Dört formda bir doğrunun denklemi. Düz bir çizginin genel denklemi

Uzaydaki düz bir çizginin kanonik denklemleri, belirli bir noktadan bir yön vektörüne eşdoğrusal olarak geçen düz bir çizgiyi tanımlayan denklemlerdir.

Bir nokta ve yön vektörü verilsin. Bir doğru üzerinde rastgele bir nokta var ben yalnızca ve vektörleri doğrusalsa, yani koşulu karşılıyorlarsa:

.

Yukarıdaki denklemler doğrunun kanonik denklemleridir.

Sayılar M , N Ve P yön vektörünün koordinat eksenlerine izdüşümleridir. Vektör sıfırdan farklı olduğundan tüm sayılar M , N Ve P aynı anda sıfır olamaz. Ancak bunlardan bir veya ikisi sıfır olabilir. Örneğin analitik geometride aşağıdaki gösterime izin verilir:

,

bu, vektörün eksenler üzerindeki izdüşümü anlamına gelir oy Ve Oz sıfıra eşittir. Bu nedenle kanonik denklemlerin verdiği hem vektör hem de düz çizgi eksenlere diktir. oy Ve Oz yani uçaklar yOz .

örnek 1 Bir düzleme dik uzayda düz bir çizginin denklemlerini oluşturun ve bu düzlemin eksenle kesişme noktasından geçerek Oz .

Çözüm. Verilen düzlemin eksenle kesişme noktasını bulun Oz. Eksen üzerindeki herhangi bir noktadan itibaren Oz, koordinatlara sahiptir, o zaman verilen düzlem denkleminde varsayılırsak x=y= 0, 4 elde ederiz z- 8 = 0 veya z= 2 . Bu nedenle verilen düzlemin eksenle kesişme noktası Oz koordinatları vardır (0; 0; 2) . İstenilen doğru düzleme dik olduğundan normal vektörüne paraleldir. Bu nedenle normal vektör, düz çizginin yönlendirici vektörü olarak görev yapabilir verilen uçak

Şimdi noktadan geçen doğrunun istenilen denklemlerini yazıyoruz. A= (0; 0; 2) vektör yönünde:

Verilen iki noktadan geçen doğrunun denklemleri

Düz bir çizgi, üzerinde bulunan iki nokta ile tanımlanabilir Ve Bu durumda düz çizginin yönlendirici vektörü vektör olabilir. Daha sonra doğrunun kanonik denklemleri şu şekli alır:

.

Yukarıdaki denklemler verilen iki noktadan geçen düz bir çizgiyi tanımlar.

Örnek 2 Uzayda ve noktalarından geçen bir doğrunun denklemini yazınız.

Çözüm. Düz çizginin istenen denklemlerini yukarıda teorik referansta verilen formda yazıyoruz:

.

O zamandan beri istenen çizgi eksene diktir oy .

Düzlemlerin kesişme çizgisi kadar düz

Uzaydaki düz bir çizgi, paralel olmayan iki düzlemin kesişme çizgisi ve yani iki doğrusal denklem sistemini sağlayan bir dizi nokta olarak tanımlanabilir.

Sistemin denklemlerine uzaydaki doğrunun genel denklemleri de denir.

Örnek 3 Genel denklemlerle verilen uzayda düz bir çizginin kanonik denklemlerini oluşturun

Çözüm. Bir düz çizginin kanonik denklemlerini veya aynı şey olan, verilen iki noktadan geçen bir düz çizginin denklemini yazmak için, düz çizgi üzerindeki herhangi iki noktanın koordinatlarını bulmanız gerekir. Bunlar herhangi iki koordinat düzlemiyle düz bir çizginin kesişme noktaları olabilir, örneğin yOz Ve xOz .

