Örneklerdeki hesaplama sırası. Eylemleri, kuralları, örnekleri gerçekleştirme prosedürü

Bu derste, parantezsiz ve parantezli ifadelerde aritmetik işlemleri gerçekleştirme prosedürü ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Öğrencilere ödevleri tamamlarken, ifadelerin anlamının aritmetik işlemlerin yapılma sırasına bağlı olup olmadığını belirleme, parantezsiz ve parantezli ifadelerde aritmetik işlem sırasının farklı olup olmadığını bulma, uygulama pratiği yapma fırsatı verilir. Öğrenilen kural, eylemlerin sırasını belirlerken yapılan hataları bulmak ve düzeltmektir.

Hayatta sürekli olarak bir tür eylem gerçekleştiririz: Yürürüz, çalışırız, okuruz, yazarız, sayarız, gülümseriz, tartışırız ve barışırız. Bu eylemleri farklı sıralarla gerçekleştiriyoruz. Bazen değiştirilebilir, bazen değiştirilemezler. Örneğin sabah okula giderken önce egzersiz yapabilir, sonra yatağınızı toplayabilir veya tam tersini yapabilirsiniz. Ama önce okula gidip sonra giyinemezsin.

Matematikte aritmetik işlemleri belirli bir sırayla yapmak gerekir mi?

Hadi kontrol edelim

İfadeleri karşılaştıralım:
8-3+4 ve 8-3+4

Her iki ifadenin de tamamen aynı olduğunu görüyoruz.

Bir ifadede soldan sağa, diğerinde ise sağdan sola işlemleri gerçekleştirelim. Eylemlerin sırasını belirtmek için sayıları kullanabilirsiniz (Şekil 1).

Pirinç. 1. Prosedür

İlk ifadede önce çıkarma işlemini yapıp ardından 4 sayısını sonuca ekleyeceğiz.

İkinci ifadede önce toplamın değerini buluyoruz, sonra elde edilen sonuç olan 7'yi 8'den çıkarıyoruz.

İfadelerin anlamlarının farklı olduğunu görüyoruz.

Sonuç olarak şunu belirtelim: Aritmetik işlemlerin gerçekleştirilme sırası değiştirilemez.

Parantezsiz ifadelerde aritmetik işlem yapma kuralını öğrenelim.

Parantezsiz bir ifade yalnızca toplama ve çıkarma veya yalnızca çarpma ve bölmeyi içeriyorsa işlemler yazılma sırasına göre gerçekleştirilir.

Hadi pratik yapalım.

İfadeyi düşünün

Bu ifade yalnızca toplama ve çıkarma işlemlerini içerir. Bu eylemlere denir ilk aşama eylemleri.

İşlemleri soldan sağa sırayla gerçekleştiriyoruz (Şekil 2).

Pirinç. 2. Prosedür

İkinci ifadeyi düşünün

Bu ifade yalnızca çarpma ve bölme işlemlerini içerir - Bunlar ikinci aşamanın eylemleridir.

İşlemleri soldan sağa sırayla gerçekleştiriyoruz (Şekil 3).

Pirinç. 3. Prosedür

İfadede yalnızca toplama ve çıkarma değil aynı zamanda çarpma ve bölme de bulunuyorsa aritmetik işlemler hangi sırayla gerçekleştirilir?

Parantezsiz bir ifade yalnızca toplama ve çıkarma işlemlerini değil, aynı zamanda çarpma ve bölme işlemlerini veya bu işlemlerin her ikisini de içeriyorsa, önce sırasıyla (soldan sağa) çarpma ve bölmeyi, ardından toplama ve çıkarma işlemini gerçekleştirin.

İfadeye bakalım.

Şöyle düşünelim. Bu ifade toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini içerir. Kurallara göre hareket ediyoruz. Önce sırasıyla (soldan sağa) çarpma ve bölme, ardından toplama ve çıkarma işlemlerini yapıyoruz. Eylem sırasını düzenleyelim.

İfadenin değerini hesaplayalım.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

Bir ifadede parantez varsa aritmetik işlemler hangi sırayla yapılır?

Bir ifadenin parantez içermesi durumunda öncelikle parantez içindeki ifadelerin değeri değerlendirilir.

İfadeye bakalım.

30 + 6 * (13 - 9)

Bu ifadede parantez içinde bir işlem olduğunu görüyoruz, yani önce bu işlemi, ardından sırasıyla çarpma ve toplama işlemini gerçekleştireceğiz. Eylem sırasını düzenleyelim.

30 + 6 * (13 - 9)

İfadenin değerini hesaplayalım.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Sayısal bir ifadede aritmetik işlemlerin sırasını doğru bir şekilde belirlemek için akıl yürütme nasıl olmalıdır?

Hesaplamalara başlamadan önce ifadeye bakmanız (parantez içerip içermediğini, hangi eylemleri içerdiğini öğrenmeniz) ve ancak bundan sonra eylemleri aşağıdaki sırayla gerçekleştirmeniz gerekir:

1. Parantez içinde yazılan eylemler;

2. çarpma ve bölme;

3. toplama ve çıkarma.

Diyagram bu basit kuralı hatırlamanıza yardımcı olacaktır (Şekil 4).

Pirinç. 4. Prosedür

Hadi pratik yapalım.

İfadeleri ele alalım, eylem sırasını belirleyelim ve hesaplamalar yapalım.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

Kurallara göre hareket edeceğiz. 43 - (20 - 7) +15 ifadesi, parantez içindeki işlemlerin yanı sıra toplama ve çıkarma işlemlerini de içerir. Bir prosedür oluşturalım. İlk işlem parantez içindeki işlemi yapmak ve ardından soldan sağa sırayla çıkarma ve toplama işlemlerini yapmaktır.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

32 + 9 * (19 - 16) ifadesi parantez içindeki işlemlerin yanı sıra çarpma ve toplama işlemlerini de içerir. Kurala göre önce parantez içindeki işlemi, ardından çarpma (9 sayısını çıkarma sonucu elde edilen sonuçla çarpıyoruz) ve toplama işlemlerini gerçekleştiriyoruz.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

2*9-18:3 ifadesinde parantez yoktur ancak çarpma, bölme ve çıkarma işlemleri vardır. Kurallara göre hareket ediyoruz. Önce soldan sağa çarpma ve bölme işlemlerini yapıyoruz, ardından bölme işleminden elde edilen sonucu çarpma işleminden elde edilen sonuçtan çıkarıyoruz. Yani birincisi çarpma, ikincisi bölme, üçüncüsü çıkarmadır.

2*9-18:3=18-6=12

Aşağıdaki ifadelerdeki eylem sırasının doğru tanımlanıp tanımlanmadığını bulalım.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

Şöyle düşünelim.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

Bu ifadede parantez yok yani önce soldan sağa çarpma veya bölme, sonra toplama veya çıkarma işlemi yapıyoruz. Bu ifadede ilk eylem bölme, ikincisi çarpmadır. Üçüncü eylem toplama, dördüncü çıkarma olmalıdır. Sonuç: prosedür doğru şekilde belirlenmiştir.

Bu ifadenin değerini bulalım.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

Konuşmaya devam edelim.

İkinci ifadede parantez var yani önce parantez içindeki işlemi daha sonra soldan sağa çarpma veya bölme, toplama veya çıkarma işlemini gerçekleştiriyoruz. Kontrol ediyoruz: ilk eylem parantez içinde, ikincisi bölme, üçüncüsü toplama. Sonuç: Prosedür yanlış tanımlanmış. Hataları düzeltip ifadenin anlamını bulalım.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

Bu ifade aynı zamanda parantezleri de içeriyor, yani önce parantez içindeki işlemi, ardından soldan sağa çarpma veya bölme, toplama veya çıkarma işlemini gerçekleştiriyoruz. Kontrol edelim: İlk eylem parantez içinde, ikincisi çarpma, üçüncüsü çıkarma. Sonuç: Prosedür yanlış tanımlanmış. Hataları düzeltip ifadenin anlamını bulalım.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Görevi tamamlayalım.

