Bilinen bir dağılım değeri durumunda dağılımın ortalama değerini tahmin etmek için MS EXCEL'de bir güven aralığı oluşturalım.

Tabii ki seçim güven seviyesi tamamen çözülen probleme bağlıdır. Bu nedenle, bir hava yolcusunun bir uçağın güvenilirliğine olan güven derecesi, şüphesiz bir alıcının bir elektrik ampulünün güvenilirliğine olan güven derecesinden daha yüksek olmalıdır.

Problem formülasyonu

Bunu varsayalım nüfus alınmış örnek boyut Öyle varsayılıyor standart sapma bu dağılım bilinmektedir. Buna dayanarak gerekli örnekler bilinmeyeni değerlendir dağılım ortalaması(μ, ) ve karşılık gelen denklemi oluşturun çift ​​taraflı güven aralığı.

Nokta tahmini

Bilindiği gibi İstatistik(hadi onu belirtelim X ortalama) dır-dir ortalamanın tarafsız tahmini Bu nüfus ve N(μ;σ 2 /n) dağılımına sahiptir.

Not: İnşa etmeniz gerekiyorsa ne yapmalısınız? güven aralığı böyle bir dağılım söz konusu olduğunda değil normal? Bu durumda, yeterince büyük bir boyuta sahip olduğunu belirten kurtarmaya gelir örnekler dağıtımdan olmamak normal, istatistiklerin örnek dağılımı X avg irade yaklaşık olarak karşılık normal dağılım N(μ;σ 2 /n) parametreleriyle.

Bu yüzden, Nokta tahmini ortalama dağıtım değerleri elimizde - bu örnek ortalama yani X ortalama. Şimdi başlayalım güven aralığı.

Bir güven aralığı oluşturma

Genellikle dağılımı ve parametrelerini bilerek, rastgele değişkenin belirlediğimiz aralıktan değer alma olasılığını hesaplayabiliriz. Şimdi bunun tersini yapalım: Rastgele değişkenin belirli bir olasılıkla düşeceği aralığı bulalım. Örneğin, özelliklerden normal dağılım%95 olasılıkla bir rastgele değişkenin dağıldığı bilinmektedir. normal hukuk, yaklaşık +/- 2 aralığına düşecektir. ortalama değer(hakkında makaleye bakın). Bu aralık bizim için prototip görevi görecek güven aralığı.

Şimdi dağılımı bilip bilmediğimize bakalım , bu aralığı hesaplamak için? Soruyu cevaplamak için dağılımın şeklini ve parametrelerini belirtmemiz gerekiyor.

Dağıtım biçimini biliyoruz - bu normal dağılım(bundan bahsettiğimizi unutmayın örnekleme dağılımı İstatistik X ortalama).

μ parametresi bizim tarafımızdan bilinmiyor (sadece kullanılarak tahmin edilmesi gerekiyor) güven aralığı), ancak bununla ilgili bir tahminimiz var X ortalama, dayalı olarak hesaplanmıştır örnekler, hangisi kullanılabilir?

İkinci parametre - örnek ortalamasının standart sapması bilindiğini kabul edeceğizσ/√n'ye eşittir.

Çünkü μ'yu bilmiyoruz, o zaman +/- 2 aralığını oluşturacağız Standart sapma gelen değil ortalama değer ve bilinen tahmininden X ortalama. Onlar. hesaplarken güven aralığı bunu varsaymayacağız X ortalama+/- 2 aralığına düşer Standart sapmaμ'den %95 olasılıkla aralığın +/- 2 olduğunu varsayacağız. Standart sapma itibaren X ortalama%95 olasılıkla μ'yu kapsayacaktır – genel nüfusun ortalaması, nereden alındığı örnek. Bu iki ifade eşdeğerdir ancak ikinci ifade şunu oluşturmamıza olanak sağlar: güven aralığı.

