Метод простої ітерації на вирішення систем лінійних рівнянь (слау). Чисельне вирішення систем лінійних рівнянь алгебри

Метод простих ітерацій заснований на заміні вихідного рівняння еквівалентним рівнянням:

Нехай відоме початкове наближення до кореня х = х 0. Підставивши їх у праву частину рівняння (2.7), отримаємо нове наближення потім аналогічним чином отримаємо і т.д.:

. (2.8)

Не за всіх умов ітераційний процес сходиться до кореня рівняння х. Розглянемо цей процес докладніше. На рис.2.6 наведена графічна інтерпретація одностороннього схожого та розбіжного процесу. На рис.2.7 зображені двосторонній схожий і розбіжний процеси. Розбіжний процес характеризується швидким наростанням значень аргументу та функції та аварійним завершенням відповідної програми.

При двосторонньому процесі можливе зациклювання, тобто нескінченне повторення тих самих значень функції та аргументу. Зациклювання відокремлює розбіжний процес від того, що сходить.

З графіків видно, що при односторонньому, і при двосторонньому процесі збіжність до кореня визначається нахилом кривої поблизу кореня. Чим менший нахил, тим краще збіжність. Як відомо, тангенс кута нахилу кривої дорівнює похідної кривої в даній точці.

Отже, що менше поблизу кореня, то швидше сходиться процес.

Для того щоб ітераційний процес був схожим, необхідно в околиці кореня виконання наступної нерівності:

Перехід від рівняння (2.1) до рівняння (2.7) можна здійснити різними способами залежно від виду функції f(x).За такого переходу необхідно побудувати функцію те щоб виконувалася умова збіжності (2.9).

Розглянемо один із загальних алгоритмів переходу від рівняння (2.1) до рівняння (2.7).

Помножимо ліву та праву частини рівняння (2.1) на довільну константу bі додамо до обох частин невідоме х.При цьому коріння вихідного рівняння не зміниться:

Введемо позначення і перейдемо від співвідношення (2.10) до рівняння (2.8).

Довільний вибір константи bдозволить забезпечити виконання умови збіжності (2.9). Критерієм закінчення ітераційного процесу буде умова (2.2). На рис.2.8 наведено графічну інтерпретацію методу простих ітерацій при описаному способі уявлення (масштаби по осях X і Y різні).

Якщо функцію вибрано у вигляді, то похідна від цієї функції буде. Максимальна швидкість збіжності буде при , тоді та ітераційна формула (2.11) переходить у формулу Ньютона. Таким чином, метод Ньютона має найвищий ступінь збіжності із усіх ітераційних процесів.

Програмна реалізація методу простих ітерацій виконана у вигляді процедури-підпрограми Iteras(ПРОГРАМА 2.1).

Вся процедура практично складається з одного циклу Repeat... Until, що реалізує формулу (2.11) з урахуванням умови припинення ітераційного процесу (формула (2.2)).

У процедуру вбудовано захист від зациклювання шляхом підрахунку числа циклів за допомогою змінної Niter. На практичних заняттях необхідно переконатися шляхом прогону програми у тому, як позначається вибір коефіцієнта bта початкового наближення на процесі пошуку кореня. При зміні коефіцієнта bхарактер ітераційного процесу досліджуваної функції змінюється. Він стає спочатку двостороннім, та був зациклюється (рис.2.9). Масштаби по осях Xі Yрізні. Ще більше значення модуля b призводить до процесу, що розходиться.

Порівняння методів наближеного розв'язування рівнянь

Порівняння описаних вище методів чисельного розв'язання рівнянь проводилося за допомогою програми, що дозволяє на екрані ПЕОМ спостерігати процес знаходження кореня у графічному вигляді. Процедури, що входять до цієї програми та реалізують порівнювані методи, наведено нижче (ПРОГРАМА 2.1).

Мал. 2.3-2.5, 2.8, 2.9 є копіями екрана ПЕОМ після закінчення ітераційного процесу.

Як досліджувану функцію у всіх випадках було взято квадратне рівняння x 2 -x-6 = 0, що має аналітичне рішення х 1 = -2 і х 2 = 3. Похибка та початкові наближення приймалися для всіх методів рівними. Результати пошуку кореня х= 3 представлені на малюнках, такі. Найбільш повільно сходиться метод дихотомії – 22 ітерації, найшвидший – метод простих ітерацій при b = -0.2 – 5 ітерацій. Тут немає суперечності із твердженням, що метод Ньютона є найшвидшим.

