Yukarıda tartışılan örnek, analiz için kullanılan değerlerin rastgele nedenlere bağlı olduğu sonucuna varmamızı sağlar, bu nedenle bu tür değişkenlere denir. rastgele. Çoğu durumda, rastgele değişken X'in çeşitli gözlemlenen değerlerinin kaydedildiği ilk satırda ve ikincisinde karşılık gelen frekansların kaydedildiği gözlemler veya deneyler sonucunda ortaya çıkarlar. Bu tablonun adı bu yüzden rastgele değişken X'in ampirik dağılımı veya varyasyon serisi. Varyasyon serileri için ortalama, dağılım ve standart sapmayı bulduk.

sürekli değerleri belirli bir sayısal aralığı tamamen dolduruyorsa.

Rastgele değişken denir ayrık, eğer tüm değerleri numaralandırılabiliyorsa (özellikle sonlu sayıda değer alıyorsa).

Dikkat edilmesi gereken iki şey var karakteristik özellikler ayrık rastgele değişken dağılım tabloları:

Tablonun ikinci satırındaki tüm sayılar pozitiftir;

Toplamları bire eşittir.

Yapılan araştırmalara göre gözlem sayısındaki artışla ampirik dağılımın tablo halinde verilen teorik dağılıma yaklaştığı varsayılabilir.

Ayrık bir rastgele değişkenin önemli bir özelliği onun matematiksel beklentisidir.

Matematiksel beklenti ayrık rastgele değişken X'e, , , ..., .olasılıklarla , , ... değerlerini alan sayı denir:

Beklenen değere ortalama da denir.

Rastgele bir değişkenin diğer önemli özellikleri varyans (8) ve standart sapmayı (9) içerir.

burada: değerin matematiksel beklentisi X.

. (9)

Bilginin grafiksel gösterimi tablo halindeki sunumdan çok daha görseldir, bu nedenle MS Excel elektronik tablolarının içerdikleri verileri çeşitli çizelgeler, grafikler ve histogramlar biçiminde sunma yeteneği çok sık kullanılır. Dolayısıyla tabloya ek olarak rastgele bir değişkenin dağılımı da şu şekilde gösterilir: dağıtım poligonu. Bunu yapmak için koordinat düzleminde , , ... koordinatlarına sahip noktalar oluşturulur ve düz parçalarla bağlanır.

MS Excel'i kullanarak bir dağıtım dikdörtgeni elde etmek için şunları yapmalısınız:

1. Araç çubuğunda “Ekle” ® “Alan Grafiği” sekmesini seçin.

2. MS Excel sayfasında görünen grafik alanını farenin sağ tuşuyla etkinleştirin ve içerik menüsündeki “Veri seç” komutunu kullanın.

Pirinç. 6. Veri kaynağı seçme

Öncelikle grafiğin veri aralığını tanımlayalım. Bunu yapmak için “Veri Kaynağını Seç” iletişim kutusunun uygun alanına C6:I6 aralığını girin (Seri1, Şekil 7 olarak adlandırılan frekans değerlerini sunar).

Pirinç. 7. 1. satırı ekleme

Bir serinin adını değiştirmek için, "Efsane öğeler (seri)" alanını değiştirme düğmesini seçmeli (bkz. Şekil 7) ve onu adlandırmalısınız.

X ekseni etiketi eklemek için “Yatay Eksen Etiketleri (Kategoriler)” alanında “Düzenle” butonunu kullanmanız gerekmektedir.
(Şekil 8) ve serinin değerlerini belirtin (aralık $C$6:$I$6).

Pirinç. 8. “Veri kaynağını seç” iletişim kutusunun son görünümü

Veri Kaynağını Seç iletişim kutusunda bir düğme seçme
(Şekil 8), rastgele bir değişkenin gerekli dağılım poligonunu elde etmemizi sağlayacaktır (Şekil 9).

Pirinç. 9. Rastgele bir değişkenin dağılım poligonu

Ortaya çıkan grafik bilgilerinin tasarımında bazı değişiklikler yapalım:

X ekseni için bir etiket ekleyelim;

Y ekseni etiketini düzenleyelim;

- “Dağıtım poligonu” diyagramına bir başlık ekleyelim.

Bunu yapmak için, araç çubuğu alanındaki "Grafiklerle Çalışma" sekmesini, "Düzen" sekmesini ve beliren araç çubuğunda ilgili düğmeleri seçin: "Grafik başlığı", "Eksen başlıkları" (Şek. 10).