Ek olarak aralığı açıklığa kavuşturalım: dağıtılan bir rastgele değişken normal hukuk, %95 olasılıkla +/- 1,960 aralığına düşer Standart sapma,+/- 2 değil Standart sapma. Bu formül kullanılarak hesaplanabilir =NORM.ST.GERİ((1+0,95)/2), santimetre. örnek dosya Sayfa Aralığı.

Şimdi bize formül oluşturmamıza hizmet edecek olasılıksal bir ifade formüle edebiliriz. güven aralığı:
"Olasılık nüfus ortalaması yer alan örnek ortalama 1.960 dahilinde" örnek ortalamanın standart sapmaları", %95'e eşit".

İfadede bahsedilen olasılık değerinin özel bir adı vardır ile ilişkili olan basit bir ifadeyle önem düzeyi α (alfa) güven seviyesi =1 -α . Bizim durumumuzda önem düzeyi α =1-0,95=0,05 .

Şimdi, bu olasılıksal ifadeye dayanarak, hesaplamak için bir ifade yazıyoruz. güven aralığı:

burada Zα/2 – standart normal dağılım(rastgele değişkenin bu değeri z, Ne P(z>=Zα/2 )=α/2).

Not: Üst α/2-kantil genişliği tanımlar güven aralığı V Standart sapma örnek anlamı. Üst α/2-kantil standart normal dağılım her zaman 0'dan büyüktür ve bu çok uygundur.

Bizim durumumuzda α=0,05 ile, üst α/2-kantil 1.960'a eşittir. Diğer anlamlılık seviyeleri için α (%10; %1) üst α/2-kantil Zα/2 =NORM.ST.REV(1-α/2) formülü kullanılarak hesaplanabilir veya biliniyorsa güven seviyesi, =NORM.ST.OBR((1+güven düzeyi)/2).

Genellikle inşaat sırasında ortalamayı tahmin etmek için güven aralıkları sadece kullan üst α/2-çeyreklik ve kullanmayın daha düşük α/2-çeyreklik. Bu mümkün çünkü standart normal dağılım x eksenine göre simetrik olarak ( dağıtım yoğunluğu yaklaşık simetrik ortalama, yani 0). Bu nedenle hesaplamaya gerek yoktur daha düşük α/2-kantil(buna basitçe α denir /2-kantil), Çünkü eşit üst α/2-çeyreklik eksi işaretiyle.

X değerinin dağılım şekline rağmen karşılık gelen rastgele değişkenin X ortalama dağıtılmış yaklaşık olarak İyi N(μ;σ 2 /n) (hakkındaki makaleye bakın). Bu nedenle genel olarak yukarıdaki ifade güven aralığı sadece bir tahmindir. Eğer x değeri dağıtılırsa normal hukuk N(μ;σ 2 /n), o zaman ifade güven aralığı doğrudur.

MS EXCEL'de güven aralığı hesaplaması

Sorunu çözelim.
Bir elektronik bileşenin giriş sinyaline tepki süresi cihazın önemli bir özelliğidir. Bir mühendis ortalama yanıt süresi için %95 güven düzeyinde bir güven aralığı oluşturmak istiyor. Önceki deneyimlerden mühendis, yanıt süresinin standart sapmasının 8 ms olduğunu biliyor. Mühendisin tepki süresini değerlendirmek için 25 ölçüm yaptığı, ortalama değerin 78 ms olduğu biliniyor.

Çözüm: Bir mühendis, bir elektronik cihazın tepki süresini bilmek istiyor ancak tepki süresinin sabit bir değer değil, kendi dağılımına sahip rastgele bir değişken olduğunu anlıyor. Dolayısıyla umabileceği en iyi şey bu dağılımın parametrelerini ve şeklini belirlemektir.

Maalesef sorun koşullarından dolayı yanıt süresi dağılımının şeklini bilmiyoruz (olması gerekmiyor) normal). Bu dağılım da bilinmiyor. Sadece o biliniyor standart sapmaσ=8. Bu nedenle olasılıkları hesaplayıp oluşturamasak da güven aralığı.

