Paralel borunun alanı nasıl hesaplanır? Farklı piramitlerin yan yüzey alanı

Matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlanırken öğrencilerin cebir ve geometri bilgilerini sistematikleştirmeleri gerekir. Örneğin bir piramidin alanının nasıl hesaplanacağına dair bilinen tüm bilgileri birleştirmek istiyorum. Üstelik taban ve yan kenarlardan başlayarak tüm yüzey alanına kadar. Yan yüzlerdeki durum açıksa, bunlar üçgen olduğundan taban her zaman farklıdır.

Piramidin tabanının alanı nasıl bulunur?

Kesinlikle herhangi bir şekil olabilir: rastgele bir üçgenden n-gon'a kadar. Ve bu taban, açı sayısındaki farklılığa ek olarak düzenli bir şekil veya düzensiz bir şekil olabilir. Okul çocuklarını ilgilendiren Birleşik Devlet Sınavı görevlerinde, temelde yalnızca doğru rakamlara sahip görevler vardır. Bu nedenle sadece onlardan bahsedeceğiz.

Düzenli üçgen

Yani eşkenar. Tüm kenarları eşit olan ve “a” harfiyle gösterilen. Bu durumda piramidin tabanının alanı aşağıdaki formülle hesaplanır:

S = (a 2 * √3) / 4.

Kare

Alanını hesaplama formülü en basitidir, burada “a” yine kenardır:

Keyfi düzenli n-gon

Bir çokgenin kenarı aynı gösterime sahiptir. Açı sayısı için Latin harfi n kullanılır.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180°/n)).

Yanal ve toplam yüzey alanı hesaplanırken ne yapılmalı?

Taban düzgün bir şekil olduğundan piramidin tüm yüzleri eşittir. Üstelik yan kenarları eşit olduğundan her biri ikizkenar üçgendir. Daha sonra piramidin yan alanını hesaplamak için aynı tek terimlilerin toplamından oluşan bir formüle ihtiyacınız olacak. Terim sayısı tabanın kenar sayısına göre belirlenir.

Bir ikizkenar üçgenin alanı, taban ürününün yarısının yükseklik ile çarpıldığı formülle hesaplanır. Piramidin bu yüksekliğine apothem denir. Tanımı “A”dır. Yan yüzey alanı için genel formül:

S = ½ P*A, burada P piramidin tabanının çevresidir.

Tabanın kenarlarının bilinmediği ancak yan kenarların (c) ve tepe noktasındaki düz açının (α) verildiği durumlar vardır. Daha sonra piramidin yan alanını hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanmanız gerekir:

S = n/2 * in 2 sin α .

Görev No.1

Durum. Tabanının kenarı 4 cm ve özdeyişin değeri √3 cm ise piramidin toplam alanını bulun.

Çözüm. Tabanın çevresini hesaplayarak başlamanız gerekir. Bu normal bir üçgen olduğundan P = 3*4 = 12 cm.Özlem bilindiğinden tüm yan yüzeyin alanını hemen hesaplayabiliriz: ½*12*√3 = 6√3 cm2.

Tabandaki üçgen için şu alan değerini elde edersiniz: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm2.

Alanın tamamını belirlemek için sonuçta ortaya çıkan iki değeri eklemeniz gerekecektir: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm2.

Cevap. 10√3 cm2.

Sorun No. 2

Durum. Düzenli bir dörtgen piramit var. Taban tarafının uzunluğu 7 mm, yan kenar 16 mm'dir. Yüzey alanını bulmak gerekir.

Çözüm.Çokyüzlü dörtgen ve düzenli olduğundan tabanı karedir. Tabanın ve yan yüzlerin alanını öğrendikten sonra piramidin alanını hesaplayabileceksiniz. Karenin formülü yukarıda verilmiştir. Yan yüzler için ise üçgenin tüm kenarları bilinmektedir. Bu nedenle alanlarını hesaplamak için Heron formülünü kullanabilirsiniz.

