислення визначників. :

Застосуємо формули Крамера та знайдемо значення змінних:
і .
Приклад 1:
Розв'язати систему рівнянь:

щодо змінних хі у.
Рішення:


Замінимо в цьому визначнику перший стовпець стовпцем коефіцієнтів з правої частини системи та знайдемо його значення:

Зробимо аналогічну дію, замінивши в першому визначнику другий стовпець:

Застосуємо формули Крамераі знайдемо значення змінних:
та .
Відповідь:
Примітка:Цим методом можна вирішувати системи та більшої розмірності.

Примітка:Якщо виходить, що , а ділити на нуль не можна, то кажуть, що система не має єдиного рішення. У цьому випадку система має чи нескінченно багато рішень або не має рішень взагалі.

Приклад 2(Безкінечна кількість рішень):

Розв'язати систему рівнянь:

щодо змінних хі у.
Рішення:
Знайдемо визначник матриці, складений із коефіцієнтів системи:

Рішення систем шляхом підстановки.

Перше з рівнянь системи - рівність, правильна при будь-яких значеннях змінних (бо 4 завжди одно 4). Отже, залишається лише одне рівняння. Це рівняння зв'язку між змінними.
Отримали рішенням системи є будь-які пари значень змінних, пов'язаних між собою рівністю .
Загальне рішення запишеться так:
Приватні рішення можна визначати вибираючи довільне значення і обчислюючи х за цією рівності зв'язку.

і т.д.
Таких рішень дуже багато.
Відповідь:загальне рішення
Приватні рішення:

Приклад 3(Рішень немає, система несумісна):

Розв'язати систему рівнянь:

Рішення:
Знайдемо визначник матриці, складений із коефіцієнтів системи:

Застосовувати формули Крамера не можна. Вирішимо цю систему методом підстановки

Друге рівняння системи - рівність, неправильне ні при яких значеннях змінних (звичайно ж, оскільки -15 не дорівнює 2). Якщо одне з рівнянь системи не вірно ні за яких змінних змін, то і вся системи не має рішень.
Відповідь:рішень немає

Метод Крамера застосовується для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ), в яких число невідомих змінних дорівнює числу рівнянь і визначник основної матриці відмінний від нуля. У цій статті ми розберемо, як за методом Крамера знаходяться невідомі змінні та отримаємо формули. Після цього перейдемо до прикладів і докладно опишемо рішення систем лінійних рівнянь алгебри методом Крамера.

Навігація на сторінці.

Метод Крамера – висновок формул.

Нехай нам потрібно вирішити систему лінійних рівнянь виду

Де x 1 x 2 … x n – невідомі змінні, a i j , i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- Чисельні коефіцієнти, b 1 , b 2 ..., b n - вільні члени. Рішенням СЛАУ називається такий набір значень x 1 , x 2 , …, x n за яких усі рівняння системи перетворюються на тотожності.

У матричному вигляді ця система може бути записана як A ⋅ X = B де - основна матриця системи, її елементами є коефіцієнти за невідомих змінних, - матриця – стовпець вільних членів, а - матриця – стовпець невідомих змінних. Після знаходження невідомих змінних x 1 , x 2 , …, x n , матриця стає розв'язанням системи рівнянь і рівність A ⋅ X = B перетворюється на тотожність.

Вважатимемо, що матриця А – невироджена, тобто, її визначник відмінний від нуля. У цьому випадку система лінійних рівнянь алгебри має єдине рішення, яке може бути знайдено методом Крамера. (Методи розв'язання систем при розібрані в розділі розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри).

Метод Крамера ґрунтується на двох властивостях визначника матриці:

Отже, приступимо до знаходження невідомої змінної x1. Для цього помножимо обидві частини першого рівняння системи на А 1 1 , обидві частини другого рівняння - на А 2 1 і так далі, обидві частини n-го рівняння - на А n 1 (тобто, рівняння системи множимо на відповідні алгебраїчні доповнення першого стовпця матриці А):

Складемо всі ліві частини рівняння системи, згрупувавши доданки при невідомих змінних x 1 , x 2 , …, x n і прирівняємо цю суму до суми всіх правих частин рівнянь:

Якщо звернутися до озвучених раніше властивостей визначника, маємо

і попередня рівність набуде вигляду

звідки

Аналогічно знаходимо х 2 . Для цього множимо обидві частини рівнянь системи на додатки алгебри другого стовпця матриці А :

Складаємо всі рівняння системи, групуємо доданки за невідомих змінних x 1 , x 2 , …, x n і застосовуємо властивості визначника:

Звідки
.