Pirinç. 10. Rastgele değişken dağılım poligonunun son görünümü

Rastgele değişken deney sonucunda önceden bilinmeyen bir veya başka bir değeri alabilen bir miktardır. Rastgele değişkenler var süreksiz (ayrık) Ve sürekli tip. Süreksiz miktarların olası değerleri önceden listelenebilir. Sürekli büyüklüklerin olası değerleri önceden listelenemez ve sürekli olarak belli bir boşluğu doldurur.

Ayrık rastgele değişkenlere örnek:

1) Armanın üç yazı-tura atışında görünme sayısı. (olası değerler 0;1;2;3)

2) Aynı deneyde armanın görünme sıklığı. (olası değerler)

3) Beş elemandan oluşan bir cihazdaki arızalı elemanların sayısı. (Olası değerler 0;1;2;3;4;5)

Sürekli rastgele değişken örnekleri:

1) Ateşlendiğinde çarpma noktasının apsisi (koordinatı).

2) Çarpma noktasından hedefin merkezine olan mesafe.

3) Cihazın çalışma süresi (radyo tüpü).

Rastgele değişkenler büyük harflerle, olası değerleri ise karşılık gelen küçük harflerle gösterilir. Örneğin X, üç atışla yapılan vuruşların sayısıdır; olası değerler: X 1 =0, X 2 =1, X 3 =2, X 4 =3.

X 1, X 2, ..., X n olası değerlerine sahip süreksiz bir rastgele değişken X'i ele alalım. Bu değerlerin her biri mümkündür ancak kesin değildir ve X değeri bunların her birini bir miktar olasılıkla alabilir. Deney sonucunda X değeri bu değerlerden birini alacaktır, yani uyumsuz olaylar grubundan biri meydana gelecektir.

Bu olayların olasılıklarını karşılık gelen indekslerle birlikte p harfleriyle gösterelim:

Uyumsuz olaylar tam bir grup oluşturduğundan,

yani bir rastgele değişkenin olası tüm değerlerinin olasılığının toplamı 1'e eşittir. Bu toplam olasılık bir şekilde bireysel değerler arasında dağıtılır. Bu dağılımı tanımlarsak, yani her bir olayın tam olarak hangi olasılığa sahip olduğunu belirtirsek, bir rastgele değişken olasılıksal bir bakış açısıyla tam olarak tanımlanacaktır. (Bu, rastgele değişkenlerin dağılım yasasını oluşturacaktır.)

Rastgele bir değişkenin dağılım yasası rastgele bir değişkenin olası değerleri ile karşılık gelen olasılık arasında bağlantı kuran herhangi bir ilişkidir. (Bir rastgele değişkenin belirli bir dağılım yasasına tabi olduğunu söyleyeceğiz)

Bir rastgele değişkenin dağılım yasasını belirlemenin en basit şekli, rastgele değişkenin olası değerlerini ve karşılık gelen olasılıkları listeleyen bir tablodur.

Tablo 1.

Rastgele değişkenler. Dağıtım poligonu

Rastgele değişkenler: kesikli ve sürekli.

Stokastik bir deney gerçekleştirirken, bu deneyin olası sonuçları olan temel olaylardan oluşan bir uzay oluşturulur. Temel olayların bu alanında verildiğine inanılıyor. rastgele değer X, eğer her temel olayın bir sayıyla ilişkilendirildiği bir yasa (kural) verilmişse. Dolayısıyla X rastgele değişkeni, temel olaylar uzayında tanımlanan bir fonksiyon olarak düşünülebilir.

■ Rastgele değişken- önceden dikkate alınamayan rastgele nedenlere bağlı olarak, her test sırasında bir veya başka bir sayısal değer (hangisi olduğu önceden bilinmeyen) alan bir miktar. Rastgele değişkenler Latin alfabesinin büyük harfleriyle, bir rastgele değişkenin olası değerleri ise küçük harflerle gösterilir. Dolayısıyla, bir zar atıldığında, x sayısıyla ilişkili bir olay meydana gelir; burada x, atılan puanların sayısıdır. Nokta sayısı rastgele bir değişken olup 1, 2, 3, 4, 5, 6 sayıları bu değerin olası değerleridir. Bir silahtan ateşlendiğinde merminin kat edeceği mesafe de rastgele bir değişkendir (görüşün kurulumuna, rüzgarın gücüne ve yönüne, sıcaklığa ve diğer faktörlere bağlı olarak) ve bu değerin olası değerleri aşağıdakilere aittir: belirli bir aralığa (a; b).

