Doğrusal denklem sistemlerini (kabuk) çözmek için basit yineleme yöntemi. Doğrusal cebirsel denklem sistemlerinin sayısal çözümü

Basit yineleme yöntemi, orijinal denklemin eşdeğer bir denklemle değiştirilmesine dayanır:

Kökün ilk yaklaşımı bilinsin x = x 0. Bunu denklemin (2.7) sağ tarafına koyarsak yeni bir yaklaşım elde ederiz. , o zaman benzer şekilde şunu elde ederiz vesaire.:

. (2.8)

Yinelemeli süreç her koşulda denklemin köküne yaklaşmaz X. Bu sürece daha yakından bakalım. Şekil 2.6 tek yönlü yakınsak ve ıraksak sürecin grafiksel yorumunu göstermektedir. Şekil 2.7 iki yönlü yakınsak ve ıraksak süreçleri göstermektedir. Iraksak bir süreç, argüman ve fonksiyonun değerlerinde hızlı bir artış ve ilgili programın anormal şekilde sonlandırılmasıyla karakterize edilir.

İki yönlü bir süreçle döngüleme, yani aynı fonksiyon ve argüman değerlerinin sonsuz tekrarı mümkündür. Döngü, ıraksak bir süreci yakınsak bir süreçten ayırır.

Hem tek taraflı hem de iki taraflı işlemler için köke yakınsamanın, eğrinin kök yakınındaki eğimi tarafından belirlendiği grafiklerden açıkça görülmektedir. Eğim ne kadar küçük olursa yakınsama o kadar iyi olur. Bilindiği gibi bir eğrinin eğiminin tanjantı, eğrinin belirli bir noktadaki türevine eşittir.

Bu nedenle kök yakınındaki sayı ne kadar küçük olursa süreç o kadar hızlı yakınsar.

İterasyon sürecinin yakınsak olabilmesi için kökün komşuluğunda aşağıdaki eşitsizliğin sağlanması gerekir:

Denklem (2.1)'den denklem (2.7)'ye geçiş, fonksiyonun türüne bağlı olarak çeşitli şekillerde gerçekleştirilebilir. f(x). Böyle bir geçişte fonksiyonun yakınsama koşulu (2.9) sağlanacak şekilde oluşturulması gerekir.

Denklem (2.1)'den denklem (2.7)'ye geçiş için genel algoritmalardan birini ele alalım.

Denklemin (2.1) sol ve sağ taraflarını keyfi bir sabitle çarpalım B ve bilinmeyeni her iki parçaya da ekleyin X. Bu durumda orijinal denklemin kökleri değişmeyecektir:

Gösterimi tanıtalım ve (2.10) ilişkisinden denklem (2.8)'e geçelim.

Sabitin keyfi seçimi B yakınsama koşulunun (2.9) sağlanmasını sağlayacaktır. Yinelemeli süreci sonlandırmanın kriteri koşul (2.2) olacaktır. Şekil 2.8, açıklanan gösterim yöntemini kullanan basit yineleme yönteminin grafiksel yorumunu göstermektedir (X ve Y eksenleri boyunca ölçekler farklıdır).

Formda bir fonksiyon seçilirse bu fonksiyonun türevi olacaktır. En yüksek yakınsama hızı, o zaman olacaktır. ve yineleme formülü (2.11) Newton'un formülüne girer. Bu nedenle, Newton'un yöntemi tüm yinelemeli süreçler arasında en yüksek yakınsama derecesine sahiptir.

Basit yineleme yönteminin yazılım uygulaması bir alt rutin prosedür şeklinde yapılır. Itera'lar(PROGRAM 2.1).

Prosedürün tamamı pratik olarak bir Tekrar ... Döngüye kadar, yinelemeli sürecin durdurulması koşulunu (formül (2.2)) dikkate alarak formül (2.11)'in uygulanmasından oluşur.