Bir doğrunun bir düzlemle kesişme noktası yOz apsis var X= 0. Bu nedenle, bu denklem sisteminde varsayıldığında X= 0 ise iki değişkenli bir sistem elde ederiz:

Onun kararı sen = 2 , z= 6 ile birlikte X= 0 bir noktayı tanımlar A(0; 2; 6) istenen satırın. Verilen denklem sisteminde varsayarsak sen= 0, sistemi elde ederiz

Onun kararı X = -2 , z= 0 ile birlikte sen= 0 bir noktayı tanımlar B(-2; 0; 0) bir doğrunun bir düzlemle kesişimi xOz .

Şimdi noktalardan geçen bir doğrunun denklemlerini yazıyoruz. A(0; 2; 6) ve B (-2; 0; 0) :

,

veya paydaları -2'ye böldükten sonra:

,

K(x 0; y 0) noktasından geçen ve y = kx + a doğrusuna paralel olan doğru şu formülle bulunur:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Burada k düz çizginin eğimidir.

Alternatif formül:
M 1 (x 1 ; y 1) noktasından geçen ve Ax+By+C=0 çizgisine paralel olan çizgi aşağıdaki denklemle temsil edilir:

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

K( noktasından geçen bir doğrunun denklemini yazınız.) ;) y = doğrusuna paralel x + .

Örnek 1. M 0 (-2.1) noktasından geçen düz bir çizginin denklemini oluşturun ve aynı zamanda:
a) 2x+3y -7 = 0 düz çizgisine paralel;
b) 2x+3y -7 = 0 doğrusuna dik.
Çözüm . Eğim denklemini y = kx + a olarak temsil edelim. Bunu yapmak için y dışındaki tüm değerleri sağ tarafa aktaracağız: 3y = -2x + 7 . Daha sonra sağ tarafı 3 katsayısına bölüyoruz. Şunu elde ederiz: y = -2/3x + 7/3
y = -2 / 3 x + 7 / 3 düz çizgisine paralel K(-2;1) noktasından geçen NK denklemini bulun
X 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1'i değiştirerek şunu elde ederiz:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
veya
y = -2 / 3 x - 1 / 3 veya 3y + 2x +1 = 0

Örnek #2. 2x + 5y = 0 düz çizgisine paralel olan ve koordinat eksenleriyle birlikte alanı 5 olan bir üçgen oluşturan bir doğrunun denklemini yazın.
Çözüm . Çizgiler paralel olduğundan istenilen çizginin denklemi 2x + 5y + C = 0'dır. a ve b'nin bacakları olduğu dik üçgenin alanı. İstenilen çizginin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulun:
;
.
Yani A(-C/2,0), B(0,-C/5). Formülde alanı değiştirin: . İki çözüm elde ederiz: 2x + 5y + 10 = 0 ve 2x + 5y - 10 = 0.

Örnek #3. (-2; 5) noktasından geçen doğru ile 5x-7y-4=0 paralel doğrusunun denklemini yazın.
Çözüm. Bu düz çizgi y = 5/7 x – 4/7 (burada a = 5/7) denklemiyle temsil edilebilir. İstenilen çizginin denklemi y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)) yani. 7(y-5)=5(x+2) veya 5x-7y+45=0 .

Örnek #4. Örnek 3'ü (A=5, B=-7) formül (2)'yi kullanarak çözersek, 5(x+2)-7(y-5)=0 buluruz.

Örnek numarası 5. (-2;5) noktasından geçen bir doğru ile 7x+10=0 paralel bir doğrunun denklemini yazın.
Çözüm. Burada A=7, B=0. Formül (2) 7(x+2)=0 sonucunu verir; x+2=0. Bu denklem y'ye göre çözülemediği için formül (1) uygulanamaz (bu düz çizgi y eksenine paraleldir).

Düz çizginin M 1 (x 1; y 1) ve M 2 (x 2; y 2) noktalarından geçmesine izin verin. M1 noktasından geçen düz bir çizginin denklemi şu şekildedir: y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10.6)

Nerede k - hala bilinmeyen katsayı.

Düz çizgi M2 (x 2 y 2) noktasından geçtiğinden, bu noktanın koordinatları denklemi (10.6) karşılamalıdır: y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Buradan bulunan değeri değiştirmeyi buluyoruz k (10.6) denklemine göre, M 1 ve M 2 noktalarından geçen düz bir çizginin denklemini elde ederiz:

Bu denklemde x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 olduğu varsayılmaktadır.

