Ekstrema, fonksiyonların en büyük ve en küçük değerleri. Etiket: yerel ekstremum

$E \subset \mathbb(R)^(n)$. $f$'ın olduğunu söylüyorlar yerel maksimum$x_(0) \in E$ noktasında, $x_(0)$ noktasının $U$ mahallesi varsa, öyle ki tüm $x \in U$ için $f\left(x\right eşitsizliği ) \leqslant f tatmin edicidir \left(x_(0)\right)$.

Yerel maksimum denir sıkı , eğer $U$ mahallesi, $x_(0)$'dan farklı olan tüm $x \in U$ için $f\left(x\right) olacak şekilde seçilebiliyorsa< f\left(x_{0}\right)$.

Tanım
$f$, $E \subset \mathbb(R)^(n)$ açık kümesinde gerçek bir fonksiyon olsun. $f$'ın olduğunu söylüyorlar yerel minimum$x_(0) \in E$ noktasında, $x_(0)$ noktasının $U$ mahallesi varsa, öyle ki tüm $x \in U$ için $f\left(x\right eşitsizliği ) \geqslant f tatmin edicidir \left(x_(0)\right)$.

$U$ mahallesi, $x_(0)$'dan farklı tüm $x \in U$ için $f\left(x\right) > f\left(x_) olacak şekilde seçilebiliyorsa yerel minimuma katı denir. ( 0)\sağ)$.

Yerel ekstremum, yerel minimum ve yerel maksimum kavramlarını birleştirir.

Teorem (diferansiyellenebilir bir fonksiyonun ekstremumu için gerekli koşul)
$f$, $E \subset \mathbb(R)^(n)$ açık kümesinde gerçek bir fonksiyon olsun. Eğer $x_(0) \in E$ noktasında $f$ fonksiyonunun bu noktada yerel bir ekstremumu varsa, o zaman $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Sıfıra eşit diferansiyel, hepsinin sıfıra eşit olduğu gerçeğine eşdeğerdir; $$\displaystyle\frac(\kısmi f)(\kısmi x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

Tek boyutlu durumda bu – . $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$'ı gösterelim, burada $h$ isteğe bağlı bir vektördür. $\phi$ işlevi, mutlak değeri yeterince küçük olan $t$ değerleri için tanımlanır. Ek olarak, ve $(\phi)' \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$'a göre türevlenebilir.
$f$'ın x $0$ noktasında yerel maksimumu olsun. Bu, $t = 0$'daki $\phi$ fonksiyonunun yerel bir maksimuma sahip olduğu ve Fermat teoremine göre $(\phi)' \left(0\right)=0$ olduğu anlamına gelir.
Böylece $df \left(x_(0)\right) = 0$ elde ettik, yani. $x_(0)$ noktasındaki $f$ fonksiyonu herhangi bir $h$ vektöründe sıfıra eşittir.

Tanım
Diferansiyelin sıfır olduğu noktalar, yani. tüm kısmi türevlerin sıfıra eşit olduğu türevlere durağan denir. Kritik noktalar$f$ işlevleri, $f$'nin türevlenemediği veya sıfıra eşit olduğu noktalardır. Eğer nokta durağansa, bundan fonksiyonun bu noktada bir ekstremuma sahip olduğu sonucu çıkmaz.

Örnek 1.
$f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$ olsun. O halde $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, dolayısıyla $\left(0,0\right)$ durağan bir noktadır, ancak fonksiyonun bu noktada bir ekstremumu yoktur. Aslında $f \left(0,0\right) = 0$, ancak $\left(0,0\right)$ noktasının herhangi bir komşuluğunda fonksiyonun hem pozitif hem de negatif değerler aldığını görmek kolaydır.

Örnek 2.
$f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ fonksiyonunun başlangıç ​​noktasında durağan bir noktası vardır, ancak bu noktada bir ekstremum olmadığı açıktır.