İlk hesaplamalar basittir ve şu sayıya yol açar: 49 mm2. İkinci değer için yarı çevreyi hesaplamanız gerekecek: (7 + 16*2): 2 = 19,5 mm. Artık ikizkenar üçgenin alanını hesaplayabilirsiniz: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16) 2) = √2985,9375 = 54,644 mm2. Bu tür üçgenlerden yalnızca dört tane var, bu nedenle son sayıyı hesaplarken onu 4 ile çarpmanız gerekecek.

Görünüşe göre: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 mm2.

Cevap. İstenilen değer 267.576 mm2’dir.

Sorun No. 3

Durum. Düzenli bir dörtgen piramit için alanı hesaplamanız gerekir. Karenin kenar uzunluğu 6 cm, yüksekliği ise 4 cm olarak bilinmektedir.

Çözüm. En kolay yol, formülü çevre ve apothem çarpımı ile kullanmaktır. İlk değeri bulmak kolaydır. İkincisi ise biraz daha karmaşık.

Pisagor teoremini hatırlamamız ve bunun piramidin yüksekliği ve hipotenüs olan apotem tarafından oluşturulduğunu dikkate almamız gerekecek. İkinci bacak, polihedronun yüksekliği ortasına düştüğü için karenin kenarının yarısına eşittir.

Gerekli özdeyiş (bir dik üçgenin hipotenüsü) √(3 2 + 4 2) = 5 (cm)'ye eşittir.

Artık gerekli değeri hesaplayabilirsiniz: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

Cevap. 96 cm2.

Sorun No. 4

Durum. Doğru tarafı verilmiştir.Tabanının yanları 22 mm, yan kenarları 61 mm'dir. Bu çokyüzlünün yan yüzey alanı nedir?

Çözüm. Buradaki mantık, 2 numaralı görevde açıklananla aynıdır. Sadece tabanında kare olan bir piramit verildi ve şimdi altıgen oldu.

Öncelikle taban alanı yukarıdaki formül kullanılarak hesaplanır: (6*22 2) / (4*tg (180°/6)) = 726/(tg30°) = 726√3 cm2.

Şimdi yan yüz olan ikizkenar üçgenin yarı çevresini bulmanız gerekiyor. (22+61*2):2 = 72 cm Geriye Heron formülünü kullanarak her bir üçgenin alanını hesaplamak ve bunu altıyla çarpıp taban için elde edilen değere eklemek kalıyor.

Heron formülü kullanılarak yapılan hesaplamalar: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm2. Yan yüzey alanını verecek hesaplamalar: 660*6 = 3960 cm2. Tüm yüzeyi bulmak için bunları toplamaya devam ediyor: 5217,47≈5217 cm2.

Cevap. Taban 726√3 cm2, yan yüzey 3960 cm2, tüm alan 5217 cm2'dir.

Silindir, silindirik bir yüzey ve paralel yerleştirilmiş iki daireden oluşan bir şekildir. Silindirin alanının hesaplanması matematiğin geometrik dalında oldukça basit bir şekilde çözülebilen bir problemdir. Bunu çözmenin birkaç yöntemi vardır ve bunlar sonunda her zaman tek bir formüle iner.