Öğrenilen kuralı kullanarak ifadedeki eylemlerin sırasını düzenleyelim (Şekil 5).

Pirinç. 5. Prosedür

Sayısal değerleri göremediğimiz için ifadelerin anlamlarını da bulamayacağız ama öğrendiğimiz kuralı uygulamaya çalışacağız.

Algoritmaya göre hareket ediyoruz.

İlk ifade parantez içerir; bu, ilk eylemin parantez içinde olduğu anlamına gelir. Daha sonra soldan sağa çarpma ve bölme, ardından soldan sağa çıkarma ve toplama.

İkinci ifade de parantez içeriyor, bu da ilk eylemi parantez içinde gerçekleştirdiğimiz anlamına geliyor. Daha sonra soldan sağa çarpma ve bölme, ardından çıkarma işlemi yapılır.

Kendimizi kontrol edelim (Şekil 6).

Pirinç. 6. Prosedür

Bugün sınıfta parantezsiz ve parantezli ifadelerde eylem sırası kuralını öğrendik.

Kaynakça

1. Mİ. Moreau, MA Bantova ve diğerleri Matematik: Ders Kitabı. 3. sınıf: 2 bölüm, bölüm 1. - M .: “Aydınlanma”, 2012.
2. Mİ. Moreau, MA Bantova ve diğerleri Matematik: Ders Kitabı. 3. sınıf: 2 bölüm, bölüm 2. - M.: “Aydınlanma”, 2012.
3. Mİ. Moro. Matematik dersleri: Öğretmenler için metodolojik öneriler. 3. sınıf. - M.: Eğitim, 2012.
4. Düzenleyici belge. Öğrenme çıktılarının izlenmesi ve değerlendirilmesi. - M .: “Aydınlanma”, 2011.
5. “Rusya Okulu”: İlkokul programları. - M .: “Aydınlanma”, 2011.
6. Sİ. Volkova. Matematik: Test kağıtları. 3. sınıf. - M.: Eğitim, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Testler. - M .: “Sınav”, 2012.

1. Festival.1september.ru ().
2. Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
3. Openclass.ru ().

Ev ödevi

1. Bu ifadelerdeki eylemlerin sırasını belirleyin. İfadelerin anlamını bulun.

2. Bu işlem sırasının hangi ifadede gerçekleştirildiğini belirleyin:

1. çarpma; 2. bölüm; 3. ekleme; 4. çıkarma; 5. ekleme. Bu ifadenin anlamını bulunuz.

3. Aşağıdaki eylem sırasının gerçekleştirildiği üç ifadeyi oluşturun:

1. çarpma; 2. ekleme; 3. çıkarma

1. ekleme; 2. çıkarma; 3. ekleme

1. çarpma; 2. bölüm; 3. ekleme

Bu ifadelerin anlamını bulunuz.

İlkokul sona eriyor ve çok geçmeden çocuk matematiğin ileri dünyasına adım atacak. Ancak bu dönemde öğrenci zaten bilimin zorluklarıyla karşı karşıyadır. Basit bir görevi yerine getirirken çocuğun kafası karışır ve kaybolur, bu da sonuçta yapılan işin olumsuz bir not almasına yol açar. Bu tür sıkıntıların yaşanmaması için örnek çözerken örneği çözmeniz gereken sırayla gezinebilmeniz gerekir. Eylemleri yanlış dağıtan çocuk, görevi doğru şekilde tamamlayamıyor. Makale, parantez dahil tüm matematiksel hesaplamaları içeren örneklerin çözümüne yönelik temel kuralları ortaya koymaktadır. 4. sınıf matematikte işlem kuralları ve örnekler.

Görevi tamamlamadan önce çocuğunuzdan gerçekleştireceği eylemleri numaralandırmasını isteyin. Herhangi bir zorluk yaşarsanız lütfen yardım edin.

Örnekleri parantezsiz çözerken uyulması gereken bazı kurallar:

Bir görev birden fazla eylemin gerçekleştirilmesini gerektiriyorsa, önce bölme veya çarpma işlemlerini, ardından da işlemi gerçekleştirmelisiniz. Mektup ilerledikçe tüm eylemler gerçekleştirilir. Aksi takdirde kararın sonucu doğru olmayacaktır.

Örnekte yürütmeniz gerekiyorsa, bunu soldan sağa doğru sırayla yapıyoruz.

27-5+15=37 (Örneği çözerken kurala göre hareket ediyoruz. Önce çıkarma, sonra toplama yapıyoruz).

Çocuğunuza her zaman gerçekleştirilen eylemleri planlamayı ve numaralandırmayı öğretin.

Çözülen her eylemin yanıtları örneğin üzerinde yazılmıştır. Bu, çocuğun eylemlerde gezinmesini çok daha kolay hale getirecektir.

Eylemleri sırayla dağıtmanın gerekli olduğu başka bir seçeneği düşünelim:

Gördüğünüz gibi çözerken şu kurala uyulur: Önce ürünü ararız, sonra farkı ararız.

Bunlar, çözülürken dikkatli bir şekilde düşünülmesi gereken basit örneklerdir. Çoğu çocuk, yalnızca çarpma ve bölmeyi değil aynı zamanda parantezleri de içeren bir görev gördüklerinde şaşkına döner. Eylemleri gerçekleştirme prosedürünü bilmeyen bir öğrencinin, görevi tamamlamasını engelleyen soruları vardır.

Kuralda belirtildiği gibi önce çarpımı veya bölümü, sonra diğer her şeyi buluyoruz. Ama parantez var! Bu durumda ne yapmalı?

Örnekleri parantezle çözme

Belirli bir örneğe bakalım:

• Bu görevi gerçekleştirirken öncelikle parantez içindeki ifadenin değerini buluyoruz.
• Çarpmayla başlamalı, sonra toplama yapmalısınız.
• Parantez içindeki ifade çözüldükten sonra onların dışındaki işlemlere geçiyoruz.
• Usul kurallarına göre bir sonraki adım çarpma işlemidir.
• Son aşama olacak.

Görsel örnekte de görebileceğimiz gibi tüm eylemler numaralandırılmıştır. Konuyu güçlendirmek için çocuğunuzu kendi başına birkaç örnek çözmeye davet edin:

İfadenin değerinin hesaplanması gereken sıra zaten düzenlenmiştir. Çocuğun yalnızca kararı doğrudan uygulaması gerekecektir.

Görevi karmaşıklaştıralım. Çocuğun ifadelerin anlamını kendi başına bulmasına izin verin.

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

Çocuğunuza tüm görevleri taslak halinde çözmeyi öğretin. Bu durumda öğrenci yanlış bir kararı veya lekeyi düzeltme fırsatına sahip olacaktır. Çalışma kitabında düzeltmelere izin verilmez. Çocuklar görevleri kendi başlarına tamamlayarak hatalarını görürler.

Ebeveynler de hatalara dikkat etmeli, çocuğun bunları anlamasına ve düzeltmesine yardımcı olmalıdır. Bir öğrencinin beynini büyük miktarda görevle aşırı yüklememelisiniz. Bu tür eylemlerle çocuğun bilgi arzusunu kıracaksınız. Her şeyde bir orantı duygusu olmalı.

Bir ara verin. Çocuğun dikkati dağıtılmalı ve derslere ara verilmelidir. Unutulmaması gereken en önemli şey, herkesin matematiksel bir akla sahip olmadığıdır. Belki çocuğunuz büyüyünce ünlü bir filozof olacak.