Teorem (ekstremum için yeterli koşul).
$f$ fonksiyonunun $E \subset \mathbb(R)^(n)$ açık kümesinde iki kez sürekli türevlenebilir olmasına izin verin. $x_(0) \in E$ sabit bir nokta olsun ve $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Sonra

1. eğer $Q_(x_(0))$ – ise, o zaman $x_(0)$ noktasındaki $f$ fonksiyonunun yerel bir ekstremumu vardır, yani form pozitif tanımlıysa bir minimum ve form pozitif tanımlıysa bir maksimum negatif tanımlı;
2. $Q_(x_(0))$ ikinci dereceden form tanımsızsa, o zaman $x_(0)$ noktasındaki $f$ fonksiyonunun ekstremumu yoktur.

Taylor formülüne göre açılımı kullanalım (12.7 s. 292). $x_(0)$ noktasındaki birinci dereceden kısmi türevlerin sıfıra eşit olduğunu düşünürsek, $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ sağ) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\right)h^(i)h^(j),$$ burada $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ ve $h \rightarrow 0$ için $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ ise, o zaman yeterince küçük uzunluktaki herhangi bir $h$ vektörü için sağ taraf pozitif olacaktır.
Dolayısıyla, $x_(0)$ noktasının belirli bir mahallesinde $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ eşitsizliğinin yalnızca $ olması durumunda geçerli olduğu sonucuna vardık x \neq x_ (0)$ ($x=x_(0)+h$\right koyarız). Bu, $x_(0)$ noktasında fonksiyonun katı bir yerel minimuma sahip olduğu anlamına gelir ve dolayısıyla teoremimizin ilk kısmı kanıtlanır.
Şimdi $Q_(x_(0))$'ın belirsiz bir form olduğunu varsayalım. Sonra $h_(1)$, $h_(2)$ vektörleri vardır, öyle ki $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0$. Sonra şunu elde ederiz: $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Yeterince küçük $t>0$ için, sağ el tarafı olumlu. Bu, $x_(0)$ noktasının herhangi bir komşuluğunda $f$ fonksiyonunun $f \left(x\right)$ $f \left(x_(0)\right)$ değerinden daha büyük değerleri aldığı anlamına gelir.
Benzer şekilde, $x_(0)$ noktasının herhangi bir komşuluğunda $f$ fonksiyonunun $f \left(x_(0)\right)$'dan daha küçük değerler aldığını bulduk. Bu, öncekiyle birlikte, $x_(0)$ noktasında $f$ fonksiyonunun bir ekstremuma sahip olmadığı anlamına gelir.

$\left(x_(0),y_(0)\right) noktasının bazı komşuluklarında tanımlanan iki değişkenli $f \left(x,y\right)$ fonksiyonu için bu teoremin özel bir durumunu ele alalım. )$ ve birinci ve ikinci dereceden sürekli kısmi türevleri olan. $\left(x_(0),y_(0)\right)$'ın sabit bir nokta olduğunu varsayalım ve $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) ), y_(0)\sağ), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ) .$$ O zaman önceki teorem aşağıdaki formu alır.

Teorem
$\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$ olsun. Daha sonra:

1. if $\Delta>0$, o zaman $f$ fonksiyonunun $\left(x_(0),y_(0)\right)$ noktasında yerel bir ekstremumu vardır, yani if ​​$a_(11)> minimumudur 0$ ve maksimum ise $a_(11)<0$;
2. eğer $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Problem çözme örnekleri

Çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremumunu bulmak için algoritma:

1. Durağan noktaları bulma;
2. Tüm sabit noktalarda 2. dereceden farkı bulun
3. Çok değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu için yeterli koşulu kullanarak, her durağan noktada 2. dereceden diferansiyeli ele alıyoruz.