■ Ayrık rastgele değişken– belirli olasılıklarla ayrı, izole edilmiş olası değerleri alan rastgele bir değişken. Ayrık bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonlu veya sonsuz olabilir.

■ Sürekli rastgele değişken– tüm değerleri sonlu veya sonsuz bir aralıktan alabilen rastgele bir değişken. Sürekli bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonsuzdur.

Örneğin, zar atıldığında atılan puanların sayısı, bir testin puanı ayrık rastgele değişkenlerdir; bir silahtan ateş ederken merminin uçtuğu mesafe, eğitim materyalinde uzmanlaşma süresi göstergesinin ölçüm hatası, bir kişinin boyu ve ağırlığı sürekli rastgele değişkenlerdir.

Rastgele bir değişkenin dağılım yasası– rastgele bir değişkenin olası değerleri ile bunların olasılıkları arasındaki yazışma, yani; Her olası xi değeri, rastgele değişkenin bu değeri alabileceği p i olasılığı ile ilişkilidir. Bir rastgele değişkenin dağılım yasası tablo halinde (tablo şeklinde), analitik olarak (formül şeklinde) ve grafiksel olarak belirtilebilir.

Ayrı bir rastgele değişken X'in sırasıyla p 1 , p 2 , …, p n olasılıklarıyla x 1 , x 2 , …, x n değerlerini almasına izin verin, yani. P(X=x 1) = p 1, P(X=x 2) = p 2, …, P(X=x n) = p n. Bu miktarın dağılım yasasını bir tabloda belirtirken, tablonun ilk satırı olası değerleri içerir x 1 , x 2 , ..., x n , ikinci satır ise bunların olasılıklarını içerir

X	x 1	x 2	…	xn
P	sayfa 1	p2	…	pn

Test sonucunda, ayrık bir rasgele değişken X olası değerlerden yalnızca birini alır, dolayısıyla X=x 1, X=x 2, ..., X=x n olayları ikili olarak uyumsuz tam bir grup oluşturur. olaylar ve dolayısıyla bu olayların olasılıklarının toplamı bire eşittir, yani. p 1 + p 2 +… + p n =1.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası. Dağıtım çokgeni (çokgen).

Bildiğiniz gibi rastgele değişken duruma göre belirli değerleri alabilen bir değişkendir. Rastgele değişkenler Latin alfabesinin büyük harfleriyle (X, Y, Z), değerleri ise karşılık gelen küçük harflerle (x, y, z) gösterilir. Rastgele değişkenler süreksiz (kesikli) ve sürekli olarak ikiye ayrılır.

Ayrık bir rastgele değişken, belirli sıfır olmayan olasılıklara sahip yalnızca sonlu veya sonsuz (sayılabilir) bir değerler kümesini alan bir rastgele değişkendir.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası rastgele bir değişkenin değerlerini bunlara karşılık gelen olasılıklarla birleştiren bir fonksiyondur. Dağıtım kanunu aşağıdaki yollardan biriyle belirlenebilir.

1. Dağıtım yasası tabloyla verilebilir:

burada λ>0, k = 0, 1, 2, … .

c) her bir x değeri için rastgele değişken X'in x'ten daha küçük bir değer alma olasılığını belirleyen dağılım fonksiyonu F(x)'in kullanılması; F(x) = P(X< x).

F(x) fonksiyonunun özellikleri

3. Dağıtım yasası, bir dağıtım çokgeni (çokgen) ile grafiksel olarak belirtilebilir (bkz. görev 3).

Bazı sorunları çözmek için dağıtım yasasını bilmenin gerekli olmadığını unutmayın. Bazı durumlarda dağıtım kanununun en önemli özelliklerini yansıtan bir veya birkaç rakamı bilmek yeterlidir. Bu, bir rastgele değişkenin “ortalama değeri” anlamına gelen bir sayı olabileceği gibi, bir rastgele değişkenin ortalama değerinden sapmasının ortalama boyutunu gösteren bir sayı da olabilir. Bu tür sayılara rastgele değişkenin sayısal özellikleri denir.

Ayrık bir rastgele değişkenin temel sayısal özellikleri:

Ayrık bir rastgele değişken M(X)=Σ x i p i'nin matematiksel beklentisi (ortalama değer).
Binom dağılımı için M(X)=np, Poisson dağılımı için M(X)=λ
Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı D(X)= M 2 veya D(X) = M(X 2)− 2. X – M(X) farkı, rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinden sapması olarak adlandırılır.
Binom dağılımı için D(X)=npq, Poisson dağılımı için D(X)=λ
Ortalama kare sapma (standart sapma) σ(X)=√D(X).