Sayıları, harfleri ve değişkenleri içeren çeşitli ifadelerle çalışırken çok sayıda aritmetik işlem yapmamız gerekir. Bir dönüşüm yaptığımızda veya bir değer hesapladığımızda bu işlemlerin doğru sırasını takip etmek çok önemlidir. Başka bir deyişle, aritmetik işlemlerin kendine özgü bir yürütme sırası vardır.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bu yazımızda size hangi işlemlerin önce, hangilerinin sonra yapılması gerektiğini anlatacağız. Öncelikle sadece değişken veya sayısal değerlerin yanı sıra bölme, çarpma, çıkarma ve toplama işaretlerini içeren birkaç basit ifadeye bakalım. O halde parantezli örnekleri ele alalım ve bunların hangi sırayla hesaplanması gerektiğini düşünelim. Üçüncü bölümde köklerin, kuvvetlerin ve diğer fonksiyonların işaretlerini içeren örneklerde gerekli dönüşüm ve hesaplama sırasını vereceğiz.

Tanım 1

Parantezsiz ifadelerde eylemlerin sırası açıkça belirlenir:

1. Tüm eylemler soldan sağa doğru gerçekleştirilir.
2. Önce bölme ve çarpmayı, sonra çıkarma ve toplamayı yapıyoruz.

Bu kuralların anlamını anlamak kolaydır. Geleneksel soldan sağa yazma sırası, hesaplamaların temel sırasını tanımlar ve önce çarpma veya bölme ihtiyacı, bu işlemlerin özüyle açıklanır.

Netlik sağlamak için birkaç görevi ele alalım. Tüm hesaplamaların zihinsel olarak yapılabilmesi için yalnızca en basit sayısal ifadeleri kullandık. Bu şekilde istediğiniz sırayı hızlı bir şekilde hatırlayabilir ve sonuçları hızlı bir şekilde kontrol edebilirsiniz.

örnek 1

Durum: ne kadar olacağını hesapla 7 − 3 + 6 .

Çözüm

İfademizde parantez olmadığı gibi çarpma ve bölme de olmadığı için tüm işlemleri belirtilen sırayla gerçekleştiriyoruz. Önce yediden üçü çıkarıyoruz, sonra kalanı altıyla toplayıp on elde ediyoruz. İşte tüm çözümün bir metni:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Cevap: 7 − 3 + 6 = 10 .

Örnek 2

Durum:İfadede hesaplamalar hangi sırayla yapılmalıdır? 6:2 8:3?

Çözüm

Bu soruyu cevaplamak için daha önce formüle ettiğimiz parantezsiz ifadeler kuralını tekrar okuyalım. Burada sadece çarpma ve bölme işlemimiz var, bu da hesaplamaların yazılı sırasını koruduğumuz ve soldan sağa doğru saydığımız anlamına geliyor.

Cevap:Önce altıyı ikiye bölüyoruz, sonucu sekizle çarpıyoruz ve elde edilen sayıyı üçe bölüyoruz.

Örnek 3

Durum: ne kadar olacağını hesaplayın 17 − 5 · 6: 3 − 2 + 4: 2.

Çözüm

Öncelikle, tüm temel aritmetik işlem türlerine (toplama, çıkarma, çarpma, bölme) sahip olduğumuz için, doğru işlem sırasını belirleyelim. Yapmamız gereken ilk şey bölüp çoğaltmak. Bu eylemlerin birbirlerine göre önceliği yoktur, bu nedenle bunları sağdan sola doğru yazılı sırayla gerçekleştiririz. Yani 30 elde etmek için 5'i 6 ile çarpmanız, ardından 10 elde etmek için 30'u 3'e bölmeniz gerekir. Daha sonra 4'ü 2'ye böleriz, bu 2 olur. Bulunan değerleri orijinal ifadeye koyalım:

17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 17 − 10 − 2 + 2

Burada artık bölme ya da çarpma söz konusu olmadığı için geri kalan hesaplamaları sırasıyla yapıp cevaba ulaşıyoruz:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Cevap:17 − 5 6: 3 − 2 + 4: 2 = 7.

Eylemlerin gerçekleştirilme sırası kesin olarak ezberlenene kadar, hesaplama sırasını gösteren aritmetik işlem işaretlerinin üzerine sayılar koyabilirsiniz. Örneğin yukarıdaki problem için şu şekilde yazabiliriz:

Harfli ifadelerimiz varsa, onlarla da aynısını yaparız: önce çarparız ve böleriz, sonra toplayıp çıkarırız.

Birinci ve ikinci aşama eylemleri nelerdir?

Bazen referans kitaplarında tüm aritmetik işlemler birinci ve ikinci aşamaların eylemlerine ayrılır. Gerekli tanımı formüle edelim.

İlk aşamanın işlemleri çıkarma ve toplamayı, ikinci aşama ise çarpma ve bölmeyi içerir.

Bu isimleri bildiğimizde, daha önce verilen eylem sırasına ilişkin kuralı şu şekilde yazabiliriz:

Tanım 2

Parantez içermeyen bir ifadede önce soldan sağa yönde ikinci aşamanın eylemlerini, ardından birinci aşamanın eylemlerini (aynı yönde) gerçekleştirmelisiniz.

Parantezli ifadelerde hesaplama sırası

Parantezlerin kendileri bize istenen eylem sırasını söyleyen bir işarettir. Bu durumda gerekli kural şu ​​şekilde yazılabilir:

Tanım 3

İfadede parantez varsa ilk adım, içlerinde işlem yapmak, ardından çarpma ve bölme, ardından soldan sağa toplama ve çıkarma işlemleridir.

Parantez içindeki ifadenin kendisine gelince, ana ifadenin ayrılmaz bir parçası olarak düşünülebilir. Parantez içindeki ifadenin değerini hesaplarken bildiğimiz prosedürün aynısını uyguluyoruz. Fikrimizi bir örnekle açıklayalım.

Örnek 4

Durum: ne kadar olacağını hesapla 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2.

Çözüm

Bu ifadede parantez var o yüzden onlarla başlayalım. Öncelikle 7 − 2 · 3'ün ne kadar olacağını hesaplayalım. Burada 2'yi 3 ile çarpmamız ve sonucu 7'den çıkarmamız gerekiyor:

7 − 2 3 = 7 − 6 = 1

Sonucu ikinci parantez içinde hesaplıyoruz. Orada tek bir eylemimiz var: 6 − 4 = 2 .

Şimdi ortaya çıkan değerleri orijinal ifadeyle değiştirmemiz gerekiyor:

5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 5 + 1 2: 2

Çarpma ve bölmeyle başlayalım, ardından çıkarma işlemini gerçekleştirelim ve şunu elde edelim:

5 + 1 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

Bu hesaplamaları sonuçlandırıyor.

Cevap: 5 + (7 − 2 3) (6 − 4) : 2 = 6.

Durumumuz bazı parantezlerin diğerlerini içine aldığı bir ifade içeriyorsa paniğe kapılmayın. Yukarıdaki kuralı yalnızca parantez içindeki tüm ifadelere tutarlı bir şekilde uygulamamız gerekiyor. Bu sorunu ele alalım.

Örnek 5

Durum: ne kadar olacağını hesapla 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

Çözüm

Parantez içinde parantezlerimiz var. 3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3), yani 2 + 3 ile başlıyoruz. 5 olacak. Değerin ifadede yerine konulması ve 3 + 1 + 4 · 5 şeklinde hesaplanması gerekecektir. Önce çarpmamız, sonra toplamamız gerektiğini hatırlıyoruz: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24. Bulunan değerleri orijinal ifadeye koyarak cevabı hesaplıyoruz: 4 + 24 = 28 .

Cevap: 4 + (3 + 1 + 4 · (2 ​​+ 3)) = 28.