Ancak dağılımını bilmemize rağmen zaman ayrı yanıt göre bunu biliyoruz CPT, örnekleme dağılımı ortalama yanıt süresi yaklaşık olarak normal(koşulların olduğunu varsayacağız CPT yürütülüyor çünkü boyut örnekler oldukça büyük (n=25)) .

Dahası, ortalama bu dağılım şuna eşittir: ortalama değer tek bir yanıtın dağıtımı, yani μ. A standart sapma Bu dağılımın (σ/√n) değeri =8/ROOT(25) formülü kullanılarak hesaplanabilir.

Ayrıca mühendisin aldığı da biliniyor. Nokta tahminiμ parametresi 78 ms'ye (X avg) eşittir. Bu nedenle artık olasılıkları hesaplayabiliriz çünkü dağıtım şeklini biliyoruz ( normal) ve parametreleri (X avg ve σ/√n).

Mühendis bilmek istiyor beklenen değerμ tepki süresi dağılımları. Yukarıda belirtildiği gibi, bu μ şuna eşittir: ortalama yanıt süresinin örnek dağılımının matematiksel beklentisi. Eğer kullanırsak normal dağılım N(X ort; σ/√n), bu durumda istenen μ yaklaşık %95 olasılıkla +/-2*σ/√n aralığında olacaktır.

Önem düzeyi 1-0,95=0,05'e eşittir.

Son olarak sol ve sağ sınırı bulalım güven aralığı.
Sol kenarlık: =78-NORM.ST.REV(1-0,05/2)*8/KÖK(25) = 74,864
Sağ kenarlık: =78+NORM.ST.TERS(1-0,05/2)*8/KÖK(25)=81,136

Sol kenarlık: =NORM.REV(0,05/2; 78; 8/KÖK(25))
Sağ kenarlık: =NORM.REV(1-0,05/2; 78; 8/KÖK(25))

Cevap: güven aralığı en %95 güven düzeyi ve σ=8msn eşittir 78+/-3,136 ms.

İÇİNDE Sigma sayfasındaki örnek dosya bilinen, hesaplama ve inşaat için bir form oluşturdu çift ​​taraflı güven aralığı keyfi için örnekler verilen σ ile ve önem düzeyi.

CONFIDENCE.NORM() işlevi

Eğer değerler örnekler aralıkta B20:B79 , A önem düzeyi 0,05'e eşit; daha sonra MS EXCEL formülü:
=ORTALAMA(B20:B79)-GÜVENİLİRLİK.NORM(0,05;σ; SAYIM(B20:B79))
sol kenarlığa geri dönecek güven aralığı.

Aynı limit aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
=ORTALAMA(B20:B79)-NORM.ST.REV(1-0,05/2)*σ/KÖK(SAY(B20:B79))

Not: CONFIDENCE.NORM() işlevi MS EXCEL 2010'da ortaya çıktı. MS EXCEL'in önceki sürümlerinde TRUST() işlevi kullanılıyordu.

Matematiksel beklenti için güven aralığı - bu, bilinen bir olasılıkla genel popülasyonun matematiksel beklentisini içeren verilerden hesaplanan bir aralıktır. Matematiksel beklentinin doğal tahmini, gözlemlenen değerlerin aritmetik ortalamasıdır. Bu nedenle ders boyunca “ortalama” ve “ortalama değer” terimlerini kullanacağız. Güven aralığı hesaplama problemlerinde en sık ihtiyaç duyulan cevap şuna benzer: "Ortalama sayının [belirli bir problemdeki değer] güven aralığı [daha küçük değerden] [daha büyük değere] kadardır." Bir güven aralığı kullanarak yalnızca ortalama değerleri değil, aynı zamanda genel popülasyonun belirli bir özelliğinin oranını da değerlendirebilirsiniz. Yeni tanım ve formüllere ulaşacağımız ortalama değerler, dağılım, standart sapma ve hata derste tartışılıyor. Örneklem ve popülasyonun özellikleri .