Похідна досліджуваної функції у точці х= 3 дорівнює -0.2, тобто розрахунок у разі вівся практично методом Ньютона з величиною похідної у точці кореня рівняння. При зміні коефіцієнта bшвидкість збіжності падає і процес, що поступово сходить, спочатку зациклюється, потім стає розбіжним.

Лекція Ітераційні методи розв'язання системи лінійних рівнянь алгебри.

Умова збіжності ітераційного процесу. Метод Якобі. Метод Зейделя

Метод простої ітерації

Розглядається система лінійних рівнянь алгебри

Для застосування ітераційних методів система має бути наведена до еквівалентного вигляду

Потім вибирається початкове наближення до розв'язання системи рівнянь і знаходиться послідовність наближень до кореня.

Для збіжності ітераційного процесу достатньо, щоб було виконано умову
(Норма матриці). Критерій закінчення ітерацій залежить від застосовуваного ітераційного методу.

Метод Якобі .

Найпростіший спосіб приведення системи до вигляду, зручного для ітерації, полягає в наступному:

З першого рівняння системи висловимо невідоме x 1 , з другого рівняння системи виразимо x 2 і т. д.

В результаті отримаємо систему рівнянь із матрицею B, в якій на головній діагоналі стоять нульові елементи, а решта елементів обчислюється за формулами:

Компоненти вектора d обчислюються за формулами:

Розрахункова формула методу простої ітерації має вигляд:

або у покоординатній формі запису виглядає так:

Критерій закінчення ітерацій у методі Якобі має вигляд:

Якщо
, то можна застосовувати простіший критерій закінчення ітерацій

приклад 1.Розв'язання системи лінійних рівнянь методом Якобі.

Нехай дана система рівнянь:

Потрібно знайти рішення системи з точністю

Наведемо систему до вигляду зручного для ітерації:

Виберемо початкове наближення, наприклад,

- Вектор правої частини.

Тоді перша ітерація виходить так:

Аналогічно виходять такі наближення до рішення.

Знайдемо норму матриці B.

Будемо використовувати норму

Оскільки сума модулів елементів у кожному рядку дорівнює 0.2, то
тому критерій закінчення ітерацій у цьому завданні

Обчислимо норми різниць векторів:

Так як
задану точність досягнуто на четвертій ітерації.

Відповідь: x 1 = 1.102, x 2 = 0.991, x 3 = 1.0 1 1

Метод Зейделя .

Метод можна як модифікацію методу Якобі. Основна ідея полягає в тому, що при обчисленні чергового (n+1)-го наближення до невідомого x iпри i >1використовують уже знайдені (n+1)-е наближення до невідомих x 1 ,x 2 , ...,x i - 1 , а не n-ое наближення, як у методі Якобі.

Розрахункова формула методу у покоординатній формі запису виглядає так:

Умови збіжності та критерій закінчення ітерацій можна взяти такими ж, як у методі Якобі.

приклад 2.Вирішення систем лінійних рівнянь методом Зейделя.

Розглянемо паралельно розв'язання 3-х систем рівнянь:

Наведемо системи до вигляду зручного для ітерацій:

Зауважимо, що умова збіжності
виконано лише першої системи. Обчислимо 3 перші наближення до рішення у кожному випадку.

1-а система:

Точним рішенням будуть значення: x 1 = 1.4, x 2 = 0.2 . Ітераційний процес сходиться.

Друга система:

Очевидно, що ітераційний процес розходиться.

Точне рішення x 1 = 1, x 2 = 0.2 .

3-я система:

Очевидно, що ітераційний процес зациклився.

Точне рішення x 1 = 1, x 2 = 2 .

Нехай матриця системи рівнянь A – симетрична та позитивно визначена. Тоді за будь-якого вибору початкового наближення метод Зейделя сходиться. Додаткових умов трохи норми деякої матриці тут не накладається.

Метод простої ітерації.

Якщо A – симетрична та позитивно визначена матриця, то систему рівнянь часто призводять до еквівалентного вигляду:

x=x-τ (A x- b), τ – ітераційний параметр.

Розрахункова формула методу простої ітерації в цьому випадку має вигляд:

x (n+1) =x n- τ (A x (n) - b).