1. En yüksek $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$ için fonksiyonu inceleyin.
   Çözüm

   1. dereceden kısmi türevleri bulalım: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Sistemi oluşturup çözelim: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(case) \Rightarrow \begin(case)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(case) \Rightarrow \begin(case)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(cases)$$ 2. denklemden $x=4 \cdot y^(2)$ olarak ifade ederiz - bunu 1. denklemde değiştirin: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Sonuç olarak 2 durağan nokta elde edilir:
   1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
   Bir ekstremum için yeterli koşulun sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) $M_(1)= \left(0,0\right)$ noktası için:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) $M_(2)$ noktası için:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, bu, $M_(2)$ noktasında bir ekstremum olduğu anlamına gelir ve $A_(2)>'dan beri 0$, o zaman bu minimumdur.
   Yanıt: $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ noktası $f$ fonksiyonunun minimum noktasıdır.
   

2. $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$ ekstremumunun fonksiyonunu inceleyin.
   Çözüm

   Durağan noktaları bulalım: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2,$$
   Sistemi oluşturup çözelim: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) ) \ Rightarrow \begin(case)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(case) \Rightarrow \begin(case) y = 2\\y + x = 1\end(cases) \Rightarrow x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ sabit bir noktadır.
   Ekstremum için yeterli koşulun karşılanıp karşılanmadığını kontrol edelim: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Cevap: Aşırılıklar yoktur.
   

Zaman sınırı: 0

Gezinme (yalnızca iş numaraları)

4 görevden 0 tanesi tamamlandı

Bilgi

Az önce okuduğunuz konu hakkındaki bilginizi sınamak için bu testi yapın: Çok Değişkenli Fonksiyonların Yerel Ekstremleri.

Zaten daha önce sınava girmiştiniz. Tekrar başlatamazsınız.

Deneme yükleniyor...

Teste başlamak için giriş yapmalı veya kayıt olmalısınız.

Buna başlamak için aşağıdaki testleri tamamlamanız gerekir:

sonuçlar

Doğru cevaplar: 4 üzerinden 0

Senin zaman:

Zaman bitti

0 üzerinden 0 puan aldınız (0)

Sonucunuz skor tablosuna kaydedildi

1. Cevapla
2. Bir görüntüleme işaretiyle

Görev 1/4

1 .

Puan sayısı: 1

$f$ fonksiyonunu ekstrem değerler açısından inceleyin: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

Sağ


Yanlış


1. Görev 2/4

   2 .

   Puan sayısı: 1

   $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ fonksiyonunun bir ekstremumu var mı?

>>Ekstrem

Fonksiyonun ekstremumu

ekstremum'un tanımı

İşlev y = f(x) denir artan (azalan) belirli bir aralıkta, eğer x 1 için< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) >f(x2)).

Türevlenebilir fonksiyon y = f(x) bir aralıkta artarsa ​​(azalırsa), o zaman bu aralıktaki türevi f " (X)> 0

(F"(X)< 0).

Nokta X Ö isminde yerel maksimum nokta (minimum) fonksiyon f(x) eğer noktanın bir komşuluğu varsa x-o f(x) eşitsizliğinin doğru olduğu tüm noktalar için≤ f (xö) (f(x)≥ f(x0)).

Maksimum ve minimum noktalara denir ekstrem noktalar ve fonksiyonun bu noktalardaki değerleri onun aşırılıklar.

Ekstrem noktalar

Bir ekstremum için gerekli koşullar . Eğer nokta X Ö f(x) fonksiyonunun uç noktasıdır, o zaman ya f " (x o ) = 0 veya f(xo) mevcut değil. Bu tür noktalara denir kritik, ve fonksiyonun kendisi kritik noktada tanımlanır. Bir fonksiyonun ekstremum değerleri kritik noktaları arasında aranmalıdır.

İlk yeterli koşul. İzin vermek X Ö - kritik nokta. Eğer f" (x ) bir noktadan geçerken X Ö artı işaretini eksi olarak değiştirir, ardından bu noktada x-o fonksiyonun bir maksimumu vardır, aksi takdirde bir minimumu vardır. Kritik noktadan geçerken türev işaret değiştirmiyorsa, o noktada X Ö aşırı bir durum yok.