Ortalamanın nokta ve aralık tahminleri

Nüfusun ortalama değeri bir sayı (nokta) ile tahmin ediliyorsa, o zaman bir gözlem örneğinden hesaplanan belirli bir ortalama, nüfusun bilinmeyen ortalama değerinin bir tahmini olarak alınır. Bu durumda, örneklem ortalamasının değeri (rastgele bir değişken) genel popülasyonun ortalama değeriyle örtüşmez. Bu nedenle örnek ortalamasını belirtirken aynı zamanda örnekleme hatasını da belirtmelisiniz. Örnekleme hatasının ölçüsü, ortalamayla aynı birimlerle ifade edilen standart hatadır. Bu nedenle sıklıkla aşağıdaki gösterim kullanılır: .

Ortalamanın tahmininin belirli bir olasılıkla ilişkilendirilmesi gerekiyorsa, popülasyondaki ilgilenilen parametrenin bir sayıyla değil, bir aralıkla değerlendirilmesi gerekir. Güven aralığı, belirli bir olasılıkla P tahmini nüfus göstergesinin değeri bulunur. Olası olduğu güven aralığı P = 1 - α rastgele değişken bulunur ve şu şekilde hesaplanır:

,

α = 1 - P, istatistik üzerine hemen hemen her kitabın ekinde bulunabilir.

Uygulamada, popülasyon ortalaması ve varyansı bilinmediğinden, popülasyon varyansının yerine örnek varyansı ve popülasyon ortalamasının yerine örnek ortalaması konulur. Bu nedenle çoğu durumda güven aralığı şu şekilde hesaplanır:

.

Güven aralığı formülü aşağıdaki durumlarda popülasyon ortalamasını tahmin etmek için kullanılabilir:

• popülasyonun standart sapması biliniyor;
• veya popülasyonun standart sapması bilinmiyor ancak örneklem büyüklüğü 30'dan büyük.

Örnek ortalama, popülasyon ortalamasının tarafsız bir tahminidir. Buna karşılık, örneklem varyansı popülasyon varyansının tarafsız bir tahmini değildir. Örneklem varyansı formülünde popülasyon varyansının tarafsız bir tahminini elde etmek için örneklem büyüklüğü N tarafından değiştirilmeli N-1.

Örnek 1. Belirli bir şehirdeki rastgele seçilen 100 kafeden, buralardaki ortalama çalışan sayısının 4,6 standart sapma ile 10,5 olduğu bilgisi toplanmıştır. Kafe çalışanlarının sayısı için %95 güven aralığını belirleyiniz.

anlamlılık düzeyi için standart normal dağılımın kritik değeri nerede α = 0,05 .

Böylece ortalama kafe çalışanı sayısı için %95 güven aralığı 9,6 ile 11,4 arasında değişmektedir.

Örnek 2. 64 gözlemden oluşan bir popülasyondan rastgele bir örnek için aşağıdaki toplam değerler hesaplandı:

gözlemlerdeki değerlerin toplamı,

değerlerin ortalamadan kare sapmalarının toplamı .

Matematiksel beklenti için %95 güven aralığını hesaplayın.

Standart sapmayı hesaplayalım:

,

Ortalama değeri hesaplayalım:

.

Değerleri güven aralığı ifadesine yerleştiriyoruz:

anlamlılık düzeyi için standart normal dağılımın kritik değeri nerede α = 0,05 .

Şunu elde ederiz:

Dolayısıyla bu örneklemin matematiksel beklentisinin %95 güven aralığı 7,484 ile 11,266 arasında değişmektedir.

Örnek 3. 100 gözlemden oluşan rastgele bir popülasyon örneği için hesaplanan ortalama 15,2 ve standart sapma 3,2'dir. Beklenen değer için %95 güven aralığını, ardından %99 güven aralığını hesaplayın. Örneklem gücü ve değişimi değişmezse ve güven katsayısı artarsa ​​güven aralığı daralır mı yoksa genişler mi?

Bu değerleri güven aralığı ifadesine koyarız:

anlamlılık düzeyi için standart normal dağılımın kritik değeri nerede α = 0,05 .

Şunu elde ederiz:

.

Dolayısıyla bu örneklemin ortalaması için %95 güven aralığı 14,57 ile 15,82 arasında değişmektedir.