Eğer x 1 \u003d x 2 ise, M 1 (x 1, y I) ve M 2 (x 2, y 2) noktalarından geçen düz çizgi y eksenine paraleldir. Denklemi x = x 1 .

Y 2 \u003d y I ise, düz çizginin denklemi y \u003d y 1 olarak yazılabilir, M 1 M 2 düz çizgisi x eksenine paraleldir.

Segmentlerdeki düz bir çizginin denklemi

Düz çizginin Ox eksenini M 1 (a; 0) noktasında ve Oy eksenini M 2 (0; b) noktasında kesmesine izin verin. Denklem şu şekli alacaktır:
onlar.
. Bu denklem denir segmentlerdeki bir doğrunun denklemi, çünkü a ve b sayıları, düz çizginin koordinat eksenlerinde hangi bölümleri kestiğini gösterir.

Belirli bir vektöre dik olarak belirli bir noktadan geçen düz bir çizginin denklemi

Belirli bir sıfır olmayan vektör n = (A; B)'ye dik olarak belirli bir Mo (x O; y o) noktasından geçen düz bir çizginin denklemini bulalım.

Düz çizgi üzerinde rastgele bir M(x; y) noktası alın ve M 0 M (x - x 0; y - y o) vektörünü düşünün (bkz. Şekil 1). n ve M o M vektörleri dik olduğundan, skaler çarpımları sıfıra eşittir: yani,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Denklem (10.8) denir belirli bir vektöre dik olarak belirli bir noktadan geçen düz çizginin denklemi .

Doğruya dik olan n = (A; B) vektörüne normal denir bu doğrunun normal vektörü .

Denklem (10.8) şu şekilde yeniden yazılabilir: Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

burada A ve B normal vektörün koordinatlarıdır, C \u003d -Ax o - Vu o - serbest üye. Denklem (10.9) bir doğrunun genel denklemidir(bkz. Şekil 2).

Şekil 1 Şekil 2

Düz çizginin kanonik denklemleri

,

Nerede
çizginin geçtiği noktanın koordinatlarıdır ve
- yön vektörü.

İkinci Dereceden Çemberin Eğrileri

Daire, merkez adı verilen belirli bir noktadan eşit uzaklıktaki bir düzlemin tüm noktalarının kümesidir.

Yarıçaplı bir dairenin kanonik denklemi R bir noktaya odaklanmış
:

Özellikle, kazık merkezinin orijin ile çakışması durumunda denklem şöyle görünecektir:

Elips

Elips, bir düzlemdeki noktalar kümesidir; bu noktaların her birinden belirli iki noktaya olan uzaklıkların toplamı Ve Odak adı verilen sabit bir değerdir
odaklar arasındaki mesafeden daha büyük
.

Odakları Ox ekseni üzerinde bulunan ve orijini odaklar arasında ortada olan bir elipsin kanonik denklemi şu şekildedir:
G de A ana yarı eksenin uzunluğu; B küçük yarım eksenin uzunluğudur (Şekil 2).

Düzlemdeki bir doğrunun denklemi.

Bilindiği gibi düzlem üzerindeki herhangi bir nokta, bazı koordinat sistemlerinde iki koordinat tarafından belirlenir. Koordinat sistemleri temel ve orijin seçimine bağlı olarak farklı olabilir.

Tanım. Çizgi denklemi bu doğruyu oluşturan noktaların koordinatları arasındaki y = f(x) ilişkisidir.

Çizgi denkleminin parametrik bir şekilde ifade edilebileceğini, yani her noktanın her koordinatının bazı bağımsız parametrelerle ifade edilebileceğini unutmayın. T.

Tipik bir örnek, hareketli bir noktanın yörüngesidir. Bu durumda zaman bir parametre rolü oynar.

Düzlemde düz bir çizginin denklemi.