Prosedür, Niter değişkenini kullanarak döngü sayısını sayarak yerleşik döngü korumasına sahiptir. Pratik derslerde programı çalıştırarak katsayı seçiminin nasıl etkileneceğinden emin olmanız gerekir. B ve kökü arama sürecinde ilk yaklaşım. Katsayıyı değiştirirken B incelenen işlev için yineleme sürecinin doğası değişir. Önce iki taraflı olur, sonra döngü yapar (Şekil 2.9). Eksen ölçekleri X Ve e farklıdır. Modül b'nin daha da büyük bir değeri farklı bir sürece yol açar.

Denklemlerin yaklaşık çözümü için yöntemlerin karşılaştırılması

Denklemlerin sayısal çözümü için yukarıda açıklanan yöntemlerin karşılaştırılması, kökü bulma sürecini PC ekranında grafiksel olarak gözlemlemenizi sağlayan bir program kullanılarak gerçekleştirildi. Bu programda yer alan prosedürler ve karşılaştırılan yöntemlerin uygulanması aşağıda verilmiştir (PROGRAM 2.1).

Pirinç. 2.3-2.5, 2.8, 2.9 yineleme işleminin sonunda PC ekranının kopyalarıdır.

Tüm durumlarda, analitik çözümü x 1 = -2 ve x 2 = 3 olan ikinci dereceden denklem x 2 -x-6 = 0, incelenen fonksiyon olarak alınmıştır. Hata ve başlangıç ​​yaklaşımları, tüm yöntemler için eşit kabul edilmiştir. Kök arama sonuçları x=Şekillerde sunulan 3, aşağıdaki gibidir. Dikotomi yöntemi en yavaş - 22 yinelemeyi yakınsar, en hızlısı ise b = -0,2 - 5 yineleme ile basit yineleme yöntemidir. Burada Newton'un yönteminin en hızlı olduğu ifadesinde bir çelişki yoktur.

İncelenen fonksiyonun bu noktada türevi X= 3 -0,2'ye eşittir, yani bu durumda hesaplama pratik olarak Newton yöntemiyle denklemin kökü noktasındaki türev değeriyle gerçekleştirildi. Katsayıyı değiştirirken B yakınsama oranı düşer ve kademeli olarak yakınsama süreci önce döngüler halinde gider, sonra ıraksak hale gelir.

Ders Bir cebirsel doğrusal denklem sistemini çözmek için yinelemeli yöntemler.

İteratif sürecin yakınsaklık koşulu Jacobi yöntemi Seidel yöntemi

Basit yineleme yöntemi

Bir doğrusal cebirsel denklem sistemi dikkate alınır

Yinelemeli yöntemlerin uygulanabilmesi için sistemin eşdeğer bir forma indirgenmesi gerekir.

Daha sonra denklem sisteminin çözümüne yönelik bir başlangıç ​​yaklaşımı seçilir ve köke yönelik bir dizi yaklaşım bulunur.

Yinelemeli sürecin yakınsaması için koşulun sağlanması yeterlidir
(matris normu). Yinelemeleri sonlandırma kriteri, kullanılan yinelemeli yönteme bağlıdır.

Jacobi yöntemi .

Sistemi yinelemeye uygun bir forma getirmenin en basit yolu aşağıdaki gibidir:

Sistemin ilk denkleminden bilinmeyeni ifade ediyoruz X 1, ifade ettiğimiz sistemin ikinci denkleminden X 2 vb.

Sonuç olarak, sıfır elemanların ana köşegen üzerinde olduğu ve geri kalan elemanların aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplandığı B matrisli bir denklem sistemi elde ederiz:

d vektörünün bileşenleri aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

Basit yineleme yönteminin hesaplama formülü şöyledir:

veya koordinat gösteriminde şöyle görünür:

Jacobi yönteminde yinelemeleri bitirme kriteri şu şekildedir:

Eğer
, o zaman yinelemeleri sonlandırmak için daha basit bir kriter uygulayabiliriz

Örnek 1. Jacobi yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme.

Denklem sistemi verilsin:

Sisteme doğrulukla çözüm bulmak gerekiyor

Sistemi yinelemeye uygun bir forma indirgeyelim:

Örneğin bir başlangıç ​​yaklaşımı seçelim:

- sağ tarafın vektörü.

Daha sonra ilk yineleme şöyle görünür:

Çözüme ilişkin aşağıdaki yaklaşımlar benzer şekilde elde edilir.

