Kesin konunun incelenmesi: doğal sayılar hangi sayılardır, örnekler ve özellikler. doğal olmayan sayılar

Matematikte birkaç farklı sayı kümesi vardır: gerçek, karmaşık, tamsayı, rasyonel, irrasyonel, ... Gündelik Yaşam doğal sayıları sayarken ve arama yaparken nesnelerin sayısını belirterek karşılaştığımız için çoğunlukla kullanırız.

Temas halinde

Hangi sayılara doğal denir

On basamaktan, kesinlikle mevcut herhangi bir sınıf ve rütbe toplamını yazabilirsiniz. Doğal değerler hangileri kullanılır:

• Herhangi bir öğeyi sayarken (birinci, ikinci, üçüncü, ... beşinci, ... onuncu).
• Öğe sayısını belirtirken (bir, iki, üç ...)

N değerleri her zaman tam sayı ve pozitiftir. Tamsayı değerleri kümesi sınırlı olmadığından en büyük N yoktur.

Dikkat! Doğal sayılar, nesneleri sayarak veya miktarlarını belirleyerek elde edilir.

Kesinlikle herhangi bir sayı ayrıştırılabilir ve bit terimleriyle gösterilebilir, örneğin: 8.346.809=8 milyon+346 bin+809 birim.

N'yi ayarla

N kümesi kümenin içindedir gerçek, tamsayı ve pozitif. Küme diyagramında, doğal küme onların bir parçası olduğu için birbirlerinin içinde olacaklardır.

Doğal sayılar kümesi N harfi ile gösterilir. Bu kümenin bir başı vardır ama sonu yoktur.

Sıfırın dahil edildiği genişletilmiş bir N kümesi de vardır.

en küçük doğal sayı

Çoğu matematik okulunda, N'nin en küçük değeri birim olarak sayılır, nesnelerin olmaması boş kabul edildiğinden.

Ancak yabancı matematik okullarında, örneğin Fransızca'da doğal kabul edilir. Seride sıfırın bulunması ispatı kolaylaştırır. bazı teoremler.

Sıfır içeren bir N değerleri kümesine genişletilmiş denir ve N0 (sıfır indeksi) sembolü ile gösterilir.

doğal sayılar dizisi

Bir N satırı, tüm N basamak kümesinin bir dizisidir. Bu dizinin sonu yok.

Doğal dizinin özelliği, bir sonraki sayının bir öncekinden bir farklılık göstermesi, yani artmasıdır. Ama anlamlar negatif olamaz.

Dikkat! Sayma kolaylığı için sınıflar ve kategoriler vardır:

• Birimler (1, 2, 3),
• Onlarca (10, 20, 30),
• Yüzlerce (100, 200, 300),
• Bin (1000, 2000, 3000),
• On binlerce (30.000),
• Yüz binlerce (800.000),
• Milyonlarca (4000000) vb.

Tüm N

Tüm N'ler gerçek, tamsayı, negatif olmayan değerler kümesindedir. Onlar onların ayrılmaz parça.

Bu değerler sonsuza gider, milyonlarca, milyarlarca, kentilyonlar vb. sınıflara ait olabilirler.

Örneğin:

• Beş elma, üç yavru kedi,
• On ruble, otuz kalem,
• Yüz kilo, üç yüz kitap,
• Bir milyon yıldız, üç milyon insan vs.

N'deki sıra

Farklı matematik okullarında, N dizisinin ait olduğu iki aralık bulunabilir:

sıfırdan artı sonsuza, uçlar dahil ve birden artı sonsuza, uçlar dahil, yani hepsi olumlu bütün cevaplar.

N hane çift veya tek olabilir. Tuhaflık kavramını düşünün.

Tek (herhangi tek olanlar 1, 3, 5, 7, 9 sayılarıyla biter.) iki ile kalan vardır. Örneğin, 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.

N bile ne anlama geliyor?

Herhangi bir çift sınıf toplamı sayılarla biter: 0, 2, 4, 6, 8. N çiftini 2'ye bölerken kalan olmaz, yani sonuç tam bir cevaptır. Örneğin, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

Önemli! Sayısal bir N dizisi yalnızca çift veya tek değerlerden oluşamaz, çünkü bunlar değişmek zorundadır: bir çift sayıyı her zaman tek bir sayı takip eder, ardından tekrar bir çift sayı gelir ve bu böyle devam eder.

N özellik

Diğer tüm kümeler gibi N'nin de kendine has özellikleri vardır. N serisinin (genişletilmemiş) özelliklerini göz önünde bulundurun.

• En küçük olan ve başka bir değeri takip etmeyen değer birdir.
• N bir dizidir, yani bir doğal değerdir başka birini takip eder(biri hariç - bu ilk).
• N basamak ve sınıf toplamı üzerinde hesaplama işlemleri yaptığımızda (toplama, çarpma), o zaman cevap her zaman doğal çıkar Anlam.
• Hesaplamalarda permütasyon ve kombinasyon kullanabilirsiniz.
• Sonraki her değer bir öncekinden daha az olamaz. Ayrıca N serisinde, aşağıdaki yasa işleyecektir: A sayısı B'den küçükse, o zaman sayı serisinde her zaman eşitliğin doğru olduğu bir C olacaktır: A + C \u003d B.
• Örneğin A ve B gibi iki doğal ifade alırsak, ifadelerden biri onlar için doğru olacaktır: A \u003d B, A, B'den büyüktür, A, B'den küçüktür.
• A, B'den küçükse ve B, C'den küçükse, o zaman şunu takip eder: A'nın C'den küçük olduğunu.
• A, B'den küçükse, o zaman şunu takip eder: onlara aynı ifadeyi (C) eklersek, o zaman A + C, B + C'den küçüktür. Bu değerler C ile çarpılırsa AC'nin AB'den küçük olduğu da doğrudur.
• B, A'dan büyük ancak C'den küçükse, B-A, C-A'dan küçüktür.

Dikkat! Yukarıdaki eşitsizliklerin tümü ters yönde de geçerlidir.