İkinci yeterli koşul. f(x) fonksiyonu şuna sahip olsun:
F" (x ) noktanın yakınında X Ö ve noktanın kendisindeki ikinci türev x-o. Eğer f"(x-o) = 0, >0 ( <0), то точка x-o f(x) fonksiyonunun yerel minimum (maksimum) noktasıdır. =0 ise, ya ilk yeterli koşulu kullanmanız ya da daha yüksek olanları dahil etmeniz gerekir.

Bir parça üzerinde y = f(x) fonksiyonu minimum veya maksimum değerine kritik noktalarda veya parçanın uçlarında ulaşabilir.

Örnek 3.22.

Çözüm.Çünkü F " (

Bir fonksiyonun ekstremumunu bulma problemleri

Örnek 3.23. A

Çözüm. X Ve sen sen
0 ≤ X≤
> 0 ve ne zaman x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение işlevler KV. birimler).

Örnek 3.24. p ≈

Çözüm. p p
S"
R = 2, H = 16/4 = 4.

Örnek 3.22.f (x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 fonksiyonunun ekstremumunu bulun.

Çözüm.Çünkü F " (x ) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​-2)(x - 3), o zaman fonksiyonun kritik noktaları x 1 = 2 ve x 2 = 3 olur. Ekstremum ancak bu noktalarda olabilir. x 1 = 2 noktasından geçerken türevin işareti artıdan eksiye değiştiği için, bu noktada fonksiyonun bir maksimumu vardır. x 2 = 3 noktasından geçerken türevin işareti eksiden artıya değişir, dolayısıyla x 2 = 3 noktasında fonksiyonun minimumu vardır. Fonksiyon değerlerini noktalarda hesapladıktan sonra
x 1 = 2 ve x 2 = 3, fonksiyonun ekstremumunu buluyoruz: maksimum f (2) = 14 ve minimum f (3) = 13.

Örnek 3.23.Taş duvarın yanına, üç tarafı tel örgüyle çevrilecek, dördüncü tarafı duvara bitişik olacak şekilde dikdörtgen bir alan inşa etmek gerekiyor. Bunun için var A doğrusal metre örgü. Site hangi en boy oranında en geniş alana sahip olacak?

Çözüm.Platformun kenarlarını şu şekilde belirtelim: X Ve sen. Sitenin alanı S = xy'dir. İzin vermek sen- bu, duvara bitişik tarafın uzunluğudur. O halde koşula göre 2x + y = a eşitliği sağlanmalıdır. Dolayısıyla y = a - 2x ve S = x (a - 2x), burada
0 ≤ X≤ a /2 (alanın uzunluğu ve genişliği negatif olamaz). S " = a - 4x, a - 4x = 0, x = a/4'te, dolayısıyla
y = a - 2 × a/4 =a/2. Çünkü x = a/4 tek kritik noktadır, bu noktadan geçerken türevin işaretinin değişip değişmediğini kontrol edelim. x a /4 S'de "> 0 ve ne zaman x >a /4 S " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение işlevler S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (KV. birimler). S sürekli olduğundan ve S(0) ile S(a/2) uçlarındaki değerleri sıfıra eşit olduğundan bulunan değer, fonksiyonun en büyük değeri olacaktır. Dolayısıyla problemin verilen koşulları altında sitenin en uygun en boy oranı y = 2x'tir.

Örnek 3.24.Kapasitesi V=16 olan kapalı silindirik tank imalatı gerekmektedir. p ≈ 50 m3. Üretiminde en az miktarda malzemenin kullanılması için tankın boyutları (yarıçap R ve yükseklik H) ne olmalıdır?

Çözüm.Silindirin toplam yüzey alanı S = 2'dir P R(R+H). Silindirin hacmini biliyoruz V = p R 2 Н Þ Н = V/ p R 2 =16 p / p R2 = 16/R2. Yani S(R) = 2 P (R2+16/R). Bu fonksiyonun türevini buluyoruz:
S"(R) = 2 p (2R-16/R2) = 4 p (R-8/R2). S" R3 = 8'de (R) = 0, dolayısıyla,
R = 2, H = 16/4 = 4.