B matrisinin normunu bulalım.

Normu kullanacağız

Her satırdaki elemanların modüllerinin toplamı 0,2 olduğuna göre,
, dolayısıyla bu problemdeki yinelemeleri sonlandırma kriteri şudur:

Vektör farklarının normlarını hesaplayalım:

Çünkü
Belirtilen doğruluk dördüncü yinelemede elde edildi.

Cevap: X 1 = 1.102, X 2 = 0.991, X 3 = 1.0 1 1

Seidel yöntemi .

Yöntem Jacobi yönteminin bir modifikasyonu olarak düşünülebilir. Ana fikir, bir sonrakini hesaplarken (n+1)-bilinmeyene yaklaşım X Ben en ben >1 zaten bulunmuş olanı kullan (n+1)- bilinmeyene yaklaşıyoruz X 1 ,X 2 , ...,X i - 1 ve değil N Jacobi yönteminde olduğu gibi yaklaşıklık.

Yöntemin koordinat gösterimindeki hesaplama formülü şuna benzer:

Yakınsama koşulları ve yinelemeleri sonlandırma kriteri Jacobi yöntemindekiyle aynı şekilde alınabilir.

Örnek 2. Doğrusal denklem sistemlerini Seidel yöntemini kullanarak çözme.

3 denklem sisteminin çözümünü paralel olarak ele alalım:

Sistemleri yinelemeye uygun bir forma indirgeyelim:

Yakınsama koşuluna dikkat edin
yalnızca ilk sistem için yapılır. Her durumda çözüme 3 ilk yaklaşımı hesaplayalım.

1. sistem:

Kesin çözüm aşağıdaki değerler olacaktır: X 1 = 1.4, X 2 = 0.2 . Yinelemeli süreç yakınsar.

2. sistem:

Yineleme sürecinin farklılaştığı görülebilir.

Kesin çözüm X 1 = 1, X 2 = 0.2 .

3. sistem:

Yinelemeli sürecin döngüler halinde ilerlediği görülebilir.

Kesin çözüm X 1 = 1, X 2 = 2 .

A denklem sisteminin matrisi simetrik ve pozitif tanımlı olsun. Daha sonra herhangi bir başlangıç ​​yaklaşımı seçimi için Seidel yöntemi yakınsar. Belirli bir matrisin normunun küçüklüğüne herhangi bir ek koşul getirilmemektedir.

Basit yineleme yöntemi.

A simetrik ve pozitif tanımlı bir matris ise, denklem sistemi genellikle eşdeğer forma indirgenir:

X=X-τ (A X- b), τ – yineleme parametresi.

Bu durumda basit yineleme yönteminin hesaplama formülü şu şekildedir:

X (n+1) =X N- τ (Bir X (N) - B).

ve τ > 0 parametresi mümkünse değeri en aza indirecek şekilde seçilir.

λ min ve λ max A matrisinin minimum ve maksimum özdeğerleri olsun. Optimum parametre seçimi

Bu durumda
şuna eşit bir minimum değer alır:

Örnek 3 Basit yineleme yöntemini kullanarak doğrusal denklem sistemlerini çözme. (MathCAD'de)

Ax = b denklem sistemi verilsin

Yinelemeli bir süreç oluşturmak için A matrisinin özdeğerlerini buluruz:

- özdeğerleri bulmak için yerleşik bir işlevi kullanır.

Yineleme parametresini hesaplayalım ve yakınsama koşulunu kontrol edelim

Yakınsama koşulu sağlanmıştır.

Başlangıç ​​yaklaşımını (x0 vektörü) alalım, doğruluğu 0,001 olarak ayarlayalım ve aşağıdaki programı kullanarak başlangıç ​​yaklaşımlarını bulalım:

Kesin çözüm

Yorum. Program rez matrisini döndürürse, bulunan tüm yinelemeleri görüntüleyebilirsiniz.