параметр τ > 0 вибирають так, щоб по можливості зробити мінімальною величину

Нехай λ min та λ max – мінімальне та максимальне власні значення матриці A. Оптимальним є вибір параметра

В цьому випадку
приймає мінімальне значення рівне:

приклад 3. Вирішення систем лінійних рівнянь методом простої ітерації. (в MathCAD)

Нехай дана система рівнянь Ax = b

Для побудови ітераційного процесу знайдемо власні числа матриці A:

- Використовується вбудована функція для знаходження власних чисел.

Обчислимо ітераційний параметр та перевіримо умову збіжності

Умову збіжності виконано.

Візьмемо початкове наближення - вектор x0, задамо точність 0.001 і знайдемо початкові наближення за наведеною нижче програмою:

Точне рішення

Зауваження. Якщо в програмі повертати матрицю rez, можна переглянути всі знайдені ітерації.

Перевагою ітераційних методів є їх застосування до погано обумовлених систем і систем високих порядків, їх самовиправність і простота реалізації на ПК. Ітераційні методи для початку обчислення вимагають завдання будь-якого початкового наближення до шуканого рішення.

Слід зауважити, що умови та швидкість збіжності ітераційного процесу суттєво залежать від властивостей матриці. Асистеми та від вибору початкових наближень.

Для застосування методу ітерацій вихідну систему (2.1) або (2.2) необхідно привести до вигляду

після чого ітераційний процес виконується за рекурентними формулами

, k = 0, 1, 2, ... . (2.26а)

Матриця Gта вектор отримані в результаті перетворення системи (2.1).

Для збіжності (2.26 а) необхідно і достатньо, щоб | i(G)| < 1, где li(G) – всі власні значення матриці G. Схожість буде також і у разі, якщо || G|| < 1, так как |li(G)| < " ||G||, де "- будь-який. |

Символ | ... || означає норму матриці. При визначенні її величини найчастіше зупиняються на перевірці двох умов:

||G|| = чи || G|| = , (2.27)

де. Східність гарантована також, якщо вихідна матриця Амає діагональне переважання, тобто.

. (2.28)

Якщо (2.27) або (2.28) виконується, метод ітерації сходиться за будь-якого початкового наближення . Найчастіше вектор беруть або нульовим, або одиничним, або беруть сам вектор (2.26).

Існує багато підходів до перетворення вихідної системи (2.2) із матрицею Адля забезпечення виду (2.26) або виконання умов збіжності (2.27) та (2.28).

Наприклад, (2.26) можна отримати в такий спосіб.

Нехай А = У+ З, det У¹ 0; тоді ( B+ З)= Þ B= −C+ Þ Þ B –1 B= −B –1 C+ B-1 , Звідки = − B –1 C+ B –1 .

Поклавши – B –1 C = G, B-1 = , Отримаємо (2.26).

З умов збіжності (2.27) та (2.28) видно, що подання А = У+ Зне може бути довільним.

Якщо матриця Азадовольняє умовам (2.28), то як матриця Уможна вибрати нижню трикутну:

, a ii ¹ 0.

; Þ ; Þ ; Þ

Підбираючи параметр a, можна домогтися, щоб || G|| = ||E+ a A|| < 1.

Якщо має місце переважання (2.28), тоді перетворення на (2.26) можна здійснити, вирішуючи кожне i-е рівняння системи (2.1) щодо x iза наступними рекурентними формулами:

(2.28а)

Якщо у матриці Анемає діагонального переважання, його потрібно домогтися за допомогою будь-яких лінійних перетворень, які не порушують їхньої рівносильності.

Як приклад розглянемо систему

(2.29)

Як видно, в рівняннях (1) і (2) немає діагонального переважання, а (3) є, тому його залишаємо незмінним.

Досягнемо діагонального переважання в рівнянні (1). Помножимо (1) на a, (2) на b, складемо обидва рівняння та в отриманому рівнянні виберемо a та b так, щоб мало місце діагональне переважання:

(2a + 3b) х 1 + (–1,8a + 2b) х 2 + (0,4a - 1,1b) х 3 = a.

Взявши a = b = 5, отримаємо 25 х 1 + х 2 – 3,5х 3 = 5.

Для перетворення рівняння (2) з переважанням (1) помножимо на g, (2) помножимо на d і (2) віднімемо (1). Отримаємо

(3d – 2g) х 1+ (2d + 1,8g) х 2 +(-1,1d - 0,4g) х 3 = −g.

Поклавши d=2, g=3, отримаємо 0 х 1 + 9,4 х 2 – 3,4 х 3 = -3. В результаті отримаємо систему

(2.30)

Такий прийом можна застосовувати для визначення рішення широкого класу матриць.