Tanım. Düzlemdeki herhangi bir çizgi birinci dereceden bir denklemle verilebilir

Ah + Wu + C = 0,

üstelik A, B sabitleri aynı anda sıfıra eşit değildir, yani. A 2 + B 2  0. Bu birinci dereceden denklem denir Bir doğrunun genel denklemi.

A, B ve C sabitlerinin değerlerine bağlı olarak aşağıdaki özel durumlar mümkündür:

C \u003d 0, A  0, B  0 - çizgi orijinden geçer

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C \u003d 0) - çizgi Ox eksenine paraleldir

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - çizgi Oy eksenine paraleldir

B \u003d C \u003d 0, A  0 - düz çizgi Oy ekseniyle çakışır

A \u003d C \u003d 0, B  0 - düz çizgi Öküz ekseniyle çakışır

Düz bir çizginin denklemi, verilen başlangıç ​​koşullarına bağlı olarak çeşitli şekillerde sunulabilir.

Bir doğrunun bir noktaya ve bir normal vektöre göre denklemi.

Tanım. Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde (A, B) bileşenlerine sahip bir vektör, Ax + By + C = 0 denklemiyle verilen çizgiye diktir.

Örnek. Vektöre dik A (1, 2) noktasından geçen düz bir çizginin denklemini bulun (3, -1).

A \u003d 3 ve B \u003d -1'de düz çizginin denklemini oluşturalım: 3x - y + C \u003d 0. C katsayısını bulmak için, verilen A noktasının koordinatlarını ortaya çıkan ifadeye koyarız.

Şunu elde ederiz: 3 - 2 + C \u003d 0, dolayısıyla C \u003d -1.

Toplam: istenen denklem: 3x - y - 1 \u003d 0.

İki noktadan geçen doğrunun denklemi.

Uzayda iki M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2) noktası verilse, bu noktalardan geçen düz bir çizginin denklemi:

Paydalardan herhangi biri sıfıra eşitse karşılık gelen pay sıfıra eşitlenmelidir.

Düzlemde yukarıda yazılan düz çizginin denklemi basitleştirilmiştir:

eğer x 1  x 2 ve x \u003d x 1, eğer x 1 \u003d x 2 ise.

Kesir
=k denir eğim faktörü dümdüz.

Örnek. A(1, 2) ve B(3, 4) noktalarından geçen düz bir çizginin denklemini bulun.

Yukarıdaki formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

Bir doğrunun bir noktaya ve eğime göre denklemi.

Ax + Vy + C = 0 düz çizgisinin genel denklemi şu forma çıkarsa:

ve atayın
, sonra ortaya çıkan denklem denir eğimli bir doğrunun denklemik.

Bir nokta ve yönlendirici bir vektör üzerindeki düz bir çizginin denklemi.

Normal vektörden geçen düz bir çizginin denklemini dikkate alan noktaya benzetme yaparak, bir noktadan geçen düz bir çizginin ve bir düz çizginin yönlendirici vektörünün atanmasını girebilirsiniz.

Tanım. Sıfır olmayan her vektör Bileşenleri A 1 + B 2 = 0 koşulunu karşılayan ( 1 ,  2) doğrunun yönlendirici vektörü olarak adlandırılır

Ah + Wu + C = 0.

Örnek. Yön vektörlü düz bir çizginin denklemini bulun (1, -1) ve A(1, 2) noktasından geçiyor.

İstenilen düz çizginin denklemini şu formda arayacağız: Ax + By + C = 0. Tanıma göre katsayıların koşulları karşılaması gerekir:

1A + (-1)B = 0, yani. A = B.

O zaman düz bir çizginin denklemi şu şekilde olur: Ax + Ay + C = 0 veya x + y + C/A = 0.

x = 1, y = 2'de С/A = -3 elde ederiz, yani. istenen denklem:

Parçalardaki düz bir çizginin denklemi.

Düz çizginin genel denkleminde Ah + Wu + C = 0 C 0 ise, –C'ye bölerek şunu elde ederiz:
veya

, Nerede

Katsayıların geometrik anlamı, katsayının A doğrunun x ekseniyle kesişme noktasının koordinatıdır ve B- düz çizginin Oy ekseni ile kesişme noktasının koordinatı.