MAKSİMUM VE MİNİMUM PUANLAR

tanım alanındaki en büyük veya en küçük değeri aldığı noktalar; bu tür noktalara denir ayrıca mutlak maksimum veya mutlak minimum noktaları. Eğer f bir topolojik üzerinde tanımlanmışsa X boşluğu, ardından nokta x 0 isminde yerel maksimum noktası (yerel minimum), eğer böyle bir nokta mevcutsa x 0, bu mahallede söz konusu fonksiyonun sınırlandırılması için nokta x 0 mutlak maksimum (minimum) noktadır. Kesin ve katı olmayan maksimum (minimum) (hem mutlak hem de yerel) noktalar vardır. Örneğin, nokta çağrıldı f fonksiyonunun katı olmayan (katı) yerel maksimumunun bir noktası, eğer noktanın böyle bir komşuluğu mevcutsa x 0, bu herkes için geçerlidir (sırasıyla f(x) x 0). )/

Sonlu boyutlu alanlarda tanımlanan fonksiyonlar için diferansiyel hesap açısından, belirli bir noktanın yerel maksimum (minimum) noktası olması için koşullar ve işaretler vardır. F fonksiyonu sayı eksenindeki x 0 noktasının belirli bir komşuluğunda tanımlansın. Eğer x 0 - katı olmayan bir yerel maksimumun (minimum) bir noktası ve bu noktada f"( x 0), o zaman sıfıra eşittir.

Belirli bir f fonksiyonu bir noktanın komşuluğunda türevlenebilirse x0, belki de sürekli olduğu bu noktanın kendisi ve noktanın her iki tarafındaki f" türevi hariç x 0 bu mahallede sabit bir işaret var, o zaman x 0 Kesin yerel maksimumun (yerel minimum) bir noktası olduğundan, türevin işaretini artıdan eksiye çevirmek gerekli ve yeterlidir, yani x'te f"(x)>0 için<.x 0 ve f"(x)<0 при x>x 0(sırasıyla eksiden artıya: F"(X) <0 x'te<x 0 ve f"(x)>0'da x>x0). Ancak bir noktanın komşuluğunda türevlenebilir her fonksiyon için geçerli değildir. x0, Bu noktada türevin işaretinin değişmesinden bahsedebiliriz. . "

Eğer f fonksiyonu bir noktada ise x 0 ton türevler ve daha sonra x 0 kesin bir yerel maksimum noktasıydı, te'nin eşit olması ve f (m) ( x 0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x 0)>0.

F fonksiyonuna izin verin ( x 1 ..., x n] bir noktanın n boyutlu komşuluğunda tanımlanır ve bu noktada türevlenebilir. Eğer x (0) katı olmayan bir yerel maksimumun (minimum) bir noktası ise, o zaman f fonksiyonu bu noktada sıfıra eşittir. Bu koşul, f fonksiyonunun 1. dereceden tüm kısmi türevlerinin bu noktada sıfıra eşitlenmesine eşdeğerdir. Bir fonksiyonun x(0)'da 2. sürekli kısmi türevleri varsa, x(0)'daki tüm 1. türevleri yok olur ve x(0)'daki 2. derece diferansiyel negatif (pozitif) ikinci dereceden bir form ise, o zaman x (0) şu şekilde olur: kesin yerel maksimum (minimum) noktası. Argümanlardaki değişikliklere belirli kısıtlamalar getirildiğinde, M. ve M.T. diferansiyellenebilir fonksiyonlar için koşullar bilinmektedir: bağlantı denklemleri karşılanır. Daha karmaşık bir yapıya sahip olan bir gerçel fonksiyonun maksimum (minimum) değeri için gerekli ve yeterli koşullar matematiğin özel dallarında incelenir: örneğin, dışbükey analiz, matematiksel programlama(Ayrıca bakınız Maksimumlaştırma ve fonksiyonların en aza indirilmesi). Manifoldlarda tanımlanan M. ve m.t. fonksiyonları incelenmiştir. genel olarak varyasyon hesabı, a M. ve m.t. fonksiyon uzaylarında tanımlanan fonksiyonlar için, yani fonksiyon uzayları için varyasyon hesabı. Manyetizma ve m.t.'nin sayısal olarak yaklaşık olarak belirlenmesi için çeşitli yöntemler de vardır.