або

Взявши як початкове наближення вектор = (0,2; –0,32; 0) Т, вирішуватимемо цю систему за технологією (2.26 а):

k = 0, 1, 2, ... .

Процес обчислення припиняється, коли два сусідніх наближення вектора рішення збігаються точності, тобто.

.

Технологія ітераційного вирішення виду (2.26 а) названа методом простої ітерації .

Оцінка абсолютної похибки для методу простої ітерації:

де символ | ... || означає норму.

Приклад 2.1. Методом простої ітерації з точністю e = 0,001 розв'язати систему лінійних рівнянь:

Число кроків, що дають відповідь з точністю до e = 0,001, можна визначити із співвідношення

£ 0,001.

Оцінимо збіжність за формулою (2.27). Тут | G|| = = max(0,56; 0,61; 0,35; 0,61) = 0,61< 1; = 2,15. Значит, сходимость обеспечена.

Як початкове наближення візьмемо вектор вільних членів, тобто = (2,15; -0,83; 1,16; 0,44) Т. Підставимо значення вектора (2.26 а):

Продовживши обчислення, результати занесемо до таблиці:

k	х 1	х 2	х 3	х 4
	2,15	–0,83	1,16	0,44
	2,9719	–1,0775	1,5093	–0,4326
	3,3555	–1,0721	1,5075	–0,7317
	3,5017	–1,0106	1,5015	–0,8111
	3,5511	–0,9277	1,4944	–0,8321
	3,5637	–0,9563	1,4834	–0,8298
	3,5678	–0,9566	1,4890	–0,8332
	3,5760	–0,9575	1,4889	–0,8356
	3,5709	–0,9573	1,4890	–0,8362
	3,5712	–0,9571	1,4889	–0,8364
	3,5713	–0,9570	1,4890	–0,8364

Схожість у тисячних частках має місце вже на 10-му кроці.

Відповідь: х 1» 3,571; х 2 »-0,957; х 3» 1,489; х 4» -0,836.

Це рішення може бути отримано за допомогою формул (2.28 а).

Приклад 2.2. Для ілюстрації алгоритму за допомогою формул (2.28 а) Розглянемо рішення системи (тільки дві ітерації):

; . (2.31)

Перетворимо систему до виду (2.26) згідно (2.28) а):

Þ (2.32)

Візьмемо початкове наближення = (0; 0; 0) Т. Тоді для k= 0 очевидно, що значення = (0,5; 0,8; 1,5) Т. Підставимо ці значення (2.32), тобто при k= 1 отримаємо = (1,075; 1,3; 1,175) Т.

Помилка e 2 = = max(0,575; 0,5; 0,325) = 0,575.

Блок-схема алгоритму знаходження рішення СЛАУ за методом простих ітерацій згідно з робочими формулами (2.28 а) представлена ​​на рис. 2.4.

Особливістю блок-схеми є наявність наступних блоків:

– блок 13 – його призначення розглянуто нижче;

– блок 21 – виведення результатів на екран;

– блок 22 – перевірка (індикатор) збіжності.

Проведемо аналіз запропонованої схеми з прикладу системи (2.31) ( n= 3, w = 1, e = 0,001):

= ; .

Блок 1. Вводимо вихідні дані A, , w, e, n: n= 3, w = 1, e = 0,001.

Цикл I. Задаємо початкові значення векторів x 0iі х i (i = 1, 2, 3).

Блок 5. Обнулюємо лічильник числа ітерацій.

Блок 6. Обнулюємо лічильник поточної похибки.

Уциклі II виконується зміна номерів рядків матриці Аі вектор.

Цикл II:i = 1: s = b 1 = 2 (блок 8).

Переходимо до вкладеного циклу III, блок9 – лічильник номерів стовпців матриці А: j = 1.

Блок 10: j = i, отже, повертаємось до блоку 9 і збільшуємо jна одиницю: j = 2.

У блоці 10 j ¹ i(2 ¹ 1) – виконуємо перехід до блоку 11.

Блок 11: s= 2 - (-1) × х 0 2 = 2 - (-1) × 0 = 2, переходимо до блоку 9, в якому jзбільшуємо на одиницю: j = 3.

У блоці 10 умова j ¹ iвиконується тому переходимо до блоку 11.

Блок 11: s= 2 - (-1) × х 0 3 = 2 – (–1) × 0 = 2, після чого переходимо до блоку 9, у якому jзбільшуємо на одиницю ( j= 4). Значення jбільше n (n= 3) – закінчуємо цикл та переходимо до блоку 12.