Örnek. x - y + 1 = 0 çizgisinin genel denklemi göz önüne alındığında. Bu doğrunun denklemini parçalarda bulun.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Bir doğrunun normal denklemi.

Denklemin her iki tarafı Ax + Wy + C = 0 sayıya bölünürse
, buna denir normalleştirme faktörü, sonra elde ederiz

xcos + ysin - p = 0 –

Bir doğrunun normal denklemi.

Normalleştirme faktörünün  işareti, С olacak şekilde seçilmelidir.< 0.

p, orijinden düz çizgiye bırakılan dikmenin uzunluğu ve , bu dikmenin Ox ekseninin pozitif yönü ile oluşturduğu açıdır.

Örnek. 12x - 5y - 65 = 0 doğrusunun genel denklemi verildiğinde, bu doğru için çeşitli türde denklemler yazmak gerekir.

bu doğrunun segmentlerdeki denklemi:

bu doğrunun eğimle denklemi: (5'e bölün)

Bir doğrunun normal denklemi:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p=5.

Her düz çizginin, örneğin eksenlere paralel veya orijinden geçen düz çizgiler gibi bölümler halinde bir denklemle temsil edilemeyeceğine dikkat edilmelidir.

Örnek. Düz çizgi, koordinat eksenleri üzerinde eşit pozitif parçaları keser. Bu parçaların oluşturduğu üçgenin alanı 8 cm2 ise düz bir çizginin denklemini yazın.

Düz bir çizginin denklemi şu şekildedir:
, a = b = 1; ab/2 = 8; bir = 4; -4.

a = -4 problemin durumuna uymuyor.

Toplam:
veya x + y - 4 = 0.

Örnek. A noktasından (-2, -3) ve orijinden geçen düz bir çizginin denklemini yazın.

Düz bir çizginin denklemi şu şekildedir:
, burada x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Düzlemdeki çizgiler arasındaki açı.

Tanım. İki doğruya y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 verilirse, bu çizgiler arasındaki dar açı şu şekilde tanımlanacaktır:

.

k 1 = k 2 ise iki doğru paraleldir.

k 1 = -1/k 2 ise iki doğru birbirine diktir.

Teorem. Düz çizgiler Ax + Vy + C = 0 ve A 1 x + B 1 y + C 1 A katsayıları orantılı olduğunda = 0 paraleldir 1 =  A, B 1 =  B. Ayrıca C ise 1 =  C ise çizgiler çakışıyor.

İki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatları bu doğruların denklem sisteminin çözümü olarak bulunur.

Belirli bir noktadan geçen çizginin denklemi

bu çizgiye dik.

Tanım. M 1 (x 1, y 1) noktasından geçen ve y \u003d kx + b çizgisine dik olan çizgi aşağıdaki denklemle temsil edilir:

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe.

Teorem. Eğer bir M(x) noktası 0 , sen 0 ), bu durumda Ax + Vy + C = 0 çizgisine olan mesafe şu şekilde tanımlanır:

.

Kanıt. M 1 (x 1, y 1) noktası, M noktasından verilen doğruya bırakılan dikmenin tabanı olsun. Daha sonra M ve M 1 noktaları arasındaki mesafe:

Denklem sisteminin çözümü olarak x 1 ve y 1 koordinatları bulunabilir:

Sistemin ikinci denklemi, belirli bir M 0 noktasından belirli bir düz çizgiye dik olarak geçen düz bir çizginin denklemidir.

Sistemin ilk denklemini forma dönüştürürsek:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sonra çözersek şunu elde ederiz:

Bu ifadeleri denklem (1)'de yerine koyarsak şunu buluruz:

.

Teorem kanıtlandı.

Örnek.Çizgiler arasındaki açıyı belirleyin: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

Örnek. 3x - 5y + 7 = 0 ve 10x + 6y - 3 = 0 doğrularının birbirine dik olduğunu gösterin.

Bulduk: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, bu nedenle çizgiler diktir.