Yani parantez içinde parantez içeren bir ifadenin değerini hesaplarken iç parantezlerden başlayıp dış parantezlere doğru ilerliyoruz.

Diyelim ki (4 + (4 + (4 − 6: 2)) − 1) − 1'in ne kadar olacağını bulmamız gerekiyor. İç parantez içindeki ifadeyle başlıyoruz. 4 − 6: 2 = 4 − 3 = 1 olduğundan orijinal ifade (4 + (4 + 1) − 1) − 1 şeklinde yazılabilir. Tekrar iç parantezlere baktığımızda: 4 + 1 = 5. ifadeye geldik (4 + 5 − 1) − 1 . Sayarız 4 + 5 − 1 = 8 ve sonuç olarak 8 - 1 arasındaki farkı elde ederiz, bunun sonucu da 7 olacaktır.

Üsler, kökler, logaritmalar ve diğer işlevlerle ifadelerde hesaplama sırası

Koşulumuz kuvvet, kök, logaritma veya trigonometrik fonksiyon (sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant) veya başka fonksiyonlar içeren bir ifade içeriyorsa öncelikle fonksiyonun değerini hesaplarız. Bundan sonra önceki paragraflarda belirtilen kurallara göre hareket ediyoruz. Başka bir deyişle, işlevler parantez içindeki ifadeye eşit önemdedir.

Böyle bir hesaplamanın bir örneğine bakalım.

Örnek 6

Durum:(3 + 1) · 2 + 6 2: 3 − 7'nin ne kadar olduğunu bulun.

Çözüm

Öncelikle değerinin bulunması gereken dereceli bir ifademiz var. Sayıyoruz: 6 2 = 36. Şimdi sonucu ifadede yerine koyalım, sonra (3 + 1) · 2 + 36: 3 − 7 formunu alacaktır.

(3 + 1) 2 + 36: 3 − 7 = 4 2 + 36: 3 − 7 = 8 + 12 − 7 = 13

Cevap: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7 = 13.

İfadelerin değerlerinin hesaplanmasına ayrılmış ayrı bir makalede, kökleri, dereceleri vb. olan ifadeler durumunda daha karmaşık hesaplama örnekleri sunuyoruz. Bunu öğrenmenizi öneririz.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Alfa gerçek sayı anlamına gelir. Yukarıdaki ifadelerde yer alan eşittir işareti, sonsuza bir sayı veya sonsuz eklediğinizde hiçbir şeyin değişmeyeceğini, sonucun aynı sonsuz olacağını belirtir. Örnek olarak sonsuz doğal sayılar kümesini alırsak, dikkate alınan örnekler şu şekilde temsil edilebilir:

Matematikçiler haklı olduklarını açıkça kanıtlamak için birçok farklı yöntem geliştirdiler. Şahsen ben tüm bu yöntemlere teflerle dans eden şamanlar gibi bakıyorum. Esasen, bunların hepsi ya bazı odaların boş olması ve yeni misafirlerin taşınması ya da bazı ziyaretçilerin misafirlere yer açmak için koridora atılması (çok insani bir şekilde) gerçeğine dayanıyor. Bu tür kararlara ilişkin görüşlerimi Sarışın hakkında fantastik bir hikaye şeklinde sundum. Benim mantığım neye dayanıyor? Sonsuz sayıda ziyaretçinin yerini değiştirmek sonsuz miktarda zaman alır. İlk odayı bir misafir için boşalttıktan sonra, ziyaretçilerden biri, zamanın sonuna kadar her zaman koridor boyunca kendi odasından diğerine yürüyecektir. Zaman faktörü elbette aptalca göz ardı edilebilir ama bu da “aptallar için hiçbir kanun yazılmaz” kategorisinde olacaktır. Her şey ne yaptığımıza bağlı: gerçekliği matematiksel teorilere göre ayarlamak veya tam tersi.

“Sonsuz otel” nedir? Sonsuz otel, kaç oda dolu olursa olsun her zaman herhangi bir sayıda boş yatağa sahip olan bir oteldir. Sonsuz "ziyaretçi" koridorundaki tüm odalar doluysa, "misafir" odalarının bulunduğu başka bir sonsuz koridor daha vardır. Bu tür koridorlardan sonsuz sayıda olacak. Üstelik “sonsuz otel”, sonsuz sayıda Tanrının yarattığı sonsuz sayıda evrende, sonsuz sayıda gezegende, sonsuz sayıda binada, sonsuz sayıda kata sahiptir. Matematikçiler sıradan günlük problemlerden uzaklaşamazlar: Her zaman tek bir Tanrı-Allah-Buda vardır, tek bir otel vardır, tek bir koridor vardır. Yani matematikçiler otel odalarının seri numaralarıyla hokkabazlık yaparak bizi "imkansızı itmenin" mümkün olduğuna ikna etmeye çalışıyorlar.

Akıl yürütmemin mantığını size sonsuz doğal sayılar kümesi örneğini kullanarak göstereceğim. Öncelikle çok basit bir soruyu yanıtlamanız gerekiyor: Kaç tane doğal sayı kümesi var - bir mi yoksa daha fazla mı? Sayıları kendimiz icat ettiğimiz için bu sorunun doğru bir cevabı yok; doğada sayılar yoktur. Evet, Doğa sayma konusunda harikadır ama bunun için bizim bilmediğimiz diğer matematiksel araçları kullanır. Doğanın ne düşündüğünü başka zaman anlatacağım. Sayıları icat ettiğimizden beri, kaç tane doğal sayı kümesinin olacağına kendimiz karar vereceğiz. Gerçek bilim adamlarına yakışır şekilde her iki seçeneği de ele alalım.

Seçenek bir. Rafta sakin bir şekilde duran tek bir doğal sayı dizisi "bize verilsin". Bu seti raftan alıyoruz. İşte bu, rafta başka doğal sayı kalmadı ve onları alacak yer yok. Bu sete zaten sahip olduğumuz için ekleyemiyoruz. Peki ya gerçekten istersen? Sorun değil. Almış olduğumuz setten bir adet alıp rafa geri koyabiliriz. Daha sonra raftan bir tane alıp elimizde kalanlara ekleyebiliriz. Sonuç olarak yine sonsuz bir doğal sayılar kümesi elde edeceğiz. Tüm manipülasyonlarımızı şu şekilde yazabilirsiniz:

Eylemleri cebirsel gösterimde ve küme teorisi gösteriminde, kümenin elemanlarının ayrıntılı bir listesiyle birlikte yazdım. Alt simge, tek ve tek bir doğal sayı kümesine sahip olduğumuzu gösterir. Doğal sayılar kümesinin ancak ondan bir çıkarılıp aynı birim eklenirse değişmeden kalacağı ortaya çıktı.

İkinci Seçenek. Rafımızda birçok farklı sonsuz doğal sayı kümesi var. Pratik olarak ayırt edilemez olmalarına rağmen - FARKLI olduğunu vurguluyorum. Bu setlerden birini alalım. Daha sonra başka bir doğal sayı kümesinden birini alıp daha önce almış olduğumuz kümeye ekliyoruz. Hatta iki doğal sayı kümesini bile toplayabiliriz. Elde ettiğimiz şey bu:

"Bir" ve "iki" alt simgeleri bu elemanların farklı kümelere ait olduğunu gösterir. Evet sonsuz bir kümeye bir eklerseniz sonuç yine sonsuz küme olur ama orijinal kümeyle aynı olmaz. Bir sonsuz kümeye başka bir sonsuz küme eklerseniz sonuç, ilk iki kümenin elemanlarından oluşan yeni bir sonsuz küme olur.