Silindirin alanı nasıl bulunur - hesaplama kuralları

• Silindirin alanını bulmak için tabanın iki alanını yan yüzey alanına eklemeniz gerekir: S = Staban + 2Staban. Daha ayrıntılı bir versiyonda bu formül şu şekilde görünür: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Belirli bir geometrik gövdenin yan yüzey alanı, tabanında bulunan dairenin yüksekliği ve yarıçapı biliniyorsa hesaplanabilir. Bu durumda, eğer verilmişse, çevreden yarıçapı ifade edebilirsiniz. Jeneratörün değeri koşulda belirtilirse yükseklik bulunabilir. Bu durumda genatrix yüksekliğe eşit olacaktır. Bu cismin yan yüzeyinin formülü şuna benzer: S= 2 π rh.
• Tabanın alanı bir dairenin alanını bulmak için kullanılan formül kullanılarak hesaplanır: S osn= π r 2 . Bazı problemlerde yarıçap verilmeyebilir ancak çevre verilebilir. Bu formülle yarıçap oldukça kolay bir şekilde ifade edilir. С=2π r, r= С/2π. Ayrıca yarıçapın çapın yarısı kadar olduğunu da unutmamalısınız.
• Tüm bu hesaplamaları yaparken genellikle π sayısı 3.14159'a çevrilmez... Sadece hesaplamalar sonucunda elde edilen sayısal değerin yanına eklenmesi gerekir.
• Daha sonra, tabanın bulunan alanını 2 ile çarpmanız ve elde edilen sayıya şeklin yan yüzeyinin hesaplanan alanını eklemeniz yeterlidir.
• Sorun silindirin eksenel bir kesite sahip olduğunu ve dikdörtgen olduğunu gösteriyorsa çözüm biraz farklı olacaktır. Bu durumda dikdörtgenin genişliği, gövdenin tabanında yer alan dairenin çapı olacaktır. Şeklin uzunluğu silindirin cinsine veya yüksekliğine eşit olacaktır. Gerekli değerleri hesaplamak ve bunları zaten bilinen formüle koymak gerekir. Bu durumda tabanın alanını bulmak için dikdörtgenin genişliği ikiye bölünmelidir. Yan yüzeyi bulmak için uzunluk iki yarıçap ve π sayısıyla çarpılır.
• Belirli bir geometrik cismin alanını hacmi aracılığıyla hesaplayabilirsiniz. Bunu yapmak için eksik değeri V=π r 2 h formülünden türetmeniz gerekir.
• Bir silindirin alanının hesaplanmasında karmaşık bir şey yoktur. Sadece formülleri bilmeniz ve hesaplamaları gerçekleştirmek için gerekli miktarları onlardan çıkarabilmeniz yeterlidir.

Piramidin yüzey alanı. Bu yazıda düzenli piramitlerle ilgili sorunlara bakacağız. Düzenli bir piramidin, tabanı düzgün bir çokgen olan bir piramit olduğunu, piramidin tepesinin bu çokgenin merkezine yansıtıldığını hatırlatmama izin verin.

Böyle bir piramidin yan yüzü ikizkenar üçgendir.Düzenli bir piramidin tepesinden çizilen bu üçgenin yüksekliğine apothem, SF - apothem denir:

Aşağıda sunulan problem türünde piramidin tamamının yüzey alanını veya yan yüzeyinin alanını bulmanız gerekir. Blogda normal piramitlerle ilgili çeşitli problemler tartışılmıştı; buradaki soru, elemanların (yükseklik, taban kenarı, yan kenar) bulunmasıyla ilgiliydi.

Birleşik Devlet Sınavı görevleri genellikle düzenli üçgen, dörtgen ve altıgen piramitleri inceler. Düzenli beşgen ve yedigen piramitlerde herhangi bir sorun görmedim.

Tüm yüzeyin alanı için formül basittir - piramidin tabanının alanı ile yan yüzeyinin alanının toplamını bulmanız gerekir:

Görevleri ele alalım:

Düzenli bir dörtgen piramidin tabanının kenarları 72, yan kenarları 164'tür. Bu piramidin yüzey alanını bulun.

Piramidin yüzey alanı, yan yüzey ve taban alanlarının toplamına eşittir:

* Yan yüzey eşit alanlı dört üçgenden oluşur. Piramidin tabanı karedir.

Piramidin yan tarafının alanını aşağıdakileri kullanarak hesaplayabiliriz:

Böylece piramidin yüzey alanı:

Cevap: 28224

Düzenli altıgen bir piramidin tabanının kenarları 22'ye, yan kenarları 61'e eşittir. Bu piramidin yan yüzey alanını bulun.

Düzenli bir altıgen piramidin tabanı düzenli bir altıgendir.

Bu piramidin yan yüzey alanı, kenarları 61,61 ve 22 olan altı eşit üçgen alandan oluşur:

Heron formülünü kullanarak üçgenin alanını bulalım:

Böylece yan yüzey alanı:

Cevap: 3240

*Yukarıda sunulan problemlerde yan yüzün alanı başka bir üçgen formülü kullanılarak bulunabilir, ancak bunun için apotemi hesaplamanız gerekir.

27155. Taban kenarları 6 ve yüksekliği 4 olan düzgün dörtgen piramidin yüzey alanını bulun.

Piramidin yüzey alanını bulmak için tabanın alanını ve yan yüzeyin alanını bilmemiz gerekir:

Kenarı 6 olan kare olduğundan taban alanı 36 dır.