Аналогічно знаходяться невідомі змінні, що залишилися.

Якщо позначити

То отримуємо формули для знаходження невідомих змінних за методом Крамера .

Зауваження.

Якщо система лінійних рівнянь алгебри однорідна, тобто , вона має лише очевидне рішення (при ). Дійсно, за нульових вільних членів усі визначники дорівнюватимуть нулю, оскільки будуть містити стовпець нульових елементів. Отже, формули дадуть.

Алгоритм розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри методом Крамера.

Запишемо алгоритм вирішення систем лінійних рівнянь алгебри методом Крамера.

Приклади розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри методом Крамера.

Розберемо рішення кількох прикладів.

приклад.

Знайдіть рішення неоднорідної системи лінійних рівнянь алгебри методом Крамера .

Рішення.

Основна матриця системи має вигляд. Обчислимо її визначник за формулою :

Оскільки визначник основної матриці системи відмінний від нуля, то СЛАУ має єдине рішення, і може бути знайдено методом Крамера. Запишемо визначники та . Замінюємо перший стовпець основної матриці системи на стовпець вільних членів і отримуємо визначник . Аналогічно замінюємо другий стовпець основної матриці на стовпець вільних членів і отримуємо .

Обчислюємо ці визначники:

Знаходимо невідомі змінні x 1 та x 2 за формулами :

Виконаємо перевірку. Підставимо отримані значення x 1 і x 2 у вихідну систему рівнянь:

Обидва рівняння системи перетворюються на тотожності, отже, рішення знайдено правильно.

Відповідь:

.

Деякі елементи основної матриці СЛАУ можуть дорівнювати нулю. В цьому випадку в рівняннях системи не будуть відповідні невідомі змінні. Розберемо приклад.

приклад.

Знайдіть розв'язок системи лінійних рівнянь методом Крамера .

Рішення.

Перепишемо систему у вигляді щоб стало видно основну матрицю системи . Знайдемо її визначник за формулою

Маємо

Визначник основної матриці відмінний від нуля, отже система лінійних рівнянь має єдине рішення. Знайдемо його методом Крамера. Обчислимо визначники :

Таким чином,

Відповідь:

Позначення невідомих змінних рівняннях системи можуть відрізнятися від x 1 , x 2 , …, x n . Це не впливає на процес розв'язання. А ось порядок проходження невідомих змінних у рівняннях системи дуже важливий при складанні основної матриці та необхідних визначників методу Крамера. Пояснимо цей момент на прикладі.

приклад.

Використовуючи метод Крамера, знайдіть рішення системи трьох лінійних рівнянь алгебри з трьома невідомими .

Рішення.

У цьому прикладі невідомі змінні мають інше позначення (x, y і z замість x 1, x 2 і x 3). Це не впливає на перебіг рішення, але будьте уважні з позначеннями змінних. Як основна матриця системи НЕ МОЖНА брати . Необхідно спочатку упорядкувати невідомі змінні у всіх рівняннях системи. Для цього перепишемо систему рівнянь як . Тепер основну матрицю системи добре видно . Обчислимо її визначник:

Визначник основної матриці відмінний від нуля, отже система рівнянь має єдине рішення. Знайдемо його методом Крамера. Запишемо визначники (Зверніть увагу на позначення) і обчислимо їх:

Залишилось знайти невідомі змінні за формулами :

Виконаємо перевірку. Для цього помножимо основну матрицю на отримане рішення (за потреби дивіться розділ ):

В результаті отримали стовпець вільних членів вихідної системи рівнянь, тому рішення знайдено правильно.

Відповідь:

x = 0, y = -2, z = 3.