Yinelemeli yöntemlerin avantajı, kötü koşullandırılmış sistemlere ve yüksek dereceli sistemlere uygulanabilirliği, kendi kendini düzeltmesi ve bir PC'de uygulanma kolaylığıdır. Hesaplamalara başlamak için yinelemeli yöntemler, istenen çözüme bazı başlangıç ​​yaklaşımlarının belirtilmesini gerektirir.

Yinelemeli sürecin koşullarının ve yakınsama oranının önemli ölçüde matrisin özelliklerine bağlı olduğuna dikkat edilmelidir. A sistem ve ilk yaklaşımların seçimi.

Yineleme yöntemini uygulamak için orijinal sistem (2.1) veya (2.2) forma indirgenmelidir.

bundan sonra yinelenen formüllere göre yinelemeli işlem gerçekleştirilir

, k = 0, 1, 2, ... . (2.26A)

Matris G ve vektör (2.1) sisteminin dönüştürülmesi sonucu elde edilir.

Yakınsama için (2.26 A) gerekli ve yeterli olduğundan |l Ben(G)| < 1, где lBen(G) – matrisin tüm özdeğerleri G. Yakınsama şu durumlarda da meydana gelecektir: || G|| < 1, так как |lBen(G)| < " ||G||, burada " herhangi biri.

Sembol || ... || matrisin normu anlamına gelir. Değerini belirlerken çoğunlukla iki koşulu kontrol etmeyi bırakırlar:

||G|| = veya || G|| = , (2.27)

Nerede . Orijinal matrisin olması durumunda yakınsama da garanti edilir. Açapraz hakimiyete sahiptir, yani

. (2.28)

(2.27) veya (2.28) sağlanırsa, yineleme yöntemi herhangi bir başlangıç ​​yaklaşımı için yakınsar. Çoğu zaman, vektör ya sıfır ya da birim olarak alınır ya da vektörün kendisi (2.26)'dan alınır.

Orijinal sistemi (2.2) matrisle dönüştürmeye yönelik birçok yaklaşım vardır. A(2.26) formunu sağlamak veya (2.27) ve (2.28) yakınsama koşullarını sağlamak.

Örneğin (2.26) aşağıdaki şekilde elde edilebilir.

İzin vermek A = İÇİNDE+ İLE, det İÇİNDE#0; Daha sonra ( B+ İLE)= Þ B= −C+ Þ Þ B –1 B= −B –1 C+ B–1 , dolayısıyla= − B –1 C+ B –1 .

Koymak - B –1 C = G, B–1 = (2.26) elde ederiz.

Yakınsama koşullarından (2.27) ve (2.28) temsilin olduğu açıktır. A = İÇİNDE+ İLE keyfi olamaz.

Matris ise A(2.28) koşullarını karşılıyorsa, o zaman bir matris olarak İÇİNDE alttaki üçgen olanı seçebilirsiniz:

, a ii ¹ 0.

; Þ ; Þ ; Þ

a parametresini seçerek || G|| = ||e+bir A|| < 1.

Eğer (2.28) geçerliyse, o zaman (2.26)'ya dönüşüm her biri çözülerek yapılabilir. Ben(2.1) sisteminin denklemine göre x ben aşağıdaki tekrarlanan formüllere göre:

(2.28A)

Matriste ise A diyagonal baskınlık yoktur, eşdeğerliğini ihlal etmeyen bazı doğrusal dönüşümler kullanılarak elde edilmelidir.

Örnek olarak sistemi düşünün

(2.29)

Gördüğünüz gibi, (1) ve (2) numaralı denklemlerde köşegen baskınlık yok ama (3)'te var, bu yüzden onu değiştirmeden bırakıyoruz.

Denklem (1)'de çapraz baskınlık elde edelim. (1)'i a ile, (2)'yi b ile çarpalım, her iki denklemi toplayalım ve ortaya çıkan denklemde a ve b'yi seçelim, böylece köşegen baskınlık olsun:

(2a + 3b) X 1 + (–1,8a + 2b) X 2 +(0,4a – 1,1b) X 3 = a.

a = b = 5 alırsak 25 elde ederiz X 1 + X 2 – 3,5X 3 = 5.