Блок 12: s = s / a 11 = 2 / 4 = 0,5.

Блок 13: w = 1; s = s + 0 = 0,5.

Блок 14: d = | x i – s | = | 1 – 0,5 | = 0,5.

Блок 15: x i = 0,5 (i = 1).

Блок 16. Перевіряємо умову d > de: 0,5 > 0, отже, переходимо до блоку 17, в якому присвоюємо de= 0,5 і виконуємо повернення за посиланням « А» до наступного кроку циклу II – до блоку7, в якому iзбільшуємо на одиницю.

Цикл II: i = 2: s = b 2 = 4 (блок 8).

j = 1.

За допомогою блоку 10 j ¹ i(1 ¹ 2) – виконуємо перехід до блоку 11.

Блок 11: s= 4 - 1 × 0 = 4, переходимо до блоку 9, в якому jзбільшуємо на одиницю: j = 2.

У блоці 10 умова не виконується, тому переходимо до блоку 9, в якому jзбільшуємо на одиницю: j= 3. За аналогією переходимо до блоку 11.

Блок 11: s= 4 - (-2) × 0 = 4, після чого закінчуємо цикл III і переходимо до блоку 12.

Блок 12: s = s/ a 22 = 4 / 5 = 0,8.

Блок 13: w = 1; s = s + 0 = 0,8.

Блок 14: d = | 1 – 0,8 | = 0,2.

Блок 15: x i = 0,8 (i = 2).

Блок 16. Перевіряємо умову d > de: 0,2 < 0,5; следовательно, возвращаемся по ссылке «А» до наступного кроку циклу II – до блоку7.

Цикл II: i = 3: s = b 3 = 6 (блок 8).

Переходимо у вкладений цикл III, блок9: j = 1.

Блок 11: s= 6 - 1 × 0 = 6, переходимо до блоку 9: j = 2.

За допомогою блоку 10 виконуємо перехід до блоку 11.

Блок 11: s= 6 - 1 × 0 = 6. Закінчуємо цикл III і переходимо до блоку 12.

Блок 12: s = s/ a 33 = 6 / 4 = 1,5.

Блок 13: s = 1,5.

Блок 14: d = | 1 – 1,5 | = 0,5.

Блок 15: x i = 1,5 (i = 3).

Згідно з блоком 16 (з урахуванням посилань « А» та « З») Виходимо з циклу II і переходимо до блоку18.

Блок 18. Збільшуємо кількість ітерацій it = it + 1 = 0 + 1 = 1.

У блоках 19 та 20 циклу IV замінюємо початкові значення х 0iотриманими значеннями х i (i = 1, 2, 3).

Блок 21. Виконуємо друк проміжних значень поточної ітерації, у разі: = (0,5; 0,8; 1,5) T, it = 1; de = 0,5.

Переходимо до циклу II блок 7 і виконуємо розглянуті обчислення з новими початковими значеннями х 0i (i = 1, 2, 3).

Після чого отримаємо х 1 = 1,075; х 2 = 1,3; х 3 = 1,175.

Тут, отже, метод Зейделя сходиться.

За формулами (2.33)

k	х 1	х 2	х 3
	0,19	0,97	–0,14
	0,2207	1,0703	–0,1915
	0,2354	1,0988	–0,2118
	0,2424	1,1088	–0,2196
	0,2454	1,1124	–0,2226
	0,2467	1,1135	–0,2237
	0,2472	1,1143	–0,2241
	0,2474	1,1145	–0,2243
	0,2475	1,1145	–0,2243

Відповідь: x 1 = 0,248; x 2 = 1,115; x 3 = –0,224.

Зауваження. Якщо однієї і тієї ж системи методи простої ітерації і Зейделя сходяться, то метод Зейделя краще. Однак на практиці області збіжності цих методів можуть бути різними, тобто метод простої ітерації сходиться, а метод Зейдел розходиться і навпаки. Для обох методів, якщо || G|| близька до одиниці, Швидкість збіжності дуже мала.

Для прискорення збіжності використовується штучний прийом – так званий метод релаксації . Суть його полягає в тому, що отримане методом ітерації чергове значення x i (k) перераховується за формулою

де w прийнято змінювати в межах від 0 до 2 (0< w £ 2) с каким-либо шагом (h= 0,1 чи 0,2). Параметр w підбирають те щоб збіжність методу досягалася за мінімальне число ітерацій.