Örnek. A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) üçgeninin köşeleri verilmiştir. C köşesinden çizilen yüksekliğin denklemini bulun.

AB tarafının denklemini buluyoruz:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

İstenilen yükseklik denklemi şu şekildedir: Ax + By + C = 0 veya y = kx + b.

k = . O zaman y =
. Çünkü yükseklik C noktasından geçerse koordinatları şu denklemi sağlar:
dolayısıyla b = 17. Toplam:
.

Cevap: 3x + 2y - 34 = 0.

Uzayda analitik geometri.

Uzayda çizgi denklemi.

Uzaydaki düz bir çizginin bir noktaya göre denklemi ve

yön vektörü.

Rasgele bir çizgi ve bir vektör alın (m, n, p) verilen doğruya paraleldir. Vektör isminde kılavuz vektör dümdüz.

Düz çizgi üzerinde iki keyfi M 0 (x 0 , y 0 , z 0) ve M(x, y, z) noktasını alalım.

z

M1

Bu noktaların yarıçap vektörlerini şu şekilde gösterelim: Ve , belli ki - =
.

Çünkü vektörler
Ve eşdoğrusal ise ilişki doğrudur
= t, burada t bir parametredir.

Toplamda şunu yazabiliriz: = + T.

Çünkü bu denklem doğru üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatları tarafından sağlanırsa, ortaya çıkan denklem şu şekilde olur: düz bir çizginin parametrik denklemi.

Bu vektör denklemi koordinat biçiminde temsil edilebilir:

Bu sistemi dönüştürerek ve t parametresinin değerlerini eşitleyerek uzayda düz bir çizginin kanonik denklemlerini elde ederiz:

.

Tanım. Yön kosinüsleri direkt vektörün yön kosinüsleridir aşağıdaki formüllerle hesaplanabilir:

;

.

Buradan şunu elde ederiz: m: n: p = cos : cos : cos.

m, n, p sayılarına denir eğim faktörleri dümdüz. Çünkü sıfır olmayan bir vektördür, m, n ve p aynı anda sıfır olamaz ancak bu sayılardan bir veya ikisi sıfır olabilir. Bu durumda bir doğrunun denkleminde karşılık gelen payların sıfıra eşitlenmesi gerekir.

Uzaydan geçen düz bir çizginin denklemi

iki noktadan.

Eğer iki rastgele M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2) noktası uzayda düz bir çizgi üzerinde işaretlenmişse, bu noktaların koordinatları aşağıdaki denklemi karşılamalıdır: yukarıda elde edilen düz çizgi:

.

Ayrıca M 1 noktası için şunu yazabiliriz:

.

Bu denklemleri birlikte çözersek şunu elde ederiz:

.

Bu, uzaydaki iki noktadan geçen düz bir çizginin denklemidir.

Uzayda düz bir çizginin genel denklemleri.

Düz bir çizginin denklemi, iki düzlemin kesişim çizgisinin denklemi olarak düşünülebilir.

Yukarıda tartışıldığı gibi, vektör formundaki bir düzlem aşağıdaki denklemle verilebilir:

+ D = 0, burada

- normal düzlem; - düzlemin rastgele bir noktasının yarıçap vektörü.

Bu makale, bir düzlem üzerinde yer alan dikdörtgen bir koordinat sisteminde verilen iki noktadan geçen düz bir çizginin denkleminin türetilmesini ortaya koymaktadır. Dikdörtgen bir koordinat sisteminde verilen iki noktadan geçen düz bir çizginin denklemini türetiyoruz. İşlenen materyalle ilgili birkaç örneği görsel olarak gösterip çözeceğiz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Verilen iki noktadan geçen doğrunun denklemini elde etmeden önce bazı hususlara dikkat etmek gerekir. Bir düzlem üzerinde çakışmayan iki noktadan düz bir çizgi çizmenin mümkün olduğunu ve yalnızca bir tane olduğunu söyleyen bir aksiyom vardır. Yani düzlemin belirli iki noktası, bu noktalardan geçen düz bir çizgiyle belirlenir.