Çarpmanın bileşenlerine ne ad verilir?

Birçok basit ve hatta karmaşık görevde, cevabı bulmak öğrencilerin yeteneğine bağlıdır.

tamsayılar bizim için çok tanıdık ve doğal. Ve bu şaşırtıcı değil, çünkü onlarla tanışmak hayatımızın ilk yıllarından itibaren sezgisel bir düzeyde başlıyor.

Bu makaledeki bilgiler, doğal sayılar hakkında temel bir anlayış oluşturur, amaçlarını ortaya koyar, doğal sayıları yazma ve okuma becerilerini aşılar. Malzemenin daha iyi özümsenmesi için gerekli örnekler ve çizimler verilmiştir.

Sayfa gezintisi.

Doğal sayılar genel bir gösterimdir.

Şu görüş sağlam mantıktan yoksun değildir: nesneleri sayma probleminin (birinci, ikinci, üçüncü nesne vb.) Görünüşü ve nesnelerin sayısını (bir, iki, üç nesne vb.) belirtme probleminin ortaya çıkmasına neden olmuştur. çözümü için bir aracın oluşturulmasına, bu araç tamsayılar.

Bu teklif gösteriyor doğal sayıların temel amacı- dikkate alınan kalemler grubundaki herhangi bir kalemin sayısı veya belirli bir kalemin seri numarası hakkında bilgi taşır.

Bir kişinin doğal sayıları kullanabilmesi için, hem algılama hem de çoğaltma için bir şekilde erişilebilir olması gerekir. Her bir doğal sayıyı seslendirirseniz, kulak tarafından algılanabilir hale gelir ve doğal bir sayıyı tasvir ederseniz görülebilir. Doğal sayıları iletmenin ve algılamanın en doğal yolları bunlardır.

Öyleyse anlamlarını öğrenirken doğal sayıları tasvir etme (yazma) ve seslendirme (okuma) becerilerini kazanmaya başlayalım.

Doğal bir sayı için ondalık gösterim.

Öncelikle doğal sayıları yazarken ne üzerine kuracağımıza karar vermeliyiz.

Aşağıdaki karakterlerin resimlerini ezberleyelim (virgülle ayırarak gösteriyoruz): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Gösterilen resimler sözde bir kayıttır. sayılar. Yazarken sayıları çevirmemek, eğmemek veya başka şekilde bozmamak konusunda hemen anlaşalım.

Şimdi, herhangi bir doğal sayının gösteriminde yalnızca belirtilen rakamların bulunabileceği ve başka hiçbir sembolün bulunamayacağı konusunda hemfikiriz. Ayrıca, bir doğal sayının gösterimindeki rakamların aynı yüksekliğe sahip olduğu, birbiri ardına sıralandığı (neredeyse hiç girinti olmadan) ve solda rakamdan farklı bir rakam olduğu konusunda hemfikiriz. 0 .

Doğal sayıların doğru gösterimine ilişkin bazı örnekler: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (not: sayılar arasındaki girintiler her zaman aynı değildir, inceleme sırasında bu konuda daha fazla tartışılacaktır). Yukarıdaki örneklerden, bir doğal sayının mutlaka tüm basamakları içermediği görülebilir. 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; Bir doğal sayının yazılmasında yer alan rakamların bir kısmı veya tamamı tekrarlanabilir.

Girdileri 014 , 0005 , 0 , 0209 Solda bir rakam olduğu için doğal sayıların kayıtları değildir. 0 .

Bu paragrafta açıklanan tüm gereklilikler dikkate alınarak gerçekleştirilen bir doğal sayının kaydına denir. bir doğal sayının ondalık gösterimi.

Ayrıca, doğal sayılar ve gösterimleri arasında ayrım yapmayacağız. Şunu açıklığa kavuşturalım: metnin devamında “verilen bir doğal sayı” gibi ifadeler 582 ", bu, notasyonu şu şekilde olan bir doğal sayı verildiği anlamına gelir: 582 .

Nesnelerin sayısı anlamında doğal sayılar.

Kaydedilen doğal sayının taşıdığı niceliksel anlamla ilgilenmenin zamanı geldi. Doğal sayıların nesneleri numaralandırma açısından anlamı, doğal sayıların karşılaştırılması makalesinde ele alınmaktadır.

Girişleri rakamların girişleriyle, yani sayılarla çakışan doğal sayılarla başlayalım. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 Ve 9 .

Gözlerimizi açtığımızı ve örneğin bunun gibi bir nesne gördüğümüzü hayal edin. Bu durumda gördüğümüzü yazabiliriz. 1 öğe. 1 doğal sayısı " şeklinde okunur. bir"("bir" rakamının azalması ve diğer rakamlar paragrafta vereceğiz), sayı için 1 başka bir isim aldı - " birim».

Ancak "birim" terimi, doğal sayıya ek olarak çok değerlidir. 1 , bir bütün olarak kabul edilen bir şeye denir. Örneğin, kümelerindeki herhangi bir öğe bir birim olarak adlandırılabilir. Örneğin, birçok elmadan herhangi bir elma birdir, birçok kuş sürüsünden herhangi bir kuş sürüsü de birdir, vb.

Şimdi gözlerimizi açıp şunu görüyoruz: Yani, bir nesneyi ve başka bir nesneyi görüyoruz. Bu durumda gördüğümüzü yazabiliriz. 2 ders. Doğal sayı 2 , " gibi okur iki».

Aynı şekilde, - 3 konu (oku " üç" ders), - 4 (« dört"") konunun, - 5 (« beş»), - 6 (« altı»), - 7 (« Yedi»), - 8 (« sekiz»), - 9 (« dokuz") öğeler.

Böylece, dikkate alınan konumdan, doğal sayılar 1 , 2 , 3 , …, 9 belirtmek miktaröğeler.

Gösterimi bir rakamın gösterimiyle eşleşen bir sayı 0 , isminde " sıfır". Sıfır sayısı bir doğal sayı DEĞİLDİR, ancak genellikle doğal sayılarla birlikte ele alınır. Unutmayın: sıfır, bir şeyin yokluğu anlamına gelir. Örneğin, sıfır öğe, tek bir öğe değildir.