Релаксація- Поступове ослаблення будь-якого стану тіла після припинення дії факторів, що викликали цей стан (фіз. техн.).

Приклад 2.4. Розглянемо результат п'ятої ітерації із застосуванням формули релаксації. Візьмемо w = 1,5:

Очевидно, отримано результат майже сьомої ітерації.

p align="justify"> Метод простої ітерації, званий також методом послідовного наближення, - це математичний алгоритм знаходження значення невідомої величини шляхом поступового її уточнення. Суть цього у тому, що, як очевидно з назви, поступово висловлюючи з початкового наближення наступні, отримують дедалі більше уточнені результати. Цей метод використовується для пошуку значення змінної заданої функції, а також при вирішенні систем рівнянь, як лінійних, так і нелінійних.

Розглянемо, як цей метод реалізується під час вирішення СЛАУ. Метод простої ітерації має такий алгоритм:

1. Перевірка виконання умови збіжності у вихідній матриці. Теорема про збіжність: якщо вихідна матриця системи має діагональне переважання (тобто, у кожному рядку елементи головної діагоналі повинні бути більшими за модулем, ніж сума елементів побічних діагоналей за модулем), то метод простих ітерацій - схожий.

2. Матриця вихідної системи який завжди має діагональне переважання. У разі систему можна перетворити. Рівняння, задовольняють умові збіжності, залишають недоторканими, і з незадовольняючими становлять лінійні комбінації, тобто. множать, віднімають, складають рівняння між собою до отримання потрібного результату.

Якщо в отриманій системі на головній діагоналі знаходяться незручні коефіцієнти, то до обох частин такого рівняння додають доданки з i * x i, знаки яких повинні збігатися зі знаками діагональних елементів.

3. Перетворення отриманої системи до нормального вигляду:

x - =β - +α*x -

Це можна зробити безліччю способів, наприклад, так: з першого рівняння виразити х 1 через інші невідомі, з другого-х 2, з третього-х 3 і т.д. При цьому використовуємо формули:

α ij = -(a ij / a ii)

i = b i /a ii
Слід знову переконатися, що одержана система нормального вигляду відповідає умові збіжності:

∑ (j=1) |α ij |≤ 1, причому i= 1,2,...n

4. Починаємо застосовувати, власне, сам спосіб послідовних наближень.

x (0) - початкове наближення, виразимо через нього х (1), далі через х (1) виразимо х (2). Загальна формула в матричному вигляді виглядає так:

x(n) = β - +α*x (n-1)

Обчислюємо, доки не досягнемо необхідної точності:

max |x i (k)-x i (k+1) ≤ ε

Отже, давайте розберемо практично метод простої ітерації. Приклад:
Вирішити СЛАУ:

4,5x1-1.7x2+3.5x3=2
3.1x1+2.3x2-1.1x3=1
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4 з точністю ε=10 -3

Подивимося, чи переважають по модулю діагональні елементи.

Ми бачимо, що умовою збіжності задовольняє лише третє рівняння. Перше і друге перетворимо, до першого рівняння додамо друге:

7,6x1+0.6x2+2.4x3=3

З третього віднімемо перше:

2,7x1+4.2x2+1.2x3=2

Ми перетворили вихідну систему на рівноцінну:

7,6x1+0.6x2+2.4x3=3
-2,7x1+4.2x2+1.2x3=2
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4

Тепер наведемо систему до нормального вигляду:

x1=0.3947-0.0789x2-0.3158x3
x2=0.4762+0.6429x1-0.2857x3
x3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2

Перевіряємо збіжність ітераційного процесу:

0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0.383 + 0.5319 = 0.9149 ≤ 1, тобто. умова виконується.

0,3947
Початкове наближення х(0) = 0,4762
0,8511

Підставляємо дані значення рівняння нормального вигляду, отримуємо наступні значення:

0,08835
x(1) = 0,486793
0,446639

Підставляємо нові значення, отримуємо:

0,215243
x(2) = 0,405396
0,558336

Продовжуємо обчислення до того моменту, поки не наблизимося до значень, що задовольняють задану умову.

x(7) = 0,441091

Перевіримо правильність отриманих результатів:

4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3.1*0,1880+2.3*0,441-1.1x*0,544=0,9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977

Результати, отримані при підстановці знайдених значень вихідні рівняння, повністю задовольняють умов рівняння.

Як бачимо, метод простої ітерації дає досить точні результати, проте на вирішення цього рівняння нам довелося витратити багато часу й зробити громіздкі обчислення.