· Bir varyasyon serisinin sunumunun netliği açısından grafik görüntüleri büyük önem taşımaktadır. Grafiksel olarak bir varyasyon serisi çokgen, histogram ve kümülat olarak gösterilebilir.

· Bir dağıtım poligonuna (kelimenin tam anlamıyla bir dağıtım poligonu), dikdörtgen bir koordinat sisteminde oluşturulan kesikli çizgi denir. Özelliğin değeri apsis üzerinde, karşılık gelen frekanslar (veya göreceli frekanslar) - ordinat üzerinde çizilir. Noktalar (veya) düz çizgi parçalarıyla birbirine bağlanır ve bir dağıtım çokgeni elde edilir. Çoğu zaman, çokgenler ayrı varyasyon serilerini tasvir etmek için kullanılır, ancak aralık serileri için de kullanılabilirler. Bu durumda bu aralıkların orta noktalarına karşılık gelen noktalar apsis eksenine işaretlenir.

X ben	X 1	X 2	…	Xn
P ben	P1	P2	…	Pn

Bu tabloya denir yakın dağıtım rastgele değişkenler.

Dağılım serisine daha görsel bir görünüm kazandırmak için grafiksel temsiline başvurulur: rastgele değişkenin olası değerleri apsis ekseni boyunca çizilir ve bu değerlerin olasılıkları ordinat ekseni boyunca çizilir. (Netlik sağlamak için, ortaya çıkan noktalar düz çizgi parçalarıyla bağlanır.)

Şekil 1 – dağıtım poligonu

Bu rakama denir dağıtım poligonu. Dağıtım poligonu, dağıtım serisi gibi tamamen rastgele değişkeni karakterize eder; dağıtım yasasının biçimlerinden biridir.

Örnek:

A olayının ortaya çıkabileceği veya çıkmayabileceği bir deney yapılır.A olayının olasılığı = 0,3. Belirli bir deneyde A olayının meydana gelme sayısı olan X rastgele değişkenini ele alıyoruz. X değerinin dağılımına ilişkin bir seri ve çokgen oluşturmak gereklidir.

Tablo 2.

X ben
P ben	0,7	0,3

Şekil 2 - Dağıtım işlevi

Dağıtım işlevi rastgele bir değişkenin evrensel bir özelliğidir. Tüm rastgele değişkenler için mevcuttur: hem süreksiz hem de sürekli olmayan. Dağıtım fonksiyonu, olasılıksal bir bakış açısıyla rastgele bir değişkeni tam olarak karakterize eder, yani dağıtım yasasının biçimlerinden biridir.

Bu olasılık dağılımını niceliksel olarak karakterize etmek için, X=x olayının olasılığını değil, X olayının olasılığını kullanmak uygundur.

F(x) dağılım fonksiyonuna bazen kümülatif dağılım fonksiyonu veya kümülatif dağılım yasası da denir.

Rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonunun özellikleri

1. F(x) dağılım fonksiyonu argümanının azalmayan bir fonksiyonudur, yani for;

2. Eksi sonsuzda:

3. Artı sonsuzda:

Şekil 3 - dağıtım fonksiyonu grafiği

Dağıtım fonksiyonu grafiği genel olarak değerleri 0'dan başlayıp 1'e giden, azalmayan bir fonksiyonun grafiğidir.

Bir rastgele değişkenin dağılım serisini bilerek, rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunu oluşturmak mümkündür.

Örnek:

önceki örneğin koşulları için rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunu oluşturun.

X dağıtım fonksiyonunu oluşturalım:

Şekil 4 – dağıtım fonksiyonu X

Dağıtım işlevi Herhangi bir süreksiz ayrık rastgele değişkenin her zaman süreksiz bir adım fonksiyonu vardır; atlamaları rastgele değişkenin olası değerlerine karşılık gelen noktalarda meydana gelir ve bu değerlerin olasılıklarına eşittir. Tüm dağıtım fonksiyonu atlamalarının toplamı 1'e eşittir.