приклад.

Розв'яжіть методом Крамера систему лінійних рівнянь , де a та b – деякі дійсні числа.

Рішення.

Відповідь:

приклад.

Знайдіть розв'язок системи рівнянь методом Крамера - деяке дійсне число.

Рішення.

Обчислимо визначник основний матриці системы: . вирази є інтервал, тому за будь-яких дійсних значеннях. Отже, система рівнянь має єдине рішення, яке можна знайти методом Крамера. Обчислюємо і:

Методи Крамераі Гауса– одні з найпопулярніших методів вирішення СЛАУ. До того ж, часом доцільно використовувати саме конкретні методи. Сесія близька, і зараз час повторити або освоїти їх з нуля. Сьогодні розуміємо на рішення методом Крамера. Адже рішення системи лінійних рівнянь методом Крамера – дуже корисна навичка.

Системи лінійних рівнянь алгебри

Система лінійних рівнянь алгебри – система рівнянь виду:

Набір значень x , при якому рівняння системи звертаються до тотожності, називається рішенням системи, a і b - Речові коефіцієнти. Просту систему, що складається з двох рівнянь з двома невідомими, можна вирішити в умі або висловивши одну змінну через іншу. Але змінних (іксів) у СЛАУ може бути набагато більше двох, і тут простими шкільними маніпуляціями не обійтися. Що ж робити? Наприклад, вирішувати СЛАУ методом Крамера!

Отже, нехай система складається з n рівнянь з n невідомими.

Таку систему можна переписати у матричному вигляді

Тут A - основна матриця системи, X і B відповідно, матриці-стовпці невідомих змінних та вільних членів.

Рішення СЛАУ методом Крамера

Якщо визначник головної матриці не дорівнює нулю (матриця невироджена), систему можна вирішувати методом Крамера.

Згідно з методом Крамера, рішення знаходиться за формулами:

Тут дельта - Визначник головної матриці, а дельта x n-не - визначник, отриманий з визначника головної матриці шляхом заміною n-ного стовпця на стовпець вільних членів.

У цьому полягає вся суть методу Крамера. Підставляючи знайдені за наведеними вище формулами значення x у шукану систему, переконуємось у правильності (або навпаки) нашого рішення. Щоб Ви швидше вловили суть, наведемо нижче приклад докладного рішення СЛАУ методом Крамера:

Навіть якщо у Вас не вийде з першого разу, не засмучуйтесь! Небагато практики, і Ви почнете клацати СЛАУ як горішки. Більше того, зараз зовсім необов'язково корпіти над зошитом, вирішуючи громіздкі викладки та списуючи стрижень. Можна легко вирішити СЛАУ методом Крамера в режимі онлайн лише підставивши в готову форму коефіцієнти. Випробувати онлайн калькулятор рішення методом Крамера можна, наприклад, на цьому сайті.

А якщо система виявилася наполегливою і не здається, Ви завжди можете звернутися за допомогою до наших авторів, наприклад, щоб . Будь в системі хоч 100 невідомих, ми обов'язково вирішимо її правильно і точно вчасно!

Метод Крамера ґрунтується на використанні визначників у вирішенні систем лінійних рівнянь. Це значно прискорює процес розв'язання.

Метод Крамера може бути використаний у вирішенні системи стільки лінійних рівнянь, скільки в кожному рівнянні невідомих. Якщо визначник системи не дорівнює нулю, то метод Крамера може бути використаний у рішенні, якщо дорівнює нулю, то не може. Крім того, метод Крамера може бути використаний у вирішенні систем лінійних рівнянь, що мають єдине рішення.

Визначення. Визначник, складений із коефіцієнтів при невідомих, називається визначником системи та позначається (дельта).

Визначники

виходять шляхом заміни коефіцієнтів за відповідних невідомих вільними членами:

;

.

Теорема Крамера. Якщо визначник системи відмінний від нуля, то система лінійних рівнянь має одне єдине рішення, причому невідоме дорівнює відношенню визначників. У знаменнику – визначник системи, а чисельнику – визначник, отриманий з визначника системи шляхом заміни коефіцієнтів у своїй невідомому вільними членами. Ця теорема має місце системи лінійних рівнянь будь-якого порядку.