Yan yüzey eşit üçgen olan dört yüzden oluşur. Böyle bir üçgenin alanını bulmak için tabanını ve yüksekliğini (apothem) bilmeniz gerekir:

*Bir üçgenin alanı taban ile bu tabana çizilen yüksekliğin çarpımının yarısına eşittir.

Tabanı biliniyor, altıya eşit. Yüksekliğini bulalım. Bir dik üçgen düşünün (sarı renkle vurgulanmıştır):

Bir bacak piramidin yüksekliği olduğundan 4'e, diğeri ise tabanın kenarının yarısına eşit olduğundan 3'e eşittir. Pisagor teoremini kullanarak hipotenüsü bulabiliriz:

Bu, piramidin yan yüzeyinin alanının şu şekilde olduğu anlamına gelir:

Böylece tüm piramidin yüzey alanı:

Cevap: 96

27069. Düzenli dörtgen piramidin tabanının kenarları 10'a, yan kenarları 13'e eşittir. Bu piramidin yüzey alanını bulun.

27070. Düzenli altıgen bir piramidin tabanının kenarları 10'a, yan kenarları 13'e eşittir. Bu piramidin yan yüzey alanını bulun.

Düzenli bir piramidin yan yüzey alanı için de formüller vardır. Düzenli bir piramitte taban, yan yüzeyin dik bir çıkıntısıdır, bu nedenle:

P- taban çevresi, ben- piramidin özeti

*Bu formül üçgenin alan formülüne dayanmaktadır.

Bu formüllerin nasıl elde edildiği hakkında daha fazla bilgi edinmek istiyorsanız kaçırmayın, makalelerin yayınlarını takip edin.Bu kadar. Sana iyi şanslar!

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.

Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.

Silindir, iki paralel düzlem ve silindirik bir yüzeyle sınırlanan geometrik bir cisimdir. Makalede silindirin alanının nasıl bulunacağından bahsedeceğiz ve formülü kullanarak örnek olarak çeşitli problemleri çözeceğiz.

Silindirin üç yüzeyi vardır: üst yüzey, taban ve yan yüzey.

Silindirin üst ve tabanı daire şeklindedir ve tanımlanması kolaydır.

Bir dairenin alanının πr 2'ye eşit olduğu bilinmektedir. Bu nedenle, iki dairenin alanı için formül (silindirin üst ve tabanı) πr 2 + πr 2 = 2πr 2 olacaktır.

Silindirin üçüncü yan yüzeyi ise silindirin kavisli duvarıdır. Bu yüzeyi daha iyi hayal edebilmek için onu tanınabilir bir şekle dönüştürmeye çalışalım. Silindirin, üst kapağı veya tabanı olmayan sıradan bir teneke kutu olduğunu hayal edin. Kutunun üst kısmından altına doğru yan duvarda dikey bir kesim yapalım (Şekilde 1. Adım) ve ortaya çıkan şekli mümkün olduğu kadar açmaya (düzeltmeye) çalışalım (2. Adım).

Ortaya çıkan kavanoz tamamen açıldıktan sonra tanıdık bir şekil göreceğiz (3. Adım), bu bir dikdörtgendir. Bir dikdörtgenin alanının hesaplanması kolaydır. Ama ondan önce bir anlığına orijinal silindire dönelim. Orijinal silindirin tepe noktası bir dairedir ve çevresinin şu formülle hesaplandığını biliyoruz: L = 2πr. Şekilde kırmızı renkle işaretlenmiştir.

Silindirin yan duvarı tamamen açıldığında çevrenin ortaya çıkan dikdörtgenin uzunluğuna eşit olduğunu görüyoruz. Bu dikdörtgenin kenarları silindirin çevresi (L = 2πr) ve yüksekliği (h) olacaktır. Bir dikdörtgenin alanı kenarlarının çarpımına eşittir - S = uzunluk x genişlik = L x h = 2πr x h = 2πrh. Sonuç olarak silindirin yan yüzeyinin alanını hesaplamak için bir formül aldık.