Rastgele bir değişkenin olası değerlerinin sayısı arttıkça ve aralarındaki aralıklar azaldıkça, atlamaların sayısı artar ve atlamaların kendisi küçülür:

Şekil 5

Kademeli eğri daha yumuşak hale gelir:

Şekil 6

Rastgele değişken yavaş yavaş sürekli bir değere yaklaşır ve dağılım fonksiyonu da sürekli bir fonksiyona yaklaşır. Olası değerleri sürekli olarak belirli bir aralığı dolduran ancak dağılım fonksiyonunun her yerde sürekli olmadığı rastgele değişkenler de vardır. Ve belli noktalarda kırılıyor. Bu tür rastgele değişkenlere karışık denir.

Şekil 7

Sorun 14. Nakit piyangoda 1.000.000 rublelik 1 kazanç, 100.000 rublelik 10 kazanç oynanır. ve her biri 1000 ruble değerinde 100 galibiyet. toplam 10.000 bilet sayısıyla Rastgele kazançların dağıtım yasasını bulun X bir piyango bileti sahibi için.

Çözüm. Olası değerler X: X 1 = 0; X 2 = 1000; X 3 = 100000;

X 4 = 1000000. Olasılıkları sırasıyla eşittir: R 2 = 0,01; R 3 = 0,001; R 4 = 0,0001; R 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Bu nedenle kazançların dağıtımı kanunu X aşağıdaki tabloyla verilebilir:

Sorun 15. Ayrık rassal değişken X dağıtım kanunu tarafından verilir:

Bir dağıtım poligonu oluşturun.

Çözüm. Dikdörtgen bir koordinat sistemi oluşturalım ve apsis ekseni boyunca olası değerleri çizelim x ben, ve ordinat ekseni boyunca - karşılık gelen olasılıklar ben. Noktaları işaretleyelim M 1 (1;0,2), M 2 (3;0,1), M 3 (6;0,4) ve M 4 (8;0.3). Bu noktaları düz çizgi parçalarıyla birleştirerek istenilen dağıtım poligonunu elde ederiz.

§2. Rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri

Rasgele bir değişken tamamen dağıtım yasasıyla karakterize edilir. Bir rastgele değişkenin ortalama açıklaması, sayısal özellikleri kullanılarak elde edilebilir.

2.1. Beklenen değer. Dağılım.

Bir rastgele değişkenin buna göre olasılıkları olan değerler almasına izin verin.

Tanım. Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, tüm olası değerlerinin ve karşılık gelen olasılıkların çarpımlarının toplamıdır:

Matematiksel beklentinin özellikleri.

Bir rastgele değişkenin ortalama değer etrafındaki dağılımı, dağılım ve standart sapma ile karakterize edilir.

Bir rastgele değişkenin varyansı, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının karesinin matematiksel beklentisidir:

Hesaplamalar için aşağıdaki formül kullanılır

Dispersiyonun özellikleri.

2. , burada karşılıklı bağımsız rastgele değişkenler vardır.

3. Standart sapma.

Sorun 16. Rasgele bir değişkenin matematiksel beklentisini bulun Z = X+ 2e Rastgele değişkenlerin matematiksel beklentileri biliniyorsa X Ve e: M(X) = 5, M(e) = 3.

Çözüm. Matematiksel beklentinin özelliklerini kullanıyoruz. Sonra şunu elde ederiz:

M(X+ 2e)= M(X) + M(2e) = M(X) + 2M(e) = 5 + 2 . 3 = 11.

Sorun 17. Rastgele bir değişkenin varyansı X 3'e eşittir. Rastgele değişkenlerin varyansını bulun: a) –3 X; 4) X + 3.

Çözüm. Dağılımın 3, 4 ve 2 özelliklerini uygulayalım. Sahibiz:

A) D(–3X) = (–3) 2 D(X) = 9D(X) = 9 . 3 = 27;

B) D(4X+ 3) = D(4X) + D(3) = 16D(X) + 0 = 16 . 3 = 48.

Sorun 18. Bağımsız bir rastgele değişken verildiğinde e– Bir zar atıldığında elde edilen puanların sayısı. Bir rastgele değişkenin dağılım yasasını, matematiksel beklentisini, dağılımını ve standart sapmasını bulun e.

Çözüm. Rastgele değişken dağılım tablosu eşu forma sahiptir:

Daha sonra M(e) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3,5;

D(e) = (1 – 3,5) 2 1/6 +(2 – 3,5) 2 /6 + (3 – 3,5) 2 1/6 + (4 – 3,5) 2 / 6 +(5 – –3,5) 2 1/6 + (6 – 3,5) 2. 1/6 = 2,917; σ (e) =Ö 2,917 = 1,708.