Bu değerleri yine güven aralığı ifadesine yerleştiriyoruz:

anlamlılık düzeyi için standart normal dağılımın kritik değeri nerede α = 0,01 .

Şunu elde ederiz:

.

Dolayısıyla bu örneklemin ortalaması için %99 güven aralığı 14,37 ile 16,02 arasında değişmektedir.

Görüldüğü gibi güven katsayısı arttıkça standart normal dağılımın kritik değeri de artmakta ve buna bağlı olarak aralığın başlangıç ​​ve bitiş noktaları ortalamadan daha uzakta yer almakta ve dolayısıyla matematiksel beklentiye ilişkin güven aralığı da artmaktadır. .

Özgül ağırlığın nokta ve aralık tahminleri

Bazı örnek niteliklerin payı, payın nokta tahmini olarak yorumlanabilir. P genel popülasyonda aynı özelliğe sahiptir. Bu değerin olasılıkla ilişkilendirilmesi gerekiyorsa özgül ağırlığın güven aralığı hesaplanmalıdır. P popülasyondaki olasılıklı karakteristik P = 1 - α :

.

Örnek 4. Bazı şehirlerde iki aday var A Ve B belediye başkanlığına aday oluyorlar. 200 şehir sakinine rastgele anket uygulandı ve bunların %46'sı adaya oy vereceğini söyledi A, %26 - aday için B%28'i ise kime oy vereceğini bilmiyor. Adayı destekleyen şehir sakinlerinin oranı için %95 güven aralığını belirleyin A.

Hizmetin amacı. Bu hizmeti kullanarak şunları belirleyebilirsiniz:

• genel ortalama için güven aralığı, varyans için güven aralığı;
• standart sapma için güven aralığı, genel pay için güven aralığı;

Örnek No.1. Kolektif bir çiftlikte toplam 1000 koyundan oluşan sürüden 100 koyuna seçici kontrol kırkımı uygulandı. Sonuç olarak koyun başına ortalama 4,2 kg yün kırkımı tespit edildi. Koyun başına ortalama yün kırkımını ve varyansın 2,5 olması durumunda kırkma değerinin yer aldığı sınırları belirlerken numunenin ortalama kare hatasını 0,99 olasılıkla belirleyin. Örnek tekrarlanmaz.
Örnek No.2. Moskova Kuzey Gümrüğündeki bir parti ithal üründen, rastgele tekrarlanan numuneler yoluyla "A" ürününden 20 numune alındı. Test sonucunda numunedeki “A” ürününün ortalama nem içeriği belirlendi ve bunun %1 standart sapma ile %6'ya eşit olduğu ortaya çıktı.
İthal edilen ürünlerin tamamındaki ürünün ortalama nem içeriğinin sınırlarını 0,683 olasılıkla belirleyin.
Örnek No. 3. 36 öğrenciyle yapılan bir anket, akademik yıl boyunca okudukları ortalama ders kitabı sayısının 6'ya eşit olduğunu gösterdi. Bir öğrencinin dönem başına okuduğu ders kitabı sayısının, standart sapması 6 olan normal dağılım yasasına sahip olduğunu varsayarak, şunu bulun: : A) bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisi için 0 .99 aralık tahmini güvenilirliği ile; B) Bu örnekten hesaplanan, bir öğrencinin dönem başına okuduğu ortalama ders kitabı sayısının mutlak değerdeki matematiksel beklentiden 2'den fazla sapmayacağını hangi olasılıkla söyleyebiliriz?

Güven aralıklarının sınıflandırılması

Örnek türüne göre:

1. Sonsuz bir örnek için güven aralığı;
2. Nihai numune için güven aralığı;

Rastgele örnekleme için ortalama örnekleme hatasının hesaplanması

Ortalama örnekleme hatası formülleri
yeniden seçim		seçimi tekrarla
ortalama için	paylaşım için	ortalama için	paylaşım için

Tamamen rastgele örnekleme yöntemi kullanarak örneklem boyutunu hesaplamaya yönelik formüller