Denklem (2)'yi (1) ağırlıklı olarak dönüştürmek için g ile çarpın, (2)'yi d ile çarpın ve (1)'i (2)'den çıkarın. Aldık

(3 boyutlu – 2g) X 1 + (2g + 1,8g) X 2 +(–1,1d – 0,4g) X 3 = −g.

d = 2, g = 3 koyarsak 0 elde ederiz X 1 + 9,4 X 2 – 3,4 X 3 = −3. Sonuç olarak sistemi elde ediyoruz.

(2.30)

Bu teknik geniş bir matris sınıfına çözüm bulmak için kullanılabilir.

veya

Başlangıç ​​yaklaşımı olarak vektör = (0,2; –0,32; 0) alınması T, bu sistemi teknolojiyi kullanarak çözeceğiz (2.26 A):

k = 0, 1, 2, ... .

Çözüm vektörünün iki komşu yaklaşımı doğruluk açısından çakıştığında hesaplama işlemi durur;

.

Formun yinelemeli çözüm teknolojisi (2.26 A) adlı basit yineleme yöntemi .

Basit yineleme yöntemi için mutlak hata tahmini:

sembol nerede || ... || normal anlamına gelir.

Örnek 2.1. Doğruluğu e = 0,001 olan basit bir yineleme yöntemi kullanarak doğrusal denklem sistemini çözün:

E = 0,001'e doğru bir cevap veren adım sayısı, ilişkiden belirlenebilir.

0,001 £.

Yakınsamayı formül (2.27) kullanarak tahmin edelim. Burada || G|| = = maksimum(0,56; 0,61; 0,35; 0,61) = 0,61< 1; = 2,15. Значит, сходимость обеспечена.

İlk yaklaşım olarak serbest terimlerin vektörünü alıyoruz, yani = (2,15; –0,83; 1,16; 0,44) T. Vektör değerlerini (2.26) yerine koyalım A):

Hesaplamalara devam ederek sonuçları tabloya giriyoruz:

k	X 1	X 2	X 3	X 4
	2,15	–0,83	1,16	0,44
	2,9719	–1,0775	1,5093	–0,4326
	3,3555	–1,0721	1,5075	–0,7317
	3,5017	–1,0106	1,5015	–0,8111
	3,5511	–0,9277	1,4944	–0,8321
	3,5637	–0,9563	1,4834	–0,8298
	3,5678	–0,9566	1,4890	–0,8332
	3,5760	–0,9575	1,4889	–0,8356
	3,5709	–0,9573	1,4890	–0,8362
	3,5712	–0,9571	1,4889	–0,8364
	3,5713	–0,9570	1,4890	–0,8364

Binlerde yakınsama zaten 10. adımda gerçekleşiyor.

Cevap: X 1 » 3.571; X 2 "-0,957; X 3 » 1,489; X 4 "-0,836.

Bu çözüm aynı zamanda (2.28) formülleri kullanılarak da elde edilebilir. A).

Örnek 2.2. Formülleri kullanarak algoritmayı göstermek (2.28 A) sistemin çözümünü düşünün (yalnızca iki yineleme):

; . (2.31)

Sistemi (2.28)'e göre (2.26) formuna dönüştürelim. A):

Þ (2.32)

İlk yaklaşımı alalım = (0; 0; 0) T. Bundan dolayı k= 0, değerin = (0,5; 0,8; 1,5) olduğu açıktır. T. Bu değerleri (2.32)'de yerine koyalım, yani k= 1 elde ederiz = (1,075; 1,3; 1,175) T.

Hata e 2 = = maksimum(0,575; 0,5; 0,325) = 0,575.

Çalışma formüllerine göre basit yineleme yöntemini kullanarak SLAE'ye çözüm bulmaya yönelik algoritmanın blok diyagramı (2.28) A) Şekil 2'de gösterilmektedir. 2.4.

Blok diyagramının özel bir özelliği aşağıdaki blokların varlığıdır:

– blok 13 – amacı aşağıda tartışılmıştır;

– blok 21 – sonuçların ekranda görüntülenmesi;

– blok 22 – yakınsamayı kontrol edin (gösterge).

Önerilen şemayı sistem (2.31) örneğini kullanarak analiz edelim ( N= 3, w = 1, e = 0,001):

= ; .