Doğal sayılar kümesi sayma için, cetvelin ölçme için kullanılmasıyla aynı şekilde kullanılır. Şimdi cetvele bir santimetre eklediğinizi hayal edin. Bu orijinaline eşit olmayan farklı bir çizgi olacaktır.

Benim mantığımı kabul edebilir veya kabul etmeyebilirsiniz; bu sizin kendi işinizdir. Ancak eğer matematik problemleriyle karşılaşırsanız, nesiller boyu matematikçilerin izlediği yanlış akıl yürütme yolunu takip edip etmediğinizi düşünün. Sonuçta, matematik çalışmak her şeyden önce içimizde istikrarlı bir düşünce stereotipi oluşturur ve ancak o zaman zihinsel yeteneklerimize katkıda bulunur (veya tam tersine bizi özgür düşünceden mahrum bırakır).

4 Ağustos 2019 Pazar

Hakkında bir makalenin ekini bitiriyordum ve Wikipedia'da şu harika metni gördüm:

Şöyle okuyoruz: "... Babil matematiğinin zengin teorik temeli bütünsel bir karaktere sahip değildi ve ortak bir sistem ve kanıt tabanından yoksun bir dizi farklı tekniğe indirgenmişti."

Vay! Ne kadar akıllıyız ve başkalarının eksikliklerini ne kadar iyi görebiliyoruz. Modern matematiğe aynı bağlamda bakmak bizim için zor mu? Yukarıdaki metni biraz değiştirerek kişisel olarak aşağıdakileri elde ettim:

Modern matematiğin zengin teorik temeli doğası gereği bütünsel değildir ve ortak bir sistem ve kanıt tabanından yoksun bir dizi farklı bölüme indirgenmiştir.

Sözlerimi doğrulamak için fazla uzağa gitmeyeceğim; matematiğin diğer birçok dalının dilinden ve kurallarından farklı bir dili ve kuralları var. Matematiğin farklı dallarındaki aynı isimler farklı anlamlara gelebilir. Bir dizi yayını modern matematiğin en bariz hatalarına adamak istiyorum. Yakında görüşürüz.

3 Ağustos 2019 Cumartesi

Bir küme alt kümelere nasıl bölünür? Bunu yapmak için seçilen setin bazı öğelerinde bulunan yeni bir ölçü birimi girmeniz gerekir. Bir örneğe bakalım.

Bolluğumuz olsun A dört kişiden oluşuyor. Bu set “kişiler” esas alınarak oluşturulmuştur. Bu setin elemanlarını harfle gösterelim. A numaralı alt simge, bu setteki her kişinin seri numarasını gösterecektir. Yeni bir ölçü birimi olan "cinsiyet"i tanıtalım ve onu harfle gösterelim B. Cinsel özellikler tüm insanlarda doğal olduğundan, kümenin her bir öğesini çarpıyoruz A cinsiyete dayalı B. “İnsanlar” grubumuzun artık “cinsiyet özelliklerine sahip insanlar” kümesi haline geldiğine dikkat edin. Bundan sonra cinsel özellikleri erkeklere ayırabiliriz. BM ve kadınların siyah kadın cinsel özellikler. Şimdi matematiksel bir filtre uygulayabiliriz: Hangisi olursa olsun bu cinsel özelliklerden birini seçiyoruz: erkek ya da kadın. Bir kişide varsa onu bir ile çarparız, eğer böyle bir işaret yoksa sıfırla çarparız. Ve sonra normal okul matematiğini kullanıyoruz. Bak ne oldu.

Çarpma, azaltma ve yeniden düzenlemeden sonra iki alt küme elde ettik: Erkeklerin alt kümesi BM ve kadınların bir alt kümesi siyah. Matematikçiler küme teorisini pratikte uygularken yaklaşık olarak aynı şekilde mantık yürütürler. Ancak bize ayrıntıları söylemiyorlar, ancak nihai sonucu veriyorlar: "birçok insan, erkeklerden ve kadınlardan oluşan bir alt gruptan oluşuyor." Doğal olarak aklınıza şu soru gelebilir: Yukarıda özetlenen dönüşümlerde matematik ne kadar doğru uygulandı? Sizi temin ederim ki aslında her şey doğru yapıldı; aritmetiğin matematiksel temellerini, Boole cebirini ve matematiğin diğer dallarını bilmek yeterlidir. Ne olduğunu? Başka bir zaman sana bundan bahsedeceğim.

Süper kümelere gelince, bu iki kümenin elemanlarında bulunan ölçü birimini seçerek iki kümeyi tek bir süper kümede birleştirebilirsiniz.

Gördüğünüz gibi ölçü birimleri ve sıradan matematik, küme teorisini geçmişin kalıntısı haline getiriyor. Küme teorisinde her şeyin yolunda olmadığının bir işareti, matematikçilerin küme teorisi için kendi dillerini ve gösterimlerini geliştirmiş olmalarıdır. Matematikçiler bir zamanlar şamanların yaptığı gibi hareket ediyorlardı. Yalnızca şamanlar "bilgilerini" nasıl "doğru" şekilde uygulayacaklarını bilirler. Bize bu “bilgiyi” öğretiyorlar.

Sonuç olarak size matematikçilerin nasıl manipüle ettiğini göstermek istiyorum.

7 Ocak 2019 Pazartesi

MÖ beşinci yüzyılda, antik Yunan filozofu Elea'lı Zeno, en ünlüsü "Aşil ve Kaplumbağa" aporia'sı olan ünlü aporialarını formüle etti. İşte kulağa nasıl geliyor:

Diyelim ki Aşil kaplumbağadan on kat daha hızlı koşuyor ve onun bin adım gerisinde. Aşil'in bu mesafeyi kat ettiği süre boyunca kaplumbağa aynı yönde yüz adım kadar sürünecektir. Aşil yüz adım koştuğunda kaplumbağa on adım daha sürünür ve bu böyle devam eder. Süreç sonsuza kadar devam edecek, Aşil kaplumbağaya asla yetişemeyecek.

Bu akıl yürütme, sonraki tüm nesiller için mantıksal bir şok oldu. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Hepsi öyle ya da böyle Zeno'nun açmazını değerlendirdiler. Şok o kadar güçlüydü ki " ... tartışmalar bugüne kadar devam ediyor; bilim camiası paradoksların özü konusunda henüz ortak bir görüşe varamadı ... konunun incelenmesinde matematiksel analiz, küme teorisi, yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar yer aldı ; hiçbiri soruna genel kabul görmüş bir çözüm olmadı..."[Wikipedia, "Zeno'nun Aporia'sı". Herkes kandırıldıklarını anlıyor ama kimse aldatmanın nelerden oluştuğunu anlamıyor.

Matematiksel bir bakış açısından Zeno, çıkmazında nicelikten niceliğe geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş, kalıcı olanların yerine uygulamayı ima etmektedir. Anladığım kadarıyla değişken ölçü birimlerini kullanmaya yönelik matematiksel aparat ya henüz geliştirilmedi ya da Zeno'nun açmazına uygulanmadı. Her zamanki mantığımızı uygulamak bizi tuzağa düşürür. Biz düşüncenin ataleti nedeniyle karşılıklı değere sabit zaman birimleri uyguluyoruz. Fiziksel açıdan bakıldığında bu, Aşil'in kaplumbağaya yetiştiği anda tamamen durana kadar zamanın yavaşlaması gibi görünüyor. Zaman durursa Aşil kaplumbağadan daha fazla koşamaz.

Her zamanki mantığımızı tersine çevirirsek her şey yerli yerine oturur. Aşil sabit hızla koşar. Yolunun her bir sonraki bölümü bir öncekinden on kat daha kısadır. Buna göre, bunun üstesinden gelmek için harcanan süre bir öncekine göre on kat daha azdır. Bu duruma “sonsuzluk” kavramını uygularsak o zaman “Aşil kaplumbağaya sonsuz hızla yetişecek” demek doğru olur.

Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınılır? Sabit zaman birimlerinde kalın ve karşılıklı birimlere geçmeyin. Zeno'nun dilinde şöyle görünür:

Aşil'in bin adım koşması gereken sürede kaplumbağa aynı yönde yüz adım koşacaktır. Bir sonraki birinciye eşit zaman aralığında Aşil bin adım daha koşacak ve kaplumbağa yüz adım daha sürünecektir. Artık Aşil kaplumbağanın sekiz yüz adım ilerisindedir.

Bu yaklaşım, herhangi bir mantıksal paradoks olmaksızın gerçekliği yeterince tanımlamaktadır. Ancak bu soruna tam bir çözüm değildir. Einstein'ın ışık hızının karşı konulmazlığıyla ilgili açıklaması Zeno'nun "Aşil ve Kaplumbağa" açmazına çok benziyor. Hala bu sorunu incelememiz, yeniden düşünmemiz ve çözmemiz gerekiyor. Ve çözüm sonsuz büyük sayılarda değil, ölçü birimlerinde aranmalıdır.

Zeno'nun bir başka ilginç açmazı da uçan bir oktan bahseder:

Uçan ok, zamanın her anında hareketsiz olduğundan hareketsizdir ve zamanın her anında hareketsiz olduğundan daima hareketsizdir.

Bu açmazda, mantıksal paradoksun üstesinden çok basit bir şekilde gelinir - uçan bir okun uzayın farklı noktalarında hareketsiz durduğunu, yani aslında hareket olduğunu açıklığa kavuşturmak yeterlidir. Burada bir başka noktaya dikkat çekmek gerekiyor. Yoldaki bir arabanın bir fotoğrafından ne hareketinin gerçekliğini ne de ona olan mesafeyi belirlemek imkansızdır. Bir arabanın hareket edip etmediğini belirlemek için aynı noktadan farklı zamanlarda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak onlara olan mesafeyi belirleyemezsiniz. Bir arabaya olan mesafeyi belirlemek için, uzayın farklı noktalarından aynı anda çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır, ancak bunlardan hareketin gerçeğini belirleyemezsiniz (tabii ki hesaplamalar için yine de ek verilere ihtiyacınız var, trigonometri size yardımcı olacaktır) ). Özellikle dikkat çekmek istediğim şey, zamandaki iki nokta ile uzaydaki iki noktanın birbirine karıştırılmaması gereken farklı şeyler olmasıdır, çünkü bunlar araştırma için farklı fırsatlar sunar.

4 Temmuz 2018 Çarşamba

Şamanların hangi yardımıyla “gerçekliği” ayırmaya çalıştıklarını size daha önce söylemiştim. Bunu nasıl yapıyorlar? Bir kümenin oluşumu gerçekte nasıl gerçekleşir?

Kümenin tanımına daha yakından bakalım: "tek bir bütün olarak tasarlanan farklı öğelerin koleksiyonu." Şimdi iki ifade arasındaki farkı hissedin: "bir bütün olarak kavranabilir" ve "bir bütün olarak kavranabilir." İlk ifade nihai sonuçtur, kümedir. İkinci tabir ise çokluğun oluşmasına yönelik bir ön hazırlıktır. Bu aşamada gerçeklik bireysel unsurlara (“bütün”) bölünür ve bundan sonra bir çokluk (“tek bütün”) oluşacaktır. Aynı zamanda “bütün”ün “tek bütün” halinde birleştirilmesini mümkün kılan faktör de dikkatle izlenmektedir, aksi takdirde şamanlar başarılı olamayacaktır. Sonuçta şamanlar bize tam olarak hangi seti göstermek istediklerini önceden biliyorlar.

Size süreci bir örnekle göstereceğim. "Sivilce içindeki kırmızı katı" seçiyoruz - bu bizim "bütünümüz". Aynı zamanda bunların fiyonklu olduğunu ve fiyonksuz olduğunu da görüyoruz. Bundan sonra “bütünün” bir kısmını seçip “yaylı” bir set oluşturuyoruz. Şamanlar, yerleşik teorilerini gerçekliğe bağlayarak yiyeceklerini bu şekilde elde ederler.

Şimdi küçük bir numara yapalım. “Fiyonklu sivilceli katı”yı alalım ve bu “bütünleri” kırmızı unsurları seçerek renklerine göre birleştirelim. Bir sürü "kırmızı"mız var. Şimdi son soru: Sonuçta ortaya çıkan “fiyonklu” ve “kırmızı” kümeler aynı küme mi, yoksa iki farklı küme mi? Bunun cevabını yalnızca şamanlar biliyor. Daha doğrusu kendileri hiçbir şey bilmiyorlar ama dedikleri gibi öyle olacak.

Bu basit örnek, konu gerçekliğe geldiğinde küme teorisinin tamamen işe yaramaz olduğunu gösteriyor. İşin sırrı nedir? "Sivilce ve fiyonklu kırmızı katı" bir set oluşturduk. Oluşum dört farklı ölçü biriminde gerçekleşti: renk (kırmızı), sağlamlık (katı), pürüzlülük (sivilceli), dekorasyon (yaylı). Yalnızca bir dizi ölçü birimi, gerçek nesneleri matematik dilinde yeterince tanımlamamıza izin verir.. Görünüşe göre bu.

Farklı endekslere sahip "a" harfi, farklı ölçü birimlerini belirtir. Başlangıç ​​aşamasında “bütün”ün ayırt edildiği ölçü birimleri parantez içinde vurgulanmıştır. Setin oluşturulduğu ölçü birimi parantezlerden çıkarılır. Son satır nihai sonucu gösterir - kümenin bir öğesi. Gördüğünüz gibi, bir küme oluşturmak için ölçü birimlerini kullanırsak sonuç, eylemlerimizin sırasına bağlı değildir. Ve bu matematiktir, şamanların teflerle dansı değil. Şamanlar, ölçüm birimlerinin onların "bilimsel" cephaneliğinin bir parçası olmaması nedeniyle bunun "açık" olduğunu savunarak "sezgisel olarak" aynı sonuca varabilirler.

Ölçü birimlerini kullanarak bir seti bölmek veya birkaç seti tek bir süper sette birleştirmek çok kolaydır. Bu sürecin cebirine daha yakından bakalım.

30 Haziran 2018 Cumartesi

Eğer matematikçiler bir kavramı diğer kavramlara indirgeyemiyorsa matematikten hiçbir şey anlamıyorlar demektir. Cevap veriyorum: Bir kümenin elemanları başka bir kümenin elemanlarından nasıl farklıdır? Cevap çok basit: sayılar ve ölçü birimleri.

Bugün almadığımız her şey bir takıma aittir (matematikçilerin bizi temin ettiği gibi). Bu arada, alnındaki aynada ait olduğun takımların listesini gördün mü? Ve ben böyle bir liste görmedim. Daha fazlasını söyleyeceğim - gerçekte hiçbir şeyin ait olduğu kümelerin listesini içeren bir etiketi yoktur. Setlerin hepsi şamanların icadıdır. Nasıl yapıyorlar? Gelin tarihe biraz daha derinlemesine bakalım ve matematikçi şamanlar onları setlerine almadan önce setin elemanlarının nasıl göründüğüne bakalım.

Uzun zaman önce, hiç kimsenin matematiği duymadığı ve yalnızca ağaçların ve Satürn'ün halkaları olduğu zamanlarda, fiziksel alanlarda büyük vahşi küme unsurları sürüleri dolaşıyordu (sonuçta şamanlar henüz matematiksel alanları icat etmemişti). Bunun gibi bir şeye benziyorlardı.