Aydınlatılmış.: Il'in V.A., Poznya'dan E.G.'ye, Temel Matematiksel Analiz, 3. baskı, Bölüm 1, M., 1971; KudryavtsevL. L. D. Kudryavtsev.

Matematik ansiklopedisi. - M .: Sovyet Ansiklopedisi. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Diğer sözlüklerde "MAKSİMUM VE MİNİMUM NOKTALARIN" ne olduğuna bakın:

Zamana göre ayrık kontrol süreçleri için Pontryagin'in ayrık maksimum ilkesi. Böyle bir işlem için sonlu fark operatörü geçerli olmayabilir, ancak bunun sürekli analogu için sonlu fark operatörünün diferansiyel bir operatörle değiştirilmesiyle elde edilir... ... Matematik Ansiklopedisi

Analitik modülün ana özelliklerinden birini ifade eden bir teorem. işlevler. f(z), D-karmaşık sayı uzayının bir alanındaki karmaşık değişkenlerin, M.m.p. sabitinden farklı bir düzenli analitik veya holomorfik fonksiyonu olsun. Matematik Ansiklopedisi

Gerçek değerler alan bir fonksiyonun en büyük ve buna bağlı olarak en küçük değerleri. Söz konusu fonksiyonun tanım alanında maksimum veya minimum aldığı noktaya denir. sırasıyla maksimum nokta veya minimum nokta... ... Matematik Ansiklopedisi

Bir Fonksiyonun Maksimum ve Minimumunu, Bir Noktanın Maksimum ve Minimumunu Görün... Matematik Ansiklopedisi

Sürekli bir fonksiyonun maksimum veya minimum değeri (bkz. Maksimum ve Minimum Noktalar). LE terimi... Matematik Ansiklopedisi

Gösterge- (Gösterge) Gösterge, herhangi bir parametredeki değişiklikleri görüntüleyen bir bilgi sistemi, madde, cihaz, cihazdır.Forex döviz piyasası grafik göstergeleri, nedir ve nereden indirilebilir? MACD göstergelerinin açıklaması,... ... Yatırımcı Ansiklopedisi

Bu terimin başka anlamları da vardır, bkz. Extremum (anlamlar). Matematikte ekstremum (enlem. ekstremum ekstremum), belirli bir kümedeki bir fonksiyonun maksimum veya minimum değeridir. En uç noktaya ulaşılan nokta... ... Vikipedi

Diferansiyel hesap, türev ve diferansiyel kavramlarını ve bunların fonksiyon çalışmalarına nasıl uygulanacağını inceleyen bir matematiksel analiz dalıdır. İçindekiler 1 Tek değişkenli fonksiyonların diferansiyel hesabı ... Wikipedia

Lemniskat ve odak noktaları Bernoulli'nin lemniskatı düzlemsel bir cebirsel eğridir. Noktaların yeri, çarpım olarak tanımlanır ... Vikipedi

uyuşmazlık- (Farklılık) Bir gösterge olarak sapma MACD farklılığı ile ticaret stratejisi İçindekiler İçindekiler Bölüm 1. on. Bölüm 2. Diverjans nasıl. Iraksaklık, ekonomide ıraksak yöndeki hareketi ifade etmek için kullanılan bir terimdir... ... Yatırımcı Ansiklopedisi

Bir fonksiyonda belirli bir noktada meydana gelen değişiklik, fonksiyonun artışının, argümanın sıfıra yaklaşan artışına oranı olarak tanımlanır. Bunu bulmak için türev tablosunu kullanın. Örneğin y = x3 fonksiyonunun türevi y' = x2'ye eşit olacaktır.

Bu türevi sıfıra eşitleyin (bu durumda x2=0).