приклад 1.Розв'язати систему лінійних рівнянь:

Згідно теоремі Крамерамаємо:

Отже, рішення системи (2):

онлайн-калькулятором, вирішальним методом Крамера.

Три випадки під час вирішення систем лінійних рівнянь

Як випливає з теореми Крамера, При вирішенні системи лінійних рівнянь можуть зустрітися три випадки:

Перший випадок: система лінійних рівнянь має єдине рішення

(Система спільна та визначена)

Другий випадок: система лінійних рівнянь має безліч рішень

(Система спільна та невизначена)

** ,

тобто. коефіцієнти при невідомих та вільні члени пропорційні.

Третій випадок: система лінійних рівнянь рішень не має

(Система несумісна)

Отже, система mлінійних рівнянь з nзмінними називається несумісний, якщо вона не має жодного рішення, і спільноїякщо вона має хоча б одне рішення. Спільна система рівнянь, що має лише одне рішення, називається певної, а більше одного – невизначеною.

Приклади розв'язання систем лінійних рівнянь методом Крамера

Нехай дана система

.

На підставі теореми Крамера

………….
,

де
-

визначник системи. Інші визначники отримаємо, замінюючи стовпець з коефіцієнтами відповідної змінної (невідомого) вільними членами:

приклад 2.

.

Отже, система є певною. Для знаходження її рішення обчислюємо визначники

За формулами Крамера знаходимо:

Отже, (1; 0; -1) – єдине рішення системи.

Для перевірки рішень систем рівнянь 3Х3 і 4Х4 можна скористатися онлайн-калькулятором, вирішальним методом Крамера.

Якщо в системі лінійних рівнянь в одному або кількох рівняннях відсутні будь-які змінні, то у визначнику відповідні елементи дорівнюють нулю! Такий такий приклад.

приклад 3.Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:

.

Рішення. Знаходимо визначник системи:

Уважно подивіться на систему рівнянь і на визначник системи і повторіть відповідь на питання, в яких випадках один або кілька елементів визначника дорівнюють нулю. Отже, визначник не дорівнює нулю, отже система є певною. Для знаходження її рішення обчислюємо визначники за невідомих

За формулами Крамера знаходимо:

Отже, рішення системи – (2; -1; 1).

Для перевірки рішень систем рівнянь 3Х3 і 4Х4 можна скористатися онлайн-калькулятором, вирішальним методом Крамера.

На початок сторінки

Продовжуємо вирішувати системи методом Крамера разом

Як мовилося раніше, якщо визначник системи дорівнює нулю, а визначники при невідомих не дорівнюють нулю, система несовместна, тобто рішень немає. Проілюструємо наступний приклад.

Приклад 6.Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:

Рішення. Знаходимо визначник системи:

Визначник системи дорівнює нулю, отже, система лінійних рівнянь або несумісна і певна, або несумісна, тобто немає рішень. Для уточнення обчислюємо визначники при невідомих

Визначники при невідомих не дорівнюють нулю, отже, система несумісна, тобто немає рішень.

Для перевірки рішень систем рівнянь 3Х3 і 4Х4 можна скористатися онлайн-калькулятором, вирішальним методом Крамера.

У задачах системи лінійних рівнянь зустрічаються і такі, де крім літер, що позначають змінні, є ще й інші літери. Ці букви позначають деяке число, найчастіше дійсне. На практиці до таких рівнянь та систем рівнянь наводять завдання на пошук загальних властивостей будь-яких явищ та предметів. Тобто винайшли ви якийсь новий матеріал або пристрій, а для опису його властивостей, загальних незалежно від величини або кількості екземпляра, потрібно вирішити систему лінійних рівнянь, де замість деяких коефіцієнтів при змінних - літери. За прикладами далеко не треба ходити.

Наступний приклад - на аналогічне завдання, тільки збільшується кількість рівнянь, змінних і букв, що позначають деяке дійсне число.

Приклад 8.Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Крамера:

Рішення. Знаходимо визначник системи:

Знаходимо визначники при невідомих