Evet, şaşırmayın, matematik açısından bakıldığında, kümelerin tüm unsurları deniz kestanelerine en çok benzer - iğneler gibi bir noktadan itibaren ölçü birimleri her yöne doğru çıkıntı yapar. Dileyenler için, herhangi bir ölçü biriminin geometrik olarak keyfi uzunlukta bir parça ve bir sayının da bir nokta olarak temsil edilebileceğini hatırlatırım. Geometrik olarak herhangi bir miktar, bir noktadan farklı yönlere çıkan bir grup parça olarak temsil edilebilir. Bu nokta sıfır noktasıdır. Bu geometrik sanat eserini çizmeyeceğim (ilham yok), ancak bunu kolayca hayal edebilirsiniz.

Bir kümenin elemanını hangi ölçü birimleri oluşturur? Belirli bir unsuru farklı bakış açılarından tanımlayan her türlü şey. Bunlar atalarımızın kullandığı ve herkesin uzun zamandır unuttuğu eski ölçü birimleridir. Bunlar şu anda kullandığımız modern ölçü birimleridir. Bunlar aynı zamanda bizim bilmediğimiz, torunlarımızın bulacağı ve gerçekliği tanımlamak için kullanacakları ölçü birimleridir.

Geometriyi çözdük; kümenin elemanlarının önerilen modeli net bir geometrik temsile sahip. Peki ya fizik? Ölçü birimleri matematik ve fizik arasındaki doğrudan bağlantıdır. Eğer şamanlar ölçü birimlerini matematik teorilerinin tam teşekküllü bir unsuru olarak tanımıyorsa, bu onların sorunudur. Kişisel olarak gerçek matematik bilimini ölçü birimleri olmadan hayal edemiyorum. Bu yüzden küme teorisi hakkındaki hikayemin en başında onun Taş Devri'nde olduğundan bahsetmiştim.

Ama en ilginç şeye geçelim: Kümelerin elemanlarının cebiri. Cebirsel olarak, bir kümenin herhangi bir elemanı farklı büyüklüklerin çarpımıdır (çarpım sonucu).Buna benzer.

Küme teorisinin ortaya çıkmasından önce bir kümenin bir öğesini doğal ortamında ele aldığımız için kasıtlı olarak küme teorisinin kurallarını kullanmadım. Parantez içindeki her harf çifti, " harfiyle gösterilen sayıdan oluşan ayrı bir miktarı ifade eder. N" ve " harfiyle gösterilen ölçü birimi A". Harflerin yanındaki indeksler sayıların ve ölçü birimlerinin farklı olduğunu gösterir. Kümenin bir elemanı sonsuz sayıda nicelikten oluşabilir (bizim ve torunlarımızın ne kadar hayal gücü var). Her parantez geometrik olarak şu şekilde tasvir edilmiştir: ayrı bir segment Deniz kestanesi örneğinde bir braket bir iğnedir.

Şamanlar farklı unsurlardan nasıl kümeler oluşturur? Aslında ölçü birimlerine veya sayılara göre. Matematikten hiçbir şey anlamadıkları için farklı deniz kestanelerini alıp, üzerinde bir set oluşturdukları tek iğneyi bulmak için onları dikkatlice inceliyorlar. Eğer böyle bir iğne varsa bu eleman bu takıma aittir; eğer böyle bir iğne yoksa bu eleman bu takıma ait değildir. Şamanlar bize düşünce süreçleri ve bütün hakkında masallar anlatırlar.

Tahmin edebileceğiniz gibi aynı eleman çok farklı kümelere ait olabilir. Şimdi size kümelerin, alt kümelerin ve diğer şamanik saçmalıkların nasıl oluştuğunu göstereceğim. Gördüğünüz gibi “bir kümede iki özdeş eleman olamaz” ama bir kümede özdeş elemanlar varsa bu kümeye “çoklu küme” denir. Makul varlıklar bu kadar saçma mantığı asla anlayamayacaktır. Bu, “tamamen” kelimesinden zekası olmayan, konuşan papağanların ve eğitimli maymunların seviyesidir. Matematikçiler bize saçma fikirlerini vaaz eden sıradan eğitmenler gibi davranırlar.

Bir zamanlar köprüyü inşa eden mühendisler, köprüyü test ederken köprünün altında bir teknedeydiler. Köprü çökerse, vasat mühendis, yarattığı eserin enkazı altında öldü. Köprünün yüke dayanabilmesi durumunda yetenekli mühendis başka köprüler de inşa etti.

Matematikçiler "dikkat edin, evdeyim" veya daha doğrusu "matematik soyut kavramları inceler" ifadesinin arkasına ne kadar saklanırsa saklansınlar, onları gerçeklikle ayrılmaz bir şekilde bağlayan bir göbek bağı vardır. Bu göbek bağı paradır. Matematiksel küme teorisini matematikçilerin kendilerine uygulayalım.

Matematiği çok iyi çalıştık ve şimdi kasanın başında oturup maaş dağıtıyoruz. Yani bir matematikçi parası için bize geliyor. Tutarın tamamını ona sayıyoruz ve içine aynı değerdeki banknotları koyduğumuz farklı yığınlar halinde masamızın üzerine koyuyoruz. Daha sonra her yığından bir banknot alıyoruz ve matematikçiye "matematiksel maaş seti"ni veriyoruz. Matematikçiye, kalan banknotları ancak özdeş elemanları olmayan bir kümenin, aynı elemanları olan bir kümeye eşit olmadığını kanıtladığında alacağını açıklayalım. eğlence burada başlıyor.

Öncelikle milletvekillerinin mantığı işleyecek: “Bu başkalarına da uygulanabilir ama bana uygulanamaz!” Daha sonra bize, aynı değerdeki banknotların farklı banknot numaralarına sahip olduğu, yani aynı unsurlar olarak kabul edilemeyecekleri konusunda güvence vermeye başlayacaklar. Tamam, maaşları madeni para cinsinden sayalım - madeni paraların üzerinde rakam yok. Burada matematikçi çılgınca fiziği hatırlamaya başlayacak: farklı madeni paraların farklı miktarda kirleri var, kristal yapısı ve atomların düzeni her madeni para için benzersizdir...

Ve şimdi en ilginç sorum var: Çoklu kümenin elemanlarının bir kümenin elemanlarına dönüştüğü ve bunun tersinin de geçerli olduğu çizgi nerede? Böyle bir çizgi yok - her şeye şamanlar karar veriyor, bilim burada yalan söylemeye bile yakın değil.

Buraya bak. Aynı saha alanına sahip futbol stadyumlarını seçiyoruz. Alanların alanları aynıdır; bu da bir çoklu kümeye sahip olduğumuz anlamına gelir. Ancak aynı stadyumların isimlerine baktığımızda çok sayıda isim görüyoruz çünkü isimler farklı. Gördüğünüz gibi aynı eleman kümesi hem bir küme hem de çoklu kümedir. Hangisi doğru? Ve burada matematikçi-şaman-keskinci kolundan bir koz çıkarır ve bize ya bir kümeden ya da bir çoklu kümeden bahsetmeye başlar. Her durumda bizi haklı olduğuna ikna edecektir.

Modern şamanların küme teorisini gerçekliğe bağlayarak nasıl çalıştığını anlamak için bir soruyu yanıtlamak yeterlidir: Bir kümenin öğeleri başka bir kümenin öğelerinden nasıl farklıdır? Size "tek bir bütün olarak düşünülemez" veya "tek bir bütün olarak düşünülemez" olmadan göstereceğim.

Toplama ve çıkarma fonksiyonlarını çarpma ve bölme ile karşılaştırırsak, o zaman önce çarpma ve bölme hesaplanır.

Örnekte toplama ve çıkarma ile çarpma ve bölme gibi iki fonksiyon birbirine eşdeğerdir. Yürütme sırası soldan sağa doğru belirlenir.