Makalenin ilerleyen paragraflarında doğal sayıların nicelik belirtme açısından ne anlama geldiğini açıklamaya devam edeceğiz.

tek basamaklı doğal sayılar

Açıkçası, doğal sayıların her birinin kaydı 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 bir işaretten oluşur - bir basamak.

Tanım.

Tek basamaklı doğal sayılar kaydı bir işaretten - bir rakamdan oluşan doğal sayılardır.

Tüm tek basamaklı doğal sayıları listeleyelim: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Dokuz tek basamaklı doğal sayı vardır.

İki basamaklı ve üç basamaklı doğal sayılar.

İlk olarak, iki basamaklı doğal sayıların tanımını veriyoruz.

Tanım.

iki basamaklı doğal sayılar- bunlar kaydı iki karakter olan doğal sayılardır - iki basamak (farklı veya aynı).

Örneğin bir doğal sayı 45 - iki basamaklı, sayılar 10 , 77 , 82 ayrıca iki haneli 5 490 , 832 , 90 037 - çift haneli değil.

Şimdiden bildiğimiz tek basamaklı doğal sayıların nicel anlamından yola çıkarken, iki basamaklı sayıların ne anlama geldiğini bulalım.

İlk olarak, konsepti tanıtalım on.

Böyle bir durumu hayal edelim - gözlerimizi açtık ve dokuz nesne ve bir nesne daha içeren bir set gördük. Bu durumda, biri söz eder 1 on (bir düzine) öğe. Biri bir on ve bir on daha birlikte düşünürse, o zaman biri 2 onlarca (iki onluk). İki onluk bir onluk daha eklersek, üç onluk elde ederiz. Bu işleme devam ederek dört onluk, beş onluk, altı onluk, yedi onluk, sekiz onluk ve nihayet dokuz onluk elde edeceğiz.

Artık iki basamaklı doğal sayıların özüne geçebiliriz.

Bunu yapmak için, iki basamaklı bir sayıyı iki tek basamaklı sayı olarak düşünün - biri iki basamaklı bir sayının gösteriminde solda, diğeri sağda. Soldaki sayı onlukların sayısını, sağdaki sayı ise birlerin sayısını gösterir. Ayrıca iki basamaklı bir sayının kaydında sağda bir basamak varsa 0 , o zaman bu birimlerin yokluğu anlamına gelir. Miktarı belirtmek açısından iki basamaklı doğal sayıların bütün noktası budur.

Örneğin iki basamaklı bir doğal sayı 72 karşılık gelir 7 onlarca ve 2 birimler (yani, 72 elmalar, yedi düzine elma ve iki elmadan oluşan bir kümedir) ve sayı 30 Yanıtlar 3 onlarca ve 0 birimler, yani onlarda birleşmeyen birimler yoktur.

"Kaç tane iki basamaklı doğal sayı vardır" sorusunu cevaplayalım. Onları cevapla 90 .

Üç basamaklı doğal sayıların tanımına dönüyoruz.

Tanım.

Gösterimi aşağıdakilerden oluşan doğal sayılar 3 işaretler - 3 rakamlar (farklı veya tekrarlanan) çağrılır üç basamaklı.

Doğal üç basamaklı sayılara örnekler: 372 , 990 , 717 , 222 . tamsayılar 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 üç basamaklı değildir.

Üç basamaklı doğal sayıların doğasında bulunan anlamı anlamak için şu kavrama ihtiyacımız var: yüzlerce.

Onluk bir dizi 1 yüz (yüz). yüz ve yüz 2 yüzlerce. İki yüz ve bir yüz daha üç yüz eder. Ve böylece, dört yüz, beş yüz, altı yüz, yedi yüz, sekiz yüz ve son olarak dokuz yüz var.

Şimdi üç basamaklı bir doğal sayıyı, üç basamaklı bir doğal sayının gösteriminde sağdan sola doğru birbiri ardına giden üç tek basamaklı doğal sayı olarak görelim. Sağdaki sayı birim sayısını, sonraki sayı onlukları, sonraki sayı ise yüzleri gösterir. Sayılar 0 üç basamaklı bir sayının kaydında, onlar ve (veya) birlerin olmaması anlamına gelir.

Böylece üç basamaklı bir doğal sayı 812 karşılık gelir 8 yüzlerce 1 ilk on ve 2 birimler; sayı 305 - üç yüz 0 onlarca, yani onlarca, yüze birleştirilmemiş, hayır) ve 5 birimler; sayı 470 - dört yüz yedi on (onlar halinde birleştirilmemiş birim yoktur); sayı 500 - beş yüz (onlar yüze birleştirilmemiş ve birimler onlarca birleştirilmemiş, hayır).

Benzer şekilde, dört basamaklı, beş basamaklı, altı basamaklı vb. doğal sayılar.

Çok değerli doğal sayılar.

Bu nedenle, çok değerli doğal sayıların tanımına dönüyoruz.

Tanım.

Çok değerli doğal sayılar- bunlar, kaydı iki, üç veya dörtten oluşan doğal sayılardır. işaretler. Başka bir deyişle, çok basamaklı doğal sayılar iki basamaklı, üç basamaklı, dört basamaklı vb. sayılar.

Hemen diyelim ki on yüzden oluşan küme bin, bin bin bir milyon, bin milyon bir milyar, bin milyar bir trilyon. Bin trilyon, bin trilyon vb. kendi isimleri de verilebilir, ancak buna özel bir ihtiyaç yoktur.

Peki çok değerli doğal sayıların ardındaki anlam nedir?