Verilen değişkenin değerini bulun. Bunlar, verilen türevin 0'a eşit olacağı değerler olacaktır. Bunu yapmak için, ifadedeki x yerine, ifadenin tamamının sıfır olacağı rastgele sayıları değiştirin. Örneğin:

2-2x2= 0
(1-x)(1+x) = 0
x1= 1, x2 = -1

Elde edilen değerleri koordinat çizgisine çizin ve elde edilen değerlerin her biri için türevin işaretini hesaplayın. Koordinat çizgisi üzerinde orijin olarak alınan noktalar işaretlenir. Aralıklardaki değeri hesaplamak için kriterlerle eşleşen isteğe bağlı değerleri değiştirin. Örneğin -1 aralığından önceki önceki fonksiyon için -2 değerini seçebilirsiniz. -1'den 1'e kadar olan değerler için 0'ı, 1'den büyük değerler için ise 2'yi seçebilirsiniz. Bu sayıları türevde yerine koyun ve türevin işaretini bulun. Bu durumda x = -2 olan türev -0,24'e eşit olacaktır, yani. negatiftir ve bu aralıkta eksi işareti olacaktır. Eğer x=0 ise değer 2'ye eşit olacak ve bu aralığa bir işaret konulacaktır. Eğer x=1 ise türev de -0,24'e eşit olacak ve bir eksi konulacaktır.

Koordinat çizgisi üzerindeki bir noktadan geçerken türev işaretini eksiden artıya değiştirirse, bu minimum noktadır ve artıdan eksiye ise bu maksimum noktadır.

Konuyla ilgili video

Yararlı tavsiye

Türevi bulmak için gerekli değerleri hesaplayan ve sonucu görüntüleyen çevrimiçi hizmetler vardır. Bu tür sitelerde 5. dereceye kadar türevleri bulabilirsiniz.

Kaynaklar:

• Türevlerin hesaplanmasına yönelik hizmetlerden biri
• fonksiyonun maksimum noktası

Bir fonksiyonun minimum noktalarıyla birlikte maksimum noktalarına ekstrem noktalar denir. Bu noktalarda fonksiyon davranışını değiştirir. Ekstremler sınırlı sayısal aralıklarla belirlenir ve her zaman yereldir.

Talimatlar

Yerel ekstremum bulma işlemine fonksiyon denir ve fonksiyonun birinci ve ikinci türevleri analiz edilerek gerçekleştirilir. Çalışmaya başlamadan önce belirtilen argüman değerleri aralığının geçerli değerlere ait olduğundan emin olun. Örneğin, F=1/x fonksiyonu için x=0 argümanı geçerli değil. Veya Y=tg(x) fonksiyonu için argüman x=90° değerine sahip olamaz.

Y fonksiyonunun verilen aralığın tamamı boyunca türevlenebilir olduğundan emin olun. Y'nin ilk türevini bulun." Açıkçası, yerel maksimum noktasına ulaşmadan önce fonksiyon artar ve maksimumdan geçerken fonksiyon azalan hale gelir. Birinci türev, fiziksel anlamında, Y'nin değişim hızını karakterize eder. Fonksiyon artarken bu sürecin hızı pozitif bir değerdir.Yerel maksimuma geçiş sırasında fonksiyon azalmaya başlar ve fonksiyonun değişim hızı negatif olur.Değişim hızının geçişi sıfıra kadar olan fonksiyon yerel maksimum noktasında meydana gelir.

Fonksiyonun iç noktada olduğu söyleniyor
bölge D yerel maksimum(minimum), eğer noktanın böyle bir komşuluğu varsa
, her nokta için
eşitsizliği tutan

Bir fonksiyonun bir noktası varsa
yerel maksimum veya yerel minimum, o zaman bu noktada olduğunu söyleriz yerel ekstremum(veya sadece aşırı bir durum).

Teorem (bir ekstremun varlığı için gerekli koşul). Türevlenebilir fonksiyon bu noktada bir ekstrema ulaşırsa
, daha sonra fonksiyonun her birinci dereceden kısmi türevi bu noktada sıfır olur.