Örnekte parantez içindeki eylemlerin özel önceliğe sahip olduğu unutulmamalıdır. Bu nedenle parantez dışında çarpma, parantez içinde toplama olsa bile önce toplayıp sonra çarpmanız gerekir.

Bu konuyu anlamak için tüm durumları tek tek ele alabilirsiniz.

İfadelerimizde parantez bulunmadığını hemen dikkate alalım.

Yani örnekte ilk işlem çarpma, ikincisi bölme ise ilk önce çarpmayı yaparız.

Örnekte ilk işlem bölme, ikincisi çarpma ise ilk önce bölme işlemini yaparız.

Bu tür örneklerde hangi sayıların kullanıldığına bakılmaksızın işlemler soldan sağa doğru gerçekleştirilir.

Örneklerde çarpma ve bölmenin yanı sıra toplama ve çıkarma da varsa önce çarpma ve bölme, sonra toplama ve çıkarma yapılır.

Toplama ve çıkarma durumunda bu işlemlerden hangisinin önce yapıldığı da fark etmez, soldan sağa sıra gözetilir.

Farklı seçenekleri ele alalım:

Bu örnekte yapılması gereken ilk işlem çarpma ve ardından toplama işlemidir.

Bu durumda, önce değerleri çarparsınız, sonra bölersiniz ve ancak ondan sonra eklersiniz.

Bu durumda önce parantez içindeki tüm işlemleri yapmalı, sonra sadece çarpma ve bölme işlemlerini yapmalısınız.

Ve bu nedenle, herhangi bir formülde çarpma ve bölme gibi işlemlerin önce, ardından yalnızca çıkarma ve toplama işlemlerinin yapıldığını hatırlamanız gerekir.

Ayrıca, parantez içindeki sayıları parantez içinde saymanız ve ancak o zaman yukarıda açıklanan sırayı hatırlayarak çeşitli manipülasyonlar yapmanız gerekir.

İlk işlemler şu şekilde olacaktır: çarpma ve bölme.

Ancak bundan sonra toplama ve çıkarma işlemi gerçekleştirilir.

Ancak parantez varsa o zaman önce parantez içindeki işlemler yürütülür. Toplama ve çıkarma olsa bile.

Örneğin:

Bu örnekte önce 4'ü 5 ile çarpacağız, sonra da 4'ü toplayıp 20'ye ulaşacağız. 24 sonucunu elde edeceğiz.

Ama eğer (4+5)*4 ise önce toplamayı yaparsak 9 elde ederiz. Sonra 9'u 4 ile çarparız. 36 elde ederiz.

Örnek 4 işlemin tamamını içeriyorsa, önce çarpma ve bölme, ardından toplama ve çıkarma yapılır.

Veya 3 farklı işlem örneğinde, ilki çarpma (veya bölme) ve ardından toplama (veya çıkarma) olacaktır.

BRAKETLER olmadığında.

Örnek: 4-2*5:10+8=11,

1 eylem 2*5 (10);

Perde 2 10:10 (1);

3 eylem 4-1 (3);

4 eylem 3+8 (11).

4 işlemin tümü, birinde toplama ve çıkarma, diğerinde çarpma ve bölme olmak üzere iki ana gruba ayrılabilir. Birincisi, örnekte ilk olan, yani en soldaki eylem olacaktır.

Örnek: 60-7+9=62, önce 60-7 lazım, sonra (53) +9 olur;

Örnek: 5*8:2=20, önce 5*8'e ihtiyacınız var, sonra (40) :2 olur.

Bir örnekte BRAKETLER VARSA, önce parantez içindeki eylemler (yukarıdaki kurallara göre) gerçekleştirilir ve ardından geri kalanlar her zamanki gibi gerçekleştirilir.

Örnek: 2+(9-8)*10:2=7.

1 eylem 9-8 (1);

2. eylem 1*10 (10);

Perde 3 10:2(5);

4 eylem 2+5 (7).

İfadenin nasıl yazıldığına bağlıdır, en basit sayısal ifadeye bakalım:

18 - 6:3 + 10x2 =

Önce bölme ve çarpma işlemlerini sonra sırasıyla soldan sağa çıkarma ve toplama işlemlerini yapıyoruz: 18-2+20 = 36

Eğer bu parantezli bir ifadeyse, parantez içindeki işlemleri yapın, ardından çarpma veya bölme ve son olarak da toplama/çıkarma işlemlerini yapın, örneğin:

(18-6) : 3 + 10 x 2 = 12:3 + 20 = 4+20=24

Her şey doğru: önce çarpma ve bölme işlemini, ardından toplama ve çıkarma işlemlerini gerçekleştirin.

Örnekte parantez yoksa önce sırasıyla çarpma ve bölme, ardından toplama ve çıkarma işlemleri aynı sırayla yapılır.

Örnek sadece çarpma ve bölme içeriyorsa işlemler sırasıyla yapılacaktır.

Örnek yalnızca toplama ve çıkarma içeriyorsa işlemler de sırayla gerçekleştirilecektir.

Öncelikle parantez içindeki işlemler aynı kurallara göre yani önce çarpma ve bölme, sonra toplama ve çıkarma yapılır.

22-(11+3X2)+14=19

Aritmetik işlemlerin gerçekleştirilme sırası, farklı kişiler tarafından aynı tür hesaplamalar yapılırken herhangi bir tutarsızlık olmaması için kesin olarak belirtilmiştir. Önce çarpma ve bölme, sonra toplama ve çıkarma yapılır, aynı sıradaki işlemler arka arkaya geliyorsa soldan sağa doğru yapılır.

Matematiksel bir ifade yazarken parantez kullanıyorsanız öncelikle parantez içinde belirtilen işlemleri yapmalısınız. Parantezler, önce toplama veya çıkarma, ardından çarpma ve bölme yapılması gerektiğinde sıranın değiştirilmesine yardımcı olur.

Herhangi bir parantez genişletilebilir ve ardından uygulama sırası tekrar doğru olacaktır:

6*(45+15) = 6*45 +6*15

Örneklerde hemen daha iyi:

• 1+2*3/4-5=?

Bu durumda bölmenin solunda olduğu için önce çarpma işlemini yaparız. Sonra bölme. Daha sonra, konumun daha solda olması nedeniyle toplama ve sonda çıkarma işlemi yapılır.

• 1*3/(2+4)?

Önce parantez içindeki hesaplamayı, ardından çarpma ve bölme işlemlerini yapıyoruz.

• 1+2*(3-1*5)=?

Önce parantez içindeki işlemleri yaparız: çarpma, sonra çıkarma. Bunu parantez dışında çarpma ve sonda toplama takip eder.

Çarpma ve bölme önce gelir. Örnekte parantez varsa başlangıçta parantez içindeki eylem dikkate alınır. İşaret ne olursa olsun!

Burada birkaç temel kuralı hatırlamanız gerekiyor:

1. Örnekte parantez yoksa ve işlemler varsa (yalnızca toplama ve çıkarma veya yalnızca çarpma ve bölme) bu durumda tüm işlemler soldan sağa doğru gerçekleştirilir.

Örneğin, 5+8-5=8 (her şeyi sırayla yaparız - 8'i 5'e ekler ve ardından 5'i çıkarırız)

1. Örnekte toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi karışık işlemler varsa, öncelikle çarpma ve bölme işlemlerini, ardından yalnızca toplama veya çıkarma işlemlerini gerçekleştiririz.

Örneğin, 5+8*3=29 (önce 8'i 3 ile çarpın ve ardından 5 ekleyin)

1. Örnekte parantez varsa ilk önce parantez içindeki işlemler gerçekleştirilir.

Örneğin, 3*(5+8)=39 (önce 5+8, sonra 3 ile çarpın)