Engellemek 1. Başlangıç ​​verilerini girin A, ,Biz, N: N= 3, w = 1, e = 0,001.

Döngü I. Vektörlerin başlangıç ​​değerlerini ayarlayın X 0Ben Ve x ben (Ben = 1, 2, 3).

Engellemek 5. Yineleme sayacını sıfırlayın.

Engellemek 6. Mevcut hata sayacını sıfıra sıfırlayın.

İÇİNDE döngü II, matris satır numaraları değiştirilir A ve vektör.

Döngü II:Ben = 1: S = B 1 = 2 (blok 8).

İç içe geçmiş döngü III, blok 9'a gidin - matris sütun numarası sayacı A: J = 1.

Engellemek 10: J = Ben bu nedenle 9. bloğa dönüyoruz ve artırıyoruz J birim başına: J = 2.

10. blokta J ¹ Ben(2 ¹ 1) – 11. bloğa geçiyoruz.

Engellemek 11: S= 2 – (–1) × X 0 2 = 2 – (–1) × 0 = 2, blok 9'a gidin, burada J birer birer artırın: J = 3.

10. blokta durum J ¹ Ben yerine getirildi, o halde 11. bloğa geçelim.

Engellemek 11: S= 2 – (–1) × X 0 3 = 2 – (–1) × 0 = 2, ardından blok 9'a geçiyoruz; burada J birer artış ( J= 4). Anlam J Daha N (N= 3) – döngüyü bitirip 12. bloğa geçiyoruz.

Engellemek 12: S = S / A 11 = 2 / 4 = 0,5.

Engellemek 13: w = 1; S = S + 0 = 0,5.

Engellemek 14: D = | x ben – S | = | 1 – 0,5 | = 0,5.

Engellemek 15: x ben = 0,5 (Ben = 1).

Engellemek 16. Durumun kontrol edilmesi D > de: 0,5 > 0, dolayısıyla atadığımız blok 17'ye gidin de= 0,5 ve “bağlantısını kullanarak geri dönün” A» Döngü II'nin bir sonraki adımına – blok 7'ye, burada Ben birer arttırın.

Döngü II: Ben = 2: S = B 2 = 4 (blok 8).

J = 1.

10. blok aracılığıyla J ¹ Ben(1 ¹ 2) – 11. bloğa geçiyoruz.

Engellemek 11: S= 4 – 1 × 0 = 4, blok 9'a gidin, burada J birer birer artırın: J = 2.

10. blokta koşul karşılanmadığından 9. bloka geçiyoruz. J birer birer artırın: J= 3. Benzer şekilde 11. bloğa geçiyoruz.

Engellemek 11: S= 4 – (–2) × 0 = 4, ardından III. döngüyü bitirip 12. bloka geçiyoruz.

Engellemek 12: S = S/ A 22 = 4 / 5 = 0,8.

Engellemek 13: w = 1; S = S + 0 = 0,8.

Engellemek 14: D = | 1 – 0,8 | = 0,2.

Engellemek 15: x ben = 0,8 (Ben = 2).

Engellemek 16. Durumun kontrol edilmesi D > de: 0,2 < 0,5; следовательно, возвращаемся по ссылке «A» döngü II'nin bir sonraki adımına - blok 7'ye.

Döngü II: Ben = 3: S = B 3 = 6 (blok 8).

İç içe geçmiş döngü III, blok 9'a gidin: J = 1.

Engellemek 11: S= 6 – 1 × 0 = 6, blok 9'a gidin: J = 2.

10. bloğu kullanarak 11. bloğa geçiyoruz.

Engellemek 11: S= 6 – 1 × 0 = 6. Döngü III'ü bitirip 12. bloğa geçiyoruz.

Engellemek 12: S = S/ A 33 = 6 / 4 = 1,5.

Engellemek 13: S = 1,5.

Engellemek 14: D = | 1 – 1,5 | = 0,5.

Engellemek 15: x ben = 1,5 (Ben = 3).

Blok 16'ya göre (referanslar dahil " A" Ve " İLE") döngü II'den ayrılıyoruz ve 18. bloğa geçiyoruz.

Engellemek 18. Yineleme sayısını arttırmak BT = BT + 1 = 0 + 1 = 1.

Döngü IV'ün 19 ve 20. bloklarında başlangıç ​​değerlerini değiştiriyoruz X 0Ben elde edilen değerler x ben (Ben = 1, 2, 3).

Engellemek 21. Mevcut yinelemenin ara değerlerini yazdırıyoruz, bu durumda: = (0,5; 0,8; 1,5) T, BT = 1; de = 0,5.

7. bloğa döngü II'ye gidiyoruz ve dikkate alınan hesaplamaları yeni başlangıç ​​​​değerleriyle gerçekleştiriyoruz X 0Ben (Ben = 1, 2, 3).

Bundan sonra elde ederiz X 1 = 1,075; X 2 = 1,3; X 3 = 1,175.

O halde burada Seidel'in yöntemi birleşiyor.

Formüllere göre (2.33)

k	X 1	X 2	X 3
	0,19	0,97	–0,14
	0,2207	1,0703	–0,1915
	0,2354	1,0988	–0,2118
	0,2424	1,1088	–0,2196
	0,2454	1,1124	–0,2226
	0,2467	1,1135	–0,2237
	0,2472	1,1143	–0,2241
	0,2474	1,1145	–0,2243
	0,2475	1,1145	–0,2243

Cevap: X 1 = 0,248; X 2 = 1,115; X 3 = –0,224.

Yorum. Basit iterasyon ve Seidel yöntemleri aynı sistem için yakınsıyorsa Seidel yöntemi tercih edilir. Bununla birlikte, pratikte bu yöntemlerin yakınsama alanları farklı olabilir, yani basit yineleme yöntemi yakınsar, ancak Seidel yöntemi ıraksar ve bunun tersi de geçerlidir. Her iki yöntem için de || G|| yakın birim yakınsama hızı çok düşüktür.

Yakınsamayı hızlandırmak için yapay bir teknik kullanılır - sözde gevşeme yöntemi . Özü, yineleme yöntemi kullanılarak elde edilen bir sonraki değerin gerçeğinde yatmaktadır. x ben (k) formülü kullanılarak yeniden hesaplanır

burada w genellikle 0 ila 2 (0) aralığında değiştirilir< w £ 2) с каким-либо шагом (H= 0,1 veya 0,2). w parametresi, yöntemin yakınsamasının minimum sayıda yinelemede elde edileceği şekilde seçilir.

Gevşeme– bu duruma neden olan faktörlerin ortadan kalkmasından sonra vücudun herhangi bir durumunun kademeli olarak zayıflaması (fizik mühendisliği).

Örnek 2.4. Gevşeme formülünü kullanarak beşinci yinelemenin sonucunu ele alalım. w = 1,5'i alalım:

Gördüğünüz gibi neredeyse yedinci yinelemenin sonucu elde edildi.

Ardışık yaklaşım yöntemi olarak da adlandırılan basit yineleme yöntemi, bilinmeyen bir miktarın değerini kademeli olarak geliştirerek bulmaya yönelik matematiksel bir algoritmadır. Bu yöntemin özü, adından da anlaşılacağı gibi, ilk yaklaşımdan sonrakileri kademeli olarak ifade ederek, giderek daha hassas sonuçlar elde edilmesidir. Bu yöntem, belirli bir fonksiyondaki bir değişkenin değerini bulmak için ve ayrıca hem doğrusal hem de doğrusal olmayan denklem sistemlerini çözerken kullanılır.

SLAE'leri çözerken bu yöntemin nasıl uygulandığını ele alalım. Basit yineleme yöntemi aşağıdaki algoritmaya sahiptir:

1. Orijinal matristeki yakınsama koşulunun yerine getirilip getirilmediğinin kontrol edilmesi. Yakınsama teoremi: Sistemin orijinal matrisi köşegen baskınlığa sahipse (yani, her satırda, ana köşegenin elemanlarının mutlak değeri, ikincil köşegenlerin mutlak değerdeki elemanlarının toplamından daha büyük olmalıdır), o zaman basit yineleme yöntemi yakınsaktır.