Çok basamaklı bir doğal sayıyı, sağdan sola doğru birbirini takip eden tek basamaklı doğal sayılar olarak görelim. Sağdaki sayı birim sayısını, sonraki sayı onlukları, sonraki sayı yüzleri, sonraki sayı binleri, sonraki sayı onbinleri, sonraki sayı yüzleri gösterir. binlerce, sonraki milyonların sayısı, sonraki on milyonların sayısı, sonraki yüz milyonlarca, sonraki - milyarların sayısı, sonra - on milyarların sayısı, sonra - yüz milyarlar , sonra - trilyonlarca, sonra - on trilyonlarca, sonra - yüz trilyonlarca vb.

Örneğin, çok basamaklı bir doğal sayı 7 580 521 karşılık gelir 1 birim, 2 onlarca, 5 yüzlerce 0 binlerce 8 onbinlerce 5 yüz binlerce ve 7 milyonlar

Böylece birimleri onlara, onlarları yüze, yüzleri binlere, binleri on binlere vb. gruplandırmayı öğrendik ve çok basamaklı bir doğal sayının kaydındaki sayıların karşılık gelen sayıyı gösterdiğini öğrendik. yukarıdaki gruplar.

Doğal sayıları okuma, sınıflar.

Tek basamaklı doğal sayıların nasıl okunduğundan daha önce bahsetmiştik. Aşağıdaki tabloların içeriğini ezbere öğrenelim.

Ve diğer iki basamaklı sayılar nasıl okunur?

Bir örnekle açıklayalım. bir doğal sayıyı okumak 74 . Yukarıda öğrendiğimiz gibi, bu sayı şuna karşılık gelir: 7 onlarca ve 4 birimler, yani 70 Ve 4 . Az önce yazılmış tablolara dönüyoruz ve sayı 74 “Yetmiş dört” olarak okuruz (“ve” birleşimini telaffuz etmeyiz). Bir sayı okumak istiyorsanız 74 cümlede: "Hayır 74 elmalar" (genitif durum), o zaman kulağa şöyle gelir: "Yetmiş dört elma yok." Başka bir örnek. Sayı 88 - Bu 80 Ve 8 , bu nedenle şunu okuruz: "Seksen sekiz." Ve işte bir cümle örneği: "Seksen sekiz ruble düşünüyor."

Üç basamaklı doğal sayıları okumaya geçelim.

Bunu yapmak için birkaç yeni kelime daha öğrenmemiz gerekecek.

Geriye kalan üç basamaklı doğal sayıların nasıl okunduğunu göstermek kalıyor. Bu durumda, tek basamaklı ve çift basamaklı sayıları okuma konusunda zaten edinilmiş becerileri kullanacağız.

Bir örnek alalım. sayıyı okuyalım 107 . Bu sayı karşılık gelir 1 yüz ve 7 birimler, yani 100 Ve 7 . Tablolara dönerek şunu okuruz: "Yüz yedi." Şimdi sayıyı söyleyelim 217 . Bu sayı 200 Ve 17 , bu nedenle şunu okuruz: "İki yüz on yedi." Aynı şekilde, 888 - Bu 800 (sekiz yüz) ve 88 (seksen sekiz), "Sekiz yüz seksen sekiz" okuruz.

Çok basamaklı sayıları okumaya dönüyoruz.

Okumak için, çok basamaklı bir doğal sayının kaydı, sağdan başlayarak üç basamaklı gruplara bölünürken, en soldaki bu tür grupta şunlar olabilir: 1 , veya 2 , veya 3 sayılar. Bu gruplara denir sınıflar. Sağdaki sınıfın adı birim sınıfı. Bir sonraki sınıf (sağdan sola) denir binlerce kişilik sınıf, bir sonraki sınıf milyonlarca sınıf, Sonraki - milyarlık sınıf, sonra gider trilyon sınıfı. Aşağıdaki sınıfların adlarını verebilirsiniz, ancak kaydı aşağıdakilerden oluşan doğal sayılar 16 , 17 , 18 vesaire. işaretler genellikle kulak tarafından algılanması çok zor olduğu için okunmaz.

Çok basamaklı sayıları sınıflara bölme örneklerine bakın (anlaşılması için sınıflar birbirinden küçük bir girinti ile ayrılmıştır): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Kaydedilen doğal sayıları, okumayı öğrenmenin kolay olduğu bir tabloya koyalım.

Bir doğal sayıyı okumak için soldan sağa onu oluşturan sayıları sınıfa göre çağırır ve sınıfın adını ekleriz. Aynı zamanda, birim sınıfının adını telaffuz etmiyoruz ve ayrıca üç haneyi oluşturan sınıfları atlıyoruz. 0 . Sınıf kaydının solunda bir rakam varsa 0 veya iki haneli 0 , ardından bu sayıları yok sayın 0 ve bu rakamları atarak elde edilen sayıyı okuyun 0 . Örneğin, 002 "iki" olarak okuyun ve 025 - "yirmi beş" gibi.

sayıyı okuyalım 489 002 verilen kurallara göre.

Soldan sağa okuyoruz,

• numarayı oku 489 binler sınıfını temsil eden "dört yüz seksen dokuz";
• sınıfın adını ekleyin, "dört yüz seksen dokuz bin" elde ederiz;
• gördüğümüz birimler sınıfında daha ileri 002 , sıfırlar solda, onları yok sayıyoruz, bu nedenle 002 "iki" olarak okuyun;
• birim sınıf adının eklenmesi gerekmez;
• sonuç olarak elimizde 489 002 - dört yüz seksen dokuz bin iki.

Sayıyı okumaya başlayalım 10 000 501 .

• Milyonlar sınıfında solda sayıyı görüyoruz 10 , "on" okuruz;
• sınıfın adını ekleyin, elimizde "on milyon" var;
• sonra rekoru görüyoruz 000 binler sınıfında, çünkü üç hane de rakamdır 0 , ardından bu sınıfı atlayıp bir sonrakine geçiyoruz;
• birim sınıfı sayıyı temsil eder 501 , "beş yüz bir" okuduğumuz;
• Böylece, 10 000 501 on milyon beş yüz bir.

Ayrıntılı açıklamalara girmeden yapalım: 1 789 090 221 214 - "bir trilyon yedi yüz seksen dokuz milyar doksan milyon iki yüz yirmi bir bin iki yüz on dört."