Düzlem Oxy dikdörtgen koordinat sistemi tarafından verilmişse, içinde gösterilen herhangi bir düz çizgi, düzlemdeki düz çizginin denklemine karşılık gelecektir. Düz çizgiyi yönlendiren vektörle de bir bağlantı vardır.Bu veriler, verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemini oluşturmak için yeterlidir.

Benzer bir sorunu çözme örneğini düşünün. Kartezyen koordinat sisteminde yer alan iki uyumsuz M 1 (x 1, y 1) ve M 2 (x 2, y 2) noktasından geçen bir düz çizginin denklemini formüle etmek gerekir.

Düzlemdeki düz bir çizginin kanonik denkleminde, formda x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , dikdörtgen bir koordinat sistemi O x y, M koordinatlarına sahip bir noktada onunla kesişen düz bir çizgi ile belirtilir. 1 (x 1, y 1) kılavuz vektörü ile a → = (a x , a y) .

M 1 (x 1, y 1) ve M 2 (x 2, y 2) koordinatlarına sahip iki noktadan geçecek olan düz çizgi a'nın kanonik denklemini oluşturmak gerekir.

Düz çizgi a, M 1 ve M 2 noktalarıyla kesiştiği için koordinatları (x 2 - x 1, y 2 - y 1) olan bir M 1 M 2 → yönlendirici vektörüne sahiptir. Kanonik denklemi M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) yön vektörünün koordinatları ve üzerlerinde yatan M 1 noktalarının koordinatları ile dönüştürmek için gerekli verileri elde ettik. (x 1, y 1) ve M 2 (x 2, y 2) . x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 veya x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 biçiminde bir denklem elde ederiz.

Aşağıdaki şekli düşünün.

Hesaplamaların ardından M 1 (x 1, y 1) ve M 2 (x 2, y 2) koordinatlarına sahip iki noktadan geçen bir düzlemdeki düz bir çizginin parametrik denklemlerini yazıyoruz. X \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ veya x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ biçiminde bir denklem elde ederiz y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Birkaç örneğe daha yakından bakalım.

örnek 1

Koordinatları M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6 olan verilen 2 noktadan geçen düz çizginin denklemini yazın.

Çözüm

x 1, y 1 ve x 2, y 2 koordinatlarıyla iki noktada kesişen bir düz çizginin kanonik denklemi x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 formunu alır. Sorunun durumuna göre elimizde x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6 var. X - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 denklemindeki sayısal değerleri değiştirmek gerekir. Buradan kanonik denklemin x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 formunu alacağını anlıyoruz.

Cevap: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Bir problemi farklı bir denklem türüyle çözmek gerekiyorsa, o zaman başlangıçta kanonik olana gidebilirsiniz, çünkü ondan diğerine ulaşmak daha kolaydır.

Örnek 2

O xy koordinat sisteminde M 1 (1, 1) ve M 2 (4, 2) koordinatlarına sahip noktalardan geçen bir düz çizginin genel denklemini oluşturun.

Çözüm

Öncelikle verilen iki noktadan geçen belirli bir doğrunun kanonik denklemini yazmanız gerekir. x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 biçiminde bir denklem elde ederiz.

Kanonik denklemi istenen forma getirirsek şunu elde ederiz:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Cevap: x - 3 y + 2 = 0 .

Bu tür görevlerin örnekleri cebir derslerinde okul ders kitaplarında dikkate alınmıştır. Okul görevleri, y \u003d k x + b formundaki eğim katsayısına sahip düz bir çizginin denkleminin bilinmesi bakımından farklıydı. Eğim k değerini ve b sayısını bulmanız gerekiyorsa, burada y \u003d k x + b denklemi O x y sisteminde M 1 (x 1, y 1) ve M noktalarından geçen bir çizgiyi tanımlar 2 (x 2, y 2) , burada x 1 ≠ x 2 . x 1 = x 2 olduğunda , daha sonra eğim sonsuzluk değerini alır ve M 1 M 2 düz çizgisi, x - x 1 = 0 formundaki genel tamamlanmamış bir denklem ile tanımlanır. .