2. Orijinal sistemin matrisi her zaman köşegensel bir üstünlüğe sahip değildir. Bu gibi durumlarda sistem dönüştürülebilir. Yakınsama koşulunu sağlayan denklemlere dokunulmaz ve sağlamayanlarla doğrusal kombinasyonlar yapılır; İstenilen sonuç elde edilene kadar çarpın, çıkarın, denklemleri birbirine ekleyin.

Ortaya çıkan sistemde ana köşegen üzerinde uygunsuz katsayılar varsa, bu tür bir denklemin her iki tarafına i * x i ile formun terimleri eklenir; bunların işaretleri köşegen elemanların işaretleriyle çakışmalıdır.

3. Ortaya çıkan sistemin normal forma dönüştürülmesi:

x - =β - +α*x -

Bu, örneğin şu şekilde yapılabilir: ilk denklemden x 1'i diğer bilinmeyenler cinsinden ifade edin, ikinciden - x 2'ye, üçüncüden - x 3'e vb. Bu durumda aşağıdaki formülleri kullanırız:

α ij = -(a ij / a ii)

ben = b i /a ii
Ortaya çıkan normal form sisteminin yakınsama koşulunu karşıladığından tekrar emin olmalısınız:

∑ (j=1) |α ij |≤ 1, i= 1,2,...n

4. Aslında ardışık yaklaşımlar yöntemini uygulamaya başlıyoruz.

x(0) ilk yaklaşımdır, x(1)'i onun üzerinden ifade edeceğiz, sonra x(2)'den x(1)'e kadar ifade edeceğiz. Matris formundaki genel formül şuna benzer:

x (n) = β - +α*x (n-1)

Gerekli doğruluğu elde edene kadar hesaplıyoruz:

maks |x i (k)-x i (k+1) ≤ ε

Öyleyse basit yineleme yöntemini uygulamaya koyalım. Örnek:
SLAE'yi çözün:

4,5x1-1,7x2+3,5x3=2
3,1x1+2,3x2-1,1x3=1
1,8x1+2,5x2+4,7x3=4 doğrulukla ε=10 -3

Modülde köşegen elemanların baskın olup olmadığına bakalım.

Yakınsama koşulunu yalnızca üçüncü denklemin sağladığını görüyoruz. Birinci ve ikinciyi dönüştürelim ve ikinciyi birinci denkleme ekleyelim:

7,6x1+0,6x2+2,4x3=3

Üçüncüden birinciyi çıkarıyoruz:

2,7x1+4,2x2+1,2x3=2

Orijinal sistemi eşdeğer bir sisteme dönüştürdük:

7,6x1+0,6x2+2,4x3=3
-2,7x1+4,2x2+1,2x3=2
1,8x1+2,5x2+4,7x3=4

Şimdi sistemi normal şekline getirelim:

x1=0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2=0,4762+0,6429x1-0,2857x3
x3= 0,8511-0,383x1-0,5319x2

Yinelemeli sürecin yakınsamasını kontrol ediyoruz:

0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319= 0,9149 ≤ 1, yani. koşul karşılanır.

0,3947
İlk tahmin x(0) = 0,4762
0,8511

Bu değerleri normal form denkleminde değiştirerek aşağıdaki değerleri elde ederiz:

0,08835
x(1) = 0,486793
0,446639

Yeni değerleri yerine koyarsak şunu elde ederiz:

0,215243
x(2) = 0,405396
0,558336

Verilen koşulu sağlayan değerlere yaklaşana kadar hesaplamalara devam ediyoruz.

x(7) = 0,441091

Elde edilen sonuçların doğruluğunu kontrol edelim:

4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3,1*0,1880+2,3*0,441-1,1x*0,544=0,9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977

Bulunan değerlerin orijinal denklemlere yerleştirilmesiyle elde edilen sonuçlar, denklemin koşullarını tam olarak karşılamaktadır.

Gördüğümüz gibi basit yineleme yöntemi oldukça doğru sonuçlar veriyor ancak bu denklemi çözmek için çok zaman harcamak ve hantal hesaplamalar yapmak zorunda kaldık.