Dolayısıyla çok basamaklı doğal sayıları okuma becerisinin temeli, çok basamaklı sayıları sınıflara ayırabilme, sınıf adlarını bilme ve üç basamaklı sayıları okuyabilme becerisidir.

Bir doğal sayının basamakları, basamağın değeri.

Bir doğal sayı yazılırken her basamağın değeri konumuna bağlıdır. Örneğin bir doğal sayı 539 karşılık gelir 5 yüzlerce 3 onlarca ve 9 birimler, dolayısıyla şekil 5 numara girişinde 539 yüz sayısını tanımlar, bir basamak 3 onluk sayısı ve rakam 9 - birim sayısı. sayı olduğu söyleniyor 9 duruyor birim basamağı ve sayı 9 dır-dir birim basamak değeri, sayı 3 duruyor onlar basamağı ve sayı 3 dır-dir onlar basamak değeri ve sayı 5 -V yüzlerce yer ve sayı 5 dır-dir yüzlerce basamak değeri.

Böylece, deşarj- bu, bir yandan, bir doğal sayı gösterimindeki basamağın konumu ve diğer yandan, bu basamağın konumu tarafından belirlenen değeridir.

Rütbelere isimler verildi. Bir doğal sayı kaydındaki sayılara sağdan sola bakarsanız, aşağıdaki rakamlar onlara karşılık gelir: birimler, onlar, yüzler, binler, onbinler, yüzbinler, milyonlar, on milyonlar ve yakında.

Kategorilerin adları, bir tablo şeklinde sunulduğunda akılda kalıcıdır. 15 basamaklı isimleri içeren bir tablo yazalım.

Belirli bir doğal sayının basamak sayısının, bu sayının yazılmasında yer alan karakter sayısına eşit olduğuna dikkat edin. Böylece, kaydedilen tablo, kaydı 15 karaktere kadar olan tüm doğal sayıların rakamlarının adlarını içerir. Aşağıdaki rakamların da kendi isimleri vardır, ancak çok nadiren kullanılırlar, bu yüzden onlardan bahsetmenin bir anlamı yoktur.

Rakam tablosunu kullanarak, belirli bir doğal sayının rakamlarını belirlemek uygundur. Bunun için bu tabloya bu doğal sayıyı her basamakta bir basamak olacak ve en sağdaki basamak birler basamağı içinde olacak şekilde yazmanız gerekir.

Bir örnek alalım. bir doğal sayı yazalım 67 922 003 942 Tabloda ise basamaklar ve bu basamakların değerleri net bir şekilde görünür hale gelecektir.

Bu numaranın kaydında, rakam 2 birler basamağında duruyor, basamak 4 - onlar basamağında, rakam 9 - yüzler basamağında, vb. Rakamlara dikkat edin 0 , onbinlerce ve yüzbinlerce basamakta olan. Sayılar 0 bu basamaklarda, bu basamakların birimlerinin olmaması anlamına gelir.

Çok değerli bir doğal sayının sözde en düşük (en düşük) ve en yüksek (en yüksek) kategorisini de belirtmeliyiz. Alt (genç) rütbe herhangi bir çok değerli doğal sayı, birler basamağıdır. Bir doğal sayının en yüksek (en yüksek) basamağı bu numaranın kaydındaki en sağdaki haneye karşılık gelen rakamdır. Örneğin 23004 doğal sayısının en önemsiz basamağı birler basamağı, en büyük basamağı ise onbinler basamağıdır. Bir doğal sayının gösteriminde soldan sağa basamaklar halinde hareket edersek, sonraki her basamak daha düşük (genç) bir önceki. Örneğin, binler basamağı onbinler basamağından daha azdır, özellikle binler basamağı yüzbinler, milyonlar, on milyonlar vb. Bir doğal sayının gösteriminde sağdan sola basamaklar halinde hareket edersek, sonraki her basamak daha yüksek (eski) bir önceki. Örneğin, yüzler basamağı onlar basamağından daha eskidir ve hatta birler basamağından daha da eskidir.

Bazı durumlarda (örneğin, toplama veya çıkarma yaparken), doğal sayının kendisi değil, bu doğal sayının bit terimlerinin toplamı kullanılır.

Kısaca ondalık sayı sistemi hakkında.

Böylece, doğal sayıları, içlerinde bulunan anlamı ve on basamaklı doğal sayıları yazmanın yolunu tanıdık.

Genel olarak işaretleri kullanarak sayıları yazma yöntemine denir. sayı sistemi. Bir sayı girişindeki bir basamağın değeri, konumuna bağlı olabilir veya olmayabilir. Bir sayı girişindeki bir basamağın değerinin konumuna bağlı olduğu sayı sistemlerine ne ad verilir? konumsal.

Bu nedenle, ele aldığımız doğal sayılar ve bunları yazma yöntemi, konumsal bir sayı sistemi kullandığımızı gösteriyor. Bu sayı sisteminde özel bir yerin sayıya sahip olduğuna dikkat edilmelidir. 10 . Gerçekten de, puan onlarca olarak tutulur: on birim onda birleştirilir, on onluk yüz, on yüz binde birleştirilir, vb. Sayı 10 isminde temel verilen sayı sistemi ve sayı sisteminin kendisine denir ondalık.

Ondalık sayı sistemine ek olarak başkaları da vardır, örneğin bilgisayar biliminde ikili konumlu sayı sistemi kullanılır ve zamanı ölçmeye gelince altmışlık sistemle karşılaşırız.

Kaynakça.

• Matematik. 5 sınıf eğitim kurumu için herhangi bir ders kitabı.

tamsayılar- nesneleri saymak için kullanılan sayılar . Herhangi bir doğal sayı on kullanılarak yazılabilir. basamak: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Böyle bir sayı kaydına denir. ondalık.

Tüm doğal sayıların dizisine denir. doğal yan yana .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

En küçük bir doğal sayı birdir (1). Doğal dizide bir sonraki sayı bir öncekinden 1 fazladır. doğal seri sonsuz en büyük sayı yoktur.

Bir rakamın anlamı, sayı gösterimindeki yerine bağlıdır. Örneğin, 4 rakamı şu anlama gelir: 4 birim, eğer numara girişinde son sıradaysa (birimler yerinde); 4 on, eğer o son sıradaysa (onlar basamağında); 4 yüzlerce, sondan üçüncü sırada ise (V yüzlerce yer).

0 rakamının anlamı bu kategorideki birimlerin eksikliği bir sayının ondalık gösteriminde. Aynı zamanda sayıyı belirtmek için de kullanılır " sıfır". Bu sayı "yok" anlamına gelir. Bir futbol maçındaki 0:3 skoru, ilk takımın rakibe karşı tek gol atmadığını gösterir.

Sıfır dahil etme doğal sayılara. Ve gerçekten de öğelerin sayımı asla sıfırdan başlamaz.

Bir doğal sayının tek basamağı varsa – bir rakam, sonra denir açık Onlar. açıkdoğal sayı- kaydı bir işaretten oluşan bir doğal sayı – Bir basamak. Örneğin 1, 6, 8 sayıları tek hanelidir.

çift ​​hanelidoğal sayı- kaydı iki karakterden oluşan doğal bir sayı - iki basamak.

Örneğin 12, 47, 24, 99 sayıları çift hanelidir.

Ayrıca verilen bir sayıdaki karakter sayısına göre diğer sayılara da ad verilir:

sayılar 326, 532, 893 - üç basamaklı;

sayılar 1126, 4268, 9999 - dört basamaklı vesaire.

İki haneli, üç haneli, dört haneli, beş haneli vb. numaralar denir çok basamaklı sayılar .

Çok basamaklı sayıları okumak için sağdan başlayarak üç basamaklı gruplara ayrılırlar (en soldaki grup bir veya iki basamaktan oluşabilir). Bu gruplara denir sınıflar.

Milyon bin bin (1000 bin) ise 1 milyon veya 1.000.000 yazılır.

Milyar 1000 milyondur. 1 milyar veya 1.000.000.000 olarak kaydedilir.

Sağdaki ilk üç basamak birimler sınıfını, sonraki üç basamak binler sınıfını, ardından milyonlar, milyarlar vb. sınıfları oluşturur. (Şek. 1).

Pirinç. 1. Milyonluk sınıf, binlik sınıf ve birim sınıfı (soldan sağa)

15389000286 sayısı bit ızgarasına yazılır (Şekil 2).

Pirinç. 2. Rakam tablosu: sayı 15 milyar 389 milyon 286

Bu sayı bir sınıfta 286, binler sınıfında sıfır, milyonlar sınıfında 389 ve milyarlar sınıfında 15 birdir.

Tanım

Doğal sayılar, nesneleri saymaya yönelik sayılar olarak adlandırılır. Doğal sayıları kaydetmek için, matematiksel hesaplamalar için genel olarak kabul edilen ondalık sayı sisteminin temelini oluşturan 10 Arap rakamı (0-9) kullanılır.

doğal sayıların dizisi

Doğal sayılar, 1'den başlayan ve tüm pozitif tam sayılar kümesini kapsayan bir dizi oluşturur. Böyle bir dizi 1,2,3, ... sayılarından oluşur. Bu, doğal seride şu anlama gelir:

1. En küçük bir sayı vardır ve en büyük yoktur.
2. Sonraki her sayı bir öncekinden 1 daha büyüktür (istisna, birimin kendisidir).
3. Sayılar sonsuza giderken sonsuza kadar büyürler.

Bazen bir dizi doğal sayıya 0 da eklenir, buna izin verilir ve sonra hakkında konuşurlar. uzatılmış doğal dizi

Doğal sayıların sınıfları

Bir doğal sayının her basamağı belli bir basamağı ifade eder. Sonuncusu her zaman sayıdaki birim sayısıdır, ondan önceki onluk sayısıdır, sondan üçüncüsü yüzlerin sayısıdır, dördüncüsü binlerin sayısıdır, vb.

• 276: 2 yüz, 7 on, 6 birim
• 1098 sayısında: 1 bin, 9 on, 8 bir; sıfır olarak ifade edildiğinden burada yüzler basamağı yoktur.

Büyük ve çok büyük sayılar için sabit bir eğilim görebilirsiniz (sayıyı sağdan sola, yani son basamaktan birinciye doğru incelerseniz):

• sayının son üç hanesi birimler, onlar ve yüzlerdir;
• önceki üç birim, on ve yüz binlerce;
• önlerindeki üç (yani sayının 7., 8. ve 9. haneleri, sondan sayılarak) birimler, onluklar ve yüz milyonlar vs.

Yani, her seferinde üç basamakla, yani birimlerle, onlarca ve yüzlerce daha büyük bir adla uğraşıyoruz. Bu tür gruplar sınıfları oluşturur. Ve günlük yaşamda ilk üç sınıfla az çok uğraşmak zorunda kalırsanız, o zaman diğerleri listelenmelidir çünkü herkes isimlerini ezbere hatırlamaz.

• Milyonlar sınıfını takip eden ve 10-12 basamaklı sayıları temsil eden 4. sınıf, bir milyar (veya bir milyar) olarak adlandırılır;
• 5. sınıf - trilyon;
• 6. sınıf - katrilyon;
• 7. sınıf - kentilyon;
• 8. sınıf - sekstilyon;
• 9. sınıf - septilyon.

Doğal sayıların toplanması

Doğal sayıların toplanması, birbirine eklenen sayılar kadar birim içeren bir sayı elde etmenizi sağlayan bir aritmetik işlemdir.

Toplamanın işareti "+" işaretidir. Toplanan sayılara terim, sonuca toplam denir.

Küçük sayılar sözlü olarak eklenir (toplanır), yazılı olarak bu tür eylemler bir satıra yazılır.