Çünkü noktalar M1 Ve M2 düz bir çizgi üzerindeyse koordinatları y 1 = k x 1 + b ve y 2 = k x 2 + b denklemini sağlar. y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b denklem sistemini k ve b'ye göre çözmek gerekir.

Bunu yapmak için k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 veya k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x'i buluyoruz 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Bu tür k ve b değerleriyle, verilen iki noktadan geçen düz bir çizginin denklemi aşağıdaki formu alır: y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 veya y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Bu kadar çok sayıda formülü aynı anda ezberlemek işe yaramayacaktır. Bunun için problem çözmede tekrar sayısını artırmak gerekir.

Örnek 3

M 2 (2, 1) ve y = k x + b koordinatlarına sahip noktalardan geçen eğimli bir düz çizginin denklemini yazın.

Çözüm

Sorunu çözmek için y \u003d k x + b formundaki eğime sahip bir formül kullanıyoruz. k ve b katsayıları öyle bir değer almalıdır ki, bu denklem M 1 (- 7 , - 5) ve M 2 (2 , 1) koordinatlarına sahip iki noktadan geçen düz bir çizgiye karşılık gelir.

puan M1 Ve M2 düz bir çizgi üzerinde yer alıyorsa, koordinatları y = k x + b denklemini doğru eşitliğe çevirmelidir. Buradan - 5 = k · (- 7) + b ve 1 = k · 2 + b'yi elde ederiz. Denklemi - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b sisteminde birleştirip çözelim.

Yerine koyduğunuzda bunu elde ederiz

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Şimdi k = 2 3 ve b = - 1 3 değerleri y = k x + b denkleminde ikame edilir. Verilen noktalardan geçen istenilen denklemin y = 2 3 x - 1 3 formunda bir denklem olacağını elde ederiz.

Bu çözüm yolu, büyük miktarda zaman harcamasını önceden belirler. Görevin kelimenin tam anlamıyla iki adımda çözülmesinin bir yolu var.

M 2 (2, 1) ve M 1 (- 7, - 5) 'den geçen düz bir çizginin kanonik denklemini x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) şeklinde yazıyoruz ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Şimdi eğim denklemine geçelim. Şunu elde ederiz: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Cevap: y = 2 3 x - 1 3 .

Üç boyutlu uzayda, M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2) koordinatlarına sahip, çakışmayan iki noktaya sahip dikdörtgen bir O x y z koordinat sistemi varsa, İçlerinden geçen M düz çizgisi 1 M 2 , bu doğrunun denklemini elde etmek gerekir.

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z formundaki kanonik denklemlere ve x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ parametrik denklemlerine sahibiz: O x y z koordinat sisteminde (x 1, y 1, z 1) koordinatlarına sahip noktalardan geçen bir doğruyu a → = (a x, a y, a z) yönlendirici vektörle ayarlayabilir.

Düz M 1 M 2 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) biçiminde bir yön vektörüne sahiptir, burada çizgi M 1 (x 1 , y 1 , z) noktasından geçer 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2), dolayısıyla kanonik denklem şu şekilde olabilir: x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 veya x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, sırayla parametrik x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ veya x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Uzayda verilen 2 noktayı ve bir doğrunun denklemini gösteren bir şekil düşünün.

Örnek 4

Üç boyutlu uzayın O x y z dikdörtgen koordinat sisteminde tanımlanan, M 1 (2, - 3, 0) ve M 2 (1, - 3, - 5) koordinatlarına sahip verilen iki noktadan geçen düz bir çizginin denklemini yazın. ).

Çözüm

Kanonik denklemi bulmamız gerekiyor. Üç boyutlu uzaydan bahsettiğimiz için bu, verilen noktalardan düz bir çizgi geçtiğinde istenen kanonik denklemin x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = formunu alacağı anlamına gelir. z - z 1 z 2 - z 1 .

Koşul olarak, x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5'e sahibiz. Buradan gerekli denklemlerin aşağıdaki şekilde yazılabileceği anlaşılmaktadır:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Cevap: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.