Birinci dereceden kısmi türevlerin tamamının sıfır olduğu noktalara denir. fonksiyonun sabit noktaları
. Bu noktaların koordinatları aşağıdaki sistem çözülerek bulunabilir: denklemler

.

Türevlenebilir bir fonksiyon durumunda bir ekstremun varlığı için gerekli koşul kısaca şu şekilde formüle edilebilir:

Bireysel noktalarda bazı kısmi türevlerin sonsuz değerlere sahip olduğu veya bulunmadığı (geri kalanı sıfıra eşitken) durumlar vardır. Bu tür noktalara denir Fonksiyonun kritik noktaları. Bu noktalar da tıpkı durağan noktalar gibi bir ekstremum için “şüpheli” olarak değerlendirilmelidir.

İki değişkenli bir fonksiyon durumunda, ekstremum için gerekli koşulun, yani ekstremum noktasında kısmi türevlerin (diferansiyelin) sıfıra eşitliğinin geometrik bir yorumu vardır: yüzeye teğet düzlem
uç noktada düzleme paralel olmalıdır
.

20. Bir ekstremun varlığı için yeterli koşullar

Bir noktada bir ekstremumun varlığı için gerekli koşulun yerine getirilmesi, orada bir ekstremun varlığını hiçbir şekilde garanti etmez. Örnek olarak her yerde türevlenebilir fonksiyonu alabiliriz.
. Hem kısmi türevleri hem de fonksiyonun kendisi bu noktada sıfırdır.
. Ancak bu noktanın herhangi bir mahallesinde hem olumlu (büyük) hem de
) ve negatif (daha küçük
) bu fonksiyonun değerleri. Dolayısıyla bu noktada tanım gereği herhangi bir ekstremum görülmemektedir. Bu nedenle, ekstremum olduğundan şüphelenilen bir noktanın, incelenen fonksiyonun ekstremum noktası olduğu yeterli koşulların bilinmesi gerekir.

İki değişkenli bir fonksiyonun durumunu ele alalım. Fonksiyonun olduğunu varsayalım.
tanımlı, sürekli ve bir noktanın komşuluğu dahil olmak üzere ikinci dereceye kadar sürekli kısmi türevlere sahiptir
fonksiyonun durağan noktası olan
yani koşulları karşılıyor

,
.

Aşağıdaki gösterimi tanıtalım:

Teorem (bir ekstremun varlığı için yeterli koşullar). Fonksiyona izin ver
Yukarıdaki koşulları karşılar, yani: sabit bir noktanın bazı komşuluklarında türevlenebilir
ve noktanın kendisinde iki kez türevlenebilir
. O zaman eğer

Eğer
o zaman fonksiyon
noktada
ulaşır

yerel maksimum en
Ve

yerel minimum en
.

Genel olarak fonksiyon için
noktada var olmak için yeterli koşul
yerelminimum(maksimum) dır-dir pozitif(olumsuz) ikinci diferansiyelin kesinliği.

Başka bir deyişle aşağıdaki ifade doğrudur.

Teorem . Eğer bu noktada
fonksiyon için

aynı anda sıfıra eşit olmayan herhangi biri için
, o zaman bu noktada fonksiyon vardır minimum(benzer maksimum, Eğer
).

Örnek 18.Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarını bulma

Çözüm. Fonksiyonun kısmi türevlerini bulup sıfıra eşitleyelim:

Bu sistemi çözerek iki olası uç nokta buluyoruz:

Bu fonksiyonun ikinci dereceden kısmi türevlerini bulalım:

Bu nedenle ilk durağan noktada ve
Bu nedenle bu noktada ek araştırmalara ihtiyaç vardır. İşlev değeri
bu noktada sıfır:
Daha öte,

en

A

en

Bu nedenle noktanın herhangi bir mahallesinde
işlev
değerleri büyük olarak alır
ve daha küçük
ve bu nedenle bu noktada
işlev
tanımı gereği yerel bir ekstremuma sahip değildir.

İkinci durağan noktada



bu nedenle, bu nedenle, bu yana
o zaman bu noktada
Fonksiyonun yerel bir maksimumu vardır.