Akılda toplaması zor olan çok basamaklı sayılar genellikle bir sütuna eklenir. Bunun için sayılar alt alta son basamağa hizalı olarak yazılır yani birler basamağının altına birler basamağını, yüzler basamağının altına yüzler basamağını vb. Ardından, rakamları çiftler halinde eklemeniz gerekir. Rakamların toplanması ondan bir geçişle oluyorsa bu on, soldaki rakamın üzerinde (yani onu takip eden) bir birim olarak sabitlenir ve bu rakamın rakamlarıyla birlikte toplanır.

Sütuna 2 değil, daha fazla sayı eklenirse, kategorinin basamaklarını toplarken 1 düzine değil, birkaç tane gereksiz olabilir. Bu durumda, bu tür onlukların sayısı bir sonraki haneye aktarılır.

Doğal sayıların çıkarılması

Çıkarma, aritmetik bir işlemdir, toplamanın tersidir; bu, miktar ve terimlerden biri verildiğinde, başka bir bilinmeyen terim bulmanız gerektiği gerçeğine indirgenir. Çıkarılmakta olan sayıya eksilen denir; çıkarılan sayı çıkan sayıdır. Çıkarmanın sonucuna fark denir. Çıkarma işlemini gösteren işaret "-" dir.

Toplamaya geçişte, çıkan ve fark terime, indirgenen toplama dönüşür. Toplama genellikle yapılan çıkarmanın doğruluğunu kontrol eder ve bunun tersi de geçerlidir.

Burada 74 eksilen, 18 çıkan, 56 farktır.

Doğal sayıları çıkarmanın önkoşulu şudur: eksilen mutlaka çıkandan büyük olmalıdır. Ancak bu durumda ortaya çıkan fark da bir doğal sayı olacaktır. Çıkarma işlemi genişletilmiş bir doğal seri için yapılırsa, eksilen çıkana eşit olabilir. Ve bu durumda çıkarmanın sonucu 0 olacaktır.

Not: Çıkarılan sıfıra eşitse, çıkarma işlemi eksilen değeri değiştirmez.

Çok basamaklı sayıların çıkarılması genellikle bir sütunda yapılır. Sayıları toplama işlemiyle aynı şekilde yazın. Karşılık gelen basamaklar için çıkarma işlemi yapılır. Eksi çıkanın çıkandan daha az olduğu ortaya çıkarsa, önceki (solda bulunan) basamaktan bir alınır ve bu, aktarımdan sonra doğal olarak 10'a dönüşür. Bu on, indirgenmiş rakamla özetlenir. verilen rakam ve sonra çıkarılır. Ayrıca, bir sonraki rakamı çıkarırken, azaltılanın 1 daha az olduğunu hesaba katmak gerekir.

doğal sayıların çarpımı

Doğal sayıların çarpımı (veya çarpımı), gelişigüzel sayıda özdeş terimlerin toplamını bulan aritmetik bir işlemdir. Çarpma işlemini kaydetmek için "·" işaretini kullanın (bazen "×" veya "*"). Örneğin: 3 5=15.

Çok sayıda terim eklemek gerektiğinde çarpma işlemi vazgeçilmezdir. Örneğin, 4 sayısını 7 kez toplamanız gerekiyorsa, 4'ü 7 ile çarpmak şu toplamayı yapmaktan daha kolaydır: 4+4+4+4+4+4+4.

Çarpılan sayılara çarpan denir, çarpmanın sonucu çarpımdır. Buna göre "iş" terimi, bağlama bağlı olarak hem çarpma sürecini hem de sonucunu ifade edebilir.

Çok basamaklı sayılar bir sütunda çarpılır. Çünkü bu sayı toplama ve çıkarma ile aynı şekilde yazılır. 2 sayıdan hangisinin daha uzun olduğunu önce (yukarıya) yazmanız önerilir. Bu durumda çarpma işlemi daha basit ve dolayısıyla daha rasyonel olacaktır.

Bir sütunda çarpma yapılırken, ikinci sayının basamaklarının her birinin basamakları, sonundan başlayarak 1. sayının basamakları ile sırayla çarpılır. Bu tür ilk işi bulduktan sonra, birim sayısını yazarlar ve onlarca sayısını akıllarında tutarlar. 2. sayının basamağı 1. sayının bir sonraki basamağı ile çarpılırken akılda kalan sayı çarpıma eklenir. Ve yine elde edilen sonucun birim sayısını yazarlar ve onlarca sayısını hatırlarlar. 1. sayının son rakamı ile çarpılırken bu şekilde elde edilen sayı tam olarak yazılır.

İkinci sayının 2. basamağının basamaklarının çarpılması sonucu 1 hücre sağa kaydırılarak ikinci satıra yazılır. Ve benzeri. Sonuç olarak, bir "merdiven" elde edilecektir. Ortaya çıkan tüm sayı satırları eklenmelidir (bir sütundaki toplama kuralına göre). Boş hücreler sıfırlarla dolu kabul edilmelidir. Ortaya çıkan toplam nihai üründür.

Not

1. Herhangi bir doğal sayının 1 ile (veya bir sayıyla 1) çarpımı, sayının kendisine eşittir. Örneğin: 376 1=376; 1 86=86.
2. Faktörlerden biri veya her ikisi de 0'a eşit olduğunda, çarpım 0'a eşittir. Örneğin: 32.0=0; 0 845=845; 0 0=0.

doğal sayıların bölünmesi

Bölünmeye aritmetik işlem denir, bunun yardımıyla bilinen bir ürüne ve faktörlerden birine göre başka bir - bilinmeyen - faktör bulunabilir. Bölme, çarpmanın tersidir ve çarpmanın doğru yapılıp yapılmadığını kontrol etmek için kullanılır (ve tersi).

Bölünen sayıya bölünebilir denir; bölündüğü sayı bölendir; bölme işleminin sonucuna bölüm denir. Bölme işareti ":" şeklindedir (bazen, daha az sıklıkla - "÷").

Burada 48 bölünen, 6 bölen ve 8 bölümdür.

Tüm doğal sayılar kendi aralarında bölünemez. Bu durumda bölme işlemi kalanlı yapılır. Bölen için böyle bir faktörün, bölen tarafından çarpımı, değer olarak temettüye mümkün olduğunca yakın, ancak ondan daha küçük bir sayı olacak şekilde seçilmesi gerçeğinden oluşur. Bölen bu katsayı ile çarpılır ve paydan çıkarılır. Aradaki fark, bölümün kalanı olacaktır. Bir bölenin bir çarpanla çarpımına eksik bölüm denir. Dikkat: Kalan, seçilen çarpandan küçük olmalıdır! Kalan daha büyükse bu, çarpanın yanlış seçildiği ve artırılması gerektiği anlamına gelir.

7 için bir faktör seçiyoruz. Bu durumda bu sayı 5'tir. Eksik bir bölüm buluyoruz: 7 5 \u003d 35. Kalanı hesaplayın: 38-35=3. 3'ten beri<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

Çok basamaklı sayılar bir sütuna bölünür. Bunu yapmak için bölen ve bölen yan yana yazılır ve bölen dikey ve yatay bir çizgiyle ayrılır. Bölünmede, bir bölenle bölmek için minimum düzeyde yeterli bir sayı olması gereken (yani, bu sayı bölenden büyük olmalıdır) ilk basamak veya ilk birkaç basamak (sağda) seçilir. Bu sayı için, kalanlı bölme kuralında açıklandığı gibi eksik bir bölüm seçilir. Kısmi bölümü bulmak için kullanılan çarpanın numarası bölenin altına yazılır. Eksik bölüm, bölünen sayının altına sağa dayalı olarak yazılır. Farklarını bulun. Kâr payının bir sonraki basamağı bu farkın yanına yazılarak yıkılır. Ortaya çıkan sayı için, bölenin altında bir öncekinin yanına seçilen çarpanın rakamı yazılarak yine tamamlanmamış bir bölüm bulunur. Ve benzeri. Bu tür işlemler, temettü sayıları bitene kadar gerçekleştirilir. Bundan sonra, bölünme tamamlanmış sayılır. Bölünen ve bölen tamamen bölünürse (kalan olmadan), son fark sıfır verir. Aksi takdirde, kalan sayı iade edilecektir.

üs alma

Üs alma, rastgele sayıda özdeş sayının çarpılmasından oluşan matematiksel bir işlemdir. Örneğin: 2 2 2 2.

Bu tür ifadeler şu şekilde yazılır: bir x,

Nerede A kendisi ile çarpılan bir sayıdır X gibi faktörlerin sayısıdır.

Asal ve bileşik doğal sayılar

1 dışında herhangi bir doğal sayı en az 2 sayıya bölünebilir - bir ve kendisi. Bu kritere göre, doğal sayılar asal ve bileşik olarak ayrılır.

Asal sayılar sadece 1'e ve kendisine bölünebilen sayılardır. Bu iki sayıdan daha fazlasına bölünebilen sayılara bileşik sayılar denir. Yalnızca kendisine bölünebilen bir birim ne asal ne de bileşiktir.

Sayılar asaldır: 2,3,5,7,11,13,17,19, vb. Bileşik sayılara örnekler: 4 (1,2,4'e bölünebilir), 6 (1,2,3,6'ya bölünebilir), 20 (1,2,4,5,10,20'ye bölünebilir).

Herhangi bir bileşik sayı asal çarpanlara ayrıştırılabilir. Bu durumda asal çarpanlar, asal sayılar olan bölenleri olarak anlaşılır.

Asal çarpanlara ayırma örneği:

doğal sayıların bölenleri

Bölen, belirli bir sayının kalansız bölünebildiği bir sayıdır.

Bu tanıma göre basit doğal sayıların 2 böleni vardır, bileşik sayıların 2'den fazla böleni vardır.

Birçok sayının ortak bölenleri vardır. Ortak bölen, verilen sayıların kalansız bölünebildiği sayıdır.

• 12 ve 15 sayılarının ortak böleni 3'tür.
• 20 ve 30 sayılarının ortak bölenleri 2,5,10'dur.

En büyük ortak bölen (GCD) özellikle önemlidir. Bu sayı, özellikle, indirgeme kesirlerini bulabilmek için kullanışlıdır. Bunu bulmak için, verilen sayıları asal çarpanlarına ayırmak ve ortak asal çarpanlarının en küçük katlarında alınmış olarak çarpımı olarak sunmak gerekir.

36 ve 48 sayılarının GCD'sini bulmak gerekir.

doğal sayıların bölünebilirliği

Bir sayının diğerine kalansız bölünüp bölünemeyeceğini "gözle" belirlemek her zaman mümkün olmaktan uzaktır. Bu gibi durumlarda, karşılık gelen bölünebilirlik testi, yani sayıları kalansız bölmenin mümkün olup olmadığını birkaç saniye içinde belirleyebileceğiniz kural yararlıdır. "" işareti bölünebilirliği belirtmek için kullanılır.

En küçük ortak Kat

Bu değer (EKOK ile gösterilir), verilenlerin her birine bölünebilen en küçük sayıdır. LCM, rastgele bir doğal sayılar kümesi için bulunabilir.

LCM, GCD gibi, önemli bir uygulamalı anlama sahiptir. Dolayısıyla, adi kesirleri ortak bir paydaya indirgeyerek bulunması gereken EKOK'dur.

LCM, verilen sayıları asal çarpanlara ayırarak belirlenir. Oluşumu için, maksimum dereceye kadar temsil edilen (en az 1 sayı için) asal faktörlerin her birinden oluşan bir ürün alınır.

14 ve 24 sayılarının EKOK'unu bulmak gerekiyor.

Ortalama

Rastgele (ancak sonlu) doğal sayıların aritmetik ortalaması, tüm bu sayıların toplamının terim sayısına bölünmesidir:

Aritmetik ortalama, bir sayı kümesi için bazı ortalama değerlerdir.

2,84,53,176,17,28 sayıları verilmiştir. Bunların aritmetik ortalamasını bulmak gerekir.