Bir silindirin yan yüzey alanı formülü
S tarafı = 2πrh

Bir silindirin toplam yüzey alanı

Son olarak, üç yüzeyin de alanını toplarsak silindirin toplam yüzey alanı formülünü elde ederiz. Bir silindirin yüzey alanı, silindirin üst alanı + silindirin taban alanı + silindirin yan yüzeyinin alanına eşittir veya S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Bazen bu ifade 2πr (r + h) formülüyle aynı şekilde yazılır.

Bir silindirin toplam yüzey alanı formülü
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – silindirin yarıçapı, h – silindirin yüksekliği

Bir silindirin yüzey alanının hesaplanmasına örnekler

Yukarıdaki formülleri anlamak için örnekler kullanarak silindirin yüzey alanını hesaplamaya çalışalım.

1. Silindirin taban yarıçapı 2, yüksekliği 3'tür. Silindirin yan yüzeyinin alanını belirleyin.

Toplam yüzey alanı şu formül kullanılarak hesaplanır: S tarafı. = 2πrh

S tarafı = 2 * 3,14 * 2 * 3

S tarafı = 6,28 * 6

S tarafı = 37,68

Silindirin yan yüzey alanı 37,68'dir.

2. Yüksekliği 4 ve yarıçapı 6 ise silindirin yüzey alanı nasıl bulunur?

Toplam yüzey alanı şu formül kullanılarak hesaplanır: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

tabanı çokgen olan çok yönlü bir şekildir ve geri kalan yüzler ortak köşeli üçgenlerle temsil edilir.

Taban kare ise piramit denir dörtgen, eğer bir üçgense – o zaman üçgensel. Piramidin yüksekliği, üst kısmından tabana dik olarak çizilir. Alanı hesaplamak için de kullanılır özlü söz– üst kısmından alçaltılmış yan yüzün yüksekliği.
Bir piramidin yan yüzeyinin alanı formülü, yan yüzlerinin birbirine eşit alanlarının toplamıdır. Ancak bu hesaplama yöntemi çok nadir kullanılmaktadır. Temel olarak piramidin alanı, tabanın çevresi ve apothem aracılığıyla hesaplanır:

Bir piramidin yan yüzeyinin alanını hesaplamanın bir örneğini ele alalım.

Tabanı ABCDE ve tepesi F olan bir piramit verilsin. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apothem a = 5 cm Piramidin yan yüzeyinin alanını bulun.
Çevresini bulalım. Tabanın tüm kenarları eşit olduğundan beşgenin çevresi şuna eşit olacaktır:
Artık piramidin yan alanını bulabilirsiniz:

Düzenli bir üçgen piramidin alanı

Düzenli bir üçgen piramit, düzenli bir üçgenin bulunduğu bir taban ve eşit alana sahip üç yan yüzden oluşur.
Düzenli bir üçgen piramidin yan yüzey alanı formülü farklı şekillerde hesaplanabilir. Çevre ve özdeyimi kullanarak olağan hesaplama formülünü uygulayabilir veya bir yüzün alanını bulup üçle çarpabilirsiniz. Piramidin yüzü üçgen olduğundan üçgenin alan formülünü uyguluyoruz. Bir öz ve tabanın uzunluğunu gerektirecektir. Düzenli bir üçgen piramidin yan yüzey alanını hesaplamanın bir örneğini ele alalım.

Apotemi a = 4 cm ve taban yüzü b = 2 cm olan bir piramit verildiğinde, piramidin yan yüzeyinin alanını bulun.
Öncelikle yan yüzlerden birinin alanını bulun. Bu durumda şöyle olacaktır:
Değerleri formülde değiştirin:
Düzenli bir piramitte tüm kenarlar aynı olduğundan piramidin yan yüzeyinin alanı üç yüzün alanlarının toplamına eşit olacaktır. Sırasıyla:

Kesilmiş bir piramidin alanı

Kesilmiş Bir piramit, bir piramit ve onun enine kesiti tabana paralel olarak oluşturulan bir çokyüzlüdür.
Kesik bir piramidin yan yüzey alanı formülü çok basittir. Alan, tabanların çevreleri ile apothemin toplamının yarısının çarpımına eşittir: